Chapitre 14 – Solides usuels, volumes et agrandissement
2nde Bac Pro | Géométrie | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 12:00
Avant de commencer, tu dois savoir…
calculer l'aire d'un rectangle et d'un disque ;
utiliser la touche \(\pi\) de la calculatrice ;
convertir des longueurs (m, dm, cm, mm).
Ce que tu vas savoir faire à la fin de ce chapitre :
C1 — Reconnaître et nommer un solide usuel
C2 — Calculer le volume d'un solide usuel (formules du cône, de la pyramide et de la boule fournies)
C3 — Convertir des unités de volume
C4 — Calculer le volume d'un solide composé
C5 — Exploiter un volume : nombre de contenants, masse, prix
C6 — Déterminer l'effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les longueurs, les aires et les volumes
C7 — Retrouver une dimension à partir du volume
C8 — Calculer des volumes en série au tableur
Les codes sont ceux du cours PDF du chapitre. Les parties suivent l'ordre du cours : C7 (partie 8) vient avant C6 (partie 9). Pour aller plus loin (hors programme de Seconde, non évalué) : le prisme droit, l'aire latérale et l'aire totale d'un solide. Leurs relations sont toujours fournies.
1. Reconnaître et nommer un solide usuel (C1)
🪵 Situation professionnelle — Calcul de matériaux
Un menuisier doit remplir de mortier une colonne cylindrique creuse de diamètre 20 cm et de hauteur 2,40 m. Il doit calculer le volume pour commander la bonne quantité de matériau. Avant tout calcul, il doit nommer le solide : la formule en dépend.
Définition : Un solide est un objet à trois dimensions. Les six solides usuels du programme sont : le cube, le pavé droit, le cylindre droit, la pyramide, le cône et la boule.
Les deux bouts sont-ils identiques ? Oui → cube, pavé droit ou cylindre. Non, l'un est une pointe → cône ou pyramide.
La base est-elle un disque ? Oui → cylindre ou cône. Non, c'est un polygone → cube, pavé droit ou pyramide.
Aucune face plane ? C'est une boule.
Erreur fréquente — Confondre le cône et le cylindre :
Un silo, un seau, un cornet ont une base circulaire, mais l'un se termine en pointe. Le volume du cône vaut le tiers de celui du cylindre de même base et de même hauteur. Se tromper de solide, c'est se tromper d'un facteur trois.
Application — Nommer avant de calculer
Nommer le solide correspondant à chaque objet. a) Un rouleau d'essuie-tout. b) Un glaçon en forme de dé. c) Un plot de chantier pointu à base ronde. d) Une bille. e) Une brique pleine. f) La pyramide du Louvre (base carrée).
a) Cylindre (deux disques identiques). b) Cube (six faces carrées). c) Cône (base en disque et une pointe). d) Boule (aucune face plane). e) Pavé droit (six faces rectangulaires). f) Pyramide (base carrée et une pointe).
2. Volume du cube et du pavé droit (C2)
À retenir — Les deux volumes à connaître par cœur :
\[V_{\text{cube}} = c \times c \times c = c^3 \qquad V_{\text{pavé}} = L \times \ell \times h\]
Les trois longueurs doivent être dans la même unité avant d'être multipliées.
Exemple 1 — Volume d'un pavé droit
Une caisse de rangement fait 80 cm × 40 cm × 35 cm. Quel est son volume en litres ?
Erreur fréquente — Mélanger les unités :
Une dalle de 4 m sur 3 m et 12 cm d'épaisseur : on ne multiplie pas \(4 \times 3 \times 12\). On convertit d'abord : \(12\,\text{cm} = 0{,}12\,\text{m}\), puis \(4 \times 3 \times 0{,}12 = 1{,}44\,\text{m}^3\). Le calcul brut aurait donné 144, soit cent fois trop.
Application — Volume d'un cube
Un aquarium cubique a une arête de 40 cm. Calculer son volume en cm³, puis le convertir en litres.
À retenir — Le volume du cylindre :
\[V = \pi \times r^2 \times h\]
\(r\) est le rayon, pas le diamètre. L'aire du disque de base, \(\pi r^2\), est multipliée par la hauteur : c'est la même idée que pour le pavé, une base et une hauteur.
Erreur fréquente — Prendre le diamètre pour le rayon :
Les énoncés professionnels donnent presque toujours un diamètre : une cuve « de 70 cm », un tube « de 20 mm ». Le rayon en est la moitié. Se tromper multiplie le volume par quatre, puisque le rayon est au carré.
