🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Connaître et utiliser les valeurs remarquables de sin, cos, tan (0°, 30°, 45°, 60°, 90°)
Convertir des angles entre degrés et radians ; lire le cercle trigonométrique
Utiliser la relation fondamentale \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\)
Tracer et interpréter les courbes de sin et cos ; identifier période et amplitude
Résoudre des équations du type \(\sin(x)=a\) ou \(\cos(x)=a\) sur un intervalle donné
Appliquer la loi des sinus et la loi des cosinus dans des triangles quelconques
Résoudre des problèmes professionnels : coupes de boiserie, inclinaison panneau solaire, longueurs de canalisations

Fiche résumé — Trigonométrie

Chapitre 7 | Terminale Bac Pro | Mathématiques

Triangle rectangle — SOH-CAH-TOA

\(\sin\alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\)
\(\cos\alpha = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)
\(\tan\alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\)

Valeurs remarquables

	0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	1
cos	1	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	0
tan	0	\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)	1	\(\sqrt{3}\)	—

Cercle trigonométrique et radians

\(M = (\cos x\,;\, \sin x)\) sur le cercle de rayon 1

\(\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{°} \times \dfrac{\pi}{180}\qquad \alpha_{°} = \alpha_{\text{rad}} \times \dfrac{180}{\pi}\)

Relation fondamentale

\(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\)

\(\sin\) et \(\cos\) sont dans \([-1\,;\,1]\)
Période : \(2\pi\) (360°)
\(\cos x = \sin\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\)

Résoudre \(\sin(x) = a\)

\(x_0 = \arcsin(a)\) puis \(x_1 = \pi - x_0\)

Solutions : \(x = x_0 + 2k\pi\) ou \(x = \pi - x_0 + 2k\pi\).

Résoudre \(\cos(x) = a\)

\(x_0 = \arccos(a)\) puis \(x_1 = 2\pi - x_0\)

Solutions : \(x = x_0 + 2k\pi\) ou \(x = -x_0 + 2k\pi\).

Loi des sinus

\(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\)

Utiliser quand on connaît un côté et l'angle opposé + un autre élément.

Loi des cosinus

\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)

Utiliser quand on connaît 3 côtés, ou 2 côtés et l'angle compris. Si \(A=90°\), on retrouve Pythagore.

Formules d'addition et de duplication

\(\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\qquad \cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\)

\(\sin(2a) = 2\sin a\cos a \qquad \cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a\)

Pièges et astuces

Piège 1 : \(\sin\) et \(\cos\) sont toujours entre \(-1\) et \(1\). L'équation \(\sin(x) = 2\) n'a aucune solution.

Piège 2 : La tangente n'est pas définie pour \(90° + k \times 180°\). Vérifier que l'angle n'est pas un multiple impair de \(90°\).

Piège 3 : Bien vérifier que la calculatrice est en mode degrés ou radians selon l'énoncé, sinon tous les résultats sont faux.

Astuce pro : Pour calculer une longueur de chevron, canalisation ou pente : \(\theta = \arctan\!\left(\dfrac{\text{dénivelée}}{\text{distance horizontale}}\right)\).

Astuce : Loi des sinus quand on a un angle et son côté opposé ; loi des cosinus quand on a 3 côtés ou 2 côtés + angle compris.