Chapitre 14 – Solides usuels, volumes et agrandissement
2nde Bac Pro | Géométrie | Mathématiques
Dernière mise à jour : 7 août 2026, 13:09
Avant de commencer, tu dois savoir…
calculer l'aire des figures planes usuelles ;
convertir des unités de volume (m³, dm³, L…) ;
appliquer un coefficient d'agrandissement ou de réduction.
Objectifs du chapitre :
Reconnaître et nommer les solides usuels
Calculer le volume d'un prisme, cylindre, cône, pyramide et sphère
Calculer le volume d'un solide composé (par addition ou par soustraction)
Retrouver une dimension à partir d'un volume connu
Effectuer des conversions de volumes
Résoudre un problème de remplissage : quantité, nombre de contenants, masse, coût
Appliquer un coefficient d'agrandissement ou de réduction aux longueurs, aux aires et aux volumes
1. Solides usuels
🪵 Situation professionnelle — Calcul de matériaux
Un menuisier doit remplir de mortier une colonne cylindrique creuse de diamètre 20 cm et de hauteur 2,40 m. Il doit calculer le volume pour commander la bonne quantité de matériau.
Définition : Un solide est un objet à trois dimensions. Les solides usuels sont : le cube, le pavé droit, le cylindre droit, la pyramide, le cône et la boule.
Les formules de la pyramide, du cône et de la boule sont données dans les énoncés — il faut savoir les utiliser, pas forcément les mémoriser.
Le prisme droit : une seule idée pour le cube, le pavé et le cylindre
Prisme droit : un solide obtenu en « tirant » un polygone (la base) tout droit, sur une certaine longueur. Les deux bases sont identiques et parallèles ; les faces latérales sont des rectangles.
Le cube et le pavé droit sont des prismes droits : leur base est respectivement un carré et un rectangle. Le cylindre droit, lui, n'est pas un prisme — sa base est un disque et sa surface latérale est courbe, pas faite de rectangles — mais son volume se calcule exactement de la même façon : aire de la base × hauteur.
Prisme droit à base triangulaire : la base d'aire \(A\) est « tirée » sur la longueur \(L\).
Volume d'un prisme droit :
\[V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times L\]
où \(\mathcal{A}_{\text{base}}\) est l'aire de la base et \(L\) la longueur (ou la hauteur) du prisme.
Prolongement : le programme officiel de Seconde Bac Pro (BO 2019) nomme six solides usuels — cube, pavé droit, pyramide, cylindre droit, cône et boule. Le prisme à base triangulaire ou trapézoïdale n'y figure pas comme solide usuel, mais on le rencontre constamment en atelier (poutre, chevron, toiture, profilé). Il se calcule sans formule nouvelle : aire de la base × longueur. C'est la méthode utilisée dans les exercices du chapitre.
Exemple — Volume d'une rampe d'accès
Une petite rampe d'accès en béton a pour section un triangle rectangle de base \(b = 24\) cm et de hauteur \(h_t = 15\) cm. Elle mesure 1,60 m de large. Quel volume de béton faut-il, en cm³ puis en litres ?
1
On convertit d'abord la longueur : \(1{,}60\,\text{m} = 160\,\text{cm}\) (toutes les dimensions dans la même unité).
2
Aire de la base (triangle) : \(\mathcal{A} = \dfrac{24 \times 15}{2} = \dfrac{360}{2} = 180\,\text{cm}^2\).
Exemple 4 — Volume d'une boule (avec formule fournie)
Une boule décorative pleine, en bois tourné, a un rayon de 9 cm. Quel est son volume, en cm³ puis en litres ? (Formule fournie : \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\).)
1
On repère le rayon : \(r = 9\,\text{cm}\).
2
On calcule d'abord le cube du rayon : \(r^3 = 9^3 = 9 \times 9 \times 9 = 729\,\text{cm}^3\).
Une balle de rééducation sphérique, utilisée en cabinet de kinésithérapie, a un rayon de 7 cm. Calculer son volume, arrondi au cm³. (Formule fournie : \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\).)
