Solides usuels, volumes et agrandissement/réduction | 2de Pro MA-MA
Dernière mise à jour : 1 mai 2026
Calculer le volume de chaque solide (arrondir au centième si nécessaire).
a) Cube de côté \(a = 5\) cm.
b) Pavé droit : \(L = 8\) cm, \(l = 6\) cm, \(h = 4\) cm.
c) Cylindre : \(r = 3\) cm, \(h = 10\) cm.
d) Boule : \(r = 6\) cm. (Formule fournie : \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\))
\(V = a^3 = 5^3 = \mathbf{125 \text{ cm}^3}\)
b) Pavé droit :\(V = L \times l \times h = 8 \times 6 \times 4 = \mathbf{192 \text{ cm}^3}\)
c) Cylindre :\(V = \pi r^2 h = \pi \times 3^2 \times 10 = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi \approx \mathbf{282{,}74 \text{ cm}^3}\)
d) Boule :\(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 6^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 216 = 288\pi \approx \mathbf{904{,}78 \text{ cm}^3}\)
Effectuer les conversions suivantes.
a) \(2{,}4 \text{ m}^3\) en litres.
b) \(3\,500 \text{ cm}^3\) en litres.
c) \(0{,}75 \text{ L}\) en cm³.
d) \(12 \text{ dm}^3\) en m³.
\(2{,}4 \text{ m}^3 = 2{,}4 \times 1\,000 = \mathbf{2\,400 \text{ L}}\)
b) cm³ → L (÷1 000) :\(3\,500 \text{ cm}^3 = \dfrac{3\,500}{1\,000} = \mathbf{3{,}5 \text{ L}}\)
c) L → cm³ (×1 000) :\(0{,}75 \text{ L} = 0{,}75 \times 1\,000 = \mathbf{750 \text{ cm}^3}\)
d) dm³ → m³ (÷1 000) :\(12 \text{ dm}^3 = 12 \text{ L} = \dfrac{12}{1\,000} = \mathbf{0{,}012 \text{ m}^3}\)
1. \(V = 80 \times 50 \times 40 = 160\,000\) cm³. En litres : \(\dfrac{160\,000}{1\,000} = \mathbf{160}\) L.
2. \(V = \pi \times 5^2 \times 12 = 300\pi \approx \mathbf{942}\) cm³.
3. \(h = \dfrac{V}{\pi r^2} = \dfrac{1\,500}{\pi \times 25} = \dfrac{1\,500}{25\pi} \approx \mathbf{19{,}1}\) cm.
4.
a) \(V_0 = 4^3 = \mathbf{64}\) cm³.
b) Nouveau côté : \(4 \times 3 = 12\) cm. \(V = 12^3 = \mathbf{1\,728}\) cm³.
c) \(\dfrac{1\,728}{64} = 27 = 3^3 = k^3\). Le volume est multiplié par 27.
5. \(0{,}06 \text{ m}^3 = 0{,}06 \times 1\,000 = \mathbf{60}\) L.
a) \(\pi r^2 = 25\pi\)
\(h = \dfrac{1\,500}{25\pi} = \dfrac{60}{\pi} \approx \mathbf{19{,}10 \text{ cm}}\)
b) \(L \times l = 10 \times 8 = 80 \text{ cm}^2\)
\(h = \dfrac{480}{80} = \mathbf{6 \text{ cm}}\)
| Mesure | Boîte initiale | Facteur | Boîte agrandie |
|---|---|---|---|
| Longueur | 10 cm | ×2 | ? cm |
| Largeur | 6 cm | ×2 | ? cm |
| Hauteur | 4 cm | ×2 | ? cm |
| Aire d'une face (L×l) | 60 cm² | ×k² = ×4 | ? cm² |
| Volume | 240 cm³ | ×k³ = ×8 | ? cm³ |
Boîte agrandie : 20 cm × 12 cm × 8 cm
Aire : \(60 \times 4 = 240 \text{ cm}^2\)
Volume : \(240 \times 8 = 1\,920 \text{ cm}^3\) (ou \(20 \times 12 \times 8 = 1\,920\) ✔)
1. Le volume est multiplié par \(k^3 = 2^3 = \mathbf{8}\)
2. Coût : \(1\,920 \times 0{,}05 = \mathbf{96 \text{ €}}\)
Quand toutes les dimensions sont multipliées par k, l'aire est multipliée par k² et le volume par k³ (effet « cube »).
1. \(V = \pi \times 400 \times 50 = 20\,000\pi \approx 62\,831{,}85 \text{ cm}^3\)
2. \(V \approx 62\,831{,}85 \div 1\,000 \approx \mathbf{62{,}83 \text{ L}}\)
3. \(V_{\text{huile}} \approx 62{,}83 \times 0{,}75 \approx \mathbf{47{,}12 \text{ L}}\)
Étape 1 : \(A = 12 \times 8 = 96 \text{ cm}^2\)
Étape 2 : \(V = \dfrac{1}{3} \times 96 \times 15 = \dfrac{1\,440}{3} = \mathbf{480 \text{ cm}^3}\)
Étape 3 : \(480 \div 1\,000 = \mathbf{0{,}48 \text{ L}}\)
| Valeur | En cm³ | En dm³ (= L) | En m³ |
|---|---|---|---|
| Un aquarium de 54 L | ? | 54 | ? |
| Un dé à coudre de 2 cm³ | 2 | ? | ? |
| Une baignoire de 0,2 m³ | ? | ? | 0,2 |
| Un seau de 10 000 cm³ | 10 000 | ? | ? |
Aquarium : \(54 \text{ L} = 54 \times 1\,000 = \mathbf{54\,000 \text{ cm}^3}\) | \(54 \div 1\,000 = \mathbf{0{,}054 \text{ m}^3}\)
Dé : \(2 \div 1\,000 = \mathbf{0{,}002 \text{ L}}\) | \(2 \div 1\,000\,000 = \mathbf{0{,}000\,002 \text{ m}^3}\)
Baignoire : \(0{,}2 \times 1\,000\,000 = \mathbf{200\,000 \text{ cm}^3}\) | \(0{,}2 \times 1\,000 = \mathbf{200 \text{ L}}\)
Seau : \(10\,000 \div 1\,000 = \mathbf{10 \text{ L}}\) | \(10\,000 \div 1\,000\,000 = \mathbf{0{,}01 \text{ m}^3}\)
Étape 1 : \(r^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25\)
Étape 2 : \(V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 2{,}25 \times 2 = \dfrac{4{,}5\pi}{3} = 1{,}5\pi \approx \mathbf{4{,}71 \text{ m}^3}\)
Étape 3 : \(4{,}71 \times 1\,000 = \mathbf{4\,710 \text{ L}}\)
Bonus : \(4\,710 \div 50 = \mathbf{94{,}2}\) soit environ 95 sacs (arrondi supérieur).
