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Exercices – Chapitre 5

Fonctions exponentielles et logarithme décimal  |  Terminale Bac Pro  |  ERA · TMA · ICCER (Grpt 1)

Dernière mise à jour : 11 mars 2026

Compétences travaillées :
Exercice 1 Calculer des puissances et lire une courbe exponentielle Socle

Soit la fonction \(f(x) = 2^x\).

1. Compléter le tableau de valeurs suivant :
\(x\)012345
\(f(x) = 2^x\)
2. Le graphique ci-dessous représente la fonction \(f(x) = 2^x\). Lire graphiquement les valeurs de \(f(1{,}5)\) et \(f(3{,}5)\).
3. La fonction \(f\) est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.

\(x\) / \(f(x) = 2^x\)

Réponses : ………………………………………………………………

1. Tableau complété :

\(x\)012345
\(f(x)\)12481632

2. Lecture graphique : \(f(1{,}5) \approx 2{,}8\) et \(f(3{,}5) \approx 11{,}3\).

3. La fonction \(f\) est croissante car quand \(x\) augmente, \(2^x\) augmente. C'est une croissance exponentielle : la base 2 est supérieure à 1.

Exercice 2 Comparer croissance et décroissance exponentielle Socle

On considère les fonctions \(f(x) = 3^x\) et \(g(x) = 0{,}5^x\).

1. Compléter les deux tableaux de valeurs :
\(x\)01234
\(f(x) = 3^x\)
\(x\)01234
\(g(x) = 0{,}5^x\)
2. Quel est le sens de variation de \(f\) ? de \(g\) ?
3. Observer les courbes ci-dessous. Quelle propriété partagent les deux courbes en \(x = 0\) ?

\(f(x) = 3^x\) (bleu) et \(g(x) = 0{,}5^x\) (rouge)

Réponses : ………………………………………………………………

1.

\(x\)01234
\(f(x) = 3^x\)1392781
\(x\)01234
\(g(x) = 0{,}5^x\)10,50,250,1250,0625

2. \(f\) est croissante car \(a = 3 > 1\). \(g\) est décroissante car \(a = 0{,}5 < 1\).

3. En \(x = 0\), les deux courbes passent par le point \((0\,;\,1)\) car \(a^0 = 1\) pour tout \(a > 0\).

Exercice 3 Passer de la forme exponentielle à la forme logarithmique Socle

Compléter le tableau en utilisant la relation : si \(a^x = b\) alors \(x = \log(b) / \log(a)\).

1. Écrire sous forme logarithmique :
a) \(10^3 = 1\,000\)  →  \(\log(…) = …\)
b) \(10^{-2} = 0{,}01\)  →  \(\log(…) = …\)
c) \(2^{10} = 1\,024\)  →  \(\dfrac{\log(…)}{\log(…)} = …\)

2. Écrire sous forme exponentielle :
a) \(\log(100) = 2\)  →  \(10^{…} = …\)
b) \(\log(0{,}001) = -3\)  →  \(10^{…} = …\)

3. Calculer à la calculatrice (arrondir au centième) :
a) \(\log(50)\)    b) \(\log(3\,000)\)    c) \(\log(0{,}2)\)
Réponses : ………………………………………………………………

1.a) \(10^3 = 1\,000\) → \(\log(1\,000) = 3\)

1.b) \(10^{-2} = 0{,}01\) → \(\log(0{,}01) = -2\)

1.c) \(2^{10} = 1\,024\) → \(\dfrac{\log(1\,024)}{\log(2)} = 10\)

2.a) \(\log(100) = 2\) → \(10^2 = 100\)

2.b) \(\log(0{,}001) = -3\) → \(10^{-3} = 0{,}001\)

3.a) \(\log(50) \approx 1{,}70\)   b) \(\log(3\,000) \approx 3{,}48\)   c) \(\log(0{,}2) \approx -0{,}70\)

Exercice 4 Calculer avec les puissances de 10 — pas à pas Socle
Méthode Puissances de 10 :
• \(10^n\) = 1 suivi de \(n\) zéros. Ex : \(10^3 = 1\,000\).
• \(10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}\). Ex : \(10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01\).
• \(10^0 = 1\) toujours.
1. Compléter le tableau :
Puissance\(10^1\)\(10^2\)\(10^3\)\(10^4\)\(10^5\)
Valeur\(\boxed{\phantom{10}}\)\(\boxed{\phantom{100}}\)\(\boxed{\phantom{1000}}\)\(\boxed{\phantom{10000}}\)\(\boxed{\phantom{100000}}\)
2. Compléter avec des puissances négatives :
Puissance\(10^{-1}\)\(10^{-2}\)\(10^{-3}\)\(10^{-4}\)
Valeur\(\boxed{\phantom{0,1}}\)\(\boxed{\phantom{0,01}}\)\(\boxed{\phantom{0,001}}\)\(\boxed{\phantom{0,0001}}\)
3. QCM — Cocher la bonne réponse :
\(10^0 = \)   ☐ 0   ☐ 1   ☐ 10
\(10^6 = \)   ☐ 600   ☐ 60 000   ☐ 1 000 000
\(10^{-3} = \)   ☐ \(-1\,000\)   ☐ \(0{,}001\)   ☐ \(0{,}01\)

1. \(10^1 = 10\), \(10^2 = 100\), \(10^3 = 1\,000\), \(10^4 = 10\,000\), \(10^5 = 100\,000\).

2. \(10^{-1} = 0{,}1\), \(10^{-2} = 0{,}01\), \(10^{-3} = 0{,}001\), \(10^{-4} = 0{,}0001\).

3. QCM : \(10^0 = 1\)   \(10^6 = 1\,000\,000\)   \(10^{-3} = 0{,}001\).

Exercice 5 Lire un graphique exponentiel — questions guidées Socle

Un menuisier agenceur observe la croissance d'une colonie de moisissures sur un échantillon de bois non traité. Le nombre de colonies \(N\) est modélisé par \(N(t) = 5 \times 2^t\) où \(t\) est le nombre de jours.

