Fiche résumé — Fonctions polynômes de degré 3
Chapitre 4 | Terminale Bac Pro | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Définition
Forme générale :
\(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) avec \(a \neq 0\)
Définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier. La courbe a une forme en « S ».
- \(a > 0\) → S montant (bas-gauche vers haut-droit)
- \(a < 0\) → S inversé (haut-gauche vers bas-droit)
Dérivée
\(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\)
La dérivée d'un polynôme de degré 3 est un polynôme de degré 2.
Règles : \((x^3)' = 3x^2\), \((x^2)' = 2x\), \((x)' = 1\), \((k)' = 0\).
Dérivée et variations
- \(f'(x) > 0\) → \(f\) croissante
- \(f'(x) < 0\) → \(f\) décroissante
- \(f'(x_0) = 0\) et changement de signe → extremum
\(f'\) passe de \(+\) à \(-\) → maximum local
\(f'\) passe de \(-\) à \(+\) → minimum local
Méthode — Tableau de variations
- Calculer \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\).
- Résoudre \(f'(x) = 0\) par factorisation simple ou à la calculatrice.
- Dresser le tableau de signe de \(f'\).
- En déduire les variations de \(f\).
- Calculer les valeurs de \(f\) aux extremums repérés et aux bornes si nécessaire.
Trouver les zéros de la dérivée
Factorisation simple ou donnée : \(3(x-1)(x-3)=0\) donne \(x=1\) ou \(x=3\).
Sinon : saisir les coefficients de la dérivée \(Ax^2+Bx+C\) dans le solveur de degré 2 de la calculatrice. Garder toute la précision pendant les calculs ; arrondir à la fin.
- Deux racines distinctes : signe de \(A\) à l’extérieur, signe opposé entre elles.
- Racine double : aucun changement de signe ; aucun extremum.
- Aucune racine réelle : signe constant ; fonction strictement monotone.
Le discriminant reste un complément facultatif du cours.
Fonction cube \(f(x) = x^3\)
- Strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)
- Passe par l'origine
- Fonction impaire : \(f(-x) = -f(x)\)
- \(f'(x) = 3x^2 \geq 0\)
\(f'(0) = 0\) mais pas d'extremum en 0 (point d'inflexion).
Nombre de solutions de \(f(x) = c\)
Graphiquement : compter les intersections de la courbe avec la droite \(y = c\).
- Sur \(\mathbb{R}\), avec deux extremums locaux : 1, 2 ou 3 solutions selon \(c\). Si la fonction est strictement monotone : une seule.
- Sur un intervalle imposé : ne compter que ses intersections, une seule fois chacune ; il peut n’y en avoir aucune.
Piège 1 : Oublier de multiplier les coefficients lors de la dérivation. \((ax^3)' = 3ax^2\), pas \(ax^2\). Le coefficient 3 vient de l'exposant.
Piège 2 : Croire que \(f'(x_0) = 0\) implique toujours un extremum. Si le signe de \(f'\) ne change pas, il n'y a pas d'extremum.
Piège 3 : Confondre le cube d'un nombre négatif. \((-2)^3 = -8\), pas \(+8\). Le cube d'un négatif est négatif.
Astuce allure : Le signe de \(a\) détermine le comportement aux extrêmes. Si \(a > 0\), la courbe « monte » vers \(+\infty\) à droite. Si \(a < 0\), elle « descend » vers \(-\infty\) à droite.
Astuce dérivation : Dériver terme par terme. Chaque \(x^n\) donne \(n \cdot x^{n-1}\). Les constantes disparaissent.