Étape 1 : \(r = \dfrac{24}{2} = 12 \text{ cm}\)
Étape 2 : \(r^3 = 12^3 = 1\,728\)
Étape 3 : \(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 1\,728 = 2\,304\pi \approx \mathbf{7\,238{,}23 \text{ cm}^3}\)
Étape 4 : \(7\,238{,}23 \div 1\,000 \approx \mathbf{7{,}24 \text{ L}}\)
1. Côté maquette : \(60 \times \dfrac{1}{3} = \mathbf{20 \text{ cm}}\)
2. Volume réel : \(60^3 = \mathbf{216\,000 \text{ cm}^3}\)
3. Volume maquette : \(20^3 = \mathbf{8\,000 \text{ cm}^3}\)
4. Vérification : \(\dfrac{216\,000}{8\,000} = 27 = 3^3\) ✓
Le volume est bien divisé par \(27\) (soit multiplié par \(k^3 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}\)).
Étape 1 : \(A = \dfrac{1}{2} \times 12 \times 9 = \mathbf{54 \text{ cm}^2}\)
Étape 2 : \(V = 54 \times 250 = \mathbf{13\,500 \text{ cm}^3}\)
Étape 3 : \(13\,500 \div 1\,000 = \mathbf{13{,}5 \text{ L}}\)
Étape 2 : \(A_{\text{lat}} = 2 \times \pi \times 8 \times 20 = 320\pi\)
Étape 3 : \(320\pi \approx \mathbf{1\,005{,}31 \text{ cm}^2}\)
Bonus : Coût = \(1\,005{,}31 \times 0{,}002 \approx \mathbf{2{,}01 \text{ €}}\)
1. \(V = 60 \times 30 \times 40 = \mathbf{72\,000 \text{ cm}^3}\)
2. \(72\,000 \div 1\,000 = \mathbf{72 \text{ L}}\)
3. Hauteur d'eau : \(40 \times \dfrac{3}{4} = \mathbf{30 \text{ cm}}\)
4. \(60 \times 30 \times 30 = 54\,000 \text{ cm}^3 = \mathbf{54 \text{ L}}\)
1. \(V = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi \approx \mathbf{282{,}74 \text{ cm}^3}\)
2. Rayon : \(3 \times 3 = 9\) cm | Hauteur : \(10 \times 3 = 30\) cm
3. \(V' = \pi \times 81 \times 30 = 2\,430\pi \approx \mathbf{7\,634{,}07 \text{ cm}^3}\)
4. \(\dfrac{7\,634{,}07}{282{,}74} = 27 = 3^3 = k^3\) ✓
5. \(7\,634{,}07 \div 1\,000 \approx \mathbf{7{,}63 \text{ L}}\)
Étape 1 : \(r = \dfrac{7{,}2}{2} = 3{,}6 \text{ cm}\)
Étape 2 : \(r^3 = 3{,}6^3 = 46{,}656\)
Étape 3 : \(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 46{,}656 = 62{,}208\pi \approx \mathbf{195{,}43 \text{ cm}^3}\)
Bonus : \(V = 195{,}43 \text{ cm}^3 = 0{,}000\,195\,43 \text{ m}^3\)
\(m = 7\,800 \times 0{,}000\,195\,43 \approx 1{,}524 \text{ kg} \approx \mathbf{1\,524 \text{ g}}\)
a) Un cylindre a un volume de \(1\,500 \text{ cm}^3\) et un rayon de \(5\) cm. Calculer sa hauteur.
b) Un cylindre a un volume de \(3\,000 \text{ cm}^3\) et une hauteur de \(24\) cm. Calculer son rayon.
\(V = \pi r^2 h\) donc \(h = \dfrac{V}{\pi r^2} = \dfrac{1\,500}{\pi \times 25} = \dfrac{1\,500}{25\pi} = \dfrac{60}{\pi} \approx \mathbf{19{,}10 \text{ cm}}\)
b) Rayon du cylindre :\(V = \pi r^2 h\) donc \(r^2 = \dfrac{V}{\pi h} = \dfrac{3\,000}{\pi \times 24} = \dfrac{3\,000}{24\pi} = \dfrac{125}{\pi} \approx 39{,}79\)
\(r = \sqrt{39{,}79} \approx \mathbf{6{,}31 \text{ cm}}\)
a) Prisme à base triangulaire : la base est un triangle de base \(b = 8\) cm et de hauteur \(h_t = 5\) cm. La longueur du prisme est \(L = 20\) cm. Calculer le volume.
b) Prisme à base trapézoïdale : le trapèze a une grande base \(B = 12\) cm, une petite base \(b = 8\) cm et une hauteur \(h_t = 6\) cm. La longueur du prisme est \(L = 25\) cm. Calculer le volume.
Aire de la base (triangle) : \(A = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 \text{ cm}^2\)
Volume : \(V = A \times L = 20 \times 20 = \mathbf{400 \text{ cm}^3}\)
b) Prisme trapézoïdal :Aire de la base (trapèze) : \(A = \dfrac{(12 + 8)}{2} \times 6 = \dfrac{20}{2} \times 6 = 10 \times 6 = 60 \text{ cm}^2\)
Volume : \(V = A \times L = 60 \times 25 = \mathbf{1\,500 \text{ cm}^3}\)
On considère une boîte rectangulaire (pavé droit).
a) On double toutes ses dimensions (\(k = 2\)). Par quel facteur sont multipliés :
b) On divise par 3 toutes ses dimensions (\(k = \dfrac{1}{3}\)). Par quel facteur sont multipliés :
Exemple : boîte 5×3×4 → volume 60 cm³. Boîte 10×6×8 → volume 480 cm³. \(480 \div 60 = 8\) ✓
b) Division par 3 (k = 1/3) :Une pièce est formée d'un cylindre surmonté d'un cône (même axe, même rayon à la base).
a) Calculer le volume du cylindre.
b) Calculer le volume du cône.
c) Calculer le volume total de la pièce (arrondir au cm³).
\(V_{\text{cyl}} = \pi r^2 h_1 = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 502{,}65 \text{ cm}^3\)
b) Volume du cône :\(V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 16 \times 6 = 32\pi \approx 100{,}53 \text{ cm}^3\)
c) Volume total :\(V_{\text{total}} = 160\pi + 32\pi = 192\pi \approx \mathbf{603 \text{ cm}^3}\)
On compare deux récipients :
a) Calculer le volume de chaque récipient (arrondir au cm³).
b) Lequel a la plus grande contenance ?
c) Calculer la différence de volume en litres.
