Terminale Bac Pro | Mathématiques | ERA · TMA · ICCER | Groupements 1 et 3
Dernière mise à jour : 8 mars 2026
Dans la vie professionnelle, on rencontre souvent des situations dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance : une pièce peut être conforme ou défectueuse, une machine peut tomber en panne ou fonctionner normalement, un test de sécurité peut réussir ou échouer.
Ce type de situation s'appelle une situation aléatoire. Les probabilités permettent de mesurer les chances que chaque résultat se produise. Elles sont indispensables dans les métiers du bâtiment, de la maintenance, de l'électricité et de l'agencement pour prendre de bonnes décisions.
Un technicien en maintenance contrôle des vannes thermostatiques sur des installations de chauffage. Il sait que certaines vannes peuvent présenter un défaut de réglage. En calculant la probabilité d'avoir une vanne défectueuse, il peut décider si une révision générale de l'installation est nécessaire.
ICCER Maintenance : On contrôle des chauffe-eaux produits par deux ateliers. On sait que chaque atelier n'a pas le même taux de défaut. On cherche à calculer la probabilité qu'un appareil pris au hasard soit défectueux.
ERA-MA Menuiserie / Agencement : Dans un entrepôt, on stocke des panneaux de bois venant de deux fournisseurs différents. Les fournisseurs ne proposent pas la même qualité. On cherche à estimer le risque de tomber sur un panneau non conforme.
Ces deux situations font appel aux mêmes outils mathématiques : les tableaux croisés et les arbres de probabilités.
Dans un lot de 200 lames de parquet, 12 sont défectueuses. Un métreur en prend une au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit défectueuse ? Qu'elle soit conforme ?
Un tableau à double entrée (ou tableau croisé) permet de résumer les résultats d'un contrôle portant sur deux caractéristiques à la fois. En lisant les effectifs, on peut calculer des probabilités.
On contrôle 200 chauffe-eaux produits par deux ateliers (A et B). Voici les résultats :
| Défectueux (D) | Conforme (C) | Total | |
|---|---|---|---|
| Atelier A | 6 | 114 | 120 |
| Atelier B | 10 | 70 | 80 |
| Total | 16 | 184 | 200 |
Comment lire ce tableau ?
Calcul de probabilités : On prend un chauffe-eau au hasard parmi les 200.
\(\text{Probabilité} = \dfrac{\text{effectif de la case (ou de la ligne/colonne)}}{\text{effectif total}}\)
La ligne ou colonne « Total » donne toujours la référence pour le calcul.
Un arbre de probabilités pondéré est un schéma qui représente, étape par étape, toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. Il est très utile pour organiser les calculs.
On reprend les données du tableau précédent. On prend un chauffe-eau au hasard. On note A : « vient de l'atelier A » et B : « vient de l'atelier B ».
On ajoute maintenant une deuxième information : pour chaque atelier, on sait si le chauffe-eau est défectueux (D) ou conforme (C).
D'après le tableau : parmi les appareils de A, 6 sur 120 sont défectueux, donc \(P_A(D) = \frac{6}{120} = 0{,}05\). Parmi les appareils de B, 10 sur 80 sont défectueux, donc \(P_B(D) = \frac{10}{80} = 0{,}125\).
Arbre à 2 niveaux : atelier (A ou B) puis qualité (D : défectueux, C : conforme).
Parfois, on veut calculer la probabilité d'un événement en sachant que un autre événement s'est déjà réalisé.
On prend un chauffe-eau au hasard. On sait qu'il vient de l'atelier A. Quelle est la probabilité qu'il soit défectueux ?
On cherche \(P_A(D)\) = probabilité d'être défectueux, sachant qu'il vient de A.
On a : \(P(A \cap D) = \dfrac{6}{200} = 0{,}03\) et \(P(A) = \dfrac{120}{200} = 0{,}60\)
\(P_A(D) = \dfrac{P(A \cap D)}{P(A)} = \dfrac{0{,}03}{0{,}60} = \mathbf{0{,}05}\)
Interprétation : parmi les appareils de l'atelier A, 5 % sont défectueux. On retrouve bien \(\frac{6}{120} = 0{,}05\).
Un artisan menuisier sait que 70 % de ses commandes viennent de particuliers (\(P\)) et 30 % d'entreprises (\(E\)). Parmi les commandes de particuliers, 20 % portent sur des armoires. Calcule \(P(P \cap \text{armoire})\).
1. Probabilité que l'appareil vienne de A et soit défectueux :
2. Probabilité que l'appareil soit défectueux (quelle que soit son origine) :
Deux chemins aboutissent à D : le chemin A → D et le chemin B → D.