Exemple 2 — Volume d'un cylindre
Colonne cylindrique : diamètre 20 cm, hauteur 2,40 m. Volume en litres ?
Pour aller plus loin — Le prisme droit (relation fournie, non évaluée)
Le prisme droit ne figure pas dans la liste des solides du programme de Seconde (cube, pavé droit, cylindre, pyramide, cône, boule). Sa relation est toujours fournie et il n'est pas évalué. Il montre pourtant une idée utile : le cube, le pavé droit et le cylindre se calculent tous par « aire de la base × hauteur ».
Prisme droit : un solide obtenu en « tirant » un polygone (la base) tout droit, sur une certaine longueur. Les deux bases sont identiques et parallèles ; les faces latérales sont des rectangles. Le cube et le pavé droit sont des prismes droits.
Prisme droit à base triangulaire : la base d'aire \(A\) est « tirée » sur la longueur \(L\).
Volume d'un prisme droit (relation fournie) :
\[V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times L\]
où \(\mathcal{A}_{\text{base}}\) est l'aire de la base et \(L\) la longueur (ou la hauteur) du prisme.
Une petite rampe d'accès en béton a pour section un triangle rectangle de base \(b = 24\) cm et de hauteur \(h_t = 15\) cm. Elle mesure 1,60 m de large. Quel volume de béton faut-il, en cm³ puis en litres ?
1
On convertit d'abord la longueur : \(1{,}60\,\text{m} = 160\,\text{cm}\) (toutes les dimensions dans la même unité).
2
Aire de la base (triangle) : \(\mathcal{A} = \dfrac{24 \times 15}{2} = \dfrac{360}{2} = 180\,\text{cm}^2\).
4. Pyramide, cône, boule : les formules fournies (C2)
Formules fournies. Le programme le dit : « formules du cône, de la pyramide et de la boule fournies ». Elles figurent dans chaque énoncé et ne sont jamais à apprendre par cœur. Il faut savoir les utiliser.
Les trois relations fournies :
\[V_{\text{cône}} = \dfrac{\pi r^2 h}{3} \qquad V_{\text{pyramide}} = \dfrac{\mathcal{A}_{\text{base}} \times h}{3} \qquad V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3\]
Ce qu'il faut retenir, en revanche : le cône et la pyramide valent le tiers du cylindre ou du pavé de même base et de même hauteur. C'est une idée, pas une formule.
Exemple 3 — Volume d'une pyramide (avec formule fournie)
Une pyramide à base carrée de 12 cm de côté et de hauteur 9 cm. Volume ?
1
Aire de la base carrée : \(\mathcal{A}_{\text{base}} = 12^2 = 144\,\text{cm}^2\)
Exemple 4 — Volume d'une boule (avec formule fournie)
Une boule décorative pleine, en bois tourné, a un rayon de 9 cm. Quel est son volume, en cm³ puis en litres ? (Formule fournie : \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\).)
1
On repère le rayon : \(r = 9\,\text{cm}\).
2
On calcule d'abord le cube du rayon : \(r^3 = 9^3 = 9 \times 9 \times 9 = 729\).
Une balle de rééducation sphérique, utilisée en cabinet de kinésithérapie, a un rayon de 7 cm. Calculer son volume, arrondi au cm³. (Formule fournie : \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\).)
\(r^3 = 7^3 = 343\), donc \(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 343 \approx \mathbf{1\,437\,\text{cm}^3}\) (arrondi à l'unité), soit environ 1,4 L.
Pour aller plus loin — Aire latérale et aire totale (relations fournies, non évaluées)
Le calcul d'une aire latérale ou d'une aire totale ne fait pas partie des capacités de ce chapitre. On le donne parce que le métier le réclame : peindre, vernir, isoler, étiqueter, c'est couvrir une surface. Les relations sont toujours fournies.
Cylindre droit de rayon \(r\) et de hauteur \(h\) (relations fournies) :
\[\mathcal{A}_{\text{latérale}} = 2\pi r h \qquad \mathcal{A}_{\text{totale}} = 2\pi r h + 2\pi r^2\]
La surface latérale « déroulée » est un rectangle : sa largeur est le périmètre du cercle de base (\(2\pi r\)) et sa hauteur est \(h\). L'aire totale ajoute les deux disques de base (\(\pi r^2\) chacun). Cube d'arête \(c\) : \(\mathcal{A}_{\text{totale}} = 6c^2\) (six faces carrées).
