Ch05 — Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Terminale Bac Pro — classes ERA • TMA • ICCER (Grpt 1) — 8 mars 2026
Objectifs du chapitre
Connaître et utiliser la fonction exponentielle \(f(x)=a^x\) et ses propriétés.
Connaître et utiliser le logarithme décimal \(\log(x)\) et ses propriétés.
Résoudre des équations et inéquations exponentielles et logarithmiques.
Faire le lien avec les suites géométriques et les modèles de croissance/décroissance.
Appliquer dans des contextes professionnels : dépréciation, décibels, rendement.
Situation professionnelle — Dépréciation d'un outil de menuiserie
Un artisan menuisier achète une machine de découpe à 18 000 €. Sa valeur diminue chaque année selon un modèle exponentiel. En même temps, le niveau sonore de son atelier est mesuré en décibels, une grandeur elle aussi logarithmique. Comment prévoir la valeur de la machine ou résoudre des équations de niveau sonore ?
Introduction — Pourquoi des fonctions exponentielles ?
Dans de nombreuses situations réelles, une quantité est multipliée par un même coefficient à chaque étape : on parle alors de modèle de croissance ou de décroissance exponentielle.
Modèle de croissance/décroissance
Si une quantité est multipliée par un facteur constant \(q\) à chaque unité de temps, alors après \(t\) unités de temps :
\[ Q(t) = Q_0 \times q^t \]
où \(Q_0\) est la valeur initiale et \(q > 0\), \(q \neq 1\).
Trois exemples concrets
Exemple 1 — Population de bactéries
Une colonie de bactéries double toutes les heures. Si on part de \(P_0\) bactéries :
\[ P(t) = P_0 \times 2^t \]
Après 10 heures : \(P(10) = P_0 \times 2^{10} = P_0 \times 1024\).
La population est multipliée par plus de 1000 en seulement 10 heures !
Exemple 2 — Capital avec intérêts composés
Un capital de \(C_0\) euros placé à 5 % par an donne, après \(n\) années :
\[ C(n) = C_0 \times 1{,}05^n \]
Après 20 ans : \(C(20) = C_0 \times 1{,}05^{20} \approx C_0 \times 2{,}65\). Le capital est multiplié par 2,65.
Exemple 3 — Atténuation d’un signal
Dans certains systèmes électroniques, un signal perd 20 % de son intensité à chaque étape de transmission :
\[ I(n) = I_0 \times 0{,}8^n \]
Après 5 étapes : \(I(5) = I_0 \times 0{,}8^5 \approx 0{,}328 \cdot I_0\). L’intensité n’est plus que 32,8 % de sa valeur initiale.
1. Fonction exponentielle de base \(a\)
Définition
Soit \(a > 0\) et \(a \neq 1\). La fonction exponentielle de base \(a\) est :
\[ f : x \longmapsto a^x \]
définie pour tout réel \(x\). Le domaine de définition est \(\mathbb{R}\).
Propriétés algébriques
Pour tous réels \(x\) et \(y\), avec \(a > 0\), \(a \neq 1\) :
Si \(a > 1\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) — quand \(x\) augmente, \(a^x\) augmente.
Si \(0 < a < 1\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\) — quand \(x\) augmente, \(a^x\) diminue.
La courbe passe toujours par \((0\,;\,1)\) car \(a^0 = 1\).
\(a^x > 0\) pour tout \(x\) : la courbe est toujours strictement positive.
Tableaux de variations
\(x\)
\(-\infty\)
\(+\infty\)
\(f(x) = 2^x\)
\(\to 0^+\)
↗
\(+\infty\)
\(x\)
\(-\infty\)
\(+\infty\)
\(f(x) = (0{,}5)^x\)
\(+\infty\)
↘
\(\to 0^+\)
Attention
\(a^x\) est toujours strictement positif. Il n’existe aucun réel \(x\) tel que \(a^x \leq 0\).
De plus, l’axe des abscisses est une asymptote horizontale : la courbe s’en rapproche sans jamais la toucher.
Définition
Le logarithme décimal (noté \(\log\) ou \(\log_{10}\)) est la fonction réciproque de \(x \mapsto 10^x\).
Pour tout réel \(x > 0\) :
\[ y = \log(x) \iff 10^y = x \]
Le domaine de définition est \(]0\,;\,+\infty[\). \(\log(x)\) n’existe pas pour \(x \leq 0\).
