Devoir Surveillé – Chapitre 3

Suites géométriques | T^le Pro

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Reconnaître un phénomène discret et le modéliser par une suite numérique
Identifier une suite géométrique et en déterminer la raison \(q\)
Calculer le terme de rang \(n\) avec la formule \(u_n = u_0 \times q^n\)
Représenter une suite par un nuage de points \((n,\,u_n)\)
Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique selon la valeur de \(q\)
Calculer la somme des premiers termes à l'aide d'une formule ou d'un tableur

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Exercice 1 – Dépréciation d'un outil (guidé) 10 points

Un menuisier achète une scie circulaire neuve à 2 000 €. Chaque année, elle perd 10 % de sa valeur. On note \(V_n\) la valeur après \(n\) années.

1. (1 pt) Perdre 10 %, c'est garder ……… %. Donc on multiplie par \(q = \) ………

☐ 0,10 ☐ 0,90 ☐ 1,10

2. (2 pts) Calculer \(V_1\) et \(V_2\). Compléter :

\(V_1 = V_0 \times q = 2\,000 \times \boxed{\phantom{0,90}} = \boxed{\phantom{1800}}\) €
\(V_2 = V_1 \times q = \boxed{\phantom{1800}} \times 0{,}90 = \boxed{\phantom{1620}}\) €

3. (2 pts) Compléter le tableau :

Année \(n\)	0	1	2	3	4	5
\(V_n\) (€)	2 000	?	?	?	?	?

4. (2 pts) La formule directe est \(V_n = V_0 \times q^n\). Calculer \(V_8\) avec la calculatrice :

\(V_8 = 2\,000 \times (0{,}90)^{\boxed{\phantom{8}}} = 2\,000 \times \boxed{\phantom{0,4305}} = \boxed{\phantom{861}}\) € (arrondir à l'euro)

5. (3 pts) La scie est revendue quand elle vaut moins de 500 €. D'après le tableau et la calculatrice, à partir de quelle année ?

1. Garder 90 % = multiplier par \(q = 0{,}90\).

2. \(V_1 = 2\,000 \times 0{,}90 = 1\,800\) € ; \(V_2 = 1\,800 \times 0{,}90 = 1\,620\) €.

\(n\)	0	1	2	3	4	5
\(V_n\)	2 000	1 800	1 620	1 458	1 312	1 181

4. \(V_8 = 2\,000 \times 0{,}9^8 = 2\,000 \times 0{,}4305 \approx 861\) €.

5. \(V_{13} = 2\,000 \times 0{,}9^{13} \approx 508\) € ; \(V_{14} = 2\,000 \times 0{,}9^{14} \approx 458\) €. Revente à partir de l'année 14.

Exercice 2 – Rendement de chauffage (guidé) 10 points

Une chaudière a un rendement initial de 95 %. Sans entretien, le rendement baisse de 3 % chaque année par rapport à l'année précédente. On note \(R_n\) le rendement après \(n\) années.

1. (1 pt) La suite \((R_n)\) est géométrique de raison \(q = \) ………

☐ 0,03 ☐ 0,97 ☐ 1,03

2. (2 pts) Calculer \(R_1\) et \(R_2\) :

\(R_1 = 95 \times \boxed{\phantom{0,97}} = \boxed{\phantom{92,15}}\) % \(R_2 = R_1 \times 0{,}97 = \boxed{\phantom{89,4}}\) %

3. (2 pts) Compléter le tableau de rendement (arrondir au dixième) :

Année \(n\)	0	1	2	3	4	5
\(R_n\) (%)	95	?	?	?	?	?

4. (2 pts) La réglementation impose un rendement minimum de 80 %. D'après le tableau, à partir de quelle année la chaudière ne respecte-t-elle plus la norme ?

5. (3 pts) La formule est \(R_n = 95 \times 0{,}97^n\). Calculer \(R_{10}\). Combien de % de rendement la chaudière a-t-elle perdu en 10 ans ?

1. \(q = 0{,}97\) (garder 97 % = perdre 3 %).

2. \(R_1 = 95 \times 0{,}97 = 92{,}15\) % ; \(R_2 = 92{,}15 \times 0{,}97 \approx 89{,}4\) %.

3. \(R_3 \approx 86{,}7\) ; \(R_4 \approx 84{,}1\) ; \(R_5 \approx 81{,}6\).

4. \(R_5 \approx 81{,}6 > 80\) mais \(R_6 \approx 79{,}1 < 80\). Non conforme à partir de l'année 6.

5. \(R_{10} = 95 \times 0{,}97^{10} \approx 95 \times 0{,}7374 \approx 70{,}1\) %. Perte : \(95 - 70{,}1 = 24{,}9\) points de rendement en 10 ans.

Exercice 1 – Dépréciation d'un équipement 10 points

Un menuisier agenceur achète une machine-outil neuve au prix de \(12\,000\) €. Chaque année, la valeur de cette machine perd \(15\,\%\) de sa valeur de l'année précédente.

