← RETOUR SOMMAIRE

Chapitre 14 – Solides usuels, volumes et agrandissement

Seconde Bac Pro MAMA  |  Géométrie  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 26 juin 2026

Objectifs du chapitre :

1. Solides usuels

🪵 Situation professionnelle — Calcul de matériaux

Un menuisier doit remplir de mortier une colonne cylindrique creuse de diamètre 20 cm et de hauteur 2,40 m. Il doit calculer le volume pour commander la bonne quantité de matériau.

Définition : Un solide est un objet à trois dimensions. Les solides usuels sont : le cube, le pavé droit, le cylindre droit, la pyramide, le cône et la boule.
a Cube
\(V = a^3\)
L h Pavé droit
\(V = L \times l \times h\)
r h Cylindre droit
\(V = \pi r^2 h\)
h B Pyramide
\(V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h\)
h r Cône
\(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\)
r Boule (sphère)
\(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)
Les formules de la pyramide, du cône et de la boule sont données dans les énoncés — il faut savoir les utiliser, pas forcément les mémoriser.

2. Calcul de volumes — Exemples résolus

Exemple 1 — Volume d'un pavé droit

Une caisse de rangement fait 80 cm × 40 cm × 35 cm. Quel est son volume en litres ?

1
\(V = 80 \times 40 \times 35 = 112\,000\,\text{cm}^3\)
2
\(1\,\text{L} = 1\,\text{dm}^3 = 1\,000\,\text{cm}^3\)
3
\(V = \dfrac{112\,000}{1\,000} = \mathbf{112\,\text{L}}\)
Exemple 2 — Volume d'un cylindre

Colonne cylindrique : diamètre 20 cm, hauteur 2,40 m. Volume en litres ?

1
\(r = 10\,\text{cm} = 0{,}1\,\text{m}\)  |  \(h = 2{,}40\,\text{m}\)
2
\(V = \pi r^2 h = \pi \times 0{,}1^2 \times 2{,}40 = \pi \times 0{,}01 \times 2{,}40 \approx 0{,}0754\,\text{m}^3\)
3
\(0{,}0754\,\text{m}^3 = 75{,}4\,\text{dm}^3 = \mathbf{75{,}4\,\text{L}}\)
Exemple 3 — Volume d'une pyramide (avec formule fournie)

Une pyramide à base carrée de 12 cm de côté et de hauteur 9 cm. Volume ?

1
Aire de la base carrée : \(\mathcal{A}_{\text{base}} = 12^2 = 144\,\text{cm}^2\)
2
\(V = \dfrac{1}{3} \times 144 \times 9 = \dfrac{1296}{3} = \mathbf{432\,\text{cm}^3}\)
Application

Un réservoir cylindrique a un rayon de 15 cm et une hauteur de 50 cm. Calculer son volume en cm³, puis le convertir en litres.

\(V = \pi \times 15^2 \times 50 = \pi \times 225 \times 50 = 11\,250\pi \approx \mathbf{35\,343\,\text{cm}^3}\)
Conversion : \(35\,343\,\text{cm}^3 \div 1\,000 = \mathbf{35{,}3\,\text{L}}\) (arrondi au dixième).

3. Unités de volume et conversions

m³×1000 →dm³ (L)×1000 →cm³ (mL)×1000 →mm³
← ÷1000← ÷1000← ÷1000
Relations à retenir :
1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L  |  1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³ = 1 000 mL
Application — Conversions de volumes

Convertir les volumes suivants :
a) 3,5 m³ en litres    b) 750 cm³ en litres    c) 2 400 L en m³

a) \(3{,}5\,\text{m}^3 = 3{,}5 \times 1\,000 = \mathbf{3\,500\,\text{L}}\)
b) \(750\,\text{cm}^3 = 750 \div 1\,000 = \mathbf{0{,}75\,\text{L}}\)
c) \(2\,400\,\text{L} = 2\,400 \div 1\,000 = \mathbf{2{,}4\,\text{m}^3}\)

4. Agrandissement et réduction — Effets sur les grandeurs

🏠 Situation professionnelle — Changer d'échelle

Un modèle de pièce est fabriqué à l'échelle 1/5 (réduction par 5). Comment les longueurs, les surfaces et les volumes varient-ils entre le modèle et la réalité ?

Rapport d'agrandissement/réduction :
Quand toutes les longueurs d'une figure sont multipliées par un facteur \(k\) (\(k > 0\)) :
Effets selon la dimension :
GrandeurCoefficient d'agrandissementExemple avec k = 3
Longueurs\(\times\,k\)longueurs × 3
Aires (surfaces)\(\times\,k^2\)aires × 9
Volumes\(\times\,k^3\)volumes × 27
Attention : Si \(k = 2\) (on double les longueurs), on ne double pas les aires, on les multiplie par 4. Et les volumes sont multipliés par 8.
Exemple 1 — Modèle réduit au 1/5

Une salle de bain réelle : 3 m × 2 m × 2,5 m. Dimensions du modèle au 1/5 ?

