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Devoir Surveillé – Chapitre 2

Probabilités  |  Tle Pro

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🕑 Durée : 1 heure
🧮 Calculatrice : autorisée
✍ Barème : 20 points
📄 Documents : non autorisés
Socle
Exercice 1 – Tableau croisé (guidé) 10 points

Un technicien chauffagiste contrôle 100 vannes thermostatiques provenant de deux fournisseurs (F1 et F2). Voici les résultats :

  • F1 a livré 60 vannes, dont 3 sont défectueuses.
  • F2 a livré 40 vannes, dont 6 sont défectueuses.
1. (2 pts) Compléter le tableau croisé :
Défectueuse (D)Conforme (C)Total
F160
F240
Total100
2. (2 pts) On tire une vanne au hasard. Calculer \(P(\text{D})\) (vanne défectueuse). Compléter :

\(P(\text{D}) = \dfrac{\boxed{\phantom{9}}}{\boxed{\phantom{100}}} = \boxed{\phantom{0,09}}\)

3. (2 pts) Calculer \(P(\text{F1})\) et \(P(\text{F1} \cap \text{D})\) :

\(P(\text{F1}) = \dfrac{\phantom{60}}{\phantom{100}} = \) ………     \(P(\text{F1} \cap \text{D}) = \dfrac{\phantom{3}}{\phantom{100}} = \) ………

4. (2 pts) Sachant que la vanne vient de F1, quelle est la probabilité qu'elle soit défectueuse ?

Rappel : \(P_{\text{F1}}(\text{D}) = \dfrac{P(\text{F1} \cap \text{D})}{P(\text{F1})}\)

\(P_{\text{F1}}(\text{D}) = \dfrac{\boxed{\phantom{0,03}}}{\boxed{\phantom{0,60}}} = \boxed{\phantom{0,05}}\)

5. (2 pts) Quel fournisseur a le plus fort taux de défaut ? Justifier par un calcul.

1. F1 : 3 | 57 | 60. F2 : 6 | 34 | 40. Total : 9 | 91 | 100.

2. \(P(\text{D}) = 9/100 = 0{,}09\) soit 9 %.

3. \(P(\text{F1}) = 60/100 = 0{,}60\) ; \(P(\text{F1} \cap \text{D}) = 3/100 = 0{,}03\).

4. \(P_{\text{F1}}(\text{D}) = 0{,}03/0{,}60 = 0{,}05\) soit 5 %.

5. \(P_{\text{F2}}(\text{D}) = 6/40 = 0{,}15\) soit 15 %. F2 a un taux de défaut 3 fois plus élevé (15 % contre 5 %).

Exercice 2 – Arbre de probabilités (guidé) 10 points

Un magasin de bricolage vend des ampoules LED. On sait que :

  • \(70\,\%\) des clients achètent la marque A, le reste achète la marque B ;
  • parmi la marque A, \(95\,\%\) durent plus de 3 ans ;
  • parmi la marque B, \(80\,\%\) durent plus de 3 ans.

On note \(L\) : « l'ampoule dure plus de 3 ans ».

1. (2 pts) Compléter les probabilités sur l'arbre :
Marque A ☐ Marque B ☐ L ☐ L̄ ☐ L ☐ L̄ ☐
2. (2 pts) Calculer \(P(\text{A} \cap L)\) en multipliant le long du chemin :

\(P(\text{A} \cap L) = P(\text{A}) \times P_{\text{A}}(L) = \boxed{\phantom{0,7}} \times \boxed{\phantom{0,95}} = \boxed{\phantom{0,665}}\)

3. (2 pts) Calculer \(P(\text{B} \cap L)\) de la même façon :
4. (2 pts) Calculer \(P(L)\) (probabilité totale) :

\(P(L) = P(\text{A} \cap L) + P(\text{B} \cap L) = \) ……… + ……… = ………

5. (2 pts) Le magasin garantit les ampoules 3 ans. Sur 1 000 ampoules vendues, combien seront retournées en moyenne ?

