Devoir Surveillé – Chapitre 4

Polynômes de degré 3 | T^le Pro

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Reconnaître et définir une fonction polynôme de degré 3.
Calculer la dérivée d’un polynôme de degré 3.
Dresser le tableau de variations à l’aide du signe de la dérivée.
Identifier les extremums locaux (maximum, minimum).
Lire et interpréter une courbe de polynôme de degré 3.
Déterminer le nombre de solutions de \(f(x) = c\) graphiquement.
Utiliser la calculatrice ou un tableur pour résoudre des équations.

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Convention du chapitre — méthode du discriminant Pour résoudre \(f'(x) = 0\), ce chapitre utilise la méthode du discriminant, qui ne figure pas au programme du Bac Pro : le programme attend une factorisation (racine évidente) ou l'usage de l'outil numérique. Le discriminant est assumé ici en anticipation du BTS, où il est indispensable. En évaluation certificative, une résolution par factorisation ou outil numérique est tout aussi valable.

Exercice 1 – Calculer des images et dériver 10 points

On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\).

1. (2 pts) Calculer \(f(0)\) et \(f(1)\) en remplaçant \(x\) dans la formule.

\(f(0) = (0)^3 - 3 \times (0)^2 + 4 = \) ……
\(f(1) = (1)^3 - 3 \times (1)^2 + 4 = \) ……

2. (2 pts) Calculer \(f(2)\) et \(f(-1)\).

3. (2 pts) Calculer la dérivée \(f'(x)\).

Rappel : si \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), alors \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\).

Ici \(a = \) …, \(b = \) …, \(c = \) …, \(d = \) …

\(f'(x) = 3 \times\) … \(\times x^2 + 2 \times\) … \(\times x + \) … \(= \) …………

4. (2 pts) On admet que \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\). Compléter le tableau de signes :

\(x\)	\(-\infty\)		\(0\)		\(2\)		\(+\infty\)
Signe de \(3x\)		?	\(0\)	?		?
Signe de \((x-2)\)		?		?	\(0\)	?
Signe de \(f'(x)\)		?	\(0\)	?	\(0\)	?

5. (2 pts) D'après le tableau de signes, compléter le tableau de variations :

\(x\)	\(-\infty\)		\(0\)		\(2\)		\(+\infty\)
Variations de \(f\)		↗ ou ↘ ?	\(f(0)=\)?	↗ ou ↘ ?	\(f(2)=\)?	↗ ou ↘ ?

1. \(f(0) = 0 - 0 + 4 = 4\) ; \(f(1) = 1 - 3 + 4 = 2\)

2. \(f(2) = 8 - 12 + 4 = 0\) ; \(f(-1) = -1 - 3 + 4 = 0\)

3. \(a=1,\; b=-3,\; c=0,\; d=4\). \(f'(x) = 3x^2 - 6x\).

4. Signes : \(3x < 0\) si \(x < 0\), \(3x > 0\) si \(x > 0\). \((x-2) < 0\) si \(x < 2\), \((x-2) > 0\) si \(x > 2\). Produit : \(+\) sur \(]-\infty;0[\), \(-\) sur \(]0;2[\), \(+\) sur \(]2;+\infty[\).

5. \(f(0) = 4\) (maximum local), \(f(2) = 0\) (minimum local). Croissante, décroissante, croissante.

Exercice 2 – Volume d'une boîte (guidé) 10 points

Un menuisier découpe des carrés de côté \(x\) cm aux quatre coins d'une plaque de 24 cm × 16 cm, puis plie pour former une boîte ouverte.

1. (1 pt) Quelles sont les dimensions de la boîte après pliage ? Compléter :

Longueur = \(24 - 2 \times x = \) …… cm ; Largeur = \(16 - 2 \times x = \) …… cm ; Hauteur = … cm

2. (1 pt) Quelle est la contrainte sur \(x\) ? (\(x\) doit être positif et inférieur à la moitié du plus petit côté.)

3. (2 pts) Calculer le volume \(V(x) = x \times (24-2x) \times (16-2x)\) pour \(x = 2\) et \(x = 3\).

\(V(2) = 2 \times (24-4) \times (16-4) = 2 \times\) … \(\times\) … \(=\) …… cm³

\(V(3) = 3 \times\) … \(\times\) … \(=\) …… cm³

4. (2 pts) Compléter le tableau de valeurs avec la calculatrice :

\(x\)	1	2	3	4	5	6	7
\(V(x)\)	?	?	?	?	?	?	?

5. (2 pts) D'après le tableau, pour quelle valeur entière de \(x\) le volume semble-t-il maximal ? Quel est ce volume ?

6. (2 pts) On admet que \(V'(x) = 12x^2 - 160x + 384\) et que \(V'(x) = 0\) pour \(x \approx 3{,}2\). Calculer \(V(3{,}2)\) (arrondir au cm³). Interpréter.