\(r^3 = 7^3 = 343\,\text{cm}^3\), donc \(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 343 \approx \mathbf{1\,437\,\text{cm}^3}\) (arrondi à l'unité), soit environ 1,4 L.
Application
Un réservoir cylindrique a un rayon de 15 cm et une hauteur de 50 cm. Calculer son volume en cm³, puis le convertir en litres.
Exemple 5 — Volume d'un solide composé (cylindre + cône)
Un pied de table tourné est formé d'un cylindre de rayon 4 cm et de hauteur 30 cm, surmonté d'un cône de même rayon (4 cm) et de hauteur 12 cm. Quel est le volume total de bois, en cm³ puis en litres ?
Pied de table : cylindre surmonté d'un cône de même rayon. Figure tracée à l'échelle (4 px pour 1 cm) : le cône est bien deux fois et demie plus court que le cylindre.
Conversion : \(1\,709{,}0\,\text{cm}^3 \div 1\,000 \approx \mathbf{1{,}71\,\text{L}}\) de bois.
Méthode — Volume d'un solide composé : on découpe le solide en solides usuels, on calcule le volume de chacun, puis on additionne (ou on soustrait si une partie est creusée).
Application — Solide creusé
Un menuisier part d'un bloc de bois en forme de pavé droit de 20 cm × 20 cm × 30 cm et y perce un trou cylindrique vertical traversant, de rayon 5 cm et de hauteur 30 cm. Quel volume de bois reste-t-il ? (Arrondir au cm³.)
Volume du pavé : \(V_1 = 20 \times 20 \times 30 = 12\,000\,\text{cm}^3\).
Volume du trou cylindrique : \(V_2 = \pi r^2 h = \pi \times 5^2 \times 30 = 750\pi \approx 2\,356\,\text{cm}^3\).
Volume de bois restant : \(V = V_1 - V_2 = 12\,000 - 2\,356 = \mathbf{9\,644\,\text{cm}^3}\) (soit environ 9,6 L).
Au-delà du volume : aire latérale et aire totale
Au-delà du programme : le calcul d'une aire latérale ou d'une aire totale ne figure pas dans les capacités « volumes » du programme de Seconde Bac Pro (BO 2019). On le donne ici parce que le métier le réclame en permanence — peindre, vernir, isoler, étiqueter, c'est couvrir une surface, pas remplir un volume — et parce que plusieurs exercices du chapitre l'utilisent.
Cylindre droit de rayon \(r\) et de hauteur \(h\) :
\[\mathcal{A}_{\text{latérale}} = 2\pi r h \qquad \mathcal{A}_{\text{totale}} = 2\pi r h + 2\pi r^2\]
La surface latérale « déroulée » est un rectangle : sa largeur est le périmètre du cercle de base (\(2\pi r\)) et sa hauteur est \(h\). L'aire totale ajoute les deux disques de base (\(\pi r^2\) chacun). Cube de côté \(a\) : \(\mathcal{A}_{\text{totale}} = 6a^2\) (six faces carrées).
Exemple — Étiquette d'une boîte de conserve
Une boîte de conserve cylindrique a un rayon de 5 cm et une hauteur de 14 cm. On colle une étiquette sur toute sa surface latérale. Quelle est l'aire de l'étiquette ?
1
\(\mathcal{A}_{\text{latérale}} = 2\pi r h = 2 \times \pi \times 5 \times 14 = 140\pi\)
2
\(140\pi \approx \mathbf{439{,}8\,\text{cm}^2}\) (arrondi au dixième).
Et si on demandait l'aire totale ?
Il faudrait ajouter les deux disques : \(2\pi r^2 = 2 \times \pi \times 25 = 50\pi \approx 157{,}1\,\text{cm}^2\), soit \(\mathcal{A}_{\text{totale}} = 190\pi \approx 596{,}9\,\text{cm}^2\). Une étiquette ne couvre que le côté : c'est bien l'aire latérale qu'on demandait.