1. A : 0,7 ; L sachant A : 0,95 ; \(\overline{L}\) sachant A : 0,05. B : 0,3 ; L sachant B : 0,80 ; \(\overline{L}\) sachant B : 0,20.

2. \(P(\text{A} \cap L) = 0{,}7 \times 0{,}95 = 0{,}665\).

3. \(P(\text{B} \cap L) = 0{,}3 \times 0{,}80 = 0{,}240\).

4. \(P(L) = 0{,}665 + 0{,}240 = 0{,}905\) soit 90,5 %.

5. \(P(\overline{L}) = 1 - 0{,}905 = 0{,}095\). Sur 1 000 : \(1000 \times 0{,}095 = \mathbf{95}\) ampoules retournées en moyenne.

Exercice 1 – Dépistage en entreprise du bâtiment 10 points

Un médecin du travail mène une campagne de dépistage de la grippe dans deux entreprises du bâtiment. Il teste 200 salariés au total.

  • Entreprise A (menuiserie) : 120 salariés, dont 15 positifs.
  • Entreprise B (plomberie-chauffage) : 80 salariés, dont 12 positifs.

On note \(P\) l'événement « le salarié est positif au test ».

1. (2 pts) Compléter le tableau croisé :
Positif (P)Négatif (N)Total
Entreprise A120
Entreprise B80
Total200
2. (2 pts) On choisit un salarié au hasard. Calculer \(P(\text{P})\) :

\(P(\text{P}) = \dfrac{\boxed{\phantom{27}}}{\boxed{\phantom{200}}} = \boxed{\phantom{0,135}}\)

3. (2 pts) Calculer \(P(\text{A})\) et \(P(\text{A} \cap \text{P})\) :

\(P(\text{A}) = \dfrac{\phantom{120}}{\phantom{200}} = \) ……… \(P(\text{A} \cap \text{P}) = \dfrac{\phantom{15}}{\phantom{200}} = \) ………

4. (2 pts) Sachant que le salarié vient de l'entreprise A, quelle est la probabilité qu'il soit positif ?

Rappel : \(P_{\text{A}}(\text{P}) = \dfrac{P(\text{A} \cap \text{P})}{P(\text{A})}\)

\(P_{\text{A}}(\text{P}) = \dfrac{\boxed{\phantom{0,075}}}{\boxed{\phantom{0,60}}} = \boxed{\phantom{0,125}}\)

5. (2 pts) Quelle entreprise a le taux de positivité le plus élevé ? Justifier par un calcul.

1. A : 15 | 105 | 120. B : 12 | 68 | 80. Total : 27 | 173 | 200.

2. \(P(\text{P}) = 27/200 = 0{,}135\) soit 13,5 %.

3. \(P(\text{A}) = 120/200 = 0{,}60\) ; \(P(\text{A} \cap \text{P}) = 15/200 = 0{,}075\).

4. \(P_{\text{A}}(\text{P}) = 0{,}075 / 0{,}60 = 0{,}125\) soit 12,5 %.

5. \(P_{\text{B}}(\text{P}) = 12/80 = 0{,}15\) soit 15 %. L'entreprise B a le taux de positivité le plus élevé (15 % contre 12,5 %).

Exercice 2 – Vaccination sur chantier 10 points

Sur un chantier de construction, on sait que :

  • \(60\,\%\) des ouvriers sont vaccinés contre la grippe ;
  • parmi les vaccinés, \(5\,\%\) attrapent quand même la grippe ;
  • parmi les non-vaccinés, \(30\,\%\) attrapent la grippe.

On note \(G\) l'événement « l'ouvrier attrape la grippe ».