On note \(V_n\) la valeur de la machine après \(n\) années d'utilisation (en €). On a donc \(V_0 = 12\,000\).

1. (2 pts) Justifier que \(V_1 = 10\,200\) €. Calculer \(V_2\).

2. (2 pts) Montrer que la suite \((V_n)\) est une suite géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.

3. (2 pts) Exprimer \(V_n\) en fonction de \(n\).

4. (2 pts) Calculer la valeur de la machine après \(5\) ans et après \(10\) ans. Arrondir à l'euro.

5. (2 pts) Le menuisier souhaite revendre la machine lorsque sa valeur passe en dessous de \(3\,000\) €. À partir de quelle année cela se produit-il ? (On pourra procéder par essais successifs.)

1. La machine perd \(15\,\%\), donc elle conserve \(85\,\%\) de sa valeur :
\(V_1 = 12\,000 \times 0{,}85 = 10\,200\) €.
\(V_2 = 10\,200 \times 0{,}85 = 8\,670\) €.

2. Chaque année, on multiplie la valeur par \(0{,}85\), donc \(V_{n+1} = V_n \times 0{,}85\).
La suite \((V_n)\) est géométrique de premier terme \(V_0 = 12\,000\) et de raison \(q = 0{,}85\).

3. Pour une suite géométrique : \(V_n = V_0 \times q^n = 12\,000 \times 0{,}85^n\).

4. \(V_5 = 12\,000 \times 0{,}85^5 = 12\,000 \times 0{,}443705 \approx 5\,324\) €.
\(V_{10} = 12\,000 \times 0{,}85^{10} = 12\,000 \times 0{,}196874 \approx 2\,362\) €.

5. On cherche \(n\) tel que \(V_n < 3\,000\), soit \(12\,000 \times 0{,}85^n < 3\,000\).
Par essais successifs :
\(V_8 = 12\,000 \times 0{,}85^8 \approx 3\,269\) € (encore au-dessus)
\(V_9 = 12\,000 \times 0{,}85^9 \approx 2\,779\) € (en dessous)
La valeur passe en dessous de \(3\,000\) € à partir de la \(9\)e année.

Exercice 2 – Perte de rendement d'un système de chauffage 10 points

Un technicien chauffagiste installe une chaudière dont le rendement initial est de \(95\,\%\). Sans entretien, le rendement diminue de \(3\,\%\) chaque année par rapport au rendement de l'année précédente.

On note \(R_n\) le rendement (en \(\%\)) après \(n\) années. On a \(R_0 = 95\).

1. (2 pts) Calculer \(R_1\) et \(R_2\). Arrondir au dixième.

2. (2 pts) Justifier que \((R_n)\) est une suite géométrique. Préciser la raison.

3. (2 pts) Exprimer \(R_n\) en fonction de \(n\). Calculer le rendement après \(8\) ans. Arrondir au dixième.

La consommation annuelle de gaz (en kWh) est modélisée par \(C_n = \dfrac{15\,000}{R_n} \times 100\), où \(R_n\) est exprimé en \(\%\).

4. (2 pts) Calculer la consommation la première année (\(C_0\)) et la consommation après \(5\) ans (\(C_5\)). Arrondir à l'entier.

5. (2 pts) Calculer la consommation totale sur les \(4\) premières années (de l'année \(0\) à l'année \(3\)). Arrondir à l'entier. Commenter l'impact de l'absence d'entretien.

1. Le rendement diminue de \(3\,\%\) par rapport à l'année précédente, donc il conserve \(97\,\%\) :
\(R_1 = 95 \times 0{,}97 = 92{,}15\,\%\).
\(R_2 = 92{,}15 \times 0{,}97 = 89{,}4\,\%\).

2. On a \(R_{n+1} = R_n \times 0{,}97\). La suite est géométrique de raison \(q = 0{,}97\) et de premier terme \(R_0 = 95\).

3. \(R_n = 95 \times 0{,}97^n\).
\(R_8 = 95 \times 0{,}97^8 = 95 \times 0{,}78374 \approx 74{,}5\,\%\).

4. \(C_0 = \dfrac{15\,000}{95} \times 100 = \dfrac{1\,500\,000}{95} \approx 15\,789\) kWh.
\(R_5 = 95 \times 0{,}97^5 = 95 \times 0{,}85873 \approx 81{,}58\).
\(C_5 = \dfrac{15\,000}{81{,}58} \times 100 \approx 18\,387\) kWh.

5. On calcule chaque consommation :
\(C_0 \approx 15\,789\) kWh, \(C_1 = \dfrac{1\,500\,000}{92{,}15} \approx 16\,278\) kWh,
\(C_2 = \dfrac{1\,500\,000}{89{,}4} \approx 16\,779\) kWh, \(C_3 = \dfrac{1\,500\,000}{86{,}7} \approx 17\,301\) kWh.
Total : \(15\,789 + 16\,278 + 16\,779 + 17\,301 \approx 66\,147\) kWh.
Si le rendement restait à \(95\,\%\), la consommation totale serait \(4 \times 15\,789 = 63\,158\) kWh. L'absence d'entretien entraîne une surconsommation d'environ \(3\,000\) kWh sur 4 ans.

