reconnaître des droites parallèles et des triangles ;
calculer avec des rapports égaux (produit en croix) ;
identifier, dans une figure, les longueurs qui se correspondent.
Objectifs du chapitre :
Reconnaître les configurations de Thalès : la configuration triangle et la configuration papillon
Appliquer l'égalité des rapports pour calculer une longueur
Utiliser la réciproque du théorème de Thalès pour démontrer un parallélisme
Lire une échelle dans les deux sens et déterminer les effets d'un agrandissement ou d'une réduction sur les longueurs, les aires et les volumes
Résoudre des problèmes géométriques en situation professionnelle (plans, maquettes, hauteurs inaccessibles)
1. Configuration de Thalès
🏠 Situation professionnelle — Réduire un plan
Un agenceur dispose d'un plan au 1/50. Il doit calculer les dimensions réelles d'une cloison qui mesure 8,4 cm sur le plan. Le théorème de Thalès permet de modéliser les agrandissements et réductions de façon rigoureuse.
Configuration de Thalès :
On dispose d'un triangle ABC et d'une droite coupant les côtés (AB) et (AC) respectivement en D et E, avec DE ∥ BC.
D est sur [AB], E est sur [AC], et D ≠ A, E ≠ A.
2. Théorème de Thalès
Théorème de Thalès :
Si DE ∥ BC (avec D sur [AB], E sur [AC]), alors :
\[\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}\]
Les trois rapports sont égaux. On dit que D et E divisent AB et AC dans le même rapport.
Attention — L'ordre des points est crucial :
Respecter la correspondance des sommets : les longueurs issues d'un même sommet se correspondent (\(\dfrac{AD}{AB}\), \(\dfrac{AE}{AC}\), \(\dfrac{DE}{BC}\)).
Les lettres changent, la structure ne change pas.
Un énoncé peut parler d'un triangle \(RST\) avec \((UV) \parallel (ST)\), ou d'un triangle \(OAB\) avec \((CD) \parallel (AB)\). Il faut d'abord repérer le sommet commun (celui d'où partent les deux droites sécantes), puis écrire les rapports à partir de ce sommet. Par exemple, avec le sommet \(R\), \(U \in [RS]\), \(V \in [RT]\) et \((UV) \parallel (ST)\) :
\[\frac{RU}{RS} = \frac{RV}{RT} = \frac{UV}{ST}\]
Une quatrième égalité utile (les « morceaux ») :
Si \((DE) \parallel (BC)\), alors on a aussi
\[\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\]
On compare cette fois le morceau du haut au morceau du bas sur chacun des deux côtés. Cette écriture est pratique quand l'énoncé donne \(AD\) et \(DB\) (et non \(AB\)). Mais attention : ce rapport \(\dfrac{AD}{DB}\) n'est pas égal à \(\dfrac{DE}{BC}\). Dès qu'on veut atteindre \(DE\) ou \(BC\), on repasse par les côtés entiers : \(AB = AD + DB\), puis \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\).
Exemple — Utiliser les morceaux \(\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}\)
Dans un triangle ABC, \((DE) \parallel (BC)\) avec D sur [AB] et E sur [AC]. On donne AD = 6 cm, DB = 9 cm et AE = 8 cm. Calculer EC.
1
Les deux morceaux de chaque côté se correspondent : \(\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}\)
2
\(\dfrac{6}{9} = \dfrac{8}{EC}\)
3
Produit en croix : \(6 \times EC = 9 \times 8 = 72\), donc \(EC = \dfrac{72}{6} = \mathbf{12\,\text{cm}}\)
Vérification par les côtés entiers
\(AB = 6 + 9 = 15\) cm et \(AC = 8 + 12 = 20\) cm. On retrouve bien \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}\) et \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5}\) ✔ Les deux chemins donnent le même résultat.
Méthode — Calculer une longueur inconnue :
Identifier les droites parallèles (DE ∥ BC).
Écrire l'égalité des trois rapports.
