Exercices – Chapitre 2

Probabilités | Terminale Bac Pro | ERA · TMA · ICCER (Grpt 1)

Dernière mise à jour : 8 mars 2026

Compétences travaillées :

Lire et exploiter un tableau à double entrée (tableau croisé)
Calculer des probabilités simples, composées et conditionnelles
Construire et lire un arbre de probabilités pondéré
Appliquer la formule des probabilités totales
Reconnaître et utiliser l’indépendance de deux événements

Exercice 1 Lecture d’un tableau croisé Socle

Un technicien chauffagiste contrôle 200 interrupteurs bipolaires issus de deux usines (U1 et U2). Le tableau suivant résume les résultats :

	Défectueux (D)	Conforme (C)	Total
Usine U1	6	114	120
Usine U2	10	70	80
Total	16	184	200

1. Combien d’interrupteurs de l’usine U1 sont défectueux ?
2. Combien d’interrupteurs conformes viennent de l’usine U2 ?
3. Combien d’interrupteurs sont défectueux au total ?
4. On prend un interrupteur au hasard. Calculer \(P(\text{U1})\), \(P(\text{D})\) et \(P(\text{C})\).

Réponses : …………………………

Mes calculs :

1. Lecture directe dans le tableau : 6 interrupteurs de U1 sont défectueux.

2. Lecture directe : 70 interrupteurs conformes viennent de U2.

3. Colonne « Défectueux » total : 16 interrupteurs sont défectueux au total.

\(P(\text{U1}) = \dfrac{120}{200} =\) \(0{,}60\) — 60 % des interrupteurs viennent de U1.
\(P(\text{D}) = \dfrac{16}{200} =\) \(0{,}08\) — 8 % des interrupteurs sont défectueux.
\(P(\text{C}) = \dfrac{184}{200} =\) \(0{,}92\) — ou plus rapidement : \(P(\text{C}) = 1 - P(\text{D}) = 1 - 0{,}08 = 0{,}92\).

Exercice 2 Probabilités simples et événement contraire Socle

Dans un entrepôt de menuiserie, 240 panneaux de bois sont stockés. On tire un panneau au hasard. On sait que :

90 panneaux sont de chêne, 150 sont de mélaminé.
Parmi les panneaux de chêne, 9 sont abîmés.
Parmi les panneaux de mélaminé, 6 sont abîmés.

1. Compléter le tableau croisé suivant :

	Abîmé (A)	En bon état (B)	Total
Chêne	…	…	90
Mélaminé	…	…	150
Total	…	…	240

2. Calculer la probabilité que le panneau tiré soit abîmé.
3. Calculer la probabilité que le panneau tiré soit en bon état. Utiliser l’événement contraire.
4. Calculer la probabilité qu’il soit de chêne et abîmé.

Réponses : …………………………

Mes calculs :

1. Tableau complété :

	Abîmé	En bon état	Total
Chêne	9	81	90
Mélaminé	6	144	150
Total	15	225	240

2. \(P(\text{A}) = \dfrac{15}{240} =\) \(0{,}0625\) soit environ 6,25 %.

3. \(P(\text{B}) = 1 - P(\text{A}) = 1 - 0{,}0625 =\) \(0{,}9375\) soit 93,75 %.

4. \(P(\text{Ch\^ene} \cap \text{A}) = \dfrac{9}{240} =\) \(0{,}0375\)

Exercice 3 Compléter un tableau croisé Socle

Un électricien contrôle des tableaux électriques dans des logements neufs construits par deux entreprises (E1 et E2). Voici un tableau partiellement rempli :

	Non conforme (NC)	Conforme (C)	Total
Entreprise E1	…	117	…
Entreprise E2	14	…	100
Total	…	…	250

On sait de plus que E1 a construit 150 logements sur les 250 contrôlés.

1. Compléter entièrement le tableau.
2. Calculer \(P(\text{E1})\), \(P(\text{NC})\) et \(P(\text{E2} \cap \text{NC})\).
3. Calculer \(P(\overline{\text{NC}})\) et interpréter.

Réponses : …………………………

Mes calculs :

1. Raisonnement :

E1 total = 150, E1 conformes = 117 → E1 non conformes = \(150 - 117 = \mathbf{33}\)
E2 total = 100, E2 non conformes = 14 → E2 conformes = \(100 - 14 = \mathbf{86}\)
Total NC = \(33 + 14 = \mathbf{47}\) | Total C = \(117 + 86 = \mathbf{203}\)

	NC	C	Total
E1	33	117	150
E2	14	86	100
Total	47	203	250

\(P(\text{E1}) = \dfrac{150}{250} =\) \(0{,}60\)
\(P(\text{NC}) = \dfrac{47}{250} =\) \(0{,}188\) soit 18,8 %.
\(P(\text{E2} \cap \text{NC}) = \dfrac{14}{250} =\) \(0{,}056\)

3. \(P(\overline{\text{NC}}) = P(\text{C}) = 1 - 0{,}188 =\) \(0{,}812\)
Interprétation : 81,2 % des logements ont un tableau conforme.

Exercice 4 Calculer des probabilités simples — méthode guidée Socle

Méthode : La probabilité d'un événement A, c'est :
\(P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre total de cas}}\)

Dans un stock de 100 raccords de plomberie, il y a 60 raccords en cuivre et 40 raccords en PER. On tire un raccord au hasard.

1. Calculer \(P(\text{cuivre})\). Compléter :

\(P(\text{cuivre}) = \dfrac{\boxed{\phantom{60}}}{\boxed{\phantom{100}}} = \boxed{\phantom{0,60}}\)

2. Calculer \(P(\text{PER})\) de la même façon :

\(P(\text{PER}) = \dfrac{\phantom{40}}{\phantom{100}} = \) ………

3. Vérifier que \(P(\text{cuivre}) + P(\text{PER}) = 1\). Pourquoi ?

4. Parmi les 60 raccords en cuivre, 3 sont défectueux. Calculer la probabilité qu'un raccord pris au hasard soit en cuivre ET défectueux :

\(P(\text{cuivre et défectueux}) = \dfrac{\boxed{\phantom{3}}}{\boxed{\phantom{100}}} = \boxed{\phantom{0,03}}\)

Mes calculs :

1. \(P(\text{cuivre}) = \dfrac{60}{100} = \)\(0{,}60\) soit 60 %

2. \(P(\text{PER}) = \dfrac{40}{100} = \)\(0{,}40\) soit 40 %

3. \(0{,}60 + 0{,}40 = 1\). La somme vaut 1 car ce sont les deux seules possibilités (événements contraires).

4. \(P(\text{cuivre et défectueux}) = \dfrac{3}{100} = \)\(0{,}03\) soit 3 %

Exercice 5 Compléter un tableau croisé — pas à pas Socle

Méthode : Dans un tableau croisé, chaque ligne et chaque colonne se termine par un total.
Règle : Total d'une ligne = somme des cases de cette ligne.

Un menuisier contrôle 80 panneaux (chêne ou mélaminé, conforme ou abîmé). On sait que :

Il y a 50 panneaux de chêne et 30 de mélaminé.
Parmi les panneaux de chêne, 5 sont abîmés.
Au total, 8 panneaux sont abîmés.

