Devoir Surveillé – Chapitre 7

Trigonométrie | T^le Bac Pro

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Connaître et utiliser les valeurs remarquables de sin, cos, tan (0°, 30°, 45°, 60°, 90°)
Convertir des angles entre degrés et radians ; lire le cercle trigonométrique
Utiliser la relation fondamentale \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\)
Tracer et interpréter les courbes de sin et cos ; identifier période et amplitude
Résoudre des équations du type \(\sin(x)=a\) ou \(\cos(x)=a\) sur un intervalle donné
Appliquer la loi des sinus et la loi des cosinus dans des triangles quelconques
Résoudre des problèmes professionnels : coupes de boiserie, inclinaison panneau solaire, longueurs de canalisations

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Socle DS guidé — Pas à pas

Exercice 1 – Hauteur d'un poteau (guidé) 10 points

Contexte : Un technicien doit calculer la hauteur d'un poteau. Depuis un point \(A\) situé à \(12\) m du pied \(B\) du poteau, il vise le sommet \(C\) avec un angle d'élévation de \(40°\).

Méthode SOH-CAH-TOA

\(\tan(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\) \(\sin(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\) \(\cos(\alpha) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)

1. (2 pts) Par rapport à l'angle de \(40°\), identifier :
• le côté opposé = \(\boxed{\phantom{BC = h}}\)
• le côté adjacent = \(\boxed{\phantom{AB = 12}}\)

2. (2 pts) Quelle formule trigonométrique relie l'opposé et l'adjacent ?
Réponse : \(\boxed{\phantom{\tan}}\)

3. (3 pts) Poser l'équation et calculer \(h\).
\(\tan(40°) = \dfrac{h}{\boxed{\phantom{12}}}\) donc \(h = \boxed{\phantom{12}} \times \tan(40°) = \boxed{\phantom{12}} \times \boxed{\phantom{0{,}839}} = \boxed{\phantom{10{,}07}}\) m

4. (3 pts) Calculer la distance \(AC\) (du point d'observation au sommet du poteau).
On connaît l'adjacent (\(12\) m) et on cherche l'hypoténuse → formule : \(\boxed{\phantom{\cos}}\)
\(\cos(40°) = \dfrac{12}{AC}\) donc \(AC = \dfrac{12}{\cos(40°)} = \dfrac{12}{\boxed{\phantom{0{,}766}}} = \boxed{\phantom{15{,}66}}\) m

1. Opposé = \(BC = h\), Adjacent = \(AB = 12\) m.

2. Formule \(\tan\) (TOA : opposé / adjacent).

3. \(h = 12 \times \tan(40°) = 12 \times 0{,}839 \approx 10{,}07\) m.

4. \(AC = \dfrac{12}{\cos(40°)} = \dfrac{12}{0{,}766} \approx 15{,}66\) m.

Exercice 2 – Pente d'un tuyau (guidé) 10 points

Contexte : Un technicien chauffagiste installe un tuyau d'évacuation qui relie un point \(D\) au sol à un point \(E\) situé à \(0{,}90\) m de hauteur. La longueur du tuyau (hypoténuse) est de \(3{,}20\) m.

1. (2 pts) Faire un schéma du triangle rectangle. Identifier l'hypoténuse (\(DE = 3{,}20\) m) et le côté opposé (hauteur = \(0{,}90\) m).

2. (3 pts) Calculer l'angle de pente \(\alpha\) du tuyau.
On connaît l'opposé et l'hypoténuse → formule : \(\boxed{\phantom{\sin}}\)
\(\sin(\alpha) = \dfrac{0{,}90}{3{,}20} = \boxed{\phantom{0{,}2813}}\)
\(\alpha = \arcsin(\boxed{\phantom{0{,}2813}}) = \boxed{\phantom{16{,}3°}}\)

3. (2 pts) Calculer la distance horizontale au sol \(DF\).
\(\cos(\alpha) = \dfrac{DF}{DE}\) donc \(DF = 3{,}20 \times \cos(\boxed{\phantom{16{,}3°}}) = 3{,}20 \times \boxed{\phantom{0{,}960}} = \boxed{\phantom{3{,}07}}\) m

