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Exercices – Chapitre 3

Suites numériques — Suite géométrique  |  Terminale Bac Pro  |  ERA · TMA · ICCER (Grpt 1)

Dernière mise à jour : 8 mars 2026

Compétences travaillées :
Exercice 1 Calculer les premiers termes d’une suite géométrique Socle

Pour chaque suite, calculer les quatre premiers termes \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).

a) Suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 400\) et \(u_{n+1} = 1{,}05 \times u_n\).
\(u_0\) = ……  ;  \(u_1\) = ……  ;  \(u_2\) = ……  ;  \(u_3\) = ……
b) Suite \((v_n)\) définie par \(v_0 = 2\,000\) et \(v_{n+1} = 0{,}9 \times v_n\).
\(v_0\) = ……  ;  \(v_1\) = ……  ;  \(v_2\) = ……  ;  \(v_3\) = ……
c) Suite \((w_n)\) définie par \(w_n = 500 \times 1{,}1^n\). Calculer directement \(w_0\), \(w_1\), \(w_2\), \(w_3\) (arrondir au centime).
\(w_0\) = ……  ;  \(w_1\) = ……  ;  \(w_2\) = ……  ;  \(w_3\) = ……

a) \(u_0 = 400\)  →  \(u_1 = 1{,}05 \times 400 = \)420  →  \(u_2 = 1{,}05 \times 420 = \)441  →  \(u_3 = 1{,}05 \times 441 = \)463,05

b) \(v_0 = 2\,000\)  →  \(v_1 = 0{,}9 \times 2\,000 = \)1 800  →  \(v_2 = 0{,}9 \times 1\,800 = \)1 620  →  \(v_3 = 0{,}9 \times 1\,620 = \)1 458

c) \(w_0 = 500 \times 1{,}1^0 = 500 \times 1 = \)500  ;  \(w_1 = 500 \times 1{,}1 = \)550  ;  \(w_2 = 500 \times 1{,}21 = \)605  ;  \(w_3 = 500 \times 1{,}331 = \)665,50

En c), on utilise directement la formule \(w_n = 500 \times 1{,}1^n\) en remplaçant \(n\) par 0, 1, 2, 3. Pas besoin de passer par la récurrence.

Exercice 2 Reconnaître une suite géométrique Socle

Pour chaque suite ci-dessous, calculer les rapports \(\dfrac{u_1}{u_0}\), \(\dfrac{u_2}{u_1}\), \(\dfrac{u_3}{u_2}\). Conclure si la suite est géométrique.

Suite A
\(n\)0123
\(u_n\)100150200250
Suite B
\(n\)0123
\(u_n\)80604533,75
Suite C
\(n\)0123
\(u_n\)51545135
Suite D
\(n\)0123
\(u_n\)10203555

Suite A : 150/100 = 1,5  ;  200/150 ≈ 1,333  ;  250/200 = 1,25. Les rapports sont différents → pas géométrique (c’est une suite arithmétrique de raison 50).

Suite B : 60/80 = 0,75  ;  45/60 = 0,75  ;  33,75/45 = 0,75. Rapport constant → suite géométrique de raison \(q = 0{,}75\).

Suite C : 15/5 = 3  ;  45/15 = 3  ;  135/45 = 3. Rapport constant → suite géométrique de raison \(q = 3\).

Suite D : 20/10 = 2  ;  35/20 = 1,75  ;  55/35 ≈ 1,57. Les rapports sont différents → pas géométrique.

Pour vérifier qu’une suite est géométrique, il faut que tous les rapports consécutifs soient égaux. Un seul rapport différent suffit à conclure que non.

Exercice 3 Déterminer \(u_0\) et la raison \(q\) Socle

Dans chaque cas, la suite est géométrique. Trouver le premier terme \(u_0\) et la raison \(q\).

a) On sait que \(u_2 = 180\) et \(u_3 = 216\).
\(q\) = ……  ;  \(u_0\) = ……
b) On sait que \(u_0 = 1\,000\) et \(u_3 = 729\).
\(q\) = ……  ;  Vérification : \(u_1\) = ……  ;  \(u_2\) = ……
c) On sait que \(u_1 = 60\) et \(u_4 = 1\,620\). (Indice : exprimer \(u_4\) en fonction de \(u_1\) et \(q\).)
\(q\) = ……  ;  \(u_0\) = ……

a) \(q = u_3 / u_2 = 216 / 180 = \)1,2.
Puis  \(u_1 = u_2 / q = 180 / 1{,}2 = 150\)  et  \(u_0 = u_1 / q = 150 / 1{,}2 = \)125.

b) On a \(u_3 = u_0 \times q^3\), donc \(729 = 1\,000 \times q^3\) → \(q^3 = 0{,}729\) → \(q = \sqrt[3]{0{,}729} = \)0,9.
Vérif : \(u_1 = 1\,000 \times 0{,}9 = 900\)  ;  \(u_2 = 900 \times 0{,}9 = 810\)  ;  \(u_3 = 810 \times 0{,}9 = 729\). ✓

c) \(u_4 = u_1 \times q^3\) (car \(u_4\) est 3 rangs après \(u_1\)).
\(1\,620 = 60 \times q^3\) → \(q^3 = 27\) → \(q = \sqrt[3]{27} = \)3.
\(u_0 = u_1 / q = 60 / 3 = \)20.

Exercice 4 Reconnaître une suite géométrique — méthode guidée Socle
Méthode : Une suite est géométrique si on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre \(q\) (la raison).
Pour vérifier : calculer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) pour plusieurs termes. Si le rapport est constant, la suite est géométrique.

Voici trois suites. Pour chacune, dire si elle est géométrique et, si oui, donner la raison \(q\).

a) \(u_0 = 5\), \(u_1 = 10\), \(u_2 = 20\), \(u_3 = 40\). Compléter :

\(\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{10}{5} = \boxed{\phantom{2}}\)  ;  \(\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{20}{10} = \boxed{\phantom{2}}\)  ;  \(\dfrac{u_3}{u_2} = \dfrac{40}{20} = \boxed{\phantom{2}}\)

Les rapports sont-ils tous égaux ? ☐ Oui → géométrique, \(q = \) ………   ☐ Non
b) \(v_0 = 100\), \(v_1 = 80\), \(v_2 = 64\), \(v_3 = 51{,}2\)
\(\dfrac{v_1}{v_0} = \) ………  ;  \(\dfrac{v_2}{v_1} = \) ………  ;  \(\dfrac{v_3}{v_2} = \) ……… → géométrique ? ………
c) \(w_0 = 3\), \(w_1 = 6\), \(w_2 = 12\), \(w_3 = 20\)
\(\dfrac{w_1}{w_0} = \) ………  ;  \(\dfrac{w_2}{w_1} = \) ………  ;  \(\dfrac{w_3}{w_2} = \) ……… → géométrique ? ………

a) \(10/5 = 2\), \(20/10 = 2\), \(40/20 = 2\). Rapports tous égaux → géométrique, \(q = 2\)

b) \(80/100 = 0{,}8\), \(64/80 = 0{,}8\), \(51{,}2/64 = 0{,}8\). → géométrique, \(q = 0{,}8\)

c) \(6/3 = 2\), \(12/6 = 2\), \(20/12 \approx 1{,}67\). Rapports pas tous égaux → pas géométrique

Exercice 5 Calculer des termes avec la formule — pas à pas Socle
Formule : \(u_n = u_0 \times q^n\)
On connaît \(u_0\) (le premier terme) et \(q\) (la raison). On remplace \(n\) par le rang voulu.