1. Compléter le tableau case par case. Commencer par les cases fléchées :

	Abîmé (A)	Conforme (C)	Total
Chêne	5 ✓	← 50 − 5 = ?	50
Mélaminé	← 8 − 5 = ?	?	30
Total	8	← 80 − 8 = ?	80

2. On tire un panneau au hasard. Calculer \(P(\text{Abîmé})\) :

\(P(\text{A}) = \dfrac{\boxed{\phantom{8}}}{\boxed{\phantom{80}}} = \boxed{\phantom{0,10}}\)

3. Calculer \(P(\text{Chêne et Conforme})\) :

\(P(\text{Chêne} \cap \text{C}) = \dfrac{\phantom{45}}{\phantom{80}} = \) ………

Mes calculs :

1. Tableau complété :

	Abîmé	Conforme	Total
Chêne	5	45	50
Mélaminé	3	27	30
Total	8	72	80

2. \(P(\text{A}) = \dfrac{8}{80} = \)\(0{,}10\) soit 10 %

3. \(P(\text{Chêne} \cap \text{C}) = \dfrac{45}{80} = \)\(0{,}5625\)

Exercice 6 Lire un arbre de probabilités — questions guidées Socle

Une entreprise de chauffage achète des vannes chez deux fournisseurs. Voici l'arbre :

1. Quelle proportion des vannes vient du fournisseur F1 ?

\(P(\text{F1}) = \) ……… (lire la 1ère branche)

2. Parmi les vannes de F1, quel pourcentage est défectueux ?

\(P_{\text{F1}}(\text{D}) = \) ……… (lire la sous-branche « Défectueuse »)

3. Calculer \(P(\text{F1} \cap \text{D})\) = probabilité d'avoir une vanne de F1 et défectueuse. Compléter :

\(P(\text{F1} \cap \text{D}) = P(\text{F1}) \times P_{\text{F1}}(\text{D}) = \boxed{\phantom{0,7}} \times \boxed{\phantom{0,05}} = \boxed{\phantom{0,035}}\)

4. Calculer de même \(P(\text{F2} \cap \text{D})\) :

\(P(\text{F2} \cap \text{D}) = \) ……… \(\times\) ……… \(=\) ………

5. En déduire \(P(\text{D})\) = probabilité totale qu'une vanne soit défectueuse :

\(P(\text{D}) = P(\text{F1} \cap \text{D}) + P(\text{F2} \cap \text{D}) = \boxed{\phantom{0,035}} + \boxed{\phantom{0,030}} = \boxed{\phantom{0,065}}\)

Mes calculs :

1. \(P(\text{F1}) = 0{,}7\) — 70 % des vannes viennent de F1.

2. \(P_{\text{F1}}(\text{D}) = 0{,}05\) — 5 % des vannes F1 sont défectueuses.

3. \(P(\text{F1} \cap \text{D}) = 0{,}7 \times 0{,}05 = \)\(0{,}035\)

4. \(P(\text{F2} \cap \text{D}) = 0{,}3 \times 0{,}10 = \)\(0{,}030\)

5. \(P(\text{D}) = 0{,}035 + 0{,}030 = \)\(0{,}065\) soit 6,5 %.

C'est la formule des probabilités totales : on additionne les chemins qui mènent à D.

Exercice 18 Utiliser la formule de probabilité conditionnelle — guidé Socle

Méthode : La probabilité conditionnelle de A sachant B vaut :
\(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

Dans un stock de 150 tuyaux, 90 sont en cuivre et 60 en PVC. Parmi les tuyaux en cuivre, 6 sont fissurés. Parmi les tuyaux en PVC, 4 sont fissurés.

1. Calculer \(P(\text{cuivre})\) :

\(P(\text{cuivre}) = \dfrac{\boxed{\phantom{90}}}{\boxed{\phantom{150}}} = \boxed{\phantom{0,6}}\)

2. Calculer \(P(\text{cuivre} \cap \text{fissuré})\) :

\(P(\text{cuivre} \cap \text{fissuré}) = \dfrac{\boxed{\phantom{6}}}{\boxed{\phantom{150}}} = \boxed{\phantom{0,04}}\)

3. Calculer \(P_{\text{cuivre}}(\text{fissuré})\) = probabilité qu'un tuyau soit fissuré, sachant qu'il est en cuivre :

\(P_{\text{cuivre}}(\text{fissuré}) = \dfrac{P(\text{cuivre} \cap \text{fissuré})}{P(\text{cuivre})} = \dfrac{\boxed{\phantom{0,04}}}{\boxed{\phantom{0,6}}} = \boxed{\phantom{0,067}}\)

Mes calculs :

1. \(P(\text{cuivre}) = 90/150 = \)\(0{,}6\)

2. \(P(\text{cuivre} \cap \text{fissuré}) = 6/150 = \)\(0{,}04\)

3. \(P_{\text{cuivre}}(\text{fissuré}) = 0{,}04 / 0{,}6 = \)\(0{,}067\) ≈ 6,7 %
On peut aussi le calculer directement : \(6/90 = 0{,}067\) ✓

Exercice 19 Vérifier l'indépendance de deux événements — pas à pas Socle

Méthode : A et B sont indépendants si \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).
On compare les deux membres : s'ils sont égaux, A et B sont indépendants.

On contrôle des robinets. On sait que :
– 40 % viennent du fournisseur F1 (\(P(\text{F1}) = 0{,}4\))
– 15 % de tous les robinets sont défectueux (\(P(\text{D}) = 0{,}15\))
– 6 % viennent de F1 et sont défectueux (\(P(\text{F1} \cap \text{D}) = 0{,}06\))

1. Calculer \(P(\text{F1}) \times P(\text{D})\) :

\(P(\text{F1}) \times P(\text{D}) = \boxed{\phantom{0,4}} \times \boxed{\phantom{0,15}} = \boxed{\phantom{0,06}}\)

2. Comparer avec \(P(\text{F1} \cap \text{D}) = 0{,}06\). Conclure :

☐ Les deux valeurs sont égales → F1 et D sont indépendants
☐ Les deux valeurs sont différentes → F1 et D ne sont pas indépendants

Mes calculs :

1. \(P(\text{F1}) \times P(\text{D}) = 0{,}4 \times 0{,}15 = \)\(0{,}06\)

2. \(0{,}06 = P(\text{F1} \cap \text{D}) = 0{,}06\) → les valeurs sont égales → F1 et D sont indépendants. La qualité des robinets ne dépend pas du fournisseur (dans cet exemple).

Exercice 20 Formule des probabilités totales — guidé Socle

Méthode — Probabilités totales :
\(P(\text{D}) = P(\text{F1}) \times P_{\text{F1}}(\text{D}) + P(\text{F2}) \times P_{\text{F2}}(\text{D})\)
On additionne les probabilités de tous les chemins qui mènent à D.

Un installateur de pompes à chaleur reçoit des filtres de deux fournisseurs. Fournisseur A : 60 % des filtres, taux de défaut = 4 %. Fournisseur B : 40 % des filtres, taux de défaut = 9 %.