Méthode — Lire un graphique exponentiel Étape 1 : Repérer la valeur initiale (quand \(t = 0\)).
Étape 2 : Observer si la courbe monte (croissante) ou descend (décroissante).
Étape 3 : Chercher le temps de doublement : au bout de combien de temps la valeur a doublé ?
1. Combien y a-t-il de colonies au départ (\(t = 0\)) ?
\(N(0) = 5 \times 2^{\boxed{\phantom{0}}} = 5 \times \boxed{\phantom{1}} = \boxed{\phantom{5}}\) colonies.

2. Compléter le tableau :
\(t\) (jours)01234
\(N(t)\)\(\boxed{\phantom{5}}\)\(\boxed{\phantom{10}}\)\(\boxed{\phantom{20}}\)\(\boxed{\phantom{40}}\)\(\boxed{\phantom{80}}\)
3. La fonction \(N\) est-elle croissante ou décroissante ? Cocher : ☐ croissante ☐ décroissante

4. Au bout de combien de jours le nombre de colonies a-t-il doublé (passé de 5 à 10) ?
Temps de doublement = \(\boxed{\phantom{1}}\) jour(s).

5. Le menuisier doit traiter le bois avant d'atteindre 50 colonies. A-t-il le temps d'attendre 4 jours ? Justifier.

1. \(N(0) = 5 \times 2^0 = 5 \times 1 = \) 5 colonies.

2. \(N(0) = 5\), \(N(1) = 10\), \(N(2) = 20\), \(N(3) = 40\), \(N(4) = 80\).

3. La fonction est croissante car la base 2 est supérieure à 1.

4. Le nombre passe de 5 à 10 en 1 jour (temps de doublement = 1 jour).

5. \(N(4) = 80 > 50\) : non, il ne peut pas attendre 4 jours. Dès \(t = 3\) jours, \(N(3) = 40\), et entre 3 et 4 jours on dépasse 50.

Exercice 6 Utiliser le logarithme décimal — pas à pas Socle

Un technicien chauffagiste doit calculer le nombre de connecteurs nécessaires pour qu'un signal passe en dessous d'un seuil. Il utilise le logarithme décimal.

Méthode — Utiliser le logarithme décimal Rappel : \(\log(10^n) = n\). Le logarithme « compte les zéros ».
Pour résoudre \(a^x = b\) : on calcule \(x = \dfrac{\log(b)}{\log(a)}\).
1. Compléter (sans calculatrice) :
\(\log(10) = \boxed{\phantom{1}}\)   \(\log(100) = \boxed{\phantom{2}}\)   \(\log(1\,000) = \boxed{\phantom{3}}\)   \(\log(1) = \boxed{\phantom{0}}\)

2. Compléter les ordres de grandeur :
Un atelier fait 15 m de long. \(15 \approx 10^{\boxed{\phantom{1}}}\), l'ordre de grandeur est \(\boxed{\phantom{10}}\) m.
Un fil de cuivre a un diamètre de 0,002 m. \(0{,}002 \approx 10^{\boxed{\phantom{-3}}}\), l'ordre de grandeur est \(\boxed{\phantom{0,001}}\) m.

3. Résoudre pas à pas : \(2^x = 16\).
On applique la formule : \(x = \dfrac{\log(\boxed{\phantom{16}})}{\log(\boxed{\phantom{2}})}\).
Calculatrice : \(\log(16) = \boxed{\phantom{1,204}}\) et \(\log(2) = \boxed{\phantom{0,301}}\).
Donc \(x = \dfrac{\boxed{\phantom{1,204}}}{\boxed{\phantom{0,301}}} = \boxed{\phantom{4}}\).

4. Résoudre de même : \(10^x = 500\).
\(x = \log(\boxed{\phantom{500}}) = \boxed{\phantom{2,70}}\) (arrondir au centième).

1. \(\log(10) = 1\), \(\log(100) = 2\), \(\log(1\,000) = 3\), \(\log(1) = 0\).

2. \(15 \approx 10^1\), ordre de grandeur = 10 m. \(0{,}002 \approx 10^{-3}\), ordre de grandeur = 0,001 m.

3. \(x = \dfrac{\log(16)}{\log(2)} = \dfrac{1{,}204}{0{,}301} = \) \(x = 4\). Vérification : \(2^4 = 16\) ✓

4. \(x = \log(500) \approx \) \(x \approx 2{,}70\).

Exercice 16 Utiliser les propriétés de la fonction exponentielle Socle
Rappel Si \(a > 0\) et \(a \neq 1\) : \(a^x \times a^y = a^{x+y}\) ; \(\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}\) ; \((a^x)^n = a^{nx}\).
Calculer chaque expression (laisser la réponse sous forme de puissance) :
a) \(2^3 \times 2^4 = \) …………   b) \(\dfrac{3^7}{3^2} = \) …………   c) \((5^2)^3 = \) …………
d) \(10^{-2} \times 10^5 = \) …………   e) \(2^0 = \) …………
Réponses : ………………………………

a) \(2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = \)\(2^7 = 128\)

b) \(\dfrac{3^7}{3^2} = 3^{7-2} = \)\(3^5 = 243\)

c) \((5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = \)\(5^6 = 15\,625\)

d) \(10^{-2} \times 10^5 = 10^{-2+5} = \)\(10^3 = 1\,000\)

e) \(2^0 = \)1 (tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1)

Exercice 17 Appliquer un modèle de dépréciation — pas à pas Socle
Contexte : Un menuisier agenceur achète une machine à 8 000 €. Sa valeur diminue de 15 % chaque année.
Rappel Diminuer de 15 % revient à multiplier par \(1 - 0{,}15 = 0{,}85\). La valeur après \(t\) ans : \(V(t) = 8\,000 \times 0{,}85^t\).
1. Calculer la valeur de la machine après 1 an, puis après 3 ans. Compléter le tableau :
\(t\) (ans)0135
\(V(t)\) (€)8 000
2. Après combien d'années la machine vaut-elle moins de 4 000 € ? (Utiliser la calculatrice ou tester des valeurs entières de \(t\).)
……………

1.

