Exercices – Chapitre 7

Trigonométrie | Terminale Bac Pro | ERA · TMA · ICCER (Grpt 1)

Dernière mise à jour : 11 mars 2026

Compétences travaillées :

Calculer un rapport trigonométrique (sin, cos, tan) dans un triangle rectangle
Connaître les valeurs remarquables pour 30°, 45° et 60°
Convertir des angles entre degrés et radians
Déterminer un côté ou un angle inconnu dans un triangle rectangle
Lire les coordonnées d'un point sur le cercle trigonométrique
Utiliser l'identité fondamentale \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)
Résoudre des équations trigonométriques simples
Appliquer le théorème des sinus et le théorème d'Al-Kashi dans un triangle quelconque

Exercice 1 Calculer sin, cos et tan dans un triangle rectangle Socle

Soit le triangle \(ABC\) rectangle en \(C\) avec \(AB = 13\) cm (hypoténuse), \(AC = 12\) cm et \(BC = 5\) cm.

En utilisant SOH-CAH-TOA, calculer les trois rapports trigonométriques de l'angle \(\alpha = \widehat{BAC}\) :

\(\sin \alpha = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \ldots\) \(\cos \alpha = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \ldots\) \(\tan \alpha = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \ldots\)

Mes calculs :

Le côté opposé à \(\alpha\) est \(BC = 5\), le côté adjacent est \(AC = 12\), l'hypoténuse est \(AB = 13\).

SOH : \(\sin \alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{5}{13} \approx 0{,}385\)

CAH : \(\cos \alpha = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{12}{13} \approx 0{,}923\)

TOA : \(\tan \alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \dfrac{5}{12} \approx 0{,}417\)

Vérification : \(\alpha = \arcsin\!\left(\dfrac{5}{13}\right) \approx 22{,}6°\)

Exercice 2 Valeurs remarquables de sin, cos et tan Socle

Compléter le tableau des valeurs remarquables sans calculatrice :

Angle	\(0°\)	\(30°\)	\(45°\)	\(60°\)	\(90°\)
\(\sin\)
\(\cos\)
\(\tan\)

Mes calculs :

Angle	\(0°\)	\(30°\)	\(45°\)	\(60°\)	\(90°\)
\(\sin\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)
\(\cos\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(0\)
\(\tan\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)	non définie

Astuce mnémotechnique pour \(\sin\) : \(\dfrac{\sqrt{0}}{2},\;\dfrac{\sqrt{1}}{2},\;\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;\dfrac{\sqrt{3}}{2},\;\dfrac{\sqrt{4}}{2}\).

Exercice 3 Conversion degrés ↔ radians Socle

Convertir les angles suivants :

a) Convertir en radians : \(30°\), \(45°\), \(60°\), \(90°\), \(120°\), \(180°\), \(360°\).
b) Convertir en degrés : \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{\pi}{4}\), \(\dfrac{\pi}{3}\), \(\dfrac{2\pi}{3}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\), \(\dfrac{5\pi}{6}\), \(2\pi\).

Méthode Pour convertir : \(\text{radians} = \text{degrés} \times \dfrac{\pi}{180}\) et \(\text{degrés} = \text{radians} \times \dfrac{180}{\pi}\)

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

\(30° = \dfrac{\pi}{6}\) \(45° = \dfrac{\pi}{4}\) \(60° = \dfrac{\pi}{3}\) \(90° = \dfrac{\pi}{2}\)

\(120° = \dfrac{2\pi}{3}\) \(180° = \pi\) \(360° = 2\pi\)

\(\dfrac{\pi}{6} = 30°\) \(\dfrac{\pi}{4} = 45°\) \(\dfrac{\pi}{3} = 60°\) \(\dfrac{2\pi}{3} = 120°\)

\(\dfrac{3\pi}{4} = 135°\) \(\dfrac{5\pi}{6} = 150°\) \(2\pi = 360°\)

Exercice 4 Lire sin, cos et tan dans un triangle rectangle (guidé) Socle

Méthode SOH-CAH-TOA

Sin = Opposé / Hypoténuse
Cos = Adjacent / Hypoténuse
Tan = Opposé / Adjacent

Soit le triangle \(MNP\) rectangle en \(P\) avec \(MN = 10\) cm (hypoténuse), \(MP = 8\) cm et \(NP = 6\) cm.

Étape 1 : Repérer les côtés par rapport à l'angle \(\alpha = \widehat{NMP}\).
• Côté opposé à \(\alpha\) = \(\boxed{\phantom{NP = 6}}\)
• Côté adjacent à \(\alpha\) = \(\boxed{\phantom{MP = 8}}\)
• Hypoténuse = \(\boxed{\phantom{MN = 10}}\)

Étape 2 : Appliquer SOH-CAH-TOA.
\(\sin \alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{\boxed{\phantom{6}}}{\boxed{\phantom{10}}} = \boxed{\phantom{0{,}6}}\)

\(\cos \alpha = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{\boxed{\phantom{8}}}{\boxed{\phantom{10}}} = \boxed{\phantom{0{,}8}}\)

\(\tan \alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \dfrac{\boxed{\phantom{6}}}{\boxed{\phantom{8}}} = \boxed{\phantom{0{,}75}}\)

Mes calculs :

Étape 1 : Opposé = \(NP = 6\) cm, Adjacent = \(MP = 8\) cm, Hypoténuse = \(MN = 10\) cm.

Étape 2 :

\(\sin \alpha = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\)

\(\cos \alpha = \dfrac{8}{10} = 0{,}8\)

\(\tan \alpha = \dfrac{6}{8} = 0{,}75\)

Vérification : \(0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1\) ✓ (identité fondamentale)

Exercice 5 Calculer un côté avec la trigonométrie (guidé) Socle

Contexte : Un menuisier agenceur doit installer une rampe d'accès. La rampe fait un angle de \(20°\) avec le sol et doit atteindre une hauteur de \(0{,}80\) m. Il veut connaître la longueur de la rampe.

Méthode — Trouver un côté

Identifier l'angle connu et les côtés en jeu (opposé, adjacent, hypoténuse).
Choisir la bonne formule (SOH, CAH ou TOA).
Isoler l'inconnue et calculer.