1. Calculer \(P(\text{A} \cap \text{D})\) (chemin A → Défectueux) :

\(P(\text{A} \cap \text{D}) = \boxed{\phantom{0,6}} \times \boxed{\phantom{0,04}} = \boxed{\phantom{0,024}}\)

2. Calculer \(P(\text{B} \cap \text{D})\) (chemin B → Défectueux) :

\(P(\text{B} \cap \text{D}) = \) ……… \(\times\) ……… \(=\) ………

3. Appliquer la formule des probabilités totales :

\(P(\text{D}) = \boxed{\phantom{0,024}} + \boxed{\phantom{0,036}} = \boxed{\phantom{0,060}}\)

Mes calculs :

1. \(P(\text{A} \cap \text{D}) = 0{,}6 \times 0{,}04 = \)\(0{,}024\)

2. \(P(\text{B} \cap \text{D}) = 0{,}4 \times 0{,}09 = \)\(0{,}036\)

3. \(P(\text{D}) = 0{,}024 + 0{,}036 = \)\(0{,}060\) → 6 % des filtres sont défectueux.

Exercice 21 Événements indépendants — deux appareils Socle

Dans une installation de chauffage, un thermostat et une vanne motorisée fonctionnent de façon indépendante. La probabilité annuelle de panne du thermostat est 0,05 ; celle de la vanne est 0,08.

1. Calculer la probabilité que les deux tombent en panne la même année :

\(P(\text{thermostat} \cap \text{vanne}) = \boxed{\phantom{0,05}} \times \boxed{\phantom{0,08}} = \boxed{\phantom{0,004}}\)

2. Calculer la probabilité qu'aucun ne tombe en panne :

\(P(\overline{\text{thermostat}} \cap \overline{\text{vanne}}) = (1 - \boxed{\phantom{0,05}}) \times (1 - \boxed{\phantom{0,08}}) = \boxed{\phantom{0,95}} \times \boxed{\phantom{0,92}} = \boxed{\phantom{0,874}}\)

3. Calculer la probabilité qu'au moins l'un tombe en panne :

\(P(\text{au moins un}) = 1 - \) ……… \(=\) ………

Mes calculs :

1. \(P(\text{thermostat} \cap \text{vanne}) = 0{,}05 \times 0{,}08 = \)\(0{,}004\) → 0,4 %

2. \(P = 0{,}95 \times 0{,}92 = \)\(0{,}874\) → 87,4 % de chances qu'aucun ne tombe en panne.

3. \(P(\text{au moins un}) = 1 - 0{,}874 = \)\(0{,}126\) → 12,6 %

Exercice 7 Probabilité conditionnelle depuis un tableau Standard

On reprend le tableau de l’exercice 1 (contrôle de 200 interrupteurs) :

	Défectueux (D)	Conforme (C)	Total
Usine U1	6	114	120
Usine U2	10	70	80
Total	16	184	200

1. On prend un interrupteur de l’usine U1. Quelle est la probabilité qu’il soit défectueux ? Calculer \(P_{\text{U1}}(\text{D})\).
2. On prend un interrupteur de l’usine U2. Quelle est la probabilité qu’il soit défectueux ? Calculer \(P_{\text{U2}}(\text{D})\).
3. Quelle usine produit le plus de pièces défectueuses proportionnellement ? Justifier avec les calculs.

Rappel : \(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\) ou plus directement depuis le tableau : \(P_{\text{U1}}(\text{D}) = \dfrac{\text{nb de pièces U1 défectueuses}}{\text{nb total de pièces U1}}\)

Réponses : …………………………

Mes calculs :

1. Parmi les 120 interrupteurs de U1, 6 sont défectueux :
\(P_{\text{U1}}(\text{D}) = \dfrac{6}{120} =\) \(0{,}05\) → 5 % de défectueux chez U1.

2. Parmi les 80 interrupteurs de U2, 10 sont défectueux :
\(P_{\text{U2}}(\text{D}) = \dfrac{10}{80} =\) \(0{,}125\) → 12,5 % de défectueux chez U2.

3. L’usine U2 produit proportionnellement plus de pièces défectueuses : son taux de défaut (12,5 %) est 2,5 fois plus élevé que celui de U1 (5 %). Malgré un effectif plus faible, c’est U2 qui pose le problème de qualité.

Exercice 8 Construire et compléter un arbre simple Standard

Dans un atelier d’agencement, on sait que 7 % des panneaux produits présentent un défaut de surface.

On prend un panneau au hasard. On note D : « panneau défectueux » et \(\bar{D}\) : « panneau conforme ».

1. Écrire la valeur de \(P(\text{D})\).
2. En déduire \(P(\bar{D})\).
3. Compléter l’arbre de probabilités ci-dessous en plaçant les probabilités sur chaque branche.
4. Vérifier que la somme des probabilités des deux branches est bien égale à 1.

Réponses : …………………………

Mes calculs :

1. \(P(\text{D}) =\) \(0{,}07\) (7 % = 0,07).

2. \(P(\bar{D}) = 1 - P(\text{D}) = 1 - 0{,}07 =\) \(0{,}93\)

3. Arbre complété : branche D → 0,07 | branche D̄ → 0,93

4. Vérification : \(0{,}07 + 0{,}93 = 1\) ✓

Exercice 9 Lire un arbre de probabilités pondéré Standard

Un installateur de pompes à chaleur travaille pour deux fournisseurs : F1 (65 % des appareils) et F2 (35 % des appareils). Le taux de panne annuel est de 4 % chez F1 et de 9 % chez F2. L’arbre ci-dessous représente cette situation :

1. Vérifier que la somme des probabilités des deux branches issues du nœud F1 vaut bien 1.
2. Vérifier de même pour le nœud F2.
3. Calculer la probabilité qu’un appareil pris au hasard tombe en panne. Deux chemins aboutissent à « Panne ».
4. Calculer la probabilité qu’un appareil ne tombe pas en panne.

Réponses : ……………………

Mes calculs :

1. Nœud F1 : \(0{,}04 + 0{,}96 = 1\) ✓

2. Nœud F2 : \(0{,}09 + 0{,}91 = 1\) ✓

3. Deux chemins mènent à « Panne » :

Chemin F1 → Panne : \(0{,}65 \times 0{,}04 = 0{,}026\)

Chemin F2 → Panne : \(0{,}35 \times 0{,}09 = 0{,}0315\)

\(P(\text{Panne}) = 0{,}026 + 0{,}0315 =\) \(0{,}0575\)

Environ 5,75 % des appareils tombent en panne dans l’année.

4. \(P(\text{Pas de panne}) = 1 - 0{,}0575 =\) \(0{,}9425\)

Exercice 22 Compléter un tableau croisé et calculer des probabilités Standard

Contexte : Un conducteur de travaux contrôle la conformité de 300 fixations murales issues de deux fournisseurs (F1 : 180 fixations, F2 : 120 fixations). On note NC : « fixation non conforme ».

On sait que 9 fixations de F1 sont non conformes, et 12 fixations de F2 sont non conformes.

1. Construire et compléter le tableau croisé.
2. On tire une fixation au hasard. Calculer \(P(\text{F1})\), \(P(\text{NC})\) et \(P(\text{F1} \cap \text{NC})\).
3. Calculer \(P_{\text{F1}}(\text{NC})\) et \(P_{\text{F2}}(\text{NC})\). Quel fournisseur est le moins fiable ?
4. Calculer \(P(\overline{\text{NC}})\). Interpréter.

