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Devoir Surveillé – Chapitre 6

Vecteurs  |  Tle Pro

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer
🕑 Durée : 1 heure
🧮 Calculatrice : autorisée
✍ Barème : 20 points
📄 Documents : non autorisés
Exercice 1 – Lire et calculer des vecteurs (guidé) 10 points

2 pts par question.

On donne les points \(A(2\,;\,1)\), \(B(5\,;\,4)\) et \(C(0\,;\,3)\) placés dans le repère ci-dessous.

Rappel : Pour calculer \(\overrightarrow{AB}\), on fait : coordonnée d'arrivée − coordonnée de départ.
\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B - x_A\\y_B - y_A\end{pmatrix}\)
1. Compléter le calcul des coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) :
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{5}} - \boxed{\phantom{2}}\\ \boxed{\phantom{4}} - \boxed{\phantom{1}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{3}}\\ \boxed{\phantom{3}}\end{pmatrix}\)
2. De la même façon, calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AC}\) :
\(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{0}} - \boxed{\phantom{2}}\\ \boxed{\phantom{3}} - \boxed{\phantom{1}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{-2}}\\ \boxed{\phantom{2}}\end{pmatrix}\)
3. Calculer la norme de \(\overrightarrow{AB}\) en complétant :
\(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{\boxed{\phantom{3}}^2 + \boxed{\phantom{3}}^2} = \sqrt{\boxed{\phantom{9}} + \boxed{\phantom{9}}} = \sqrt{\boxed{\phantom{18}}} \approx \boxed{\phantom{4{,}24}}\)
4. Calculer le déterminant \(\det(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC})\) en complétant :
\(\det = \boxed{\phantom{3}} \times \boxed{\phantom{2}} - \boxed{\phantom{3}} \times (\boxed{\phantom{-2}}) = \boxed{\phantom{6}} - (\boxed{\phantom{-6}}) = \boxed{\phantom{12}}\)
Le déterminant est-il nul ? \(\boxed{\phantom{\text{non}}}\) → Les vecteurs sont-ils colinéaires ? \(\boxed{\phantom{\text{non}}}\)
5. Calculer les coordonnées du milieu \(M\) de \([AB]\) en complétant :
\(M\left(\dfrac{\boxed{\phantom{2}} + \boxed{\phantom{5}}}{2}\;;\;\dfrac{\boxed{\phantom{1}} + \boxed{\phantom{4}}}{2}\right) = M\left(\boxed{\phantom{3{,}5}}\;;\;\boxed{\phantom{2{,}5}}\right)\)

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}5-2\\4-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}\)

2. \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}0-2\\3-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}\)

3. \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} \approx 4{,}24\)

4. \(\det = 3 \times 2 - 3 \times (-2) = 6+6 = 12 \neq 0\). Les vecteurs ne sont pas colinéaires.

5. \(M\left(\frac{7}{2}\,;\,\frac{5}{2}\right) = M(3{,}5\,;\,2{,}5)\)

Exercice 2 – Déplacement d'un meuble (guidé) 10 points

Un menuisier agenceur déplace un meuble dans un atelier. Le meuble est au point \(A(1\,;\,2)\) (unité : 1 m). Il le pousse d'abord dans la direction \(\vec{d_1}\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\), puis dans la direction \(\vec{d_2}\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\).

2 pts par question.

1. Compléter : après le premier déplacement, le meuble est au point \(B\) :
\(B\left(\boxed{\phantom{1}} + \boxed{\phantom{4}}\;;\;\boxed{\phantom{2}} + \boxed{\phantom{0}}\right) = B\left(\boxed{\phantom{5}}\;;\;\boxed{\phantom{2}}\right)\)
2. Après le second déplacement, le meuble est au point \(C\) :
\(C\left(\boxed{\phantom{5}} + \boxed{\phantom{0}}\;;\;\boxed{\phantom{2}} + \boxed{\phantom{3}}\right) = C\left(\boxed{\phantom{5}}\;;\;\boxed{\phantom{5}}\right)\)
3. Calculer le vecteur \(\overrightarrow{AC}\) (déplacement total) par la relation de Chasles :
\(\overrightarrow{AC} = \vec{d_1} + \vec{d_2} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{4}} + \boxed{\phantom{0}}\\ \boxed{\phantom{0}} + \boxed{\phantom{3}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\boxed{\phantom{4}}\\ \boxed{\phantom{3}}\end{pmatrix}\)
4. Calculer la distance totale \(AC\) (en ligne droite) :
\(AC = \sqrt{\boxed{\phantom{4}}^2 + \boxed{\phantom{3}}^2} = \sqrt{\boxed{\phantom{16}} + \boxed{\phantom{9}}} = \sqrt{\boxed{\phantom{25}}} = \boxed{\phantom{5}}\) m
5. Les deux déplacements \(\vec{d_1}\) et \(\vec{d_2}\) sont-ils perpendiculaires ? Calculer le produit scalaire :
\(\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = \boxed{\phantom{4}} \times \boxed{\phantom{0}} + \boxed{\phantom{0}} \times \boxed{\phantom{3}} = \boxed{\phantom{0}}\)
Conclusion : \(\boxed{\phantom{\text{oui, perpendiculaires}}}\)