\(V_A = \pi \times 6^2 \times 15 = 540\pi \approx 1\,696 \text{ cm}^3\)
\(V_B = 10 \times 10 \times 20 = 2\,000 \text{ cm}^3\)
b) Comparaison :\(V_B = 2\,000 \text{ cm}^3 > V_A \approx 1\,696 \text{ cm}^3\)
Le récipient B (pavé) a la plus grande contenance.
c) Différence en litres :\(\Delta V = 2\,000 - 1\,696 = 304 \text{ cm}^3 = \dfrac{304}{1\,000} = \mathbf{0{,}304 \text{ L}}\)
Un aquarium rectangulaire a pour dimensions intérieures : \(L = 80\) cm, \(l = 35\) cm, \(h = 45\) cm.
a) Calculer le volume de l'aquarium en cm³.
b) Convertir ce volume en litres.
c) On remplit l'aquarium aux \(\dfrac{4}{5}\) de sa hauteur. Quelle est la hauteur d'eau ? Quel volume d'eau (en L) cela représente-t-il ?
d) L'eau coûte 0,004 €/L. Quel est le coût pour remplir l'aquarium aux 4/5 ?
\(V = 80 \times 35 \times 45 = \mathbf{126\,000 \text{ cm}^3}\)
b) En litres :\(126\,000 \div 1\,000 = \mathbf{126 \text{ L}}\)
c) Remplissage aux 4/5 :Hauteur d'eau : \(45 \times \dfrac{4}{5} = \mathbf{36 \text{ cm}}\)
Volume d'eau : \(80 \times 35 \times 36 = 100\,800 \text{ cm}^3 = \mathbf{100{,}8 \text{ L}}\)
d) Coût :\(100{,}8 \times 0{,}004 = \mathbf{0{,}40 \text{ €}}\)
Calculer le volume de chaque solide (arrondir au cm³).
a) Pyramide à base carrée de côté \(a = 10\) cm et de hauteur \(h = 18\) cm.
(Formule fournie : \(V = \dfrac{1}{3} \times A_{\text{base}} \times h\))
b) Cône de rayon \(r = 7\) cm et de hauteur \(h = 12\) cm.
(Formule fournie : \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\))
c) Comparer les deux volumes. Lequel est le plus grand ?
Aire de la base : \(A = 10^2 = 100 \text{ cm}^2\)
\(V = \dfrac{1}{3} \times 100 \times 18 = \dfrac{1\,800}{3} = \mathbf{600 \text{ cm}^3}\)
b) Cône :\(V = \dfrac{1}{3}\pi \times 7^2 \times 12 = \dfrac{1}{3}\pi \times 49 \times 12 = 196\pi \approx \mathbf{616 \text{ cm}^3}\)
c) Comparaison :\(616 > 600\) : le cône a le plus grand volume (de 16 cm³ environ).
Un fabricant de mobilier doit peindre la surface latérale d'un pied de table cylindrique.
a) Calculer l'aire latérale du pied (arrondir au cm²).
b) Calculer l'aire totale (latérale + les deux disques).
c) Un pot de peinture couvre 5 000 cm². La table a 4 pieds identiques. Un seul pot suffit-il pour peindre la surface latérale des 4 pieds ?
\(A_{\text{lat}} = 2\pi r h = 2\pi \times 4 \times 72 = 576\pi \approx \mathbf{1\,810 \text{ cm}^2}\)
b) Aire totale :Aire d'un disque : \(\pi r^2 = 16\pi \approx 50{,}27 \text{ cm}^2\)
\(A_{\text{totale}} = 576\pi + 2 \times 16\pi = 576\pi + 32\pi = 608\pi \approx \mathbf{1\,910 \text{ cm}^2}\)
c) Pour 4 pieds :Surface latérale des 4 pieds : \(4 \times 1\,810 = 7\,240 \text{ cm}^2\)
\(7\,240 > 5\,000\) : non, un seul pot ne suffit pas. Il en faut 2.
Un globe terrestre de bureau a un diamètre de \(d = 20\) cm. On veut en fabriquer une version agrandie avec un facteur \(k = 3\) pour un hall d'exposition.
a) Quel sera le diamètre du grand globe ?
b) Calculer le volume du petit globe. (Formule : \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\))
c) Sans recalculer avec la formule, déduire le volume du grand globe grâce au facteur \(k^3\).
d) Vérifier en calculant directement le volume du grand globe.
\(d' = 20 \times 3 = \mathbf{60 \text{ cm}}\)
b) Volume du petit globe :\(r = 10 \text{ cm}\)
\(V = \dfrac{4}{3}\pi \times 10^3 = \dfrac{4\,000\pi}{3} \approx \mathbf{4\,189 \text{ cm}^3}\)
c) Par le facteur k³ :\(k^3 = 3^3 = 27\)
\(V' = 4\,189 \times 27 \approx \mathbf{113\,097 \text{ cm}^3}\)
d) Vérification directe :\(r' = 30 \text{ cm}\)
\(V' = \dfrac{4}{3}\pi \times 30^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 27\,000 = 36\,000\pi \approx \mathbf{113\,097 \text{ cm}^3}\) ✓
Une cuve de récupération d'eau de pluie est un cylindre de diamètre \(d = 1{,}2\) m et de hauteur \(h = 1{,}8\) m.
a) Calculer le rayon de la cuve.
b) Calculer le volume de la cuve en m³ (arrondir au centième).
c) Convertir en litres. Combien de seaux de 10 L peut-on remplir avec une cuve pleine ?
d) Après une semaine de pluie, la cuve est remplie à 65 %. Quel volume d'eau contient-elle (en L) ?
\(r = \dfrac{1{,}2}{2} = \mathbf{0{,}6 \text{ m}}\)
b) Volume :\(V = \pi r^2 h = \pi \times 0{,}6^2 \times 1{,}8 = \pi \times 0{,}36 \times 1{,}8 = 0{,}648\pi \approx \mathbf{2{,}04 \text{ m}^3}\)
c) En litres et seaux :\(2{,}04 \text{ m}^3 = 2{,}04 \times 1\,000 = \mathbf{2\,040 \text{ L}}\)
Nombre de seaux : \(2\,040 \div 10 = \mathbf{204 \text{ seaux}}\)
d) Remplissage à 65 % :\(2\,040 \times 0{,}65 = \mathbf{1\,326 \text{ L}}\)
Sur un chantier, un artisan menuisier utilise une bétonnière cylindrique de diamètre \(d = 70\) cm et de profondeur \(h = 55\) cm.
a) Calculer le rayon de la cuve.
b) Calculer le volume de la cuve en cm³ (arrondir au cm³).
c) Convertir en litres. Combien de seaux de 12 L peut-on remplir avec une cuve pleine ?
d) On ne remplit la bétonnière qu'aux \(\dfrac{2}{3}\) pour éviter les débordements. Quel volume utile cela représente-t-il (en L) ?