Exemple — Étiquette d'une boîte de conserve
Une boîte de conserve cylindrique a un rayon de 5 cm et une hauteur de 14 cm. On colle une étiquette sur toute sa surface latérale. Quelle est l'aire de l'étiquette ?
1
\(\mathcal{A}_{\text{latérale}} = 2\pi r h = 2 \times \pi \times 5 \times 14 = 140\pi\)
2
\(140\pi \approx \mathbf{439{,}8\,\text{cm}^2}\) (arrondi au dixième).
5. Convertir des unités de volume (C3)
À retenir — L'égalité qui relie tout :
\[1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{L} \qquad \text{donc} \qquad 1\,\text{m}^3 = 1\,000\,\text{L} \qquad \text{et} \qquad 1\,\text{cm}^3 = 1\,\text{mL}\]
Un litre, c'est un cube de 10 cm de côté : \(10 \times 10 \times 10 = 1\,000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{L}\).
m³
×1000 →
dm³ (L)
×1000 →
cm³ (mL)
×1000 →
mm³
← ÷1000
← ÷1000
← ÷1000
Erreur fréquente — Le rang des volumes est de trois, pas de un :
Entre deux unités de longueur voisines, il y a un facteur 10. Entre deux unités d'aire, 100. Entre deux unités de volume, 1 000, parce qu'on multiplie trois longueurs. Passer de m³ à dm³, c'est multiplier par mille, pas par dix.
Exemple — Trois conversions
1
\(3{,}4\,\text{m}^3\) en dm³ : on avance de trois rangs, \(3{,}4 \times 1\,000 = \mathbf{3\,400\,\text{dm}^3}\).
2
\(45\,000\,\text{cm}^3\) en m³ : on recule de six rangs, \(45\,000 \div 1\,000\,000 = \mathbf{0{,}045\,\text{m}^3}\).
3
\(0{,}25\,\text{dm}^3\) en cm³ : trois rangs, \(0{,}25 \times 1\,000 = \mathbf{250\,\text{cm}^3}\).
Le contrôle qui rattrape tout : après une conversion, on se demande si le nombre devait grandir ou rétrécir. Vers une unité plus petite (m³ → cm³), il grandit. Vers une unité plus grande, il rétrécit. Un nombre qui part dans le mauvais sens signale une erreur de rang.
Application — Conversions de volumes
Convertir les volumes suivants : a) 1,8 m³ en litres b) 320 cm³ en litres c) 6 500 L en m³
a) \(1{,}8\,\text{m}^3 = 1{,}8 \times 1\,000 = \mathbf{1\,800\,\text{L}}\) b) \(320\,\text{cm}^3 = 320 \div 1\,000 = \mathbf{0{,}32\,\text{L}}\) c) \(6\,500\,\text{L} = 6\,500 \div 1\,000 = \mathbf{6{,}5\,\text{m}^3}\)
6. Volume d'un solide composé (C4)
Méthode — Trois gestes :
Découper le solide en solides usuels, et les nommer.
Calculer chaque volume à part, avec ses propres dimensions.
Additionner si les morceaux s'ajoutent, soustraire si l'un est un creux.
Exemple 5 — Volume d'un solide composé (cylindre + cône)
Un pied de table tourné est formé d'un cylindre de rayon 4 cm et de hauteur 30 cm, surmonté d'un cône de même rayon (4 cm) et de hauteur 12 cm. Quel est le volume total de bois, en cm³ puis en litres ?
Pied de table : cylindre surmonté d'un cône de même rayon. Figure tracée à l'échelle (4 px pour 1 cm) : le cône est bien deux fois et demie plus court que le cylindre.
Conversion : \(1\,709{,}0\,\text{cm}^3 \div 1\,000 \approx \mathbf{1{,}71\,\text{L}}\) de bois.
Erreur fréquente — Soustraire la mauvaise hauteur :
Un trou qui traverse un bloc « de part en part » a pour hauteur celle du bloc, pas son rayon ni son diamètre. Si le trou ne traversait qu'à moitié, l'énoncé devrait le dire, et la hauteur serait la moitié.
Application — Solide creusé
Un menuisier part d'un bloc de bois en forme de pavé droit de 20 cm × 20 cm × 30 cm et y perce un trou cylindrique vertical traversant, de rayon 5 cm et de hauteur 30 cm. Quel volume de bois reste-t-il ? (Arrondir au cm³.)
