Théorème de Thalès dans le triangle | 2de Pro MA-MA
Dernière mise à jour : 30 avril 2026
Dans chaque cas, \((DE) \parallel (BC)\), D sur [AB], E sur [AC]. Calculer la valeur manquante.
a) \(AD = 4\) cm, \(AB = 8\) cm, \(BC = 6\) cm. Calculer \(DE\).
b) \(AD = 5\) cm, \(AB = 10\) cm, \(BC = 12\) cm. Calculer \(DE\).
c) \(AD = 3\) cm, \(AB = 9\) cm, \(DE = 7\) cm. Calculer \(BC\).
\(\dfrac{4}{8} = \dfrac{DE}{6}\) donc \(DE = 6 \times \dfrac{4}{8} = 6 \times 0{,}5 = \mathbf{3 \text{ cm}}\)
b) Thalès : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\)\(\dfrac{5}{10} = \dfrac{DE}{12}\) donc \(DE = 12 \times \dfrac{5}{10} = 12 \times 0{,}5 = \mathbf{6 \text{ cm}}\)
c) Thalès : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\)\(\dfrac{3}{9} = \dfrac{7}{BC}\) donc \(BC = 7 \times \dfrac{9}{3} = 7 \times 3 = \mathbf{21 \text{ cm}}\)
Dans chaque ligne, \((DE) \parallel (BC)\). Compléter la valeur manquante (notée ?).
| Cas | AD | AB | AE | AC | DE | BC |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 9 | 4 | 12 | ? | 15 |
| 2 | 6 | ? | 5 | 10 | 4 | 8 |
| 3 | ? | 20 | 3 | 12 | 5 | 20 |
| 4 | 7 | 14 | 6 | ? | 9 | 18 |
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\) donc \(DE = BC \times \dfrac{1}{3} = 15 \times \dfrac{1}{3} = \mathbf{5 \text{ cm}}\)
Cas 2 :\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\) donc \(AB = AD \times 2 = 6 \times 2 = \mathbf{12 \text{ cm}}\)
Cas 3 :\(\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}\) donc \(AD = AB \times \dfrac{1}{4} = 20 \times \dfrac{1}{4} = \mathbf{5 \text{ cm}}\)
Cas 4 :\(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2}\) donc \(AC = AE \times 2 = 6 \times 2 = \mathbf{12 \text{ cm}}\)
Dans un triangle ABC, les points D et E sont placés respectivement sur [AB] et [AC] tels que (DE) ∥ (BC).
1. \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}\). Donc \(DE = BC \times \dfrac{1}{3} = 12 \times \dfrac{1}{3} = \mathbf{4}\) cm.
2. \(AB = AD + DB = 4 + 4 = 8\). \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\). Donc \(DE = 9 \times \dfrac{1}{2} = \mathbf{4{,}5}\) cm.
3. \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\). Les rapports sont égaux, donc (DE) ∥ (BC) par la réciproque de Thalès.
4. \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5\) et \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{7}{15} \approx 0{,}467\). Les rapports sont différents, donc (DE) n'est pas parallèle à (BC).
5. Longueur réelle = \(7{,}8 \times 50 = 390\) cm = 3,90 m.
Étape 1 : \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\)
Étape 2 : \(\dfrac{6}{AB} = 0{,}4\)
Étape 3 : \(AB = \dfrac{6}{0{,}4} = \mathbf{15 \text{ cm}}\)
Vérification : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{6}{15} = 0{,}4 = \dfrac{AE}{AC}\) ✔
| Longueur | AD | DB | AB = AD + DB | AE |
|---|---|---|---|---|
| Valeur (cm) | 5 | 3 | ? | 6 |
a) \(AB = 5 + 3 = \mathbf{8}\) cm
b) \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{5}{8} = 0{,}625\)
c) \(\dfrac{5}{8} = \dfrac{6}{AC}\) donc \(AC = 6 \times \dfrac{8}{5} = \mathbf{9{,}6}\) cm
d) \(EC = 9{,}6 - 6 = \mathbf{3{,}6}\) cm
e) \(\dfrac{5}{8} = \dfrac{4}{BC}\) donc \(BC = 4 \times \dfrac{8}{5} = \mathbf{6{,}4}\) cm
Étape 1 : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\)
Étape 2 : \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}\)
Étape 3 : Les deux rapports sont égaux \(\left(\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}\right)\).
