Fiche – Variables aléatoires et loi binomiale

Chapitre 7 | Terminale technologique (enseignement commun) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

L'essentiel :

Espérance d'une variable aléatoire discrète : \(E(X) = \sum_i x_i\,p_i\) (valeur moyenne).
Schéma de Bernoulli : \(n\) épreuves à deux issues, identiques et indépendantes, succès de probabilité \(p\).
Coefficient binomial \(\binom nk\) = nombre de chemins à \(k\) succès (triangle de Pascal).
Loi binomiale \(B(n,p)\) : \(P(X=k) = \binom nk\,p^k(1-p)^{n-k}\).
Espérance de la binomiale : \(E(X) = np\).

Définitions clés

Définition

Variable aléatoire discrète : elle associe à chaque issue un nombre réel et prend un nombre fini de valeurs. Sa loi donne chaque valeur \(x_i\) et sa probabilité \(p_i\), avec \(\sum_i p_i = 1\).

Définition

Épreuve de Bernoulli : expérience à deux issues, succès \(S\) (proba \(p\)) et échec \(\overline S\) (proba \(1-p\)). Un schéma de Bernoulli \((n,p)\) répète \(n\) fois cette épreuve, de façon identique et indépendante.

Définition

Loi binomiale \(B(n,p)\) : \(X\) compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli \((n,p)\). \(X\) prend les valeurs \(0, 1, \dots, n\).

À connaître par cœur

Espérance \[E(X) = \sum_i x_i\,p_i \quad\text{(cas général)}\qquad\qquad E(X) = n\,p \quad\text{(loi binomiale)}\]

Probabilité d'un nombre de succès (loi binomiale) \[P(X=k) = \binom nk\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}\] \[P(X=0)=(1-p)^n\qquad P(X=n)=p^n\qquad P(X\ge1)=1-(1-p)^n\]

Coefficients binomiaux \(\binom nk\)

\(\binom n0 = \binom nn = 1\) ; \(\binom n1 = \binom{n}{n-1} = n\).
Formule de Pascal : \(\binom nk = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\).
Triangle de Pascal (\(\binom nk\) = somme des deux termes au-dessus) :

\(n\)	valeurs \(\binom nk\)
3	\(1\ \ 3\ \ 3\ \ 1\)
4	\(1\ \ 4\ \ 6\ \ 4\ \ 1\)
5	\(1\ \ 5\ \ 10\ \ 10\ \ 5\ \ 1\)

Méthode — Reconnaître une loi binomiale

Méthode

Vérifier les quatre conditions :

même épreuve répétée un nombre fixé \(n\) de fois ;
deux issues seulement (succès / échec) ;
épreuves indépendantes ;
probabilité de succès \(p\) constante.

Alors \(X\) = nombre de succès suit \(B(n,p)\). Astuce : un tirage avec remise convient, sans remise non (pas d'indépendance).

Méthode — « Au moins un »

Passer par l'évènement contraire : \(P(X\ge1) = 1 - P(X=0) = 1 - (1-p)^n\).

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Oublier le coefficient binomial.

✅ \(P(X=k) = \binom nk\,p^k(1-p)^{n-k}\), pas seulement \(p^k(1-p)^{n-k}\).

❌ Utiliser la loi binomiale pour un tirage sans remise.

✅ Sans remise, les tirages ne sont plus indépendants et \(p\) change : la loi binomiale ne s'applique pas.

❌ Confondre « au moins un » et « exactement un ».

✅ « Au moins un » se calcule par \(1 - P(X=0)\).

❌ Écrire \(E(X) = n+p\) ou \(\frac np\).

✅ Pour la loi binomiale, \(E(X) = np\) (produit).

Exemple rapide

Exemple — un QCM répondu au hasard

\(10\) questions, \(4\) réponses possibles dont une bonne, réponses au hasard. Soit \(X\) le nombre de bonnes réponses.

\(X \sim B(10\,;\,0{,}25)\).
Aucune bonne réponse : \(P(X=0) = 0{,}75^{10} \approx 0{,}056\).
Nombre moyen de bonnes réponses : \(E(X) = 10\times0{,}25 = 2{,}5\).