Utiliser le rapport qui contient l'inconnue et un autre rapport connu.
Résoudre l'équation (produit en croix).
Exemple 1 — Calculer DE
Dans un triangle ABC, DE ∥ BC avec AD = 3, AB = 5, BC = 8. Calculer DE.
Dans un triangle ABC, DE ∥ BC avec AD = 6, AB = 10 et BC = 15. Calculer DE.
Théorème de Thalès : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\)
\(\dfrac{6}{10} = \dfrac{DE}{15} \Rightarrow DE = \dfrac{6 \times 15}{10} = \dfrac{90}{10} = \mathbf{9\,\text{cm}}\).
Exemple 2 — Calculer AB
Dans un triangle ABC, DE ∥ BC avec AD = 4, AE = 6, AC = 15. Calculer AB.
1
Thalès : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\)
2
\(\dfrac{4}{AB} = \dfrac{6}{15}\)
3
Produit en croix : \(6 \times AB = 4 \times 15 = 60 \Rightarrow AB = \mathbf{10\,\text{cm}}\)
Exemple 3 — Calculer la base BC (soigner la correspondance des sommets)
Dans un triangle ABC, DE ∥ BC avec D sur [AB] et E sur [AC]. On donne AD = 4,5 cm, AB = 7,2 cm et DE = 5,4 cm. Calculer la base BC.
1
On range les longueurs par sommet de départ : AD et AB partent de A le long de [AB] ; DE et BC sont les deux droites parallèles. Le rapport utile est donc \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\) — surtout pas \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{BC}{DE}\).
2
\(\dfrac{4{,}5}{7{,}2} = \dfrac{5{,}4}{BC}\)
3
Produit en croix : \(4{,}5 \times BC = 7{,}2 \times 5{,}4 = 38{,}88\)
BC = 8,64 cm est bien plus grand que DE = 5,4 cm, ce qui est logique car BC est le grand côté (D et E sont entre A et la base). Rapport : 4,5/7,2 = 0,625 et 5,4/8,64 = 0,625 ✔
Application
Dans un triangle ABC, DE ∥ BC avec D sur [AB] et E sur [AC]. On donne AD = 2,8 cm, AB = 4,2 cm et BC = 9 cm. Calculer DE.
Théorème de Thalès : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\)
\(\dfrac{2{,}8}{4{,}2} = \dfrac{DE}{9} \Rightarrow DE = \dfrac{2{,}8 \times 9}{4{,}2} = \dfrac{25{,}2}{4{,}2} = \mathbf{6\,\text{cm}}\).
Vérification : DE = 6 cm est bien plus court que BC = 9 cm ✔
La configuration « papillon »
Dans tout ce qui précède, le sommet commun A était en dehors des deux droites parallèles : la droite (DE) coupait le triangle. Mais il arrive très souvent, sur un plan ou sur un chantier, que le sommet commun se trouve entre les deux parallèles : deux routes, deux canalisations, deux visées qui se croisent en un point O. La figure obtenue ressemble à un nœud papillon — d'où son nom. Le théorème est le même, seule l'allure de la figure change.
Configuration papillon :
Deux droites sécantes se coupent en O. Sur la première, on place M et P de part et d'autre de O ; sur la seconde, N et Q de part et d'autre de O. Si (MN) ∥ (PQ), on est dans une configuration papillon de sommet O.
Configuration papillon : O est le sommet commun, (MN) ∥ (PQ). Le triangle OMN est une réduction du triangle OPQ — ici de rapport \(\tfrac{2}{3}\), et la figure est tracée exactement dans ce rapport.
Théorème de Thalès dans la configuration papillon :
Si (MN) ∥ (PQ), avec O intersection de (MP) et (NQ), alors :
\[\frac{OM}{OP} = \frac{ON}{OQ} = \frac{MN}{PQ}\]
C'est exactement la même égalité que dans le triangle : les longueurs se mesurent toujours à partir du sommet commun O.