Conclusion : D'après la réciproque du théorème de Thalès, \((DE) \parallel (BC)\). ✔
Étape 1 : \(\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\)
Étape 2 : \(\dfrac{OC}{OD} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)
Étape 3 : Les deux rapports sont égaux \(\left(\dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}\right)\).
Conclusion : Oui, le théorème de Thalès est vérifié : \(\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD} = \dfrac{2}{3}\). On peut calculer \(AC = BD \times \dfrac{2}{3}\).
Étape 1 : Écrire la proportion :
\(\dfrac{\text{hauteur poteau}}{\text{ombre poteau}} = \dfrac{\text{hauteur bâtiment}}{\text{ombre bâtiment}}\)
Étape 2 : Remplacer par les valeurs :
\(\dfrac{2}{1{,}5} = \dfrac{h}{6}\)
Étape 3 : Calculer \(h\) :
\(h = 6 \times \dfrac{2}{1{,}5} = 6 \times \)…… = …… m
Étape 1 & 2 : \(\dfrac{2}{1{,}5} = \dfrac{h}{6}\)
Étape 3 : \(h = 6 \times \dfrac{2}{1{,}5} = 6 \times \dfrac{4}{3} = \mathbf{8 \text{ m}}\)
Le bâtiment mesure 8 m de haut.
| Dimension | Réelle (cm) | Maquette (cm) |
|---|---|---|
| Hauteur | 200 | ? |
| Largeur | 120 | ? |
| Profondeur | 60 | ? |
a) et b)
Hauteur maquette : \(200 \times \dfrac{1}{10} = \mathbf{20}\) cm
Largeur maquette : \(120 \times \dfrac{1}{10} = \mathbf{12}\) cm
Profondeur maquette : \(60 \times \dfrac{1}{10} = \mathbf{6}\) cm
Étape 1 : \(\dfrac{RU}{RS} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\)
Étape 2 : \(\dfrac{RV}{RT} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\)
Étape 3 : Les deux rapports sont égaux : \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}\).
Conclusion : D'après la réciproque du théorème de Thalès, \((UV) \parallel (ST)\). ✔
Étape 1 : \(BA = 4\) m (donné dans l'énoncé)
Étape 2 : \(\dfrac{BD}{BA} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)
Étape 3 : \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{BT}\) donc \(BT = 3 \times 2 = \mathbf{6 \text{ m}}\)
La distance BT est de 6 m. La rivière (entre le bord et l'arbre) est à 6 m du point B.
Étape 1 : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\)
Étape 2 : \(\dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{BC}\)
Étape 3 : \(BC = 6 \times \dfrac{5}{2} = 6 \times 2{,}5 = \mathbf{15 \text{ cm}}\)
Vérification : \(\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{6}{15} = 0{,}4 = \dfrac{AD}{AB}\) ✔
Étape 1 & 2 : \(\dfrac{1{,}20}{0{,}90} = \dfrac{h}{7{,}5}\)
Étape 3 : \(\dfrac{1{,}20}{0{,}90} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}333\)
Étape 4 : \(h = 7{,}5 \times \dfrac{4}{3} = \mathbf{10 \text{ m}}\)
Les triangles « objet + ombre » sont semblables (rayons parallèles) : on applique Thalès.
Le pylône mesure 10 m de haut.