Volume du pavé : \(V_1 = 20 \times 20 \times 30 = 12\,000\,\text{cm}^3\).
Volume du trou cylindrique : \(V_2 = \pi r^2 h = \pi \times 5^2 \times 30 = 750\pi \approx 2\,356\,\text{cm}^3\).
Volume de bois restant : \(V = V_1 - V_2 = 12\,000 - 2\,356 = \mathbf{9\,644\,\text{cm}^3}\) (soit environ 9,6 L).
7. Exploiter un volume : nombre de contenants, masse, prix (C5)
🔧 Situation professionnelle — Commander la bonne quantité
Un technicien doit remplir un circuit de chauffage avec un fluide vendu en bidons de 25 L. Il calcule un volume de 340 L. Combien de bidons commande-t-il ?
Un volume n'est presque jamais la réponse finale. Sur un chantier, il devient un nombre de toupies, une masse, un prix.
Méthode — La chaîne du métré cubique :
Le volume, dans l'unité de l'ouvrage : le béton se commande en m³.
La quantité : on divise par la contenance d'un contenant, et l'on arrondit au-dessus.
La masse, s'il le faut : \(m = \rho \times V\), la masse volumique \(\rho\) étant fournie.
Le prix : quantité × prix unitaire.
Exemple 1 — Une dalle de béton
Une dalle mesure 8 m sur 5 m, avec une épaisseur de 18 cm. Une toupie livre 6 m³ de béton, facturé 95 € le mètre cube livré.
Toupies : \(7{,}2 \div 6 = 1{,}2\) → il en faut 2. On ne commande pas 1,2 toupie.
3
Prix du béton livré : \(2 \times 6 \times 95 = \mathbf{1\,140\,\text{€}}\), et non \(7{,}2 \times 95 = 684\,\text{€}\), puisqu'on paie ce qui est livré.
Erreur fréquente — Arrondir au plus proche :
1,2 toupie arrondi « au plus proche » donnerait 1. Il manquerait alors 1,2 m³ de béton : la dalle ne serait coulée qu'aux cinq sixièmes.
Pour le circuit de chauffage : \(340 \div 25 = 13{,}6\), donc 14 bidons. Avec 13 bidons, le circuit n'est pas plein.
Pour un nombre de contenants à commander, on arrondit toujours au supérieur. Une autre question : « Combien d'arrosoirs de 8 L peut-on remplir entièrement avec une cuve de 185 L ? » Ici, \(185 \div 8 = 23{,}125\) donne 23 arrosoirs pleins : le 24e ne serait pas plein. C'est la phrase de l'énoncé qui décide.
Exemple 2 — Remplissage partiel d'un bac
Un bac de trempage en pavé droit mesure 60 cm × 35 cm × 24 cm (longueur × largeur × hauteur). On le remplit aux \(\dfrac{2}{3}\) de sa hauteur. Quel volume d'eau, en litres ?
1
Hauteur d'eau : \(24 \times \dfrac{2}{3} = 16\,\text{cm}\). On ne modifie que la hauteur : la longueur et la largeur ne changent pas.
Du volume à la masse :
\[m = \rho \times V\]
où \(\rho\) (masse volumique, toujours fournie) indique la masse d'une unité de volume du matériau : 1 m³ de gravier pèse environ 1 500 kg, 1 cm³ de chêne pèse environ 0,7 g. Règle des unités : la masse volumique et le volume doivent utiliser la même unité de volume : kg/m³ avec des m³, g/cm³ avec des cm³. Sinon, on convertit d'abord.
Exemple 3 — Du volume à la masse
Une benne de chantier contient 4,50 m³ de gravier, dont la masse volumique est de 1 500 kg/m³. Quelle masse de gravier cela représente-t-il, en tonnes ?
1
La masse volumique dit combien pèse un mètre cube : \(m = \rho \times V\).
2
\(m = 1\,500 \times 4{,}50 = 6\,750\,\text{kg}\).
3
\(6\,750\,\text{kg} = \mathbf{6{,}75\,\text{tonnes}}\) (1 t = 1 000 kg).
4
Contrôle des unités : kg/m³ × m³ = kg ✔ Si le volume avait été en litres, il aurait fallu le convertir en m³ d'abord.