Valeurs remarquables
\(x\)
0,001
0,01
0,1
1
10
100
1000
\(\log(x)\)
−3
−2
−1
0
1
2
3
En particulier : \(\log(1) = 0\) et \(\log(10) = 1\).
Propriétés algébriques
Pour tous réels \(a > 0\), \(b > 0\) et tout entier \(n\) :
\[\log(a \times b) = \log(a) + \log(b)\]
\[\log\!\left(\frac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b)\]
\[\log(a^n) = n \times \log(a)\]
\[\log\!\left(\frac{1}{a}\right) = -\log(a)\]
Application
Simplifie : \(\log(5) + \log(20)\). Puis résous \(10^x = 500\).
\(10^x = 500 \Rightarrow x = \log(500) \approx 2{,}70\)
Variations de \(\log\)
La fonction \(\log\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) :
\[ 0 < a < b \implies \log(a) < \log(b) \]
De plus : \(\log(a) < 0\) si \(0<a<1\) ; \(\log(a) = 0\) si \(a=1\) ; \(\log(a) > 0\) si \(a > 1\).
3. Résolution d’équations exponentielles et logarithmiques
Application
Un artisan menuisier achète du matériel qui perd 10 % par an. Sa valeur vaut \(V(t) = 15\,000 \times 0{,}9^t\). Au bout de combien d'années sa valeur est-elle inférieure à 7 500 € (moitié du prix) ?
On résout \(15\,000 \times 0{,}9^t < 7\,500\), soit \(0{,}9^t < 0{,}5\).
En appliquant le logarithme : \(t \times \log(0{,}9) < \log(0{,}5)\)
Au bout de 7 ans, la valeur est inférieure à 7 500 €.
Méthode — résoudre \(a^x = b\)
Avec \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(b > 0\), on applique \(\log\) des deux membres :
\[ a^x = b \implies \log(a^x) = \log(b) \implies x \cdot \log(a) = \log(b) \implies \boxed{x = \frac{\log(b)}{\log(a)}} \]
La fonction \(\log\) étant croissante, elle conserve les équivalences.
Méthode — résoudre \(\log(x) = k\)
\[ \log(x) = k \implies x = 10^k \]
Exemple : \(\log(x) = 2{,}5 \implies x = 10^{2{,}5} \approx 316\)
4. Résolution d’inéquations exponentielles et logarithmiques
Méthode — résoudre \(q^x \geq a\) (ou \(\leq\), \(<\), \(>\))
On applique \(\log\) des deux membres, puis on divise par \(\log(q)\). Attention au signe !
• Si \(q > 1\) c’est-à-dire \(\log(q) > 0\) : on divise sans changer le sens de l’inégalité.
• Si \(0 < q < 1\) c’est-à-dire \(\log(q) < 0\) : le sens s’INVERSE lors de la division.
Méthode — résoudre \(\log(x) \geq a\)
Comme \(\log\) est une fonction croissante, le sens de l’inégalité est conservé :
\[ \log(x) \geq a \iff x \geq 10^a \]
(valable pour \(x > 0\), condition de définition du logarithme)
Exemple 1 — \(2^x \geq 8\) (base \(q = 2 > 1\))
On remarque que \(8 = 2^3\), donc : \(2^x \geq 2^3\). Comme \(f(x)=2^x\) est croissante :
\[ x \geq 3 \]
Méthode log : \(x \cdot \log(2) \geq \log(8)\) ; \(\log(2) > 0\) donc \(x \geq \dfrac{\log(8)}{\log(2)} = \dfrac{3 \times 0{,}301}{0{,}301} = 3\) ✓
Exemple 3 — \((0{,}85)^n < 0{,}5\) (base \(q = 0{,}85 < 1\)) ⚠️ Inversion !
Application du logarithme :
\(n \cdot \log(0{,}85) < \log(0{,}5)\)
\(\log(0{,}85) \approx -0{,}0706 < 0\) ⇒ le sens s’INVERSE lors de la division !
\[ n > \frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}85)} = \frac{-0{,}301}{-0{,}0706} \approx 4{,}26 \]
Puisque \(n\) est un entier : \(\mathbf{n \geq 5}\). Vérification : \(0{,}85^4 \approx 0{,}522 > 0{,}5\) ; \(0{,}85^5 \approx 0{,}444 < 0{,}5\) ✓
Exemple 4 — \(\log(x) \geq 2\)
\(\log\) est croissante, donc :
\[ \log(x) \geq 2 \iff x \geq 10^2 = \mathbf{100} \]
Solution : \(x \geq 100\) (et \(x > 0\) pour que \(\log\) soit définie).