Soit \((u_n)\) une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 1\,000\) et de raison \(q = 0{,}9\).

1. Calculer \(u_1\) avec la relation de récurrence \(u_1 = q \times u_0\) :

\(u_1 = \boxed{\phantom{0,9}} \times \boxed{\phantom{1000}} = \boxed{\phantom{900}}\)

2. Calculer \(u_2 = q \times u_1\) :
\(u_2 = 0{,}9 \times \) ……… \(=\) ………
3. Calculer \(u_5\) directement avec la formule \(u_n = u_0 \times q^n\) :

\(u_5 = 1\,000 \times (0{,}9)^{\boxed{\phantom{5}}} = 1\,000 \times \boxed{\phantom{0,59049}} = \boxed{\phantom{590,49}}\)

4. Cette suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier avec \(q\).
Comme \(q = 0{,}9\) qui est ……… que 1, les termes ……… → suite ………

1. \(u_1 = 0{,}9 \times 1\,000 = \)\(900\)

2. \(u_2 = 0{,}9 \times 900 = \)\(810\)

3. \(u_5 = 1\,000 \times 0{,}9^5 = 1\,000 \times 0{,}59049 = \)\(590{,}49\)

4. \(q = 0{,}9 < 1\) et \(u_0 > 0\), donc les termes diminuent → suite décroissante.

Règle : si \(0 < q < 1\) et \(u_0 > 0\), la suite décroît. Si \(q > 1\) et \(u_0 > 0\), la suite croît.
Exercice 6 Problème guidé — dépréciation d'un outil Socle
Situation : Un menuisier achète une ponceuse à bande à 800 €. Chaque année, sa valeur baisse de 20 %.
1. Baisser de 20 %, c'est multiplier par :

☐ 0,20    ☐ 0,80    ☐ 1,20

Donc \(q = \) ………
2. Compléter le tableau (multiplier par \(q\) chaque année) :
Année \(n\)01234
Valeur \(u_n\) (€)800????
3. La ponceuse est mise au rebut quand sa valeur descend sous 200 €. À partir de quelle année ?
D'après le tableau : année \(n = \) ………

1. Baisser de 20 % = garder 80 % = multiplier par \(q = 0{,}80\)

2.

Année01234
Valeur (€)800640512409,60327,68

Vérification : \(u_4 = 800 \times 0{,}8^4 = 800 \times 0{,}4096 = 327{,}68\) ✓

3. Il faut continuer : \(u_5 = 327{,}68 \times 0{,}8 = 262{,}14\), \(u_6 = 262{,}14 \times 0{,}8 = 209{,}72\), \(u_7 = 209{,}72 \times 0{,}8 = 167{,}77 < 200\).
Mise au rebut à partir de l'année 7.

Exercice 16 Calculer des termes avec la formule directe — guidé Socle
Formule directe : \(u_n = u_0 \times q^n\)
On connaît \(u_0\) et \(q\), on remplace \(n\) par le rang voulu.

Un technicien chauffagiste note que la facture de gaz d'un immeuble est de 3 200 € la première année (\(n = 0\)). Elle augmente de 5 % par an.

1. Quelle est la raison \(q\) de la suite ? Pourquoi ?

☐ \(q = 0{,}05\) ☐ \(q = 1{,}05\) ☐ \(q = 5\)

2. Calculer \(u_1\) avec la récurrence :

\(u_1 = \boxed{\phantom{1,05}} \times \boxed{\phantom{3200}} = \boxed{\phantom{3360}}\) €

3. Calculer directement \(u_4\) (facture à la 4e année) :

\(u_4 = 3\,200 \times (1{,}05)^{\boxed{\phantom{4}}} = 3\,200 \times \boxed{\phantom{1,2155}} \approx \boxed{\phantom{3890}}\) €

1. Augmenter de 5 % = multiplier par \(q = 1{,}05\) (on garde 100 % + 5 % = 105 %).

2. \(u_1 = 1{,}05 \times 3\,200 = \)\(3\,360\) €

3. \(u_4 = 3\,200 \times 1{,}05^4 = 3\,200 \times 1{,}2155 \approx \)\(3\,890\) €

Exercice 17 Identifier le sens de variation d'une suite Socle
Règle :
– Si \(u_0 > 0\) et \(q > 1\) : suite croissante (les termes augmentent)
– Si \(u_0 > 0\) et \(0 < q < 1\) : suite décroissante (les termes diminuent)
– Si \(q = 1\) : suite constante

Pour chaque suite, cocher le sens de variation :

Suite\(u_0\)Raison \(q\)CroissanteDécroissanteConstante
A5001,03☐☐☐
B2 4000,85☐☐☐
C1 0001☐☐☐
D7500,92☐☐☐
SuiteSensJustification
ACroissante\(q = 1{,}03 > 1\) et \(u_0 > 0\) → augmente de 3 % à chaque rang.
BDécroissante\(q = 0{,}85 < 1\) et \(u_0 > 0\) → diminue de 15 % à chaque rang.
CConstante\(q = 1\) → \(u_n = 1\,000\) pour tout \(n\).
DDécroissante\(q = 0{,}92 < 1\) et \(u_0 > 0\) → diminue de 8 % à chaque rang.
Exercice 18 Trouver la raison à partir d'un taux de variation Socle

Pour chaque situation, indiquer la raison \(q\) de la suite géométrique correspondante :

SituationRaison \(q\)
Un équipement perd 10 % de sa valeur chaque année☐ 0,90 ☐ 1,10 ☐ 0,10
Un chiffre d'affaires augmente de 7 % par an☐ 0,93 ☐ 1,07 ☐ 7
Une consommation diminue de 3 % par an grâce à des travaux☐ 1,03 ☐ 0,97 ☐ 0,03
Un salaire reste constant d'une année sur l'autre☐ 0 ☐ 1 ☐ 100
SituationRaisonExplication
Perd 10 %\(q = 0{,}90\)Il reste 90 % = on multiplie par 0,90
Augmente de 7 %\(q = 1{,}07\)Il y a 107 % = on multiplie par 1,07
Diminue de 3 %\(q = 0{,}97\)Il reste 97 % = on multiplie par 0,97
Reste constant\(q = 1\)On multiplie par 1, rien ne change
Exercice 19 Compléter un tableau et trouver un seuil Socle
Situation : Un atelier de menuiserie investit dans une machine à commande numérique à 15 000 €. Sa valeur diminue de 12 % par an.
1. Quelle est la raison de la suite ? Entourer la bonne réponse :

☐ \(q = 0{,}12\) ☐ \(q = 0{,}88\) ☐ \(q = 1{,}12\)

2. Compléter le tableau en multipliant par \(q\) chaque année :
Année \(n\)012345
Valeur \(u_n\) (€)15 000?????
3. L'atelier revend la machine quand sa valeur passe sous 6 000 €. En quelle année peut-il la revendre d'après le tableau ?
D'après le tableau, à partir de l'année \(n = \) ………

1. Diminuer de 12 % = garder 88 % = multiplier par \(q = 0{,}88\)

2.

Année012345
Valeur (€)15 00013 20011 61610 2228 9957 916

Vérif : \(u_5 = 15000 \times 0{,}88^5 = 15000 \times 0{,}5277 \approx 7\,916\) ✓

3. Continuer : \(u_6 = 7916 \times 0{,}88 \approx 6966\) ; \(u_7 = 6966 \times 0{,}88 \approx 6130\) ; \(u_8 = 6130 \times 0{,}88 \approx 5395 < 6000\).
La machine peut être revendue à partir de l'année \(n = 8\).