La réciproque (§3) fonctionne aussi de la même façon : si \(\dfrac{OM}{OP} = \dfrac{ON}{OQ}\) et si M, P sont de part et d'autre de O comme N, Q, alors (MN) ∥ (PQ).
Prolongement : le programme officiel de Seconde Bac Pro (BO 2019) cite « le théorème de Thalès dans le triangle ». La configuration papillon en est le prolongement immédiat (les deux triangles OMN et OPQ se déduisent l'un de l'autre) et le module Automatismes demande de « reconnaître les configurations de Thalès ». Elle est mobilisée dans les exercices du chapitre : il faut savoir la repérer et l'utiliser.
Méthode — Reconnaître la bonne configuration :
Repérer le point commun aux deux droites sécantes (A, O, R… peu importe la lettre).
Regarder où il se trouve : en dehors des deux parallèles → configuration triangle ; entre les deux parallèles → configuration papillon.
Dans les deux cas, écrire les trois rapports en partant du sommet commun.
Exemple — Calculer dans un papillon
Au-dessus d'une scène de spectacle, deux câbles porteurs rectilignes se croisent en O. On mesure OM = 3 m, OP = 4 m et MN = 5,4 m, avec (MN) ∥ (PQ). Calculer PQ.
1
Sommet commun O, (MN) ∥ (PQ) : \(\dfrac{OM}{OP} = \dfrac{MN}{PQ}\)
2
\(\dfrac{3}{4} = \dfrac{5{,}4}{PQ}\)
3
Produit en croix : \(3 \times PQ = 4 \times 5{,}4 = 21{,}6\), donc \(PQ = \dfrac{21{,}6}{3} = \mathbf{7{,}2\,\text{m}}\)
Vérification
Rapport : \(3 \div 4 = 0{,}75\) et \(5{,}4 \div 7{,}2 = 0{,}75\) ✔ Comme OP > OM, le second triangle est plus grand : PQ = 7,2 m doit bien être plus long que MN = 5,4 m ✔
Application — Configuration papillon
Dans un jardin public, deux allées rectilignes se croisent en O. On relève : OM = 4,5 m, OP = 9 m, ON = 6,4 m et MN = 5,6 m. On sait que (MN) ∥ (PQ).
Calculer OQ, puis PQ.
Sommet commun O, (MN) ∥ (PQ) : \(\dfrac{OM}{OP} = \dfrac{ON}{OQ} = \dfrac{MN}{PQ}\).
Rapport connu : \(\dfrac{OM}{OP} = \dfrac{4{,}5}{9} = \dfrac{1}{2}\).
\(\dfrac{6{,}4}{OQ} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow OQ = 6{,}4 \times 2 = \mathbf{12{,}8\,\text{m}}\).
\(\dfrac{5{,}6}{PQ} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow PQ = 5{,}6 \times 2 = \mathbf{11{,}2\,\text{m}}\).
Vérification : OQ et PQ sont bien 2 fois plus grands que ON et MN ✔
3. Réciproque du théorème de Thalès
Au-delà du programme : le programme officiel de Seconde Bac Pro (BO 2019) mentionne la réciproque pour le théorème de Pythagore, pas explicitement pour le théorème de Thalès. Cette section est un enrichissement qui prolonge le même raisonnement logique (comparer un rapport pour conclure à un parallélisme, comme on compare des carrés pour conclure à un angle droit).
Réciproque :
Si dans un triangle ABC, D est un point de [AB] et E un point de [AC] tels que :
\[\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\]
alors la droite (DE) est parallèle à (BC).
Exemple — Vérifier si deux droites sont parallèles
Dans un triangle, AD = 5, AB = 10, AE = 7, AC = 14. Les droites (DE) et (BC) sont-elles parallèles ?
1
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5\)
2
\(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{7}{14} = 0{,}5\)
3
Les rapports sont égaux → (DE) ∥ (BC) d'après la réciproque de Thalès.