\(r = \dfrac{70}{2} = \mathbf{35 \text{ cm}}\)
b) Volume :\(V = \pi \times 35^2 \times 55 = \pi \times 1\,225 \times 55 = 67\,375\pi \approx \mathbf{211\,658 \text{ cm}^3}\)
c) En litres et seaux :\(211\,658 \div 1\,000 \approx \mathbf{211{,}7 \text{ L}}\)
Nombre de seaux : \(211{,}7 \div 12 \approx 17{,}6\) soit \(\mathbf{17}\) seaux pleins.
d) Remplissage aux 2/3 :\(211{,}7 \times \dfrac{2}{3} \approx \mathbf{141{,}1 \text{ L}}\)
Un ballon de football réglementaire a un diamètre de \(d = 22\) cm. (Formule fournie : \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\))
a) Calculer le volume du ballon (arrondir au cm³).
b) On gonfle un ballon de plage dont le diamètre est le double (\(k = 2\)). Sans recalculer avec la formule, déduire son volume grâce à \(k^3\).
c) Vérifier par un calcul direct.
d) Convertir les deux volumes en litres. Combien de fois le ballon de plage contient-il plus d'air ?
\(r = 11 \text{ cm}\)
\(V = \dfrac{4}{3}\pi \times 11^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 1\,331 = \dfrac{5\,324\pi}{3} \approx \mathbf{5\,575 \text{ cm}^3}\)
b) Par le facteur k³ :\(k^3 = 2^3 = 8\)
\(V' = 5\,575 \times 8 = \mathbf{44\,602 \text{ cm}^3}\)
c) Vérification directe :\(r' = 22 \text{ cm}\), \(V' = \dfrac{4}{3}\pi \times 22^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 10\,648 \approx \mathbf{44\,602 \text{ cm}^3}\) ✓
d) En litres :Football : \(5\,575 \div 1\,000 \approx 5{,}6 \text{ L}\) | Plage : \(44\,602 \div 1\,000 \approx 44{,}6 \text{ L}\)
Le ballon de plage contient \(\mathbf{8}\) fois plus d'air.
Un fabricant de mobilier conçoit des étagères cubiques empilables de côté \(a = 36\) cm.
a) Calculer le volume intérieur d'un cube (en cm³ puis en L).
b) Calculer l'aire totale des 6 faces du cube (en cm²).
c) Le bois utilisé coûte 0,03 €/cm². Calculer le coût du bois pour un cube.
d) On fabrique un modèle réduit au facteur \(k = \dfrac{1}{2}\). Calculer le volume et l'aire totale du petit cube. Vérifier avec \(k^2\) et \(k^3\).
\(V = 36^3 = \mathbf{46\,656 \text{ cm}^3} = 46{,}656 \text{ L} \approx \mathbf{46{,}7 \text{ L}}\)
b) Aire totale :\(A = 6 \times 36^2 = 6 \times 1\,296 = \mathbf{7\,776 \text{ cm}^2}\)
c) Coût :\(7\,776 \times 0{,}03 = \mathbf{233{,}28 \text{ €}}\)
d) Modèle réduit (k = 1/2) :Côté : \(36 \times \dfrac{1}{2} = 18\) cm
Volume : \(18^3 = 5\,832 \text{ cm}^3\). Vérification : \(46\,656 \times k^3 = 46\,656 \times \dfrac{1}{8} = 5\,832\) ✓
Aire : \(6 \times 18^2 = 1\,944 \text{ cm}^2\). Vérification : \(7\,776 \times k^2 = 7\,776 \times \dfrac{1}{4} = 1\,944\) ✓
Un technicien installe un ballon d'eau chaude cylindrique de diamètre \(d = 50\) cm et de hauteur \(h = 1{,}2\) m.
a) Convertir la hauteur en cm, puis calculer le rayon.
b) Calculer le volume du ballon en cm³ (arrondir au cm³).
c) Convertir en litres. Ce ballon est-il suffisant pour une famille de 4 personnes (besoin : 50 L/personne/jour) ?
d) Calculer l'aire latérale du ballon. On l'isole avec un matériau à 12 €/m². Calculer le coût de l'isolation.
\(h = 1{,}2 \text{ m} = 120 \text{ cm}\) | \(r = \dfrac{50}{2} = \mathbf{25 \text{ cm}}\)
b) Volume :\(V = \pi \times 25^2 \times 120 = 75\,000\pi \approx \mathbf{235\,619 \text{ cm}^3}\)
c) En litres :\(235\,619 \div 1\,000 \approx \mathbf{235{,}6 \text{ L}}\)
Besoin : \(4 \times 50 = 200\) L. Comme \(235{,}6 > 200\), le ballon est suffisant.
d) Isolation :\(A_{\text{lat}} = 2\pi \times 25 \times 120 = 6\,000\pi \approx 18\,850 \text{ cm}^2 = 1{,}885 \text{ m}^2\)
Coût : \(1{,}885 \times 12 \approx \mathbf{22{,}62 \text{ €}}\)
Un présentoir de magasin est formé d'un pavé droit surmonté d'une pyramide à base rectangulaire (même base que le pavé).
a) Calculer le volume du pavé.
b) Calculer le volume de la pyramide.
c) Calculer le volume total du présentoir (en cm³ et en L).
d) On réduit toutes les dimensions du présentoir avec le facteur \(k = 0{,}5\). Quel est le nouveau volume total ?
\(V_1 = 30 \times 20 \times 25 = \mathbf{15\,000 \text{ cm}^3}\)
b) Volume de la pyramide :\(A_{\text{base}} = 30 \times 20 = 600 \text{ cm}^2\)
\(V_2 = \dfrac{1}{3} \times 600 \times 18 = \dfrac{10\,800}{3} = \mathbf{3\,600 \text{ cm}^3}\)
c) Volume total :\(V = 15\,000 + 3\,600 = \mathbf{18\,600 \text{ cm}^3} = 18{,}6 \text{ L}\)
d) Réduction (k = 0,5) :\(k^3 = 0{,}5^3 = 0{,}125\)
\(V' = 18\,600 \times 0{,}125 = \mathbf{2\,325 \text{ cm}^3}\) (soit 2,325 L)
On construit les fondations d'un abri de jardin :
a) Calculer le volume de béton pour un pilier (en cm³, puis en m³).
b) Calculer le volume de béton pour la semelle (en m³).
c) Calculer le volume total de béton nécessaire (en m³ et en L).
d) Un sac de béton de 35 kg permet de couler 15 L de béton. Combien de sacs faut-il commander (arrondir à l'entier supérieur) ?