Application — Une semelle de fondation
Une semelle de fondation mesure 20 m de long, 0,5 m de large et 0,6 m de profondeur. Le béton a une masse volumique de 2 400 kg/m³. Une toupie livre 5 m³ de béton, facturé 95 € le mètre cube livré. a) Calculer le volume de béton, en m³. b) Combien de toupies commander ? c) Calculer la masse de béton mise en œuvre, en tonnes. d) Calculer le prix du béton livré.
a) \(V = 20 \times 0{,}5 \times 0{,}6 = \mathbf{6\,\text{m}^3}\). b) \(6 \div 5 = 1{,}2\), on arrondit au supérieur : 2 toupies. c) \(m = \rho \times V = 2\,400 \times 6 = 14\,400\,\text{kg} = \mathbf{14{,}4\,\text{t}}\). d) On paie ce qui est livré : \(2 \times 5 \times 95 = \mathbf{950\,\text{€}}\).
8. Retrouver une dimension à partir du volume (C7)
Jusqu'ici, on connaissait les dimensions et on cherchait le volume. Sur un chantier, la question se pose souvent dans l'autre sens : la contenance est imposée (une citerne de 2 000 L, un bac de 480 L) et il faut en déduire une hauteur ou un rayon.
Méthode — On divise, on ne devine pas :
Écrire la formule du volume du solide et mettre toutes les grandeurs dans la même unité.
Repérer ce qui est connu et ce qui est cherché.
Isoler l'inconnue : ce qui multipliait l'inconnue passe en division. Un carré se défait par une racine carrée.
Contrôler en refaisant le calcul direct avec la dimension trouvée.
Les trois cas du cours :
Solide
On connaît
On cherche
Pavé droit
\(V\), \(L\), \(\ell\)
\(h = \dfrac{V}{L \times \ell}\)
Cylindre
\(V\), \(r\)
\(h = \dfrac{V}{\pi r^2}\)
Cylindre
\(V\), \(h\)
\(r = \sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}\)
Dans les deux premiers cas, une simple division. Dans le troisième, une division puis une racine carrée : la touche \(\sqrt{\phantom{x}}\) de la calculatrice.
Exemple 1 — Hauteur d'un pavé droit
Une jardinière en forme de pavé droit a un volume de 4 200 cm³, une longueur de 30 cm et une largeur de 14 cm. Quelle est sa hauteur ?
1
\(V = L \times \ell \times h\), donc \(h = \dfrac{V}{L \times \ell}\).
2
Aire de la base : \(L \times \ell = 30 \times 14 = 420\,\text{cm}^2\).
Un tube de 2 m de long doit contenir 1 L. Quel rayon intérieur lui donner ?
1
Même unité : \(1\,\text{L} = 1\,000\,\text{cm}^3\) et \(2\,\text{m} = 200\,\text{cm}\).
2
\(r = \sqrt{\dfrac{V}{\pi h}} = \sqrt{\dfrac{1\,000}{\pi \times 200}} \approx \sqrt{1{,}5915} \approx \mathbf{1{,}26\,\text{cm}}\), soit un diamètre intérieur d'environ 25 mm.
3
Contrôle : \(\pi \times 1{,}26^2 \times 200 \approx 998\,\text{cm}^3\), soit environ 1 L ✔ (le petit écart vient de l'arrondi de \(r\)).
Toujours contrôler en revenant. Une dimension retrouvée se vérifie en refaisant le calcul direct : on recalcule le volume avec la dimension trouvée, et l'on doit retomber sur celui de l'énoncé. Ce contrôle ne coûte qu'une ligne.
Application — Retrouver une dimension
a) Un caisson en forme de pavé droit a un volume de 840 cm³, une longueur de 20 cm et une largeur de 7 cm. Calculer sa hauteur. b) Un flacon cylindrique a un volume de 1 250 cm³ et un rayon de 8 cm. Calculer sa hauteur, arrondie au dixième. c) Un récipient cylindrique de 40 cm de haut doit contenir 5 L. Calculer son rayon intérieur, arrondi au dixième, puis contrôler.
