Chapitre 10 – Automatismes

Chapitre 10 | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 09:30

Objectifs du chapitre

Passer rapidement d'une proportion à ses trois formes (décimale, fractionnaire, pourcentage)
Appliquer un pourcentage, une évolution, enchaîner plusieurs évolutions et remonter à une valeur initiale
Manipuler de tête les puissances, la notation scientifique et les ordres de grandeur
Développer, factoriser, résoudre une équation du 1ᵉʳ degré ou \(x^2=a\), lire un signe par image mentale
Dériver un polynôme de degré \(\le 3\) et lire le coefficient directeur d'une tangente
Lire images, antécédents, équations de droites et représentations de données chiffrées

Les automatismes ne forment pas un chapitre isolé : ce sont les réflexes de calcul qu'on entretient toute l'année par des « questions flash », à faire de tête, à l'oral comme à l'écrit. Cette leçon est un mémo de techniques : chaque bloc rappelle l'essentiel, donne une astuce, puis propose un exercice d'application rapide.

I. Proportions et pourcentages

Technique — Les trois écritures d'une proportion

Une même proportion s'écrit sous forme décimale, fractionnaire ou en pourcentage :

\[0{,}25 = \frac14 = 25\,\%.\]

Pour appliquer un pourcentage : \(p\,\%\) de \(N\) vaut \(\dfrac{p}{100}\times N\).

Astuce. « Proportion d'une proportion » : on multiplie les proportions.

Exemple

\(30\,\%\) de \(250\) : \(\dfrac{30}{100}\times 250 = 0{,}3\times 250 = 75\). Et \(0{,}08 = 8\,\% = \dfrac{8}{100} = \dfrac{2}{25}\).

Application rapide 1. Dans une classe, \(60\,\%\) sont des filles, et \(25\,\%\) des filles sont déléguées. Quelle proportion de la classe cela représente-t-il ? Écrire aussi \(\dfrac35\) en pourcentage.

Proportion d'une proportion, on multiplie : \(0{,}60\times 0{,}25 = 0{,}15 = 15\,\%\). Et \(\dfrac35 = 0{,}6 = 60\,\%\).

II. Évolutions et variations

Technique — Additif → multiplicatif

Augmenter de \(t\,\%\) → multiplier par \(1 + \dfrac{t}{100}\) (\(+5\,\% \to \times 1{,}05\)).
Diminuer de \(t\,\%\) → multiplier par \(1 - \dfrac{t}{100}\) (\(-5\,\% \to \times 0{,}95\)).
Pour remonter à la valeur initiale : on divise par le coefficient.
Taux d'évolution : \(t = \dfrac{\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}\).

Technique — Évolutions successives et indice base 100

Évolutions successives : on multiplie les coefficients (\(C = C_1\times C_2\)) ; taux global \(= C - 1\).
Taux réciproque : le coefficient qui « annule » une évolution de coefficient \(C\) est \(\dfrac1C\).
Indice base 100 : indice \(=\dfrac{\text{valeur}}{\text{valeur de référence}}\times 100\) ; un indice de \(112\) ⟺ hausse de \(12\,\%\).
Une évolution en pourcentage constant est une suite géométrique ; sa raison est le coefficient.

Piège classique

Une hausse de \(10\,\%\) suivie d'une baisse de \(10\,\%\) ne redonne pas la valeur de départ : \(1{,}10\times 0{,}90 = 0{,}99\), soit \(-1\,\%\) au total.

Exemple

Un prix passe de \(40\) à \(50\) € : \(t = \dfrac{50-40}{40} = 0{,}25 = +25\,\%\). Après une hausse de \(20\,\%\) un article coûte \(60\) € : prix initial \(= \dfrac{60}{1{,}20} = 50\) €.

Application rapide 2. Un salaire augmente de \(2\,\%\) puis de \(3\,\%\) : taux global ? Quel coefficient annule une hausse de \(25\,\%\) ?

\(1{,}02\times 1{,}03 = 1{,}0506\) → \(+5{,}06\,\%\). Le coefficient réciproque d'une hausse de \(25\,\%\) est \(\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8\) (soit une baisse de \(20\,\%\)).

III. Calcul numérique et algébrique

Technique — Fractions, puissances, écritures

Fractions simples : même dénominateur, ou produits en croix pour comparer.
Puissances : \(a^m a^n = a^{m+n}\), \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\), \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\), \(a^0 = 1\).
Notation scientifique : \(3\,400 = 3{,}4\times 10^{3}\) ; \(0{,}00042 = 4{,}2\times 10^{-4}\).
Ordre de grandeur et conversions d'unités avant tout calcul.