Aire ou volume : la question à se poser. « Combien de litres contient… ? », « quelle quantité de béton… ? » → volume, en cm³/m³/L. « Combien de peinture pour recouvrir… ? », « combien d'isolant sur la paroi… ? » → aire, en cm²/m². L'unité de la réponse indique laquelle des deux on a calculée.
Retrouver une dimension à partir du volume
Jusqu'ici, on connaissait les dimensions et on cherchait le volume. En atelier, la question se pose souvent dans l'autre sens : la contenance est imposée (une cuve de 120 L, un réservoir de 2 200 cm³) et il faut en déduire une hauteur, une longueur ou un rayon.
Méthode — Remonter d'un volume à une dimension :
Écrire la formule du volume du solide.
Repérer ce qui est connu et ce qui est cherché.
Isoler l'inconnue : ce qui multipliait l'inconnue passe en division.
Vérifier en recalculant le volume avec la dimension trouvée.
Les trois cas les plus utiles :
\[V = L \times l \times h \;\Rightarrow\; h = \frac{V}{L \times l}\]
\[V = \pi r^2 h \;\Rightarrow\; h = \frac{V}{\pi r^2}\]
\[V = \pi r^2 h \;\Rightarrow\; r^2 = \frac{V}{\pi h}\]
Exemple 1 — Hauteur d'un pavé droit
Une jardinière en forme de pavé droit a un volume de 4 200 cm³, une longueur de 30 cm et une largeur de 14 cm. Quelle est sa hauteur ?
1
\(V = L \times l \times h\), donc \(h = \dfrac{V}{L \times l}\).
2
Aire de la base : \(L \times l = 30 \times 14 = 420\,\text{cm}^2\).
\(\pi \times 81 \times 11{,}8 \approx 3\,003\,\text{cm}^3\) ✔ (le petit écart vient de l'arrondi de \(h\)).
Application — Retrouver une dimension
a) Un caisson en forme de pavé droit a un volume de 840 cm³, une longueur de 20 cm et une largeur de 7 cm. Calculer sa hauteur. b) Un flacon cylindrique a un volume de 1 250 cm³ et un rayon de 8 cm. Calculer sa hauteur, arrondie au dixième.
a) \(L \times l = 20 \times 7 = 140\,\text{cm}^2\), donc \(h = \dfrac{840}{140} = \mathbf{6\,\text{cm}}\). Vérification : \(20 \times 7 \times 6 = 840\,\text{cm}^3\) ✔ b) \(\pi r^2 = \pi \times 64 = 64\pi\), donc \(h = \dfrac{1\,250}{64\pi} \approx \mathbf{6{,}2\,\text{cm}}\). Vérification : \(\pi \times 64 \times 6{,}2 \approx 1\,247\,\text{cm}^3\) ✔ (écart dû à l'arrondi de \(h\))
3. Unités de volume et conversions
m³
×1000 →
dm³ (L)
×1000 →
cm³ (mL)
×1000 →
mm³
← ÷1000
← ÷1000
← ÷1000
Relations à retenir :
1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L | 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³ = 1 000 mL
Application — Conversions de volumes
Convertir les volumes suivants : a) 1,8 m³ en litres b) 320 cm³ en litres c) 6 500 L en m³
a) \(1{,}8\,\text{m}^3 = 1{,}8 \times 1\,000 = \mathbf{1\,800\,\text{L}}\) b) \(320\,\text{cm}^3 = 320 \div 1\,000 = \mathbf{0{,}32\,\text{L}}\) c) \(6\,500\,\text{L} = 6\,500 \div 1\,000 = \mathbf{6{,}5\,\text{m}^3}\)
Problèmes de remplissage et de quantités
🔧 Situation professionnelle — Commander la bonne quantité
Un technicien doit remplir un circuit de chauffage avec un fluide vendu en bidons de 25 L. Il calcule un volume de 340 L. Combien de bidons commande-t-il ?