4. (3 pts) Vérifier le résultat avec le théorème de Pythagore.
\(DF^2 + EF^2 = \boxed{\phantom{3{,}07}}^2 + \boxed{\phantom{0{,}90}}^2 = \boxed{\phantom{9{,}42}} + \boxed{\phantom{0{,}81}} = \boxed{\phantom{10{,}23}}\)
\(DE^2 = 3{,}20^2 = \boxed{\phantom{10{,}24}}\) → cohérent ✓

1. Triangle rectangle avec hyp. \(DE = 3{,}20\) m, opposé (hauteur) = \(0{,}90\) m.

2. \(\sin(\alpha) = \dfrac{0{,}90}{3{,}20} = 0{,}2813\). \(\alpha = \arcsin(0{,}2813) \approx 16{,}3°\).

3. \(DF = 3{,}20 \times \cos(16{,}3°) = 3{,}20 \times 0{,}960 \approx 3{,}07\) m.

4. \(3{,}07^2 + 0{,}90^2 = 9{,}42 + 0{,}81 = 10{,}23 \approx 3{,}20^2 = 10{,}24\) ✓

TOTAL SOCLE : 20 points

Standard DS standard

Exercice 1 – Triangle rectangle : côtés et angles 7 points

Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), avec \(AB = 5\) cm et \(\widehat{ABC} = 37°\).

1. (1,5 pt) Calculer la longueur \(AC\). Arrondir au dixième.

2. (1,5 pt) Calculer la longueur \(BC\) (l'hypoténuse). Arrondir au dixième.

3. (1 pt) En déduire la mesure de l'angle \(\widehat{ACB}\).

4. (1,5 pt) On considère un second triangle \(DEF\) rectangle en \(D\), avec \(DE = 8\) cm et \(EF = 10\) cm. Calculer l'angle \(\widehat{DEF}\) en degrés. Arrondir au degré.

5. (1,5 pt) Compléter sans calculatrice : \(\cos(60°) = \ldots\), \(\sin(30°) = \ldots\), \(\tan(45°) = \ldots\)

1. Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), l'angle \(\widehat{ABC} = 37°\). Par rapport à cet angle, \(AC\) est le côté opposé et \(AB = 5\) cm est le côté adjacent.
\(\tan(37°) = \dfrac{AC}{AB}\) donc \(AC = AB \times \tan(37°) = 5 \times \tan(37°) = 5 \times 0{,}7536 \approx 3{,}8\) cm.

2. \(\cos(37°) = \dfrac{AB}{BC}\) donc \(BC = \dfrac{AB}{\cos(37°)} = \dfrac{5}{0{,}7986} \approx 6{,}3\) cm.

3. La somme des angles d'un triangle vaut \(180°\). Donc \(\widehat{ACB} = 180° - 90° - 37° = 53°\).

4. Dans le triangle \(DEF\) rectangle en \(D\) : \(\cos(\widehat{DEF}) = \dfrac{DE}{EF} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8\).
\(\widehat{DEF} = \arccos(0{,}8) \approx 37°\).

5. \(\cos(60°) = \dfrac{1}{2}\), \(\sin(30°) = \dfrac{1}{2}\), \(\tan(45°) = 1\).

Exercice 2 – Coupe en onglet et chevron (contexte menuiserie) 7 points

Contexte : Un menuisier agenceur réalise la charpente d'un auvent. Le chevron repose sur une panne horizontale de 3,60 m de portée et doit atteindre une hauteur de 1,20 m au faîtage.

1. (2 pts) Représenter la situation par un triangle rectangle dont l'horizontale mesure 3,60 m et la hauteur 1,20 m. Calculer l'angle de pente \(\alpha\) du chevron par rapport à l'horizontale. Arrondir au degré.

2. (2 pts) Calculer la longueur du chevron (l'hypoténuse du triangle). Arrondir au centimètre.