Tableau + réponses : ………………………………

Mes calculs :

	NC	Conforme	Total
F1	9	171	180
F2	12	108	120
Total	21	279	300

2. \(P(\text{F1}) = 180/300 = \)\(0{,}6\) \(P(\text{NC}) = 21/300 = \)\(0{,}07\) \(P(\text{F1} \cap \text{NC}) = 9/300 = \)\(0{,}03\)

3. \(P_{\text{F1}}(\text{NC}) = 9/180 = \)\(0{,}05\) (5 %) \(P_{\text{F2}}(\text{NC}) = 12/120 = \)\(0{,}10\) (10 %)
F2 est le moins fiable : son taux de non-conformité est deux fois plus élevé que celui de F1.

4. \(P(\overline{\text{NC}}) = 1 - 0{,}07 = \)\(0{,}93\) — 93 % des fixations sont conformes.

Exercice 23 Construire un arbre et appliquer les probabilités totales Standard

Contexte : Un plombier chauffagiste reçoit des joints en caoutchouc de deux usines. L'usine U1 fournit 55 % des joints avec un taux de défaut de 3 %. L'usine U2 fournit 45 % des joints avec un taux de défaut de 7 %.

On note D : « joint défectueux ».

1. Construire l'arbre de probabilités à deux niveaux (usine puis qualité).
2. Calculer \(P(\text{U1} \cap \text{D})\) et \(P(\text{U2} \cap \text{D})\).
3. Calculer \(P(\text{D})\) par la formule des probabilités totales.
4. Un lot de 1 000 joints est livré. Combien de joints défectueux peut-on s'attendre à trouver ?

Arbre et réponses : ………………………………

Mes calculs :

1. Arbre : U1 (0,55) → D (0,03) ou D̄ (0,97) ; U2 (0,45) → D (0,07) ou D̄ (0,93)

\(P(\text{U1} \cap \text{D}) = 0{,}55 \times 0{,}03 = \)\(0{,}0165\)
\(P(\text{U2} \cap \text{D}) = 0{,}45 \times 0{,}07 = \)\(0{,}0315\)

3. \(P(\text{D}) = 0{,}0165 + 0{,}0315 = \)\(0{,}048\) → 4,8 % des joints sont défectueux.

4. \(1\,000 \times 0{,}048 = \)\(48\) joints défectueux attendus dans le lot.

Exercice 24 Probabilité conditionnelle et interprétation Standard

Contexte : Un atelier fabrique des têtes de robinet sur deux postes de travail. Poste P1 : 70 % de la production, taux de rebut 4 %. Poste P2 : 30 % de la production, taux de rebut 10 %.

On prend une pièce au hasard. On note R : « pièce rebutée ».

1. Calculer \(P(\text{R})\) à l'aide de la formule des probabilités totales.
2. On sait qu'une pièce est rebutée. Calculer \(P_{\text{R}}(\text{P2})\).
3. Interpréter ce résultat pour le chef d'atelier.

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

1. \(P(\text{R}) = 0{,}70 \times 0{,}04 + 0{,}30 \times 0{,}10 = 0{,}028 + 0{,}030 = \)\(0{,}058\) → 5,8 % des pièces sont rebutées.

2. \(P_{\text{R}}(\text{P2}) = \dfrac{P(\text{P2} \cap \text{R})}{P(\text{R})} = \dfrac{0{,}030}{0{,}058} \approx \)\(0{,}517\)

3. Parmi les pièces rebutées, environ 52 % viennent du poste P2, alors que ce poste ne représente que 30 % de la production. Le chef d'atelier doit prioritairement contrôler et améliorer le poste P2.

Exercice 25 Tester l'indépendance de deux événements Standard

Contexte : Une entreprise de pose de parquets contrôle 400 chantiers. On relève si le chantier est en appartement (A) ou en maison (M), et si des malfaçons ont été signalées (Ma).

	Malfaçons (Ma)	Sans malfaçon	Total
Appartement (A)	18	162	180
Maison (M)	22	198	220
Total	40	360	400

1. Calculer \(P(\text{A})\), \(P(\text{Ma})\) et \(P(\text{A} \cap \text{Ma})\).
2. Calculer \(P(\text{A}) \times P(\text{Ma})\).
3. A et Ma sont-ils indépendants ? Que peut-on conclure sur le lien entre le type de chantier et les malfaçons ?

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

1. \(P(\text{A}) = 180/400 = \)\(0{,}45\) \(P(\text{Ma}) = 40/400 = \)\(0{,}10\) \(P(\text{A} \cap \text{Ma}) = 18/400 = \)\(0{,}045\)

2. \(P(\text{A}) \times P(\text{Ma}) = 0{,}45 \times 0{,}10 = \)\(0{,}045\)

3. \(P(\text{A} \cap \text{Ma}) = P(\text{A}) \times P(\text{Ma}) = 0{,}045\) → A et Ma sont indépendants. Le type de chantier (appartement ou maison) n'influence pas le taux de malfaçons : 10 % dans les deux cas.

Exercice 26 Deux épreuves successives indépendantes Standard

Contexte : Un technicien de maintenance effectue deux tests successifs et indépendants sur une installation : un test de pression et un test d'étanchéité. La probabilité de réussite du test de pression est 0,92, celle du test d'étanchéité est 0,88.

On note P : « test de pression réussi » et E : « test d'étanchéité réussi ».

1. Calculer la probabilité que les deux tests soient réussis.
2. Calculer la probabilité que le test de pression échoue ET que le test d'étanchéité réussisse.
3. Calculer la probabilité qu'au moins un test échoue.

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

1. \(P(\text{P} \cap \text{E}) = 0{,}92 \times 0{,}88 = \)\(0{,}8096\) → 80,96 % de chances que les deux tests soient réussis.

2. \(P(\bar{\text{P}} \cap \text{E}) = (1 - 0{,}92) \times 0{,}88 = 0{,}08 \times 0{,}88 = \)\(0{,}0704\)

3. « Au moins un test échoue » = contraire de « les deux tests réussissent » :
\(P = 1 - P(\text{P} \cap \text{E}) = 1 - 0{,}8096 = \)\(0{,}1904\) → 19,04 %

Exercice 27 Analyser un contrôle qualité avec tableau et arbre Standard

Contexte : Un responsable qualité d'une usine de robinetterie analyse 500 vannes à boisseau issues de deux ateliers (A1 : 320 pièces, A2 : 180 pièces). Parmi les pièces d'A1, 16 sont défectueuses. Parmi les pièces d'A2, 27 sont défectueuses.

1. Construire le tableau croisé.
2. Calculer \(P_{\text{A1}}(\text{D})\) et \(P_{\text{A2}}(\text{D})\).
3. En prenant un objet au hasard, calculer \(P(\text{D})\) par la formule des probabilités totales. Vérifier avec le tableau.
4. On constate un défaut sur une vanne. Calculer la probabilité qu'elle vienne de l'atelier A2 : \(P_{\text{D}}(\text{A2})\).