Exemple 5 — \(\log(x) < -1\)
\(\log\) est croissante, donc :
\[ \log(x) < -1 \iff x < 10^{-1} = 0{,}1 \]
On combine avec la condition de définition \(x > 0\) :
\[ \mathbf{0 < x < 0{,}1} \]
5. Lien avec les suites géométriques
Rappel
Une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\) vérifie :
\[ u_n = u_0 \times q^n \]
Ces suites modélisent toute évolution par multiplication successive d’un même coefficient (croissance, décroissance, intérêts composés, dépréciation…).
Trouver le rang \(n\) tel que \(u_n < S\)
\[ u_0 \times q^n < S \implies q^n < \frac{S}{u_0} \]
On applique \(\log\) puis on divise par \(\log(q)\) en prenant garde à son signe.
Exemple
Soit \(u_n = 5000 \times 0{,}9^n\). À partir de quel rang \(n\) a-t-on \(u_n < 1000\) ?
\(0{,}9^n < \dfrac{1000}{5000} = 0{,}2\)
\(n \cdot \log(0{,}9) < \log(0{,}2)\)
\(\log(0{,}9) \approx -0{,}0458\) (négatif) ⇒ sens inverse
\(n > \dfrac{\log(0{,}2)}{\log(0{,}9)} = \dfrac{-0{,}699}{-0{,}0458} \approx 15{,}27\)
Donc à partir de \(n = 16\).
6. Application professionnelle — Dépréciation d’un outil
ERATMA Contexte professionnel
Un outil industriel coûte 12 000 € à l’achat. Sa valeur diminue de 15 % chaque année (dépréciation).
On note \(V(n)\) sa valeur après \(n\) années.
\[ V(n) = 12\,000 \times 0{,}85^n \]
Questions :
1. Quelle est la valeur après 5 ans ?
2. Au bout de combien d’années la valeur passe-t-elle sous 2 000 € ?
Résolution
On cherche \(n\) tel que \(V(n) < 2\,000\) :
\[ 12\,000 \times 0{,}85^n < 2\,000 \]
\[ 0{,}85^n < \frac{2\,000}{12\,000} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1\overline{6} \]
Application du logarithme :
\[ n \cdot \log(0{,}85) < \log\!\left(\frac{1}{6}\right) \]
\(\log(0{,}85) \approx -0{,}0706\) (négatif !) ; \(\log(1/6) = -\log(6) \approx -0{,}7782\)
Division par \(\log(0{,}85) < 0\) ⇒ le sens s’inverse :
\[ n > \frac{-0{,}7782}{-0{,}0706} \approx 11{,}02 \]
⇒ À partir de \(\mathbf{n = 12}\) années, \(V(n) < 2\,000\,\euro{}\).
Tableau de dépréciation
Années \(n\)
0
2
4
6
8
10
12
15
Valeur (\(\euro{}\))
12 000
8 670
6 264
4 526
3 270
2 362
1 707
1 048
Simulateur interactif de dépréciation
Valeur initiale \(V_0\) (€) :
Taux de perte annuel (%) :
Seuil cible (€) :
Cliquez sur « Calculer » pour voir le résultat.
7. Application professionnelle — Niveau sonore en décibels
ICCER Acoustique industrielle
En acoustique, le niveau sonore en décibels (dB) est défini par :
\[ L = 10 \times \log\!\left(\frac{I}{I_0}\right) \]
où \(I\) est l’intensité sonore (W/m²) et \(I_0 = 10^{-12}\) W/m² est le seuil d’audibilité.
Niveaux sonores de référence
Source
Niveau \(L\) (dB)
Intensité \(I\) (W/m²)
Seuil d’audibilité
0
\(10^{-12}\)
Conversation normale
60
\(10^{-6}\)
Machine-outil
90
\(10^{-3}\)
Marteau-piqueur
100
\(10^{-2}\)
Seuil de la douleur
120
\(1\)
Exemple 1 — Calculer le niveau en dB
Une machine produit une intensité \(I = 5 \times 10^{-4}\) W/m².
\[ L = 10 \times \log\!\left(\frac{5 \times 10^{-4}}{10^{-12}}\right) = 10 \times \log(5 \times 10^{8}) \]
\[ = 10 \times \left[\log(5) + \log(10^8)\right] = 10 \times (0{,}699 + 8) = 10 \times 8{,}699 \approx \mathbf{87\ dB} \]
Exemple 2 — Trouver l’intensité à partir du niveau
Un panneau de contrôle indique \(L = 85\) dB. Calculer \(I\).
