← RETOUR SOMMAIRE

Exercices – Chapitre 6

Vecteurs  |  Terminale Bac Pro  |  ERA · TMA · ICCER (Grpt 1)

Dernière mise à jour : 11 mars 2026

Compétences travaillées :
Exercice 1 Calculer les coordonnées d'un vecteur Socle

Dans un repère orthonormé, on donne les points suivants. Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) dans chaque cas :

a) \(A(2\,;\,3)\) et \(B(5\,;\,7)\)
\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}…\\…\end{pmatrix}\)
b) \(A(-1\,;\,4)\) et \(B(3\,;\,-2)\)
\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}…\\…\end{pmatrix}\)
c) \(A(0\,;\,-5)\) et \(B(-3\,;\,1)\)
\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}…\\…\end{pmatrix}\)

Rappel : si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), alors \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B - x_A\\y_B - y_A\end{pmatrix}\).

a) \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5-2\\7-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\)

b) \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-(-1)\\-2-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-6\end{pmatrix}\)

c) \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-3-0\\1-(-5)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\6\end{pmatrix}\)

Exercice 2 Calculer la norme d'un vecteur Socle

Calculer la norme de chaque vecteur. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.

a) \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\)
\(\|\vec{u}\| = …\)
b) \(\vec{v}\begin{pmatrix}-5\\12\end{pmatrix}\)
\(\|\vec{v}\| = …\)
c) \(\vec{w}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\)
\(\|\vec{w}\| = …\)

Rappel : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\)

a) \(\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25}\) → \(\|\vec{u}\| = 5\)

b) \(\|\vec{v}\| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169}\) → \(\|\vec{v}\| = 13\)

c) \(\|\vec{w}\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}\) → \(\|\vec{w}\| \approx 3{,}6\)

Exercice 3 Reconnaître des vecteurs égaux Socle

On donne les points \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,6)\), \(C(0\,;\,-1)\) et \(D(3\,;\,3)\).

1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et de \(\overrightarrow{CD}\).
2. Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont-ils égaux ? Justifier.
3. Que peut-on en déduire sur le quadrilatère \(ABDC\) ?
Réponses : ………………………………………………

1. \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4-1\\6-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}3-0\\3-(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\)

2. \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) car les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées \(\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\).

3. Comme \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\), \(ABDC\) est un parallélogramme (les côtés \([AB]\) et \([CD]\) sont parallèles et de même longueur).

Exercice 4 Identifier des vecteurs sur une figure — méthode guidée Socle

On donne les points \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,5)\) et \(C(2\,;\,6)\) dans un repère orthonormé.

Méthode pour calculer les coordonnées d'un vecteur :
Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), alors \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B - x_A\\y_B - y_A\end{pmatrix}\).
On fait : coordonnée d'arrivée moins coordonnée de départ.
1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) en complétant :

\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B - x_A\\y_B - y_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{4}} - \boxed{\phantom{1}}\\ \boxed{\phantom{5}} - \boxed{\phantom{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{3}}\\ \boxed{\phantom{3}}\end{pmatrix}\)

2. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AC}\) en complétant :

\(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}x_C - x_A\\y_C - y_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{2}} - \boxed{\phantom{1}}\\ \boxed{\phantom{6}} - \boxed{\phantom{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{1}}\\ \boxed{\phantom{4}}\end{pmatrix}\)

3. Dessiner les flèches de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sur le quadrillage ci-dessous en partant du point \(A\).
Flèche \(\overrightarrow{AB}\) : je pars de \(A\), j'avance de \(\boxed{\phantom{3}}\) vers la droite et \(\boxed{\phantom{3}}\) vers le haut.
Flèche \(\overrightarrow{AC}\) : je pars de \(A\), j'avance de \(\boxed{\phantom{1}}\) vers la droite et \(\boxed{\phantom{4}}\) vers le haut.

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4-1\\5-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}\)

2. \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2-1\\6-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}\)

3. \(\overrightarrow{AB}\) : 3 carreaux à droite, 3 carreaux en haut. \(\overrightarrow{AC}\) : 1 carreau à droite, 4 carreaux en haut.

Exercice 5 Calculer somme et différence de vecteurs — pas à pas Socle

On donne \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\).