\(V_{\text{pilier}} = \pi r^2 h = \pi \times 15^2 \times 60 = \pi \times 225 \times 60 = 13\,500\pi \approx 42\,412 \text{ cm}^3\)
\(42\,412 \text{ cm}^3 = \dfrac{42\,412}{1\,000\,000} \approx 0{,}04241 \text{ m}^3\)
b) Volume de la semelle (en m) :\(h = 15 \text{ cm} = 0{,}15 \text{ m}\)
\(V_{\text{semelle}} = 3 \times 2 \times 0{,}15 = \mathbf{0{,}9 \text{ m}^3}\)
c) Volume total :4 piliers : \(4 \times 0{,}04241 \approx 0{,}1696 \text{ m}^3\)
\(V_{\text{total}} = 0{,}1696 + 0{,}9 \approx \mathbf{1{,}070 \text{ m}^3}\)
En litres : \(1{,}070 \times 1\,000 = \mathbf{1\,070 \text{ L}}\)
d) Nombre de sacs :\(\text{Nombre de sacs} = \dfrac{1\,070}{15} \approx 71{,}3\) → arrondi à l'entier supérieur : \(\mathbf{72 \text{ sacs}}\)
Une salle d'exposition réelle a pour dimensions : 12 m × 8 m × 3 m.
On fabrique un modèle réduit au 1/20 (facteur \(k = \dfrac{1}{20}\)).
a) Calculer les dimensions du modèle réduit (en cm).
b) Calculer la surface au sol du modèle (en cm²).
c) Calculer le volume du modèle (en cm³).
d) La surface au sol réelle est couverte d'un revêtement coûtant 85 €/m². Calculer le coût total de revêtement pour la vraie salle.
e) Vérifier le résultat de b) en utilisant directement le facteur \(k^2\) appliqué à la surface réelle convertie.
Longueur : \(12 \text{ m} \times \dfrac{1}{20} = 0{,}6 \text{ m} = \mathbf{60 \text{ cm}}\)
Largeur : \(8 \text{ m} \times \dfrac{1}{20} = 0{,}4 \text{ m} = \mathbf{40 \text{ cm}}\)
Hauteur : \(3 \text{ m} \times \dfrac{1}{20} = 0{,}15 \text{ m} = \mathbf{15 \text{ cm}}\)
b) Surface au sol du modèle :\(S_{\text{modèle}} = 60 \times 40 = \mathbf{2\,400 \text{ cm}^2}\)
c) Volume du modèle :\(V_{\text{modèle}} = 60 \times 40 \times 15 = \mathbf{36\,000 \text{ cm}^3}\)
d) Coût du revêtement réel :Surface réelle : \(S_{\text{réel}} = 12 \times 8 = 96 \text{ m}^2\)
Coût : \(96 \times 85 = \mathbf{8\,160 \text{ €}}\)
e) Vérification par k² :\(S_{\text{réel}} = 96 \text{ m}^2 = 96 \times 10\,000 = 960\,000 \text{ cm}^2\)
\(S_{\text{modèle}} = 960\,000 \times k^2 = 960\,000 \times \left(\dfrac{1}{20}\right)^2 = 960\,000 \times \dfrac{1}{400} = 2\,400 \text{ cm}^2\) ✓
Un technicien en maintenance automobile doit choisir entre deux types de réservoirs :
1. Calculer le volume de chaque réservoir (en L).
2. Lequel a la plus grande capacité ? De combien de litres ?
3. On fabrique un réservoir A agrandi avec \(k = 1{,}2\). Calculer le nouveau volume en L.
4. Le fluide coûte 4,50 €/L. Quel est le coût pour remplir complètement le réservoir agrandi ?
5. Sans calculer, si on agrandissait le réservoir B avec le même facteur k = 1,2, par quel facteur son volume serait-il multiplié ? Quel serait son nouveau volume ?
\(V_A = \pi \times 25^2 \times 80 = 50\,000\pi \approx 157\,080 \text{ cm}^3 = \mathbf{157{,}1 \text{ L}}\)
\(V_B = 40 \times 40 \times 90 = 144\,000 \text{ cm}^3 = \mathbf{144 \text{ L}}\)
2. Comparaison :Le réservoir A est plus grand. Différence : \(157{,}1 - 144 = \mathbf{13{,}1 \text{ L}}\)
3. Réservoir A agrandi (k = 1,2) :Volume multiplié par \(k^3 = 1{,}2^3 = 1{,}728\)
\(V_{A'} = 157{,}1 \times 1{,}728 \approx \mathbf{271{,}5 \text{ L}}\)
4. Coût :\(271{,}5 \times 4{,}50 \approx \mathbf{1\,221{,}75 \text{ €}}\)
5. Réservoir B agrandi :Volume multiplié par \(k^3 = 1{,}728\) (même facteur).
\(V_{B'} = 144 \times 1{,}728 = \mathbf{248{,}8 \text{ L}}\)
Un menuisier agenceur veut fabriquer un coffre de rangement en forme de pavé droit avec un volume de 120 L (soit 120 000 cm³). La base doit être un carré de côté \(a\) et la hauteur est \(h\).
a) Exprimer \(h\) en fonction de \(a\) sachant que \(V = a^2 \times h = 120\,000\).
b) Calculer \(h\) pour \(a = 40\) cm, puis pour \(a = 50\) cm, puis pour \(a = 60\) cm.
c) L'aire totale des 6 faces est \(A = 2a^2 + 4ah\). Calculer \(A\) pour chaque valeur de \(a\).
d) Le bois coûte 0,08 €/cm². Quelle valeur de \(a\) minimise le coût du bois ?
e) Le menuisier choisit \(a = 50\) cm pour des raisons pratiques. Calculer le coût du coffre.
\(h = \dfrac{120\,000}{a^2}\)
b) Calculs :Pour \(a = 40\) : \(h = \dfrac{120\,000}{1\,600} = \mathbf{75 \text{ cm}}\)
Pour \(a = 50\) : \(h = \dfrac{120\,000}{2\,500} = \mathbf{48 \text{ cm}}\)
Pour \(a = 60\) : \(h = \dfrac{120\,000}{3\,600} \approx \mathbf{33{,}3 \text{ cm}}\)
c) Aires totales :\(a = 40\) : \(A = 2 \times 1\,600 + 4 \times 40 \times 75 = 3\,200 + 12\,000 = \mathbf{15\,200 \text{ cm}^2}\)
\(a = 50\) : \(A = 2 \times 2\,500 + 4 \times 50 \times 48 = 5\,000 + 9\,600 = \mathbf{14\,600 \text{ cm}^2}\)
\(a = 60\) : \(A = 2 \times 3\,600 + 4 \times 60 \times \dfrac{100}{3} = 7\,200 + 8\,000 = \mathbf{15\,200 \text{ cm}^2}\)
d) Optimisation :L'aire est minimale pour \(a = 50\) cm parmi les trois essais. Le coût est donc minimal avec \(a = 50\) cm.
e) Coût :\(14\,600 \times 0{,}08 = \mathbf{1\,168 \text{ €}}\)
Un aménageur d'intérieur conçoit un présentoir formé d'un prisme droit à base trapézoïdale surmonté d'un demi-cylindre.
a) Calculer l'aire du trapèze (base du prisme).
b) Calculer le volume du prisme.
c) Calculer le volume du demi-cylindre.
d) Calculer le volume total du présentoir (en cm³ et en L).
e) On veut vernir la surface extérieure du prisme (sans la face du dessus ni la face du dessous). Calculer l'aire latérale du prisme. Indication : la face latérale est composée de 4 rectangles.
