Fiche résumé — Fonctions polynômes de degré 3
Chapitre 4 | Terminale Bac Pro | Mathématiques
Définition
Forme générale :
\(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) avec \(a \neq 0\)
Définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier. La courbe a une forme en « S ».
- \(a > 0\) → S montant (bas-gauche vers haut-droit)
- \(a < 0\) → S inversé (haut-gauche vers bas-droit)
Dérivée
\(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\)
La dérivée d'un polynôme de degré 3 est un polynôme de degré 2.
Règles : \((x^3)' = 3x^2\), \((x^2)' = 2x\), \((x)' = 1\), \((k)' = 0\).
Dérivée et variations
- \(f'(x) > 0\) → \(f\) croissante
- \(f'(x) < 0\) → \(f\) décroissante
- \(f'(x_0) = 0\) et changement de signe → extremum
\(f'\) passe de \(+\) à \(-\) → maximum local
\(f'\) passe de \(-\) à \(+\) → minimum local
Méthode — Tableau de variations
- Calculer \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\).
- Résoudre \(f'(x) = 0\) (discriminant \(\Delta\)).
- Dresser le tableau de signe de \(f'\).
- En déduire les variations de \(f\).
- Calculer \(f(x_1)\) et \(f(x_2)\) aux extrema.
Rôle du discriminant \(\Delta\) de \(f'(x)\) (méthode hors programme — anticipation BTS ; factorisation ou outil numérique attendus)
- \(\Delta > 0\) : deux racines réelles distinctes \(x_1\) et \(x_2\) → la courbe a 1 maximum local et 1 minimum local.
- \(\Delta = 0\) : une racine double → point d'inflexion horizontal, pas d'extremum. Fonction monotone.
- \(\Delta < 0\) : pas de racine réelle → \(f'\) garde un signe constant → fonction strictement monotone, pas d'extremum.
Rappel : pour \(ax^2 + bx + c = 0\) : \(\Delta = b^2 - 4ac\)
Si \(\Delta \geq 0\) : \(\displaystyle x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(\displaystyle x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)
Pour \(f'(x)\) : on identifie \(a\), \(b\), \(c\) dans \(f'(x)\) et on applique les mêmes formules.
Fonction cube \(f(x) = x^3\)
- Strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)
- Passe par l'origine
- Fonction impaire : \(f(-x) = -f(x)\)
- \(f'(x) = 3x^2 \geq 0\)
\(f'(0) = 0\) mais pas d'extremum en 0 (point d'inflexion).
Nombre de solutions de \(f(x) = c\)
Graphiquement : compter les intersections de la courbe avec la droite \(y = c\).
- Si \(\Delta > 0\) : selon la valeur de \(c\), il peut y avoir 1, 2 ou 3 solutions.
- Si \(\Delta \leq 0\) : toujours 1 seule solution (fonction monotone).
Piège 1 : Oublier de multiplier les coefficients lors de la dérivation. \((ax^3)' = 3ax^2\), pas \(ax^2\). Le coefficient 3 vient de l'exposant.
Piège 2 : Croire que \(f'(x_0) = 0\) implique toujours un extremum. Si le signe de \(f'\) ne change pas (cas \(\Delta \leq 0\)), il n'y a pas d'extremum.
Piège 3 : Confondre le cube d'un nombre négatif. \((-2)^3 = -8\), pas \(+8\). Le cube d'un négatif est négatif.
Astuce allure : Le signe de \(a\) détermine le comportement aux extrêmes. Si \(a > 0\), la courbe « monte » vers \(+\infty\) à droite. Si \(a < 0\), elle « descend » vers \(-\infty\) à droite.
Astuce dérivation : Dériver terme par terme. Chaque \(x^n\) donne \(n \cdot x^{n-1}\). Les constantes disparaissent.
Résumé express — Méthode type
- Identifier \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) dans \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\).
- Calculer \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\).
- Calculer \(\Delta = 4b^2 - 12ac\) pour \(f'(x) = 0\).
- Si \(\Delta > 0\) : trouver \(x_1\) et \(x_2\), dresser le tableau de signe de \(f'\), puis le tableau de variations.
- Calculer \(f(x_1)\) et \(f(x_2)\) pour identifier max et min locaux.
- Pour \(f(x) = c\) : tracer la droite \(y = c\) et compter les intersections.