Méthode pour additionner deux vecteurs :
On additionne les premières coordonnées entre elles, puis les secondes entre elles :
\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix}x_u + x_v\\y_u + y_v\end{pmatrix}\)
1. Calculer \(\vec{u} + \vec{v}\) en complétant :

\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{3}} + \boxed{\phantom{2}}\\ \boxed{\phantom{-1}} + \boxed{\phantom{4}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{5}}\\ \boxed{\phantom{3}}\end{pmatrix}\)

2. Calculer \(\vec{u} - \vec{v}\) en complétant :

\(\vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{3}} - \boxed{\phantom{2}}\\ \boxed{\phantom{-1}} - \boxed{\phantom{4}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{1}}\\ \boxed{\phantom{-5}}\end{pmatrix}\)

3. Calculer \(2\vec{u}\) en complétant :

\(2\vec{u} = 2 \times \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \times \boxed{\phantom{3}}\\2 \times \boxed{\phantom{-1}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{6}}\\ \boxed{\phantom{-2}}\end{pmatrix}\)

4. Calculer la norme \(\|\vec{u}\|\) en complétant :

\(\|\vec{u}\| = \sqrt{x_u^2 + y_u^2} = \sqrt{\boxed{\phantom{3}}^2 + (\boxed{\phantom{-1}})^2} = \sqrt{\boxed{\phantom{9}} + \boxed{\phantom{1}}} = \sqrt{\boxed{\phantom{10}}} \approx \boxed{\phantom{3{,}2}}\)

1. \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix}3+2\\-1+4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\)

2. \(\vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix}3-2\\-1-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\-5\end{pmatrix}\)

3. \(2\vec{u} = \begin{pmatrix}6\\-2\end{pmatrix}\)

4. \(\|\vec{u}\| = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} \approx 3{,}2\)

Exercice 6 Déplacement d'un panneau — situation professionnelle guidée Socle
Contexte : Un menuisier agenceur doit déplacer un panneau de bois rectangulaire dans son atelier. Le coin inférieur gauche du panneau est au point \(A(1\,;\,2)\) (unité : 1 m). Il pousse le panneau de 3 m vers la droite puis de 2 m vers le haut.
Méthode : Un déplacement de 3 m vers la droite et 2 m vers le haut correspond au vecteur \(\vec{d}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\).
Le nouveau point \(B\) vérifie \(\overrightarrow{AB} = \vec{d}\), donc \(B(x_A + 3\,;\, y_A + 2)\).
1. Compléter les coordonnées du point d'arrivée \(B\) :

\(B\left(\boxed{\phantom{1}} + \boxed{\phantom{3}}\;;\; \boxed{\phantom{2}} + \boxed{\phantom{2}}\right) = B\left(\boxed{\phantom{4}}\;;\; \boxed{\phantom{4}}\right)\)

2. Calculer la distance parcourue \(AB\) (la norme du vecteur déplacement) :

\(AB = \|\vec{d}\| = \sqrt{\boxed{\phantom{3}}^2 + \boxed{\phantom{2}}^2} = \sqrt{\boxed{\phantom{9}} + \boxed{\phantom{4}}} = \sqrt{\boxed{\phantom{13}}} \approx \boxed{\phantom{3{,}6}}\) m

3. Après ce premier déplacement, le menuisier pousse à nouveau le panneau de \(\vec{d_2}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\). Calculer la position finale \(C\) :

\(C\left(\boxed{\phantom{4}} + (\boxed{\phantom{-1}})\;;\; \boxed{\phantom{4}} + \boxed{\phantom{3}}\right) = C\left(\boxed{\phantom{3}}\;;\; \boxed{\phantom{7}}\right)\)

4. Quel vecteur unique \(\overrightarrow{AC}\) aurait permis d'aller directement de \(A\) à \(C\) ? (relation de Chasles)

\(\overrightarrow{AC} = \vec{d} + \vec{d_2} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{3}} + (\boxed{\phantom{-1}})\\ \boxed{\phantom{2}} + \boxed{\phantom{3}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{2}}\\ \boxed{\phantom{5}}\end{pmatrix}\)

1. \(B(1+3\,;\,2+2) = B(4\,;\,4)\)

2. \(AB = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} \approx 3{,}6\) m

3. \(C(4+(-1)\,;\,4+3) = C(3\,;\,7)\)

4. \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}3+(-1)\\2+3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\). C'est la relation de Chasles : \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\).

Exercice 16 Lire les coordonnées d'un vecteur dans un repère Socle
Rappel Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), alors \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}x_B - x_A\\y_B - y_A\end{pmatrix}\).

On donne les points : \(A(1\,;\,3)\), \(B(5\,;\,7)\), \(C(2\,;\,-1)\), \(D(-3\,;\,4)\).

Calculer les coordonnées des vecteurs :
a) \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}\ldots\\\ldots\end{pmatrix}\)    b) \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}\ldots\\\ldots\end{pmatrix}\)    c) \(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix}\ldots\\\ldots\end{pmatrix}\)
……………

a) \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}5-1\\7-3\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\)

b) \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2-1\\-1-3\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}1\\-4\end{pmatrix}\)

c) \(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix}-3-2\\4-(-1)\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}-5\\5\end{pmatrix}\)

Exercice 17 Calculer la norme — distances dans un atelier Socle
Contexte : Dans un atelier de menuiserie, la machine A est en \((0\,;\,0)\), la machine B en \((3\,;\,4)\) et la machine C en \((6\,;\,0)\) (unités en mètres).
Rappel Norme : \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\).
1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
……………
2. Calculer \(AB\) et \(BC\) (en mètres, arrondir au dixième).
……………
3. Calculer \(AC\) directement. Que remarque-t-on ?
……………

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\) ; \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\)

2. \(AB = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = \)5 m ; \(BC = \sqrt{9+16} = \)5 m

3. \(AC = \sqrt{(6-0)^2 + 0^2} = \sqrt{36} = \)6 m. \(AB = BC\) : le triangle \(ABC\) est isocèle.

