Fiche résumé — Statistiques à deux variables
Chapitre 1 | Terminale Bac Pro | Mathématiques
Nuage de points
Une série à deux variables est un ensemble de couples \((x_i\,;\,y_i)\). On les représente dans un repère : c'est le nuage de points.
Point moyen : \(G\!\left(\bar{x}\,;\,\bar{y}\right)\) avec
\(\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}\), \(\bar{y} = \dfrac{\sum y_i}{n}\)
Le point moyen \(G\) est le « centre de gravité » du nuage.
Droite de régression
Équation : \(y = ax + b\)
- \(a\) = coefficient directeur (pente)
- \(b\) = ordonnée à l'origine
La droite passe toujours par \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\).
Obtenue à la calculatrice : menu Stat → LinReg.
Coefficient de corrélation \(r\)
\(-1 \leq r \leq 1\). Il mesure la qualité de la liaison linéaire.
- \(|r| > 0{,}95\) → liaison très forte
- \(0{,}85 < |r| \leq 0{,}95\) → liaison forte
- \(|r| \leq 0{,}85\) → ajustement affine à rejeter
\(r > 0\) : liaison positive ; \(r < 0\) : liaison négative.
Interpolation / Extrapolation
- Interpoler : estimer \(y\) pour \(x\) dans l'intervalle des données → fiable.
- Extrapoler : estimer \(y\) pour \(x\) hors de l'intervalle → risqué.
Astuce : Toujours préciser s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation, et interpréter le résultat dans le contexte.
Ajustements non affines — Changements de variable
Si le nuage n'est pas rectiligne (\(|r|\) faible), on peut linéariser par un changement de variable :
- Exponentielle \(y = A \cdot q^x\) → poser \(z = \log(y)\), ajuster \((x, z)\)
- Puissance \(y = A \cdot x^k\) → poser \(z = \log(y)\) et \(u = \log(x)\)
- Inverse \(y = \frac{a}{x} + b\) → poser \(z = \frac{1}{x}\), ajuster \((z, y)\)
Piège 1 : Oublier de vérifier \(|r|\) avant d'utiliser la droite de régression. Si \(|r| \leq 0{,}85\), l'ajustement affine n'est pas pertinent.
Piège 2 : Confondre \(r\) et \(r^2\). Certaines calculatrices affichent \(r^2\) (coefficient de détermination) au lieu de \(r\). Vérifier le libellé.
Piège 3 : Extrapoler loin de la zone de données sans signaler que le résultat est moins fiable. Le modèle a toujours des limites.
Astuce calculatrice : Le signe de \(a\) (coefficient directeur) et le signe de \(r\) sont toujours identiques. Si ce n'est pas le cas, vérifier la saisie des données.
Résumé express — Méthode type
- Saisir les données \((x_i\,;\,y_i)\) dans la calculatrice (listes).
- Lancer la régression linéaire → obtenir \(a\), \(b\) et \(r\).
- Vérifier que \(|r|\) est proche de 1. Sinon, tenter un changement de variable.
- Écrire l'équation \(y = ax + b\).
- Pour estimer \(y\) : remplacer \(x\) par la valeur voulue.
- Préciser : interpolation ou extrapolation ? Interpréter dans le contexte.