a) \(L \times \ell = 20 \times 7 = 140\,\text{cm}^2\), donc \(h = \dfrac{840}{140} = \mathbf{6\,\text{cm}}\). Contrôle : \(20 \times 7 \times 6 = 840\,\text{cm}^3\) ✔ b) \(\pi r^2 = \pi \times 64 = 64\pi\), donc \(h = \dfrac{1\,250}{64\pi} \approx \mathbf{6{,}2\,\text{cm}}\). Contrôle : \(\pi \times 64 \times 6{,}2 \approx 1\,247\,\text{cm}^3\) ✔ (écart dû à l'arrondi de \(h\)). c) \(5\,\text{L} = 5\,000\,\text{cm}^3\). \(r = \sqrt{\dfrac{5\,000}{\pi \times 40}} \approx \sqrt{39{,}79} \approx \mathbf{6{,}3\,\text{cm}}\). Contrôle : \(\pi \times 6{,}3^2 \times 40 \approx 4\,988\,\text{cm}^3\), soit environ 5 L ✔
9. Agrandir, réduire : k, k², k³ (C6)
🏠 Situation professionnelle — Changer d'échelle
Un modèle de pièce est fabriqué à l'échelle 1/5 (réduction par 5). Comment les longueurs, les surfaces et les volumes varient-ils entre le modèle et la réalité ?
Coefficient d'agrandissement ou de réduction :
\[k = \dfrac{\text{longueur de l'image}}{\text{longueur d'origine}}\]
\(k > 1\) : agrandissement. \(0 < k < 1\) : réduction. Une maquette au 1/25 a pour coefficient \(k = \dfrac{1}{25}\).
À retenir — Chaque grandeur a son exposant :
Grandeur
Multipliée par
Exemple avec k = 3
Longueurs, périmètres, hauteurs
\(k\)
longueurs × 3
Aires, surfaces peintes
\(k^2\)
aires × 9
Volumes, contenances, masses
\(k^3\)
volumes × 27
Pourquoi ? Une aire est le produit de deux longueurs, un volume de trois. Chacune étant multipliée par \(k\), l'aire l'est par \(k \times k\) et le volume par \(k \times k \times k\).
Attention : si \(k = 2\) (on double les longueurs), on ne double pas les aires, on les multiplie par 4. Et les volumes sont multipliés par 8. Une cuve « deux fois plus grande » contient huit fois plus.
Aire ou volume : la question à se poser. « Combien de litres contient… ? », « quelle quantité de béton… ? » → volume, en cm³, m³ ou L, coefficient \(k^3\). « Combien de peinture pour recouvrir… ? », « combien d'isolant sur la paroi… ? » → aire, en cm² ou m², coefficient \(k^2\). L'unité de la réponse indique laquelle des deux on a calculée.
Exemple 1 — Modèle réduit au 1/5
Une salle de bain réelle : 3 m × 2 m × 2,5 m. Dimensions et volume du modèle au 1/5 ?
Application — Effet d'une réduction sur une surface
Un meuble est fabriqué à l'échelle 1/10 pour une maquette. Sa surface de façade réelle est de 0,6 m². Quelle est la surface de la façade sur la maquette ?
\(k = \dfrac{1}{10}\) → les aires sont multipliées par \(k^2 = \dfrac{1}{100}\).
Surface maquette : \(0{,}6 \times \dfrac{1}{100} = \mathbf{0{,}006\,\text{m}^2} = 60\,\text{cm}^2\).
Application — Effet d'un agrandissement sur le volume
Un tabouret prototype a un volume de 9 L. On fabrique le modèle définitif en multipliant toutes ses dimensions par \(k = 3\). Quel est le volume du modèle définitif ?
Quand les longueurs sont multipliées par \(k = 3\), les volumes sont multipliés par \(k^3 = 3^3 = 27\).
Nouveau volume : \(9 \times 27 = \mathbf{243\,\text{L}}\). On ne multiplie surtout pas par 3 : un objet « 3 fois plus grand » contient 27 fois plus de matière.
Remonter à k : ce qu'on sait faire, et ce qu'on ne fait pas
On connaît parfois le rapport des volumes, ou des aires, et l'on cherche \(k\). C'est le sens inverse, et il faut savoir où il s'arrête.
À retenir — Pour les volumes, on reconnaît un cube :
\(k\)
2
3
4
5
10
20
\(k^3\)
8
27
64
125
1 000
8 000
\(k^3 = 8 \Rightarrow k = 2\) ; \(k^3 = 27 \Rightarrow k = 3\) ; \(k^3 = 1\,000 \Rightarrow k = 10\). On ne calcule rien : on reconnaît un nombre dont on connaît le cube.