Exercice 18 Tester la colinéarité — guide pas à pas Socle
Rappel \(\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}\) sont colinéaires si \(ad - bc = 0\).
Pour chaque paire, calculer \(ad - bc\) et conclure :
a) \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}\) : \(1\times 6 - 2\times 3 = \ldots\) → ……………
b) \(\vec{u}\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}\) : \(4\times 3 - (-2)\times 6 = \ldots\) → ……………
c) \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}4\\10\end{pmatrix}\) : \(\ldots - \ldots = \ldots\) → ……………
……………

a) \(1 \times 6 - 2 \times 3 = 6 - 6 = 0\) → colinéaires (en effet \(\vec{v} = 3\vec{u}\))

b) \(4 \times 3 - (-2) \times 6 = 12 + 12 = 24 \neq 0\) → non colinéaires

c) \(2 \times 10 - 5 \times 4 = 20 - 20 = 0\) → colinéaires (en effet \(\vec{v} = 2\vec{u}\))

Exercice 19 Milieu d'un segment — plan de pose Socle
Contexte : Un poseur de cuisines place deux points d'ancrage \(A(2\,;\,1)\) et \(B(8\,;\,5)\) (en dm). Il doit trouver le point de fixation central \(M\), milieu de \([AB]\).
Rappel Milieu de \([AB]\) : \(M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)\).
1. Calculer les coordonnées du milieu \(M\).
\(M(\ldots\,;\,\ldots)\)
2. Calculer \(\overrightarrow{AM}\) et vérifier que \(\|\overrightarrow{AM}\| = \|\overrightarrow{MB}\|\).
……………

1. \(M\left(\dfrac{2+8}{2}\,;\,\dfrac{1+5}{2}\right) = \)\(M(5\,;\,3)\)

2. \(\overrightarrow{AM} = \begin{pmatrix}5-2\\3-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\) ; \(\overrightarrow{MB} = \begin{pmatrix}8-5\\5-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\).
\(\|\overrightarrow{AM}\| = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}\) et \(\|\overrightarrow{MB}\| = \sqrt{13}\) → égaux ✓ (\(M\) est bien le milieu)

Exercice 7 Vérifier la colinéarité par le déterminant Standard

Rappel : deux vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}\) sont colinéaires si et seulement si \(\det(\vec{u},\vec{v}) = ad - bc = 0\).

Déterminer si les vecteurs sont colinéaires dans chaque cas :
a) \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\)
\(\det(\vec{u},\vec{v}) = … \quad\) Colinéaires : oui / non
b) \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}\)
\(\det(\vec{u},\vec{v}) = … \quad\) Colinéaires : oui / non
c) \(\vec{u}\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\)
\(\det(\vec{u},\vec{v}) = … \quad\) Colinéaires : oui / non

a) \(\det(\vec{u},\vec{v}) = 2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0\) → colinéaires (en effet \(\vec{v} = 2\vec{u}\))

b) \(\det(\vec{u},\vec{v}) = 3 \times 2 - (-1) \times 6 = 6 + 6 = 12 \neq 0\) → non colinéaires

c) \(\det(\vec{u},\vec{v}) = (-4) \times (-3) - 6 \times 2 = 12 - 12 = 0\) → colinéaires (en effet \(\vec{u} = -2\vec{v}\))

Exercice 8 Appliquer la relation de Chasles Standard

On donne trois points \(A\), \(B\) et \(C\) dans un repère.

1. Écrire la relation de Chasles pour \(\overrightarrow{AC}\) en passant par \(B\).
2. On donne \(A(1\,;\,3)\), \(B(4\,;\,5)\) et \(C(7\,;\,1)\). Vérifier la relation en calculant chaque vecteur.
3. Calculer le milieu \(M\) du segment \([AC]\).
Réponses : ………………………………

1. Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\)

2. Calculs :

  • \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4-1\\5-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\)
  • \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}7-4\\1-5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\)
  • \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}3+3\\2+(-4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\-2\end{pmatrix}\)
  • \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}7-1\\1-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\-2\end{pmatrix}\) ✓

La relation de Chasles est vérifiée.

3. Milieu \(M\) de \([AC]\) : \(M\left(\dfrac{1+7}{2}\,;\,\dfrac{3+1}{2}\right)\) → \(M(4\,;\,2)\)

Exercice 9 Trouver un point à partir d'un vecteur Standard

On donne \(A(2\,;\,-1)\) et \(\vec{u}\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\).