1. (2 pts) Compléter les probabilités sur l'arbre :
Vacciné (V) ☐ Non vacciné (V̄) ☐ G ☐ Ḡ ☐ G ☐ Ḡ ☐
2. (2 pts) Calculer \(P(\text{V} \cap \text{G})\) en multipliant le long du chemin :

\(P(\text{V} \cap \text{G}) = P(\text{V}) \times P_{\text{V}}(\text{G}) = \boxed{\phantom{0,6}} \times \boxed{\phantom{0,05}} = \boxed{\phantom{0,03}}\)

3. (2 pts) Calculer \(P(\overline{\text{V}} \cap \text{G})\) de la même façon :

\(P(\overline{\text{V}} \cap \text{G}) = \boxed{\phantom{0,4}} \times \boxed{\phantom{0,30}} = \boxed{\phantom{0,12}}\)

4. (2 pts) Calculer \(P(\text{G})\), probabilité qu'un ouvrier choisi au hasard attrape la grippe :

\(P(\text{G}) = P(\text{V} \cap \text{G}) + P(\overline{\text{V}} \cap \text{G}) = \) ……… + ……… = ………

5. (2 pts) Sur un chantier de 500 ouvriers, combien attraperont la grippe en moyenne ?

1. P(V) = 0,6 ; P(V̄) = 0,4 ; Pᵥ(G) = 0,05 ; Pᵥ(Ḡ) = 0,95 ; Pᵥ̄(G) = 0,30 ; Pᵥ̄(Ḡ) = 0,70.

2. \(P(\text{V} \cap \text{G}) = 0{,}6 \times 0{,}05 = 0{,}03\).

3. \(P(\overline{\text{V}} \cap \text{G}) = 0{,}4 \times 0{,}30 = 0{,}12\).

4. \(P(\text{G}) = 0{,}03 + 0{,}12 = 0{,}15\) soit 15 %.

5. \(500 \times 0{,}15 = \mathbf{75}\) ouvriers attraperont la grippe en moyenne.

Standard
Exercice 1 – Contrôle qualité 10 points

Une entreprise fabrique des pièces métalliques pour des systèmes de chauffage. Le contrôle qualité révèle que \(4\,\%\) des pièces produites présentent un défaut.

On note \(D\) l'événement « la pièce présente un défaut ».

1. (1 pt) Donner la probabilité \(P(D)\).
2. (2 pts) Définir l'événement contraire \(\overline{D}\) par une phrase, puis calculer \(P(\overline{D})\).
3. (3 pts) On prélève au hasard \(3\) pièces successivement (avec remise). On suppose les tirages indépendants. Calculer la probabilité que les \(3\) pièces soient sans défaut. Arrondir au millième.
4. (2 pts) En déduire la probabilité qu'au moins une pièce sur les \(3\) présente un défaut. Arrondir au millième.
5. (2 pts) L'entreprise considère qu'un lot est acceptable si la probabilité d'avoir au moins une pièce défectueuse sur \(3\) est inférieure à \(15\,\%\). Le lot est-il acceptable ? Justifier.

1. \(P(D) = 0{,}04\).

2. \(\overline{D}\) : « la pièce ne présente pas de défaut ».
\(P(\overline{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96\).

3. Les tirages sont indépendants, donc :
\(P(\text{3 pièces sans défaut}) = P(\overline{D})^3 = 0{,}96^3 = 0{,}884736 \approx 0{,}885\).

4. « Au moins une pièce défectueuse » est l'événement contraire de « les 3 pièces sont sans défaut » :
\(P(\text{au moins 1 défaut}) = 1 - 0{,}96^3 = 1 - 0{,}884736 \approx 0{,}115\).

5. On a \(P(\text{au moins 1 défaut}) \approx 0{,}115 = 11{,}5\,\%\).
Comme \(11{,}5\,\% < 15\,\%\), le lot est acceptable.

Exercice 2 – Enquête de satisfaction 10 points

Une entreprise de menuiserie réalise une enquête de satisfaction auprès de ses clients. Elle distingue deux catégories : les clients « particuliers » (P) et les clients « professionnels » (R). On sait que :

  • \(60\,\%\) des clients sont des particuliers ;
  • parmi les particuliers, \(85\,\%\) se déclarent satisfaits ;
  • parmi les professionnels, \(72\,\%\) se déclarent satisfaits.

