Fiche résumé — Solides usuels, volumes et agrandissement
Chapitre 14 | Seconde Bac Pro | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Volumes à connaître
Cube : \(V = c^3\)
Pavé droit : \(V = L \times \ell \times h\)
Cylindre : \(V = \pi r^2 h\)
Volumes fournis dans l'énoncé
Pyramide : \(V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h\)
Cône : \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\)
Boule : \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)
Conversions de volumes
- 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L
- 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³ = 1 000 mL
- 1 cm³ = 1 mL
Entre deux unités de volume consécutives : facteur × 1 000 (ou ÷ 1 000).
Agrandissement / Réduction
Si toutes les longueurs sont multipliées par \(k\) :
Longueurs : \(\times\, k\)
Aires : \(\times\, k^2\)
Volumes : \(\times\, k^3\)
Remonter à \(k\) : rapport des aires → racine carrée ; rapport des volumes → cube reconnaissable (8, 27, 64, 125, 1 000).
Exploiter un volume
Nombre de contenants à commander : volume ÷ contenance, arrondi à l'entier supérieur.
Masse : \(m = \rho \times V\) (\(\rho\) fournie)
Prix = quantité × prix unitaire.
Retrouver une dimension
Pavé : \(h = \dfrac{V}{L \times \ell}\)
Cylindre : \(h = \dfrac{V}{\pi r^2}\) ou \(r = \sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}\)
Contrôle : refaire le calcul direct avec la dimension trouvée.
Au tableur
Volume en D2 : =A2*B2*C2 ; toupies de 5 m³ en E2 : =ARRONDI.SUP(D2/5;0). On recopie vers le bas, puis total : =SOMME(D2:D5).
Pour aller plus loin — relations fournies
Hors programme, non évalué : ces relations sont toujours données.
Prisme droit : \(V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h\)
Aire latérale d'un cylindre : \(2\pi r h\)
Piège 1 : Oublier le facteur \(\dfrac{1}{3}\) pour la pyramide et le cône. Ces solides « pointus » ont un volume trois fois plus petit que le pavé ou le cylindre correspondant.
Piège 2 : Confondre rayon et diamètre dans la formule du cylindre. Si on donne le diamètre \(d\), il faut d'abord calculer \(r = \dfrac{d}{2}\) avant d'appliquer \(V = \pi r^2 h\).
Piège 3 : Croire que doubler les longueurs double le volume. Si \(k = 2\), les longueurs sont multipliées par 2, les aires par 4 et les volumes par 8. Le facteur est \(k^3\), pas \(k\).
Piège 4 : Arrondir un nombre de toupies ou de bidons au plus proche. \(1{,}2\) toupie arrondi à 1, c'est une dalle inachevée : on arrondit toujours au supérieur.
Astuce : Pour convertir des m³ en litres, multiplier par 1 000. Pour convertir des cm³ en litres, diviser par 1 000 (car 1 L = 1 000 cm³).
Astuce : Retenir la hiérarchie : longueurs en \(k\), surfaces en \(k^2\), volumes en \(k^3\). L'exposant correspond à la dimension (1D, 2D, 3D).
Résumé express — Méthode type
- Identifier le solide (cube, pavé, cylindre, pyramide, cône, boule).
- Relever les mesures nécessaires (rayon, hauteur, côtés, aire de base).
- Convertir toutes les mesures dans la même unité avant de calculer.
- Appliquer la formule de volume correspondante.
- Convertir le résultat dans l'unité demandée (m³, L, cm³...).
- Pour un agrandissement/réduction : multiplier le volume par \(k^3\).
- Répondre à la question posée : nombre de contenants (arrondi au supérieur), masse ou prix.