Devoir Surveillé – Chapitre 5

Fonctions exponentielles et logarithme décimal | T^le Pro

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Connaître et utiliser la fonction exponentielle \(f(x)=a^x\) et ses propriétés.
Connaître et utiliser le logarithme décimal \(\log(x)\) et ses propriétés.
Résoudre des équations et inéquations exponentielles et logarithmiques.
Faire le lien avec les suites géométriques et les modèles de croissance/décroissance.
Appliquer dans des contextes professionnels : dépréciation, décibels, rendement.

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Socle Exercice 1 – Puissances de 10 et calculs exponentiels guidés 10 points

2 pts par question.

Rappel \(10^n\) = 1 suivi de \(n\) zéros. \(10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}\). \(10^0 = 1\).

1. Compléter les cases :

Puissance	\(10^2\)	\(10^4\)	\(10^{-1}\)	\(10^{-3}\)	\(10^0\)
Valeur	\(\boxed{\phantom{100}}\)	\(\boxed{\phantom{10000}}\)	\(\boxed{\phantom{0,1}}\)	\(\boxed{\phantom{0,001}}\)	\(\boxed{\phantom{1}}\)

2. Calculer \(2^4 = \boxed{\phantom{16}}\) et \(3^3 = \boxed{\phantom{27}}\).

3. Soit \(f(x) = 2^x\). Compléter le tableau :

\(x\)	0	1	2	3	4
\(f(x)\)	\(\boxed{\phantom{1}}\)	\(\boxed{\phantom{2}}\)	\(\boxed{\phantom{4}}\)	\(\boxed{\phantom{8}}\)	\(\boxed{\phantom{16}}\)

4. La fonction \(f(x) = 2^x\) est-elle croissante ou décroissante ? Cocher :
☐ croissante ☐ décroissante
Justifier : quand \(x\) augmente, \(f(x)\) ……………

5. Résoudre pas à pas : \(10^x = 1\,000\).
On reconnaît que \(1\,000 = 10^{\boxed{\phantom{3}}}\), donc \(x = \boxed{\phantom{3}}\).

1. \(10^2 = 100\), \(10^4 = 10\,000\), \(10^{-1} = 0{,}1\), \(10^{-3} = 0{,}001\), \(10^0 = 1\).

2. \(2^4 = 16\), \(3^3 = 27\).

3. \(f(0) = 1\), \(f(1) = 2\), \(f(2) = 4\), \(f(3) = 8\), \(f(4) = 16\).

4. La fonction est croissante : quand \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente aussi car la base \(2 > 1\).

5. \(1\,000 = 10^3\), donc \(x = 3\).

Socle Exercice 2 – Consommation énergétique d'un système de chauffage 10 points

Un technicien chauffagiste constate que la consommation énergétique d'une chaudière ancienne augmente de 5 % par an. La consommation initiale est \(C_0 = 12\,000\) kWh/an.

On modélise la consommation après \(t\) années par : \(C(t) = 12\,000 \times 1{,}05^t\).

2 pts par question.

1. Quelle est la consommation initiale (\(t = 0\)) ?
\(C(0) = 12\,000 \times 1{,}05^{\boxed{\phantom{0}}} = 12\,000 \times \boxed{\phantom{1}} = \boxed{\phantom{12\,000}}\) kWh.

2. Calculer la consommation après 1 an :
\(C(1) = 12\,000 \times 1{,}05 = \boxed{\phantom{12\,600}}\) kWh.

3. Compléter le tableau (arrondir à l'unité) :

\(t\) (années)	0	1	2	3	5
\(C(t)\) (kWh)	\(\boxed{\phantom{12\,000}}\)	\(\boxed{\phantom{12\,600}}\)	\(\boxed{\phantom{13\,230}}\)	\(\boxed{\phantom{13\,891}}\)	\(\boxed{\phantom{15\,316}}\)

4. La consommation augmente-t-elle de façon régulière (linéaire) ou de façon de plus en plus rapide (exponentielle) ? Justifier en observant les écarts entre valeurs consécutives.

5. Le propriétaire veut changer la chaudière quand la consommation dépassera 15 000 kWh. D'après le tableau, entre quelles années cela se produit-il ?

1. \(C(0) = 12\,000 \times 1 = 12\,000\) kWh.

2. \(C(1) = 12\,000 \times 1{,}05 = 12\,600\) kWh.

3. \(C(0) = 12\,000\), \(C(1) = 12\,600\), \(C(2) \approx 13\,230\), \(C(3) \approx 13\,891\), \(C(5) \approx 15\,316\).

4. L'augmentation est exponentielle : les écarts croissent (\(+600\), \(+630\), \(+661\)…). Chaque année, on ajoute 5 % de la valeur précédente, pas un montant fixe.

5. \(C(3) \approx 13\,891 < 15\,000\) et \(C(5) \approx 15\,316 > 15\,000\) : le dépassement a lieu entre la 3^e et la 5^e année (plus précisément vers \(t \approx 4{,}6\) ans).