\(t\)0135
\(V(t)\)8 0006 8004 9133 561

2. \(V(4) = 8\,000 \times 0{,}85^4 \approx 4\,176\) € → encore au-dessus de 4 000 €.
\(V(5) = 8\,000 \times 0{,}85^5 \approx 3\,550\) € → en dessous.
La machine vaut moins de 4 000 € à partir de \(t = 5\) ans.

Exercice 18 Reconnaître croissance et décroissance exponentielle Socle

Pour chaque modèle, indiquer si c'est une croissance ou une décroissance exponentielle et identifier la valeur initiale.

a) \(f(t) = 500 \times 1{,}08^t\)  → …………   Valeur initiale : …………
b) \(g(t) = 200 \times 0{,}9^t\)  → …………   Valeur initiale : …………
c) \(h(t) = 1\,000 \times 2^t\)  → …………   Valeur initiale : …………
d) \(k(t) = 3\,000 \times 0{,}75^t\)  → …………   Valeur initiale : …………
Réponses : ………………………………

a) \(1{,}08 > 1\) → croissance. Valeur initiale : 500.

b) \(0 < 0{,}9 < 1\) → décroissance. Valeur initiale : 200.

c) \(2 > 1\) → croissance. Valeur initiale : 1 000.

d) \(0 < 0{,}75 < 1\) → décroissance. Valeur initiale : 3 000.

Exercice 19 Logarithme décimal — lire et utiliser une table Socle
Rappel \(\log(x)\) est le logarithme décimal : \(\log(10) = 1\), \(\log(100) = 2\), \(\log(0{,}1) = -1\). Pour tout \(x > 0\) : \(10^{\log(x)} = x\).
1. Sans calculatrice, donner la valeur entière de \(\log(x)\) pour :
a) \(\log(1\,000) = \) …………    b) \(\log(0{,}01) = \) …………    c) \(\log(10^5) = \) …………
2. Résoudre à la calculatrice (arrondir au centième) : \(10^x = 750\).
……………
3. Vérifier votre réponse à la question 2 en calculant \(10^{2{,}88}\) à la calculatrice.
……………

1. a) \(\log(1\,000) = \log(10^3) = \)3

1. b) \(\log(0{,}01) = \log(10^{-2}) = \)−2

1. c) \(\log(10^5) = \)5

2. \(10^x = 750\) → \(x = \log(750) \approx \)2,88

3. \(10^{2{,}88} \approx 758\) (légèrement différent de 750 à cause de l'arrondi) ✓

Exercice 7 Résoudre des équations exponentielles Standard

Résoudre chaque équation en utilisant le logarithme décimal. Arrondir au centième.

a) \(2^x = 64\)
b) \(3^x = 50\)
c) \(10^x = 500\)
d) \(1{,}05^x = 2\)
Réponses : ………………………………………………………………

a) \(2^x = 64\) → \(x = \dfrac{\log(64)}{\log(2)} = \dfrac{\log(2^6)}{\log(2)} = \) \(x = 6\)

b) \(3^x = 50\) → \(x = \dfrac{\log(50)}{\log(3)} = \dfrac{1{,}699}{0{,}477} \approx\) \(x \approx 3{,}56\)

c) \(10^x = 500\) → \(x = \log(500) \approx\) \(x \approx 2{,}70\)

d) \(1{,}05^x = 2\) → \(x = \dfrac{\log(2)}{\log(1{,}05)} = \dfrac{0{,}301}{0{,}0212} \approx\) \(x \approx 14{,}21\)

Méthode Pour résoudre \(a^x = b\), on applique : \(x = \dfrac{\log(b)}{\log(a)}\).
Exercice 8 Appliquer les propriétés du logarithme décimal Standard

On rappelle que \(\log(a \times b) = \log(a) + \log(b)\) et \(\log(a^n) = n \times \log(a)\).

1. Simplifier sans calculatrice :
a) \(\log(2) + \log(5)\)
b) \(\log(4) + \log(25)\)
c) \(3 \times \log(10)\)

2. Exprimer en fonction de \(\log(2)\) :
a) \(\log(8)\)    b) \(\log(32)\)    c) \(\log(0{,}5)\)

3. Sachant que \(\log(2) \approx 0{,}301\) et \(\log(3) \approx 0{,}477\), calculer sans calculatrice :
a) \(\log(6)\)    b) \(\log(9)\)    c) \(\log(12)\)
Réponses : ………………………………………………………………

1.a) \(\log(2) + \log(5) = \log(2 \times 5) = \log(10) =\) 1

1.b) \(\log(4) + \log(25) = \log(4 \times 25) = \log(100) =\) 2

1.c) \(3 \times \log(10) = 3 \times 1 =\) 3

2.a) \(\log(8) = \log(2^3) =\) \(3\log(2)\)

2.b) \(\log(32) = \log(2^5) =\) \(5\log(2)\)

2.c) \(\log(0{,}5) = \log\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = \log(2^{-1}) =\) \(-\log(2)\)

3.a) \(\log(6) = \log(2 \times 3) = \log(2) + \log(3) \approx 0{,}301 + 0{,}477 =\) \(0{,}778\)

3.b) \(\log(9) = \log(3^2) = 2\log(3) \approx 2 \times 0{,}477 =\) \(0{,}954\)

3.c) \(\log(12) = \log(4 \times 3) = 2\log(2) + \log(3) \approx 0{,}602 + 0{,}477 =\) \(1{,}079\)

Exercice 9 Modéliser une croissance et une décroissance Standard

Le niveau sonore \(L\) (en décibels) est lié à l'intensité sonore \(I\) par la relation :

\[L = 10 \times \log\!\left(\frac{I}{I_0}\right) \quad \text{avec } I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2\]

1. Un technicien chauffagiste mesure une intensité \(I = 10^{-5}\) W/m² près d'une chaudière. Calculer le niveau sonore \(L\).
2. La réglementation impose un niveau maximal de 85 dB dans un local technique. Quelle intensité maximale cela représente-t-il ?
3. Vérifier que doubler l'intensité sonore augmente le niveau de seulement 3 dB environ.
Réponses : ………………………………………………………………