Cas 1 :
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}\)
Les rapports sont égaux. D'après la réciproque de Thalès, \((DE) \parallel (BC)\). ✔
Cas 2 :
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4\) et \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{6}{16} = 0{,}375\)
Les rapports sont différents (\(0{,}4 \neq 0{,}375\)). Donc \((DE)\) n'est pas parallèle à \((BC)\). ✘
Les rapports diffèrent (0,4 ≠ 0,375) : (DE) n'est pas parallèle à (BC). L'écart est subtil — c'est précisément l'intérêt de la réciproque, qui permet de conclure par calcul là où l'œil hésite.
Étape 1 : \(\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\)
Étape 2 : \(\dfrac{OB}{OD} = \dfrac{1}{2}\) donc \(\dfrac{8}{OD} = \dfrac{1}{2}\)
Étape 3 : \(OD = 8 \times 2 = \mathbf{16 \text{ m}}\)
À l'échelle (1 u = 8 px) : OC est bien le double de OA, et OD le double de OB. (AC) ∥ (BD) → Thalès donne OA/OC = OB/OD = 1/2.
Vérification : \(\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{OB}{OD} = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}\) ✔
Étape 1 & 2 : \(\dfrac{1}{0{,}80} = \dfrac{h}{6{,}40}\)
Étape 3 : \(\dfrac{1}{0{,}80} = 1{,}25\)
Étape 4 : \(h = 6{,}40 \times 1{,}25 = \mathbf{8 \text{ m}}\)
L'arbre mesure 8 m de haut.
a) Longueur réelle : \(16 \times 50 = 800\) cm \(= \mathbf{8 \text{ m}}\)
b) Largeur réelle : \(10 \times 50 = 500\) cm \(= \mathbf{5 \text{ m}}\)
c) Établi : \(4 \times 50 = 200\) cm \(= \mathbf{2 \text{ m}}\)
a) Hauteur maquette : \(180 \times \dfrac{1}{6} = \mathbf{30 \text{ cm}}\)
b) Largeur maquette : \(90 \times \dfrac{1}{6} = \mathbf{15 \text{ cm}}\)
c) Profondeur maquette : \(30 \times \dfrac{1}{6} = \mathbf{5 \text{ cm}}\)
Vérification : le rapport maquette/réel est bien \(\dfrac{1}{6}\) pour chaque dimension. ✔
Étape 1 : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{7}{21} = \dfrac{1}{3}\)
Étape 2 : \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{AC}\) donc \(AC = 5 \times 3 = \mathbf{15 \text{ cm}}\)
Étape 3 : \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{DE}{18}\) donc \(DE = 18 \times \dfrac{1}{3} = \mathbf{6 \text{ cm}}\)
Toutes les longueurs sont dans le rapport 1/3 — Thalès est cohérent.
Vérification : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC} = \dfrac{1}{3}\) ✔
Dans un triangle ABC, \((DE) \parallel (BC)\) avec D sur [AB] et E sur [AC].
On donne : \(AD = 6\) cm, \(AE = 8\) cm, \(AC = 20\) cm. Calculer AB.
Puisque \((DE) \parallel (BC)\), on a \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}\)
Étape 2 — Calcul du rapport connu :\(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\)
Étape 3 — Résolution :\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{2}{5}\) donc \(\dfrac{6}{AB} = \dfrac{2}{5}\) d'où \(AB = 6 \times \dfrac{5}{2} = \mathbf{15 \text{ cm}}\)
Pour chaque cas, vérifier par la réciproque si \((DE) \parallel (BC)\).
a) \(AD = 4\) cm, \(AB = 12\) cm, \(AE = 5\) cm, \(AC = 15\) cm.
b) \(AD = 3\) cm, \(AB = 10\) cm, \(AE = 4\) cm, \(AC = 12\) cm.
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}\)
Les deux rapports sont égaux, donc par la réciproque du théorème de Thalès, \((DE) \parallel (BC)\).
b) Calcul des rapports :\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3\) et \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\)
Les deux rapports sont différents, donc \((DE)\) n'est pas parallèle à \((BC)\).
