Terminale Bac Pro | ERA · TMA · ICCER (Groupement B) | Géométrie
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 03:00
Hors programme groupement B — proposé en ouverture
La trigonométrie (vecteurs de Fresnel, équations trigonométriques) est le module de géométrie du groupement A.
Les spécialités préparées sur ce site (installation en chauffage-climatisation, agencement, menuiserie-aménagement) relèvent du groupement B, dont le module de géométrie est « Vecteurs dans l'espace » (chapitre 6).
Ce chapitre est proposé en complément, notamment pour la poursuite d'études (BTS électrotechnique, maintenance…).
Objectifs du chapitre :
Connaître et utiliser les valeurs remarquables de sin, cos, tan (0°, 30°, 45°, 60°, 90°)
Convertir des angles entre degrés et radians ; lire le cercle trigonométrique
Utiliser la relation fondamentale \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\)
Tracer et interpréter les courbes de sin et cos ; identifier période et amplitude
Résoudre des équations du type \(\sin(x)=a\) ou \(\cos(x)=a\) sur un intervalle donné
Appliquer la loi des sinus et la loi des cosinus dans des triangles quelconques
Résoudre des problèmes professionnels : coupes de boiserie, inclinaison panneau solaire, longueurs de canalisations
Situation professionnelle — Calculs de longueurs en charpente
Un menuisier charpentier doit calculer la longueur d'un chevron, la hauteur d'un faîtage ou l'angle d'une coupe d'onglet. Ces calculs font directement appel à la trigonométrie : sinus, cosinus, loi des sinus et loi des cosinus.
1. Rappels — Trigonométrie dans le triangle rectangle
Définition
Dans un triangle rectangle en C, avec un angle \(\alpha\) en A :
\[
\sin\alpha = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad
\cos\alpha = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad
\tan\alpha = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}
\]
Moyen mnémotechnique : SOH‑CAH‑TOA
Tableau des valeurs remarquables
Angle \(\alpha\)
0°
30°
45°
60°
90°
Radians
\(0\)
\(\dfrac{\pi}{6}\)
\(\dfrac{\pi}{4}\)
\(\dfrac{\pi}{3}\)
\(\dfrac{\pi}{2}\)
\(\sin\alpha\)
\(0\)
\(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}707\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866\)
\(1\)
\(\cos\alpha\)
\(1\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866\)
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}707\)
\(\dfrac{1}{2}\)
\(0\)
\(\tan\alpha\)
\(0\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}577\)
\(1\)
\(\sqrt{3}\approx 1{,}732\)
indéfini
Attention
\(\sin\) et \(\cos\) sont toujours compris entre \(-1\) et \(1\). La tangente peut prendre n'importe quelle valeur réelle ; elle n'est pas définie pour \(90°+k\times180°\).
Application
Un chevron forme un angle de 40° avec l'horizontale. La longueur du chevron est 4,20 m. Calcule la hauteur \(h\) atteinte sur la façade et la distance horizontale \(d\).
Définition — Radian
Le radian est l'unité d'angle du Système International.
\[1 \text{ tour complet} = 360° = 2\pi \text{ rad}\]
Formules de conversion :
\[
\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{°} \times \frac{\pi}{180} \qquad\qquad
\alpha_{°} = \alpha_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi}
\]
Définition — Cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens antihoraire. Pour un angle \(x\), le point \(M\) sur ce cercle a pour coordonnées :
\[M = (\cos x,\; \sin x)\]
Ainsi \(\cos x\) est l'abscisse et \(\sin x\) est l'ordonnée du point \(M\).
Angle : 45° = π/4 rad
sin(45°) ≈ 0.7071 | cos(45°) ≈ 0.7071
▬ cos(x)
▬ sin(x)
▬ angle
Relation fondamentale
Pour tout angle \(x\) :
\[\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\]
C'est le théorème de Pythagore appliqué au cercle de rayon 1 : le point \(M(\cos x, \sin x)\) est toujours à distance 1 de l'origine.
3. Fonctions sinus et cosinus — Courbes
Propriétés
Les fonctions \(f(x)=\sin x\) et \(g(x)=\cos x\) sont définies sur \(\mathbb{R}\).
Période : \(2\pi\) (360°) — les courbes se répètent tous les \(2\pi\)
Amplitude : 1 — les valeurs sont toujours dans \([-1\,;\,1]\)
\(\cos(x) = \sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\) — le cosinus est le sinus décalé de 90°
À retenir
Sur le graphique : la courbe de \(\cos\) est identique à celle de \(\sin\), mais décalée d'un quart de période vers la gauche (soit \(\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\) rad).
4. Résolution d'équations trigonométriques
Méthode — Résoudre \(\sin(x) = a\) Condition : \(a \in [-1\,;\,1]\) Étape 1 : Solution principale : \(x_0 = \arcsin(a)\) à la calculatrice. Étape 2 : Deuxième solution sur \([0\,;\,2\pi]\) : \(x_1 = \pi - x_0\). Étape 3 : Ensemble des solutions :
\[x = x_0 + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - x_0 + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})\]
Sur un intervalle donné, on sélectionne les valeurs de \(k\) qui conviennent.