1. Déterminer les coordonnées du point \(B\) tel que \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\).
2. Déterminer les coordonnées du milieu \(M\) de \([AB]\).
3. Calculer la distance \(AB\).
Réponses : ………………………………

1. \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\) signifie \(\begin{pmatrix}x_B - 2\\y_B - (-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\)
Donc \(x_B = 2 + 5 = 7\) et \(y_B = -1 + 3 = 2\) → \(B(7\,;\,2)\)

2. \(M\left(\dfrac{2+7}{2}\,;\,\dfrac{-1+2}{2}\right)\) → \(M(4{,}5\,;\,0{,}5)\)

3. \(AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}\) → \(AB \approx 5{,}8\) unités

Exercice 10 Équation cartésienne d'une droite Approfondissement

On donne les points \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,8)\).

1. Calculer les coordonnées du vecteur directeur \(\overrightarrow{AB}\).
2. En déduire un vecteur normal \(\vec{n}\) à la droite \((AB)\).
3. Déterminer l'équation cartésienne de la droite \((AB)\) sous la forme \(ax + by + c = 0\).
4. Vérifier que \(A\) et \(B\) appartiennent bien à cette droite.
Réponses : ………………………………

1. \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4-1\\8-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}\)

2. Si le vecteur directeur est \(\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\), un vecteur normal est \(\vec{n}\begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix}\) ou \(\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\).
Ici : \(\vec{n}\begin{pmatrix}6\\-3\end{pmatrix}\), ou après simplification \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\).

3. Avec \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\) et le point \(A(1\,;\,2)\) :
\(2(x-1) - 1(y-2) = 0\) → \(2x - 2 - y + 2 = 0\) → \(2x - y = 0\)

4. Vérification :
• \(A(1\,;\,2)\) : \(2 \times 1 - 2 = 0\) ✓
• \(B(4\,;\,8)\) : \(2 \times 4 - 8 = 0\) ✓

Exercice 11 Distance d'un point à une droite Approfondissement

La droite \((d)\) a pour équation \(3x - 4y + 10 = 0\).

1. Calculer la distance du point \(P(2\,;\,1)\) à la droite \((d)\).
2. Calculer la distance du point \(Q(6\,;\,7)\) à la droite \((d)\).
3. Le point \(R(2\,;\,4)\) appartient-il à la droite \((d)\) ? Justifier.
⚠️ Formule : la distance du point \(M(x_0\,;\,y_0)\) à la droite \(ax + by + c = 0\) est \(\displaystyle d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
Réponses : ………………………………

On a \(a = 3\), \(b = -4\), \(c = 10\) et \(\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\).

1. \(d(P,(d)) = \dfrac{|3 \times 2 + (-4) \times 1 + 10|}{5} = \dfrac{|6 - 4 + 10|}{5} = \dfrac{12}{5}\) → \(d = 2{,}4\) unités

2. \(d(Q,(d)) = \dfrac{|3 \times 6 + (-4) \times 7 + 10|}{5} = \dfrac{|18 - 28 + 10|}{5} = \dfrac{0}{5}\) → \(d = 0\) : le point \(Q\) est sur la droite

3. \(3 \times 2 + (-4) \times 4 + 10 = 6 - 16 + 10 = 0\) → \(R\) appartient à la droite \((d)\)

Exercice 12 Parallélisme et perpendicularité de droites Approfondissement

On donne les droites :

  • \((d_1)\) : \(2x + 3y - 6 = 0\)
  • \((d_2)\) : \(4x + 6y + 1 = 0\)
  • \((d_3)\) : \(3x - 2y + 5 = 0\)
1. Donner un vecteur normal à chaque droite.
2. Les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont-elles parallèles ? Justifier par un calcul de colinéarité.
3. Les droites \((d_1)\) et \((d_3)\) sont-elles perpendiculaires ? Justifier par le produit scalaire de leurs vecteurs normaux.
Réponses : ………………………………

1. Vecteurs normaux :
\(\vec{n_1}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\), \(\vec{n_2}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\), \(\vec{n_3}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\)

2. \(\det(\vec{n_1},\vec{n_2}) = 2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0\)
Les vecteurs normaux sont colinéaires, donc \((d_1) \parallel (d_2)\) (droites parallèles).

3. Produit scalaire : \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_3} = 2 \times 3 + 3 \times (-2) = 6 - 6 = 0\)
Le produit scalaire est nul, donc \((d_1) \perp (d_3)\) (droites perpendiculaires).