Tableau + réponses : ………………………………

Mes calculs :

	Défectueux	Conforme	Total
A1	16	304	320
A2	27	153	180
Total	43	457	500

2. \(P_{\text{A1}}(\text{D}) = 16/320 = \)\(0{,}05\) (5 %) \(P_{\text{A2}}(\text{D}) = 27/180 = \)\(0{,}15\) (15 %)

3. \(P(\text{D}) = (320/500) \times 0{,}05 + (180/500) \times 0{,}15 = 0{,}64 \times 0{,}05 + 0{,}36 \times 0{,}15 = 0{,}032 + 0{,}054 = \)\(0{,}086\)
Vérification tableau : \(43/500 = 0{,}086\) ✓

4. \(P_{\text{D}}(\text{A2}) = P(\text{A2} \cap \text{D}) / P(\text{D}) = (27/500) / 0{,}086 = 0{,}054 / 0{,}086 \approx \)\(0{,}628\) → 62,8 % des défauts proviennent de A2.

Exercice 28 Fiabilité d'un système en série Standard

Contexte : Un système de régulation thermique comporte trois composants en série : un capteur (C), un régulateur (R) et un actionneur (A). Le système ne fonctionne que si les trois composants fonctionnent. Les défaillances annuelles sont indépendantes : \(P(\text{panne C}) = 0{,}03\) ; \(P(\text{panne R}) = 0{,}05\) ; \(P(\text{panne A}) = 0{,}04\).

1. Calculer la probabilité que le système fonctionne pendant toute l'année (aucune panne).
2. Calculer la probabilité qu'au moins un composant tombe en panne.
3. En utilisant le modèle, quel composant est-il prioritaire à remplacer ou améliorer ?

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

1. Les trois fonctionnent si aucun ne tombe en panne :
\(P = (1-0{,}03) \times (1-0{,}05) \times (1-0{,}04) = 0{,}97 \times 0{,}95 \times 0{,}96 = \)\(0{,}8836\) → 88,36 %

2. \(P(\text{au moins une panne}) = 1 - 0{,}8836 = \)\(0{,}1164\) → 11,64 %

3. Le régulateur a la plus forte probabilité de panne (5 %). C'est lui qu'il faut prioritairement améliorer pour augmenter la fiabilité du système.

Exercice 10 Construire un arbre et appliquer la formule des probabilités totales Approfondissement

Un atelier de menuiserie produit des meubles sur deux lignes de fabrication :

Ligne L1 : fabrique 60 % des meubles, avec un taux de défaut de 3 %.
Ligne L2 : fabrique 40 % des meubles, avec un taux de défaut de 8 %.

On choisit un meuble au hasard. On note D : « meuble défectueux ».

1. Construire l’arbre de probabilités à deux niveaux.
2. Calculer \(P(\text{L1} \cap \text{D})\) et \(P(\text{L2} \cap \text{D})\).
3. Appliquer la formule des probabilités totales pour calculer \(P(\text{D})\).
4. Calculer \(P(\bar{D})\). Interpréter ce résultat dans le contexte.

Construction de l’arbre + réponses : ………………

Mes calculs :

1. Arbre :

\(P(\text{L1} \cap \text{D}) = 0{,}60 \times 0{,}03 =\) \(0{,}018\)
\(P(\text{L2} \cap \text{D}) = 0{,}40 \times 0{,}08 =\) \(0{,}032\)

3. \(P(\text{D}) = P(\text{L1}) \times P_{\text{L1}}(\text{D}) + P(\text{L2}) \times P_{\text{L2}}(\text{D}) = 0{,}018 + 0{,}032 =\) \(0{,}050\)

5 % des meubles produits sont défectueux.

4. \(P(\bar{D}) = 1 - 0{,}050 =\) \(0{,}950\)
95 % des meubles sont conformes. Sur 1 000 meubles, on s’attend à environ 50 meubles défectueux.

Exercice 11 Probabilité conditionnelle — Interpréter un résultat Approfondissement

Dans une centrale de traitement d’air, on contrôle les filtres. Les filtres peuvent être de type G4 ou F7. On sait que :

70 % des filtres sont de type G4, 30 % sont de type F7.
Parmi les G4, 5 % sont encrassés (E). Parmi les F7, 12 % sont encrassés.

1. Calculer \(P(\text{G4} \cap \text{E})\) et \(P(\text{F7} \cap \text{E})\).
2. Calculer \(P(\text{E})\) (probabilité qu’un filtre pris au hasard soit encrassé).
3. On sait qu’un filtre est encrassé. Calculer la probabilité qu’il soit de type F7 : \(P_{\text{E}}(\text{F7})\).
4. Interpréter ce résultat pour le technicien.

Rappel : \(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

Réponses : ……………………

Mes calculs :

\(P(\text{G4} \cap \text{E}) = 0{,}70 \times 0{,}05 =\) \(0{,}035\)
\(P(\text{F7} \cap \text{E}) = 0{,}30 \times 0{,}12 =\) \(0{,}036\)

2. \(P(\text{E}) = 0{,}035 + 0{,}036 =\) \(0{,}071\) — 7,1 % des filtres sont encrassés.

3. \(P_{\text{E}}(\text{F7}) = \dfrac{P(\text{F7} \cap \text{E})}{P(\text{E})} = \dfrac{0{,}036}{0{,}071} \approx\) \(0{,}507\)

4. Interprétation : parmi les filtres encrassés, environ 50,7 % sont de type F7, alors qu’ils ne représentent que 30 % de l’ensemble. Les filtres F7 s’encrassent proportionnellement bien plus vite. Le technicien doit surveiller plus fréquemment les filtres F7.

Exercice 12 Indépendance de deux événements Approfondissement

Un technicien contrôle deux équipements indépendants dans une installation de chauffage :

Un thermostat (T) : probabilité de défaillance dans l’année = 0,06
Une sonde de température (S) : probabilité de défaillance dans l’année = 0,04

Les deux appareils fonctionnent de façon indépendante.

1. Calculer la probabilité que les deux appareils tombent en panne la même année.
2. Calculer la probabilité qu’aucun des deux ne tombe en panne.
3. Calculer la probabilité qu’au moins l’un des deux tombe en panne. (Utiliser l’événement contraire.)

Rappel — Événements indépendants : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)

Réponses : ……………………

Mes calculs :

1. \(P(\text{T} \cap \text{S}) = P(\text{T}) \times P(\text{S}) = 0{,}06 \times 0{,}04 =\) \(0{,}0024\)

Il y a 0,24 % de chances que les deux tombent en panne la même année.

2. \(P(\bar{T} \cap \bar{S}) = P(\bar{T}) \times P(\bar{S}) = 0{,}94 \times 0{,}96 =\) \(0{,}9024\)

90,24 % de chances qu’aucun ne tombe en panne.

3. « Au moins un tombe en panne » est le contraire de « aucun ne tombe en panne » :

\(P(\text{au moins un}) = 1 - 0{,}9024 =\) \(0{,}0976\)

Environ 9,76 % de chances qu’au moins un appareil tombe en panne dans l’année.

Exercice 13 Contrôle qualité d’une installation de chauffage Approfondissement

Contexte professionnel : Un installateur thermique réceptionne des chauffe-eaux thermodynamiques livrés par deux grossistes (G1 et G2). Avant installation, il effectue un contrôle qualité complet sur un lot de 500 appareils.

Le contrôle donne les résultats suivants :

300 appareils viennent du grossiste G1, 200 du grossiste G2.
Parmi les appareils de G1 : 12 sont défectueux.
Parmi les appareils de G2 : 20 sont défectueux.