Étape 1 : Par rapport à l'angle de \(20°\), quels sont les côtés connus et inconnus ?
• La hauteur \(0{,}80\) m est le côté \(\boxed{\phantom{\text{opposé}}}\)
• La rampe est \(\boxed{\phantom{\text{l'hypoténuse}}}\)

Étape 2 : Quelle formule utiliser ?
On connaît l'opposé et on cherche l'hypoténuse → formule : \(\boxed{\phantom{\sin}}\)

Étape 3 : Poser et résoudre.
\(\sin(20°) = \dfrac{0{,}80}{\text{rampe}}\)

Donc : rampe \(= \dfrac{0{,}80}{\sin(20°)} = \dfrac{0{,}80}{\boxed{\phantom{0{,}342}}} = \boxed{\phantom{2{,}34 \text{ m}}}\)

Mes calculs :

Étape 1 : La hauteur \(0{,}80\) m est le côté opposé. La rampe est l'hypoténuse.

Étape 2 : Opposé et hypoténuse → formule sin (SOH).

Étape 3 : \(\sin(20°) = \dfrac{0{,}80}{\text{rampe}}\)

Rampe \(= \dfrac{0{,}80}{\sin(20°)} = \dfrac{0{,}80}{0{,}342} \approx\) \(2{,}34\) m

Le menuisier a besoin d'une rampe d'environ 2,34 m.

Exercice 6 Calculer un angle avec les fonctions inverses (guidé) Socle

Contexte : Un technicien chauffagiste doit incliner un tuyau d'évacuation. Le tuyau monte de \(0{,}50\) m sur une distance horizontale de \(1{,}20\) m. Il veut connaître l'angle d'inclinaison.

Méthode — Trouver un angle

Calculer le rapport trigonométrique avec les côtés connus.
Utiliser la touche arctan (ou \(\tan^{-1}\)) de la calculatrice.
Vérifier que le résultat est cohérent (un angle entre 0° et 90°).

Étape 1 : On connaît le côté opposé (\(0{,}50\) m) et le côté adjacent (\(1{,}20\) m).
Quelle formule choisir ? → \(\boxed{\phantom{\tan}}\)

Étape 2 : Calculer le rapport.
\(\tan(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \dfrac{0{,}50}{1{,}20} = \boxed{\phantom{0{,}4167}}\)

Étape 3 : Trouver l'angle avec la calculatrice.
Sur la calculatrice, taper : SHIFT tan ( 0.4167 ) =
\(\alpha = \arctan(0{,}4167) = \boxed{\phantom{22{,}6°}}\)

Mes calculs :

Étape 1 : On connaît opposé et adjacent → formule tan (TOA).

Étape 2 : \(\tan(\alpha) = \dfrac{0{,}50}{1{,}20} \approx 0{,}4167\)

Étape 3 : \(\alpha = \arctan(0{,}4167) \approx 22{,}6°\)

Le tuyau fait un angle d'environ 22,6° avec l'horizontale. C'est cohérent : le tuyau monte peu sur une grande distance.

Exercice 16 Identifier les parties d'un triangle rectangle (guidé) Socle

Contexte : Un plombier chauffagiste pose un tuyau en diagonale dans un couloir de 3 m de large. Le tuyau fait un angle de 25° avec le plancher. Il doit calculer la longueur du tuyau et la hauteur atteinte.

Rappel Par rapport à l'angle connu : opposé = côté en face de l'angle, adjacent = côté à côté de l'angle, hypoténuse = côté le plus long (en face du droit).

Étape 1 : Schéma — dessiner un triangle rectangle avec l'angle de 25° au sol.
• Côté adjacent (sol) = \(\boxed{\phantom{3}}\) m
• Côté opposé (hauteur) = ?
• Hypoténuse (tuyau) = ?

Étape 2 : Choisir la formule pour trouver le tuyau (hypoténuse).
On connaît l'adjacent et on cherche l'hypoténuse → formule : \(\cos 25° = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hyp.}}\)
Tuyau = \(\dfrac{3}{\cos 25°} = \dfrac{3}{\boxed{\phantom{0{,}906}}} = \boxed{\phantom{3{,}31}}\) m

Étape 3 : Trouver la hauteur (opposé).
\(\tan 25° = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\) → Hauteur = \(3 \times \tan 25° = 3 \times \boxed{\phantom{0{,}466}} = \boxed{\phantom{1{,}40}}\) m

Mes calculs :

Étape 2 : \(\cos 25° \approx 0{,}906\). Tuyau = \(\dfrac{3}{0{,}906} \approx\) \(3{,}31\) m.

Étape 3 : \(\tan 25° \approx 0{,}466\). Hauteur = \(3 \times 0{,}466 \approx\) \(1{,}40\) m.

Le plombier a besoin d'un tuyau d'environ 3,31 m pour atteindre une hauteur de 1,40 m.

Exercice 17 Lire le cercle trigonométrique — coordonnées de points Socle

Rappel Sur le cercle trigonométrique (rayon 1), le point associé à l'angle \(x\) a pour coordonnées \((\cos x\,;\,\sin x)\).

Compléter le tableau en utilisant les valeurs remarquables (sans calculatrice) :

Angle \(x\)	0°	30°	45°	60°	90°	180°
Coordonnées \((\cos x\,;\,\sin x)\)

Parmi ces angles, pour lesquels \(\cos x > 0\) ? Pour lesquels \(\sin x > 0\) ?

Mes calculs :

Angle	0°	30°	45°	60°	90°	180°
Coordonnées	\((1\,;\,0)\)	\(\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,\tfrac{1}{2}\right)\)	\(\!\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,;\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)	\(\!\left(\tfrac{1}{2}\,;\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)	\((0\,;\,1)\)	\((-1\,;\,0)\)

\(\cos x > 0\) pour 0°, 30°, 45°, 60° (premier quadrant). \(\sin x > 0\) pour 30°, 45°, 60°, 90° (demi-cercle supérieur).

Exercice 18 Utiliser la relation fondamentale \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) (guidé) Socle

Méthode \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) ⟹ \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) ⟹ \(\sin x = \pm\sqrt{1 - \cos^2 x}\)
Le signe + si \(x \in [0°\,;\,180°]\) (sinus positif dans le demi-cercle supérieur).

a) On sait que \(\cos x = \dfrac{4}{5}\) et \(x \in [0°\,;\,90°]\). Calculer \(\sin x\). Compléter :

\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{\boxed{\phantom{16}}}{25} = \dfrac{\boxed{\phantom{9}}}{25}\)
Comme \(x \in [0°\,;\,90°]\), \(\sin x \geq 0\), donc \(\sin x = \boxed{\phantom{\dfrac{3}{5}}}\)

b) On sait que \(\sin x = 0{,}5\) et \(x \in [0°\,;\,90°]\). Calculer \(\cos x\). Compléter :

\(\cos^2 x = 1 - (0{,}5)^2 = 1 - \boxed{\phantom{0{,}25}} = \boxed{\phantom{0{,}75}}\)
\(\cos x = \sqrt{\boxed{\phantom{0{,}75}}} \approx \boxed{\phantom{0{,}866}}\)

c) Vérifier que ce résultat correspond à un angle remarquable.