\(A = \dfrac{(B + b)}{2} \times h_t = \dfrac{(50 + 30)}{2} \times 20 = 40 \times 20 = \mathbf{800 \text{ cm}^2}\)
b) Volume du prisme :\(V_{\text{prisme}} = A \times L = 800 \times 80 = \mathbf{64\,000 \text{ cm}^3}\)
c) Volume du demi-cylindre :\(V_{\text{demi-cyl}} = \dfrac{1}{2} \times \pi r^2 L = \dfrac{1}{2} \times \pi \times 15^2 \times 80 = \dfrac{1}{2} \times 18\,000\pi = 9\,000\pi \approx \mathbf{28\,274 \text{ cm}^3}\)
d) Volume total :\(V_{\text{total}} = 64\,000 + 28\,274 = \mathbf{92\,274 \text{ cm}^3} \approx \mathbf{92{,}3 \text{ L}}\)
e) Aire latérale du prisme :Les 4 faces latérales sont des rectangles de longueur 80 cm :
Face avant (grande base) : \(50 \times 80 = 4\,000 \text{ cm}^2\)
Face arrière (petite base) : \(30 \times 80 = 2\,400 \text{ cm}^2\)
Les deux côtés obliques du trapèze ont une longueur approchée (par Pythagore) :
\(\ell = \sqrt{h_t^2 + \left(\dfrac{B-b}{2}\right)^2} = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{500} \approx 22{,}4 \text{ cm}\)
Deux faces latérales : \(2 \times 22{,}4 \times 80 = 3\,584 \text{ cm}^2\)
\(A_{\text{lat}} = 4\,000 + 2\,400 + 3\,584 = \mathbf{9\,984 \text{ cm}^2} \approx 1 \text{ m}^2\)
Un installateur thermique utilise un silo à granulés de bois composé d'un cylindre surmonté d'un cône (pour le remplissage) et terminé en bas par un cône inversé (pour la vidange).
a) Calculer le volume du cylindre.
b) Calculer le volume de chaque cône.
c) Calculer le volume total du silo (en m³, arrondi au centième).
d) Les granulés de bois ont une masse volumique de 650 kg/m³. Quelle masse de granulés le silo peut-il contenir (en tonnes) ?
e) On installe un silo 1,5 fois plus grand en toutes dimensions (\(k = 1{,}5\)). Quel est le volume du nouveau silo ? Quelle masse de granulés contient-il ?
\(V_1 = \pi \times 1^2 \times 3 = 3\pi \approx 9{,}42 \text{ m}^3\)
b) Volumes des cônes :Cône supérieur : \(V_2 = \dfrac{1}{3}\pi \times 1^2 \times 0{,}5 = \dfrac{0{,}5\pi}{3} \approx 0{,}52 \text{ m}^3\)
Cône inférieur : \(V_3 = \dfrac{1}{3}\pi \times 1^2 \times 0{,}8 = \dfrac{0{,}8\pi}{3} \approx 0{,}84 \text{ m}^3\)
c) Volume total :\(V = 3\pi + \dfrac{0{,}5\pi}{3} + \dfrac{0{,}8\pi}{3} = 3\pi + \dfrac{1{,}3\pi}{3} = \dfrac{9\pi + 1{,}3\pi}{3} = \dfrac{10{,}3\pi}{3} \approx \mathbf{10{,}79 \text{ m}^3}\)
d) Masse de granulés :\(m = 10{,}79 \times 650 = 7\,013{,}5 \text{ kg} \approx \mathbf{7{,}01 \text{ tonnes}}\)
e) Silo agrandi (k = 1,5) :\(k^3 = 1{,}5^3 = 3{,}375\)
\(V' = 10{,}79 \times 3{,}375 \approx \mathbf{36{,}42 \text{ m}^3}\)
\(m' = 36{,}42 \times 650 \approx 23\,673 \text{ kg} \approx \mathbf{23{,}7 \text{ tonnes}}\)
Un artisan menuisier usine un pied de table cylindrique dans un bloc de bois parallélépipédique (pavé droit).
a) Calculer le volume du bloc de bois.
b) Calculer le volume du cylindre usiné.
c) Calculer le volume de bois perdu (copeaux). Quel pourcentage du bloc cela représente-t-il ?
d) Le bois coûte 1 200 €/m³. Calculer le coût de la matière perdue.
e) Si on usine 4 pieds identiques, quel est le volume total de bois perdu (en dm³) ?
\(V_{\text{bloc}} = 14 \times 14 \times 75 = \mathbf{14\,700 \text{ cm}^3}\)
b) Volume du cylindre :\(V_{\text{cyl}} = \pi \times 7^2 \times 75 = 3\,675\pi \approx \mathbf{11\,545 \text{ cm}^3}\)
c) Volume perdu :\(V_{\text{perdu}} = 14\,700 - 11\,545 = \mathbf{3\,155 \text{ cm}^3}\)
Pourcentage : \(\dfrac{3\,155}{14\,700} \times 100 \approx \mathbf{21{,}5\,\%}\)
d) Coût de la perte :\(3\,155 \text{ cm}^3 = 0{,}003\,155 \text{ m}^3\)
Coût : \(0{,}003\,155 \times 1\,200 \approx \mathbf{3{,}79 \text{ €}}\)
e) Pour 4 pieds :\(4 \times 3\,155 = 12\,620 \text{ cm}^3 = \mathbf{12{,}62 \text{ dm}^3}\) (soit 12,62 L)
Un ballon-sonde météorologique est une sphère de diamètre \(d = 1{,}2\) m au sol. En montant dans l'atmosphère, la pression diminue et le ballon se dilate : son diamètre devient \(d' = 6\) m à haute altitude.
a) Calculer le volume du ballon au sol (en m³, arrondi au centième). (Formule : \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\))
b) Calculer le facteur d'agrandissement \(k = \dfrac{d'}{d}\).
c) En déduire le volume du ballon en altitude grâce à \(k^3\).
d) Vérifier par un calcul direct.
e) Par quel facteur le volume a-t-il été multiplié ? Commenter.