1. \(L = 10 \times \log\!\left(\dfrac{10^{-5}}{10^{-12}}\right) = 10 \times \log(10^7) = 10 \times 7 =\) 70 dB

2. \(85 = 10 \times \log\!\left(\dfrac{I}{10^{-12}}\right)\) → \(\log\!\left(\dfrac{I}{10^{-12}}\right) = 8{,}5\) → \(\dfrac{I}{10^{-12}} = 10^{8{,}5}\) → \(I = 10^{-3{,}5} \approx 3{,}16 \times 10^{-4}\) W/m²

3. Si l'intensité passe de \(I\) à \(2I\) :
\(\Delta L = 10\log\!\left(\dfrac{2I}{I_0}\right) - 10\log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right) = 10\log(2) \approx 10 \times 0{,}301 \approx\) 3 dB.
Doubler l'intensité n'ajoute que 3 dB : l'échelle logarithmique « compresse » les grands nombres.

Exercice 10 Temps de doublement et demi-vie Approfondissement

On modélise l'évolution d'une grandeur par \(f(t) = V_0 \times a^t\), où \(t\) est en années.

1. Un placement financier rapporte 3 % par an. On modélise le capital par \(C(t) = 1\,000 \times 1{,}03^t\).
a) Calculer le capital après 5 ans, puis après 10 ans.
b) Au bout de combien d'années le capital aura-t-il doublé ? (Résoudre \(1{,}03^t = 2\))

2. Un matériau radioactif a une demi-vie de 8 jours. Sa masse est modélisée par \(m(t) = 100 \times 0{,}5^{t/8}\) (en grammes, \(t\) en jours).
a) Calculer la masse restante après 8 jours, puis après 24 jours.
b) Au bout de combien de jours la masse sera-t-elle inférieure à 10 g ?
Réponses : ………………………………………………………………

1.a) \(C(5) = 1\,000 \times 1{,}03^5 \approx 1\,000 \times 1{,}159 \approx\) 1 159 €
\(C(10) = 1\,000 \times 1{,}03^{10} \approx 1\,000 \times 1{,}344 \approx\) 1 344 €

1.b) \(1{,}03^t = 2\) → \(t = \dfrac{\log(2)}{\log(1{,}03)} = \dfrac{0{,}301}{0{,}01284} \approx\) \(t \approx 23{,}4\) ans.
Le capital double en environ 23 ans et demi.

2.a) \(m(8) = 100 \times 0{,}5^{8/8} = 100 \times 0{,}5 =\) 50 g (logique : une demi-vie).
\(m(24) = 100 \times 0{,}5^{24/8} = 100 \times 0{,}5^3 = 100 \times 0{,}125 =\) 12,5 g

2.b) \(100 \times 0{,}5^{t/8} < 10\) → \(0{,}5^{t/8} < 0{,}1\) → \(\dfrac{t}{8} > \dfrac{\log(0{,}1)}{\log(0{,}5)} = \dfrac{-1}{-0{,}301} \approx 3{,}32\)
→ \(t > 8 \times 3{,}32 \approx\) \(t > 26{,}6\) jours, soit à partir du 27e jour.

Exercice 11 Interpréter les coefficients d'un modèle exponentiel Approfondissement

Le rendement d'une chaudière ancienne diminue au fil du temps. On modélise ce rendement par :

\[R(t) = 92 \times 0{,}97^t\]

où \(R\) est le rendement (en %) et \(t\) le nombre d'années d'utilisation.

Années d'utilisation / Rendement (%)

1. Quel est le rendement initial de la chaudière (à \(t = 0\)) ?
2. Calculer le rendement après 5 ans, puis après 10 ans.
3. Que signifie le coefficient \(0{,}97\) en termes de perte annuelle ?
4. La chaudière est considérée obsolète quand \(R < 75\) %. Après combien d'années ?
Réponses : ………………………………………………………………

1. \(R(0) = 92 \times 0{,}97^0 = 92 \times 1 =\) 92 %

2. \(R(5) = 92 \times 0{,}97^5 \approx 92 \times 0{,}859 \approx\) 79,0 %
\(R(10) = 92 \times 0{,}97^{10} \approx 92 \times 0{,}737 \approx\) 67,8 %

3. Le coefficient \(0{,}97 = 1 - 0{,}03\) signifie que le rendement perd 3 % de sa valeur chaque année. C'est le facteur multiplicatif annuel.

4. \(92 \times 0{,}97^t < 75\) → \(0{,}97^t < \dfrac{75}{92} \approx 0{,}8152\)
→ \(t > \dfrac{\log(0{,}8152)}{\log(0{,}97)} = \dfrac{-0{,}0888}{-0{,}01323} \approx\) \(t \approx 6{,}7\) ans.
La chaudière sera obsolète au bout d'environ 7 ans.

Exercice 12 Comparer deux modèles : linéaire vs exponentiel Approfondissement

Un menuisier compare deux hypothèses pour l'évolution du prix d'un type de bois :

  • Modèle A (linéaire) : \(P_A(t) = 50 + 3t\) (prix en €/m³, \(t\) en années)
  • Modèle B (exponentiel) : \(P_B(t) = 50 \times 1{,}04^t\)
1. Compléter le tableau comparatif :
\(t\) (années)05101520
\(P_A(t)\) (€)
\(P_B(t)\) (€)
2. À partir de quelle année le modèle exponentiel dépasse-t-il le modèle linéaire ?
3. Observer les courbes ci-dessous. Lequel des deux modèles semble le plus réaliste à long terme ?

Années / Prix (€/m³) — Modèle A (linéaire) et Modèle B (exponentiel)

Réponses : ………………………………………………………………
\(t\)05101520
\(P_A(t)\)50658095110
\(P_B(t)\)5060,874,090,0109,6

2. Jusqu'à \(t = 20\), les deux modèles donnent des résultats proches. Le modèle B dépasse le modèle A aux alentours de \(t = 20\) ans. Au-delà, l'exponentielle croît de plus en plus vite.

