Terminale Bac Pro | Classes ERA · TMA · ICCER (Grpt 1)
Objectifs du chapitre
Utiliser les coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormé.
Calculer la norme d'un vecteur et la distance entre deux points.
Tester la colinéarité de deux vecteurs.
Déterminer et exploiter l'équation cartésienne d'une droite.
Calculer la distance d'un point à une droite.
Introduire les vecteurs dans l'espace (coordonnées 3D).
Situation professionnelle — Plan d'un atelier de menuiserie
Un technicien d'agencement place les éléments d'un atelier sur un plan quadrillé. Il doit calculer des distances, vérifier si des rails de guidage sont parallèles, et déterminer l'équation d'une cloison. Ces outils relèvent des vecteurs dans le plan.
1. Rappels — Notion de vecteur
Définition
Un vecteur \(\vec{u}\) est caractérisé par :
une direction (l'orientation de la droite support),
un sens (vers où il pointe),
une norme \(\|\vec{u}\|\) (sa longueur).
On note \(\overrightarrow{AB}\) le vecteur de point de départ \(A\) et de point d'arrivée \(B\).
Vecteur nul et vecteur opposé
Le vecteur nul \(\vec{0}\) est de norme zéro ; il n'a pas de sens ni de direction définis.
Le vecteur opposé de \(\overrightarrow{AB}\) est \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\).
Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont même direction, même sens et même norme.
Illustration — Vecteur \(\overrightarrow{AB}\) dans un repère
Propriété — Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\)
Dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j})\), si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\) :
\[
\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}
\]
Méthode — Trouver les coordonnées d'un vecteur 1. Repérer les coordonnées de \(A\) et de \(B\). 2. Calculer \(x_B - x_A\) (abscisse) et \(y_B - y_A\) (ordonnée). 3. Écrire sous forme de colonne ou de couple. Exemple : \(A(3\,;\,1)\), \(B(7\,;\,5)\) → \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\)
Opérations sur les vecteurs
Soient \(\vec{u} = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}\), \(k \in \mathbb{R}\).
\[
\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix}a+c\\b+d\end{pmatrix}
\qquad
k\,\vec{u} = \begin{pmatrix}ka\\kb\end{pmatrix}
\]
Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)
Règle du parallélogramme : \(\vec{u} + \vec{v}\)
On construit le parallélogramme : la diagonale donne \(\vec{u}+\vec{v}\).
3. Norme d'un vecteur
Propriété — Norme et distance
La norme du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est la distance \(AB\) :
\[
\left\|\overrightarrow{AB}\right\| = AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
\]
Pour \(\vec{u} = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
Application
Un plan d'agencement place \(A(2\,;\,3)\) et \(B(8\,;\,7)\). Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et la distance \(AB\).
Attention
La norme est toujours positive ou nulle. Les coordonnées d'un vecteur peuvent être négatives, mais sa norme non.
Ne pas confondre : \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}\) mais \(\left\|\overrightarrow{AB}\right\| = \sqrt{9+16} = 5 > 0\).
Exemple
\(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,6)\).
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\) \(\left\|\overrightarrow{AB}\right\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)
Interactif — Calculer un vecteur et sa norme
Cliquez sur deux points pour calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\|\overrightarrow{AB}\|\)
Grille : 1 carreau = 1 m (contexte : plan d'agencement ERA/TMA)
Cliquez sur un premier point (A) sur le plan.
4. Colinéarité de deux vecteurs
Définition
Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction (l'un est multiple de l'autre).
Cela signifie que les droites support sont parallèles ou confondues.
Critère de colinéarité (déterminant)
Soient \(\vec{u} = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}\).
\[
\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colinéaires} \iff \det(\vec{u},\vec{v}) = ad - bc = 0
\]
Méthode — Tester la colinéarité 1. Calculer les coordonnées de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). 2. Calculer \(ad - bc\). 3. Si \(= 0\) → colinéaires (droites parallèles / confondues) ; sinon → sécants. Remarque : Trois points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés \(\iff\) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Application
Un menuisier place trois clous \(A(0\,;\,0)\), \(B(3\,;\,2)\), \(C(6\,;\,4)\). Vérifie si \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\)
\(\det = 3 \times 4 - 2 \times 6 = 12 - 12 = 0\) → les vecteurs sont colinéaires → \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.
Formule
La distance du point \(M(x_M\,;\,y_M)\) à la droite \(\Delta : ax + by + c = 0\) est :
\[
d(M, \Delta) = \frac{|a\,x_M + b\,y_M + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\]
Attention
Les valeurs absolues au numérateur sont obligatoires. Ne pas oublier \(\sqrt{a^2+b^2}\) au dénominateur.
Définition — Coordonnées 3D
Dans un repère orthonormé de l'espace \((O\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j}\,;\,\vec{k})\) :
\[
\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{pmatrix}
\qquad
\left\|\overrightarrow{AB}\right\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}
\]
Milieu dans l'espace
Le milieu \(I\) de \([AB]\) a pour coordonnées :
\[
I\!\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\,;\,\frac{z_A+z_B}{2}\right)
\]
Repère orthonormé de l'espace
Exemple professionnel — ERA/TMA : Plan d'agencement
Contexte ERA/TMA
Un aménageur travaille sur le plan d'une salle. Les meubles sont positionnés dans un repère (en mètres). On calcule les vecteurs de déplacement et vérifie si des parois sont parallèles.