Méthode — Démontrer un parallélisme avec la réciproque :
Reconstituer les longueurs complètes issues du sommet A : si on donne AD et DB, alors AB = AD + DB (de même AC = AE + EC).
Calculer séparément les deux rapports \(\dfrac{AD}{AB}\) et \(\dfrac{AE}{AC}\).
Comparer : s'ils sont égaux → les droites sont parallèles ; s'ils sont différents → elles ne le sont pas.
Exemple — Réciproque quand on donne AD et DB
Dans un triangle ABC, D est sur [AB] et E sur [AC]. On donne AD = 3,6 cm et DB = 2,4 cm ; AE = 4,8 cm et EC = 3,2 cm. Les droites (DE) et (BC) sont-elles parallèles ?
1
On reconstitue les côtés entiers : \(AB = AD + DB = 3{,}6 + 2{,}4 = 6\,\text{cm}\) et \(AC = AE + EC = 4{,}8 + 3{,}2 = 8\,\text{cm}\).
2
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{3{,}6}{6} = 0{,}6\)
3
\(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{4{,}8}{8} = 0{,}6\)
4
Les deux rapports sont égaux → (DE) ∥ (BC) d'après la réciproque de Thalès.
Vérification
Erreur classique évitée : il fallait diviser par AB = 6 (le côté entier), pas par DB = 2,4. Comparer AD/DB et AE/EC donnerait 1,5 = 1,5 et conduirait aussi à la bonne conclusion, mais ce n'est pas l'écriture de la réciproque : on compare toujours les longueurs issues de A sur les côtés entiers. ✔
Application — Réciproque de Thalès
Dans un triangle ABC, D est sur [AB] et E sur [AC]. On donne AD = 2 cm et DB = 3 cm ; AE = 3 cm et EC = 4,5 cm. Démontrer que (DE) ∥ (BC).
On reconstitue : \(AB = 2 + 3 = 5\,\text{cm}\) et \(AC = 3 + 4{,}5 = 7{,}5\,\text{cm}\).
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\) et \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{3}{7{,}5} = 0{,}4\).
Les deux rapports sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, (DE) ∥ (BC).
4. Applications professionnelles
Proportionnalité dans les plans et maquettes
📐 Lecture d'un plan au 1/50
Sur un plan à l'échelle 1/50, une cloison mesure 8,4 cm. Quelle est sa longueur réelle ?
Exemple — Calcul à l'échelle
Plan au 1/50. Cloison sur le plan : 8,4 cm. Longueur réelle ?
1
Rapport d'échelle : \(\dfrac{\text{plan}}{\text{réel}} = \dfrac{1}{50}\)
Méthode — Les deux sens de lecture d'une échelle \(\dfrac{1}{n}\) :
Du plan vers le réel : longueur réelle = longueur sur le plan \(\times\, n\) (on agrandit).
Du réel vers le plan : longueur sur le plan = longueur réelle \(\div\, n\) (on réduit).
Vérification de bon sens : la longueur réelle est toujours la plus grande des deux.
Application — Lire un plan dans les deux sens
a) Sur un plan au 1/20, une cloison mesure 14,5 cm. Quelle est sa longueur réelle, en mètres ? b) Sur ce même plan au 1/20, quelle longueur représente une baie vitrée réelle de 3,30 m ?
a) Du plan vers le réel, on multiplie par 20 : \(14{,}5 \times 20 = 290\,\text{cm} = \mathbf{2{,}90\,\text{m}}\). b) Du réel vers le plan, on divise par 20 : \(3{,}30\,\text{m} = 330\,\text{cm}\), donc \(330 \div 20 = \mathbf{16{,}5\,\text{cm}}\) sur le plan.
Mesurer une hauteur grâce aux ombres
Le Soleil est si loin que ses rayons arrivent sur un chantier parallèles entre eux. Un objet vertical et son ombre forment donc un triangle rectangle, et deux objets voisins donnent deux triangles dont les côtés sont dans le même rapport : c'est une configuration de Thalès de sommet le bout de l'ombre.