3. (1,5 pt) Pour assembler deux plinthes dans un angle de pièce à \(90°\), le menuisier réalise une coupe en onglet. Quel est l'angle de coupe de chaque plinthe ?

4. (1,5 pt) Un second auvent a un chevron de 4,50 m et un angle de pente de \(25°\). Calculer la hauteur atteinte au faîtage. Arrondir au centimètre.

1. On a un triangle rectangle avec le côté horizontal = 3,60 m (adjacent) et la hauteur = 1,20 m (opposé).
\(\tan(\alpha) = \dfrac{1{,}20}{3{,}60} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}3333\)
\(\alpha = \arctan(0{,}3333) \approx 18°\).

2. Longueur du chevron \(L\) par Pythagore :
\(L = \sqrt{3{,}60^2 + 1{,}20^2} = \sqrt{12{,}96 + 1{,}44} = \sqrt{14{,}40} \approx 3{,}79\) m.
Vérification par trigonométrie : \(L = \dfrac{3{,}60}{\cos(18°)} = \dfrac{3{,}60}{0{,}9511} \approx 3{,}78\) m (cohérent aux arrondis près).

3. Pour un angle de pièce à \(90°\), chaque plinthe est coupée à \(\dfrac{90°}{2} = 45°\).

4. Hauteur \(h = L \times \sin(25°) = 4{,}50 \times 0{,}4226 \approx 1{,}90\) m.

Exercice 3 – Équations trigonométriques et formules 6 points

2 pts par question.

1. (2 pts) Résoudre l'équation \(\cos(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) pour \(x \in [0°\,;\,360°]\).

2. (2 pts) Résoudre l'équation \(\sin(x) = \dfrac{1}{2}\) pour \(x \in [0°\,;\,360°]\).

3. (2 pts) En utilisant la formule \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\), calculer \(\sin(x)\) sachant que \(\cos(x) = \dfrac{3}{5}\) et que \(x \in [0°\,;\,90°]\).

1. \(\cos(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). On sait que \(\cos(30°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Sur \([0°\,;\,360°]\), les solutions sont \(x = 30°\) et \(x = 360° - 30° = 330°\).

2. \(\sin(x) = \dfrac{1}{2}\). On sait que \(\sin(30°) = \dfrac{1}{2}\).
Sur \([0°\,;\,360°]\), les solutions sont \(x = 30°\) et \(x = 180° - 30° = 150°\).

3. \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\) donc \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) = 1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\).
Comme \(x \in [0°\,;\,90°]\), \(\sin(x) \geq 0\), donc \(\sin(x) = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\).

TOTAL : 20 points

Approfondissement DS approfondissement — Type BTS

Exercice 1 – Étude complète d'une charpente 10 points

Contexte : Un menuisier agenceur conçoit la charpente d'un atelier. Le bâtiment a une largeur de \(10\) m. Le toit est à deux pans symétriques avec une hauteur au faîtage de \(3{,}50\) m au-dessus des murs. Un poteau intermédiaire est placé à \(3\) m du mur gauche.

1. (2 pts) Calculer l'angle de pente \(\alpha\) du toit par rapport à l'horizontale.

2. (2 pts) Calculer la longueur d'un arbalétrier (du mur au faîtage).

3. (3 pts) Le poteau intermédiaire est vertical, placé à \(3\) m du mur gauche. En utilisant le théorème de Thalès ou la trigonométrie, calculer la hauteur de ce poteau (depuis le mur jusqu'au pan de toit).

4. (3 pts) Calculer la surface totale de toiture à couvrir, sachant que le bâtiment fait \(15\) m de long. En déduire le nombre de paquets de tuiles nécessaires si un paquet couvre \(3{,}5\) m².

1. Demi-largeur = \(5\) m, hauteur = \(3{,}50\) m.
\(\tan(\alpha) = \dfrac{3{,}50}{5} = 0{,}70\), donc \(\alpha = \arctan(0{,}70) \approx 35{,}0°\).