Mes calculs :

a) \(\sin^2 x = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}\). Donc \(\sin x = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).

b) \(\cos^2 x = 1 - 0{,}25 = 0{,}75\). Donc \(\cos x = \sqrt{0{,}75} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\).

c) \(\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\) : le résultat correspond à l'angle \(x = 30°\), cohérent avec \(\sin 30° = 0{,}5\) ✓.

Exercice 19 Calculer l'angle d'inclinaison d'un escalier Socle

Contexte : Un artisan menuisier fabrique un escalier droit. Chaque marche a une hauteur (contre-marche) de 18 cm et une profondeur (giron) de 28 cm. Il doit calculer l'angle d'inclinaison de l'escalier.

Étape 1 : Quelle formule utiliser pour trouver l'angle d'inclinaison \(\alpha\) ?
On connaît l'opposé = contre-marche = 18 cm et l'adjacent = giron = 28 cm.
Formule : \(\tan \alpha = \dfrac{\boxed{\phantom{18}}}{\boxed{\phantom{28}}}\)

Étape 2 : Calculer \(\tan \alpha\).
\(\tan \alpha = \dfrac{18}{28} = \boxed{\phantom{0{,}643}}\)

Étape 3 : Trouver l'angle avec arctan.
\(\alpha = \arctan(0{,}643) = \boxed{\phantom{32{,}7°}}\)

Mes calculs :

Étape 1 : \(\tan \alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \dfrac{\text{contre-marche}}{\text{giron}}\).

Étape 2 : \(\tan \alpha = \dfrac{18}{28} \approx 0{,}643\).

Étape 3 : \(\alpha = \arctan(0{,}643) \approx 32{,}7°\).

L'escalier a une inclinaison d'environ 32,7°. Les normes recommandent entre 25° et 45° — cet escalier est conforme.

Exercice 20 Lire les valeurs sin et cos sur le cercle trigonométrique Socle

Rappel Le cercle trigonométrique a un rayon de 1. Pour un angle \(x\) : le point M a pour coordonnées \((\cos x\,;\,\sin x)\).
Signe de sin et cos selon le quadrant :
Quadrant I (0° à 90°) : sin > 0, cos > 0
Quadrant II (90° à 180°) : sin > 0, cos < 0
Quadrant III (180° à 270°) : sin < 0, cos < 0
Quadrant IV (270° à 360°) : sin < 0, cos > 0

Sans calculatrice, donner le signe (+ ou −) de chaque valeur :

a) \(\sin(120°)\) :
L'angle 120° est dans le quadrant ☐ I ☐ II ☐ III ☐ IV → \(\sin(120°)\) est ☐ positif ☐ négatif

b) \(\cos(200°)\) :
L'angle 200° est dans le quadrant ☐ I ☐ II ☐ III ☐ IV → \(\cos(200°)\) est ☐ positif ☐ négatif

c) \(\sin(300°)\) :
L'angle 300° est dans le quadrant ☐ I ☐ II ☐ III ☐ IV → \(\sin(300°)\) est ☐ positif ☐ négatif

d) \(\cos(150°)\) :
L'angle 150° est dans le quadrant ☐ I ☐ II ☐ III ☐ IV → \(\cos(150°)\) est ☐ positif ☐ négatif

Mes calculs :

a) 120° est dans le quadrant II (entre 90° et 180°). \(\sin(120°) > 0\) (positif).

b) 200° est dans le quadrant III (entre 180° et 270°). \(\cos(200°) < 0\) (négatif).

c) 300° est dans le quadrant IV (entre 270° et 360°). \(\sin(300°) < 0\) (négatif).

d) 150° est dans le quadrant II. \(\cos(150°) < 0\) (négatif).

Exercice 21 Calculer un côté manquant avec sin ou cos (guidé) Socle

Contexte : Un installateur thermique pose une canalisation en pente. La canalisation mesure 4 m, elle fait un angle de 30° avec l'horizontale. Il doit calculer la hauteur gagnée et la distance horizontale couverte.

Méthode Dans un triangle rectangle : côté opposé = hypoténuse × sin(angle) et côté adjacent = hypoténuse × cos(angle).

Étape 1 : La canalisation est l'hypoténuse. Son angle avec l'horizontal est 30°.
Par rapport à l'angle de 30°, la hauteur est le côté \(\boxed{\phantom{\text{opposé}}}\) et la distance horizontale est le côté \(\boxed{\phantom{\text{adjacent}}}\).

Étape 2 : Calculer la hauteur \(h\).
\(h = \text{hypoténuse} \times \sin(30°) = 4 \times \boxed{\phantom{0{,}5}} = \boxed{\phantom{2}}\) m

Étape 3 : Calculer la distance horizontale \(d\).
\(d = \text{hypoténuse} \times \cos(30°) = 4 \times \boxed{\phantom{\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866}} \approx \boxed{\phantom{3{,}46}}\) m

Mes calculs :

Étape 1 : Hauteur = côté opposé, distance horizontale = côté adjacent.

Étape 2 : \(h = 4 \times \sin(30°) = 4 \times 0{,}5 =\) \(2\) m

Étape 3 : \(d = 4 \times \cos(30°) = 4 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx\) \(3{,}46\) m

La canalisation monte de 2 m sur une distance horizontale d'environ 3,46 m.

Exercice 22 Vérifier l'identité fondamentale (guidé) Socle

Rappel L'identité fondamentale : \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\) est vraie pour tout angle \(x\).

Vérifier numériquement l'identité \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\) pour chaque angle (à la calculatrice) :

a) Pour \(x = 53°\) :

\(\cos(53°) \approx \boxed{\phantom{0{,}602}}\) donc \(\cos^2(53°) \approx \boxed{\phantom{0{,}362}}\)
\(\sin(53°) \approx \boxed{\phantom{0{,}799}}\) donc \(\sin^2(53°) \approx \boxed{\phantom{0{,}638}}\)
Somme : \(0{,}362 + 0{,}638 = \boxed{\phantom{1}}\) ✓

b) Pour \(x = 72°\) :

\(\cos(72°) \approx \boxed{\phantom{0{,}309}}\) et \(\sin(72°) \approx \boxed{\phantom{0{,}951}}\)
Calculer \(\cos^2(72°) + \sin^2(72°) = \boxed{\phantom{1}}\)

c) Maintenant sachant que \(\sin(x) = 0{,}6\) et \(x \in [0°\,;\,90°]\), trouver \(\cos(x)\).