Les deux rayons ont la même inclinaison : les triangles « objet + ombre » ont donc les mêmes proportions. Figure à l'échelle (20 px pour 1 m).
Exemple — Hauteur d'un arbre par son ombre
Un panneau vertical de 2 m de haut projette une ombre de 1,5 m. À côté, un arbre projette une ombre de 4,2 m. Quelle est la hauteur de l'arbre ?
1
Les rayons du soleil sont parallèles : les hauteurs et les ombres sont proportionnelles.
Deux écritures, un seul calcul. On peut aussi comparer, pour chaque objet, sa hauteur à son ombre :
\[\frac{h_{\text{panneau}}}{\text{ombre panneau}} = \frac{h_{\text{arbre}}}{\text{ombre arbre}} \qquad \frac{2}{1{,}5} = \frac{h_{\text{arbre}}}{4{,}2}\]
On retrouve \(h_{\text{arbre}} = 4{,}2 \times \dfrac{2}{1{,}5} = 5{,}6\) m. Les deux écritures sont correctes ; ce qu'il ne faut jamais faire, c'est mélanger les deux (par exemple \(\dfrac{h_{\text{panneau}}}{h_{\text{arbre}}} = \dfrac{\text{ombre arbre}}{\text{ombre panneau}}\)).
Application — Ombre d'un lampadaire
En fin d'après-midi, un lampadaire projette une ombre de 6 m. Au même instant, un piquet vertical de 1,20 m planté à côté projette une ombre de 0,90 m. Les rayons du soleil étant parallèles, calculer la hauteur du lampadaire.
La hauteur et l'ombre sont proportionnelles (rayons parallèles) : \(\dfrac{h_{\text{lampadaire}}}{\text{ombre lampadaire}} = \dfrac{h_{\text{piquet}}}{\text{ombre piquet}}\)
\(\dfrac{h}{6} = \dfrac{1{,}20}{0{,}90} \Rightarrow h = \dfrac{6 \times 1{,}20}{0{,}90} = \dfrac{7{,}2}{0{,}90} = \mathbf{8\,\text{m}}\).
Vérification : 8 m > 1,20 m, cohérent car l'ombre du lampadaire (6 m) est bien plus longue que celle du piquet ✔
Mesurer une hauteur inaccessible par visée
Pour mesurer la hauteur d'un mur ou d'un poteau trop haut, on peut planter une mire (un piquet vertical de hauteur connue) entre l'œil de l'observateur et l'objet, puis aligner le regard : le sommet de la mire et le sommet de l'objet sont vus sur une même ligne. On obtient alors une configuration de Thalès directe de sommet A = l'œil de l'observateur.
Visée : A = œil au sol, D = pied de la mire, B = pied de l'objet. La mire (ED) et l'objet (CB) sont verticaux donc parallèles (ED ∥ CB).
Exemple — Hauteur d'un poteau par visée
Un observateur place son œil au ras du sol en A. Il plante une mire verticale de 1,60 m en D, telle que AD = 2,4 m. En reculant, il aligne le sommet de la mire avec le sommet du poteau ; le pied du poteau est en B, avec AB = 10,8 m. La mire (ED) et le poteau (CB) sont verticaux, donc parallèles. Calculer la hauteur BC du poteau.
1
Configuration directe de sommet A, avec ED ∥ CB : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{ED}{CB}\)
2
\(\dfrac{2{,}4}{10{,}8} = \dfrac{1{,}60}{CB}\)
3
Produit en croix : \(2{,}4 \times CB = 10{,}8 \times 1{,}60 = 17{,}28\)
Le poteau (7,2 m) est bien plus haut que la mire (1,60 m), comme attendu. Rapport : 2,4/10,8 ≈ 0,222 et 1,60/7,2 ≈ 0,222 ✔
Application — Hauteur d'un arbre par visée
Un technicien géomètre place son œil au ras du sol en A. Il plante une mire verticale de 1,50 m en D, avec AD = 3 m. En reculant, il aligne le sommet de la mire avec la cime de l'arbre ; le pied de l'arbre est en B, avec AB = 9 m. La mire (ED) et l'arbre (CB) sont verticaux, donc parallèles. Calculer la hauteur BC de l'arbre.
