Fiche résumé — Solides usuels, volumes et agrandissement
Chapitre 14 | Seconde Bac Pro | Mathématiques
Volumes à connaître
Cube : \(V = a^3\)
Pavé droit : \(V = L \times l \times h\)
Cylindre : \(V = \pi r^2 h\)
Volumes donnés en énoncé
Pyramide : \(V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h\)
Cône : \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\)
Boule : \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)
Conversions de volumes
- 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L
- 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³ = 1 000 mL
- 1 cm³ = 1 mL
Entre deux unités de volume consécutives : facteur × 1 000 (ou ÷ 1 000).
Agrandissement / Réduction
Si toutes les longueurs sont multipliées par \(k\) :
Longueurs : \(\times\, k\)
Aires : \(\times\, k^2\)
Volumes : \(\times\, k^3\)
Piège 1 : Oublier le facteur \(\dfrac{1}{3}\) pour la pyramide et le cône. Ces solides « pointus » ont un volume trois fois plus petit que le prisme ou le cylindre correspondant.
Piège 2 : Confondre rayon et diamètre dans la formule du cylindre. Si on donne le diamètre \(d\), il faut d'abord calculer \(r = \dfrac{d}{2}\) avant d'appliquer \(V = \pi r^2 h\).
Piège 3 : Croire que doubler les longueurs double le volume. Si \(k = 2\), les longueurs sont multipliées par 2, les aires par 4 et les volumes par 8. Le facteur est \(k^3\), pas \(k\).
Astuce : Pour convertir des m³ en litres, multiplier par 1 000. Pour convertir des cm³ en litres, diviser par 1 000 (car 1 L = 1 000 cm³).
Astuce : Retenir la hiérarchie : longueurs en \(k\), surfaces en \(k^2\), volumes en \(k^3\). L'exposant correspond à la dimension (1D, 2D, 3D).
Résumé express — Méthode type
- Identifier le solide (cube, pavé, cylindre, pyramide, cône, boule).
- Relever les mesures nécessaires (rayon, hauteur, côtés, aire de base).
- Convertir toutes les mesures dans la même unité avant de calculer.
- Appliquer la formule de volume correspondante.
- Convertir le résultat dans l'unité demandée (m³, L, cm³...).
- Pour un agrandissement/réduction : multiplier le volume par \(k^3\).