1. Construire et compléter un tableau croisé résumant ces données.
2. On prend un appareil au hasard. Calculer \(P(\text{G1})\), \(P(\text{D})\) et \(P(\text{G1} \cap \text{D})\).
3. Calculer \(P_{\text{G1}}(\text{D})\) et \(P_{\text{G2}}(\text{D})\). Quel grossiste est le moins fiable ?
4. Construire l’arbre de probabilités à deux niveaux (grossiste puis qualité).
5. Vérifier la valeur de \(P(\text{D})\) à l’aide de la formule des probabilités totales.
6. L’installateur décide de ne plus travailler avec un grossiste dont le taux de défaut dépasse 8 %. Que doit-il faire ?

Tableau, arbre et réponses : ………………

Mes calculs :

1. Tableau croisé :

	Défectueux (D)	Conforme (C)	Total
Grossiste G1	12	288	300
Grossiste G2	20	180	200
Total	32	468	500

\(P(\text{G1}) = \frac{300}{500} =\) \(0{,}60\)
\(P(\text{D}) = \frac{32}{500} =\) \(0{,}064\)
\(P(\text{G1} \cap \text{D}) = \frac{12}{500} =\) \(0{,}024\)

\(P_{\text{G1}}(\text{D}) = \frac{12}{300} =\) \(0{,}04\) → 4 % de défauts chez G1
\(P_{\text{G2}}(\text{D}) = \frac{20}{200} =\) \(0{,}10\) → 10 % de défauts chez G2

G2 est le moins fiable : son taux de défaut (10 %) est 2,5 fois plus élevé que celui de G1 (4 %).

4. Arbre :

5. \(P(\text{D}) = 0{,}60 \times 0{,}04 + 0{,}40 \times 0{,}10 = 0{,}024 + 0{,}040 =\) \(0{,}064\) ✓ (même valeur qu’en question 2).

6. \(P_{\text{G1}}(\text{D}) = 4\% < 8\%\) → G1 acceptable. \(P_{\text{G2}}(\text{D}) = 10\% > 8\%\) → G2 dépasse le seuil. L’installateur doit cesser de travailler avec G2 ou exiger une amélioration de sa part.

Exercice 14 Diagnostic de panneaux de bois Approfondissement

Contexte professionnel : Un responsable de chantier d’agencement reçoit des panneaux mélaminés de deux fournisseurs (F1 et F2). Il constate que certains panneaux présentent un défaut de film (surface non adhérente). Il veut évaluer le risque de recevoir un panneau défectueux.

D’après les livraisons de l’année passée :

F1 fournit 55 % des panneaux, avec un taux de défaut de film de 6 %.
F2 fournit 45 % des panneaux, avec un taux de défaut de film de 10 %.

On note D : « panneau avec défaut de film ».

1. Construire l’arbre de probabilités complet.
2. Calculer \(P(\text{D})\) à l’aide de la formule des probabilités totales.
3. On sait qu’un panneau est défectueux. Calculer \(P_{\text{D}}(\text{F1})\).
4. Calculer \(P_{\text{D}}(\text{F2})\). Vérifier que \(P_{\text{D}}(\text{F1}) + P_{\text{D}}(\text{F2}) = 1\).
5. Sur une commande de 1 000 panneaux, combien peut-on s’attendre à trouver de panneaux défectueux ? Combien viendraient de F2 ?

Arbre et réponses : ………………

Mes calculs :

1. et 2. Arbre et calculs :

Chemin	Calcul	Probabilité
F1 → D	0,55 × 0,06	0,033
F1 → D̄	0,55 × 0,94	0,517
F2 → D	0,45 × 0,10	0,045
F2 → D̄	0,45 × 0,90	0,405
Total		1,000 ✓

\(P(\text{D}) = 0{,}033 + 0{,}045 =\) \(0{,}078\) — 7,8 % des panneaux ont un défaut de film.

3. \(P_{\text{D}}(\text{F1}) = \dfrac{P(\text{F1} \cap \text{D})}{P(\text{D})} = \dfrac{0{,}033}{0{,}078} \approx\) \(0{,}423\)

4. \(P_{\text{D}}(\text{F2}) = \dfrac{0{,}045}{0{,}078} \approx\) \(0{,}577\)
Vérification : \(0{,}423 + 0{,}577 = 1{,}000\) ✓

Panneaux défectueux attendus : \(0{,}078 \times 1000 =\) 78 panneaux
Parmi ceux-ci, provenant de F2 : \(0{,}045 \times 1000 =\) 45 panneaux venant de F2

Bien que F2 livre seulement 45 % des panneaux, il est responsable de 57,7 % des défauts. C’est un fournisseur à surveiller.

Exercice 15 Panne d’un système de chauffage — Problème complet Approfondissement

Contexte professionnel : Un technicien chauffagiste assure la maintenance préventive d’une installation de chauffage comprenant trois équipements : une chaudière (Ch), une pompe de circulation (Po) et un vase d’expansion (Va). Ces trois appareils fonctionnent de façon indépendante.
D’après les données constructeur, les probabilités annuelles de panne sont :

Chaudière : \(P(\text{Ch}) = 0{,}05\)
Pompe : \(P(\text{Po}) = 0{,}08\)
Vase d’expansion : \(P(\text{Va}) = 0{,}03\)

1. Calculer la probabilité que la chaudière et la pompe tombent en panne la même année.
2. Calculer la probabilité qu’aucun des trois appareils ne tombe en panne dans l’année.
3. Calculer la probabilité qu’au moins un appareil tombe en panne dans l’année.
4. Le technicien peut réaliser une révision complète pour 150 € par installation. Une panne coûte en moyenne 600 €. Sur 1 000 installations, la révision systématique est-elle rentable ?

Réponses : ………………

Mes calculs :

1. Ch et Po sont indépendants :
\(P(\text{Ch} \cap \text{Po}) = 0{,}05 \times 0{,}08 =\) \(0{,}004\)

2. Aucune panne — tous les contraires se réalisent :
\(P(\bar{\text{Ch}} \cap \bar{\text{Po}} \cap \bar{\text{Va}}) = 0{,}95 \times 0{,}92 \times 0{,}97 =\) \(0{,}84778\)

Environ 84,8 % de chances qu’aucun appareil ne tombe en panne.

3. « Au moins une panne » = contraire de « aucune panne » :
\(P(\text{au moins une panne}) = 1 - 0{,}84778 =\) \(0{,}15222\)

Environ 15,2 % de chances qu’au moins un appareil tombe en panne.

4. Analyse économique sur 1 000 installations :

Coût de la révision préventive : \(1000 \times 150 = \mathbf{150\,000\,\text{€}}\)
Nombre moyen de pannes sans révision : \(1000 \times 0{,}15222 \approx 152\) pannes
Coût moyen des pannes : \(152 \times 600 = \mathbf{91\,200\,\text{€}}\)

La révision coûte 150 000 €, les pannes attendues ne coûtent que 91 200 €. La révision systématique n’est pas rentable ici.

Si le coût d’une panne était de 1 200 € (pannes plus graves) : \(152 \times 1200 = 182\,400 > 150\,000\) → la révision deviendrait rentable. Le seuil dépend du coût de la panne.

Exercice 16 Efficacité d'un vaccin contre la grippe Approfondissement

Contexte professionnel : Un médecin du travail suit une entreprise de 500 salariés du bâtiment. À l'automne, il propose une campagne de vaccination contre la grippe. Au printemps suivant, il dresse le bilan.

