Devoir Surveillé – Chapitre 4

Polynômes de degré 3 | T^le Pro

Dernière mise à jour : 26 juillet 2026

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🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Reconnaître et définir une fonction polynôme de degré 3.
Calculer la dérivée d’un polynôme de degré 3.
Dresser le tableau de variations à l’aide du signe de la dérivée.
Identifier les extremums locaux (maximum, minimum).
Lire et interpréter une courbe de polynôme de degré 3.
Déterminer le nombre de solutions de \(f(x) = c\) graphiquement.
Utiliser la calculatrice ou un tableur pour résoudre des équations.

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Exercice 1 – Calculer des images et dériver 10 points

On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\).

1. (2 pts) Calculer \(f(0)\) et \(f(1)\) en remplaçant \(x\) dans la formule.

\(f(0) = (0)^3 - 3 \times (0)^2 + 4 = \) ……
\(f(1) = (1)^3 - 3 \times (1)^2 + 4 = \) ……

2. (2 pts) Calculer \(f(2)\) et \(f(-1)\).

3. (2 pts) Calculer la dérivée \(f'(x)\).

Rappel : si \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), alors \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\).

Ici \(a = \) …, \(b = \) …, \(c = \) …, \(d = \) …

\(f'(x) = 3 \times\) … \(\times x^2 + 2 \times\) … \(\times x + \) … \(= \) …………

4. (2 pts) On admet que \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\). Compléter le tableau de signes :

\(x\)	\(-\infty\)		\(0\)		\(2\)		\(+\infty\)
Signe de \(3x\)		?	\(0\)	?		?
Signe de \((x-2)\)		?		?	\(0\)	?
Signe de \(f'(x)\)		?	\(0\)	?	\(0\)	?

5. (2 pts) D'après le tableau de signes, compléter le tableau de variations :

\(x\)	\(-\infty\)		\(0\)		\(2\)		\(+\infty\)
Variations de \(f\)		↗ ou ↘ ?	\(f(0)=\)?	↗ ou ↘ ?	\(f(2)=\)?	↗ ou ↘ ?

1. \(f(0) = 0 - 0 + 4 = 4\) ; \(f(1) = 1 - 3 + 4 = 2\)

2. \(f(2) = 8 - 12 + 4 = 0\) ; \(f(-1) = -1 - 3 + 4 = 0\)

3. \(a=1,\; b=-3,\; c=0,\; d=4\). \(f'(x) = 3x^2 - 6x\).

4. Signes : \(3x < 0\) si \(x < 0\), \(3x > 0\) si \(x > 0\). \((x-2) < 0\) si \(x < 2\), \((x-2) > 0\) si \(x > 2\). Produit : \(+\) sur \(]-\infty;0[\), \(-\) sur \(]0;2[\), \(+\) sur \(]2;+\infty[\).

5. \(f(0) = 4\) (maximum local), \(f(2) = 0\) (minimum local). Croissante, décroissante, croissante.

Exercice 2 – Volume d'une boîte (guidé) 10 points

Un menuisier découpe des carrés de côté \(x\) cm aux quatre coins d'une plaque de 24 cm × 16 cm, puis plie pour former une boîte ouverte.

1. (1 pt) Quelles sont les dimensions de la boîte après pliage ? Compléter :

Longueur = \(24 - 2 \times x = \) …… cm ; Largeur = \(16 - 2 \times x = \) …… cm ; Hauteur = … cm

2. (1 pt) Quelle est la contrainte sur \(x\) ? (\(x\) doit être positif et inférieur à la moitié du plus petit côté.)

3. (2 pts) Calculer le volume \(V(x) = x \times (24-2x) \times (16-2x)\) pour \(x = 2\) et \(x = 3\).

\(V(2) = 2 \times (24-4) \times (16-4) = 2 \times\) … \(\times\) … \(=\) …… cm³

\(V(3) = 3 \times\) … \(\times\) … \(=\) …… cm³

4. (2 pts) Compléter le tableau de valeurs avec la calculatrice :

\(x\)	1	2	3	4	5	6	7
\(V(x)\)	?	?	?	?	?	?	?

5. (2 pts) D'après le tableau, pour quelle valeur entière de \(x\) le volume semble-t-il maximal ? Quel est ce volume ?

6. (2 pts) On admet que \(V'(x) = 12x^2 - 160x + 384\) et que \(V'(x) = 0\) pour \(x \approx 3{,}2\). Calculer \(V(3{,}2)\) (arrondir au cm³). Interpréter.

1. Longueur = \(24 - 2x\) ; Largeur = \(16 - 2x\) ; Hauteur = \(x\).

2. \(0 < x < 8\) (car \(2x < 16\)).

3. \(V(2) = 2 \times 20 \times 12 = 480\) cm³ ; \(V(3) = 3 \times 18 \times 10 = 540\) cm³.