3. Le modèle exponentiel est souvent plus réaliste pour les prix à long terme car une augmentation de 4 % par an est un pourcentage fixe (comme l'inflation), tandis que le modèle linéaire suppose une augmentation constante en euros.

Exercice 20 Dépréciation d'un équipement — contexte professionnel Standard
Contexte : Un installateur thermique achète une chaudière à condensation à 6 000 €. La valeur de cet équipement diminue de 12 % par an.
1. Écrire le modèle de dépréciation \(V(t)\).
……………
2. Calculer la valeur après 3 ans et après 7 ans.
……………
3. Au bout de combien d'années la chaudière vaut-elle moins de 2 000 € ? Utiliser \(\log\).
……………
4. Le coût de remplacement est estimé à 4 500 €. À partir de quelle année ce remplacement est-il financièrement justifié (valeur résiduelle < coût de remplacement / 2) ?
……………

1. \(V(t) = 6\,000 \times 0{,}88^t\)

2. \(V(3) = 6\,000 \times 0{,}88^3 \approx 6\,000 \times 0{,}6815 \approx \)4 089 €
\(V(7) = 6\,000 \times 0{,}88^7 \approx 6\,000 \times 0{,}4087 \approx \)2 452 €

3. \(6\,000 \times 0{,}88^t < 2\,000\) → \(0{,}88^t < \dfrac{1}{3}\) → \(t \times \log(0{,}88) < \log(1/3)\)
\(t > \dfrac{\log(1/3)}{\log(0{,}88)} = \dfrac{-0{,}477}{-0{,}0555} \approx \)8,6 ans → à partir de la 9e année.

4. Seuil : \(4\,500 / 2 = 2\,250\) €. \(V(t) < 2\,250\) → à partir de \(t \approx 10\) ans (tester : \(V(10) \approx 1\,926\) €).

Exercice 21 Résoudre une inéquation exponentielle Standard

Résoudre chaque inéquation (arrondir au centième).

a) \(1{,}03^t \geq 1{,}5\)
b) \(0{,}9^t \leq 0{,}5\)
c) \(2^t > 100\)
Réponses : ………………………………
Méthode Pour résoudre \(a^t \geq b\) avec \(a > 1\) : \(t \geq \dfrac{\log b}{\log a}\) (sens conservé car \(\log(a) > 0\)).
Pour \(0 < a < 1\) : \(\log(a) < 0\) → le sens s'inverse.

a) \(1{,}03^t \geq 1{,}5\) → \(t \geq \dfrac{\log(1{,}5)}{\log(1{,}03)} = \dfrac{0{,}176}{0{,}01284} \approx \)\(t \geq 13{,}72\)

b) \(0{,}9^t \leq 0{,}5\) → \(t \times \log(0{,}9) \leq \log(0{,}5)\). Comme \(\log(0{,}9) < 0\) : \(t \geq \dfrac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}9)} = \dfrac{-0{,}301}{-0{,}0458} \approx \)\(t \geq 6{,}58\)

c) \(2^t > 100\) → \(t > \dfrac{\log(100)}{\log(2)} = \dfrac{2}{0{,}301} \approx \)\(t > 6{,}64\)

Exercice 22 Modèle de croissance bactérienne Standard
Contexte : Dans un laboratoire de contrôle qualité, le nombre de bactéries dans un échantillon double toutes les 3 heures. On part de 500 bactéries. Le modèle est : \(N(t) = 500 \times 2^{t/3}\) (avec \(t\) en heures).
1. Calculer \(N(3)\), \(N(6)\) et \(N(12)\).
……………
2. Au bout de combien d'heures y a-t-il plus de 10 000 bactéries ?
……………
3. Un technicien stoppe le processus quand \(N > 8\,000\). Déterminer au bout de combien d'heures il doit intervenir.
……………

1. \(N(3) = 500 \times 2^1 = \)1 000 ; \(N(6) = 500 \times 2^2 = \)2 000 ; \(N(12) = 500 \times 2^4 = \)8 000

2. \(500 \times 2^{t/3} > 10\,000\) → \(2^{t/3} > 20\) → \(\dfrac{t}{3} > \dfrac{\log(20)}{\log(2)} = \dfrac{1{,}301}{0{,}301} \approx 4{,}32\) → \(t > \)12,97 h ≈ 13 h

3. \(N(12) = 8\,000\) : à \(t = 12\) h exactement le seuil est atteint. Le technicien doit intervenir à partir de \(t = 12\) h.

Exercice 23 Propriétés du logarithme — applications Standard
1. Écrire chaque expression comme un seul logarithme :
a) \(\log(4) + \log(250)\)    b) \(\log(300) - \log(3)\)    c) \(2\log(5) + \log(4)\)
……………
2. Résoudre : \(\log(x) + \log(x+3) = \log(10)\).
……………

1. a) \(\log(4 \times 250) = \log(1\,000) = \)3

1. b) \(\log(300/3) = \log(100) = \)2

1. c) \(\log(5^2) + \log(4) = \log(25 \times 4) = \log(100) = \)2

2. \(\log(x(x+3)) = \log(10)\) → \(x^2 + 3x = 10\) → \(x^2 + 3x - 10 = 0\)
\(\Delta = 9 + 40 = 49\) → \(x = \dfrac{-3 \pm 7}{2}\) → \(x = 2\) ou \(x = -5\).
Comme \(\log(x)\) exige \(x > 0\) : \(x = 2\).