Q2 : Longueur de la diagonale \(AC\).
\(\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\), \(\left\|\overrightarrow{AC}\right\|=\sqrt{16+9}=5\text{ m}\).
Q3 : Milieu \(I\) de \([AC]\) (emplacement d'un luminaire central).
\(I = \left(\dfrac{1+5}{2}\,;\,\dfrac{1+4}{2}\right) = (3\,;\,2{,}5)\).
Plan d'agencement — ERA/TMA (interactif)
Cliquez sur un meuble pour afficher les vecteurs depuis ce point.
Exemple professionnel — Réseau de canalisations
Contexte professionnel
Un plombier chauffagiste trace un réseau de canalisations. Chaque nœud est repéré par ses coordonnées en dm. Il faut calculer les longueurs et vérifier l'alignement des tuyaux.
Problème
Nœuds (en dm) : \(P_1(0\,;\,0)\), \(P_2(6\,;\,0)\), \(P_3(6\,;\,8)\), \(P_4(10\,;\,8)\), \(P_5(10\,;\,0)\).
Exercice 1 — Coordonnées et norme
On donne \(A(-2\,;\,3)\) et \(B(4\,;\,7)\).
a) Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).
b) Calculer \(\left\|\overrightarrow{AB}\right\|\) (forme exacte et valeur arrondie au dixième).
Voir la correction
a) \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4-(-2)\\7-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}\). b) \(\left\|\overrightarrow{AB}\right\| = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7{,}2\).
Exercice 2 — Colinéarité (ERA : vérification de parallélisme)
Deux murs ont pour vecteurs directeurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix}3\\{-2}\end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix}{-6}\\4\end{pmatrix}\).
Ces deux murs sont-ils parallèles ?
Voir la correction
\(\det(\vec{u},\vec{v}) = 3{\times}4 - (-2){\times}(-6) = 12 - 12 = 0\).
Le déterminant est nul → \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires (on remarque \(\vec{v} = -2\,\vec{u}\)).
Les deux murs sont bien parallèles.
Exercice 3 — Équation cartésienne et distance (installation thermique)
Une canalisation suit la droite passant par \(P_1(0\,;\,2)\) et \(P_2(4\,;\,0)\).
a) Déterminer l'équation cartésienne de cette droite.
b) Un robinet est placé en \(R(2\,;\,5)\). Calculer sa distance à la canalisation.
Voir la correction
a) \(\overrightarrow{P_1P_2} = \begin{pmatrix}4\\{-2}\end{pmatrix}\). Vecteur normal : \(\vec{n} = \begin{pmatrix}-2\\{-4}\end{pmatrix}\) soit (divisé par −2) \(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\).
Éq. : \(1(x-0)+2(y-2)=0 \Rightarrow x+2y-4=0\).
Vérif. : \(P_1\): \(0+4-4=0\) ✓ \(P_2\): \(4+0-4=0\) ✓
Exercice 4 — Vecteurs dans l'espace (tuyau 3D)
Une canalisation relie \(S(1\,;\,0\,;\,2)\) (sous-sol) à \(T(5\,;\,3\,;\,6)\) (étage).
a) Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{ST}\).
b) Calculer la longueur de cette canalisation (arrondir au dixième).
Voir la correction
a) \(\overrightarrow{ST} = \begin{pmatrix}4\\3\\4\end{pmatrix}\). b) \(\left\|\overrightarrow{ST}\right\| = \sqrt{16+9+16} = \sqrt{41} \approx 6{,}4\text{ dm}\).
Terminale Bac Pro | Ch06 Vecteurs | Classes ERA · TMA · ICCER
Erreurs fréquentes
❌
Inverser l'ordre des coordonnées dans \(\overrightarrow{AB}\)
On fait \(x_B - x_A\) (et non \(x_A - x_B\)). Conseil : \(\overrightarrow{AB}\) part de \(A\) et arrive en \(B\) → \(B - A\).
❌
Oublier la valeur absolue dans la formule de distance
\(d = \dfrac{|ax_M + by_M + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) — les barres de valeur absolue sont indispensables. Conseil : la distance est toujours positive, donc on prend la valeur absolue au numérateur.
❌
Confondre vecteur directeur et vecteur normal
Pour \(ax+by+c=0\) : le vecteur normal est \((a\,;\,b)\) et le vecteur directeur est \((-b\,;\,a)\). Conseil : vecteur normal = coefficients de \(x\) et \(y\) dans l'équation.
❌
Confondre déterminant nul et vecteur nul
\(\det(\vec{u},\vec{v}) = 0\) signifie que les vecteurs sont colinéaires — pas qu'ils sont nuls. Conseil : colinéaires = même direction (parallèles ou confondus), pas nécessairement égaux.