\(x\)	1	2	3	4	5	6	7
\(V(x)\)	308	480	540	512	420	288	140

5. Le volume semble maximal pour \(x = 3\) cm : \(V = 540\) cm³.

6. \(V(3{,}2) = 3{,}2 \times 17{,}6 \times 9{,}6 \approx 540{,}7\) cm³. Le volume maximal exact est d'environ 541 cm³, pour des carrés de 3,2 cm de côté.

Exercice 1 – Étude d'une fonction polynôme de degré 3 10 points

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2\).

1. (2 pts) Calculer \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\) et \(f(4)\).

2. (2 pts) Déterminer la dérivée \(f'(x)\) de la fonction \(f\).

3. (2 pts) Résoudre \(f'(x) = 0\). En déduire les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f\) admet un extremum.

4. (2 pts) Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\) sur l'intervalle \([-1\,;\,5]\).

5. (2 pts) En déduire le maximum et le minimum de \(f\) sur \([-1\,;\,5]\). Préciser les valeurs de \(x\) correspondantes.

1.
\(f(0) = 0 - 0 + 0 + 2 = 2\)
\(f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6\)
\(f(2) = 8 - 24 + 18 + 2 = 4\)
\(f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2\)
\(f(4) = 64 - 96 + 36 + 2 = 6\)

2. \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\).

3. On résout \(3x^2 - 12x + 9 = 0\), soit \(x^2 - 4x + 3 = 0\) (en divisant par 3).
\(\Delta = 16 - 12 = 4\), donc \(x_1 = \dfrac{4-2}{2} = 1\) et \(x_2 = \dfrac{4+2}{2} = 3\).
La fonction \(f\) admet des extremums en \(x = 1\) et \(x = 3\).

4. \(f'(x) = 3(x-1)(x-3)\).
\(f'(x) > 0\) pour \(x < 1\) ou \(x > 3\) (fonction croissante).
\(f'(x) < 0\) pour \(1 < x < 3\) (fonction décroissante).
Tableau de variations :

\(x\)	\(-1\)		\(1\)		\(3\)		\(5\)
\(f'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(-14\)	\(\nearrow\)	\(6\)	\(\searrow\)	\(2\)	\(\nearrow\)	\(22\)

5. Sur \([-1\,;\,5]\) :
Le maximum de \(f\) est \(f(5) = 22\), atteint en \(x = 5\).
Le minimum de \(f\) est \(f(-1) = -14\), atteint en \(x = -1\).
Remarque : \(f(1) = 6\) est un maximum local et \(f(3) = 2\) est un minimum local.

Exercice 2 – Optimisation d'un volume 10 points

Un artisan menuisier fabrique des boîtes de rangement ouvertes à partir de plaques rectangulaires de contreplaqué de dimensions \(30\) cm sur \(20\) cm. Il découpe un carré de côté \(x\) (en cm) à chaque coin, puis replie les bords pour former la boîte.

1. (1 pt) Quelles sont les contraintes sur \(x\) ? Donner l'intervalle de définition.

2. (2 pts) Montrer que le volume de la boîte, en cm³, est donné par \(V(x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x\).

3. (2 pts) Calculer \(V'(x)\), la dérivée de \(V\).

4. (3 pts) Résoudre \(V'(x) = 0\). Parmi les solutions, laquelle appartient à l'intervalle de définition ? Vérifier qu'il s'agit bien d'un maximum.

5. (2 pts) Calculer le volume maximal de la boîte. Arrondir au cm³. Donner les dimensions de la boîte correspondante.

1. On doit avoir \(x > 0\) et \(2x < 20\) (le plus petit côté), donc \(0 < x < 10\).
L'intervalle de définition est \(]0\,;\,10[\).

2. Après découpe et pliage, la boîte a pour dimensions :
Longueur : \(30 - 2x\), Largeur : \(20 - 2x\), Hauteur : \(x\).
\(V(x) = x(30-2x)(20-2x) = x(600 - 60x - 40x + 4x^2) = x(4x^2 - 100x + 600)\)
\(V(x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x\).

3. \(V'(x) = 12x^2 - 200x + 600\).

4. On résout \(12x^2 - 200x + 600 = 0\), soit \(3x^2 - 50x + 150 = 0\) (en divisant par 4).
\(\Delta = 2\,500 - 1\,800 = 700\), \(\sqrt{\Delta} = \sqrt{700} = 10\sqrt{7} \approx 26{,}46\).
\(x_1 = \dfrac{50 - 10\sqrt{7}}{6} \approx \dfrac{50 - 26{,}46}{6} \approx 3{,}92\) cm.
\(x_2 = \dfrac{50 + 10\sqrt{7}}{6} \approx \dfrac{50 + 26{,}46}{6} \approx 12{,}74\) cm.
Seule \(x_1 \approx 3{,}92\) cm appartient à \(]0\,;\,10[\).
Le signe de \(V'(x)\) change de \(+\) à \(-\) en \(x_1\), c'est bien un maximum.