On note \(S\) l'événement « le client est satisfait ».

1. (2 pts) Compléter l'arbre pondéré suivant :
Particulier P ☐ Professionnel R ☐ S ☐ S̄ ☐ S ☐ S̄ ☐
2. (2 pts) Calculer \(P(P \cap S)\), la probabilité qu'un client choisi au hasard soit un particulier satisfait.
3. (2 pts) Calculer \(P(R \cap S)\), la probabilité qu'un client choisi au hasard soit un professionnel satisfait.
4. (2 pts) En déduire la probabilité totale \(P(S)\) qu'un client choisi au hasard soit satisfait.
5. (2 pts) L'entreprise souhaite atteindre un taux de satisfaction global de \(82\,\%\). L'objectif est-il atteint ? Justifier. Proposer une piste d'amélioration.

1. Arbre pondéré :

  • \(P(P) = 0{,}6\)
    • \(P_P(S) = 0{,}85\)
    • \(P_P(\overline{S}) = 0{,}15\)
  • \(P(R) = 0{,}4\)
    • \(P_R(S) = 0{,}72\)
    • \(P_R(\overline{S}) = 0{,}28\)

2. \(P(P \cap S) = P(P) \times P_P(S) = 0{,}6 \times 0{,}85 = 0{,}51\).

3. \(P(R \cap S) = P(R) \times P_R(S) = 0{,}4 \times 0{,}72 = 0{,}288\).

4. D'après la formule des probabilités totales :
\(P(S) = P(P \cap S) + P(R \cap S) = 0{,}51 + 0{,}288 = 0{,}798\).
La probabilité qu'un client soit satisfait est de \(79{,}8\,\%\).

5. \(79{,}8\,\% < 82\,\%\) : l'objectif n'est pas atteint.
Piste d'amélioration : augmenter la satisfaction des clients professionnels (actuellement \(72\,\%\)) par un meilleur suivi de chantier ou un service après-vente dédié.

Exercice 1 – Fiabilité d'un test de dépistage 10 points

Un laboratoire utilise un test rapide pour dépister une infection respiratoire sur les ouvriers d'un chantier de rénovation. Le test présente un taux de faux négatifs de 3 % (personnes malades dont le résultat est négatif à tort).

On note \(\text{FN}\) l'événement « le test est un faux négatif ».

1. (1 pt) Donner \(P(\text{FN})\).
2. (2 pts) Définir l'événement contraire \(\overline{\text{FN}}\) par une phrase, puis calculer \(P(\overline{\text{FN}})\).
3. (3 pts) On teste 4 personnes malades successivement et indépendamment. Calculer la probabilité qu'aucun des 4 tests ne soit un faux négatif. Arrondir au millième.
4. (2 pts) En déduire la probabilité qu'au moins un des 4 tests soit un faux négatif.
5. (2 pts) Le laboratoire considère le protocole fiable si cette probabilité est inférieure à \(12\,\%\). Le protocole est-il fiable ? Justifier.

1. \(P(\text{FN}) = 0{,}03\).

2. \(\overline{\text{FN}}\) : « le test n'est pas un faux négatif » (le résultat est correct).
\(P(\overline{\text{FN}}) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97\).

3. Les tests sont indépendants :
\(P(\text{4 tests corrects}) = 0{,}97^4 = 0{,}88529281 \approx 0{,}885\).

4. \(P(\text{au moins 1 FN}) = 1 - 0{,}97^4 = 1 - 0{,}885 = 0{,}115\) soit 11,5 %.

5. \(11{,}5\,\% < 12\,\%\) : le protocole est fiable (de justesse).

Exercice 2 – Épidémie sur deux sites de chantier 10 points

Une infirmière de santé au travail suit deux sites lors d'une épidémie de gastro-entérite :

  • \(55\,\%\) des ouvriers travaillent sur le site S1 (agencement), le reste sur S2 (installations thermiques) ;
  • sur S1 : \(20\,\%\) des ouvriers sont touchés ;
  • sur S2 : \(8\,\%\) des ouvriers sont touchés.