2. Arbalétrier \(= \dfrac{5}{\cos(35°)} = \dfrac{5}{0{,}8192} \approx 6{,}10\) m.
Vérification : \(\sqrt{5^2 + 3{,}5^2} = \sqrt{25 + 12{,}25} = \sqrt{37{,}25} \approx 6{,}10\) m ✓

3. À \(3\) m du mur, la hauteur sous le pan = \(\tan(\alpha) \times 3 = 0{,}70 \times 3 = 2{,}10\) m. Autrement par Thalès : \(\dfrac{h}{3{,}50} = \dfrac{3}{5}\), donc \(h = \dfrac{3 \times 3{,}50}{5} = 2{,}10\) m.

4. Surface d'un pan = arbalétrier × longueur = \(6{,}10 \times 15 = 91{,}5\) m².
Surface totale = \(2 \times 91{,}5 = 183\) m².
Nombre de paquets = \(\dfrac{183}{3{,}5} \approx 52{,}3\) → il faut 53 paquets.

Exercice 2 – Modélisation sinusoïdale d'un phénomène périodique 10 points

Contexte : Un technicien chauffagiste étudie la température extérieure sur une journée. La température (en °C) est modélisée par la fonction : \[T(t) = 5 \sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}(t - 9)\right) + 15\] où \(t\) est le temps en heures (\(t = 0\) correspond à minuit).

1. (2 pts) Déterminer l'amplitude, la période, le déphasage et la valeur moyenne de cette fonction sinusoïdale. Interpréter chaque paramètre.

2. (2 pts) Calculer la température à \(t = 9\) h, \(t = 15\) h et \(t = 21\) h.

3. (2 pts) À quelle heure la température maximale est-elle atteinte ? Quelle est cette température ?

4. (2 pts) Le chauffage s'enclenche quand \(T(t) < 12\) °C. Résoudre l'inéquation \(T(t) < 12\). Déterminer la plage horaire durant laquelle le chauffage fonctionne.

5. (2 pts) Le technicien veut calculer l'énergie consommée. La puissance de chauffage est proportionnelle à l'écart de température : \(P = k(20 - T(t))\) avec \(k = 150\) W/°C. Calculer la puissance à \(t = 3\) h.

1. Amplitude = \(5\) °C (variation max autour de la moyenne). Période = \(\dfrac{2\pi}{\pi/12} = 24\) h (cycle d'une journée). Déphasage = \(9\) h (le maximum est décalé à 15 h). Valeur moyenne = \(15\) °C.

2.
\(T(9) = 5\sin(0) + 15 = 15\) °C.
\(T(15) = 5\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12} \times 6\right) + 15 = 5\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + 15 = 5 + 15 = 20\) °C.
\(T(21) = 5\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12} \times 12\right) + 15 = 5\sin(\pi) + 15 = 15\) °C.

3. Le max de \(\sin\) est \(1\), atteint quand \(\dfrac{\pi}{12}(t-9) = \dfrac{\pi}{2}\), soit \(t - 9 = 6\), donc \(t = 15\) h. Température maximale = \(5 + 15 = 20\) °C.

4. \(T(t) < 12\) ⟺ \(5\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}(t-9)\right) + 15 < 12\) ⟺ \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}(t-9)\right) < -0{,}6\).
\(\arcsin(-0{,}6) \approx -0{,}6435\) rad. Les solutions : \(\dfrac{\pi}{12}(t-9) \in ]\pi + 0{,}6435\;;\; 2\pi - 0{,}6435[\).
Soit \(t \in ]0{,}54\;;\; 5{,}54[\) h, environ de 0 h 30 à 5 h 30.

5. \(T(3) = 5\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}(3-9)\right) + 15 = 5\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) + 15 = -5 + 15 = 10\) °C.
\(P = 150 \times (20 - 10) = 150 \times 10 = 1\,500\) W = \(1{,}5\) kW.

TOTAL APPROFONDISSEMENT : 20 points