Exercice 24 Niveau sonore et décibels — atelier Standard
Contexte : Dans un atelier de menuiserie, le niveau sonore \(L\) (en dB) est lié à l'intensité \(I\) (en W/m²) par \(L = 10 \log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\) avec \(I_0 = 10^{-12}\) W/m².
1. Une scie à ruban produit une intensité \(I = 10^{-3}\) W/m². Calculer le niveau sonore \(L\).
……………
2. La protection auditive est obligatoire au-delà de 85 dB. Quelle intensité maximale cela correspond-il ?
……………
3. Si on utilise 3 machines simultanément (intensités cumulées), l'intensité totale est \(I_T = 3 \times 10^{-3}\) W/m². Calculer \(L_T\) et le comparer à \(L\) obtenu en 1.
……………

1. \(L = 10 \log\!\left(\dfrac{10^{-3}}{10^{-12}}\right) = 10 \log(10^9) = 10 \times 9 = \)90 dB

2. \(85 = 10\log\!\left(\dfrac{I}{10^{-12}}\right)\) → \(\log\!\left(\dfrac{I}{10^{-12}}\right) = 8{,}5\) → \(I = 10^{8{,}5} \times 10^{-12} = 10^{-3{,}5} \approx \)\(3{,}16 \times 10^{-4}\) W/m²

3. \(L_T = 10\log\!\left(\dfrac{3 \times 10^{-3}}{10^{-12}}\right) = 10\log(3 \times 10^9) = 10(\log 3 + 9) \approx 10(0{,}477 + 9) \approx \)94,8 dB.
Tripler l'intensité n'ajoute que ≈ 4,8 dB : la protection est toujours obligatoire.

Exercice 25 Comparaison de placements financiers Standard
Contexte : Un artisan dispose de 5 000 €. Il hésite entre deux placements sur 10 ans :
• Placement A : capital augmente de 250 € par an (linéaire).
• Placement B : capital augmente de 4 % par an (exponentiel).
1. Écrire les formules \(A(t)\) et \(B(t)\).
……………
2. Compléter le tableau :
\(t\) (ans)051020
\(A(t)\) (€)
\(B(t)\) (€)
3. Au bout de combien d'années le placement B dépasse-t-il le placement A ? Résoudre algébriquement ou par essais.
……………

1. \(A(t) = 5\,000 + 250t\)  ;  \(B(t) = 5\,000 \times 1{,}04^t\)

2.

\(t\)051020
\(A(t)\)5 0006 2507 50010 000
\(B(t)\)5 0006 0837 40110 955

3. Par essai : à \(t = 10\), \(A > B\) ; à \(t = 20\), \(B > A\). En testant \(t = 17\) : \(A(17) = 9\,250\), \(B(17) \approx 9\,927\) → B dépasse A vers \(t \approx 17\) ans.

Exercice 26 Rendement solaire — modèle exponentiel Standard
Contexte : Un technicien en énergies renouvelables modélise la dégradation du rendement d'un panneau solaire par : \[\eta(t) = 100 \times 0{,}994^t\] où \(\eta\) est le rendement (en %) et \(t\) le nombre d'années depuis l'installation.
1. Quel est le rendement initial ?
……………
2. Calculer le rendement après 10 ans et après 25 ans.
……………
3. La garantie constructeur est de 25 ans pour un rendement minimal de 80 %. Vérifier si cette garantie est respectée.
……………
4. Au bout de combien d'années le rendement passe-t-il sous les 80 % ? Résoudre \(0{,}994^t = 0{,}8\).
……………

1. \(\eta(0) = 100 \times 0{,}994^0 = \)100 %

2. \(\eta(10) = 100 \times 0{,}994^{10} \approx 100 \times 0{,}9414 \approx \)94,1 %
\(\eta(25) = 100 \times 0{,}994^{25} \approx 100 \times 0{,}8574 \approx \)85,7 %

3. Après 25 ans, \(\eta \approx 85{,}7 \% > 80 \%\) → la garantie est respectée.

4. \(0{,}994^t = 0{,}8\) → \(t = \dfrac{\log(0{,}8)}{\log(0{,}994)} = \dfrac{-0{,}0969}{-0{,}00261} \approx \)37 ans.

Exercice 13 Refroidissement d'un circuit de chauffage Approfondissement
Contexte : Un technicien chauffagiste effectue la maintenance d'un circuit de chauffage central. Après l'arrêt de la chaudière, la température de l'eau dans le circuit diminue selon un modèle exponentiel.

La température \(T\) (en °C) de l'eau dans le circuit est modélisée par :

\[T(t) = 70 \times 0{,}85^t + 18\]

où \(t\) est le temps écoulé (en heures) après l'arrêt de la chaudière. Le terme \(+18\) correspond à la température ambiante du local.

1. Calculer la température de l'eau au moment de l'arrêt (\(t = 0\)).
2. Compléter le tableau de valeurs (arrondir au dixième) :
\(t\) (h)01235812
\(T(t)\) (°C)
3. Tracer la courbe sur le graphique ci-dessous. Que constate-t-on ?
4. Le technicien ne peut intervenir que lorsque l'eau est en dessous de 35 °C. Au bout de combien de temps peut-il intervenir ?
5. Vers quelle température la courbe se stabilise-t-elle ? Interpréter.

Temps (h) / Température (°C) — Refroidissement du circuit

Réponses : ……………………………

1. \(T(0) = 70 \times 0{,}85^0 + 18 = 70 + 18 =\) 88 °C

2.

\(t\)01235812
\(T(t)\)88,077,568,661,049,135,825,3

3. La courbe décroît de plus en plus lentement et tend vers la température ambiante.

4. \(T(t) < 35\) → \(70 \times 0{,}85^t + 18 < 35\) → \(0{,}85^t < \dfrac{17}{70} \approx 0{,}2429\)
→ \(t > \dfrac{\log(0{,}2429)}{\log(0{,}85)} = \dfrac{-0{,}6146}{-0{,}07058} \approx 8{,}7\)
Le technicien peut intervenir après environ 8 h 45 min.

5. La courbe se stabilise vers 18 °C, la température ambiante. Quand \(t\) est très grand, \(0{,}85^t \to 0\) donc \(T(t) \to 18\). C'est l'asymptote horizontale du modèle.

Exercice 14 Séchage du bois en atelier Approfondissement
Contexte : Un menuisier agenceur prépare des planches de chêne pour un agencement intérieur. Le taux d'humidité du bois diminue de façon exponentielle dans le séchoir de l'atelier.

Le taux d'humidité \(H\) (en %) est modélisé par :

\[H(t) = 45 \times \text{e}^{-0{,}12\,t}\]

où \(t\) est le temps en jours et \(\text{e} \approx 2{,}718\).