8 % des appareils sont défectueux, toutes origines confondues. On retrouve bien \(\frac{16}{200} = 0{,}08\).
3. Probabilité que l'appareil soit conforme :
Lorsqu'un événement \(A\) peut se réaliser par deux scénarios différents (via B ou via son contraire \(\bar{B}\)), on utilise la formule des probabilités totales pour calculer \(P(A)\) directement.
On peut aussi écrire : \(P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})\)
Sur l'arbre : on identifie tous les chemins qui aboutissent à A, on calcule chaque produit, puis on additionne.
Dans un entrepôt, 70 % des panneaux viennent du fournisseur F1 et 30 % du fournisseur F2.
Chez F1, le taux de défaut est de 4 %. Chez F2, le taux de défaut est de 10 %.
On prend un panneau au hasard. Quelle est la probabilité qu'il soit défectueux ?
\(P(D) = P(F1) \times P_{F1}(D) + P(F2) \times P_{F2}(D)\)
\(= 0{,}70 \times 0{,}04 + 0{,}30 \times 0{,}10\)
\(= 0{,}028 + 0{,}030 = \mathbf{0{,}058}\)
5,8 % des panneaux sont défectueux, tous fournisseurs confondus.
Modifiez les taux de défaut des deux fournisseurs et observez les probabilités se mettre à jour automatiquement sur l'arbre.
Arbre — Contrôle qualité avec deux fournisseurs
Deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un n'a aucune influence sur la probabilité de l'autre.
Un fabricant de mobilier produit des tables et des chaises de manière indépendante. La probabilité qu'une table soit non conforme est 0,04 et qu'une chaise soit non conforme est 0,06. Quelle est la probabilité que les deux pièces d'un lot soient non conformes ?
Un technicien contrôle deux appareils distincts : une pompe à chaleur et un ballon thermodynamique. Ces deux appareils fonctionnent de manière indépendante.
Comme les pannes sont indépendantes :
\(P(\text{PAC} \cap \text{BAL}) = P(\text{PAC}) \times P(\text{BAL}) = 0{,}05 \times 0{,}03 = \mathbf{0{,}0015}\)
Il y a 0,15 % de chances que les deux appareils tombent en panne en même temps.
Probabilité qu'aucun ne soit en panne :
\(P(\overline{\text{PAC}} \cap \overline{\text{BAL}}) = (1 - 0{,}05) \times (1 - 0{,}03) = 0{,}95 \times 0{,}97 = \mathbf{0{,}9215}\)
On contrôle des vis dans une boîte. La probabilité qu'une vis soit défectueuse est 0,06. On tire deux vis successivement avec remise (on repose la première avant de tirer la seconde). Les deux tirages sont indépendants.
Probabilité que les deux vis soient défectueuses :
\(P(D_1 \cap D_2) = P(D_1) \times P(D_2) = 0{,}06 \times 0{,}06 = \mathbf{0{,}0036}\)
Un électricien effectue des contrôles de conformité sur des tableaux électriques dans des logements neufs. On sait que :
On contrôle un logement au hasard. On note NC : « tableau non conforme » et C : « tableau conforme ».
| Non conforme (NC) | Conforme (C) | Total | |
|---|---|---|---|
| Équipe A | 18 | 582 | 600 |
| Équipe B | 32 | 368 | 400 |
| Total | 50 | 950 | 1 000 |
1. Probabilité qu'un logement ait un tableau non conforme :
\(P(\text{NC}) = P(A) \times P_A(\text{NC}) + P(B) \times P_B(\text{NC})\)
\(= 0{,}60 \times 0{,}03 + 0{,}40 \times 0{,}08 = 0{,}018 + 0{,}032 = \mathbf{0{,}050}\)
5 % des logements ont un tableau non conforme.
2. Probabilité que le logement soit conforme :
\(P(C) = 1 - P(\text{NC}) = 1 - 0{,}050 = \mathbf{0{,}950}\)
3. Probabilité que le logement ait un tableau NC et provienne de l'équipe A :
\(P(A \cap \text{NC}) = 0{,}60 \times 0{,}03 = \mathbf{0{,}018}\)
4. Interprétation : Si on contrôle 1 000 logements, on s'attend à trouver environ \(0{,}050 \times 1000 = \mathbf{50}\) tableaux non conformes. Parmi ceux-ci, \(0{,}018 \times 1000 = 18\) viendraient de l'équipe A et \(0{,}032 \times 1000 = 32\) de l'équipe B.
