Terminale Bac Pro | Mathématiques | Statistique et probabilités
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Je vais apprendre à :
Représenter un nuage de points à partir d'une série statistique à deux variables
Choisir et tracer un ajustement adapté à la forme du nuage (affine ou non)
Utiliser le coefficient de détermination \(R^2\) comme indicateur, avec le nuage et le contexte
Utiliser l'ajustement pour interpoler ou extrapoler des valeurs
Prérequis — Première Lire un tableau de couples, placer un nuage de points, calculer des moyennes et utiliser un ajustement affine à la calculatrice. En Terminale, on élargit le choix des modèles ; les changements de variable sont indiqués.
Situation professionnelle
🔧 Analyse de la consommation d'un bâtiment tertiaire
ICCER Un technicien en génie climatique réalise le suivi énergétique d'un bâtiment de bureaux équipé d'une pompe à chaleur air/eau. Il relève chaque semaine la température extérieure moyenne et la consommation de chauffage.
ERA-MA En électrotechnique ou en agencement, ce type d'analyse permet de relier deux grandeurs mesurées (courant/tension, quantité de matière/coût) pour établir un modèle prédictif.
Problème : Comment estimer la consommation d'une semaine future à partir de la météo prévue ? La réponse passe par les statistiques à deux variables.
1. Introduction — Pourquoi étudier deux variables ensemble ?
En statistiques, on étudie souvent deux grandeurs liées entre elles : par exemple, la consommation de chauffage d'un bâtiment dépend de la température extérieure. En traçant les données dans un repère, on obtient un nuage de points qui révèle si une relation existe entre les deux grandeurs.
Exemple introductif — Chauffage d'un bâtiment
Dans cet exemple pédagogique, les valeurs sont simulées pour 8 semaines : la température extérieure moyenne (en °C) et la consommation de chauffage d'un immeuble de bureaux (en kWh).
Semaine
1
2
3
4
5
6
7
8
Temp. \(x\) (°C)
2
5
8
10
14
17
19
22
Conso. \(y\) (kWh)
980
840
720
640
480
350
260
140
On observe que quand la température monte, la consommation baisse. Il y a une relation entre \(x\) et \(y\). On va la modéliser.
2. Nuage de points et point moyen
Définition — Série à deux variables
Une série statistique à deux variables est un ensemble de couples \((x_i\,;\,y_i)\) où chaque couple correspond à une observation (une semaine, un bâtiment, un appareil…).
Définition — Nuage de points
Un nuage de points est la représentation graphique des couples \((x_i\,;\,y_i)\) dans un repère orthogonal. La variable \(x\) est placée en abscisse, la variable \(y\) en ordonnée.
Propriété — Point moyen
Le point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\) est le point dont les coordonnées sont les moyennes des deux séries :
\[\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \qquad \bar{y} = \frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_n}{n}\]
La droite de régression par moindres carrés de la forme \(y=ax+b\), avec une constante, passe par le point moyen \(G\).
Application
Un artisan menuisier relève 4 chantiers : surfaces \(x\) = 10, 20, 30, 40 m² et coûts \(y\) = 1 500, 2 800, 4 200, 5 600 €. Calcule les coordonnées du point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\).
Observer la forme générale : les points forment-ils une ligne droite ? une courbe ? un nuage dispersé ?
Identifier le sens de la liaison : quand \(x\) augmente, \(y\) augmente-t-il (liaison positive) ou diminue-t-il (liaison négative) ?
Évaluer la dispersion : les points sont-ils serrés autour d'une tendance ou très éparpillés ?
3. Ajustement affine — Droite de régression
Quand le nuage de points a une forme allongée (linéaire), on peut l'ajuster par une droite \(y = ax + b\). Cette droite est calculée pour minimiser les écarts entre les points et la droite.
Définition — Droite de régression
La droite de régression de \(y\) en \(x\) est la droite \(y = ax + b\) qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points du nuage et la droite.
Elle passe toujours par le point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\).
Méthode — Calculer \(a\) et \(b\) à la calculatrice
Mettre les données dans deux listes \(x\) et \(y\) (menu Stat)
Lancer la régression de \(y\) en \(x\), dans le sens indiqué par l’énoncé
Identifier le coefficient de \(x\) et la constante : certaines calculatrices affichent \(ax+b\), d’autres \(a+bx\). Lire aussi \(R^2\) si disponible ; pour une régression affine avec constante, on peut calculer \(R^2=r^2\) si seul \(r\) est affiché
La calculatrice donne : \(a \approx -41{,}7\) et \(b \approx 1057\)
Droite de régression : \(\boxed{y = -41{,}7\,x + 1057}\)
Interprétation : quand la température augmente de 1°C, la consommation diminue d'environ 42 kWh.