Exercice 7 Calculer un terme de rang \(n\) Standard
Situation professionnelle : Un installateur thermique acquiert une pompe à chaleur air/eau pour 8 500 €. Sa valeur se déprécie de 12 % chaque année.

On modélise la valeur de la PAC par une suite géométrique \((u_n)\) où \(n\) est le nombre d’années écoulées depuis l’achat.

\(u_n = u_0 \times q^n\)   avec   \(u_0 = 8\,500\) et \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\)
1. Pourquoi \(q = 0{,}88\) ? Expliquer en une phrase.
2. Calculer \(u_3\) (valeur après 3 ans). Arrondir à l’euro.
3. Calculer \(u_7\) (valeur après 7 ans). Arrondir à l’euro.
4. Compléter le tableau ci-dessous (arrondir à l’euro) :
Année \(n\)012345
Valeur \(u_n\) (€)8 500?????

1. La PAC perd 12 % de sa valeur chaque année, donc il reste 100 % − 12 % = 88 % de sa valeur, soit un coefficient multiplicateur de \(q = 0{,}88\).

2. \(u_3 = 8\,500 \times 0{,}88^3 = 8\,500 \times 0{,}681\,472 \approx \)5 792 €

3. \(u_7 = 8\,500 \times 0{,}88^7 = 8\,500 \times 0{,}409\,600 \approx \)3 482 €

4.

\(n\)012345
\(u_n\) (€)8 5007 4806 5825 7925 0974 485

Calculs : \(u_1 = 8500 \times 0{,}88 = 7480\)  ;  \(u_2 = 7480 \times 0{,}88 = 6582{,}4 \approx 6\,582\)  ; etc.

Exercice 8 Tableau de valeurs et relation de récurrence Standard
Situation professionnelle : Un atelier de menuiserie produit 250 unités la première année (rang \(n = 0\)). Sa production augmente de 8 % par an.

On modélise la production par une suite géométrique \((u_n)\) de premier terme \(u_0 = 250\) et de raison \(q = 1{,}08\).

1. Écrire la relation de récurrence qui permet de passer d’un terme au suivant.
\(u_{n+1}\) = …………
2. Compléter le tableau (arrondir à l’unité) :
Année \(n\)0123456
Production \(u_n\) (unités)250??????
3. Calculer directement \(u_6\) avec la formule \(u_n = u_0 \times q^n\). Vérifier que le résultat est cohérent avec le tableau.
4. En quelle année la production dépassera-t-elle 400 unités pour la première fois ? (Utiliser le tableau.)

1. \(u_{n+1} = 1{,}08 \times u_n\)

2.

\(n\)0123456
\(u_n\)250270292315340367397

Calculs : \(270 = 250 \times 1{,}08\)  ;  \(291{,}6 \approx 292 = 270 \times 1{,}08\)  ; etc.

3. \(u_6 = 250 \times 1{,}08^6 = 250 \times 1{,}5869 \approx \)397. Cohérent avec le tableau. ✓

4. \(u_6 \approx 397 < 400\) et \(u_7 = 397 \times 1{,}08 \approx 429 > 400\). La production dépasse 400 unités pour la première fois en année \(n = 7\).

Exercice 9 Calculer un terme éloigné — formule directe Standard
Situation professionnelle : La facture d’électricité d’un bâtiment tertiaire était de 12 000 € en 2020 (\(n = 0\)). Le prix du kWh augmente de 6 % par an.

On modélise la facture par \(u_n = 12\,000 \times 1{,}06^n\) (€).

1. Calculer la facture prévue en 2028 (\(n = 8\)). Arrondir à l’euro.
2. Calculer la facture prévue en 2032 (\(n = 12\)). Arrondir à l’euro.
3. La direction souhaite que la facture ne dépasse pas 20 000 €. Parmi les années 2028 et 2032, laquelle dépasse ce seuil ?
4. Calculer \(u_{10}\) (facture en 2030). La suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier en utilisant la valeur de \(q\).

1. \(u_8 = 12\,000 \times 1{,}06^8 = 12\,000 \times 1{,}5938 \approx \)19 126 €

2. \(u_{12} = 12\,000 \times 1{,}06^{12} = 12\,000 \times 2{,}0122 \approx \)24 146 €

3. \(u_8 \approx 19\,126 < 20\,000\) ✓ ;  \(u_{12} \approx 24\,146 > 20\,000\) → C’est en 2032 que le seuil est dépassé.

4. \(u_{10} = 12\,000 \times 1{,}06^{10} \approx 12\,000 \times 1{,}7908 \approx \)21 490 €.
La suite est croissante car \(u_0 = 12\,000 > 0\) et \(q = 1{,}06 > 1\) : chaque terme est plus grand que le précédent.

Exercice 20 Dépréciation d'un véhicule utilitaire Standard
Situation professionnelle : Un menuisier agenceur achète un véhicule utilitaire neuf à 22 000 €. Sa valeur se déprécie de 18 % par an.

On modélise la valeur par \(u_n = 22\,000 \times q^n\) avec \(q = 0{,}82\).

1. Justifier que \(q = 0{,}82\).
2. Calculer la valeur après 3 ans et après 5 ans (arrondir à l'euro).
3. Le menuisier peut revendre le véhicule à un repreneur pour 8 000 €. À partir de quelle année la valeur du modèle passe-t-elle en dessous de 8 000 € ? (Compléter le tableau.)
4. La suite est-elle croissante ou décroissante ? Pourquoi ?
Année \(n\)0123456
Valeur (€)22 000??????

1. Perte de 18 % → il reste 82 % = \(q = 0{,}82\)

2. \(u_3 = 22\,000 \times 0{,}82^3 = 22\,000 \times 0{,}5514 \approx \)\(12\,130\) €
\(u_5 = 22\,000 \times 0{,}82^5 = 22\,000 \times 0{,}3707 \approx \)\(8\,155\) €

3.

\(n\)0123456
\(u_n\) (€)22 00018 04014 79312 1309 9478 1566 688

\(u_5 \approx 8\,156 > 8\,000\) et \(u_6 \approx 6\,688 < 8\,000\) → revente possible à partir de l'année 6.

4. Suite décroissante : \(q = 0{,}82 < 1\) et \(u_0 > 0\).

Exercice 21 Capitalisation d'une épargne professionnelle Standard
Situation professionnelle : Un installateur thermique place 5 000 € sur un livret professionnel à un taux annuel de 3,5 %. Il ne fait aucun retrait.

On modélise l'épargne par \(u_n = 5\,000 \times 1{,}035^n\).

1. Quelle est la raison de la suite ? La suite est-elle croissante ou décroissante ?
2. Calculer le montant de l'épargne après 4 ans. Arrondir au centime.
3. Calculer le montant après 10 ans.
4. En quelle année l'épargne dépassera-t-elle 7 000 € ? (Utiliser le tableau ci-dessous.)
\(n\)891011
\(1{,}035^n\)1,31681,36291,41061,4600
\(u_n\) (€)????

1. \(q = 1{,}035 > 1\) → suite croissante : l'épargne augmente chaque année.

2. \(u_4 = 5\,000 \times 1{,}035^4 = 5\,000 \times 1{,}1475 \approx \)\(5\,737{,}50\) €

3. \(u_{10} = 5\,000 \times 1{,}035^{10} = 5\,000 \times 1{,}4106 \approx \)\(7\,053\) €

4.

\(n\)891011
\(u_n\) (€)6 5846 8157 0537 300

\(u_9 \approx 6\,815 < 7\,000\) et \(u_{10} \approx 7\,053 > 7\,000\) → l'épargne dépasse 7 000 € en année \(n = 10\).