\[ 85 = 10 \times \log\!\left(\frac{I}{10^{-12}}\right) \implies \log\!\left(\frac{I}{10^{-12}}\right) = 8{,}5 \]
\[ \frac{I}{10^{-12}} = 10^{8{,}5} \approx 3{,}162 \times 10^8 \implies I \approx 3{,}16 \times 10^{-4}\ \text{W/m}^2 \]
Erreur 2 — Log d’un produit vs produit de logs
\(\log(a \times b) \neq \log(a) \times \log(b)\)
La bonne formule est : \(\log(a \times b) = \log(a) + \log(b)\) (addition, pas multiplication). Exemple : \(\log(2 \times 5) = \log(10) = 1\), mais \(\log(2) \times \log(5) \approx 0{,}301 \times 0{,}699 \approx 0{,}21 \neq 1\).
Erreur 3 — Oublier d’inverser le sens avec base \(0 < q < 1\)
Lorsqu’on résout \(q^x < k\) avec \(0 < q < 1\), diviser par \(\log(q) < 0\) inverse le sens de l’inégalité ! Exemple : \(0{,}5^x < 0{,}25 = 0{,}5^2 \implies x > 2\) (car \(0{,}5^x\) est décroissante).
Erreur 4 — Confondre exponentielle et puissance
\(a^x\) (exponentielle) est très différent de \(x^a\) (puissance) :
• \(2^x\) : l’exposant est la variable, la base est fixe → croissance très rapide.
• \(x^2\) : la base est la variable, l’exposant est fixe → parabole. Exemple : \(2^{10} = 1024\) mais \(10^2 = 100\). Pour de grandes valeurs, \(2^x \gg x^2\).
Erreur 5 — Domaine de définition du logarithme
\(\log(0)\) n’existe pas. \(\log\) d’un nombre négatif n’existe pas.
Le domaine de définition de \(\log\) est strictement \(]0\,;\,+\infty[\). Attention : quand on résout \(\log(x) = k\), la solution \(x = 10^k\) est automatiquement \(> 0\).
c) \(\log(x) = 3{,}2 \implies x = 10^{3{,}2} \approx \mathbf{1\,585}\)
Exercice 3 — ERA / TMA Dépréciation d’un véhicule
Un véhicule utilitaire est acheté 28 000 €. Sa valeur diminue de 12 % chaque année. a) Écrire la formule de \(V(n)\) après \(n\) années. b) Calculer \(V(3)\). c) Après combien d’années sa valeur est-elle inférieure à 10 000 € ?
Voir la correction
a) Perte de 12 % par an ⇒ coefficient multiplicateur \(1-0{,}12 = 0{,}88\).
\[V(n) = 28\,000 \times 0{,}88^n\] b) \(V(3) = 28\,000 \times 0{,}88^3 = 28\,000 \times 0{,}6815 \approx \mathbf{19\,082\ \euro{}}\)
c) On résout \(28\,000 \times 0{,}88^n < 10\,000\) :
\(0{,}88^n < \dfrac{10\,000}{28\,000} \approx 0{,}3571\)
\(n \cdot \log(0{,}88) < \log(0{,}3571)\)
\(\log(0{,}88) \approx -0{,}0555\) (négatif) ⇒ sens inverse
\(n > \dfrac{\log(0{,}3571)}{\log(0{,}88)} = \dfrac{-0{,}4472}{-0{,}0555} \approx 8{,}06\)
⇒ À partir de \(\mathbf{n = 9}\) ans.
Exercice 4 — ICCER Acoustique industrielle
Dans un atelier, on mesure \(L = 92\) dB près d’une machine.
On rappelle : \(L = 10 \times \log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\) avec \(I_0 = 10^{-12}\) W/m². a) Calculer l’intensité sonore \(I\) en W/m². b) Après isolation, le niveau tombe à 78 dB. Par quel facteur l’intensité a-t-elle été divisée ?
b) \(I' = 10^{7{,}8-12} = 10^{-4{,}2} \approx 6{,}31 \times 10^{-5}\) W/m²
Rapport : \(\dfrac{I}{I'} = \dfrac{10^{-2{,}8}}{10^{-4{,}2}} = 10^{-2{,}8+4{,}2} = 10^{1{,}4} \approx \mathbf{25}\)
L’intensité a été divisée par environ 25. Remarque : une différence de 14 dB correspond toujours à un rapport d’intensité de \(10^{1{,}4} \approx 25\).