\(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) = 1 - (0{,}6)^2 = 1 - \boxed{\phantom{0{,}36}} = \boxed{\phantom{0{,}64}}\)
\(\cos(x) = \sqrt{\boxed{\phantom{0{,}64}}} = \boxed{\phantom{0{,}8}}\)

Mes calculs :

a) \(\cos(53°) \approx 0{,}602\) ; \(\cos^2 \approx 0{,}362\). \(\sin(53°) \approx 0{,}799\) ; \(\sin^2 \approx 0{,}638\). Somme = \(1\) ✓

b) \(\cos^2(72°) + \sin^2(72°) \approx 0{,}0955 + 0{,}9045 =\) \(1\) ✓

c) \(\cos^2(x) = 0{,}64\), donc \(\cos(x) = 0{,}8\).

Exercice 23 Lire une courbe sinusoïdale — amplitude et période Socle

Contexte : Un technicien CVC (Chauffage Ventilation Climatisation) surveille la variation de pression dans un circuit de ventilation. La pression oscille selon une fonction sinusoïdale.

Rappel Pour une courbe \(f(x) = A\sin(x)\) :
• Amplitude = valeur maximale de la courbe (égale à \(A\))
• Période = longueur d'un cycle complet (360° ou \(2\pi\) rad pour \(\sin\) et \(\cos\))

Un capteur relève que la pression varie entre −80 Pa et +80 Pa, avec un cycle qui se répète toutes les 0,02 s.

1. Quelle est l'amplitude de cette oscillation ?
L'amplitude = valeur maximale = \(\boxed{\phantom{80}}\) Pa

2. Quelle est la période de ce signal ?
Période = \(\boxed{\phantom{0{,}02}}\) s

3. Pour la fonction \(g(x) = 3\sin(x)\), compléter :
Amplitude de \(g\) = \(\boxed{\phantom{3}}\) et Période = \(\boxed{\phantom{2\pi}}\) rad = \(\boxed{\phantom{360°}}\)

Mes calculs :

1. Amplitude = 80 Pa (la courbe oscille entre −80 et +80).

2. Période = 0,02 s.

3. Amplitude de \(g\) = 3. Période = \(2\pi\) rad = 360°.

Exercice 7 Trouver un côté inconnu dans un triangle rectangle Standard

Soit le triangle \(DEF\) rectangle en \(F\) avec \(\widehat{EDF} = 35°\) et \(DE = 10\) cm (hypoténuse).

1. Calculer le côté \(DF\) (adjacent à l'angle de 35°).
2. Calculer le côté \(EF\) (opposé à l'angle de 35°).
3. Vérifier avec le théorème de Pythagore.

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

1. \(\cos 35° = \dfrac{DF}{DE}\) donc \(DF = DE \times \cos 35° = 10 \times 0{,}8192 \approx\) \(8{,}19\) cm

2. \(\sin 35° = \dfrac{EF}{DE}\) donc \(EF = DE \times \sin 35° = 10 \times 0{,}5736 \approx\) \(5{,}74\) cm

3. Vérification : \(DF^2 + EF^2 = 8{,}19^2 + 5{,}74^2 = 67{,}08 + 32{,}95 = 100{,}03 \approx 10^2\) ✓

Exercice 8 Trouver un angle inconnu dans un triangle rectangle Standard

Un triangle \(GHI\) est rectangle en \(I\). On connaît \(GI = 7\) cm et \(HI = 4\) cm.

1. Calculer \(\tan \alpha\) où \(\alpha = \widehat{HGI}\).
2. En déduire la valeur de \(\alpha\) en degrés (à l'aide de la touche \(\arctan\) ou \(\tan^{-1}\)).
3. En déduire l'angle \(\widehat{GHI}\).

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

1. \(\tan \alpha = \dfrac{HI}{GI} = \dfrac{4}{7} \approx\) \(0{,}571\)

2. \(\alpha = \arctan(0{,}571) \approx\) \(29{,}7°\)

3. \(\widehat{GHI} = 90° - 29{,}7° =\) \(60{,}3°\)

Exercice 9 Cercle trigonométrique et identité fondamentale Standard

On considère un point \(M\) sur le cercle trigonométrique associé à l'angle \(\theta\).

a) On sait que \(\cos \theta = 0{,}6\) et que \(\theta \in [0° ; 90°]\). Calculer \(\sin \theta\) à l'aide de l'identité \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\).

b) On sait que \(\sin \theta = \dfrac{3}{5}\) et que \(\theta \in [0° ; 90°]\). Calculer \(\cos \theta\).

c) On sait que \(\cos \theta = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et que \(\theta \in [90° ; 180°]\). Calculer \(\sin \theta\).

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

a) \(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\)
Comme \(\theta \in [0° ; 90°]\), \(\sin\theta \geq 0\) donc \(\sin\theta = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\)

b) \(\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\)
Comme \(\theta \in [0° ; 90°]\), \(\cos\theta = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\)

c) \(\sin^2\theta = 1 - \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)
Comme \(\theta \in [90° ; 180°]\), \(\sin\theta \geq 0\) donc \(\sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\)
L'angle est \(\theta = 135°\).

Exercice 24 Trouver un côté inconnu — contexte professionnel Standard

Contexte : Un plombier chauffagiste installe un tuyau incliné à 40° par rapport à l'horizontale. Le tuyau doit parcourir une distance horizontale de 3,5 m. Calculer la longueur du tuyau et la hauteur atteinte.

1. Faire un schéma du triangle rectangle correspondant en plaçant l'angle de 40°, les côtés connus et inconnus.
2. Calculer la longueur du tuyau (hypoténuse).
3. Calculer la hauteur atteinte (côté opposé).
4. Vérifier le résultat par le théorème de Pythagore.

Mes calculs :

1. Triangle rectangle : angle de 40° en bas à gauche, côté adjacent = 3,5 m (horizontal), hypoténuse = tuyau, côté opposé = hauteur.