Exercice 1 – Investissement et rentabilité 10 points

Un artisan menuisier investit \(25\,000\) € dans une machine à commande numérique. La machine perd \(18\,\%\) de sa valeur chaque année. En parallèle, elle génère un revenu annuel de \(R = 4\,500\) €.

1. (2 pts) Exprimer la valeur \(V_n\) de la machine en fonction de \(n\). Préciser \(V_0\) et \(q\).

2. (2 pts) Calculer la valeur résiduelle après 6 ans. Arrondir à l'euro.

3. (3 pts) Calculer le revenu total cumulé sur 6 ans. Comparer avec l'investissement initial. L'investissement est-il rentable ?

4. (3 pts) À partir de quelle année \(n\) le revenu cumulé dépasse-t-il l'investissement initial diminué de la valeur résiduelle ? (Coût net = \(V_0 - V_n\). Chercher \(n\) tel que \(n \times R \geq V_0 - V_n\).)

1. \(V_0 = 25\,000\), \(q = 1 - 0{,}18 = 0{,}82\). \(V_n = 25\,000 \times 0{,}82^n\).

2. \(V_6 = 25\,000 \times 0{,}82^6 = 25\,000 \times 0{,}3040 \approx 7\,600\) €.

3. Revenu cumulé : \(6 \times 4\,500 = 27\,000\) €. C'est supérieur à \(25\,000\) € → investissement rentable. Bénéfice net : \(27\,000 - 25\,000 + 7\,600 = 9\,600\) €.

4. Coût net = \(25\,000 - 25\,000 \times 0{,}82^n\). On cherche \(n \times 4\,500 \geq 25\,000(1 - 0{,}82^n)\).
Par essais : \(n=4\) : revenu = 18 000, coût net = \(25\,000(1-0{,}82^4) = 25\,000 \times 0{,}548 = 13\,710\) → \(18\,000 > 13\,710\) ✓.
\(n=3\) : revenu = 13 500, coût net = \(25\,000(1-0{,}82^3) = 25\,000 \times 0{,}449 = 11\,225\) → \(13\,500 > 11\,225\) ✓.
\(n=2\) : revenu = 9 000, coût net = \(25\,000(1-0{,}82^2) = 25\,000 \times 0{,}328 = 8\,190\) → \(9\,000 > 8\,190\) ✓.
\(n=1\) : revenu = 4 500, coût net = \(25\,000 \times 0{,}18 = 4\,500\) → égalité. Dès l'année 1, le revenu couvre la perte de valeur.

Exercice 2 – Modélisation énergétique 10 points

Un installateur thermique étudie la consommation d'un bâtiment après isolation. La consommation initiale est de \(20\,000\) kWh/an. Chaque année après isolation, la consommation diminue de \(8\,\%\) grâce à l'amélioration progressive des joints et du comportement des occupants.

1. (2 pts) Modéliser la consommation \(C_n\) après \(n\) années. Préciser la nature de la suite, son premier terme et sa raison.

2. (2 pts) Calculer la consommation après 5 ans et 10 ans. Arrondir à l'entier.

3. (3 pts) L'économie annuelle est \(E_n = C_0 - C_n\). Calculer \(E_5\). En déduire l'économie cumulée sur 5 ans : \(S = \sum_{k=0}^{4} E_k\). On pourra utiliser la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.

4. (3 pts) L'isolation a coûté \(15\,000\) €, le prix du kWh est \(0{,}12\) €. À partir de combien d'années l'investissement est-il amorti ? Justifier.

1. Suite géométrique : \(C_n = 20\,000 \times 0{,}92^n\), premier terme \(C_0 = 20\,000\), raison \(q = 0{,}92\).

2. \(C_5 = 20\,000 \times 0{,}92^5 \approx 13\,182\) kWh. \(C_{10} = 20\,000 \times 0{,}92^{10} \approx 8\,688\) kWh.

3. \(E_5 = 20\,000 - 13\,182 = 6\,818\) kWh économisés la 5e année.
Économie cumulée en kWh : \(S = \sum_{k=0}^{4}(20\,000 - 20\,000 \times 0{,}92^k) = 5 \times 20\,000 - 20\,000 \times \frac{1-0{,}92^5}{1-0{,}92}\)
\(= 100\,000 - 20\,000 \times \frac{1-0{,}6591}{0{,}08} = 100\,000 - 20\,000 \times 4{,}261 = 100\,000 - 85\,227 = 14\,773\) kWh.

4. Économie financière cumulée = \(14\,773 \times 0{,}12 = 1\,773\) € sur 5 ans. C'est insuffisant (15 000 €).
Il faut résoudre : économie cumulée \(\times\) 0,12 = 15 000. Par essais, l'amortissement se fait vers la 25e année environ.