Technique — Équations, signes, calcul littéral

Résoudre une équation ou inéquation du 1ᵉʳ degré ; \(x^2 = a\) donne \(x = \pm\sqrt a\) si \(a\gt 0\).
Développer, factoriser, réduire : \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\), \(4x^2 - k^2 = (2x-k)(2x+k)\).
Isoler une variable dans une formule (interne ou d'une autre discipline).
Signe d'une expression du 1ᵉʳ degré, ou d'une expression factorisée du 2ᵈ degré par image mentale de la parabole.

Technique — Dériver un polynôme (degré \(\le 3\))

Règle de base : \((ax^n)' = a\,n\,x^{n-1}\) et \((\text{cste})' = 0\). Rappel :

\[(x)' = 1,\quad (x^2)' = 2x,\quad (x^3)' = 3x^2,\]

et par linéarité \((ax^3 + bx^2 + cx + d)' = 3ax^2 + 2bx + c\). Le coefficient directeur de la tangente en \(a\) est \(f'(a)\).

Exemple

\(f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1\) donne \(f'(x) = 6x^2 - 10x + 4\). Pour \(f(x) = x^2\), \(f'(x) = 2x\) donc \(f'(3) = 6\) : la tangente en \(3\) a pour coefficient directeur \(6\).

Application rapide 3. Calculer \(\dfrac23 + \dfrac14\) et \(\dfrac{10^{5}\times 10^{-2}}{10^{4}}\). Résoudre \(x^2 = 49\). Isoler \(h\) dans \(V = \pi r^2 h\).

\(\dfrac23 + \dfrac14 = \dfrac{8+3}{12} = \dfrac{11}{12}\). \(\dfrac{10^{5}\times 10^{-2}}{10^{4}} = 10^{5-2-4} = 10^{-1} = 0{,}1\). \(x^2 = 49 \Rightarrow x = 7\) ou \(x = -7\). Et \(h = \dfrac{V}{\pi r^2}\).

Application rapide 4. Dériver \(f(x) = x^3 - 3x\). Factoriser \(x^2 - \dfrac49\). Déterminer le signe de \(-2(x-1)(x-3)\).

\(f'(x) = 3x^2 - 3\). \(x^2 - \dfrac49 = \left(x-\dfrac23\right)\left(x+\dfrac23\right)\). Parabole tournée vers le bas, racines \(1\) et \(3\) : \(-2(x-1)(x-3)\) est positif sur \(]1\,;3[\), négatif sur \(]{-\infty}\,;1[\) et \(]3\,;{+\infty}[\).

IV. Fonctions et représentations graphiques

Technique — Lecture et droites

Lire images et antécédents ; résoudre graphiquement \(f(x) = k\), \(f(x) \lt k\)…
Lire un tableau de variations ou le signe d'une fonction sur un graphique.
Vérifier qu'un point appartient à une courbe : on remplace ses coordonnées.
Droite \(y = mx + p\) : \(m\) = coefficient directeur \(= \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\), \(p\) = ordonnée à l'origine.
Par deux points \(A(x_A\,;y_A)\), \(B(x_B\,;y_B)\) : \(m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\).
Tangente à une courbe : son coefficient directeur se lit graphiquement comme celui de n'importe quelle droite, en calculant \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) entre deux points de la tangente (voir figure ci-dessous).

Lecture graphique du coefficient directeur de la tangente à \(y = x^2\) au point \(A(1\,;1)\) : à partir de \(A\), on avance de \(\Delta x = 1\) et on lit \(\Delta y = 2\) le long de la tangente, donc \(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = 2\). On retrouve bien \(f'(1) = 2\).

Pour \((x+2)(x-5)\) : parabole vers le haut, racines \(-2\) et \(5\), positive hors de \([-2\,;5]\), négative entre les racines.

Exemple

Droite par \((0\,;3)\) et \((2\,;7)\) : \(m = \dfrac{7-3}{2-0} = 2\), \(p = 3\), donc \(y = 2x + 3\). Le point \((2\,;5)\) est sur \(y = 2x + 1\) car \(2\times 2 + 1 = 5\).

Application rapide 5. Équation réduite de la droite par \((0\,;-1)\) et \((4\,;7)\) ? Coefficient directeur de la tangente à \(f(x) = x^3\) en \(x = 1\) ?

\(m = \dfrac{7-(-1)}{4-0} = 2\), \(p = -1\) : \(y = 2x - 1\). Pour \(f(x)=x^3\), \(f'(x) = 3x^2\), donc \(f'(1) = 3\).

