Fiche résumé — Probabilités
Chapitre 2 | Terminale Bac Pro | Mathématiques
Rappels essentiels
- \(0 \leq P(A) \leq 1\)
- Événement certain : \(P = 1\)
- Événement impossible : \(P = 0\)
Événement contraire : \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\)
Probabilité conditionnelle
Probabilité de \(A\) sachant que \(B\) est réalisé :
\(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
Se lit sur l'arbre : c'est la probabilité inscrite sur la branche qui part du nœud \(B\) vers \(A\).
Arbre de probabilités — Règles
- Sur chaque nœud, la somme des branches = 1.
- Probabilité d'un chemin = produit des branches.
- Plusieurs chemins vers un même événement → on additionne.
- Somme de toutes les feuilles = 1.
\(P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A)\)
Probabilités totales
Si \(B\) et \(\bar{B}\) couvrent tous les cas :
\(P(A) = P(B) \times P_B(A) + P(\bar{B}) \times P_{\bar{B}}(A)\)
Sur l'arbre : repérer tous les chemins qui arrivent à \(A\), multiplier sur chaque chemin, puis additionner.
Indépendance
\(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si :
\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
Conséquence : \(P_B(A) = P(A)\).
Connaître \(B\) ne change rien pour \(A\).
Tableau croisé
Permet de lire directement les probabilités :
\(P = \dfrac{\text{effectif de la case}}{\text{effectif total}}\)
La ligne/colonne « Total » sert de référence pour le calcul.
Piège 1 : Confondre \(P_B(A)\) et \(P_A(B)\). Ce sont deux probabilités différentes ! Vérifier dans quel sens on conditionne.
Piège 2 : Additionner là où il faut multiplier. Sur un chemin de l'arbre, on multiplie. Entre chemins différents, on additionne.
Piège 3 : Confondre événements incompatibles (\(P(A \cap B) = 0\)) et événements indépendants (\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)). Ce n'est pas la même chose.
Astuce vérification : La somme des probabilités de toutes les feuilles de l'arbre doit toujours être égale à 1. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur de calcul.
Astuce événement contraire : Pour calculer \(P(\text{au moins un})\), c'est souvent plus rapide de passer par le contraire : \(P(\text{au moins un}) = 1 - P(\text{aucun})\).
Résumé express — Méthode type
- Lire les données : identifier les événements et leurs probabilités.
- Construire l'arbre pondéré (vérifier que chaque nœud somme à 1).
- Multiplier le long de chaque chemin pour obtenir les probabilités des feuilles.
- Pour un événement global : additionner les chemins correspondants (probabilités totales).
- Pour une conditionnelle : utiliser \(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\).
- Vérifier : la somme de toutes les feuilles = 1.