1
Rapport \(k = \frac{1}{5}\)
2
Longueurs modèle : \(3 \times \frac{1}{5} = 0{,}6\,\text{m}\)  |  \(2 \times \frac{1}{5} = 0{,}4\,\text{m}\)  |  \(2{,}5 \times \frac{1}{5} = 0{,}5\,\text{m}\)
3
Volume réel : \(3 \times 2 \times 2{,}5 = 15\,\text{m}^3\)  |  Volume modèle : \(15 \times \left(\frac{1}{5}\right)^3 = 15 \times \frac{1}{125} = \mathbf{0{,}12\,\text{m}^3}\)
Exemple 2 — Agrandir une baignoire

Une mini-baignoire (modèle) a un volume de 50 L. On la fabrique en version ×2 sur chaque dimension. Quel est le nouveau volume ?

1
\(k = 2\) → volumes multipliés par \(k^3 = 2^3 = 8\)
2
Nouveau volume : \(50 \times 8 = \mathbf{400\,\text{L}}\)
Exemple 3 — Effet sur une surface

Un carrelage de 20 cm × 20 cm est remplacé par un format 40 cm × 40 cm (k = 2). La surface d'un carreau est-elle doublée ?

1
\(k = 2\) → aires multipliées par \(k^2 = 4\)
2
Aire 20×20 = 400 cm²  |  Aire 40×40 = 1 600 cm² = 4 × 400 ✔
3
La surface est multipliée par 4, pas par 2.
Application

Un meuble est fabriqué à l'échelle 1/10 pour une maquette. Sa surface de façade réelle est de 0,6 m². Quelle est la surface de la façade sur la maquette ?

\(k = \dfrac{1}{10}\) → les aires sont multipliées par \(k^2 = \dfrac{1}{100}\).
Surface maquette : \(0{,}6 \times \dfrac{1}{100} = \mathbf{0{,}006\,\text{m}^2} = 60\,\text{cm}^2\).

5. Animation — Effets d'un agrandissement sur les grandeurs

🎮 Simulation interactive — Agrandis ou réduis un cylindre et observe les effets

Le cylindre de référence a r₀ = 3 cm et h₀ = 8 cm. Fais varier k et observe comment les longueurs, les aires et le volume évoluent.

6. Erreurs fréquentes

❌
Confondre aire et volume (unités)
L'aire s'exprime en m² ou cm² (surface), le volume en m³, cm³ ou L (espace). Certains élèves donnent un volume en cm² ou une aire en cm³, révélant une confusion entre les deux notions.
Conseil : aire → unité au carré (m², cm²) ; volume → unité au cube (m³, cm³). Vérifier l'unité demandée dans la question avant de répondre.
❌
Utiliser la mauvaise formule de volume (cône confondu avec pyramide ou cylindre)
Le volume du cylindre est \(\pi r^2 h\), celui du cône est \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\) et celui de la pyramide est \(\frac{1}{3} \mathcal{A}_{\text{base}} \times h\). Certains élèves mélangent ces formules ou oublient le \(\frac{1}{3}\).
Conseil : le facteur \(\frac{1}{3}\) apparaît pour les solides "à pointe" (cône et pyramide). Mémo : une pyramide ou un cône "tient" exactement 3 fois moins de matière qu'un prisme ou un cylindre de même base et même hauteur.
❌
Confondre rayon et diamètre
Pour un cylindre ou une boule, l'énoncé donne parfois le diamètre. Certains élèves utilisent directement le diamètre dans les formules à la place du rayon, faussant le résultat (le multipliant par 4 pour un cylindre, par 8 pour une boule).
Conseil : rayon = diamètre ÷ 2. Toujours vérifier ce que donne l'énoncé avant de substituer dans la formule.
❌
Mal identifier la hauteur d'un solide
La hauteur d'un prisme ou d'un cylindre est la distance entre les deux bases, perpendiculaire à celles-ci. Certains élèves confondent la hauteur avec un côté latéral ou une arête oblique.
Conseil : la hauteur est toujours perpendiculaire à la base. Sur un schéma en perspective, elle est souvent représentée verticalement. Si le solide est incliné, la hauteur n'est pas un côté visible.
❌
Confondre l'aire latérale et l'aire totale
L'aire latérale est la surface des faces latérales uniquement (sans les bases). L'aire totale comprend aussi les bases. Certains élèves donnent l'aire latérale quand on demande l'aire totale, oubliant d'ajouter l'aire des bases.
Conseil : aire totale = aire latérale + aire des bases (× 2 s'il y en a deux). Lire attentivement la question : "aire latérale" ou "aire totale" ne demandent pas le même calcul.

Simulation interactive

📌 L'essentiel du chapitre

SolideVolume
Cube (côté a)\(a^3\)
Pavé droit (L, l, h)\(L \times l \times h\)
Cylindre (r, h)\(\pi r^2 h\)
Pyramide (base 𝒜, h)\(\dfrac{1}{3} \mathcal{A}_{\text{base}} \times h\) (fournie)
Cône (r, h)\(\dfrac{1}{3}\pi r^2 h\) (fournie)
Boule (r)\(\dfrac{4}{3}\pi r^3\) (fournie)

Conversions : 1 m³ = 1 000 L  |  1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³

Agrandissement ×k : longueurs ×k  |  aires ×k²  |  volumes ×k³

← Ch13 Thalès Exercices Ch14 →