Standard Exercice 1 – Calculs et propriétés 10 points

2 pts par question.

1. Calculer les valeurs suivantes sans calculatrice :
\(2^5 = \dots\) \(10^{-2} = \dots\) \(3^0 = \dots\) \(5^{-1} = \dots\)

2. Résoudre l'équation \(2^x = 32\).

3. Résoudre l'équation \(3^x = \dfrac{1}{27}\).

4. En utilisant la propriété \(\log(a \times b) = \log(a) + \log(b)\), calculer \(\log(200)\) sachant que \(\log(2) \approx 0{,}301\).

5. Résoudre l'équation \(\log(x) = 2{,}5\). Arrondir au dixième.

1. \(2^5 = 32\) \(10^{-2} = 0{,}01\) \(3^0 = 1\) \(5^{-1} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2\)

2. \(2^x = 32\). Or \(32 = 2^5\), donc \(2^x = 2^5\), d'où \(x = 5\).

3. \(3^x = \dfrac{1}{27}\). Or \(\dfrac{1}{27} = \dfrac{1}{3^3} = 3^{-3}\), donc \(3^x = 3^{-3}\), d'où \(x = -3\).

4. \(\log(200) = \log(2 \times 100) = \log(2) + \log(100) = 0{,}301 + 2 = 2{,}301\).

5. \(\log(x) = 2{,}5 \Rightarrow x = 10^{2{,}5} = 10^2 \times 10^{0{,}5} = 100\sqrt{10} \approx 316{,}2\).

Standard Exercice 2 – Atténuation d'un signal (contexte professionnel) 10 points

Un technicien en installation climatique mesure l'intensité d'un signal transmis par un capteur de température à travers une série de connecteurs. L'intensité initiale est \(I_0 = 50\) mA. Après chaque connecteur, le signal est atténué : l'intensité est multipliée par \(0{,}8\).

On modélise l'intensité après \(n\) connecteurs par : \(I(n) = I_0 \times 0{,}8^n\).

Barème détaillé ci-dessous.

1. (2 pts) Calculer \(I(1)\), \(I(2)\) et \(I(3)\). Arrondir au dixième.

2. (2 pts) Compléter le tableau ci-dessous (arrondir au dixième) :

\(n\)	0	1	2	3	4	5
\(I(n)\) (mA)

3. (2 pts) Le capteur ne fonctionne plus si le signal descend en dessous de \(20\) mA. À partir de combien de connecteurs le signal est-il trop faible ? Justifier.

4. (2 pts) On définit l'atténuation en décibels par \(A(n) = 10 \times \log\!\left(\dfrac{I(n)}{I_0}\right)\). Montrer que \(A(n) = 10\,n\,\log(0{,}8)\).

5. (2 pts) Calculer \(A(5)\). Arrondir au dixième. Interpréter le signe du résultat.

1. \(I(1) = 50 \times 0{,}8 = 40\) mA \(I(2) = 50 \times 0{,}8^2 = 50 \times 0{,}64 = 32\) mA \(I(3) = 50 \times 0{,}8^3 = 50 \times 0{,}512 = 25{,}6\) mA.

\(n\)	0	1	2	3	4	5
\(I(n)\)	50	40	32	25,6	20,5	16,4

3. On cherche \(n\) tel que \(I(n) < 20\), soit \(50 \times 0{,}8^n < 20\), donc \(0{,}8^n < 0{,}4\). D'après le tableau, \(I(4) = 20{,}5 > 20\) et \(I(5) = 16{,}4 < 20\). Le signal est trop faible à partir de \(n = 5\) connecteurs.

4. \(A(n) = 10\,\log\!\left(\dfrac{I(n)}{I_0}\right) = 10\,\log\!\left(\dfrac{I_0 \times 0{,}8^n}{I_0}\right) = 10\,\log(0{,}8^n) = 10\,n\,\log(0{,}8)\).

5. \(A(5) = 10 \times 5 \times \log(0{,}8) = 50 \times (-0{,}0969) \approx -4{,}8\) dB. Le signe négatif indique une perte (atténuation) du signal.

Approfondissement Exercice 1 – Décroissance radioactive et demi-vie 10 points

Dans un laboratoire, on étudie un échantillon de césium 137 dont la demi-vie est de 30 ans. La masse initiale de l'échantillon est \(m_0 = 200\) g. La masse restante après \(t\) années est modélisée par :

\[m(t) = 200 \times 0{,}5^{t/30}\]

1. (2 pts) Vérifier que \(m(30) = 100\) g. Interpréter ce résultat.

2. (2 pts) Calculer la masse restante après 60 ans et après 90 ans.

3. (3 pts) Déterminer au bout de combien d'années la masse sera inférieure à 10 g. Poser l'inéquation et la résoudre avec le logarithme décimal.