1. Longueur = \(24 - 2x\) ; Largeur = \(16 - 2x\) ; Hauteur = \(x\).

2. \(0 < x < 8\) (car \(2x < 16\)).

3. \(V(2) = 2 \times 20 \times 12 = 480\) cm³ ; \(V(3) = 3 \times 18 \times 10 = 540\) cm³.

\(x\)	1	2	3	4	5	6	7
\(V(x)\)	308	480	540	512	420	288	140

5. Le volume semble maximal pour \(x = 3\) cm : \(V = 540\) cm³.

6. \(V(3{,}2) = 3{,}2 \times 17{,}6 \times 9{,}6 \approx 540{,}7\) cm³. Le volume maximal exact est d'environ 541 cm³, pour des carrés de 3,2 cm de côté.

Exercice 1 – Étude d'une fonction polynôme de degré 3 10 points

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2\).

1. (2 pts) Calculer \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\) et \(f(4)\).

2. (2 pts) Déterminer la dérivée \(f'(x)\) de la fonction \(f\).

3. (2 pts) Résoudre \(f'(x) = 0\). En déduire les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f\) admet un extremum.

4. (2 pts) Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\) sur l'intervalle \([-1\,;\,5]\).

5. (2 pts) En déduire le maximum et le minimum de \(f\) sur \([-1\,;\,5]\). Préciser les valeurs de \(x\) correspondantes.

1.
\(f(0) = 0 - 0 + 0 + 2 = 2\)
\(f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6\)
\(f(2) = 8 - 24 + 18 + 2 = 4\)
\(f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2\)
\(f(4) = 64 - 96 + 36 + 2 = 6\)

2. \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\).

3. On résout \(3x^2 - 12x + 9 = 0\), soit \(x^2 - 4x + 3 = 0\) (en divisant par 3).
\(\Delta = 16 - 12 = 4\), donc \(x_1 = \dfrac{4-2}{2} = 1\) et \(x_2 = \dfrac{4+2}{2} = 3\).
La fonction \(f\) admet des extremums en \(x = 1\) et \(x = 3\).

4. \(f'(x) = 3(x-1)(x-3)\).
\(f'(x) > 0\) pour \(x < 1\) ou \(x > 3\) (fonction croissante).
\(f'(x) < 0\) pour \(1 < x < 3\) (fonction décroissante).
Tableau de variations :

\(x\)	\(-1\)		\(1\)		\(3\)		\(5\)
\(f'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(-14\)	\(\nearrow\)	\(6\)	\(\searrow\)	\(2\)	\(\nearrow\)	\(22\)

5. Sur \([-1\,;\,5]\) :
Le maximum de \(f\) est \(f(5) = 22\), atteint en \(x = 5\).
Le minimum de \(f\) est \(f(-1) = -14\), atteint en \(x = -1\).
Remarque : \(f(1) = 6\) est un maximum local et \(f(3) = 2\) est un minimum local.

Exercice 2 – Optimisation d'un volume 10 points

Un artisan menuisier fabrique des boîtes de rangement ouvertes à partir de plaques rectangulaires de contreplaqué de dimensions \(30\) cm sur \(20\) cm. Il découpe un carré de côté \(x\) (en cm) à chaque coin, puis replie les bords pour former la boîte.

1. (1 pt) Quelles sont les contraintes sur \(x\) ? Donner l'intervalle de définition.

2. (2 pts) Montrer que le volume de la boîte, en cm³, est donné par \(V(x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x\).

3. (2 pts) Calculer \(V'(x)\), la dérivée de \(V\).

4. (3 pts) Résoudre \(V'(x) = 0\). Parmi les solutions, laquelle appartient à l'intervalle de définition ? Vérifier qu'il s'agit bien d'un maximum.

5. (2 pts) Calculer le volume maximal de la boîte. Arrondir au cm³. Donner les dimensions de la boîte correspondante.

1. On doit avoir \(x > 0\) et \(2x < 20\) (le plus petit côté), donc \(0 < x < 10\).
L'intervalle de définition est \(]0\,;\,10[\).

2. Après découpe et pliage, la boîte a pour dimensions :
Longueur : \(30 - 2x\), Largeur : \(20 - 2x\), Hauteur : \(x\).
\(V(x) = x(30-2x)(20-2x) = x(600 - 60x - 40x + 4x^2) = x(4x^2 - 100x + 600)\)
\(V(x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x\).

3. \(V'(x) = 12x^2 - 200x + 600\).

4. On résout \(12x^2 - 200x + 600 = 0\), soit \(3x^2 - 50x + 150 = 0\) (en divisant par 4).
\(\Delta = 2\,500 - 1\,800 = 700\), \(\sqrt{\Delta} = \sqrt{700} = 10\sqrt{7} \approx 26{,}46\).
\(x_1 = \dfrac{50 - 10\sqrt{7}}{6} \approx \dfrac{50 - 26{,}46}{6} \approx 3{,}92\) cm.
\(x_2 = \dfrac{50 + 10\sqrt{7}}{6} \approx \dfrac{50 + 26{,}46}{6} \approx 12{,}74\) cm.
Seule \(x_1 \approx 3{,}92\) cm appartient à \(]0\,;\,10[\).
Le signe de \(V'(x)\) change de \(+\) à \(-\) en \(x_1\), c'est bien un maximum.