1. \(B(1+4\,;\,2+0) = B(5\,;\,2)\)

2. \(C(5+0\,;\,2+3) = C(5\,;\,5)\)

3. \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\)

4. \(AC = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\) m

5. \(\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 0\), donc les deux déplacements sont perpendiculaires.

Exercice 1 – Coordonnées, normes et collinéarité 10 points

2 pts par question.

On considère les points \(A(1\,;\,3)\), \(B(4\,;\,7)\), \(C(-2\,;\,5)\) et \(D(1\,;\,9)\).

1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\).
2. Calculer la norme \(\|\vec{AB}\|\). Arrondir au centième.
3. Vérifier par le calcul du déterminant si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont colinéaires.
4. Calculer les coordonnées du milieu \(M\) du segment \([AB]\).
5. On donne \(E(5\,;\,1)\). Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{AE}\) et vérifier si \(\vec{AE}\) et \(\vec{AB}\) sont colinéaires.

1. \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)   \(\vec{CD} = \begin{pmatrix} 1-(-2) \\ 9-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)

2. \(\|\vec{AB}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\).

3. \(\det(\vec{AB},\,\vec{CD}) = 3 \times 4 - 4 \times 3 = 12 - 12 = 0\). Le déterminant est nul, donc les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont colinéaires.

4. \(M = \left(\dfrac{1+4}{2}\,;\,\dfrac{3+7}{2}\right) = \left(\dfrac{5}{2}\,;\,5\right) = (2{,}5\,;\,5)\).

5. \(\vec{AE} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}\).   \(\det(\vec{AB},\,\vec{AE}) = 3 \times (-2) - 4 \times 4 = -6 - 16 = -22 \neq 0\). Les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Exercice 2 – Plan d'agencement (contexte agencement) 10 points

Un agenceur d'espace prépare le plan d'aménagement d'un bureau. Sur le repère (en mètres), les coins de la pièce sont : \(P(0\,;\,0)\), \(Q(6\,;\,0)\), \(R(6\,;\,4)\) et \(S(0\,;\,4)\). Une cloison intérieure va du point \(A(2\,;\,0)\) au point \(B(2\,;\,3)\).

Barème détaillé ci-dessous.

1. (2 pts) Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{PQ}\) (mur du bas) et du vecteur \(\vec{AB}\) (cloison).
2. (2 pts) Vérifier que la cloison \(\vec{AB}\) est perpendiculaire au mur \(\vec{PQ}\) en calculant le produit scalaire \(\vec{PQ} \cdot \vec{AB}\).
3. (2 pts) Calculer la longueur de la cloison \(AB\) et la diagonale \(PR\) de la pièce. Arrondir au centième.
4. (2 pts) Un meuble doit être placé au milieu du mur \([QR]\). Déterminer les coordonnées du point \(M\), milieu de \([QR]\).
5. (2 pts) Écrire l'équation de la droite passant par \(A\) et \(B\) (la cloison). En déduire si le point \(C(2\,;\,5)\) appartient au prolongement de cette cloison.

1. \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 6-0 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}\)   \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-2 \\ 3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}\)

2. \(\vec{PQ} \cdot \vec{AB} = 6 \times 0 + 0 \times 3 = 0\). Le produit scalaire est nul, donc \(\vec{PQ} \perp \vec{AB}\) : la cloison est bien perpendiculaire au mur.

3. \(AB = \|\vec{AB}\| = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3\) m.   \(PR = \sqrt{(6-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} \approx 7{,}21\) m.

4. \(M = \left(\dfrac{6+6}{2}\,;\,\dfrac{0+4}{2}\right) = (6\,;\,2)\).

5. La droite \((AB)\) passe par \(A(2\,;\,0)\) et \(B(2\,;\,3)\). Les abscisses sont égales, c'est une droite verticale d'équation \(x = 2\). Le point \(C(2\,;\,5)\) vérifie \(x = 2\), donc \(C\) appartient au prolongement de la cloison.

Exercice 1 – Résultante de forces sur une charpente 10 points

Un technicien en construction bois étudie les forces appliquées au nœud \(N\) d'une ferme de charpente. Trois forces s'exercent en ce point (unité : kN) :

  • Le poids de la toiture : \(\vec{F_1}\begin{pmatrix}0\\-8\end{pmatrix}\)
  • La réaction de l'arbalétrier gauche : \(\vec{F_2}\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}\)
  • La réaction de l'arbalétrier droit : \(\vec{F_3}\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}\)

Barème détaillé ci-dessous.