Exercice 22 Modéliser une réduction de consommation Standard
Situation professionnelle : Un technicien en énergies renouvelables suit la consommation électrique d'un bâtiment tertiaire après l'installation de panneaux photovoltaïques. La consommation nette était de 18 000 kWh en 2024 (\(n = 0\)) et diminue de 9 % par an.

On modélise par \(u_n = 18\,000 \times 0{,}91^n\).

1. Justifier que \(q = 0{,}91\).
2. Calculer \(u_5\) (consommation en 2029).
3. Compléter le tableau (arrondir au kWh) et identifier à partir de quelle année la consommation passe sous 10 000 kWh.
Année \(n\)01234567
\(u_n\) (kWh)18 000???????

1. Diminuer de 9 % → il reste 91 % → \(q = 0{,}91\)

2. \(u_5 = 18\,000 \times 0{,}91^5 = 18\,000 \times 0{,}6240 \approx \)\(11\,232\) kWh

3.

\(n\)01234567
\(u_n\)18 00016 38014 90613 56412 34311 23210 2219 301

\(u_6 \approx 10\,221 > 10\,000\) et \(u_7 \approx 9\,301 < 10\,000\) → la consommation passe sous 10 000 kWh à partir de l'année \(n = 7\) (2031).

Exercice 23 Utiliser la somme des premiers termes Standard
Situation professionnelle : Le chiffre d'affaires d'une entreprise de pose de menuiseries extérieures est de 120 000 € la première année (\(n = 0\)). Il augmente de 5 % par an.

On note \(u_n = 120\,000 \times 1{,}05^n\). La somme des \(N\) premiers termes est :\[S_N = u_0 \times \dfrac{1 - q^N}{1 - q}\]

1. Calculer le CA prévu en année \(n = 5\). Arrondir à l'euro.
2. Calculer le CA cumulé sur les 5 premières années (\(n = 0\) à \(n = 4\)) avec la formule.
3. Une banque exige un CA cumulé sur 4 ans de 550 000 € pour financer un investissement. La condition est-elle remplie ?
Réponses : ………………………………

1. \(u_5 = 120\,000 \times 1{,}05^5 = 120\,000 \times 1{,}2763 \approx \)\(153\,153\) €

2. \(S_5 = 120\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}05^5}{1 - 1{,}05} = 120\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}2763}{-0{,}05} = 120\,000 \times \dfrac{-0{,}2763}{-0{,}05} = 120\,000 \times 5{,}526 \approx \)\(663\,120\) €

3. La somme sur 4 ans (\(n = 0\) à \(n = 3\)) : \(S_4 = 120\,000 \times (1 - 1{,}05^4)/(-0{,}05) = 120\,000 \times 4{,}310 \approx 517\,200\) €.
517 200 € < 550 000 € → la condition n'est pas remplie sur 4 ans. Sur 5 ans (663 120 €), elle serait remplie.

Exercice 24 Interpréter une suite dans un contexte de maintenance Standard
Situation professionnelle : Un technicien CVC suit le nombre de pannes annuelles d'un parc de ventilo-convecteurs. En 2020 (\(n = 0\)), le parc a subi 80 pannes. Grâce à la maintenance préventive, ce nombre diminue de 15 % par an.

On modélise par \(u_n = 80 \times 0{,}85^n\).

1. Calculer le nombre de pannes prévu en 2025 (\(n = 5\)). Arrondir à l'unité.
2. En quelle année le nombre de pannes passera-t-il sous 20 pour la première fois ? (Construire un tableau.)
3. La suite est-elle croissante ou décroissante ? En quoi cela traduit-il l'effet de la maintenance ?
Réponses : ………………………………

1. \(u_5 = 80 \times 0{,}85^5 = 80 \times 0{,}4437 \approx \)\(35\) pannes en 2025.

2.

\(n\)56789
Pannes3530262219

\(u_8 \approx 22 > 20\) et \(u_9 \approx 19 < 20\) → le nombre de pannes passe sous 20 en année \(n = 9\) (2029).

3. Suite décroissante (\(q = 0{,}85 < 1\)) : la maintenance préventive réduit progressivement le nombre de pannes chaque année.

Exercice 25 Comparer deux équipements selon leur dépréciation Standard
Situation professionnelle : Un chef de chantier compare la valeur de deux équipements achetés en même temps :
– Équipement A : 9 000 € à l'achat, dépréciation de 20 % par an.
– Équipement B : 6 000 € à l'achat, dépréciation de 10 % par an.
1. Écrire les formules \(u_n^A\) et \(u_n^B\) (valeur après \(n\) années).
2. Calculer les valeurs de chaque équipement après 3 ans et après 6 ans.
3. À partir de quelle année la valeur de B dépasse-t-elle celle de A ?
Année \(n\)0123456
\(u_n^A\) (€)9 000??????
\(u_n^B\) (€)6 000??????

1. \(u_n^A = 9\,000 \times 0{,}80^n\) et \(u_n^B = 6\,000 \times 0{,}90^n\)

2. \(u_3^A = 9000 \times 0{,}512 = 4\,608\) € ; \(u_3^B = 6000 \times 0{,}729 = 4\,374\) €
\(u_6^A = 9000 \times 0{,}2621 \approx 2\,359\) € ; \(u_6^B = 6000 \times 0{,}5314 \approx 3\,188\) €

3.

\(n\)0123456
\(u^A\)9 0007 2005 7604 6083 6862 9492 359
\(u^B\)6 0005 4004 8604 3743 9373 5433 188

À \(n = 3\) : \(4\,608 > 4\,374\) (A vaut encore plus). À \(n = 4\) : \(3\,686 < 3\,937\) (B vaut plus). B dépasse A à partir de l'année \(n = 4\).

Exercice 26 Croissance du parc de pompes à chaleur Standard
Situation professionnelle : Le nombre de pompes à chaleur installées en France augmente de 12 % par an selon un modèle géométrique. En 2022 (\(n = 0\)), on comptait 600 000 installations.

On modélise par \(u_n = 600\,000 \times 1{,}12^n\).

1. Calculer le nombre d'installations prévu en 2027 (\(n = 5\)). Arrondir à l'unité.
2. Calculer le nombre cumulé total d'installations neuves sur 5 ans (\(n = 0\) à \(n = 4\)) :
\(S = 600\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}12^5}{1 - 1{,}12}\)
3. Un installateur thermique capte en moyenne 0,3 % du marché annuel. Combien d'installations réaliserait-il en 2027 selon ce modèle ?
Réponses : ………………………………

1. \(u_5 = 600\,000 \times 1{,}12^5 = 600\,000 \times 1{,}7623 \approx \)\(1\,057\,380\) installations en 2027.

2. \(S = 600\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}12^5}{1 - 1{,}12} = 600\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}7623}{-0{,}12} = 600\,000 \times \dfrac{-0{,}7623}{-0{,}12} = 600\,000 \times 6{,}353 \approx \)\(3\,811\,800\) installations cumulées.

3. Installations de l'installateur en 2027 : \(1\,057\,380 \times 0{,}003 \approx \)\(3\,172\) installations.

Exercice 10 Sens de variation d’une suite géométrique Approfondissement

Pour chaque suite géométrique, préciser si elle est croissante, décroissante ou constante, et justifier en une phrase.