Configuration directe de sommet A, avec ED ∥ CB : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{ED}{CB}\)
\(\dfrac{3}{9} = \dfrac{1{,}50}{CB} \Rightarrow CB = \dfrac{9 \times 1{,}50}{3} = \dfrac{13{,}5}{3} = \mathbf{4{,}5\,\text{m}}\).
Vérification : l'arbre (4,5 m) est plus haut que la mire (1,50 m), cohérent ✔
Agrandissement et réduction
Rapport d'agrandissement/réduction :
\[k = \frac{\text{longueur image}}{\text{longueur originale}}\]
\(k > 1\) : agrandissement | \(0 < k < 1\) : réduction | \(k = 1\) : conservation Vocabulaire : deux figures dont toutes les longueurs sont dans un même rapport \(k\) sont dites semblables ; \(k\) s'appelle alors le coefficient de similitude. Le théorème de Thalès garantit précisément que le petit triangle ADE est semblable au grand triangle ABC — et, avec les ombres, que deux objets éclairés par les mêmes rayons donnent deux triangles semblables.
Effets sur les longueurs :
Si toutes les longueurs sont multipliées par \(k\), la figure est agrandie (ou réduite) de rapport \(k\). C'est directement une conséquence de Thalès.
Exemple — Agrandissement d'un meuble sur plan
Un meuble mesure 120 cm × 80 cm. On dessine sa projection au 1/20. Quelles sont les dimensions sur le dessin ?
1
Rapport : \(k = 1/20\)
2
Longueur sur dessin : \(120 \times \frac{1}{20} = \mathbf{6\,\text{cm}}\)
3
Largeur sur dessin : \(80 \times \frac{1}{20} = \mathbf{4\,\text{cm}}\)
Effets sur les aires et les volumes :
Multiplier toutes les longueurs par \(k\) ne multiplie pas tout par \(k\) :
Grandeur
Est multipliée par…
Exemple avec \(k = 3\)
Longueurs (côtés, périmètres)
\(k\)
\(\times\,3\)
Aires (surfaces)
\(k^2\)
\(\times\,9\)
Volumes
\(k^3\)
\(\times\,27\)
Pourquoi ? Une aire est un produit de deux longueurs : \((k\ell) \times (k\ell') = k^2 \times \ell\ell'\). Un volume est un produit de trois longueurs : d'où \(k^3\).
Attention — l'erreur la plus fréquente du chapitre : une pièce « deux fois plus grande » (\(k=2\)) n'a pas une surface deux fois plus grande, mais quatre fois plus grande, et un volume huit fois plus grand. C'est ce qui explique qu'un devis de peinture ou de matière n'est jamais proportionnel à la taille annoncée. Ces effets sont repris et travaillés en détail au chapitre 14.
Exemple — Une salle de soins sur un plan au 1/50
Sur le plan d'un cabinet de kinésithérapie, dressé au 1/50, une salle de soins mesure 11 cm × 7 cm. Calculer sa surface réelle, puis vérifier le rapport des aires.
Surface sur le plan : \(11 \times 7 = 77\,\text{cm}^2\). Or \(19{,}25\,\text{m}^2 = 192\,500\,\text{cm}^2\).