Sur les 500 salariés :

300 ont été vaccinés, 200 ne l'ont pas été.
Parmi les vaccinés, 18 ont contracté la grippe.
Parmi les non-vaccinés, 50 ont contracté la grippe.

On note V : « salarié vacciné » et G : « salarié ayant contracté la grippe ».

1. Construire et compléter le tableau croisé.
2. On choisit un salarié au hasard. Calculer \(P(\text{V})\), \(P(\text{G})\) et \(P(\text{V} \cap \text{G})\).
3. Calculer \(P_{\text{V}}(\text{G})\) et \(P_{\bar{\text{V}}}(\text{G})\). Interpréter chacun dans le contexte.
4. Construire l'arbre de probabilités à deux niveaux (vaccination puis grippe).
5. Vérifier la valeur de \(P(\text{G})\) à l'aide de la formule des probabilités totales.
6. Vérifier si V et G sont indépendants. Conclure sur l'effet du vaccin.
7. La grippe entraîne en moyenne 5 jours d'arrêt à 200 €/jour. La vaccination coûte 15 € par salarié. La campagne était-elle économiquement justifiée ?

Tableau, arbre et réponses : ………………

Mes calculs :

1. Tableau croisé :

	Grippe (G)	Pas de grippe (Ḡ)	Total
Vacciné (V)	18	282	300
Non vacciné (V̄)	50	150	200
Total	68	432	500

2. \(P(\text{V}) = \dfrac{300}{500} =\) \(0{,}6\) \(P(\text{G}) = \dfrac{68}{500} =\) \(0{,}136\) \(P(\text{V} \cap \text{G}) = \dfrac{18}{500} =\) \(0{,}036\)

3. \(P_{\text{V}}(\text{G}) = \dfrac{18}{300} =\) \(0{,}06\) — 6 % des vaccinés ont contracté la grippe.
\(P_{\bar{\text{V}}}(\text{G}) = \dfrac{50}{200} =\) \(0{,}25\) — 25 % des non-vaccinés ont contracté la grippe.
Le vaccin réduit le risque d'environ 4 fois.

4. Arbre de probabilités :

Chemin	Calcul	Probabilité
V → G	0,6 × 0,06	0,036
V → Ḡ	0,6 × 0,94	0,564
V̄ → G	0,4 × 0,25	0,100
V̄ → Ḡ	0,4 × 0,75	0,300
Total		1,000 ✓

5. Formule des probabilités totales :
\(P(\text{G}) = P(\text{V}) \times P_{\text{V}}(\text{G}) + P(\bar{\text{V}}) \times P_{\bar{\text{V}}}(\text{G}) = 0{,}036 + 0{,}100 =\) \(0{,}136\) ✓

6. Test d'indépendance :
\(P(\text{V}) \times P(\text{G}) = 0{,}6 \times 0{,}136 = 0{,}0816\)
Or \(P(\text{V} \cap \text{G}) = 0{,}036 \neq 0{,}0816\)
V et G ne sont pas indépendants : le vaccin a un effet protecteur réel.

7. Analyse économique :

Coût de la campagne de vaccination : \(500 \times 15 = \mathbf{7\,500\,\text{€}}\)
Sans vaccination (taux 25 %) : \(500 \times 0{,}25 = 125\) malades attendus
Coût d'un arrêt grippe : \(5 \times 200 = 1\,000\,\text{€}\)
Économie estimée : \((125 - 68) \times 1\,000 = \mathbf{57\,000\,\text{€}}\)

\(57\,000 \gg 7\,500\) — la campagne était largement justifiée économiquement.

Exercice 17 Exposition à l'amiante et cancer en milieu professionnel Approfondissement

Contexte professionnel : Un médecin du travail suit 800 salariés du bâtiment dans le cadre d'une surveillance médicale réglementaire liée au risque amiante. Certains salariés ont été exposés à l'amiante avant l'interdiction de 1997 (rénovation de bâtiments anciens, démolition). Il recueille les données suivantes sur 25 ans de suivi :

300 salariés ont été exposés à l'amiante, 500 ne l'ont pas été.
Parmi les exposés, 45 ont développé un cancer lié à l'amiante (mésothéliome ou cancer broncho-pulmonaire).
Parmi les non-exposés, 5 ont développé ce type de cancer.

On note E : « salarié exposé à l'amiante » et C : « salarié ayant développé un cancer lié à l'amiante ».

1. Compléter le tableau croisé suivant :

	Cancer (C)	Pas de cancer (C̄)	Total
Exposé (E)	45 ✓	← 300 − 45 = ?	300
Non-exposé (Ē)	5 ✓	?	500
Total	← 45 + 5 = ?	?	800

2. On choisit un salarié au hasard. Calculer :

\(P(\text{E}) = \dfrac{\boxed{\phantom{300}}}{\boxed{\phantom{800}}} = \boxed{\phantom{0,375}}\) \(P(\text{C}) = \dfrac{\boxed{\phantom{50}}}{\boxed{\phantom{800}}} = \boxed{\phantom{0,0625}}\) \(P(\text{E} \cap \text{C}) = \dfrac{\boxed{\phantom{45}}}{\boxed{\phantom{800}}} = \boxed{\phantom{0,05625}}\)

3. Calculer les probabilités conditionnelles et interpréter :

\(P_{\text{E}}(\text{C}) = \dfrac{\phantom{45}}{\phantom{300}} = \) ……… → Interprétation : ………………

\(P_{\bar{\text{E}}}(\text{C}) = \dfrac{\phantom{5}}{\phantom{500}} = \) ……… → Interprétation : ………………

4. Compléter l'arbre de probabilités à deux niveaux :

5. Vérifier \(P(\text{C})\) à l'aide de la formule des probabilités totales :

\(P(\text{C}) = P(\text{E} \cap \text{C}) + P(\bar{\text{E}} \cap \text{C}) = \boxed{\phantom{0,05625}} + \boxed{\phantom{0,00625}} = \boxed{\phantom{0,0625}}\)

6. Tester l'indépendance de E et C. Comparer \(P(\text{E}) \times P(\text{C})\) et \(P(\text{E} \cap \text{C})\) :

\(P(\text{E}) \times P(\text{C}) = \) ……… \(P(\text{E} \cap \text{C}) = \) ……… Conclusion : ………………

7. La prise en charge d'un cancer lié à l'amiante entraîne en moyenne 400 jours d'arrêt de travail à 200 €/jour. Une formation obligatoire « Risque amiante » coûte 300 € par salarié exposé et permet, selon les études, de réduire le taux de cancer des exposés au niveau des non-exposés. Sur les 300 salariés exposés, cette formation était-elle économiquement justifiée ?

Calculs et conclusion : ………………

Mes calculs :

1. Tableau croisé :

	Cancer (C)	Pas de cancer (C̄)	Total
Exposé (E)	45	255	300
Non-exposé (Ē)	5	495	500
Total	50	750	800

2. \(P(\text{E}) = \dfrac{300}{800} =\) \(0{,}375\) \(P(\text{C}) = \dfrac{50}{800} =\) \(0{,}0625\) \(P(\text{E} \cap \text{C}) = \dfrac{45}{800} =\) \(0{,}05625\)

3. \(P_{\text{E}}(\text{C}) = \dfrac{45}{300} =\) \(0{,}15\) — 15 % des exposés ont développé un cancer.
\(P_{\bar{\text{E}}}(\text{C}) = \dfrac{5}{500} =\) \(0{,}01\) — 1 % des non-exposés ont développé un cancer.
Le risque est 15 fois plus élevé chez les salariés exposés à l'amiante.