On note \(T\) l'événement « l'ouvrier est touché par l'épidémie ».

1. (2 pts) Traduire la situation par un arbre pondéré complet :
Site S1 ☐ Site S2 ☐ T ☐ T̄ ☐ T ☐ T̄ ☐
2. (2 pts) Calculer \(P(\text{S1} \cap \text{T})\).
3. (2 pts) Calculer \(P(\text{S2} \cap \text{T})\).
4. (2 pts) Calculer \(P(\text{T})\), probabilité qu'un ouvrier choisi au hasard soit touché.
5. (2 pts) L'infirmière déclenche un plan de prévention si le taux d'infection global dépasse \(15\,\%\). Doit-elle le déclencher ? Justifier.

1. P(S1) = 0,55 ; P(S2) = 0,45 ; P_S1(T) = 0,20 ; P_S1(T̄) = 0,80 ; P_S2(T) = 0,08 ; P_S2(T̄) = 0,92.

2. \(P(\text{S1} \cap \text{T}) = 0{,}55 \times 0{,}20 = 0{,}110\).

3. \(P(\text{S2} \cap \text{T}) = 0{,}45 \times 0{,}08 = 0{,}036\).

4. \(P(\text{T}) = 0{,}110 + 0{,}036 = 0{,}146\) soit 14,6 %.

5. \(14{,}6\,\% < 15\,\%\) : le seuil n'est pas atteint, le plan de prévention n'est pas déclenché (de justesse).

Approfondissement

Note : cette version mobilise l'espérance mathématique (hors programme Bac Pro — anticipation BTS) pour les questions de coût moyen.

Exercice 1 – Fiabilité d'un système de chauffage 10 points

Un système de chauffage comporte deux composants indépendants : une chaudière (C) et un thermostat (T). On sait que :

  • La chaudière tombe en panne dans l'année avec une probabilité de \(0{,}08\).
  • Le thermostat tombe en panne dans l'année avec une probabilité de \(0{,}12\).
1. (2 pts) Les pannes étant indépendantes, calculer la probabilité que les deux composants tombent en panne la même année.
2. (2 pts) Calculer la probabilité qu'aucun des deux ne tombe en panne.
3. (3 pts) En déduire la probabilité qu'au moins un composant tombe en panne. Compléter l'arbre pondéré :
C (panne) ☐ C̄ ☐ T (panne) ☐ C ∩ T → P(C∩T) = ☐ T̄ ☐ C ∩ T̄ → ……… T ☐ C̄ ∩ T → ……… T̄ ☐ C̄ ∩ T̄ → ………
\(P(\text{au moins 1 panne}) = 1 - P(\overline{C} \cap \overline{T}) = \) ………
4. (3 pts) Un contrat de maintenance coûte 200 € par an. Une réparation coûte 1 500 € en moyenne. À l'aide du calcul de probabilité, le contrat est-il rentable pour le client ? Justifier par le calcul de l'espérance du coût sans contrat.

1. \(P(C \cap T) = P(C) \times P(T) = 0{,}08 \times 0{,}12 = 0{,}0096\).

2. \(P(\overline{C} \cap \overline{T}) = (1-0{,}08)(1-0{,}12) = 0{,}92 \times 0{,}88 = 0{,}8096\).

3. \(P(\text{au moins 1 panne}) = 1 - P(\overline{C} \cap \overline{T}) = 1 - 0{,}8096 = 0{,}1904\) soit environ 19 %.

4. Espérance du coût sans contrat : \(E = 0{,}1904 \times 1500 \approx 285{,}60\) €. Comme \(285{,}60 > 200\), le contrat de maintenance est rentable en moyenne.