2. \(\cos(40°) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\) → Tuyau \(= \dfrac{3{,}5}{\cos(40°)} = \dfrac{3{,}5}{0{,}766} \approx\) \(4{,}57\) m

3. \(\tan(40°) = \dfrac{\text{hauteur}}{3{,}5}\) → Hauteur \(= 3{,}5 \times \tan(40°) = 3{,}5 \times 0{,}839 \approx\) \(2{,}94\) m

4. Vérification : \(3{,}5^2 + 2{,}94^2 = 12{,}25 + 8{,}64 = 20{,}89 \approx 4{,}57^2 = 20{,}88\) ✓

Exercice 25 Calculer un angle d'inclinaison — toiture Standard

Contexte : Un artisan menuisier pose une terrasse en bois avec une légère pente pour l'évacuation des eaux. La terrasse mesure 6 m de long et doit descendre de 18 cm sur toute sa longueur.

1. Calculer l'angle d'inclinaison \(\alpha\) de la terrasse par rapport à l'horizontale.
2. Exprimer cet angle en degrés (à 0,1° près) et en pourcentage de pente (\(\tan(\alpha) \times 100\)).
3. La norme exige une pente d'au moins 1,5 %. Cette terrasse est-elle conforme ?

Mes calculs :

1. \(\tan(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \dfrac{0{,}18}{6} = 0{,}03\)
\(\alpha = \arctan(0{,}03) \approx 1{,}7°\)

2. Pente en % = \(0{,}03 \times 100 =\) \(3\,\%\)

3. \(3\,\% \geq 1{,}5\,\%\) : la terrasse est conforme à la norme.

Exercice 26 Utiliser l'identité fondamentale dans un problème Standard

On considère un angle \(\theta\) tel que \(\cos\theta = \dfrac{5}{13}\) et \(\theta \in [0°\,;\,90°]\).

1. Calculer \(\sin\theta\) à l'aide de l'identité \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\).
2. En déduire \(\tan\theta\).
3. Sans calculatrice, calculer \(\sin^2\theta + \cos^2\theta + \tan^2\theta \times \cos^2\theta\).
Indication : exprimer \(\tan^2\theta \times \cos^2\theta\) en fonction de \(\sin^2\theta\).

Mes calculs :

1. \(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}\)
Comme \(\theta \in [0°;90°]\), \(\sin\theta = \dfrac{12}{13}\)

2. \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{12/13}{5/13} = \dfrac{12}{5} = 2{,}4\)

3. \(\tan^2\theta \times \cos^2\theta = \dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} \times \cos^2\theta = \sin^2\theta\)
Donc \(\sin^2\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 + \sin^2\theta = 1 + \dfrac{144}{169} =\) \(\dfrac{313}{169} \approx 1{,}85\)

Exercice 27 Résoudre une équation trigonométrique — contexte professionnel Standard

Contexte : Un ingénieur thermicien modélise la variation de la puissance solaire (en W/m²) reçue par un panneau au cours d'une journée par la fonction \(P(\theta) = 800\,\sin(\theta)\), où \(\theta\) est l'angle d'élévation du soleil (en degrés, \(\theta \in [0°\,;\,180°]\)).

1. Calculer la puissance reçue pour \(\theta = 30°\), \(60°\) et \(90°\). Interpréter.
2. Résoudre \(P(\theta) = 600\) : pour quels angles le panneau reçoit-il exactement 600 W/m² ?
3. Pour quels angles le panneau reçoit-il au moins 400 W/m² ?

Mes calculs :

1.
\(P(30°) = 800 \times 0{,}5 =\) 400 W/m² (soleil bas)
\(P(60°) = 800 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 800 \times 0{,}866 \approx\) 693 W/m²
\(P(90°) = 800 \times 1 =\) 800 W/m² (puissance maximale, soleil au zénith)

2. \(800\,\sin\theta = 600\) → \(\sin\theta = 0{,}75\)
Solution principale : \(\theta_1 = \arcsin(0{,}75) \approx 48{,}6°\)
Par symétrie : \(\theta_2 = 180° - 48{,}6° = 131{,}4°\)
\(\mathcal{S} = \{48{,}6°\,;\,131{,}4°\}\)

3. \(\sin\theta \geq 0{,}5\) → entre \(\arcsin(0{,}5) = 30°\) et \(180° - 30° = 150°\)
Le panneau reçoit au moins 400 W/m² pour \(\theta \in [30°\,;\,150°]\).

Exercice 28 Loi des cosinus dans un triangle quelconque Standard

Contexte : Un menuisier agenceur doit découper une pièce triangulaire pour un habillage mural. Il connaît deux côtés (\(a = 45\) cm et \(b = 60\) cm) et l'angle compris entre eux (\(C = 55°\)).

1. Rappeler la formule du théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus).
2. Calculer le troisième côté \(c\).
3. Calculer ensuite le périmètre de la pièce.

Théorème d'Al-Kashi : \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)

Mes calculs :

1. \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)

2. \(c^2 = 45^2 + 60^2 - 2 \times 45 \times 60 \times \cos(55°)\)
\(c^2 = 2025 + 3600 - 5400 \times 0{,}5736 = 5625 - 3097{,}4 = 2527{,}6\)
\(c = \sqrt{2527{,}6} \approx 50{,}3\) cm

3. Périmètre = \(45 + 60 + 50{,}3 =\) \(155{,}3\) cm

Exercice 29 Reconnaître et utiliser la loi des sinus Standard

Contexte : Un technicien de maintenance énergétique doit calculer la distance entre deux équipements sur un plan de chaufferie. Il connaît un côté et deux angles d'un triangle formé par les équipements.

Dans un triangle \(ABC\), on connaît : \(\widehat{A} = 50°\), \(\widehat{C} = 70°\) et \(AC = b = 12\) m.

1. Calculer l'angle \(\widehat{B}\).
2. En utilisant la loi des sinus \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\), calculer les côtés \(a = BC\) et \(c = AB\).
3. Calculer la surface du triangle \(ABC\) à l'aide de la formule \(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times b \times c \times \sin A\).

Mes calculs :

1. \(\widehat{B} = 180° - 50° - 70° =\) \(60°\)

2. Rapport : \(\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{12}{\sin 60°} = \dfrac{12}{0{,}866} \approx 13{,}86\)
\(a = 13{,}86 \times \sin 50° = 13{,}86 \times 0{,}766 \approx\) \(10{,}62\) m
\(c = 13{,}86 \times \sin 70° = 13{,}86 \times 0{,}940 \approx\) \(13{,}02\) m

3. \(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times 12 \times 13{,}02 \times \sin 50° = 6 \times 13{,}02 \times 0{,}766 \approx\) \(59{,}8\) m²

Exercice 30 Amplitude et période d'un signal sinusoïdal Standard

Contexte : Un technicien CVC mesure la variation de débit d'un ventilateur. Le débit (en m³/h) est modélisé par \(D(t) = 200 + 50\,\sin(2t)\) où \(t\) est exprimé en secondes.