Suite\(u_0\)Raison \(q\)Sens de variationJustification
A5001,04??
B3 2000,75??
C1501??
D8001,15??
E4 5000,88??
Rappel — Règles :
  • Si \(u_0 > 0\) et \(q > 1\) → suite croissante
  • Si \(u_0 > 0\) et \(0 < q < 1\) → suite décroissante
  • Si \(q = 1\) → suite constante (\(u_n = u_0\) pour tout \(n\))
SuiteSensJustification
ACroissante\(u_0 = 500 > 0\) et \(q = 1{,}04 > 1\) : chaque terme est 4 % plus grand que le précédent.
BDécroissante\(u_0 = 3\,200 > 0\) et \(q = 0{,}75 \in ]0;1[\) : la suite diminue de 25 % à chaque rang.
CConstante\(q = 1\) : \(u_n = 150 \times 1^n = 150\) quel que soit \(n\).
DCroissante\(u_0 = 800 > 0\) et \(q = 1{,}15 > 1\) : la suite augmente de 15 % par rang.
EDécroissante\(u_0 = 4\,500 > 0\) et \(q = 0{,}88 \in ]0;1[\) : la suite diminue de 12 % par rang.
Exercice 11 Interpréter une représentation graphique Approfondissement

Le graphique ci-dessous représente les points \((n\,;\,u_n)\) d’une suite géométrique \((u_n)\).

Représentation graphique de la suite \((u_n)\) — nuage de points \((n\,;\,u_n)\)

1. Lire graphiquement la valeur de \(u_0\). Que représente ce terme dans le contexte d’un problème concret ?
2. La suite est-elle croissante ou décroissante ? Que peut-on en déduire sur la valeur de \(q\) ?
3. Lire les valeurs \(u_0\) et \(u_1\) sur le graphique, puis calculer la raison \(q = u_1 / u_0\).
4. Vérifier en lisant \(u_2\) sur le graphique et en vérifiant que \(u_2 = u_1 \times q\).

1. \(u_0 = 1\,000\). C’est la valeur initiale de la suite au rang 0 (par exemple, la valeur d’un équipement à l’achat, un capital de départ, une production initiale…).

2. La suite est décroissante : les points descendent de gauche à droite. On peut donc déduire que \(0 < q < 1\).

3. Lecture graphique : \(u_0 = 1\,000\) et \(u_1 = 850\).
\(q = u_1 / u_0 = 850 / 1\,000 = \)0,85.

4. \(u_2 = u_1 \times q = 850 \times 0{,}85 = 722{,}5 \approx 723\). Lecture graphique : \(u_2 \approx 723\). ✓ Cohérent.

Exercice 12 Comparer des termes — trouver un rang Approfondissement
Situation professionnelle : Un atelier d’agencement a un chiffre d’affaires de 180 000 € en année \(n = 0\). Il augmente de 6 % par an. Le gérant souhaite savoir en quelle année le CA dépassera 250 000 €.

On a \(u_n = 180\,000 \times 1{,}06^n\).

1. Compléter le tableau suivant (arrondir à l’euro) :
Année \(n\)01234567
CA \(u_n\) (€)180 000???????
2. En quelle année le CA dépasse-t-il 250 000 € pour la première fois ?
3. Calculer directement \(u_5\) et \(u_6\) avec la formule, puis conclure.

1.

\(n\)01234567
\(u_n\) (€)180 000190 800202 248214 383227 246240 881255 334270 654

2. On lit dans le tableau : \(u_5 \approx 240\,881 < 250\,000\) et \(u_6 \approx 255\,334 > 250\,000\).
→ Le CA dépasse 250 000 € pour la première fois en année \(n = 6\).

3. \(u_5 = 180\,000 \times 1{,}06^5 = 180\,000 \times 1{,}3382 \approx 240\,881\,\text{€}\)
\(u_6 = 180\,000 \times 1{,}06^6 = 180\,000 \times 1{,}4185 \approx 255\,334\,\text{€}\)
Conclusion : \(u_5 < 250\,000 < u_6\) → le seuil est dépassé à \(n = 6\).

Exercice 13 Consommation d’énergie — somme sur plusieurs années Approfondissement
Situation professionnelle : La consommation électrique annuelle d’un bâtiment est de 45 000 kWh en 2024 (\(n = 0\)). Des travaux de rénovation énergétique réduisent la consommation de 8 % par an.

On pose \(u_n = 45\,000 \times 0{,}92^n\) (kWh), où \(n\) est le nombre d’années depuis 2024.

1. Expliquer pourquoi \(q = 0{,}92\).
2. Calculer la consommation prévue en 2029 (\(n = 5\)). Arrondir au kWh.
3. Calculer la consommation prévue en 2034 (\(n = 10\)). Arrondir au kWh.
4. On souhaite connaître la consommation totale cumulée sur les 6 premières années (de \(n = 0\) à \(n = 5\)).
Calculer \(S = u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5\) en utilisant la formule : \[S = u_0 \times \dfrac{1 - q^6}{1 - q}\]
5. Sans la rénovation, la consommation serait restée constante à 45 000 kWh/an. Calculer les économies réalisées sur 6 ans.

1. La consommation diminue de 8 % par an, donc il reste 100 % − 8 % = 92 % de la consommation, soit \(q = 0{,}92\).

2. \(u_5 = 45\,000 \times 0{,}92^5 = 45\,000 \times 0{,}6591 \approx \)29 660 kWh

3. \(u_{10} = 45\,000 \times 0{,}92^{10} = 45\,000 \times 0{,}4344 \approx \)19 548 kWh

4. \[S = 45\,000 \times \dfrac{1 - 0{,}92^6}{1 - 0{,}92} = 45\,000 \times \dfrac{1 - 0{,}6064}{0{,}08} = 45\,000 \times \dfrac{0{,}3936}{0{,}08} = 45\,000 \times 4{,}92 \approx \] \(S \approx 221\,400\,\text{kWh}\)

5. Sans rénovation : \(6 \times 45\,000 = 270\,000\,\text{kWh}\).
Économies : \(270\,000 - 221\,400 = \)48 600 kWh économisés sur 6 ans.
Si le kWh vaut 0,20 €, cela représente 9 720 € d’économies.

Exercice 14 Chiffre d’affaires — cumul et objectif Approfondissement
Situation professionnelle : Une entreprise de pose de parquets a réalisé un chiffre d’affaires de 95 000 € en année \(n = 0\). Le CA augmente de 7 % par an.

On note \(u_n = 95\,000 \times 1{,}07^n\).

1. Calculer le CA prévu en année \(n = 5\). Arrondir à l’euro.
2. L’objectif du gérant est un CA annuel de 140 000 €. En utilisant le tableau ci-dessous, déterminer en quelle année cet objectif sera atteint.
\(n\)5678
\(1{,}07^n\)1,40261,50071,60581,7182
\(u_n\) (€)????
3. Calculer le CA total cumulé sur les 5 premières années (\(n = 0\) à \(n = 4\)) grâce à la formule : \[S = u_0 \times \dfrac{1 - q^5}{1 - q}\]
4. Une banque accepte de financer un investissement si le CA cumulé sur 5 ans dépasse 550 000 €. La condition est-elle remplie ?

1. \(u_5 = 95\,000 \times 1{,}07^5 = 95\,000 \times 1{,}4026 \approx \)133 247 €

2.

\(n\)5678
\(u_n\) (€)133 247142 567152 551163 229

\(u_5 \approx 133\,247 < 140\,000\) et \(u_6 \approx 142\,567 > 140\,000\).
L’objectif est atteint en année \(n = 6\).

3. \[S = 95\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}07^5}{1 - 1{,}07} = 95\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}4026}{-0{,}07} = 95\,000 \times \dfrac{-0{,}4026}{-0{,}07} = 95\,000 \times 5{,}751 \approx \] \(S \approx 546\,345\,\text{€}\)

4. \(S \approx 546\,345 < 550\,000\) → La condition n’est pas remplie (il manque environ 3 655 €). Il faudrait négocier ou attendre une année supplémentaire.

