🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Utiliser les coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormé.
Calculer la norme d'un vecteur et la distance entre deux points.
Tester la colinéarité de deux vecteurs.
Déterminer et exploiter l'équation cartésienne d'une droite.
Calculer la distance d'un point à une droite.
Introduire les vecteurs dans l'espace (coordonnées 3D).

Fiche résumé — Vecteurs

Chapitre 6 | Terminale Bac Pro | Mathématiques

Coordonnées d'un vecteur

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\)

Toujours arrivée moins départ.

Opérations sur les vecteurs

\(\vec{u}+\vec{v} = \begin{pmatrix}a+c\\b+d\end{pmatrix}\quad k\vec{u} = \begin{pmatrix}ka\\kb\end{pmatrix}\)

Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)

Norme (distance)

\(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

La norme est toujours \(\geq 0\), même si les coordonnées sont négatives.

Milieu d'un segment

\(I\!\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\)

En 3D, ajouter \(\dfrac{z_A+z_B}{2}\) pour la troisième coordonnée.

Colinéarité (déterminant)

\(\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}\) colinéaires \(\iff ad - bc = 0\)

Colinéaires = droites parallèles ou confondues
3 points alignés \(\iff\) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires

Équation cartésienne d'une droite

\(ax + by + c = 0\)

Vecteur directeur : \(\vec{d}=\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\)
Vecteur normal : \(\vec{n}=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\)
Parallèles \(\iff ab'-ba'=0\)
Perpendiculaires \(\iff aa'+bb'=0\)

Distance point-droite

\(d(M,\Delta) = \dfrac{|ax_M + by_M + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

Droite \(\Delta : ax+by+c=0\), point \(M(x_M;y_M)\).

Vecteurs dans l'espace (3D)

\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}\Delta x\\\Delta y\\\Delta z\end{pmatrix}\quad \|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}\)

Mêmes règles qu'en 2D avec une coordonnée supplémentaire.

Pièges et astuces

Piège 1 : Pour \(\overrightarrow{AB}\), c'est « B moins A » (arrivée moins départ). Inverser donne le vecteur opposé !

Piège 2 : Ne pas oublier les valeurs absolues au numérateur dans la formule de distance point-droite.

Piège 3 : Le déterminant \(ad-bc\) n'est pas commutatif : attention à l'ordre des coordonnées.

Astuce : Pour trouver l'équation cartésienne passant par \(A\) et \(B\) : calculer \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}d_1\\d_2\end{pmatrix}\), puis l'équation est \(d_2(x-x_A) - d_1(y-y_A) = 0\).

Astuce : Pour vérifier un résultat, remplacer les coordonnées des points connus dans l'équation obtenue.