Fiche – Automatismes

Chapitre 10 | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Pourcentage : \(p\,\%\) de \(N = \frac{p}{100}N\) ; proportion d'une proportion = produit.
Évolution : \(+t\,\% \to \times(1+\frac{t}{100})\) ; successives = produit des coefficients ; réciproque \(= \frac1C\).
Puissances : \(a^m a^n = a^{m+n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\), \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).
Dérivée : \((ax^n)' = anx^{n-1}\) ; coefficient directeur de la tangente en \(a\) : \(f'(a)\).
Droite : \(y = mx + p\), \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\) ; signe factorisé par image mentale de la parabole.

Réflexes clés

Proportions

Trois écritures : \(0{,}25 = \dfrac14 = 25\,\%\). Appliquer : \(p\,\%\) de \(N = \dfrac{p}{100}\times N\). Proportion d'une proportion : on multiplie.

Évolutions

Augmenter de \(t\,\%\) : \(\times(1+\frac{t}{100})\). Diminuer : \(\times(1-\frac{t}{100})\). Remonter à la valeur initiale : on divise. Taux : \(\dfrac{\text{finale}-\text{initiale}}{\text{initiale}}\). Indice base 100 : indice \(-100\) = taux (%).

À connaître par cœur

Puissances \[a^m a^n = a^{m+n},\quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n},\quad (a^m)^n = a^{mn}\] \[a^{-n} = \frac{1}{a^n},\quad a^0 = 1\]

Dérivées (degré \(\le 3\)) \[(x)' = 1,\quad (x^2)' = 2x,\quad (x^3)' = 3x^2\] \[(ax^3 + bx^2 + cx + d)' = 3ax^2 + 2bx + c\]

Droite \[y = mx + p,\qquad m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\]

Identités remarquables utiles

\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\).
\(x^2 - \dfrac49 = \left(x-\dfrac23\right)\left(x+\dfrac23\right)\).
\(4x^2 - k^2 = (2x-k)(2x+k)\).

Méthode — Signe d'un produit factorisé du 2ᵈ degré

Méthode

Repérer le sens de la parabole (coefficient de \(x^2\) : positif → vers le haut, négatif → vers le bas).
Repérer les racines (valeurs qui annulent chaque facteur).
« Voir » la parabole : signe du \(a\) à l'extérieur des racines, signe opposé entre les racines.

Méthode — Enchaîner deux évolutions

Transformer chaque évolution en coefficient.
Multiplier les coefficients : \(C = C_1\times C_2\).
Taux global \(= C - 1\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Croire qu'une hausse puis une baisse de même taux s'annulent.

✅ \(1{,}10\times 0{,}90 = 0{,}99\), soit \(-1\,\%\).

❌ Confondre taux et coefficient.

✅ \(+6\,\%\) → coefficient \(1{,}06\), pas \(0{,}06\).

❌ Oublier la seconde solution de \(x^2 = a\).

✅ Si \(a\gt 0\), deux solutions : \(x = \sqrt a\) ou \(x = -\sqrt a\).

❌ Se tromper de sens de parabole pour le signe.

✅ Le signe du coefficient de \(x^2\) donne le sens : vers le haut si positif.

Exemple rapide

Exemple — enchaînement complet

Un prix baisse de \(20\,\%\) puis augmente de \(10\,\%\).

Coefficients : \(0{,}8\) puis \(1{,}1\).
Coefficient global : \(0{,}8\times 1{,}1 = 0{,}88\).
Taux global : \(0{,}88 - 1 = -0{,}12\), soit \(-12\,\%\).