1. Quel est le taux d'humidité initial du bois ?
2. Calculer le taux d'humidité après 5 jours, 10 jours et 20 jours.
3. Le bois est considéré prêt pour l'agencement lorsque \(H < 12\) %. Après combien de jours ?
4. On souhaite que le bois atteigne 8 % d'humidité. Combien de jours supplémentaires faut-il après avoir atteint 12 % ?
5. Commenter la forme de la courbe : pourquoi le séchage ralentit-il avec le temps ?

Temps (jours) / Taux d'humidité H (%)

Réponses : ……………………………

1. \(H(0) = 45 \times \text{e}^{0} = 45 \times 1 =\) 45 %

2.
\(H(5) = 45 \times \text{e}^{-0{,}6} \approx 45 \times 0{,}549 \approx\) 24,7 %
\(H(10) = 45 \times \text{e}^{-1{,}2} \approx 45 \times 0{,}301 \approx\) 13,5 %
\(H(20) = 45 \times \text{e}^{-2{,}4} \approx 45 \times 0{,}0907 \approx\) 4,1 %

3. \(45 \times \text{e}^{-0{,}12t} < 12\) → \(\text{e}^{-0{,}12t} < \dfrac{12}{45} \approx 0{,}2667\)
→ \(-0{,}12t < \ln(0{,}2667) \approx -1{,}322\) → \(t > \dfrac{1{,}322}{0{,}12} \approx\) \(t \approx 11{,}0\) jours

4. \(45 \times \text{e}^{-0{,}12t} < 8\) → \(\text{e}^{-0{,}12t} < \dfrac{8}{45} \approx 0{,}1778\)
→ \(t > \dfrac{-\ln(0{,}1778)}{0{,}12} = \dfrac{1{,}727}{0{,}12} \approx\) \(t \approx 14{,}4\) jours.
Jours supplémentaires après 11 jours : environ 3,4 jours.

5. Le séchage ralentit car l'écart d'humidité entre le bois et l'air ambiant diminue. Plus le bois est sec, plus il est difficile d'en extraire l'eau restante : c'est caractéristique d'une décroissance exponentielle.

Exercice 15 Dépréciation d'un équipement professionnel Approfondissement
Contexte : Un atelier de menuiserie et un bureau d'études en génie climatique achètent chacun un équipement neuf. La valeur de revente de ces équipements diminue chaque année selon un modèle exponentiel.

Les deux équipements sont modélisés par :

  • Scie à panneaux (menuiserie) : \(V_S(t) = 12\,000 \times 0{,}85^t\) (en €)
  • Caméra thermique (génie climatique) : \(V_C(t) = 8\,000 \times 0{,}80^t\) (en €)
1. Quel est le prix d'achat de chaque équipement ?
2. Compléter le tableau de dépréciation :
\(t\) (années)012358
\(V_S(t)\) (€)
\(V_C(t)\) (€)
3. Quel est le taux de dépréciation annuel de chaque équipement ?
4. Au bout de combien d'années la scie à panneaux vaudra-t-elle moins de 3 000 € ?
5. Au bout de combien d'années la caméra thermique vaudra-t-elle moins de 1 000 € ?
6. Observer les courbes. Les deux équipements auront-ils un jour la même valeur de revente ? Estimer graphiquement quand.

Années / Valeur de revente (€) — Scie à panneaux et Caméra thermique

Réponses : ……………………………

1. Prix d'achat : Scie = 12 000 €, Caméra = 8 000 € (valeur à \(t = 0\)).

2.

\(t\)012358
\(V_S(t)\)12 00010 2008 6707 3705 3253 269
\(V_C(t)\)8 0006 4005 1204 0962 6211 342

3. Scie : coefficient \(0{,}85 = 1 - 0{,}15\) → dépréciation de 15 % par an.
Caméra : coefficient \(0{,}80 = 1 - 0{,}20\) → dépréciation de 20 % par an.

4. \(12\,000 \times 0{,}85^t < 3\,000\) → \(0{,}85^t < 0{,}25\)
→ \(t > \dfrac{\log(0{,}25)}{\log(0{,}85)} = \dfrac{-0{,}602}{-0{,}0706} \approx\) \(t \approx 8{,}5\) ans.

5. \(8\,000 \times 0{,}80^t < 1\,000\) → \(0{,}80^t < 0{,}125\)
→ \(t > \dfrac{\log(0{,}125)}{\log(0{,}80)} = \dfrac{-0{,}903}{-0{,}0969} \approx\) \(t \approx 9{,}3\) ans.

6. Les deux courbes se croisent vers \(t \approx 7\) ans. À ce moment, les deux équipements ont approximativement la même valeur (environ 4 000 €). Avant ce point, la scie vaut plus ; après, la caméra vaut plus (car elle se déprécie plus vite, elle part de plus bas mais la scie la « rattrape »).

Exercice 31 Modèle exponentiel — pompe à chaleur air/eau Approfondissement
Contexte : Le COP (Coefficient de Performance) d'une pompe à chaleur air/eau diminue avec les années d'utilisation selon le modèle : \[C(t) = 4{,}2 \times 0{,}96^t\] où \(t\) est le nombre d'années. Un technicien chauffagiste doit anticiper les maintenances.
1. Calculer \(C(0)\), \(C(5)\) et \(C(10)\). Que représente \(C(0)\) ?
2. La PAC est considérée inefficace si \(C < 2{,}5\). Au bout de combien d'années faut-il prévoir le remplacement ?
3. Calculer le taux annuel de dégradation du COP (en pourcentage).
4. Un second modèle propose \(C_2(t) = 4{,}2 \times 0{,}98^t\). De combien d'années supplémentaires le remplacement est-il repoussé ?
Réponses : ………………………………

1. \(C(0) = 4{,}2\) (COP initial). \(C(5) = 4{,}2 \times 0{,}96^5 \approx 4{,}2 \times 0{,}8154 \approx \)3,42. \(C(10) \approx 4{,}2 \times 0{,}6648 \approx \)2,79.