5. \(V(3{,}92) = 4(3{,}92)^3 - 100(3{,}92)^2 + 600(3{,}92)\)
\(= 4 \times 60{,}24 - 100 \times 15{,}37 + 2\,352\)
\(= 240{,}95 - 1\,536{,}64 + 2\,352 \approx 1\,056\) cm³.
Dimensions de la boîte : longueur \(\approx 22{,}2\) cm, largeur \(\approx 12{,}2\) cm, hauteur \(\approx 3{,}9\) cm.

Exercice 1 – Étude complète d'une fonction 10 points

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x - 5\).

1. (2 pts) Calculer \(g'(x)\).

2. (3 pts) Résoudre \(g'(x) = 0\). Factoriser \(g'(x)\) et dresser le tableau de variations complet de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).

3. (2 pts) Déterminer les extremums locaux de \(g\). Préciser leur nature (maximum ou minimum) et les coordonnées des points correspondants.

4. (3 pts) Pour quelles valeurs du réel \(k\), l'équation \(g(x) = k\) admet-elle exactement 3 solutions ? Exactement 1 solution ? Justifier à l'aide du tableau de variations.

1. \(g'(x) = -6x^2 + 6x + 12\)

2. \(g'(x) = -6(x^2 - x - 2) = -6(x-2)(x+1)\).
Racines : \(x = -1\) et \(x = 2\). Comme \(a = -6 < 0\), \(g'(x) > 0\) entre les racines.

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(g'(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(g(x)\)	\(+\infty\)	\(\searrow\)	\(-12\)	\(\nearrow\)	\(15\)	\(\searrow\)	\(-\infty\)

3. Minimum local en \((-1\,;\,-12)\). Maximum local en \((2\,;\,15)\).

4. 3 solutions si \(-12 < k < 15\). 1 solution si \(k < -12\) ou \(k > 15\). 2 solutions si \(k = -12\) ou \(k = 15\).

Exercice 2 – Optimisation du rendement énergétique 10 points

Le rendement \(\eta\) (en %) d'un échangeur thermique est modélisé en fonction du débit \(d\) (en m³/h) par :

\(\eta(d) = -d^3 + 9d^2 - 15d + 50 \qquad d \in [1\,;\,7]\)

1. (2 pts) Calculer \(\eta(1)\) et \(\eta(7)\). Interpréter ces valeurs dans le contexte.

2. (2 pts) Calculer \(\eta'(d)\) et vérifier que \(\eta'(d) = -3(d-1)(d-5)\).

3. (3 pts) Étudier le signe de \(\eta'(d)\) sur \([1\,;\,7]\) et dresser le tableau de variations de \(\eta\).

4. (1 pt) Quel débit maximise le rendement ? Quel est ce rendement maximal ?

5. (2 pts) Le cahier des charges impose un rendement supérieur à 60 %. D'après le tableau de variations, pour quelles valeurs de \(d\) cette condition est-elle remplie ? Justifier.

1. \(\eta(1) = -1 + 9 - 15 + 50 = 43\) %. Au débit minimal, le rendement est de 43 %.
\(\eta(7) = -343 + 441 - 105 + 50 = 43\) %. Au débit maximal, le rendement revient à 43 %.

2. \(\eta'(d) = -3d^2 + 18d - 15 = -3(d^2 - 6d + 5) = -3(d-1)(d-5)\) ✓

3. Sur \(]1\,;\,5[\) : \((d-1)>0\) et \((d-5)<0\) → produit \(>0\) → \(\eta'>0\) avec le facteur \(-3\) → \(\eta'>0\).
Attention : \(-3 \times (+) \times (-) = +\). Sur \(]5\,;\,7[\) : \(-3 \times (+) \times (+) = -\).

\(d\)	\(1\)		\(5\)		\(7\)
\(\eta'(d)\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(\eta(d)\)	43	\(\nearrow\)	75	\(\searrow\)	43

4. Le rendement maximal est \(\eta(5) = 75\) %, atteint pour un débit de \(d = 5\) m³/h.

5. \(\eta > 60\) %. Comme \(\eta\) est croissante de 43 à 75 sur \([1\,;\,5]\), elle dépasse 60 % à partir d'une certaine valeur \(d_1\) entre 1 et 5. Puis elle redescend de 75 à 43 sur \([5\,;\,7]\), passant sous 60 % à partir d'une valeur \(d_2\) entre 5 et 7. La condition est remplie pour \(d_1 \leq d \leq d_2\) (environ \([3{,}2\,;\,6{,}8]\)).