1. Quel est le débit moyen ? Quel est le débit maximal ? Quel est le débit minimal ?
2. Quelle est l'amplitude de l'oscillation ?
3. La période de la fonction \(\sin(2t)\) est \(\dfrac{2\pi}{2} = \pi\) secondes. Quelle est la fréquence du signal (nombre d'oscillations par seconde) ?
4. Calculer \(D(0)\), \(D(\pi/4)\) et \(D(\pi/2)\).

Mes calculs :

1. Débit moyen = 200 m³/h (terme constant). Débit max = \(200 + 50 =\) 250 m³/h. Débit min = \(200 - 50 =\) 150 m³/h.

2. Amplitude = 50 m³/h.

3. Fréquence = \(\dfrac{1}{\pi} \approx\) \(0{,}318\) Hz (oscillation par seconde).

4.
\(D(0) = 200 + 50\,\sin(0) = 200 + 0 =\) 200 m³/h
\(D(\pi/4) = 200 + 50\,\sin(\pi/2) = 200 + 50 \times 1 =\) 250 m³/h
\(D(\pi/2) = 200 + 50\,\sin(\pi) = 200 + 0 =\) 200 m³/h

Exercice 10 Résoudre des équations trigonométriques simples Approfondissement

Résoudre les équations suivantes sur \([0° ; 360°]\) :

a) \(\sin x = \dfrac{1}{2}\)

b) \(\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

c) \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

d) \(\cos x = 0\)

Attention Une équation du type \(\sin x = a\) (avec \(-1 \leq a \leq 1\)) admet en général deux solutions sur \([0° ; 360°]\).

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

a) \(\sin x = \dfrac{1}{2}\)
Solution principale : \(x_1 = 30°\). Par symétrie : \(x_2 = 180° - 30° = 150°\).
\(\mathcal{S} = \{30° \,;\, 150°\}\)

b) \(\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), donc les solutions où le cosinus est négatif sont dans les quadrants II et III :
\(x_1 = 180° - 30° = 150°\) et \(x_2 = 180° + 30° = 210°\).
\(\mathcal{S} = \{150° \,;\, 210°\}\)

c) \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), sinus négatif dans les quadrants III et IV :
\(x_1 = 180° + 45° = 225°\) et \(x_2 = 360° - 45° = 315°\).
\(\mathcal{S} = \{225° \,;\, 315°\}\)

d) \(\cos x = 0\)
\(\mathcal{S} = \{90° \,;\, 270°\}\)

Exercice 11 Théorème des sinus dans un triangle quelconque Approfondissement

Soit un triangle \(ABC\) avec \(\widehat{A} = 42°\), \(\widehat{B} = 63°\) et \(c = AB = 8\) cm.

1. Calculer l'angle \(\widehat{C}\).
2. En utilisant le théorème des sinus \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\), calculer les côtés \(a\) et \(b\).

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

1. \(\widehat{C} = 180° - 42° - 63° =\) \(75°\)

2. On utilise : \(\dfrac{c}{\sin C} = \dfrac{8}{\sin 75°} = \dfrac{8}{0{,}9659} \approx 8{,}282\)

Côté \(a\) (opposé à \(\widehat{A}\)) :
\(a = 8{,}282 \times \sin 42° = 8{,}282 \times 0{,}6691 \approx\) \(5{,}54\) cm

Côté \(b\) (opposé à \(\widehat{B}\)) :
\(b = 8{,}282 \times \sin 63° = 8{,}282 \times 0{,}8910 \approx\) \(7{,}38\) cm

Exercice 12 Théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus) Approfondissement

Soit un triangle \(PQR\) avec \(PQ = 6\) cm, \(PR = 9\) cm et \(\widehat{QPR} = 50°\).

1. Énoncer le théorème d'Al-Kashi pour calculer \(QR\).
2. Calculer \(QR\).
3. En déduire l'angle \(\widehat{PQR}\) en utilisant à nouveau le théorème d'Al-Kashi.

Théorème d'Al-Kashi : \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

1. \(QR^2 = PQ^2 + PR^2 - 2 \times PQ \times PR \times \cos(\widehat{QPR})\)

2. \(QR^2 = 6^2 + 9^2 - 2 \times 6 \times 9 \times \cos 50°\)
\(QR^2 = 36 + 81 - 108 \times 0{,}6428 = 117 - 69{,}42 = 47{,}58\)
\(QR = \sqrt{47{,}58} \approx 6{,}90\) cm

3. Pour trouver \(\widehat{PQR}\), on applique Al-Kashi avec \(PR\) :
\(PR^2 = PQ^2 + QR^2 - 2 \times PQ \times QR \times \cos(\widehat{PQR})\)
\(81 = 36 + 47{,}58 - 2 \times 6 \times 6{,}90 \times \cos(\widehat{PQR})\)
\(\cos(\widehat{PQR}) = \dfrac{36 + 47{,}58 - 81}{2 \times 6 \times 6{,}90} = \dfrac{2{,}58}{82{,}80} \approx 0{,}0312\)
\(\widehat{PQR} = \arccos(0{,}0312) \approx 88{,}2°\)

Exercice 13 Charpente et angle de toit Approfondissement

Contexte : Un charpentier doit réaliser une ferme de toit symétrique. La portée totale (largeur du bâtiment) est de 8 m et la hauteur au faîtage est de 3 m. Il doit calculer les angles et la longueur des arbalétriers (pièces inclinées).

1. En considérant le demi-triangle rectangle \(AHC\), calculer l'angle d'inclinaison \(\alpha\) du toit.
2. Calculer la longueur de l'arbalétrier \(AC\).
3. Le charpentier doit réaliser une coupe en onglet à l'angle \(\alpha\) en haut de l'arbalétrier. Quel angle doit-il régler sur sa scie ?
4. Calculer la surface totale du toit (les deux pans), sachant que la longueur du bâtiment est de 12 m.

Réponses : ……………………………

Mes calculs :

1. \(\tan \alpha = \dfrac{CH}{AH} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\)
\(\alpha = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}87° \approx 36{,}9°\)

2. Par Pythagore : \(AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} =\) \(5\) m
Ou bien : \(AC = \dfrac{AH}{\cos\alpha} = \dfrac{4}{\cos 36{,}9°} = \dfrac{4}{0{,}8} = 5\) m ✓

3. En haut de l'arbalétrier, la coupe doit être à l'angle complémentaire :
Angle de scie = \(90° - 36{,}9° = 53{,}1°\) par rapport à l'horizontale.

