🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Connaître et utiliser la fonction exponentielle \(f(x)=a^x\) et ses propriétés.
Connaître et utiliser le logarithme décimal \(\log(x)\) et ses propriétés.
Résoudre des équations et inéquations exponentielles et logarithmiques.
Faire le lien avec les suites géométriques et les modèles de croissance/décroissance.
Appliquer dans des contextes professionnels : dépréciation, décibels, rendement.

Fiche résumé — Fonctions exponentielles et logarithme décimal

Chapitre 5 | Terminale Bac Pro | Mathématiques

\(f(x) = a^x \quad (a > 0,\; a \neq 1)\)

\(a^{x+y} = a^x \times a^y\)
\(a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}\)
\((a^x)^y = a^{xy}\)
\(a^0 = 1 \quad a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}\)

\(y = \log(x) \iff 10^y = x\)

\(\log(a \times b) = \log a + \log b\)
\(\log\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \log a - \log b\)
\(\log(a^n) = n \times \log a\)

\(x = \dfrac{\log(b)}{\log(a)}\)

On passe au \(\log\) des deux côtés puis on isole \(x\).

\(x = 10^k\)

On « repasse à l'exponentielle de base 10 ».

\(q^n < S \implies n \cdot \log(q) < \log(S)\) puis diviser par \(\log(q)\) en surveillant le signe

\(u_n = u_0 \times q^n\)

Trouver le rang \(n\) tel que \(u_n < S\) : résoudre \(q^n < \dfrac{S}{u_0}\).

Piège 1 : \(\log(x)\) n'existe pas pour \(x \leq 0\). Toujours vérifier que l'argument est strictement positif.

Piège 2 : Quand \(0 < q < 1\), diviser par \(\log(q)\) inverse l'inégalité ! Oublier l'inversion est l'erreur la plus fréquente.

Piège 3 : \(a^x\) est toujours \(> 0\). Donc \(a^x = -5\) n'a aucune solution.

Astuce : Pour vérifier un résultat, remplacer la valeur trouvée dans l'équation d'origine et recalculer.

Astuce : Retenir \(\log 2 \approx 0{,}301\) permet de calculer beaucoup de logarithmes sans calculatrice.