On contrôle 500 panneaux de bois. Voici les résultats :
| Défectueux | Conforme | Total | |
|---|---|---|---|
| Fournisseur F1 | 15 | 285 | 300 |
| Fournisseur F2 | 25 | 175 | 200 |
| Total | 40 | 460 | 500 |
On prend un panneau au hasard.
1. Calculer \(P(F1)\), \(P(D)\) et \(P(F1 \cap D)\).
2. Calculer \(P_{F1}(D)\) et interpréter.
3. Construire un arbre de probabilités à deux niveaux.
1. \(P(F1) = \frac{300}{500} = 0{,}60\) ; \(P(D) = \frac{40}{500} = 0{,}08\) ; \(P(F1 \cap D) = \frac{15}{500} = 0{,}03\)
2. \(P_{F1}(D) = \frac{P(F1 \cap D)}{P(F1)} = \frac{0{,}03}{0{,}60} = \mathbf{0{,}05}\) → parmi les panneaux de F1, 5 % sont défectueux.
3. Arbre : branche F1 (0,60) → D (0,05) / C (0,95) ; branche F2 (0,40) → D (0,125) / C (0,875)
Vérification : \(0{,}60 \times 0{,}05 + 0{,}40 \times 0{,}125 = 0{,}03 + 0{,}05 = 0{,}08 = P(D)\) ✓
Dans une entreprise de climatisation, 80 % des installations utilisent des unités de marque M1 et 20 % des unités de marque M2. Le taux de panne annuel est de 2 % pour M1 et de 6 % pour M2.
1. Construire un arbre de probabilités (noter P : panne, NP : pas de panne).
2. Calculer la probabilité qu'une installation prise au hasard tombe en panne dans l'année.
3. Calculer la probabilité qu'elle ne tombe pas en panne.
1. Branche M1 (0,80) : P (0,02) / NP (0,98) ; Branche M2 (0,20) : P (0,06) / NP (0,94)
2. \(P(\text{Panne}) = 0{,}80 \times 0{,}02 + 0{,}20 \times 0{,}06 = 0{,}016 + 0{,}012 = \mathbf{0{,}028}\)
Environ 2,8 % des installations tombent en panne dans l'année.
3. \(P(\text{NP}) = 1 - 0{,}028 = \mathbf{0{,}972}\)
D'après l'exercice 1, on sait que \(P(F2 \cap D) = 0{,}05\) et \(P(D) = 0{,}08\).
On prend un panneau défectueux au hasard. Quelle est la probabilité qu'il provienne du fournisseur F2 ?
On cherche \(P_D(F2)\).
\(P_D(F2) = \dfrac{P(F2 \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}05}{0{,}08} = \mathbf{0{,}625}\)
Parmi les panneaux défectueux, 62,5 % viennent du fournisseur F2.
Un technicien intervient sur deux circuits électriques indépendants dans un bâtiment.
La probabilité qu'un disjoncteur du circuit 1 soit défaillant est 0,04.
La probabilité qu'un disjoncteur du circuit 2 soit défaillant est 0,07.
1. Calculer la probabilité que les deux disjoncteurs soient défaillants en même temps.
2. Calculer la probabilité qu'aucun des deux ne soit défaillant.
3. Calculer la probabilité qu'au moins l'un des deux soit défaillant.
Les circuits sont indépendants, donc on peut multiplier les probabilités.
1. \(P(D_1 \cap D_2) = P(D_1) \times P(D_2) = 0{,}04 \times 0{,}07 = \mathbf{0{,}0028}\)
2. \(P(\bar{D_1} \cap \bar{D_2}) = 0{,}96 \times 0{,}93 = \mathbf{0{,}8928}\)
3. \(P(\text{au moins un}) = 1 - P(\text{aucun}) = 1 - 0{,}8928 = \mathbf{0{,}1072}\)
Les notions suivantes prolongent ce chapitre, mais ne font pas partie du programme de Terminale Bac Professionnel. Elles sont mentionnées ici uniquement à titre d'information, pour les élèves curieux ou ceux qui envisagent de poursuivre leurs études en BTS ou au-delà.
Ces notions apparaissent dans les programmes de mathématiques du Bac Professionnel dans d'autres filières, ainsi qu'en BTS. Si vous vous orientez vers un BTS du bâtiment ou de l'industrie, vous les rencontrerez rapidement.
Dans une chaîne de production, une machine A est défectueuse 15 % du temps, une machine B 8 %. Les probabilités d'obtenir 0, 1 ou 2 pièces défectueuses sur 2 tirages sont comparées ci-dessous.