4. Surface d'un pan = longueur arbalétrier × longueur bâtiment = \(5 \times 12 = 60\) m²
Surface totale = \(2 \times 60 = 120\) m²

Exercice 14 Coupe en onglet et ossature bois Approfondissement

Contexte : Un menuisier agenceur réalise un cadre en bois pour un miroir hexagonal régulier. Il doit calculer les angles de coupe en onglet et la longueur de chaque pièce.

Le miroir hexagonal régulier est inscrit dans un cercle de rayon \(R = 30\) cm.

1. Calculer l'angle au centre d'un hexagone régulier.
2. En déduire l'angle de chaque coupe en onglet (demi-angle au centre).
3. Montrer que le côté de l'hexagone régulier est égal au rayon \(R\).
Indication : utiliser le triangle isocèle formé par deux rayons et un côté, avec un angle au centre de 60°.
4. Calculer le périmètre total du cadre.
5. Un menuisier doit aussi réaliser un cadre octogonal régulier (8 côtés) inscrit dans un cercle de rayon 25 cm. Calculer l'angle de coupe en onglet et la longueur de chaque côté.

Réponses : ……………………………

Mes calculs :

1. Angle au centre = \(\dfrac{360°}{6} =\) \(60°\)

2. Angle d'onglet = \(\dfrac{60°}{2} =\) \(30°\)
Le menuisier règle sa scie à onglet à 30°.

3. Le triangle formé par deux rayons et un côté est isocèle (deux côtés = \(R\)) avec un angle au sommet de 60°. Les deux angles de base valent \(\dfrac{180° - 60°}{2} = 60°\). Le triangle est donc équilatéral : le côté \(= R = 30\) cm.

4. Périmètre = \(6 \times 30 =\) \(180\) cm = \(1{,}80\) m

5. Octogone : angle au centre = \(\dfrac{360°}{8} = 45°\). Angle d'onglet = \(22{,}5°\).
Côté = \(2R\sin\!\left(\dfrac{45°}{2}\right) = 2 \times 25 \times \sin 22{,}5° = 50 \times 0{,}3827 \approx\) \(19{,}13\) cm

Exercice 15 Panneau solaire et circuit de tuyauteries Approfondissement

Contexte : Un technicien chauffagiste installe des panneaux solaires thermiques sur un toit orienté plein sud. Il doit aussi calculer les angles de routage des tuyauteries dans la chaufferie.

Partie A – Inclinaison du panneau solaire

Le panneau solaire mesure \(L = 2\) m de long. Il est incliné d'un angle \(\beta = 35°\) par rapport à l'horizontale.

1. Calculer la hauteur \(h\) du bord supérieur du panneau par rapport à l'horizontale.
2. Calculer la distance horizontale \(d\) occupée au sol par le panneau.
3. Le technicien installe 4 rangées de panneaux. Pour éviter les ombres portées, chaque rangée doit être espacée d'au moins \(1{,}5 \times h\). Calculer l'espacement minimal et la longueur totale nécessaire sur le toit.

Partie B – Routage de tuyauteries

Dans la chaufferie, un tuyau horizontal doit rejoindre un collecteur situé 1,20 m plus haut et 2 m en avant (horizontalement).

4. Calculer l'angle d'inclinaison du tuyau par rapport à l'horizontale.
5. Calculer la longueur totale du tuyau incliné.
6. Un coude de dérivation fait un angle de 45° avec le tuyau principal. Si une force de poussée de \(F = 800\) N s'exerce le long du tuyau, calculer les composantes horizontale et verticale de cette force.
Rappel : \(F_x = F \cos 45°\) et \(F_y = F \sin 45°\).

Réponses : ……………………………

Mes calculs :

Partie A

1. \(h = L \times \sin \beta = 2 \times \sin 35° = 2 \times 0{,}5736 =\) \(1{,}15\) m

2. \(d = L \times \cos \beta = 2 \times \cos 35° = 2 \times 0{,}8192 =\) \(1{,}64\) m

3. Espacement = \(1{,}5 \times h = 1{,}5 \times 1{,}15 =\) \(1{,}72\) m
Longueur totale = \(4 \times d + 3 \times 1{,}72 = 4 \times 1{,}64 + 3 \times 1{,}72 = 6{,}56 + 5{,}16 =\) \(11{,}72\) m

Partie B

4. \(\tan \alpha = \dfrac{1{,}20}{2} = 0{,}6\)
\(\alpha = \arctan(0{,}6) \approx 30{,}96° \approx 31°\)

5. \(\ell = \sqrt{1{,}20^2 + 2^2} = \sqrt{1{,}44 + 4} = \sqrt{5{,}44} \approx\) \(2{,}33\) m

6. Avec \(F = 800\) N et un angle de 45° :
\(F_x = 800 \times \cos 45° = 800 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx\) \(565{,}7\) N (composante horizontale)
\(F_y = 800 \times \sin 45° = 800 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx\) \(565{,}7\) N (composante verticale)
Les deux composantes sont égales car l'angle est de 45°.

Exercice 31 Calcul de distance inaccessible par triangulation Approfondissement

Contexte : Un conducteur de travaux doit mesurer la largeur d'une rivière pour planifier la pose de canalisations de part et d'autre. Il ne peut pas traverser. Il utilise la triangulation.

Il place deux jalons \(A\) et \(B\) espacés de 20 m sur la rive. Depuis \(A\), il vise un point \(C\) de l'autre rive avec un angle de 70° par rapport à \(AB\). Depuis \(B\), il vise le même point \(C\) avec un angle de 65° par rapport à \(BA\).

1. Calculer l'angle \(\widehat{ACB}\) dans le triangle \(ABC\).
2. En utilisant la loi des sinus, calculer les côtés \(AC\) et \(BC\).
3. En déduire la largeur de la rivière (distance du pied perpendiculaire de \(C\) sur \(AB\)).
Indication : la hauteur depuis \(C\) vaut \(h = AC \times \sin(\widehat{CAB})\).