4
Rapport : \(\dfrac{77}{192\,500} = \dfrac{1}{2\,500} = \dfrac{1}{50^2}\) : les aires sont bien dans le rapport \(k^2\), pas \(k\). ✔
Application — Effet d'un agrandissement sur l'aire et le volume
La maquette d'un podium de remise des prix a la forme d'un pavé droit de 25 cm × 15 cm × 10 cm. Le podium réel sera 2 fois plus grand en toutes dimensions (\(k = 2\)). a) Donner les dimensions du podium réel. b) L'aire du plateau de la maquette est de 375 cm². Quelle est celle du podium réel ? c) Le volume de la maquette est de 3 750 cm³. Quel est celui du podium réel ?
a) \(25 \times 2 = 50\,\text{cm}\) ; \(15 \times 2 = 30\,\text{cm}\) ; \(10 \times 2 = \mathbf{20\,\text{cm}}\). b) Les aires sont multipliées par \(k^2 = 2^2 = 4\) : \(375 \times 4 = \mathbf{1\,500\,\text{cm}^2}\). Contrôle direct : \(50 \times 30 = 1\,500\,\text{cm}^2\) ✔ c) Les volumes sont multipliés par \(k^3 = 2^3 = 8\) : \(3\,750 \times 8 = \mathbf{30\,000\,\text{cm}^3}\). Contrôle direct : \(50 \times 30 \times 20 = 30\,000\,\text{cm}^3\) ✔
5. Animation — Explorer la configuration de Thalès
🎮 Simulation interactive — Déplace D sur [AB] et observe les rapports
Le point D se déplace sur [AB]. La droite DE reste parallèle à BC. Les trois rapports AD/AB, AE/AC, DE/BC sont toujours égaux.
6. Erreurs fréquentes
❌
Appliquer Thalès sans vérifier que les droites sont parallèles
Le théorème de Thalès exige que (DE) soit parallèle à (BC). Si ce n'est pas indiqué ou vérifié, l'égalité des rapports n'est pas garantie. Conseil : avant d'écrire les rapports, toujours vérifier que la figure comporte bien deux droites parallèles. L'énoncé doit mentionner "(DE) ∥ (BC)" ou montrer des flèches de parallélisme.
❌
Inverser numérateur et dénominateur dans les rapports
Certains élèves écrivent \(\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}\) au lieu de \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\). Les deux écritures sont équivalentes mais le mélange dans un même calcul produit des erreurs. Conseil : être cohérent dans l'écriture des rapports. Toujours placer les petites longueurs (issues de D et E) au numérateur, ou toujours au dénominateur — mais pas les deux à la fois.
❌
Confondre le théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès permet de calculer une longueur (les droites sont connues parallèles). La réciproque permet de démontrer que deux droites sont parallèles (en vérifiant l'égalité des rapports). Certains élèves les mélangent. Conseil : si la question demande de calculer une longueur → utiliser le théorème. Si la question demande de démontrer un parallélisme → utiliser la réciproque.
❌
Erreur dans le produit en croix pour trouver l'inconnue
À partir de \(\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}\), certains élèves font des erreurs dans l'isolement de l'inconnue, par exemple en divisant au lieu de multiplier ou en croisant les mauvais termes. Conseil : le produit en croix donne \(AD \times BC = AB \times DE\). Isoler l'inconnue en divisant par le coefficient qui lui est associé. Vérifier que le résultat est cohérent (le petit segment doit être plus court que le grand).
❌
Diviser par le morceau au lieu du côté entier
Quand l'énoncé donne AD et DB, certains élèves écrivent \(\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}\). C'est faux : DE et BC se comparent aux côtés entiers, donc à \(\frac{AD}{AB}\) avec \(AB = AD + DB\). En revanche, \(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\) est correct : on y compare bien deux morceaux à deux morceaux. Conseil : reconstituer AB = AD + DB dès la première ligne, et n'utiliser que des longueurs partant du sommet.
❌
Appliquer le coefficient \(k\) à une aire ou à un volume
Sur une maquette au 1/20, beaucoup d'élèves divisent la surface par 20. Or les aires sont divisées par \(20^2 = 400\) et les volumes par \(20^3 = 8\,000\). Conseil : se demander combien de longueurs sont multipliées. Une longueur : \(k\). Une aire (longueur × largeur) : \(k^2\). Un volume (longueur × largeur × hauteur) : \(k^3\).