1. (2 pts) Calculer les coordonnées du vecteur résultante \(\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3}\).
2. (2 pts) Calculer la norme \(\|\vec{R}\|\) de la résultante. Interpréter : le nœud est-il en équilibre ?
3. (2 pts) Pour que le nœud soit en équilibre, il faudrait ajouter une force \(\vec{F_4}\) telle que \(\vec{R} + \vec{F_4} = \vec{0}\). Déterminer les coordonnées de \(\vec{F_4}\).
4. (2 pts) Vérifier que les forces \(\vec{F_2}\) et \(\vec{F_3}\) ne sont pas colinéaires en calculant le déterminant \(\det(\vec{F_2},\,\vec{F_3})\). Interpréter géométriquement.
5. (2 pts) La droite d'action de \(\vec{F_2}\) passe par \(N(0\,;\,0)\). Déterminer l'équation cartésienne de cette droite. Le point \(P(10\,;\,12)\) appartient-il à cette droite ?

1. \(\vec{R} = \begin{pmatrix}0+5+(-4)\\-8+6+3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)

2. \(\|\vec{R}\| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41\) kN. La résultante n'est pas nulle, le nœud n'est pas en équilibre.

3. \(\vec{F_4} = -\vec{R} = \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}\)

4. \(\det(\vec{F_2},\vec{F_3}) = 5 \times 3 - 6 \times (-4) = 15 + 24 = 39 \neq 0\). Les forces ne sont pas colinéaires : elles n'agissent pas dans la même direction.

5. Direction \(\vec{F_2}\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}\), normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}6\\-5\end{pmatrix}\). Droite par \(N(0\,;\,0)\) : \(6x - 5y = 0\). Vérification : \(6 \times 10 - 5 \times 12 = 60 - 60 = 0\), donc \(P\) appartient à la droite.

Exercice 2 – Tracé et positionnement sur un plan d'aménagement 10 points

Un agenceur d'espace aménage un hall d'accueil. Sur le plan (unité : 1 m), il repère les éléments suivants :

  • Coin du comptoir : \(A(1\,;\,2)\)
  • Angle opposé du comptoir : \(B(5\,;\,4)\)
  • Borne d'accueil : \(C(7\,;\,1)\)
  • Sortie de secours : \(D(-1\,;\,8)\)

Barème détaillé ci-dessous.

1. (2 pts) Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), la longueur du comptoir \(AB\) et les coordonnées du milieu \(M\) de \([AB]\) (centre du comptoir).
2. (2 pts) Un panneau directionnel au point \(M\) doit indiquer la direction de la borne d'accueil \(C\). Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{MC}\). Ce vecteur est-il colinéaire à \(\overrightarrow{AB}\) ?
3. (2 pts) Déterminer l'équation cartésienne de la droite \((AB)\).
4. (2 pts) Calculer la distance du point \(D\) (sortie de secours) à la droite \((AB)\). La norme impose un passage libre d'au moins 3 m entre la sortie et le comptoir : cette condition est-elle vérifiée ?
5. (2 pts) L'agenceur veut placer un écran \(E\) tel que \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\). Déterminer les coordonnées de \(E\). Le point \(E\) est-il plus proche de \(A\) ou de \(D\) ?

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\). \(AB = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47\) m. \(M = \left(\frac{1+5}{2}\,;\,\frac{2+4}{2}\right) = (3\,;\,3)\).

2. \(\overrightarrow{MC} = \begin{pmatrix}7-3\\1-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}\). \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{MC}) = 4 \times (-2) - 2 \times 4 = -8-8 = -16 \neq 0\). Les vecteurs ne sont pas colinéaires : la borne n'est pas dans le prolongement du comptoir.

3. Direction \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\), normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}\) soit \(\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\). Droite par \(A(1\,;\,2)\) : \(1(x-1) - 2(y-2) = 0\) → \(x - 2y + 3 = 0\).

4. \(d(D,(AB)) = \frac{|1 \times (-1) - 2 \times 8 + 3|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac{|-1-16+3|}{\sqrt{5}} = \frac{14}{\sqrt{5}} \approx 6{,}26\) m. C'est supérieur à 3 m : la condition est vérifiée.

5. \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}6\\-1\end{pmatrix}\). \(\overrightarrow{AE} = \begin{pmatrix}4+6\\2+(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix}\). Donc \(E(1+10\,;\,2+1) = E(11\,;\,3)\). \(AE = \sqrt{100+1} = \sqrt{101} \approx 10{,}05\) m. \(DE = \sqrt{(11+1)^2+(3-8)^2} = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13\) m. \(E\) est plus proche de \(A\).