Exercice 20 Intersection de droites — plan de chantier Standard
Contexte : Sur un plan de chantier, un chef de chantier a tracé deux allées de circulation dont les équations sont : \[(d_1) : x - 2y + 4 = 0 \qquad (d_2) : 3x + y - 5 = 0\]
1. Déterminer les coordonnées du point d'intersection des deux droites (résoudre le système).
……………
2. Vérifier que ce point appartient bien aux deux droites.
……………

1. Système : \(\begin{cases}x - 2y = -4\\3x + y = 5\end{cases}\)

De la 1ère équation : \(x = 2y - 4\). Substitution dans la 2ème :
\(3(2y-4) + y = 5\) → \(6y - 12 + y = 5\) → \(7y = 17\) → \(y = \dfrac{17}{7} \approx 2{,}43\)
\(x = 2 \times \dfrac{17}{7} - 4 = \dfrac{34}{7} - \dfrac{28}{7} = \)\(\dfrac{6}{7} \approx 0{,}86\)

2. Vérification \((d_1)\) : \(\dfrac{6}{7} - 2 \times \dfrac{17}{7} + 4 = \dfrac{6 - 34 + 28}{7} = 0\) ✓    \((d_2)\) : \(3 \times \dfrac{6}{7} + \dfrac{17}{7} - 5 = \dfrac{18+17-35}{7} = 0\) ✓

Exercice 21 Norme et périmètre — contour d'une pièce Standard
Contexte : Un installateur d'agencement place 4 points de fixation dans un couloir : \(A(0\,;\,0)\), \(B(5\,;\,0)\), \(C(5\,;\,3)\), \(D(0\,;\,3)\) (en mètres). Ces points forment un rectangle.
1. Calculer les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{DA}\).
2. Calculer les normes \(AB\), \(BC\), \(CD\) et \(DA\).
3. Calculer le périmètre du rectangle.
4. Vérifier que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont perpendiculaires (produit scalaire = 0).
……………

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix}-5\\0\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix}0\\-3\end{pmatrix}\)

2. \(AB = 5\) m, \(BC = 3\) m, \(CD = 5\) m, \(DA = 3\) m.

3. Périmètre \(= 2(5+3) = \)16 m

4. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 5 \times 0 + 0 \times 3 = 0\) → perpendiculaires ✓

Exercice 22 Équation de droite par deux points Standard

On donne les points \(A(0\,;\,3)\) et \(B(4\,;\,-1)\).

1. Calculer les coordonnées du vecteur directeur \(\overrightarrow{AB}\).
2. En déduire un vecteur normal \(\vec{n}\).
3. Écrire l'équation cartésienne de la droite \((AB)\).
4. Calculer le point \(C\) tel que \(OABC\) soit un parallélogramme (O étant l'origine).
……………

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4-0\\-1-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-4\end{pmatrix}\)

2. Vecteur normal : \(\vec{n}\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\), soit \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) après simplification.

3. Avec \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) et le point \(A(0\,;\,3)\) : \(1(x-0) + 1(y-3) = 0\) → \(x + y - 3 = 0\)

4. Dans un parallélogramme \(OABC\) : \(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\) → \(C(0+4\,;\,3+(-1)) = \)\(C(4\,;\,2)\)

Exercice 23 Distance point-droite — implantation d'un poteau Standard
Contexte : Un conducteur de travaux doit implanter un poteau de limite de chantier au point \(P(3\,;\,5)\) (en mètres). La clôture suit la droite \((d)\) : \(4x - 3y + 6 = 0\).
1. Calculer la distance du point \(P\) à la droite \((d)\).
2. Un câble de sécurité part du poteau et doit rejoindre la droite perpendiculairement. Quelle est la longueur minimale du câble ?
Formule : \(d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
……………

\(a=4\), \(b=-3\), \(c=6\) ; \(\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\).

1. \(d = \dfrac{|4 \times 3 + (-3) \times 5 + 6|}{5} = \dfrac{|12 - 15 + 6|}{5} = \dfrac{3}{5} = \)0,6 m

2. La longueur minimale du câble est 0,6 m (c'est la distance perpendiculaire).

Exercice 24 Coordonnées 3D — vecteur dans l'espace Standard

Dans l'espace, on donne \(A(1\,;\,2\,;\,3)\) et \(B(4\,;\,0\,;\,7)\).

1. Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
2. Calculer la norme \(AB = \|\overrightarrow{AB}\|\) (arrondir au dixième).
3. Donner les coordonnées du milieu \(M\) du segment \([AB]\).
4. Un autre point est \(C(7\,;\,-2\,;\,11)\). Vérifier que \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}\) : les points \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ?
……………

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4-1\\0-2\\7-3\end{pmatrix} = \)\(\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}\)

2. \(AB = \sqrt{9+4+16} = \sqrt{29} \approx \)5,4

3. \(M\left(\dfrac{1+4}{2}\,;\,\dfrac{2+0}{2}\,;\,\dfrac{3+7}{2}\right) = \)\(M(2{,}5\,;\,1\,;\,5)\)

4. \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}6\\-4\\8\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix} = 2\overrightarrow{AB}\) → \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés ✓

Exercice 25 Vérifier que des points forment un rectangle Standard
Contexte : Un aménageur d'intérieur vérifie l'orthogonalité d'une pièce. Les quatre coins mesurés sont : \(A(0\,;\,0)\), \(B(6\,;\,1)\), \(C(7\,;\,-4)\), \(D(1\,;\,-5)\).
1. Calculer les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
2. Calculer le déterminant \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})\). Les côtés sont-ils colinéaires ?
3. Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}\). Les côtés sont-ils perpendiculaires ?
4. Calculer \(AB\) et \(AD\). Est-ce un rectangle ou un carré ?
……………

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}\) ; \(\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix}1\\-5\end{pmatrix}\)

2. \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}) = 6 \times (-5) - 1 \times 1 = -30 - 1 = -31 \neq 0\) → non colinéaires (la pièce n'est pas dégénérée).

3. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 6 \times 1 + 1 \times (-5) = 6 - 5 = 1 \neq 0\) → pas perpendiculaires : les côtés ne sont pas à angle droit. Ce n'est pas un rectangle.

4. \(AB = \sqrt{36+1} = \sqrt{37} \approx 6{,}1\) ; \(AD = \sqrt{1+25} = \sqrt{26} \approx 5{,}1\). Ce quadrilatère est un parallélogramme non rectangle.

Exercice 26 Colinéarité et alignement — plan de cuisine Standard
Contexte : Un installateur de cuisines vérifie que trois prises électriques \(P_1(1\,;\,4)\), \(P_2(3\,;\,6)\) et \(P_3(5\,;\,8)\) sont bien alignées sur un même rail.
1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{P_1P_2}\) et \(\overrightarrow{P_1P_3}\).
2. Tester la colinéarité de \(\overrightarrow{P_1P_2}\) et \(\overrightarrow{P_1P_3}\) par le déterminant.
3. Les trois prises sont-elles alignées ? Justifier.
4. Déterminer l'équation de la droite passant par \(P_1\) et \(P_2\).
……………

1. \(\overrightarrow{P_1P_2} = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\) ; \(\overrightarrow{P_1P_3} = \begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\)

2. \(\det(\overrightarrow{P_1P_2},\overrightarrow{P_1P_3}) = 2 \times 4 - 2 \times 4 = 8 - 8 = 0\) → colinéaires

3. Les vecteurs \(\overrightarrow{P_1P_2}\) et \(\overrightarrow{P_1P_3}\) sont colinéaires → les trois prises sont alignées ✓

4. Vecteur directeur \(\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\), normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\). Par \(P_1(1\,;\,4)\) : \(1(x-1) - 1(y-4) = 0\) → \(x - y + 3 = 0\)

Exercice 13 Plan d'agencement d'un meuble Approfondissement
Contexte : Un menuisier agenceur réalise le plan d'un meuble de cuisine en forme de L. Il place les sommets du meuble dans un repère orthonormé (unité : 10 cm). Les sommets sont : \(A(0\,;\,0)\), \(B(8\,;\,0)\), \(C(8\,;\,3)\), \(D(5\,;\,3)\), \(E(5\,;\,6)\) et \(F(0\,;\,6)\).
1. Calculer les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AF}\). Vérifier que le coin \(A\) est un angle droit.
2. Calculer la longueur totale du périmètre du meuble (en cm).
3. Le menuisier veut poser une baguette décorative sur la diagonale \([BF]\). Calculer la longueur de cette diagonale.
4. Un tiroir coulisse le long de la direction \(\overrightarrow{AB}\). Un second tiroir coulisse le long de \(\overrightarrow{AF}\). Vérifier que les deux tiroirs sont perpendiculaires.
Réponses : ……………………………

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AF} = \begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}\)
Produit scalaire : \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF} = 8 \times 0 + 0 \times 6 = 0\) → angle droit en \(A\) ✓

2. Périmètre = \(AB + BC + CD + DE + EF + FA\)
\(AB = 8\), \(BC = 3\), \(CD = 3\), \(DE = 3\), \(EF = 5\), \(FA = 6\)
Total = \(8 + 3 + 3 + 3 + 5 + 6 = 28\) unités → périmètre = 280 cm

3. \(\overrightarrow{BF} = \begin{pmatrix}0-8\\6-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8\\6\end{pmatrix}\)
\(BF = \sqrt{(-8)^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10\) → baguette de 100 cm = 1 m

4. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF} = 8 \times 0 + 0 \times 6 = 0\) → les deux directions de tiroirs sont perpendiculaires ✓

Exercice 14 Réseau de tuyauteries Approfondissement
Contexte : Un technicien chauffagiste installe un réseau de tuyauteries dans un bâtiment. Sur le plan (unité : 1 m), les points de raccordement sont : chaudière \(A(0\,;\,0)\), radiateur 1 \(B(6\,;\,0)\), radiateur 2 \(C(6\,;\,4)\), radiateur 3 \(D(0\,;\,4)\).
1. Calculer la distance totale de tuyauterie si le technicien relie \(A \to B \to C \to D \to A\) (circuit rectangulaire).
2. On envisage une liaison directe \(A \to C\) en diagonale. Calculer la longueur de cette diagonale.
3. Le point \(M(3\,;\,2)\) est le milieu de \([AC]\). Le technicien veut placer une vanne en \(M\). Vérifier que \(M\) est aussi le milieu de \([BD]\).
4. Un nouveau tuyau doit passer par \(A\) dans la direction \(\overrightarrow{AC}\). Donner l'équation de la droite \((AC)\).
Réponses : ……………………………