\(r = 0{,}6 \text{ m}\)
\(V = \dfrac{4}{3}\pi \times 0{,}6^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 0{,}216 = 0{,}288\pi \approx \mathbf{0{,}90 \text{ m}^3}\)
b) Facteur d'agrandissement :\(k = \dfrac{6}{1{,}2} = \mathbf{5}\)
c) Volume en altitude par k³ :\(k^3 = 5^3 = 125\)
\(V' = 0{,}90 \times 125 \approx \mathbf{113{,}10 \text{ m}^3}\)
d) Vérification directe :\(r' = 3 \text{ m}\)
\(V' = \dfrac{4}{3}\pi \times 3^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi \approx \mathbf{113{,}10 \text{ m}^3}\) ✓
e) Commentaire :Le volume est multiplié par 125. Bien que le diamètre ne soit multiplié que par 5, le volume (qui dépend du cube des dimensions) augmente considérablement. C'est pourquoi les ballons-sondes finissent par éclater en altitude.
Un métreur prépare un devis pour couler une terrasse composée de :
a) Calculer le volume de la dalle en m³.
b) Calculer le volume d'un plot en cm³, puis en m³.
c) Calculer le volume total de béton (dalle + 9 plots) en m³.
d) Le béton prêt à l'emploi coûte 120 €/m³ (livré par camion-toupie, minimum 1 m³). Combien de m³ faut-il commander (arrondir au 0,5 m³ supérieur) ? Quel est le coût ?
e) Le client demande finalement une terrasse 1,5 fois plus grande en longueur et en largeur (mais même épaisseur de dalle et mêmes plots). Calculer le nouveau volume de la dalle. Peut-on utiliser le facteur \(k^3\) ? Pourquoi ?
\(12 \text{ cm} = 0{,}12 \text{ m}\)
\(V_{\text{dalle}} = 6 \times 4 \times 0{,}12 = \mathbf{2{,}88 \text{ m}^3}\)
b) Volume d'un plot :\(V_{\text{plot}} = \pi \times 15^2 \times 40 = 9\,000\pi \approx 28\,274 \text{ cm}^3\)
\(= \dfrac{28\,274}{1\,000\,000} \approx \mathbf{0{,}0283 \text{ m}^3}\)
c) Volume total :9 plots : \(9 \times 0{,}0283 = 0{,}2545 \text{ m}^3\)
\(V_{\text{total}} = 2{,}88 + 0{,}2545 \approx \mathbf{3{,}13 \text{ m}^3}\)
d) Commande :Arrondi au 0,5 m³ supérieur : \(\mathbf{3{,}5 \text{ m}^3}\)
Coût : \(3{,}5 \times 120 = \mathbf{420 \text{ €}}\)
e) Nouvelle terrasse :Nouvelles dimensions : \(6 \times 1{,}5 = 9\) m et \(4 \times 1{,}5 = 6\) m, épaisseur inchangée : 0,12 m.
\(V'_{\text{dalle}} = 9 \times 6 \times 0{,}12 = \mathbf{6{,}48 \text{ m}^3}\)
On ne peut pas utiliser \(k^3\) car l'épaisseur n'a pas été multipliée par \(k\). Seules la longueur et la largeur ont changé, donc le volume de la dalle est multiplié par \(k^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25\).
Vérification : \(2{,}88 \times 2{,}25 = 6{,}48\) ✓
Un menuisier agenceur fabrique un escalier droit composé de 14 marches identiques. Chaque marche est un pavé droit de dimensions : longueur \(L = 90\) cm, profondeur (giron) \(g = 25\) cm, épaisseur \(e = 4\) cm.
a) Calculer le volume d'une marche (en cm³).
b) Calculer le volume total de bois pour les 14 marches (en cm³ puis en dm³).
c) L'escalier comporte aussi 2 limons (pièces latérales) en forme de parallélépipède : chacun mesure 4,2 m de long, 22 cm de haut et 5 cm d'épaisseur. Calculer le volume total des 2 limons (en dm³).
d) Calculer le volume total de bois de l'escalier (marches + limons) en dm³.
e) Le bois de chêne coûte 950 €/m³. Calculer le coût de la matière première.
\(V_{\text{marche}} = 90 \times 25 \times 4 = \mathbf{9\,000 \text{ cm}^3}\)
b) 14 marches :\(14 \times 9\,000 = 126\,000 \text{ cm}^3 = \mathbf{126 \text{ dm}^3}\)
c) Limons :\(4{,}2 \text{ m} = 420 \text{ cm}\)
\(V_{\text{1 limon}} = 420 \times 22 \times 5 = 46\,200 \text{ cm}^3 = 46{,}2 \text{ dm}^3\)
\(V_{\text{2 limons}} = 2 \times 46{,}2 = \mathbf{92{,}4 \text{ dm}^3}\)
d) Volume total :\(V = 126 + 92{,}4 = \mathbf{218{,}4 \text{ dm}^3}\)
e) Coût :\(218{,}4 \text{ dm}^3 = 0{,}2184 \text{ m}^3\)
\(0{,}2184 \times 950 \approx \mathbf{207{,}48 \text{ €}}\)
Une cuve de stockage de gaz est une sphère de diamètre intérieur \(d = 2{,}4\) m. On l'entoure d'une couche d'isolant de 10 cm d'épaisseur.
a) Calculer le rayon intérieur \(r_1\) et le rayon extérieur \(r_2\) (en m).
b) Calculer le volume intérieur \(V_1\) et le volume extérieur \(V_2\) (en m³, arrondir au centième). (Formule : \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\))
c) En déduire le volume d'isolant nécessaire \(V_{\text{isolant}} = V_2 - V_1\).
d) L'isolant coûte 85 €/m³. Calculer le coût de l'isolation.
e) Calculer le facteur d'agrandissement \(k = \dfrac{r_2}{r_1}\) et vérifier que \(\dfrac{V_2}{V_1} = k^3\).
\(r_1 = \dfrac{2{,}4}{2} = \mathbf{1{,}2 \text{ m}}\) | \(r_2 = 1{,}2 + 0{,}1 = \mathbf{1{,}3 \text{ m}}\)
b) Volumes :\(V_1 = \dfrac{4}{3}\pi \times 1{,}2^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 1{,}728 = 2{,}304\pi \approx \mathbf{7{,}24 \text{ m}^3}\)
\(V_2 = \dfrac{4}{3}\pi \times 1{,}3^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 2{,}197 = 2{,}929\overline{3}\pi \approx \mathbf{9{,}20 \text{ m}^3}\)
c) Volume d'isolant :\(V_{\text{isolant}} = 9{,}20 - 7{,}24 = \mathbf{1{,}96 \text{ m}^3}\)
d) Coût :\(1{,}96 \times 85 = \mathbf{166{,}60 \text{ €}}\)
e) Vérification :\(k = \dfrac{1{,}3}{1{,}2} \approx 1{,}0833\)
\(k^3 \approx 1{,}0833^3 \approx 1{,}2709\)
\(\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{9{,}20}{7{,}24} \approx 1{,}271\) ✓
Un technicien d'agencement doit choisir un réservoir de 50 litres (50 000 cm³). Trois formes sont proposées :
a) Calculer le côté du cube A (arrondir au dixième).
b) Calculer la hauteur du cylindre B (arrondir au dixième).
c) Calculer le rayon de la sphère C (arrondir au dixième).
d) Calculer l'aire totale de chaque réservoir.
