🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Reconnaître un phénomène discret et le modéliser par une suite numérique
Identifier une suite géométrique et en déterminer la raison \(q\)
Calculer le terme de rang \(n\) avec la formule \(u_n = u_0 \times q^n\)
Représenter une suite par un nuage de points \((n,\,u_n)\)
Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique selon la valeur de \(q\)
Calculer la somme des premiers termes à l'aide d'une formule ou d'un tableur

Fiche résumé — Suites numériques (suite géométrique)

Chapitre 3 | Terminale Bac Pro | Mathématiques

Définition

Une suite \((u_n)\) est géométrique si chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre \(q\) (la raison) :

\(u_{n+1} = u_n \times q\)

Pour vérifier : calculer \(\dfrac{u_1}{u_0}\), \(\dfrac{u_2}{u_1}\), etc. Si tous les quotients sont égaux, la suite est géométrique.

Terme de rang \(n\)

\(u_n = u_0 \times q^n\)

Permet de calculer directement n'importe quel terme sans calculer tous les précédents.

Calculatrice : touche ^ ou x^y pour \(q^n\).

Raison et pourcentage

Augmentation de \(t\,\%\) → \(q = 1 + \dfrac{t}{100}\)
Diminution de \(t\,\%\) → \(q = 1 - \dfrac{t}{100}\)

Ex : \(-15\,\%\) → \(q = 0{,}85\) | \(+6\,\%\) → \(q = 1{,}06\)

Sens de variation

(pour \(u_0 > 0\))

\(q > 1\) → suite croissante (valorisation)
\(0 < q < 1\) → suite décroissante (dépréciation)
\(q = 1\) → suite constante

Somme des premiers termes

Somme de \(u_0\) à \(u_n\) (\(n+1\) termes, avec \(q \neq 1\)) :

\(S_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\)

Si \(q = 1\) : \(S_n = (n+1) \times u_0\). Attention au nombre de termes : de \(u_0\) à \(u_n\), il y a \(n+1\) termes.

Représentation graphique

Nuage de points \((n,\,u_n)\) dans un repère. Les points ne sont jamais reliés : une suite est un phénomène discret (valeurs entières de \(n\) uniquement).

Piège 1 : Confondre la raison et le taux. Une baisse de 15 % donne \(q = 0{,}85\), pas \(q = 0{,}15\) ni \(q = -0{,}15\).

Piège 2 : Se tromper de rang. \(u_0\) est le terme initial (rang 0). Après 5 ans de dépréciation, on calcule \(u_5\), pas \(u_4\).

Piège 3 : Relier les points du nuage. Une suite est discrète : il n'y a pas de valeur entre \(n = 2\) et \(n = 3\).

Astuce calculatrice : Pour calculer \(0{,}85^5\), taper 0,85 ^ 5 =.

Astuce tableur : Colonne B : =B2*q (récurrence) ou =u0*q^A2 (terme général). Colonne C : =C2+B3 (somme cumulée).

Résumé express — Méthode type

Identifier \(u_0\) (valeur initiale) et le taux de variation.
Calculer la raison : \(q = 1 + \frac{t}{100}\) ou \(q = 1 - \frac{t}{100}\).
Écrire le terme général : \(u_n = u_0 \times q^n\).
Pour un terme précis : remplacer \(n\) et calculer \(q^n\).
Pour un cumul : appliquer \(S_n = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\).
Déterminer le sens de variation en comparant \(q\) à 1.