5. \(V(3{,}92) = 4(3{,}92)^3 - 100(3{,}92)^2 + 600(3{,}92)\)
\(= 4 \times 60{,}24 - 100 \times 15{,}37 + 2\,352\)
\(= 240{,}95 - 1\,536{,}64 + 2\,352 \approx 1\,056\) cm³.
Dimensions de la boîte : longueur \(\approx 22{,}2\) cm, largeur \(\approx 12{,}2\) cm, hauteur \(\approx 3{,}9\) cm.

Exercice 1 – Étude complète d'une fonction 10 points

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x - 5\).

1. (2 pts) Calculer \(g'(x)\).

2. (3 pts) Résoudre \(g'(x) = 0\). Factoriser \(g'(x)\) et dresser le tableau de variations complet de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).

3. (2 pts) Déterminer les extremums locaux de \(g\). Préciser leur nature (maximum ou minimum) et les coordonnées des points correspondants.

4. (3 pts) Pour quelles valeurs du réel \(k\), l'équation \(g(x) = k\) admet-elle exactement 3 solutions ? Exactement 1 solution ? Justifier à l'aide du tableau de variations.

1. \(g'(x) = -6x^2 + 6x + 12\)

2. \(g'(x) = -6(x^2 - x - 2) = -6(x-2)(x+1)\).
Racines : \(x = -1\) et \(x = 2\). Comme \(a = -6 < 0\), \(g'(x) > 0\) entre les racines.

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(g'(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(g(x)\)	\(+\infty\)	\(\searrow\)	\(-12\)	\(\nearrow\)	\(15\)	\(\searrow\)	\(-\infty\)

3. Minimum local en \((-1\,;\,-12)\). Maximum local en \((2\,;\,15)\).

4. 3 solutions si \(-12 < k < 15\). 1 solution si \(k < -12\) ou \(k > 15\). 2 solutions si \(k = -12\) ou \(k = 15\).

Exercice 2 – Optimisation du rendement énergétique 10 points

Le rendement \(\eta\) (en %) d'un échangeur thermique est modélisé en fonction du débit \(d\) (en m³/h) par :

\(\eta(d) = -d^3 + 9d^2 - 15d + 50 \qquad d \in [1\,;\,7]\)

1. (2 pts) Calculer \(\eta(1)\) et \(\eta(7)\). Interpréter ces valeurs dans le contexte.

2. (2 pts) Calculer \(\eta'(d)\) et vérifier que \(\eta'(d) = -3(d-1)(d-5)\).

3. (3 pts) Étudier le signe de \(\eta'(d)\) sur \([1\,;\,7]\) et dresser le tableau de variations de \(\eta\).

4. (1 pt) Quel débit maximise le rendement ? Quel est ce rendement maximal ?

5. (2 pts) Le cahier des charges impose un rendement supérieur à 60 %. D'après le tableau de variations, pour quelles valeurs de \(d\) cette condition est-elle remplie ? Justifier.

1. \(\eta(1) = -1 + 9 - 15 + 50 = 43\) %. Au débit minimal, le rendement est de 43 %.
\(\eta(7) = -343 + 441 - 105 + 50 = 43\) %. Au débit maximal, le rendement revient à 43 %.

2. \(\eta'(d) = -3d^2 + 18d - 15 = -3(d^2 - 6d + 5) = -3(d-1)(d-5)\) ✓

3. Sur \(]1\,;\,5[\) : \((d-1)>0\) et \((d-5)<0\) → produit \(>0\) → \(\eta'>0\) avec le facteur \(-3\) → \(\eta'>0\).
Attention : \(-3 \times (+) \times (-) = +\). Sur \(]5\,;\,7[\) : \(-3 \times (+) \times (+) = -\).

\(d\)	\(1\)		\(5\)		\(7\)
\(\eta'(d)\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(\eta(d)\)	43	\(\nearrow\)	75	\(\searrow\)	43

4. Le rendement maximal est \(\eta(5) = 75\) %, atteint pour un débit de \(d = 5\) m³/h.

5. \(\eta > 60\) %. Comme \(\eta\) est croissante de 43 à 75 sur \([1\,;\,5]\), elle dépasse 60 % à partir d'une certaine valeur \(d_1\) entre 1 et 5. Puis elle redescend de 75 à 43 sur \([5\,;\,7]\), passant sous 60 % à partir d'une valeur \(d_2\) entre 5 et 7. La condition est remplie pour \(d_1 \leq d \leq d_2\) (environ \([3{,}2\,;\,6{,}8]\)).