Méthode — Résoudre un problème de volume en situation :
Identifier le solide (cube, pavé, cylindre, prisme…).
Convertir toutes les dimensions dans la même unité avant de calculer.
Appliquer la formule de volume.
Convertir le résultat dans l'unité demandée (cm³ → L, m³ → L…).
Répondre à la question posée : une quantité, un nombre de contenants, un coût — et vérifier que le résultat est plausible.
Le dernier arrondi dépend de la question — et c'est là qu'on perd des points.
« Combien de bidons faut-il pour remplir le circuit ? » → on arrondit à l'entier supérieur : \(340 \div 25 = 13{,}6\) donne 14 bidons. Avec 13 bidons, le circuit n'est pas plein.
« Combien d'arrosoirs pleins peut-on remplir avec une cuve de 185 L ? » → on arrondit à l'entier inférieur : \(185 \div 8 = 23{,}125\) donne 23 arrosoirs pleins (le 24e ne serait pas plein).
Dans les deux cas le calcul est le même : c'est la phrase de l'énoncé qui décide du sens de l'arrondi.
Exemple 1 — Remplissage partiel d'un bac
Un bac de trempage en pavé droit mesure 60 cm × 35 cm × 24 cm (longueur × largeur × hauteur). On le remplit aux \(\dfrac{2}{3}\) de sa hauteur. Quel volume d'eau, en litres ?
1
Hauteur d'eau : \(24 \times \dfrac{2}{3} = 16\,\text{cm}\). On ne modifie que la hauteur : la longueur et la largeur ne changent pas.
Volume total : \(60 \times 35 \times 24 = 50\,400\,\text{cm}^3 = 50{,}4\) L. Les \(\dfrac{2}{3}\) de 50,4 L font \(50{,}4 \times \dfrac{2}{3} = 33{,}6\) L ✔ On peut prendre la fraction de la hauteur ou la fraction du volume : ici, cela revient au même parce que seule la hauteur varie.
Du volume à la masse :
\[m = \rho \times V\]
où \(\rho\) (masse volumique) indique la masse d'une unité de volume du matériau : 1 m³ de gravier pèse environ 1 500 kg, 1 cm³ de chêne pèse environ 0,7 g. Règle des unités : la masse volumique et le volume doivent utiliser la même unité de volume — kg/m³ avec des m³, g/cm³ avec des cm³. Sinon, on convertit d'abord.
Exemple 2 — Du volume à la masse
Une benne de chantier contient 4,50 m³ de gravier, dont la masse volumique est de 1 500 kg/m³. Quelle masse de gravier cela représente-t-il, en tonnes ?
1
La masse volumique dit combien pèse un mètre cube : \(m = \rho \times V\).
2
\(m = 1\,500 \times 4{,}50 = 6\,750\,\text{kg}\).
3
\(6\,750\,\text{kg} = \mathbf{6{,}75\,\text{tonnes}}\) (1 t = 1 000 kg).
4
Contrôle des unités : kg/m³ × m³ = kg ✔ Si le volume avait été en litres, il aurait fallu le convertir en m³ d'abord.
4. Agrandissement et réduction — Effets sur les grandeurs
🏠 Situation professionnelle — Changer d'échelle
Un modèle de pièce est fabriqué à l'échelle 1/5 (réduction par 5). Comment les longueurs, les surfaces et les volumes varient-ils entre le modèle et la réalité ?
Rapport d'agrandissement/réduction :
Quand toutes les longueurs d'une figure sont multipliées par un facteur \(k\) (\(k > 0\)) :
Effets selon la dimension :
Grandeur
Coefficient d'agrandissement
Exemple avec k = 3
Longueurs
\(\times\,k\)
longueurs × 3
Aires (surfaces)
\(\times\,k^2\)
aires × 9
Volumes
\(\times\,k^3\)
volumes × 27
Attention : Si \(k = 2\) (on double les longueurs), on ne double pas les aires, on les multiplie par 4. Et les volumes sont multipliés par 8.