Mes calculs :

1. \(\widehat{ACB} = 180° - 70° - 65° =\) \(45°\)

2. Rapport : \(\dfrac{AB}{\sin(\widehat{ACB})} = \dfrac{20}{\sin 45°} = \dfrac{20}{0{,}7071} \approx 28{,}28\)
\(AC = 28{,}28 \times \sin 65° = 28{,}28 \times 0{,}9063 \approx\) \(25{,}6\) m
\(BC = 28{,}28 \times \sin 70° = 28{,}28 \times 0{,}9397 \approx\) \(26{,}6\) m

3. Hauteur \(h = AC \times \sin(\widehat{CAB}) = 25{,}6 \times \sin 70° = 25{,}6 \times 0{,}9397 \approx\) \(24{,}1\) m
La rivière fait environ 24,1 m de large.

Exercice 32 Étude d'un signal périodique — modélisation sinusoïdale Approfondissement

Contexte : Un technicien en énergies renouvelables modélise la puissance instantanée (en W) fournie par une éolienne en fonction du temps. Le relevé indique une oscillation de la forme \(P(t) = A\cos(\omega t + \varphi)\) autour d'une valeur de base.

Le technicien observe que la puissance oscillante varie entre −120 W et +120 W, avec une période de \(T = 0{,}02\) s (réseau 50 Hz). Il modélise : \(P(t) = 120\cos(100\pi t)\).

1. Vérifier que la période est bien \(T = 0{,}02\) s en montrant que \(P(t + T) = P(t)\).
Rappel : \(\cos(x + 2\pi) = \cos(x)\)
2. Calculer \(P(0)\), \(P(0{,}005)\), \(P(0{,}01)\), \(P(0{,}015)\), \(P(0{,}02)\).
3. Résoudre \(P(t) = 60\) sur \([0\,;\,0{,}02]\). Donner les solutions exactes en utilisant \(\arccos\).
4. Sur quelle fraction de la période la puissance est-elle positive ?

Mes calculs :

1. \(P(t + 0{,}02) = 120\cos(100\pi(t + 0{,}02)) = 120\cos(100\pi t + 2\pi) = 120\cos(100\pi t) = P(t)\) ✓

2.
\(P(0) = 120\cos(0) =\) 120 W
\(P(0{,}005) = 120\cos(\pi/2) =\) 0 W
\(P(0{,}01) = 120\cos(\pi) =\) −120 W
\(P(0{,}015) = 120\cos(3\pi/2) =\) 0 W
\(P(0{,}02) = 120\cos(2\pi) =\) 120 W

3. \(120\cos(100\pi t) = 60\) → \(\cos(100\pi t) = 0{,}5\)
\(100\pi t = \dfrac{\pi}{3}\) ou \(100\pi t = \dfrac{5\pi}{3}\)
\(t_1 = \dfrac{1}{300} \approx 0{,}00333\) s et \(t_2 = \dfrac{1}{60} \approx 0{,}01667\) s

4. La puissance est positive pour \(100\pi t \in [-\pi/2\,;\,\pi/2]\) soit \(t \in [0\,;\,0{,}005]\) et \(t \in [0{,}015\,;\,0{,}02]\). Durée totale = \(0{,}005 + 0{,}005 = 0{,}01\) s = 50 % de la période.

Exercice 33 Problème de charpente — ferme avec contrefiches Approfondissement

Contexte : Un charpentier conçoit une ferme de toit asymétrique. Le bâtiment a une portée de 10 m. Le faîtage se trouve à 4 m de hauteur, mais est décalé : il est situé à 3 m du mur gauche et 7 m du mur droit.

1. Calculer l'angle d'inclinaison \(\alpha\) du pan gauche (côté de 3 m horizontalement et 4 m de hauteur).
2. Calculer l'angle d'inclinaison \(\beta\) du pan droit (côté de 7 m horizontalement et 4 m de hauteur).
3. Calculer la longueur de chaque arbalétrier (pan gauche et pan droit).
4. Le charpentier doit régler sa scie à onglet pour couper les arbalétriers. Quel angle doit-il utiliser pour chaque coupe au faîtage ?
L'angle de coupe au faîtage est le complément de l'angle d'inclinaison par rapport à l'horizontale.

Mes calculs :

1. \(\tan\alpha = \dfrac{4}{3}\) → \(\alpha = \arctan(4/3) \approx 53{,}1°\)

2. \(\tan\beta = \dfrac{4}{7}\) → \(\beta = \arctan(4/7) \approx 29{,}7°\)

3.
Arbalétrier gauche : \(L_1 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} =\) \(5\) m
Arbalétrier droit : \(L_2 = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{65} \approx\) \(8{,}06\) m

4.
Angle de coupe gauche : \(90° - 53{,}1° =\) \(36{,}9°\)
Angle de coupe droit : \(90° - 29{,}7° =\) \(60{,}3°\)

Exercice 34 Décomposition d'une force en composantes — installation d'un équipement Approfondissement

Contexte : Un installateur de pompes à chaleur fixe un module extérieur sur une façade inclinée à 15° de la verticale. La pompe à chaleur pèse 85 kg. Il doit calculer les forces exercées sur les ancrages pour choisir les boulons appropriés.

Le poids de l'appareil est \(P = 85 \times 9{,}81 = 833{,}85\) N. Il est vertical (vers le bas). La façade fait un angle de 15° avec la verticale.

1. Décomposer le poids en une composante perpendiculaire à la façade et une composante parallèle à la façade.
Composante perpendiculaire : \(P_\perp = P\cos(15°)\) ; composante parallèle : \(P_{//} = P\sin(15°)\)
2. Calculer \(P_\perp\) et \(P_{//}\).
3. La composante parallèle tend à faire glisser l'appareil vers le bas de la pente. Un boulon de 10 mm supporte 500 N de cisaillement. Combien faut-il au minimum de boulons pour reprendre cette force ?
4. Si la façade était parfaitement verticale (angle 0°), quel serait le résultat ?

Mes calculs :

1. Composante perpendiculaire = \(P\cos(15°)\) (force d'appui sur la façade). Composante parallèle = \(P\sin(15°)\) (force de glissement).

2.
\(P_\perp = 833{,}85 \times \cos(15°) = 833{,}85 \times 0{,}9659 \approx\) \(805{,}5\) N
\(P_{//} = 833{,}85 \times \sin(15°) = 833{,}85 \times 0{,}2588 \approx\) \(215{,}8\) N

3. Nombre de boulons \(= \dfrac{215{,}8}{500} = 0{,}43\) → arrondir à l'entier supérieur : au moins 1 boulon. Par sécurité, on en pose toujours au moins 2.

4. Façade verticale : \(\sin(0°) = 0\) → \(P_{//} = 0\) N (pas de force de glissement) et \(P_\perp = P\) (tout le poids s'exerce perpendiculairement).