Rappels : cube \(= 6a^2\), cylindre \(= 2\pi r h + 2\pi r^2\), sphère \(= 4\pi R^2\).
e) Quel réservoir utilise le moins de matériau (aire minimale) ? Commenter.
\(a = \sqrt[3]{50\,000} \approx \mathbf{36{,}8 \text{ cm}}\)
b) Cylindre :\(h = \dfrac{50\,000}{\pi \times 20^2} = \dfrac{50\,000}{400\pi} \approx \mathbf{39{,}8 \text{ cm}}\)
c) Sphère :\(R^3 = \dfrac{50\,000 \times 3}{4\pi} = \dfrac{150\,000}{4\pi} \approx 11\,937\)
\(R = \sqrt[3]{11\,937} \approx \mathbf{22{,}9 \text{ cm}}\)
d) Aires totales :Cube : \(6 \times 36{,}8^2 \approx 6 \times 1\,354 \approx \mathbf{8\,124 \text{ cm}^2}\)
Cylindre : \(2\pi \times 20 \times 39{,}8 + 2\pi \times 400 \approx 5\,003 + 2\,513 \approx \mathbf{7\,516 \text{ cm}^2}\)
Sphère : \(4\pi \times 22{,}9^2 \approx 4\pi \times 524{,}4 \approx \mathbf{6\,590 \text{ cm}^2}\)
e) Conclusion :La sphère a l'aire la plus petite (\(\approx 6\,590\) cm²). À volume égal, la sphère est la forme qui minimise la surface. C'est pourquoi les réservoirs sous pression sont souvent sphériques.
Une piscine rectangulaire vue de côté a la forme d'un prisme droit à base trapézoïdale. Dimensions :
a) Calculer l'aire de la section trapézoïdale (vue de côté).
b) Calculer le volume de la piscine (en m³).
c) Convertir en litres.
d) On remplit la piscine à 95 % de sa capacité. Quel volume d'eau (en m³ et en L) ?
e) L'eau coûte 4,20 €/m³. Calculer le coût du remplissage à 95 %.
\(A = \dfrac{(h_1 + h_2)}{2} \times L = \dfrac{(0{,}8 + 2{,}2)}{2} \times 10 = \dfrac{3}{2} \times 10 = \mathbf{15 \text{ m}^2}\)
b) Volume :\(V = A \times l = 15 \times 5 = \mathbf{75 \text{ m}^3}\)
c) En litres :\(75 \times 1\,000 = \mathbf{75\,000 \text{ L}}\)
d) Remplissage à 95 % :\(75 \times 0{,}95 = \mathbf{71{,}25 \text{ m}^3} = 71\,250 \text{ L}\)
e) Coût :\(71{,}25 \times 4{,}20 = \mathbf{299{,}25 \text{ €}}\)
Un artisan menuisier tourne un vase cylindrique creux dans un bloc de bois cylindrique plein.
a) Calculer le volume du bloc plein.
b) Calculer le volume du creux évidé.
c) En déduire le volume de bois restant dans le vase.
d) Quel pourcentage de bois a été retiré ?
e) Le bloc de bois coûte 1 500 €/m³. Calculer le coût de la matière première (bloc entier).
f) On fabrique une version agrandie avec \(k = 1{,}5\) (toutes les dimensions multipliées par 1,5). Quel est le volume de bois du grand vase ?
\(V_{\text{bloc}} = \pi \times 8^2 \times 20 = 1\,280\pi \approx \mathbf{4\,021 \text{ cm}^3}\)
b) Creux :\(V_{\text{creux}} = \pi \times 6^2 \times 18 = 648\pi \approx \mathbf{2\,036 \text{ cm}^3}\)
c) Bois restant :\(V_{\text{vase}} = 4\,021 - 2\,036 = \mathbf{1\,985 \text{ cm}^3}\)
d) Pourcentage retiré :\(\dfrac{2\,036}{4\,021} \times 100 \approx \mathbf{50{,}6\,\%}\)
e) Coût :\(4\,021 \text{ cm}^3 = 0{,}004\,021 \text{ m}^3\)
\(0{,}004\,021 \times 1\,500 \approx \mathbf{6{,}03 \text{ €}}\)
f) Version agrandie (k = 1,5) :\(k^3 = 1{,}5^3 = 3{,}375\)
\(V'_{\text{vase}} = 1\,985 \times 3{,}375 \approx \mathbf{6\,699 \text{ cm}^3}\)
Un installateur de panneaux solaires fixe des supports en forme de prisme droit à base triangulaire rectangle sur un toit plat. Chaque support :
a) Calculer l'aire de la section triangulaire (en cm²).
b) Calculer le volume d'un support (en cm³, puis en dm³).
c) L'installateur pose 12 panneaux (12 supports identiques). Quel volume total de matériau faut-il (en dm³) ?
d) Le matériau (aluminium) coûte 8 €/dm³. Calculer le coût total des supports.
e) Pour une installation plus grande, on utilise des supports 1,25 fois plus grands en toutes dimensions (\(k = 1{,}25\)). Calculer le volume d'un grand support sans refaire tout le calcul. Calculer le surcoût par support.
\(A = \dfrac{1}{2} \times 60 \times 35 = \mathbf{1\,050 \text{ cm}^2}\)
b) Volume d'un support :\(L = 1{,}6 \text{ m} = 160 \text{ cm}\)
\(V = 1\,050 \times 160 = 168\,000 \text{ cm}^3 = \mathbf{168 \text{ dm}^3}\)
c) 12 supports :\(12 \times 168 = \mathbf{2\,016 \text{ dm}^3}\)
d) Coût :\(2\,016 \times 8 = \mathbf{16\,128 \text{ €}}\)
e) Support agrandi (k = 1,25) :\(k^3 = 1{,}25^3 = 1{,}953\,125\)
\(V' = 168 \times 1{,}953\,125 \approx \mathbf{328{,}1 \text{ dm}^3}\)
Coût d'un grand support : \(328{,}1 \times 8 = 2\,624{,}8\) €
Coût d'un petit support : \(168 \times 8 = 1\,344\) €
Surcoût : \(2\,624{,}8 - 1\,344 = \mathbf{1\,280{,}80 \text{ €}}\) par support.