1. \(AB = 6\) m, \(BC = 4\) m, \(CD = 6\) m, \(DA = 4\) m
Longueur totale = \(6 + 4 + 6 + 4 = 20\) m

2. \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\), \(AC = \sqrt{6^2+4^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\)
\(AC \approx 7{,}2\) m

3. Milieu de \([BD]\) : \(\left(\dfrac{6+0}{2}\,;\,\dfrac{0+4}{2}\right) = (3\,;\,2)\)
\(M(3\,;\,2)\) est bien le milieu de \([BD]\) ✓ — les diagonales du rectangle se coupent en leur milieu.

4. Direction \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\), vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}4\\-6\end{pmatrix}\), soit \(\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\).
Droite par \(A(0\,;\,0)\) : \(2x - 3y = 0\) → \(2x - 3y = 0\)

Exercice 15 Vérification d'équerrage sur un chantier Approfondissement
Contexte : Sur un chantier, un technicien doit vérifier que deux murs sont bien perpendiculaires. Il repère trois points au sol : le coin \(A(0\,;\,0)\), un point \(B(4{,}5\,;\,0)\) le long du premier mur, et un point \(C(0\,;\,6)\) le long du second mur. Il mesure ensuite la diagonale \(BC\).
1. Calculer les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
2. Les deux murs sont-ils perpendiculaires ? Justifier par le produit scalaire.
3. Calculer la distance \(BC\) théorique si les murs sont perpendiculaires.
4. Le technicien mesure \(BC = 7{,}6\) m sur le terrain. Comparer avec la valeur théorique. L'équerrage est-il correct ?
5. Un plan de découpe de panneau est posé dans le repère. L'angle de coupe doit suivre la droite passant par \(A\) et \(B\). Donner l'équation de cette droite.
Réponses : ……………………………

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4{,}5\\0\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}\)

2. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4{,}5 \times 0 + 0 \times 6 = 0\) → les vecteurs sont orthogonaux : les murs sont perpendiculaires ✓

3. \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}0-4{,}5\\6-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4{,}5\\6\end{pmatrix}\)
\(BC = \sqrt{4{,}5^2 + 6^2} = \sqrt{20{,}25 + 36} = \sqrt{56{,}25}\) → \(BC = 7{,}5\) m

4. Valeur mesurée : 7,6 m. Valeur théorique : 7,5 m. Écart = 0,1 m = 10 cm.
L'équerrage n'est pas parfait : un écart de 10 cm sur la diagonale indique un léger défaut d'angle droit. Il faut reprendre le tracé.

5. La droite \((AB)\) passe par \(A(0\,;\,0)\) et a pour direction \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4{,}5\\0\end{pmatrix}\).
Comme \(y_B = y_A = 0\), la droite est simplement \(y = 0\) (axe horizontal).

Exercice 27 Étude complète d'un triangle — classification Approfondissement

On donne \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,2)\) et \(C(1\,;\,5)\).

1. Calculer les longueurs \(AB\), \(BC\) et \(CA\).
2. Calculer les produits scalaires \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}\).
3. Le triangle est-il rectangle, isocèle ou scalène ? Justifier.
4. Déterminer l'équation cartésienne des droites \((AB)\) et \((AC)\).
……………

1. \(AB = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}5\)   \(BC = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}2\)   \(CA = \sqrt{1+25} = \sqrt{26} \approx 5{,}1\)

2. \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix}-1\\-5\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{CB}\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 1 + 2 \times 5 = 14 \neq 0\)
\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-4)(-3) + (-2)(3) = 12 - 6 = 6 \neq 0\)
\(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-1)(3) + (-5)(-3) = -3 + 15 = 12 \neq 0\)

3. Aucun produit scalaire nul → pas rectangle. Les trois côtés sont inégaux → scalène.

4. Droite \((AB)\) : directeur \(\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\), normal \(\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\). Par \(A(0,0)\) : \(x - 2y = 0\).
Droite \((AC)\) : directeur \(\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}\), normal \(\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}\). Par \(A(0,0)\) : \(5x - y = 0\).