Application
La droite de régression d'un artisan menuisier est \(y = 85x + 500\) (coût en € en fonction du nombre de mètres linéaires de corniche \(x\)). Que représentent 85 et 500 dans ce contexte ?
85 : le coût augmente de 85 € par mètre linéaire supplémentaire de corniche.
500 : coût fixe (déplacement, outillage) indépendant de la quantité posée.
4. Apprécier un ajustement — Coefficient de détermination \(R^2\)
Un indicateur, pas un verdict
Pour une régression affine avec constante et une série \(y\) non constante, \(R^2\) est compris entre 0 et 1. Il mesure la part de la dispersion des valeurs de \(y\), autour de leur moyenne, expliquée par l’ajustement sur les données utilisées. Une valeur proche de 1 indique de faibles écarts verticaux relatifs ; elle ne garantit ni les prévisions futures ni une relation de cause à effet.
Choisir avec le nuage et le contexte
Observer la forme du nuage et les éventuels points atypiques.
Utiliser l’outil numérique pour l’ajustement demandé et lire \(R^2\).
Vérifier que le modèle a un sens pour les grandeurs et l’intervalle étudiés.
Présenter l’estimation et ses limites. Aucun seuil universel de \(R^2\) n’impose d’accepter ou de rejeter le modèle.
Complément — Le coefficient de corrélation \(r\)
Le coefficient de corrélation linéaire \(r\), lorsqu’il est défini, est compris entre −1 et 1. Son signe indique le sens de la tendance linéaire : positif si \(y\) tend à augmenter avec \(x\), négatif si \(y\) tend à diminuer. Une valeur de \(|r|\) proche de 1 indique une forte liaison linéaire. Pour une régression affine par moindres carrés avec constante, \(R^2=r^2\). Cette égalité ne se généralise pas automatiquement à tous les modèles.
Application
Dans un exemple fictif, un métreur obtient \(r=-0{,}92\) entre le nombre de fenêtres posées et la durée moyenne par fenêtre, en minutes. Calculer \(R^2\). Peut-on en déduire que poser davantage de fenêtres cause une baisse de cette durée, ou valider le modèle sans voir le nuage ?
\(R^2=(-0{,}92)^2=0{,}8464\). La tendance linéaire est négative. Environ 84,6 % de la dispersion de la durée est expliquée par l’ajustement dans cette série. Cela ne démontre aucune causalité : les chantiers peuvent différer. Il faut examiner le nuage, les données et le contexte avant d’utiliser le modèle.
Attention — Corrélation et causalité
Un \(r\) proche de zéro peut correspondre à une relation non linéaire, à une forte dispersion ou à une absence de relation : le nuage aide à les distinguer. Un \(R^2\) élevé ne prouve pas que \(x\) cause \(y\).
5. Visualisation interactive — Nuage de points et ajustement
Utilisez le curseur ci-dessous pour entrer une température et voir la consommation prévue par la droite de régression.
Intervalle des données simulées : 2°C à 22°C. En dehors : extrapolation ; une consommation prévue négative signale que le modèle ne convient plus.
6. Ajustements non affines — Changements de variable
Le changement de variable est indiqué dans l’énoncé. Quand le nuage de points n'est pas rectiligne, on peut effectuer un changement de variable pour "linéariser" la relation, puis appliquer un ajustement affine sur les nouvelles variables.
Principe
Si la relation entre \(x\) et \(y\) n'est pas linéaire, on pose une nouvelle variable \(z\) (transformée de \(x\) ou de \(y\)), de façon à ce que la relation entre \(z\) et l'autre variable soit linéaire.
Modèles courants
Les logarithmes ci-dessous sont décimaux. Pour le modèle exponentiel, il faut \(y>0\), \(A>0\) et \(q>0\). Pour le modèle puissance, il faut \(x>0\) et \(y>0\). Pour l’inverse, il faut \(x\ne0\). Après transformation, \(R^2\) porte sur les nouvelles variables ; on ne compare pas automatiquement ces scores à ceux calculés sur les variables initiales.
Type de relation
Changement de variable
Nouvelle relation linéaire
Affine \(y = ax + b\)
Aucun
\(y = ax + b\)
Exponentielle \(y = A \cdot q^x\)
\(z = \log(y)\)
\(z = x\log(q) + \log(A)\)
Puissance \(y = A \cdot x^k\)
\(z = \log(y)\), \(u = \log(x)\)
\(z = ku + \log(A)\)
Inverse \(y = \frac{a}{x} + b\)
\(z = \frac{1}{x}\)
\(y = az + b\)
Exemple — Ajustement exponentiel (croissance bactérienne)
On utilise des données pédagogiques simulées de population bactérienne (en milliers), heure par heure :
Heure \(t\)
0
1
2
3
4
5
Population \(N\)
2
4,1
8,3
16,2
33,1
65
Étape 1 : Le nuage de \((t, N)\) n'est pas rectiligne → on pose \(z = \log(N)\).
