Reconnaître les configurations de Thalès (directe et papillon)
Appliquer l'égalité des rapports pour calculer une longueur
Utiliser la réciproque du théorème de Thalès pour démontrer un parallélisme
Résoudre des problèmes géométriques en situation professionnelle
1. Configuration de Thalès
🏠 Situation professionnelle — Réduire un plan
Un agenceur dispose d'un plan au 1/50. Il doit calculer les dimensions réelles d'une cloison qui mesure 8,4 cm sur le plan. Le théorème de Thalès permet de modéliser les agrandissements et réductions de façon rigoureuse.
Configuration de Thalès :
On dispose d'un triangle ABC et d'une droite coupant les côtés (AB) et (AC) respectivement en D et E, avec DE ∥ BC.
D est sur [AB], E est sur [AC], et D ≠ A, E ≠ A.
2. Théorème de Thalès
Théorème de Thalès :
Si DE ∥ BC (avec D sur [AB], E sur [AC]), alors :
\[\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}\]
Les trois rapports sont égaux. On dit que D et E divisent AB et AC dans le même rapport.
Attention — L'ordre des points est crucial :
Toujours écrire les rapports dans le même sens : petit segment / grand segment (ex. \(\dfrac{AD}{AB}\)).
Méthode — Calculer une longueur inconnue :
Identifier les droites parallèles (DE ∥ BC).
Écrire l'égalité des trois rapports.
Utiliser le rapport qui contient l'inconnue et un autre rapport connu.
Résoudre l'équation (produit en croix).
Exemple 1 — Calculer DE
Dans un triangle ABC, DE ∥ BC avec AD = 3, AB = 5, BC = 8. Calculer DE.
Dans un triangle ABC, DE ∥ BC avec AD = 6, AB = 10 et BC = 15. Calculer DE.
Théorème de Thalès : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\)
\(\dfrac{6}{10} = \dfrac{DE}{15} \Rightarrow DE = \dfrac{6 \times 15}{10} = \dfrac{90}{10} = \mathbf{9\,\text{cm}}\).
Exemple 2 — Calculer AB
Dans un triangle ABC, DE ∥ BC avec AD = 4, AE = 6, AC = 15. Calculer AB.
1
Thalès : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\)
2
\(\dfrac{4}{AB} = \dfrac{6}{15}\)
3
Produit en croix : \(6 \times AB = 4 \times 15 = 60 \Rightarrow AB = \mathbf{10\,\text{cm}}\)
3. Réciproque du théorème de Thalès
Réciproque :
Si dans un triangle ABC, D est un point de [AB] et E un point de [AC] tels que :
\[\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\]
alors la droite (DE) est parallèle à (BC).
Exemple — Vérifier si deux droites sont parallèles
Dans un triangle, AD = 5, AB = 10, AE = 7, AC = 14. Les droites (DE) et (BC) sont-elles parallèles ?
1
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5\)
2
\(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{7}{14} = 0{,}5\)
3
Les rapports sont égaux → (DE) ∥ (BC) d'après la réciproque de Thalès.
Application
Sur un plan au 1/20, une cloison mesure 14,5 cm. Quelle est sa longueur réelle en mètres ?
Effets sur les longueurs :
Si toutes les longueurs sont multipliées par \(k\), la figure est agrandie (ou réduite) de rapport \(k\). C'est directement une conséquence de Thalès.
Exemple — Agrandissement d'un meuble sur plan
Un meuble mesure 120 cm × 80 cm. On dessine sa projection au 1/20. Quelles sont les dimensions sur le dessin ?
1
Rapport : \(k = 1/20\)
2
Longueur sur dessin : \(120 \times \frac{1}{20} = \mathbf{6\,\text{cm}}\)
3
Largeur sur dessin : \(80 \times \frac{1}{20} = \mathbf{4\,\text{cm}}\)
Application — Théorème de Thalès
Dans un triangle ABC, D est sur [AB] et E sur [AC] avec \((DE) \parallel (BC)\).
On donne : \(AD = 4\,\text{cm}\), \(AB = 10\,\text{cm}\), \(DE = 6\,\text{cm}\). Calculer BC.
Par le théorème de Thalès : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\)
\(\dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{BC} \Rightarrow BC = \dfrac{6 \times 10}{4} = \mathbf{15\,\text{cm}}\)
5. Animation — Explorer la configuration de Thalès
🎮 Simulation interactive — Déplace D sur [AB] et observe les rapports
Le point D se déplace sur [AB]. La droite DE reste parallèle à BC. Les trois rapports AD/AB, AE/AC, DE/BC sont toujours égaux.
6. Erreurs fréquentes
❌
Appliquer Thalès sans vérifier que les droites sont parallèles
Le théorème de Thalès exige que (DE) soit parallèle à (BC). Si ce n'est pas indiqué ou vérifié, l'égalité des rapports n'est pas garantie. Conseil : avant d'écrire les rapports, toujours vérifier que la figure comporte bien deux droites parallèles. L'énoncé doit mentionner "(DE) ∥ (BC)" ou montrer des flèches de parallélisme.
❌
Inverser numérateur et dénominateur dans les rapports
Certains élèves écrivent \(\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}\) au lieu de \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\). Les deux écritures sont équivalentes mais le mélange dans un même calcul produit des erreurs. Conseil : être cohérent dans l'écriture des rapports. Toujours placer les petites longueurs (issues de D et E) au numérateur, ou toujours au dénominateur — mais pas les deux à la fois.
❌
Confondre le théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès permet de calculer une longueur (les droites sont connues parallèles). La réciproque permet de démontrer que deux droites sont parallèles (en vérifiant l'égalité des rapports). Certains élèves les mélangent. Conseil : si la question demande de calculer une longueur → utiliser le théorème. Si la question demande de démontrer un parallélisme → utiliser la réciproque.
❌
Erreur dans le produit en croix pour trouver l'inconnue
À partir de \(\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}\), certains élèves font des erreurs dans l'isolement de l'inconnue, par exemple en divisant au lieu de multiplier ou en croisant les mauvais termes. Conseil : le produit en croix donne \(AD \times BC = AB \times DE\). Isoler l'inconnue en divisant par le coefficient qui lui est associé. Vérifier que le résultat est cohérent (le petit segment doit être plus court que le grand).