Exercice 28 Vecteurs dans l'espace — canalisation 3D Approfondissement
Contexte : Un technicien CVC doit installer une canalisation entre deux points dans un bâtiment. Dans un repère spatial (en mètres), le point de départ est \(A(1\,;\,0\,;\,2)\), le premier raccord est \(B(3\,;\,4\,;\,2)\) et l'arrivée est \(C(3\,;\,4\,;\,6)\).
1. Calculer les longueurs des segments \(AB\) et \(BC\).
2. Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}\). Que peut-on en déduire sur l'angle formé par les deux tronçons ?
3. Calculer la longueur totale de la canalisation \(AC\) (par le chemin \(A \to B \to C\)).
4. Un raccord droit (pas de coude) aurait une longueur \(AC_{direct} = \|\overrightarrow{AC}\|\). Calculer \(\|\overrightarrow{AC}\|\) et comparer.
……………

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}\) → \(AB = \sqrt{4+16+0} = \sqrt{20} \approx \)4,47 m
\(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\) → \(BC = \sqrt{0+0+16} = \)4 m

2. \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 2 \times 0 + 4 \times 0 + 0 \times 4 = 0\) → les deux tronçons sont perpendiculaires (coude à 90°).

3. Longueur totale : \(AB + BC \approx 4{,}47 + 4 = \)8,47 m

4. \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}\) → \(AC = \sqrt{4+16+16} = \sqrt{36} = \)6 m. Avec un raccord droit, 6 m suffiraient ; le coude nécessite 8,47 m → 2,47 m de canalisation supplémentaire.

Exercice 29 Droite et distance — implantation d'un tracé Approfondissement
Contexte : Un géomètre implante une limite de propriété. La droite de limite a pour équation \((d) : 5x - 12y + 26 = 0\). Trois piquets sont en \(P_1(2\,;\,3)\), \(P_2(4\,;\,4)\) et \(P_3(7\,;\,6)\).
1. Calculer la distance de chacun des piquets à la droite \((d)\).
2. L'un des piquets est-il sur la droite ?
3. Quel est le piquet le plus éloigné de la limite ? De combien ?
4. Écrire l'équation d'une droite parallèle à \((d)\) passant par \(P_1\).
……………

\(\sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)

1. \(d(P_1) = \dfrac{|5(2) - 12(3) + 26|}{13} = \dfrac{|10 - 36 + 26|}{13} = \dfrac{0}{13} = \)0
\(d(P_2) = \dfrac{|5(4) - 12(4) + 26|}{13} = \dfrac{|20 - 48 + 26|}{13} = \dfrac{2}{13} \approx \)0,15 m
\(d(P_3) = \dfrac{|5(7) - 12(6) + 26|}{13} = \dfrac{|35 - 72 + 26|}{13} = \dfrac{11}{13} \approx \)0,85 m

2. \(d(P_1) = 0\) → \(P_1\) est sur la droite.

3. Le piquet le plus éloigné est \(P_3\), à 0,85 m de la limite.

4. Droite parallèle à \(5x - 12y + c = 0\) passant par \(P_1(2\,;\,3)\) : \(5(2) - 12(3) + c = 0\) → déjà sur \((d)\) donc la droite parallèle distincte n'existe pas. Réponse : \(P_1\) est sur \((d)\), la droite parallèle passant par \(P_1\) est \((d)\) elle-même.

Exercice 30 Problème ouvert — conception d'une zone de stockage Approfondissement
Contexte : Un chef de chantier implante une zone de stockage rectangulaire. Il fixe un premier côté \([AB]\) en posant \(A(0\,;\,0)\) et \(B(6\,;\,2)\). Le troisième coin sera \(C = B + \overrightarrow{n}\) où \(\overrightarrow{n}\) est perpendiculaire à \(\overrightarrow{AB}\) et de norme 4 m.
1. Donner les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et sa norme.
2. Un vecteur perpendiculaire à \(\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) est \(\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\). Donner un vecteur perpendiculaire à \(\overrightarrow{AB}\) et le normaliser à la norme 4.
3. En déduire les coordonnées du point \(C\), puis \(D = A + \overrightarrow{BC}\).
4. Calculer l'aire de la zone de stockage.
……………

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}\) ; \(AB = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}32\) m.

2. Vecteur perpendiculaire : \(\begin{pmatrix}-2\\6\end{pmatrix}\). Norme : \(\sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\).
Vecteur normé à 4 : \(\dfrac{4}{2\sqrt{10}}\begin{pmatrix}-2\\6\end{pmatrix} = \dfrac{2}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}-2\\6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4/\sqrt{10}\\12/\sqrt{10}\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}-1{,}26\\3{,}79\end{pmatrix}\)

3. \(C \approx (6-1{,}26\,;\,2+3{,}79) = \)\(C(4{,}74\,;\,5{,}79)\).
\(D = A + \overrightarrow{BC} = (0\,;\,0) + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BC} \approx (-1{,}26\,;\,3{,}79)\) → \(D \approx (-1{,}26\,;\,3{,}79)\)

4. Aire = \(AB \times BC = 2\sqrt{10} \times 4 \approx 6{,}32 \times 4 = \)25,3 m².

📖 Cours Ch06 📝 Devoir Ch06 📚 Sommaire