Ce qu'on ne fait pas en Seconde Bac Pro. Si le rapport des volumes n'est pas un cube de la table (\(k^3 = 2\), \(k^3 = 29{,}84\)…), aucun outil du programme ne permet de trouver \(k\). Cette question ne sera pas posée, ni en exercice ni en évaluation.
Exemple — Deux cuves semblables
Une cuve contient 125 L ; une autre, semblable, contient 1 000 L.
1
Rapport des volumes : \(k^3 = \dfrac{1\,000}{125} = 8\), donc \(k = 2\).
2
La grande cuve est deux fois plus haute que la petite, et sa surface à peindre est \(k^2 = 4\) fois plus grande, pas huit.
3
Contrôle : \(2^3 = 8\) ✔ On revient toujours au rapport de départ en élevant \(k\) au cube.
Pour les aires, on prend la racine carrée : si l'on connaît le rapport des aires, \(k^2 = 9 \Rightarrow k = \sqrt{9} = 3\). La racine carrée est au programme : cela marche même quand le nombre n'est pas un carré parfait, la calculatrice donne la racine.
Application — Retrouver k
a) Deux réservoirs semblables contiennent 30 L et 810 L. Calculer le rapport des volumes, puis en déduire \(k\). b) Deux plaques semblables ont pour aires 3 m² et 48 m². En déduire \(k\). c) Deux bidons semblables contiennent 4 L et 12 L. Peut-on trouver \(k\) avec les outils de Seconde ? Justifier.
a) \(k^3 = \dfrac{810}{30} = 27 = 3^3\), donc \(\mathbf{k = 3}\). Contrôle : \(3^3 = 27\) ✔ b) \(k^2 = \dfrac{48}{3} = 16\), donc \(k = \sqrt{16} = \mathbf{4}\). c) \(k^3 = \dfrac{12}{4} = 3\). 3 n'est pas dans la table des cubes : on ne peut pas trouver \(k\) avec les outils de Seconde. Cette question ne se pose pas.
10. Calculer des volumes en série au tableur (C8)
Un métré, ce n'est jamais un seul volume : c'est une liste d'ouvrages. Le calcul est le même à chaque ligne : c'est exactement ce qu'un tableur sait faire.
Méthode — Trois colonnes de saisie, deux de calcul :
Pour des semelles de fondation, on saisit la longueur, la largeur et la profondeur, puis on écrit en ligne 2 :
Cellule
Formule
Rôle
D2
=A2*B2*C2
volume de la semelle (m³)
E2
=ARRONDI.SUP(D2/5;0)
nombre de toupies de 5 m³
ARRONDI.SUP(x;0) donne le premier entier au-dessus de \(x\) : c'est la règle du nombre de toupies. On écrit les deux formules en ligne 2, puis on les recopie vers le bas : le tableur adapte seul les numéros de ligne (=A3*B3*C3 en D3, etc.).
Exemple — Quatre semelles d'un coup
A
B
C
D
E
1
L (m)
ℓ (m)
h (m)
V (m³)
toupies
2
12
0,5
0,4
2,4
1
3
18
0,6
0,5
5,4
2
4
9
0,4
0,35
1,26
1
5
24
0,6
0,45
6,48
2
La colonne D donne le volume de chaque semelle, la colonne E le nombre de toupies. Le total des volumes se lit d'une formule de plus : =SOMME(D2:D5), qui affiche 15,54 m³.
Pourquoi on ne fait pas la somme de la colonne E : \(1 + 2 + 1 + 2 = 6\) toupies si chaque semelle est coulée séparément. Mais si les quatre sont coulées le même jour, on commande \(15{,}54 \div 5 = 3{,}108\), soit 4 toupies. Le tableur calcule les deux ; c'est le conducteur de travaux qui décide quelle colonne il lit.
Application — Lire et compléter un métré
Un métreur a saisi trois dalles et recopié ses deux formules de la ligne 2 jusqu'à la ligne 4.
A
B
C
D
E
1
L (m)
ℓ (m)
h (m)
V (m³)
toupies
2
8
5
0,15
3
12
3
0,2
4
5
4
0,12
a) Quelles formules se trouvent en D3 et en E3 après la recopie ? b) Compléter les colonnes D et E (une toupie livre 5 m³). c) Quelle formule donne le volume total ? Combien de toupies faut-il si les trois dalles sont coulées en une fois ?
a) D3 : =A3*B3*C3 ; E3 : =ARRONDI.SUP(D3/5;0). b) D2 = 6 et E2 = 2 ; D3 = 7,2 et E3 = 2 ; D4 = 2,4 et E4 = 1. c)=SOMME(D2:D4) affiche 15,6 m³. En une fois : \(15{,}6 \div 5 = 3{,}12\), donc 4 toupies (et non \(2 + 2 + 1 = 5\)).