4. Arbre de probabilités :

Chemin	Calcul	Probabilité
E → C	0,375 × 0,15	0,05625
E → C̄	0,375 × 0,85	0,31875
Ē → C	0,625 × 0,01	0,00625
Ē → C̄	0,625 × 0,99	0,61875
Total		1,000 ✓

5. Formule des probabilités totales :
\(P(\text{C}) = P(\text{E}) \times P_{\text{E}}(\text{C}) + P(\bar{\text{E}}) \times P_{\bar{\text{E}}}(\text{C}) = 0{,}05625 + 0{,}00625 =\) \(0{,}0625\) ✓

6. Test d'indépendance :
\(P(\text{E}) \times P(\text{C}) = 0{,}375 \times 0{,}0625 = 0{,}02344\)
Or \(P(\text{E} \cap \text{C}) = 0{,}05625 \neq 0{,}02344\)
E et C ne sont pas indépendants : l'exposition à l'amiante est fortement associée au développement d'un cancer dans cette cohorte.

7. Analyse économique :

Coût de la formation : \(300 \times 300 = \mathbf{90\,000\,\text{€}}\)
Sans formation : 45 cas → coût \(45 \times 400 \times 200 = \mathbf{3\,600\,000\,\text{€}}\)
Avec formation (taux ramené à 1 %) : \(300 \times 0{,}01 = 3\) cas attendus → coût \(3 \times 400 \times 200 = \mathbf{240\,000\,\text{€}}\)
Économie estimée : \(3\,600\,000 - 240\,000 = \mathbf{3\,360\,000\,\text{€}}\)

\(3\,360\,000 \gg 90\,000\) — la formation était économiquement très largement justifiée, sans même parler de l'obligation légale et de l'enjeu humain.

Exercice 29 Analyse de fiabilité d'un réseau de chauffage urbain Approfondissement

Contexte professionnel : Un technicien en génie climatique surveille un réseau de chauffage urbain alimenté par deux centrales (C1 et C2). C1 fournit 65 % de l'énergie, C2 fournit 35 %. La probabilité annuelle d'une coupure de C1 est 0,03 ; celle de C2 est 0,08. Une coupure se produit indépendamment pour chaque centrale.

1. Calculer la probabilité que C1 ET C2 soient en coupure simultanément la même année.
2. Calculer la probabilité qu'au moins une centrale soit en coupure.
3. On sait qu'une coupure se produit. Calculer la probabilité qu'elle concerne C2 (\(P_{\text{coupure}}(\text{C2})\)).
Rappel : \(P(\text{coupure}) = P(\text{C1 coupe}) \times P(\overline{\text{C2 coupe}}) + P(\overline{\text{C1 coupe}}) \times P(\text{C2 coupe}) + P(\text{C1 coupe}) \times P(\text{C2 coupe})\) = probabilité que au moins une centrale coupe.
On peut aussi écrire : \(P(\text{au moins une coupe}) = 1 - P(\text{C1 fonc.}) \times P(\text{C2 fonc.})\).
4. Le gestionnaire du réseau doit remplacer en priorité la centrale dont la probabilité de coupure est la plus élevée. Quelle décision prendre ?

Réponses : ………………………………

Mes calculs :

1. Événements indépendants :
\(P(\text{C1 coupe} \cap \text{C2 coupe}) = 0{,}03 \times 0{,}08 = \)\(0{,}0024\)

2. \(P(\text{au moins une coupe}) = 1 - P(\text{C1 ok}) \times P(\text{C2 ok}) = 1 - 0{,}97 \times 0{,}92 = 1 - 0{,}8924 = \)\(0{,}1076\) → 10,76 %

3. \(P(\text{C2 coupe} \cap \text{C1 ok}) = 0{,}97 \times 0{,}08 = 0{,}0776\)
\(P_{\text{coupure}}(\text{C2}) = P(\text{au moins une coupe impliquant C2}) / P(\text{au moins une coupe})\)
Approche directe : \(P_{\text{C2 coupe}} = 0{,}08\) ; \(P_{\text{C1 coupe}} = 0{,}03\). C2 tombe en panne dans \(0{,}08/0{,}11 \approx \)\(72{,}7\%\) des cas de coupure (calcul simplifié : proportion des taux).

4. La centrale C2 a un taux de coupure de 8 % contre 3 % pour C1. Le gestionnaire doit prioritairement rénover ou remplacer la centrale C2 pour améliorer la fiabilité du réseau.

Exercice 30 Test de dépistage professionnel — sensibilité et spécificité Approfondissement

Contexte professionnel : Un médecin du travail utilise un test de dépistage de l'exposition au plomb pour les salariés d'une entreprise de rénovation. Dans la population suivie : 10 % des salariés sont réellement exposés. Le test a une sensibilité de 95 % (probabilité d'être positif si exposé) et une spécificité de 90 % (probabilité d'être négatif si non exposé).

On note E : « salarié exposé » et T+ : « test positif ».

1. Énoncer les données sous forme de probabilités : \(P(\text{E})\), \(P_{\text{E}}(\text{T+})\), \(P_{\bar{\text{E}}}(\text{T-})\).
2. Construire l'arbre de probabilités complet.
3. Calculer \(P(\text{T+})\) par la formule des probabilités totales.
4. Calculer \(P_{\text{T+}}(\text{E})\) = probabilité d'être réellement exposé, sachant que le test est positif. Ce résultat vous surprend-il ?
5. Sur 1 000 salariés contrôlés, combien de tests positifs sont de faux positifs (non exposé mais test positif) ?

Arbre et réponses : ………………………………

Mes calculs :

1. \(P(\text{E}) = 0{,}10\) ; \(P_{\text{E}}(\text{T+}) = 0{,}95\) ; \(P_{\bar{\text{E}}}(\text{T-}) = 0{,}90\) → \(P_{\bar{\text{E}}}(\text{T+}) = 0{,}10\)

2. Arbre :

Chemin	Calcul	Proba
E → T+	0,10 × 0,95	0,095
E → T−	0,10 × 0,05	0,005
Ē → T+	0,90 × 0,10	0,090
Ē → T−	0,90 × 0,90	0,810
Total		1,000 ✓

3. \(P(\text{T+}) = 0{,}095 + 0{,}090 = \)\(0{,}185\) → 18,5 % des salariés ont un test positif.

4. \(P_{\text{T+}}(\text{E}) = \dfrac{P(\text{E} \cap \text{T+})}{P(\text{T+})} = \dfrac{0{,}095}{0{,}185} \approx \)\(0{,}514\)
Surprenant : seulement 51 % des tests positifs correspondent à une exposition réelle ! C'est le paradoxe du test de dépistage : quand la maladie est rare, même un bon test génère beaucoup de faux positifs.

5. Sur 1 000 : tests positifs = \(0{,}185 \times 1000 = 185\). Faux positifs = \(0{,}090 \times 1000 = \)\(90\) (non exposés avec test positif). Soit 90/185 ≈ 49 % des tests positifs sont de faux positifs.