Exercice 2 – Diagnostic et probabilités conditionnelles 10 points

Un bureau de contrôle vérifie les installations électriques de logements neufs. Les installations sont réalisées par deux entreprises :

  • L'entreprise A réalise \(65\,\%\) des installations, dont \(92\,\%\) conformes.
  • L'entreprise B réalise le reste, dont \(78\,\%\) conformes.
1. (2 pts) Compléter l'arbre pondéré :
Entreprise A ☐ Entreprise B ☐ Conforme ☐ Non conforme ☐ Conforme ☐ Non conforme ☐
2. (2 pts) Calculer la probabilité qu'une installation choisie au hasard soit conforme (formule des probabilités totales).
3. (3 pts) Une installation est déclarée non conforme. Quelle est la probabilité qu'elle ait été réalisée par l'entreprise B ? (Utiliser la définition de la probabilité conditionnelle ou le tableau.)
4. (3 pts) Le bureau de contrôle souhaite que le taux global de conformité atteigne 90 %. Si l'entreprise A maintient son taux à 92 %, quel taux minimum l'entreprise B doit-elle atteindre ? Poser et résoudre l'équation.

1. A (0,65) → C (0,92) / NC (0,08). B (0,35) → C (0,78) / NC (0,22).

2. \(P(C) = 0{,}65 \times 0{,}92 + 0{,}35 \times 0{,}78 = 0{,}598 + 0{,}273 = 0{,}871\) soit 87,1 %.

3. \(P(\text{NC}) = 1 - 0{,}871 = 0{,}129\). \(P(\text{B} \cap \text{NC}) = 0{,}35 \times 0{,}22 = 0{,}077\).
\(P_{\text{NC}}(\text{B}) = \dfrac{P(\text{B} \cap \text{NC})}{P(\text{NC})} = \dfrac{0{,}077}{0{,}129} \approx 0{,}597\) soit environ 60 %.

4. Soit \(p\) le taux de conformité de B. On veut : \(0{,}65 \times 0{,}92 + 0{,}35 \times p \geq 0{,}90\).
\(0{,}598 + 0{,}35p \geq 0{,}90\) → \(0{,}35p \geq 0{,}302\) → \(p \geq 0{,}863\). B doit atteindre au moins 86,3 % de conformité.

Exercice 1 – Détecteurs de CO : fiabilité et coût 10 points

Un installateur de chauffage pose un système anti-intoxication au monoxyde de carbone comportant deux détecteurs indépendants : un détecteur principal \(\text{D1}\) et un détecteur de secours \(\text{D2}\).

  • \(\text{D1}\) est défaillant dans l'année avec une probabilité de \(0{,}05\).
  • \(\text{D2}\) est défaillant dans l'année avec une probabilité de \(0{,}10\).
1. (2 pts) Calculer la probabilité que les deux détecteurs soient défaillants la même année.
2. (2 pts) Calculer la probabilité qu'aucun des deux ne soit défaillant.
3. (3 pts) En déduire la probabilité qu'au moins un détecteur soit défaillant. Construire l'arbre pondéré :
D1 D̄1 D2 D̄2 D2 D̄2 P(D1) = ☐ P(D̄1) = ☐ P(D2) = ☐ P(D̄2) = ☐ P(D2) = ☐ P(D̄2) = ☐ → D1∩D2 = ☐ → D1∩D̄2 = ☐ → D̄1∩D2 = ☐ → D̄1∩D̄2 = ☐
4. (3 pts) Un contrat de maintenance annuel coûte 150 €. Le remplacement d'un détecteur défaillant coûte en moyenne 800 €. Calculer l'espérance du coût sans contrat. Le contrat est-il intéressant ?
SituationCoût (€)ProbabilitéCoût × Probabilité
Aucune défaillance0??
Au moins une défaillance800??
Espérance E(coût)?

1. \(P(\text{D1} \cap \text{D2}) = 0{,}05 \times 0{,}10 = 0{,}005\).

2. \(P(\overline{\text{D1}} \cap \overline{\text{D2}}) = 0{,}95 \times 0{,}90 = 0{,}855\).