11. Animation — Effets d'un agrandissement sur les grandeurs
🎮 Simulation interactive — Agrandis ou réduis un cylindre et observe les effets
Le cylindre de référence a r₀ = 3 cm et h₀ = 8 cm. Fais varier k et observe comment les longueurs, les aires et le volume évoluent. Les deux cylindres sont toujours dessinés à la même échelle : la comparaison visuelle est donc fidèle.
12. Erreurs fréquentes
❌
Confondre aire et volume (unités)
L'aire s'exprime en m² ou cm² (surface), le volume en m³, cm³ ou L (espace). Certains élèves donnent un volume en cm² ou une aire en cm³, révélant une confusion entre les deux notions. Conseil : aire → unité au carré (m², cm²) ; volume → unité au cube (m³, cm³). Vérifier l'unité demandée dans la question avant de répondre.
❌
Utiliser la mauvaise formule de volume (cône confondu avec pyramide ou cylindre)
Le volume du cylindre est \(\pi r^2 h\), celui du cône est \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\) et celui de la pyramide est \(\frac{1}{3} \mathcal{A}_{\text{base}} \times h\). Certains élèves mélangent ces formules ou oublient le \(\frac{1}{3}\). Conseil : le facteur \(\frac{1}{3}\) apparaît pour les solides « à pointe » (cône et pyramide). À base et hauteur identiques, leur volume est le tiers de celui du cylindre ou du pavé correspondant.
❌
Confondre rayon et diamètre
Pour un cylindre ou une boule, l'énoncé donne parfois le diamètre. Certains élèves utilisent directement le diamètre dans les formules à la place du rayon, faussant le résultat (le multipliant par 4 pour un cylindre, par 8 pour une boule). Conseil : rayon = diamètre ÷ 2. Toujours vérifier ce que donne l'énoncé avant de substituer dans la formule.
❌
Mal identifier la hauteur d'un solide
La hauteur d'un pavé droit ou d'un cylindre est la distance entre les deux bases, perpendiculaire à celles-ci. Certains élèves confondent la hauteur avec un côté latéral ou une arête oblique. Conseil : la hauteur est toujours perpendiculaire à la base. Sur un schéma en perspective, elle est souvent représentée verticalement. Si le solide est incliné, la hauteur n'est pas un côté visible.
❌
Arrondir un nombre de contenants au plus proche
\(7{,}2 \div 6 = 1{,}2\) toupie : arrondir à 1 laisse la dalle inachevée. Le béton entamé ne se rattrape pas le lendemain. Conseil : pour un nombre de contenants à commander, on arrondit toujours à l'entier supérieur.
❌
Prendre le rapport des volumes pour k
Deux cuves semblables de 125 L et 1 000 L : le rapport des volumes vaut 8, mais \(k = 2\), car \(2^3 = 8\). Conseil : une fois \(k\) trouvé, l'élever au cube et vérifier qu'on retombe sur le rapport des volumes.
Pour aller plus loin (relations fournies, non évalué) : prisme droit \(V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times L\) ; aire latérale d'un cylindre \(2\pi r h\).
Conversions : 1 m³ = 1 000 L | 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³ | entre deux unités de volume voisines, facteur 1 000.
Solide composé : on découpe en solides usuels, puis on additionne (ou on soustrait la partie creusée).
Exploiter un volume : nombre de contenants à commander → arrondi à l'entier supérieur ; masse \(m = \rho \times V\) (\(\rho\) fournie) ; prix = quantité × prix unitaire.
Retrouver une dimension : \(h = \dfrac{V}{L \times \ell}\) (pavé) | \(h = \dfrac{V}{\pi r^2}\) et \(r = \sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}\) (cylindre) ; contrôle par le calcul direct.
Agrandissement ×k : longueurs ×k | aires ×k² | volumes ×k³. Remonter à k : rapport des aires → racine carrée ; rapport des volumes → cube reconnaissable (8, 27, 64, 125, 1 000).
Tableur :=A2*B2*C2 et =ARRONDI.SUP(D2/5;0) écrites une fois, puis recopiées ; le total par =SOMME(D2:D5).