Heure \(t\)
0
1
2
3
4
5
\(z = \log(N)\)
0,301
0,613
0,919
1,210
1,520
1,813
Étape 2 : Le nuage de \((t, z)\) est presque rectiligne → droite de régression : \(z \approx 0{,}302\,t + 0{,}307\)
Étape 3 : Retour à \(N\) : \(\log(N) = 0{,}302\,t + 0{,}307 \Rightarrow N = 10^{0{,}302t+0{,}307} \approx 2{,}03 \times 2{,}005^t\)
Attention À 25°C on ne chauffe plus normalement. L'extrapolation donne un résultat peu réaliste : le modèle a des limites. Il faut toujours interpréter le résultat dans le contexte professionnel.
Application
Un fabricant de mobilier modélise ses coûts à partir de commandes de 2 à 12 plateaux : \(y = 120x + 300\) (€ en fonction du nombre de plateaux \(x\)). Estimez le coût pour 8 plateaux (interpolation) et pour 50 plateaux (extrapolation). Laquelle des deux estimations est plus fiable ?
Interpolation (\(x = 8\) dans l'intervalle des données) : \(y = 120 \times 8 + 300 = 1\,260\,\text{€}\). — Estimation dans l’intervalle observé, à apprécier selon les écarts et le contexte.
Extrapolation (\(x = 50\) hors intervalle) : \(y = 120 \times 50 + 300 = 6\,300\,\text{€}\). — À utiliser avec prudence, le modèle peut ne plus être valable.
8. Exemple professionnel — COP d'une pompe à chaleur
🌡️ Performance d'une PAC selon la température extérieure
ICCER Dans cet exemple pédagogique, des valeurs simulées décrivent le COP (Coefficient de Performance) d'une pompe à chaleur air/eau pour différentes températures extérieures. Plus il fait froid, moins la PAC est efficace.
Extrapolation : à \(x = -10\,°C\) → \(y = 0{,}115 \times (-10) + 2{,}618 \approx 1{,}47\) (valeur extrapolée, non validée à cette température)
Limite du modèle : ces données simulées ne permettent pas de recommander un mode de chauffage. Hors de [−5 ; 20] °C, la droite doit être validée avec des données techniques réelles ; un seuil extrapolé ne suffit pas pour commander une bascule.
9. Simulation — Comparer les types d'ajustement
Comparer visuellement les ajustements selon la forme du nuage
10. Applications concrètes — Génie climatique et Menuiserie
Lien avec les enseignements professionnels
Les statistiques à deux variables sont directement utilisées dans vos spécialités :
ICCERGénie climatique : relation température extérieure / consommation de chauffage ; COP d'une PAC en fonction de la température ; pression / débit dans un circuit hydraulique
ICCERÉlectricité du bâtiment : caractéristique \(U = f(I)\) d'un dipôle (loi d'Ohm) ; puissance appelée en fonction de la surface chauffée
ERA-MAAgencement et menuiserie : relation entre quantité de matière et coût de fabrication d'un meuble ; temps de pose selon la complexité d'un agencement
ERA-MABâtiment : relation épaisseur d'isolation / consommation de chauffage ; diagnostics de performance énergétique (DPE)
Bilan — Tableau récapitulatif
Notion
Description
Nuage de points
Représentation des couples \((x_i, y_i)\)
Point moyen \(G\)
\((\bar{x}, \bar{y})\) — centre de gravité
Droite de régression
\(y = ax + b\) — ajustement affine
Coefficient \(R^2\)
Indicateur d’ajustement, à lire avec le nuage et le contexte
Notion
Description
Changement de variable
Linéariser une relation non affine
Interpolation
Estimer \(y\) dans l'intervalle connu
Extrapolation
Estimer \(y\) hors de l'intervalle (prudence !)
Interprétation
Toujours contextualiser le résultat
📌 À retenir
Un nuage de points représente la liaison entre deux variables \(x\) et \(y\).
La droite de régression \(y = ax + b\) passe toujours par \(G(\bar{x}, \bar{y})\).
Le coefficient \(R^2\) est un indicateur de l’ajustement aux données utilisées ; il ne garantit pas les prévisions.
La forme du nuage peut suggérer un autre modèle ; le changement de variable est fourni dans l’énoncé.
L’interpolation se situe dans l’intervalle observé ; toute estimation a des limites, renforcées lors d’une extrapolation.
Toujours interpréter le résultat dans le contexte professionnel.