Méthode — Résoudre \(\cos(x) = a\) Condition : \(a \in [-1\,;\,1]\) Étape 1 : Solution principale : \(x_0 = \arccos(a)\) à la calculatrice. Étape 2 : Deuxième solution sur \([0\,;\,2\pi]\) : \(x_1 = 2\pi - x_0\). Étape 3 : Ensemble des solutions :
\[x = x_0 + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -x_0 + 2k\pi \qquad (k \in \mathbb{Z})\]
Exemple résolu Résoudre \(\sin(x) = 0{,}5\) sur \([0\,;\,2\pi]\). Solution principale : \(x_0 = \arcsin(0{,}5) = \dfrac{\pi}{6} \approx 0{,}524\) rad (= 30°)Deuxième solution : \(x_1 = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \approx 2{,}618\) rad (= 150°)
Solutions sur \([0\,;\,2\pi]\) : \(\quad x = \dfrac{\pi}{6}\) et \(x = \dfrac{5\pi}{6}\)
5. Formules d'addition (niveau Bac Pro)
Formules d'addition
\[
\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
\]
\[
\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
\]
Cas particulier (\(a = b\)) — Formules de duplication :
\[
\sin(2a) = 2\sin a \cos a \qquad \cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a
\]
6. Triangles quelconques — Loi des sinus et loi des cosinus
Loi des sinus
Dans tout triangle \(ABC\), avec \(a = BC\), \(b = CA\), \(c = AB\) :
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
Quand utiliser : on connaît un côté, l'angle opposé et un autre angle (ou côté).
Loi des cosinus (généralisation de Pythagore)
Dans tout triangle \(ABC\) :
\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
\]
\[
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
\]
Quand utiliser : on connaît trois côtés (chercher un angle) ou deux côtés et l'angle entre eux.
Cas particulier
Si \(A = 90°\), alors \(\cos A = 0\) et la loi des cosinus donne \(a^2 = b^2 + c^2\) : on retrouve le théorème de Pythagore.
Application
Dans un triangle, \(\hat{A} = 50°\), \(\hat{B} = 70°\), \(a = 5\,\text{m}\). Calcule le côté \(b\) avec la loi des sinus.
Contexte ERA/TMA
Pour réaliser un cadre rectangulaire ou un encadrement de porte, on assemble des baguettes en coupe d'onglet à 45°. La longueur coupée diffère de la longueur visible.
Problème : Une baguette de largeur \(l = 4{,}5\) cm est coupée à 45°. Quelle est la longueur de la coupe en diagonale ? La coupe est l'hypoténuse d'un triangle isocèle rectangle de côté \(l\).Par Pythagore : \(d = \sqrt{l^2 + l^2} = l\sqrt{2} = 4{,}5 \times \sqrt{2} \approx 6{,}36\) cm
La coupe mesure environ 6,36 cm.
On peut aussi écrire : \(d = \dfrac{l}{\cos 45°} = \dfrac{4{,}5}{0{,}707} \approx 6{,}36\) cm.
7.2 Longueur d'un chevron de toit
Contexte ERA/TMA
Un toit à deux pans a une pente de 35°. La demi-largeur du bâtiment (projection horizontale) est \(L = 4{,}80\) m.
Calculer la longueur du chevron (rampant) \(r\) et la hauteur du faîtage. Le chevron forme un triangle rectangle : côté adjacent = 4,80 m, angle au sol = 35°.\(\cos 35° = \dfrac{L}{r}\), donc \(r = \dfrac{L}{\cos 35°} = \dfrac{4{,}80}{0{,}819} \approx 5{,}86\) mHauteur du faîtage : \(h = L\tan 35° = 4{,}80 \times 0{,}700 \approx 3{,}36\) m
Longueur du chevron : ≈ 5,86 m | Hauteur du faîtage : ≈ 3,36 m
7.3 Loi des sinus dans une ferme de toit
Contexte ERA/TMA — Triangle quelconque
Une ferme de toit forme un triangle avec : \(AB = 6{,}20\) m, \(\hat{A} = 52°\), \(\hat{B} = 73°\).
Calculer les longueurs \(BC\) et \(AC\). Angle en C : \(\hat{C} = 180° - 52° - 73° = 55°\)Loi des sinus : \(\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AB}{\sin C}\)
\[BC = AB \times \frac{\sin 52°}{\sin 55°} = 6{,}20 \times \frac{0{,}788}{0{,}819} \approx 5{,}96 \text{ m}\]
\[AC = AB \times \frac{\sin 73°}{\sin 55°} = 6{,}20 \times \frac{0{,}956}{0{,}819} \approx 7{,}23 \text{ m}\]
\(BC \approx 5{,}96\) m | \(AC \approx 7{,}23\) m
8. Applications professionnelles ICCER (Groupement B)
8.1 Inclinaison optimale d'un panneau solaire
Contexte professionnel — Énergie solaire
Pour maximiser la production d'énergie, un panneau solaire doit être orienté perpendiculairement aux rayons du soleil à midi au solstice d'hiver. La règle empirique est :
\[\alpha_{\text{opt}} = 90° - \varphi\]
où \(\varphi\) est la latitude du lieu.