Exercice 15 Dépréciation d’un équipement frigorifique Approfondissement
Situation professionnelle : Un groupe frigorifique est acheté 12 000 € (\(n = 0\)). Sa valeur comptable diminue de 15 % par an (dépréciation linéaire simplifiée en suite géométrique). L’entreprise souhaite le revendre dès que sa valeur passe en dessous de 4 000 €.

On note \(u_n = 12\,000 \times 0{,}85^n\).

1. Compléter le tableau (arrondir à l’euro) :
Année \(n\)01234567
Valeur \(u_n\) (€)12 000???????

Valeur comptable du groupe frigorifique en fonction du temps — Seuil de revente : 4 000 €

2. En quelle année la valeur passe-t-elle en dessous de 4 000 € pour la première fois ? L’entreprise peut-elle revendre l’équipement dès cette année ?
3. Calculer la valeur totale cumulée sur 7 années (\(n = 0\) à \(n = 6\)) avec la formule : \[S = u_0 \times \dfrac{1 - q^7}{1 - q}\]
Que représente cette somme dans le contexte de l’exercice ?
4. Entre l’année \(n = 5\) et l’année \(n = 6\), quelle est la perte de valeur (en euros et en pourcentage) ?

1.

\(n\)01234567
\(u_n\) (€)12 00010 2008 6707 3706 2645 3244 5263 847

Calcul détaillé : \(u_1 = 12000 \times 0{,}85 = 10200\)  ;  \(u_2 = 10200 \times 0{,}85 = 8670\)  ; etc.

2. \(u_6 \approx 4\,526 > 4\,000\) et \(u_7 \approx 3\,847 < 4\,000\).
La valeur passe en dessous de 4 000 € en année \(n = 7\). L’entreprise peut donc revendre à partir de l’année 7.

3. \[S = 12\,000 \times \dfrac{1 - 0{,}85^7}{1 - 0{,}85} = 12\,000 \times \dfrac{1 - 0{,}3206}{0{,}15} = 12\,000 \times \dfrac{0{,}6794}{0{,}15} = 12\,000 \times 4{,}529 \approx \] \(S \approx 54\,352\,\text{€}\)
Cette somme représente la valeur comptable totale cumulée de l’équipement sur 7 ans (somme des valeurs inscrites en comptabilité chaque année).

4. Perte de valeur : \(u_5 - u_6 = 5\,324 - 4\,526 = \)798 €.
En pourcentage : \((5\,324 - 4\,526) / 5\,324 \times 100 = 798 / 5\,324 \times 100 \approx \)15 % — ce qui correspond bien à la raison \(q = 0{,}85\) (\(1 - 0{,}85 = 0{,}15 = 15\,\%\)).

Exercice 27 Tarif d'un contrat de maintenance — modélisation et décision Approfondissement
Situation professionnelle : Un installateur thermique propose un contrat de maintenance annuel à une copropriété. Le tarif est de 1 200 € la première année (\(n = 0\)) et augmente de 4 % par an pour couvrir l'inflation des pièces détachées.

On modélise le tarif par \(u_n = 1\,200 \times 1{,}04^n\).

1. Calculer le tarif prévu en année \(n = 6\) et en année \(n = 10\).
2. La copropriété a un budget annuel de maintenance fixé à 1 600 €. En quelle année le tarif dépassera-t-il ce budget ? (Construire un tableau.)
3. Calculer le coût total du contrat sur 7 ans (\(n = 0\) à \(n = 6\)) avec la formule de la somme.
4. Sans ce contrat, les réparations coûtent en moyenne 2 500 €/an. Sur 7 ans, quelle option est la plus économique ?
Tableau et réponses : ………………………………

1. \(u_6 = 1200 \times 1{,}04^6 = 1200 \times 1{,}2653 \approx \)\(1\,518\) €
\(u_{10} = 1200 \times 1{,}04^{10} = 1200 \times 1{,}4802 \approx \)\(1\,776\) €

2.

\(n\)01234567
\(u_n\) (€)1 2001 2481 2981 3501 4041 4601 5181 579

\(u_7 \approx 1\,579 < 1\,600\) et \(u_8 \approx 1\,579 \times 1{,}04 \approx 1\,642 > 1\,600\) → le tarif dépasse le budget à partir de l'année \(n = 8\).

3. \(S_7 = 1200 \times \dfrac{1 - 1{,}04^7}{1 - 1{,}04} = 1200 \times \dfrac{1 - 1{,}3159}{-0{,}04} = 1200 \times \dfrac{-0{,}3159}{-0{,}04} = 1200 \times 7{,}898 \approx \)\(9\,478\) €

4. Sans contrat : \(7 \times 2\,500 = 17\,500\) €. Avec contrat : \(9\,478\) €.
Le contrat est nettement plus économique (économie de ~8 022 € sur 7 ans).

Exercice 28 Modéliser et comparer deux stratégies d'amortissement Approfondissement
Situation professionnelle : Une entreprise de rénovation énergétique doit amortir le coût d'une machine CNC de 30 000 €. Elle hésite entre deux méthodes :
– Méthode A (suite géométrique) : dépréciation de 20 % par an.
– Méthode B (valeur résiduelle fixe) : valeur réduite de 4 000 € par an (suite arithmétique).
1. Écrire les deux suites \(u_n^A = 30\,000 \times 0{,}80^n\) et \(u_n^B = 30\,000 - 4\,000 \times n\).
2. Compléter le tableau comparatif pour \(n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\).
3. Pour quelle valeur de \(n\) la méthode A donne-t-elle une valeur inférieure à la méthode B ?
4. La méthode B s'annule en \(n = 7{,}5\) selon le modèle. Est-ce réaliste ? Que se passe-t-il pour \(n > 7\) avec la méthode B ?
Tableau et réponses : ………………………………

1. \(u_n^A = 30\,000 \times 0{,}80^n\) ; \(u_n^B = 30\,000 - 4\,000n\)

2.

\(n\)01234567
\(u^A\) (€)30 00024 00019 20015 36012 2889 8307 8646 291
\(u^B\) (€)30 00026 00022 00018 00014 00010 0006 0002 000

3. À \(n = 6\) : \(u_6^A = 7\,864 > u_6^B = 6\,000\) → A vaut encore plus. À \(n = 7\) : \(u_7^A = 6\,291 > u_7^B = 2\,000\) → A vaut toujours plus.
En fait, la méthode A donne toujours des valeurs supérieures à B à partir de \(n = 4\) (12 288 > 14 000 ? Non ! Il faut comparer correctement) :
À \(n = 4\) : A = 12 288 < B = 14 000. À \(n = 5\) : A = 9 830 < B = 10 000. À \(n = 6\) : A = 7 864 > B = 6 000. C'est à \(n = 6\) que A dépasse B.

4. \(u_B = 0\) pour \(n = 7{,}5\). En comptabilité, on arrête la dépréciation quand la valeur atteint 0. Pour \(n > 7\), \(u_n^B\) deviendrait négative, ce qui est impossible. En pratique, on fixe une valeur résiduelle plancher (ex. : 1 €).

Exercice 29 Planification financière — type BTS Approfondissement
Situation professionnelle : Un artisan menuisier souhaite constituer un capital pour rénover son atelier dans 8 ans. Il place chaque année 2 000 € sur un compte à intérêts composés au taux de 4 % par an. La première mise de fonds est à \(n = 0\).