Erreurs fréquentes à éviter
Utiliser un score numérique seul, sans examiner le nuage et le contexte.
Extrapoler loin de la zone de données sans signaler que le résultat est moins fiable.
Confondre \(r\) et \(r^2\) : la calculatrice peut donner l'un ou l'autre selon le modèle.
Ne pas identifier le sens de la liaison (signe de \(a\) et de \(r\) doit être cohérent).
Mini exercices
Exercice 1 — Chauffage et productivité
Dans une série pédagogique fictive, on donne pour 6 ouvriers leur expérience \(x\) (en années) et leur productivité \(y\) (pièces/heure) :
\(x\)
1
2
4
5
7
9
\(y\)
12
15
19
22
26
31
1. Calculer les coordonnées du point moyen \(G\).
2. La calculatrice donne \(y = 2{,}33x + 9{,}96\). Vérifier que cette équation arrondie donne une valeur proche de l’ordonnée de \(G\).
3. Estimer la productivité d'un ouvrier ayant 6 ans d'expérience.
La calculatrice donne \(r=0{,}72\) pour une régression affine avec constante.
1. Calculer \(R^2\).
2. Ce nombre permet-il à lui seul de choisir entre ce modèle et un autre ?
1. \(R^2=0{,}72^2=0{,}5184\).
2. Non. Environ 51,8 % de la dispersion est expliquée ici ; il faut voir le nuage et le contexte pour décider de l’usage du modèle. Aucun seuil automatique ne prescrit un autre modèle.
Exercice 3 ICCER — COP d'une PAC
Pour la PAC de l'exemple professionnel, la droite d'ajustement est \(y = 0{,}115\,x + 2{,}618\).
1. Calculer le COP prévu pour une température extérieure de \(x = 8\,°C\). Est-ce une interpolation ou une extrapolation ?
2. Pour quelle température extérieure le COP atteindrait-il 1 ? Interpréter.
1. \(y = 0{,}115 \times 8 + 2{,}618 = 0{,}92 + 2{,}618 = \mathbf{3{,}54}\). C'est une interpolation (8°C est dans l'intervalle [−5 ; 20]).
Interprétation : −14,1°C est en dehors de l’intervalle [−5 ; 20]. C’est un résultat algébrique du modèle extrapolé, sans validation physique à cette température. Il ne justifie aucune décision de bascule de chauffage.
Exercice 4 — Bivalence physique/maths
En physique, on mesure la tension \(U\) (V) aux bornes d'un résistor pour différentes valeurs du courant \(I\) (mA) :
\(I\) (mA)
10
20
30
40
50
\(U\) (V)
0,47
0,98
1,45
1,96
2,51
La droite de régression donne \(R^2 \approx 0{,}9993\) et \(U = 0{,}0506\,I - 0{,}044\). Quelle est la résistance de ce résistor (en Ω) ?
La loi d'Ohm donne \(U = R \times I\). Le coefficient directeur \(a = 0{,}0506\,\text{V/mA} = 0{,}0506 \times 1000\,\text{V/A} = \mathbf{50{,}6\,\Omega}\).
Le nuage presque aligné et le score élevé sont cohérents avec un modèle ohmique ; l’ordonnée à l’origine non nulle invite à discuter les écarts de mesure. Le coefficient directeur fournit une estimation de la résistance.
Erreurs fréquentes
❌
Utiliser l’ajustement sans examiner le nuage
Un score élevé ne suffit pas à valider toutes les prévisions. Conseil : observer le nuage, lire \(R^2\), puis vérifier le contexte et l’intervalle.
❌
Confondre le signe de \(r\) avec la qualité
\(r = -0{,}98\) indique une liaison très forte (négative), pas une mauvaise liaison. Conseil : le signe décrit le sens de la liaison ; \(R^2\) décrit l’ajustement aux données, sans prouver une causalité.
❌
Extrapoler sans le signaler
Calculer \(y\) pour un \(x\) très loin des données sans préciser que c'est une extrapolation risquée. Conseil : indiquer toujours si la valeur estimée est dans ou hors de l'intervalle des données.
❌
Oublier d'interpréter le coefficient directeur
Dans \(y = ax + b\), donner seulement la valeur de \(a\) sans expliquer ce qu'il représente dans le contexte. Conseil : toujours relier \(a\) à une unité concrète (€/m², kWh/°C…).
❌
Inverser \(x\) et \(y\)
Confondre la variable explicative (\(x\)) et la variable expliquée (\(y\)) lors de l'ajustement. Conseil : pour une régression de \(y\) en \(x\), \(x\) est en abscisse et \(y\) est la grandeur estimée. Ce choix ne démontre pas une cause et un effet.