3. Arbre :
D1 (0,05) → D2 (0,10) : 0,005 ; D̄2 (0,90) : 0,045.
D̄1 (0,95) → D2 (0,10) : 0,095 ; D̄2 (0,90) : 0,855.
Vérification : 0,005 + 0,045 + 0,095 + 0,855 = 1 ✓
\(P(\text{au moins 1 défaillance}) = 1 - 0{,}855 = 0{,}145\) soit 14,5 %.

4. Tableau d'espérance :

Aucune défaillance0 €0,8550 €
Au moins une défaillance800 €0,145116 €
E(coût)116 €

Comme \(116 < 150\), le contrat de maintenance n'est pas intéressant dans cette configuration. Le coût moyen des pannes est inférieur au contrat.

Exercice 2 – Dépistage et probabilités conditionnelles 10 points

Un médecin du travail utilise un test de dépistage d'une infection pulmonaire sur les ouvriers d'un chantier d'installation de climatisation. On sait que :

  • \(10\,\%\) des ouvriers sont réellement infectés ;
  • si l'ouvrier est infecté, le test est positif avec une probabilité de \(0{,}95\) (sensibilité) ;
  • si l'ouvrier n'est pas infecté, le test est positif avec une probabilité de \(0{,}04\) (faux positif).

On note \(I\) : « l'ouvrier est infecté » et \(T^+\) : « le test est positif ».

1. (2 pts) Construire l'arbre pondéré complet :
I Ī T⁺ T⁻ T⁺ T⁻ P(I) = ☐ P(Ī) = ☐ Pᵢ(T⁺) = ☐ Pᵢ(T⁻) = ☐ Pī(T⁺) = ☐ Pī(T⁻) = ☐ → P(I∩T⁺) = ☐ → P(I∩T⁻) = ☐ → P(Ī∩T⁺) = ☐ → P(Ī∩T⁻) = ☐
2. (2 pts) Calculer \(P(T^+)\), probabilité qu'un test soit positif.
3. (3 pts) Un ouvrier a un test positif. Quelle est la probabilité qu'il soit réellement infecté ? (Probabilité conditionnelle « inverse ».)
4. (3 pts) Le médecin souhaite que la probabilité qu'un test positif corresponde réellement à un infecté atteigne \(98\,\%\). Si le taux de faux positifs reste à \(4\,\%\), quelle sensibilité minimale \(P_I(T^+)\) le test doit-il avoir ? Poser et résoudre l'équation.

1. Arbre :
I (0,10) → T⁺ (0,95) : 0,095 ; T⁻ (0,05) : 0,005.
Ī (0,90) → T⁺ (0,04) : 0,036 ; T⁻ (0,96) : 0,864.
Vérification : 0,095 + 0,005 + 0,036 + 0,864 = 1 ✓

2. \(P(T^+) = P(I \cap T^+) + P(\overline{I} \cap T^+) = 0{,}095 + 0{,}036 = 0{,}131\) soit 13,1 %.

3. Définition de la probabilité conditionnelle :
\(P_{T^+}(I) = \dfrac{P(I \cap T^+)}{P(T^+)} = \dfrac{0{,}095}{0{,}131} \approx 0{,}725\).
Seulement 72,5 % des tests positifs correspondent à un vrai infecté. Les faux positifs « diluent » le résultat car la maladie est peu fréquente.

4. On cherche \(x = P_I(T^+)\) tel que :
\(\dfrac{0{,}10 \times x}{0{,}10 \times x + 0{,}90 \times 0{,}04} = 0{,}98\)
\(0{,}10x = 0{,}98 \times (0{,}10x + 0{,}036)\)
\(0{,}10x = 0{,}098x + 0{,}03528\)
\(0{,}002x = 0{,}03528\)
\(x = 17{,}64\).
On trouve \(x > 1\), ce qui est impossible (une probabilité ne dépasse pas 1). Cela signifie qu'avec seulement 10 % de malades et 4 % de faux positifs, aucune sensibilité ne permet d'atteindre 98 % de valeur prédictive positive. Il faudrait réduire le taux de faux positifs.