4. (3 pts) Un isolant thermique utilisé en chauffage perd 2 % de son efficacité par an. Son efficacité initiale est de 95 %. Modéliser \(E(t)\) et déterminer au bout de combien d'années l'efficacité passe en dessous de 70 %.

1. \(m(30) = 200 \times 0{,}5^{30/30} = 200 \times 0{,}5 = 100\) g. Après une demi-vie (30 ans), il reste la moitié de la masse initiale.

2. \(m(60) = 200 \times 0{,}5^2 = 200 \times 0{,}25 = 50\) g. \(m(90) = 200 \times 0{,}5^3 = 200 \times 0{,}125 = 25\) g.

3. \(200 \times 0{,}5^{t/30} < 10\) ⇒ \(0{,}5^{t/30} < 0{,}05\) ⇒ \(\dfrac{t}{30} > \dfrac{\log(0{,}05)}{\log(0{,}5)} = \dfrac{-1{,}301}{-0{,}301} \approx 4{,}32\) ⇒ \(t > 30 \times 4{,}32 \approx 129{,}7\) ans. La masse sera inférieure à 10 g après environ 130 ans.

4. \(E(t) = 95 \times 0{,}98^t\). On résout \(95 \times 0{,}98^t < 70\) ⇒ \(0{,}98^t < \dfrac{70}{95} \approx 0{,}7368\) ⇒ \(t > \dfrac{\log(0{,}7368)}{\log(0{,}98)} = \dfrac{-0{,}1328}{-0{,}00877} \approx 15{,}1\) ans. L'efficacité passe sous 70 % après environ 15 ans.

Approfondissement Exercice 2 – Échelle logarithmique : intensité sonore et décibels 10 points

Le niveau sonore \(L\) (en décibels) est lié à l'intensité sonore \(I\) (en W/m²) par la relation :

\[L = 10 \times \log\!\left(\frac{I}{I_0}\right) \quad \text{avec } I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2\]

1. (2 pts) Un compresseur utilisé en atelier produit une intensité \(I = 10^{-3}\) W/m². Calculer le niveau sonore \(L\).

2. (2 pts) La réglementation impose le port de protections auditives à partir de 85 dB. Déterminer l'intensité correspondante.

3. (2 pts) Deux machines identiques fonctionnent simultanément. Chacune produit une intensité \(I_1 = 10^{-4}\) W/m². L'intensité totale est \(I = 2 \times I_1\). Calculer le niveau sonore total et montrer que deux machines ne doublent pas le nombre de décibels.

4. (4 pts) Le pH d'une solution est défini par \(\text{pH} = -\log\!\left([\text{H}^+]\right)\), où \([\text{H}^+]\) est la concentration en ions hydrogène (en mol/L).
a) Calculer le pH d'une solution dont \([\text{H}^+] = 10^{-4}\) mol/L.
b) Calculer le pH d'une solution dont \([\text{H}^+] = 3{,}2 \times 10^{-6}\) mol/L. Arrondir au dixième.
c) Une solution a un pH de 3. Déterminer \([\text{H}^+]\).
d) Expliquer pourquoi l'échelle des pH est logarithmique : que se passe-t-il quand la concentration est multipliée par 10 ?

1. \(L = 10 \times \log\!\left(\dfrac{10^{-3}}{10^{-12}}\right) = 10 \times \log(10^9) = 10 \times 9 = 90\) dB.

2. \(85 = 10 \times \log\!\left(\dfrac{I}{10^{-12}}\right)\) ⇒ \(\log\!\left(\dfrac{I}{10^{-12}}\right) = 8{,}5\) ⇒ \(\dfrac{I}{10^{-12}} = 10^{8{,}5}\) ⇒ \(I = 10^{-3{,}5} \approx 3{,}16 \times 10^{-4}\) W/m².

3. \(I = 2 \times 10^{-4}\). \(L = 10\,\log\!\left(\dfrac{2 \times 10^{-4}}{10^{-12}}\right) = 10\,\log(2 \times 10^8) = 10\,[\log(2) + 8] = 10 \times 8{,}301 = 83{,}0\) dB. Une seule machine : \(L_1 = 10 \times 8 = 80\) dB. On passe de 80 à 83 dB (+ 3 dB), pas de 80 à 160 : l'échelle est logarithmique.

4.a) \(\text{pH} = -\log(10^{-4}) = 4\).

4.b) \(\text{pH} = -\log(3{,}2 \times 10^{-6}) = -[\log(3{,}2) + \log(10^{-6})] = -[0{,}505 - 6] = 5{,}5\).

4.c) \(\text{pH} = 3\) ⇒ \([\text{H}^+] = 10^{-3} = 0{,}001\) mol/L.

4.d) Quand la concentration est multipliée par 10, le pH diminue de 1 unité : \(-\log(10 \times c) = -\log(c) - 1\). L'échelle logarithmique permet de représenter sur une échelle réduite des concentrations variant énormément (de \(10^{-14}\) à \(10^0\)).