V. Représentations de données chiffrées

Technique — Lire un graphique de données

Repérer l'origine, les unités, les graduations et l'échelle avant de lire.
Diagramme circulaire : \(360°\) = effectif total ; angle d'une part \(= \dfrac{\text{effectif de la part}}{\text{total}}\times 360°\).
Diagramme en boîte : \(\min\), \(Q_1\), médiane, \(Q_3\), \(\max\) ; la boîte va de \(Q_1\) à \(Q_3\) et contient \(50\,\%\) des valeurs.
Se méfier d'un axe qui ne démarre pas à 0 : il exagère visuellement les écarts.

Exemple

Une catégorie représente \(25\,\%\) → angle \(0{,}25\times 360° = 90°\). Réciproquement, un secteur de \(90°\) correspond à \(\dfrac{90}{360} = 25\,\%\).

Application rapide 6. Sur un diagramme en boîte, que représente la boîte (de \(Q_1\) à \(Q_3\)) ? Un axe vertical démarre à \(90\) au lieu de \(0\) : quel risque ?

La boîte représente l'écart interquartile, contenant les \(50\,\%\) centraux des valeurs. Un axe qui ne part pas de \(0\) exagère visuellement les écarts (effet trompeur).

VI. Enchaîner plusieurs automatismes

L'automatisme mûr consiste à enchaîner plusieurs étapes sans détailler à l'écrit.

Exemples types d'enchaînement

Deux évolutions puis interprétation. Un prix baisse de \(20\,\%\) puis augmente de \(10\,\%\) : \(0{,}8\times 1{,}1 = 0{,}88\) → \(-12\,\%\).
Signe + variations. Si \(f'(x) = -2(x-1)(x-3)\), on « voit » la parabole (vers le bas, racines \(1\) et \(3\)) : \(f'\gt 0\) sur \(]1\,;3[\), donc \(f\) croissante sur \([1\,;3]\).
Reconnaissance + terme général. « Une population de \(5000\) baisse de \(4\,\%\) par an » → suite géométrique de raison \(0{,}96\), \(u_n = 5000\times 0{,}96^{\,n}\).

Application rapide 7. Un capital de \(2000\) € est placé à \(5\,\%\). Valeur au bout de \(1\) an, puis raison de la suite \((u_n)\) des capitaux annuels ? Sur quel intervalle \(f\) est-elle décroissante si \(f'(x) = 3(x+1)(x-2)\) ?

\(2000\times 1{,}05 = 2100\) € ; suite géométrique de raison \(1{,}05\). Pour \(f'(x)=3(x+1)(x-2)\) : parabole vers le haut, racines \(-1\) et \(2\), donc \(f' \lt 0\) sur \(]{-1}\,;2[\) : \(f\) est décroissante sur \([-1\,;2]\).

L'essentiel à retenir

Domaine	Réflexe clé
Pourcentages	\(p\,\%\) de \(N = \dfrac{p}{100}N\) ; proportion d'une proportion = produit.
Évolutions	\(+t\,\% \to \times(1+\frac{t}{100})\) ; successives = produit ; réciproque = \(\frac1C\).
Indice base 100	indice \(-100\) = taux d'évolution (en %).
Puissances	\(a^m a^n = a^{m+n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\), \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).
2ᵈ degré factorisé	signe par image mentale de la parabole (sens + racines).
Dérivée	\((ax^n)' = anx^{n-1}\) ; tangente en \(a\) : coefficient directeur \(= f'(a)\).
Droite	\(y = mx + p\) ; par 2 points \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\).
Graphiques	repérer origine et échelles ; boîte = \(50\,\%\) centraux.

À retenir :

Pourcentage : \(p\,\%\) de \(N = \frac{p}{100}N\) ; une proportion d'une proportion se multiplie.
Évolution : \(+t\,\% \to \times(1+\frac{t}{100})\) ; successives = produit des coefficients ; réciproque \(= \frac1C\).
Puissances : \(a^m a^n = a^{m+n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\), \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).
Dérivée : \((ax^n)' = anx^{n-1}\) ; coefficient directeur de la tangente en \(a\) : \(f'(a)\).
Signe d'une expression factorisée du 2ᵈ degré : par image mentale de la parabole.

Objectifs du chapitre

I. Proportions et pourcentages

II. Évolutions et variations

III. Calcul numérique et algébrique

IV. Fonctions et représentations graphiques

V. Représentations de données chiffrées

VI. Enchaîner plusieurs automatismes

L'essentiel à retenir

Simulations interactives