Exercice 5 — Inéquations exponentielles
Résoudre : a) \(3^x \leq 100\) b) \((0{,}7)^n < 0{,}1\) — donner la valeur entière minimale de \(n\).
Résoudre : a) \(\log(x) \geq 1{,}5\) b) \(\log(x) < -2\)
Voir la correction
a) \(\log\) est croissante, donc :
\(\log(x) \geq 1{,}5 \iff x \geq 10^{1{,}5} \approx \mathbf{31{,}6}\)
Solution : \(x \geq 10^{1{,}5} \approx 31{,}6\).
b) \(\log\) est croissante, donc :
\(\log(x) < -2 \iff x < 10^{-2} = 0{,}01\)
Avec la condition \(x > 0\) : \(\mathbf{0 < x < 0{,}01}\).
13. Pour aller plus loin — Hors programme
⚠ Hors programme — pour les élèves curieux
Cette section présente des notions qui vont au-delà du programme de Terminale Bac Pro. Elles ne seront pas évaluées lors des contrôles, mais peuvent satisfaire votre curiosité et constituent une introduction aux études supérieures.
1. Le logarithme naturel (népérien) \(\ln\)
En plus du logarithme décimal \(\log_{10}\), il existe le logarithme naturel (ou népérien), noté \(\ln\), qui utilise la base \(e \approx 2{,}71828\ldots\) (constante d’Euler).
Définition
\(\ln(x) = \log_e(x)\) — le logarithme en base \(e\).
Formule de conversion : \(\ln(x) = \dfrac{\log(x)}{\log(e)} \approx \dfrac{\log(x)}{0{,}4343}\)
Le logarithme naturel est très utilisé en mathématiques appliquées, en physique, en chimie et en économie. En Terminale générale, \(\ln\) est au programme à la place de \(\log\).
2. Décroissance exponentielle — Radioactivité
Un atome radioactif se désintègre de manière exponentielle. Le nombre d’atomes au temps \(t\) est :
\[ N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t} \]
où \(\lambda\) est la constante de désintègration et \(N_0\) le nombre initial d’atomes. La demi-vie \(T_{1/2}\) est le temps nécessaire pour que la moitié des atomes se soient désintégrés : \(T_{1/2} = \dfrac{\ln(2)}{\lambda} \approx \dfrac{0{,}693}{\lambda}\).
3. Changement de base
Pour calculer le logarithme dans une base quelconque \(b\), on utilise la formule de changement de base :
C’est ainsi qu’une calculatrice scientifique calcule les logarithmes dans toute base : elle n’en connaît que deux (\(\log\) et \(\ln\)), mais peut tout déduire.
4. Lien exponentielle — logarithme naturel
Tout comme \(\log\) et \(10^x\) sont fonctions réciproques, \(\ln\) et \(e^x\) le sont aussi :
\[ e^{\ln(x)} = x \quad \text{et} \quad \ln(e^x) = x \]
La fonction \(e^x\) (exponentielle de base \(e\)) a la propriété remarquable d’être égale à sa propre dérivée, ce qui en fait l’outil central du calcul différentiel et intégral.
Erreurs fréquentes
❌
Appliquer le logarithme d'un nombre négatif ou nul
\(\log(x)\) n'existe que pour \(x > 0\). Écrire \(\log(-3)\) n'a pas de sens. Conseil : avant d'appliquer le logarithme, vérifier que le nombre est strictement positif.
❌
Confondre \(\log(a+b)\) et \(\log(a) + \log(b)\)
\(\log(a+b) \neq \log(a) + \log(b)\). La propriété s'applique au produit, pas à la somme. Conseil : \(\log(a \times b) = \log(a) + \log(b)\) — mémoriser avec la multiplication.
❌
Inverser le sens de l'inégalité sans raison
Quand on divise par \(\log(a)\) et que \(a < 1\), \(\log(a) < 0\) donc l'inégalité s'inverse. Conseil : vérifier le signe du coefficient lors d'une division dans une inéquation.
❌
Confondre base \(a\) et base \(e\)
\(2^x\) et \(e^x\) sont des fonctions différentes. La formule de résolution varie selon la base. Conseil : identifier clairement la base de l'exponentielle avant de commencer la résolution.