Exemple 1 — Modèle réduit au 1/5
Une salle de bain réelle : 3 m × 2 m × 2,5 m. Dimensions du modèle au 1/5 ?
Un meuble est fabriqué à l'échelle 1/10 pour une maquette. Sa surface de façade réelle est de 0,6 m². Quelle est la surface de la façade sur la maquette ?
\(k = \dfrac{1}{10}\) → les aires sont multipliées par \(k^2 = \dfrac{1}{100}\).
Surface maquette : \(0{,}6 \times \dfrac{1}{100} = \mathbf{0{,}006\,\text{m}^2} = 60\,\text{cm}^2\).
Application — Effet d'un agrandissement sur le volume
Un tabouret prototype a un volume de 9 L. On fabrique le modèle définitif en multipliant toutes ses dimensions par \(k = 3\). Quel est le volume du modèle définitif ?
Quand les longueurs sont multipliées par \(k = 3\), les volumes sont multipliés par \(k^3 = 3^3 = 27\).
Nouveau volume : \(9 \times 27 = \mathbf{243\,\text{L}}\). On ne multiplie surtout pas par 3 : un objet « 3 fois plus grand » contient 27 fois plus de matière.
5. Animation — Effets d'un agrandissement sur les grandeurs
🎮 Simulation interactive — Agrandis ou réduis un cylindre et observe les effets
Le cylindre de référence a r₀ = 3 cm et h₀ = 8 cm. Fais varier k et observe comment les longueurs, les aires et le volume évoluent. Les deux cylindres sont toujours dessinés à la même échelle : la comparaison visuelle est donc fidèle.
6. Erreurs fréquentes
❌
Confondre aire et volume (unités)
L'aire s'exprime en m² ou cm² (surface), le volume en m³, cm³ ou L (espace). Certains élèves donnent un volume en cm² ou une aire en cm³, révélant une confusion entre les deux notions. Conseil : aire → unité au carré (m², cm²) ; volume → unité au cube (m³, cm³). Vérifier l'unité demandée dans la question avant de répondre.
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Utiliser la mauvaise formule de volume (cône confondu avec pyramide ou cylindre)
Le volume du cylindre est \(\pi r^2 h\), celui du cône est \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\) et celui de la pyramide est \(\frac{1}{3} \mathcal{A}_{\text{base}} \times h\). Certains élèves mélangent ces formules ou oublient le \(\frac{1}{3}\). Conseil : le facteur \(\frac{1}{3}\) apparaît pour les solides "à pointe" (cône et pyramide). Mémo : à base et hauteur identiques, le volume d'une pyramide ou d'un cône est le tiers de celui du prisme ou du cylindre correspondant.
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Confondre rayon et diamètre
Pour un cylindre ou une boule, l'énoncé donne parfois le diamètre. Certains élèves utilisent directement le diamètre dans les formules à la place du rayon, faussant le résultat (le multipliant par 4 pour un cylindre, par 8 pour une boule). Conseil : rayon = diamètre ÷ 2. Toujours vérifier ce que donne l'énoncé avant de substituer dans la formule.
❌
Mal identifier la hauteur d'un solide
La hauteur d'un prisme ou d'un cylindre est la distance entre les deux bases, perpendiculaire à celles-ci. Certains élèves confondent la hauteur avec un côté latéral ou une arête oblique. Conseil : la hauteur est toujours perpendiculaire à la base. Sur un schéma en perspective, elle est souvent représentée verticalement. Si le solide est incliné, la hauteur n'est pas un côté visible.
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Confondre l'aire latérale et l'aire totale
L'aire latérale est la surface des faces latérales uniquement (sans les bases). L'aire totale comprend aussi les bases. Certains élèves donnent l'aire latérale quand on demande l'aire totale, oubliant d'ajouter l'aire des bases. Conseil : aire totale = aire latérale + aire des bases (× 2 s'il y en a deux). Lire attentivement la question : "aire latérale" ou "aire totale" ne demandent pas le même calcul.