2. \(4{,}2 \times 0{,}96^t < 2{,}5\) → \(0{,}96^t < \dfrac{2{,}5}{4{,}2} \approx 0{,}595\) → \(t > \dfrac{\log(0{,}595)}{\log(0{,}96)} = \dfrac{-0{,}2255}{-0{,}01773} \approx \)12,7 ans → remplacement à partir de la 13e année.

3. Coefficient \(0{,}96 = 1 - 0{,}04\) → taux de dégradation : 4 % par an.

4. \(4{,}2 \times 0{,}98^t < 2{,}5\) → \(t > \dfrac{\log(0{,}595)}{\log(0{,}98)} \approx \dfrac{-0{,}2255}{-0{,}00877} \approx 25{,}7\) ans → remplacement à partir de la 26e année.
Différence : 26 − 13 = 13 ans supplémentaires.

Exercice 32 Identifier et choisir un modèle — données réelles Approfondissement
Contexte : Un ébéniste suit la valeur résiduelle de ses machines. Il dispose des données suivantes (en €) :
Années \(t\)02468
Valeur \(V\)10 0008 1006 5615 3144 305
1. Calculer le rapport \(\dfrac{V(2)}{V(0)}\), \(\dfrac{V(4)}{V(2)}\) et \(\dfrac{V(6)}{V(4)}\). Que remarque-t-on ?
2. En déduire le modèle exponentiel \(V(t) = V_0 \times q^t\). Préciser \(V_0\) et \(q\).
3. Calculer le taux annuel de dépréciation.
4. Prévoir la valeur de la machine après 12 ans.
Réponses : ………………………………

1. \(\dfrac{8\,100}{10\,000} = 0{,}81\) ; \(\dfrac{6\,561}{8\,100} \approx 0{,}81\) ; \(\dfrac{5\,314}{6\,561} \approx 0{,}81\). Le rapport est constant (≈ 0,81) : c'est bien un modèle exponentiel.

2. Le rapport est calculé sur 2 ans : \(q^2 = 0{,}81\) → \(q = \sqrt{0{,}81} = 0{,}9\).
Modèle : \(V(t) = 10\,000 \times 0{,}9^t\) avec \(V_0 = 10\,000\) et \(q = 0{,}9\).

3. \(0{,}9 = 1 - 0{,}10\) → dépréciation de 10 % par an.

4. \(V(12) = 10\,000 \times 0{,}9^{12} \approx 10\,000 \times 0{,}2824 \approx \)2 824 €.

Exercice 33 Équation et inéquation — résolution algébrique complète Approfondissement

Résoudre chaque équation ou inéquation en détaillant la résolution.

a) \(5^{2x-1} = 25\)
b) \(3 \times 2^{x+1} - 48 = 0\)
c) \(\log(x^2) - \log(x+12) = 0\)    (on précisera les conditions d'existence)
d) \(1{,}06^t > 3\)    (temps de triplement d'un capital)
Réponses : ………………………………

a) \(5^{2x-1} = 25 = 5^2\) → \(2x - 1 = 2\) → \(x = 1{,}5\)

b) \(3 \times 2^{x+1} = 48\) → \(2^{x+1} = 16 = 2^4\) → \(x + 1 = 4\) → \(x = 3\)

c) C.E. : \(x > 0\) et \(x + 12 > 0\) → \(x > 0\).
\(\log(x^2) = \log(x+12)\) → \(x^2 = x + 12\) → \(x^2 - x - 12 = 0\) → \((x-4)(x+3) = 0\)
\(x = 4\) (valide car \(> 0\)) ou \(x = -3\) (rejeté). \(x = 4\)

d) \(1{,}06^t > 3\) → \(t > \dfrac{\log 3}{\log 1{,}06} = \dfrac{0{,}4771}{0{,}02531} \approx \)\(t > 18{,}85\) (le capital triple au bout de ≈ 19 ans).

Exercice 34 Séchage du bois — modèle exponentiel et seuil Approfondissement
Contexte : Un menuisier sèche des planches de chêne. Le taux d'humidité (en %) évolue selon : \[H(t) = H_0 \times e^{-0{,}08t}\] où \(t\) est le temps en jours et \(e \approx 2{,}718\). On peut utiliser \(e^x \approx (2{,}718)^x\) ou la calculatrice.
L'humidité initiale est \(H_0 = 60\,\%\).
1. Calculer \(H(5)\), \(H(10)\) et \(H(20)\).
2. La mise en œuvre nécessite un taux d'humidité inférieur à 12 %. Déterminer le nombre de jours de séchage nécessaires.
Résoudre : \(60 \times e^{-0{,}08t} = 12\), c'est-à-dire \(e^{-0{,}08t} = 0{,}2\).
On utilisera \(\ln(0{,}2) \approx -1{,}609\) ou la relation \(a^x = b \Rightarrow x = \dfrac{\log b}{\log a}\).
3. Un four de séchage réduit le coefficient à \(-0{,}15\) (modèle accéléré). Combien de jours économise-t-on ?
Réponses : ………………………………

1. \(H(5) = 60 \times e^{-0{,}4} \approx 60 \times 0{,}6703 \approx \)40,2 %
\(H(10) = 60 \times e^{-0{,}8} \approx 60 \times 0{,}4493 \approx \)27,0 %
\(H(20) = 60 \times e^{-1{,}6} \approx 60 \times 0{,}2019 \approx \)12,1 %

2. \(e^{-0{,}08t} = 0{,}2\). Méthode logarithme : \(-0{,}08t = \ln(0{,}2) \approx -1{,}609\) → \(t = \dfrac{1{,}609}{0{,}08} \approx \)20,1 jours.

Ou avec \(\log\) : \(t = \dfrac{\log(0{,}2)}{\log(e^{-0{,}08})} = \dfrac{\log(0{,}2)}{-0{,}08\log(e)} = \dfrac{-0{,}699}{-0{,}08 \times 0{,}4343} \approx \)20,1 jours.

3. Avec \(-0{,}15\) : \(t = \dfrac{1{,}609}{0{,}15} \approx 10{,}7\) jours. Économie : ≈ 9,4 jours.

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