Le capital constitué après \(N\) versements est :
\(S_N = 2\,000 \times \dfrac{1{,}04^N - 1}{1{,}04 - 1} \times 1{,}04\) (formule de l'annuité)

1. Calculer \(S_8\) (capital après 8 versements). Arrondir à l'euro.
2. Si la rénovation coûte 20 000 €, le capital constitué est-il suffisant ?
3. Sans intérêts (\(q = 1\)), quelle serait la somme totale épargnée après 8 versements de 2 000 € ?
4. Calculer l'écart entre les deux résultats. Que représente cet écart ? Quel est l'effet des intérêts composés ?
Réponses : ………………………………

1. \(S_8 = 2\,000 \times \dfrac{1{,}04^8 - 1}{0{,}04} \times 1{,}04 = 2\,000 \times \dfrac{1{,}3686 - 1}{0{,}04} \times 1{,}04 = 2\,000 \times \dfrac{0{,}3686}{0{,}04} \times 1{,}04 = 2\,000 \times 9{,}215 \times 1{,}04 \approx \)\(19\,168\) €

2. \(19\,168 < 20\,000\) → le capital est insuffisant (il manque environ 832 €). Il faudrait placer un peu plus ou attendre 9 ans.

3. Sans intérêts : \(8 \times 2\,000 = \)\(16\,000\) €

4. Écart : \(19\,168 - 16\,000 = \)\(3\,168\) €. Cet écart représente les intérêts générés par les intérêts composés sur 8 ans. C'est l'effet de la capitalisation : chaque versement génère des intérêts, qui génèrent eux-mêmes des intérêts les années suivantes.

Exercice 30 Modélisation croisée — suite géométrique et décision Approfondissement
Situation professionnelle : Un technicien en énergies renouvelables étudie le retour sur investissement d'une installation de panneaux photovoltaïques coûtant 15 000 €. L'installation produit 6 000 kWh par an, vendus 0,10 €/kWh. Le prix de revente du kWh augmente de 3 % par an (\(n = 0\) : première année).

On modélise le revenu annuel par \(r_n = 600 \times 1{,}03^n\) (€).

1. Calculer le revenu en année \(n = 5\) et en année \(n = 10\).
2. Calculer le revenu total cumulé sur 10 ans (\(n = 0\) à \(n = 9\)) avec la formule de la somme.
3. En quelle année le revenu cumulé dépasse-t-il le coût d'installation de 15 000 € ? (Calculer \(S_N\) pour \(N = 15, 16, 17, 18\) et interpréter.)
4. Si le prix du kWh augmentait de 5 % au lieu de 3 %, en combien d'années le retour sur investissement serait-il atteint ?
Réponses : ………………………………

1. \(r_5 = 600 \times 1{,}03^5 = 600 \times 1{,}1593 \approx \)\(695{,}6\) €
\(r_{10} = 600 \times 1{,}03^{10} = 600 \times 1{,}3439 \approx \)\(806{,}3\) €

2. \(S_{10} = 600 \times \dfrac{1 - 1{,}03^{10}}{1 - 1{,}03} = 600 \times \dfrac{1 - 1{,}3439}{-0{,}03} = 600 \times \dfrac{-0{,}3439}{-0{,}03} = 600 \times 11{,}464 \approx \)\(6\,878\) € sur 10 ans.

3.

\(N\)15161718
\(S_N\) (€)≈11 938≈12 934≈13 968≈15 043

(\(S_N = 600 \times (1{,}03^N - 1)/0{,}03\))
\(S_{17} \approx 13\,968 < 15\,000\) et \(S_{18} \approx 15\,043 > 15\,000\) → le retour sur investissement est atteint en année 18.

4. Avec \(q = 1{,}05\) : \(S_N = 600 \times (1{,}05^N - 1)/0{,}05\).
\(S_{14} = 600 \times 19{,}598 \approx 11\,759\) ; \(S_{15} = 600 \times 21{,}578 \approx 12\,947\) ; \(S_{16} \approx 14\,294\) ; \(S_{17} \approx 15\,709 > 15\,000\).
Avec 5 % d'augmentation, le retour sur investissement serait atteint en année 17 (1 an plus tôt).

Exercice 31 Emprunt à intérêts composés — seuil de remboursement Approfondissement
Situation professionnelle : Un artisan menuisier contracte un emprunt de 25 000 € pour renouveler son matériel. Le capital restant dû évolue selon une suite géométrique : chaque année, le solde restant est multiplié par \(q = 0{,}78\) (remboursement de 22 % du capital par an).

On modélise le capital restant dû par \(u_n = 25\,000 \times 0{,}78^n\), où \(n\) est le nombre d'années écoulées.

1. Calculer le capital restant dû après 2 ans et après 5 ans. Arrondir à l'euro.
2. En quelle année le capital restant dû passe-t-il en dessous de 5 000 € ? (Construire un tableau pour \(n = 0\) à \(n = 8\) et chercher le seuil.)
3. Calculer la somme totale remboursée sur les 5 premières années (\(u_0 - u_5\)). Cela correspond-il à la somme des versements annuels de 22 % de \(u_0\) ? Commenter.
4. Un second artisan emprunte 30 000 € avec un taux de remboursement annuel de 18 % (\(q = 0{,}82\)). En quelle année son capital restant dû passera-t-il en dessous de 5 000 € ? Comparer avec la situation précédente.
Tableau et réponses : ………………………………

1. \(u_2 = 25\,000 \times 0{,}78^2 = 25\,000 \times 0{,}6084 \approx\) \(15\,210\) €
\(u_5 = 25\,000 \times 0{,}78^5 = 25\,000 \times 0{,}2887 \approx\) \(7\,218\) €

2.

\(n\)01234567
\(u_n\) (€)25 00019 50015 21011 8649 2547 2185 6304 391

\(u_6 \approx 5\,630 > 5\,000\) et \(u_7 \approx 4\,391 < 5\,000\). Le capital passe en dessous de 5 000 € à partir de l'année \(n = 7\).

3. Montant remboursé en 5 ans : \(u_0 - u_5 = 25\,000 - 7\,218 =\) \(17\,782\) €.
Si on versait 22 % de \(u_0\) chaque année : \(5 \times 0{,}22 \times 25\,000 = 5 \times 5\,500 = 27\,500\) €. Ce n'est pas la même chose : dans le modèle géométrique, on rembourse 22 % du solde restant (qui diminue chaque année), ce qui donne moins au total. Les versements diminuent eux aussi avec le solde.

4. \(u_n' = 30\,000 \times 0{,}82^n\). On cherche \(u_n' < 5\,000\), soit \(0{,}82^n < \dfrac{5\,000}{30\,000} = 0{,}1\overline{6}\).
\(0{,}82^9 \approx 0{,}1848\) ; \(0{,}82^{10} \approx 0{,}1516\) ; \(0{,}82^{11} \approx 0{,}1243\) ; \(0{,}82^{12} \approx 0{,}1019\) ; \(0{,}82^{13} \approx 0{,}0836\).
\(u_{12}' \approx 30\,000 \times 0{,}1019 \approx 3\,057 < 5\,000\). Le capital passe en dessous de 5 000 € à partir de l'année \(n = 12\) — 5 ans plus tard que dans le premier cas, à cause d'un taux de remboursement plus faible.

Exercice 32 Population de bactéries et modèle exponentiel discret Approfondissement
Contexte : Un laboratoire d'analyses étudie la croissance d'une culture bactérienne. La population initiale est de 500 bactéries (\(u_0 = 500\)). Toutes les heures, la population est multipliée par 2,4.