À Paris (\(\varphi \approx 48°\,\text{N}\)) :
\[\alpha_{\text{opt}} = 90° - 48° = 42°\]
Un panneau de largeur \(L = 1{,}65\) m incliné à 42° occupe une emprise horizontale de :
\[d_h = L\cos 42° = 1{,}65 \times 0{,}743 \approx 1{,}23 \text{ m}\]
Et une hauteur verticale de :
\[d_v = L\sin 42° = 1{,}65 \times 0{,}669 \approx 1{,}10 \text{ m}\]
Angle optimal à Paris : 42° par rapport à l'horizontale.
Emprise horizontale ≈ 1,23 m | Hauteur ≈ 1,10 m
8.2 Longueur d'une canalisation oblique
Contexte professionnel — Plomberie / Climatisation
Une canalisation relie un point A au sol et un point B au plafond. La distance horizontale est \(d_h = 3{,}40\) m et la dénivelée est \(d_v = 2{,}20\) m.
1. Calculer la longueur \(L\) et l'angle d'inclinaison \(\theta\). Par Pythagore : \(L = \sqrt{3{,}40^2 + 2{,}20^2} = \sqrt{11{,}56 + 4{,}84} = \sqrt{16{,}40} \approx 4{,}05\) mAngle d'inclinaison : \(\tan\theta = \dfrac{2{,}20}{3{,}40} \approx 0{,}647\), donc \(\theta = \arctan(0{,}647) \approx 32{,}9°\)
Longueur de la canalisation : ≈ 4,05 m | Angle d'inclinaison : ≈ 32,9°
2. Réseau de climatisation — angle imposé à 38°, distance horizontale 5,00 m.
\[L = \frac{d_h}{\cos 38°} = \frac{5{,}00}{0{,}788} \approx 6{,}35 \text{ m}\]
\[d_v = d_h \tan 38° = 5{,}00 \times 0{,}781 \approx 3{,}91 \text{ m de dénivelée}\]
Longueur du conduit : ≈ 6,35 m | Dénivelée : ≈ 3,91 m
8.3 Loi des cosinus — Réseau de gaines
Contexte professionnel — Réseau de gaines
Deux tronçons de gaine partent d'un nœud O : \(OA = 3{,}20\) m, \(OB = 4{,}50\) m, angle entre eux = 110°.
Exercice 2ERA/TMA — Chevron de toiture
Un chevron est posé avec une pente de 28°. La projection horizontale mesure 5,40 m.
Calculer : (a) la longueur du chevron (b) la hauteur du faîtage.
Voir la correction
Exercice 3ICCER (Groupement B) — Longueur de canalisation
Une gaine relie deux points avec une dénivelée de 1,80 m et une distance horizontale de 4,20 m.
Calculer : (a) l'angle d'inclinaison (b) la longueur de la gaine.
Voir la correction
Exercice 4 — Loi des sinus
Dans un triangle ABC : \(AB = 7{,}50\) m, \(\hat{A} = 48°\), \(\hat{B} = 65°\).
Calculer les longueurs \(BC\) et \(AC\).
Voir la correction
Angle C : \(\hat{C} = 180° - 48° - 65° = 67°\)
Loi des sinus : \(\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AB}{\sin C}\)
Cours Terminale Bac Pro — ERA · TMA · ICCER | Chapitre 7 — Trigonométrie
Erreurs fréquentes
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Confondre le côté opposé et le côté adjacent
L'adjacent est le côté qui forme l'angle avec l'hypoténuse. L'opposé est en face de l'angle. Conseil : toujours faire un schéma avec l'angle repéré avant de calculer.
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Utiliser sin ou cos sans vérifier que la calculatrice est en degrés
Si la calculatrice est en radians, \(\sin(30)\) ne donne pas 0,5 mais \(\sin(30\,\text{rad})\). Conseil : vérifier le mode de la calculatrice (DEG / RAD) avant tout calcul trigonométrique.
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Appliquer la loi des sinus quand on ne connaît pas un angle et son côté opposé
La loi des sinus nécessite de connaître au moins une paire angle-côté opposé. Conseil : si on ne connaît que des côtés, utiliser la loi des cosinus.
❌
Oublier d'identifier le bon angle dans la loi des cosinus
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) : \(C\) est l'angle opposé au côté \(c\). Conseil : nommer les angles et les côtés opposés avec les mêmes lettres.