On modélise la population par \(u_n = 500 \times 2{,}4^n\), où \(n\) est le nombre d'heures.

1. Calculer la population après 3 heures, 5 heures et 8 heures. Exprimer en notation scientifique si le résultat dépasse 100 000.
2. La cuve a une capacité maximale de 10 000 000 bactéries. À partir de quelle heure la cuve sera-t-elle saturée ? (Calculer \(u_n\) pour \(n = 10, 11, 12\).)
3. Un traitement antibiotique divise la population par 3 toutes les heures. En partant de \(u_0' = 500\,000\) bactéries, modéliser la population \(u_n'\) sous traitement et calculer à partir de quelle heure elle descend en dessous de 1 000 bactéries.
4. Comparer les raisons des deux suites et interpréter biologiquement les comportements observés.
Réponses : ………………………………

1. \(u_3 = 500 \times 2{,}4^3 = 500 \times 13{,}824 \approx\) \(6\,912\) bactéries
\(u_5 = 500 \times 2{,}4^5 = 500 \times 79{,}627 \approx\) \(39\,814\) bactéries
\(u_8 = 500 \times 2{,}4^8 = 500 \times 1\,105{,}0 \approx\) \(552\,502 \approx 5{,}53 \times 10^5\) bactéries

2. \(u_{10} = 500 \times 2{,}4^{10} \approx 500 \times 6\,370 \approx 3{,}18 \times 10^6\)
\(u_{11} = 500 \times 2{,}4^{11} \approx 500 \times 15\,289 \approx 7{,}64 \times 10^6\)
\(u_{12} = 500 \times 2{,}4^{12} \approx 500 \times 36\,694 \approx 1{,}83 \times 10^7 > 10^7\).
La cuve est saturée à partir de l'heure \(n = 12\).

3. \(u_n' = 500\,000 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = 500\,000 \times (0{,}\overline{3})^n\).
\(u_5' = 500\,000 \times (1/3)^5 = 500\,000 / 243 \approx 2\,058\) ; \(u_6' \approx 686 < 1\,000\).
La population descend en dessous de 1 000 bactéries à partir de \(n = 6\) heures.

4. Suite de croissance : \(q = 2{,}4 > 1\) → suite croissante (multiplication rapide, explosion exponentielle). Suite sous traitement : \(q = 1/3 < 1\) → suite décroissante (élimination progressive). L'antibiotique inverse le phénomène : la raison passe de 2,4 à 0,33, ce qui correspond à une diminution de 67 % par heure au lieu d'une augmentation de 140 %.

Exercice 33 Modélisation inverse — retrouver \(u_0\) et \(q\) à partir de données Approfondissement
Situation professionnelle : Un chef de chantier reçoit un rapport incomplet. On sait que la valeur d'un équipement suit une suite géométrique, et que \(u_2 = 18\,700\) € et \(u_5 = 11\,400\) € (valeurs arrondies à l'euro).
1. Exprimer \(u_2\) et \(u_5\) en fonction de \(u_0\) et \(q\).
2. Calculer le rapport \(\dfrac{u_5}{u_2}\) et en déduire \(q^3\), puis \(q\) (arrondir à 4 décimales).
3. En déduire \(u_0\) (valeur initiale de l'équipement). Arrondir à l'euro.
4. Calculer en quel pourcentage annuel l'équipement se déprécie. Interpréter : est-ce une dépréciation rapide ou lente ?
5. En quelle année \(u_n\) passera-t-il en dessous de 8 000 € ?
Réponses : ………………………………

1. \(u_2 = u_0 \times q^2\) et \(u_5 = u_0 \times q^5\).

2. \(\dfrac{u_5}{u_2} = \dfrac{u_0 \times q^5}{u_0 \times q^2} = q^3\).
\(q^3 = \dfrac{11\,400}{18\,700} \approx 0{,}6096\).
\(q = \sqrt[3]{0{,}6096} = 0{,}6096^{1/3} \approx\) \(0{,}8474\).

3. \(u_0 = \dfrac{u_2}{q^2} = \dfrac{18\,700}{0{,}8474^2} = \dfrac{18\,700}{0{,}7181} \approx\) \(26\,039\) €.

4. Taux de dépréciation annuel : \(1 - q = 1 - 0{,}8474 \approx\) \(15{,}3\,\%\) par an. Il s'agit d'une dépréciation modérée à rapide (entre 10 % et 20 % par an est courant pour du matériel professionnel).

5. On cherche \(n\) tel que \(26\,039 \times 0{,}8474^n < 8\,000\), soit \(0{,}8474^n < \dfrac{8\,000}{26\,039} \approx 0{,}3072\).
\(0{,}8474^7 \approx 0{,}3283\) ; \(0{,}8474^8 \approx 0{,}2783 < 0{,}3072\).
La valeur passe en dessous de 8 000 € à partir de l'année \(n = 8\).

Exercice 34 Choix d'investissement — comparaison de deux modèles Approfondissement
Situation professionnelle : Un conducteur de travaux compare deux offres de financement pour l'achat d'une machine d'usinage CNC à 40 000 €.
– Offre A : location avec option d'achat, loyer annuel de 6 000 € (suite arithmétique).
– Offre B : prêt à intérêts composés, remboursement de 25 % du capital restant chaque année.

Pour l'offre B, le capital restant dû suit \(v_n = 40\,000 \times 0{,}75^n\). Le versement annuel en année \(n\) est \(v_n - v_{n+1} = 40\,000 \times 0{,}75^n \times 0{,}25\).

1. Pour l'offre A : calculer le coût total après 7 ans (loyers cumulés) et la valeur résiduelle de la machine d'après un modèle géométrique de dépréciation à 15 % par an (\(u_7 = 40\,000 \times 0{,}85^7\)).
2. Pour l'offre B : calculer le capital restant dû après 7 ans. Quel montant total a été versé sur 7 ans ? (Utiliser : montant versé = capital initial − capital restant dû.)
3. Comparer les deux offres sur 7 ans en termes de coût total engagé et de capital restant dû.
4. Le chef de chantier souhaite revendre la machine après 7 ans. Avec l'offre B, quel est le « gain net » si la valeur de revente est \(u_7 = 40\,000 \times 0{,}85^7\) et qu'il rembourse le capital restant dû au moment de la vente ?
Réponses : ………………………………

1. Offre A — coût total : \(7 \times 6\,000 =\) \(42\,000\) €.
Valeur résiduelle de la machine : \(u_7 = 40\,000 \times 0{,}85^7 = 40\,000 \times 0{,}3206 \approx\) \(12\,824\) €.

2. Offre B — capital restant dû après 7 ans : \(v_7 = 40\,000 \times 0{,}75^7 = 40\,000 \times 0{,}1335 \approx\) \(5\,340\) €.
Montant total versé en 7 ans : \(40\,000 - 5\,340 =\) \(34\,660\) €.

3. Comparaison :
– Offre A : 42 000 € versés, machine non possédée (location — elle revient au bailleur).
– Offre B : 34 660 € versés, machine en cours de remboursement, capital restant 5 340 €.
L'offre B est plus avantageuse : moins cher en versements cumulés, et la machine reste la propriété de l'artisan.

4. Valeur de revente = \(u_7 \approx 12\,824\) €. Capital restant dû à rembourser = \(v_7 \approx 5\,340\) €.
Gain net = revente − capital restant = \(12\,824 - 5\,340 =\) \(7\,484\) €. Après 7 ans de versements (\(34\,660\) €) et un gain net de \(7\,484\) €, le coût net réel de la possession est \(34\,660 - 7\,484 = 27\,176\) €, soit moins que l'offre A.

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