Dans un triangle ABC, \((DE) \parallel (BC)\) avec D sur [AB] et E sur [AC].
On donne : \(AD = 5\) cm, \(DB = 3\) cm, \(AE = 6\) cm, \(DE = 4\) cm.
a) Calculer \(AB\).
b) Calculer \(AC\) grâce au théorème de Thalès.
c) En déduire \(EC\).
d) Calculer \(BC\).
\(AB = AD + DB = 5 + 3 = \mathbf{8 \text{ cm}}\)
b) Thalès pour AC :\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\) donc \(\dfrac{5}{8} = \dfrac{6}{AC}\) d'où \(AC = 6 \times \dfrac{8}{5} = \mathbf{9{,}6 \text{ cm}}\)
c) Calcul de EC :\(EC = AC - AE = 9{,}6 - 6 = \mathbf{3{,}6 \text{ cm}}\)
d) Thalès pour BC :\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\) donc \(\dfrac{5}{8} = \dfrac{4}{BC}\) d'où \(BC = 4 \times \dfrac{8}{5} = \mathbf{6{,}4 \text{ cm}}\)
Le rapport k = AD/AB = 5/8 = 0,625 s'applique à toutes les longueurs : AE/AC = DE/BC = 5/8.
Dans un triangle ABC, D sur [AB] et E sur [AC], avec \((DE) \parallel (BC)\).
On pose : \(AD = x\), \(AB = x + 4\), \(AE = x + 1\), \(AC = 2x + 2\) (en cm, \(x > 0\)).
a) En utilisant le théorème de Thalès, écrire l'égalité \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\) avec les expressions en \(x\).
b) Simplifier \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{x+1}{2x+2}\) et montrer que ce rapport se simplifie.
c) Résoudre l'équation obtenue pour trouver \(x\).
d) Calculer les quatre longueurs numériques.
\(\dfrac{x}{x+4} = \dfrac{x+1}{2x+2}\)
b) Simplification :\(\dfrac{x+1}{2x+2} = \dfrac{x+1}{2(x+1)} = \dfrac{1}{2}\) (pour \(x \neq -1\), ce qui est toujours vrai car \(x > 0\))
c) Résolution :\(\dfrac{x}{x+4} = \dfrac{1}{2}\) donc \(2x = x + 4\) d'où \(x = \mathbf{4 \text{ cm}}\)
d) Longueurs numériques :D et E sont les milieux : c'est un cas particulier où (DE) joint deux milieux et mesure la moitié de (BC).
Les rayons du soleil sont parallèles. Un piquet vertical de 1,5 m projette une ombre de 2 m sur le sol.
Au même moment, un arbre projette une ombre de 8 m.
a) Poser la proportion et calculer la hauteur de l'arbre.
b) Si un troisième objet (antenne) a une ombre de 5 m, quelle est sa hauteur ?
\(\dfrac{\text{hauteur piquet}}{\text{ombre piquet}} = \dfrac{\text{hauteur arbre}}{\text{ombre arbre}}\)
\(\dfrac{1{,}5}{2} = \dfrac{h}{8}\) donc \(h = 8 \times \dfrac{1{,}5}{2} = 8 \times 0{,}75 = \mathbf{6 \text{ m}}\)
b) Antenne :\(\dfrac{1{,}5}{2} = \dfrac{h'}{5}\) donc \(h' = 5 \times 0{,}75 = \mathbf{3{,}75 \text{ m}}\)
Quotidien
Deux routes rectilignes se croisent en un point O. On place les points A et C d'un côté, B et D de l'autre, avec \((AB) \parallel (CD)\).
On donne : \(OA = 8\) m, \(OC = 12\) m, \(OB = 6\) m, \(AB = 10\) m.
a) Écrire l'égalité des rapports donnée par le théorème de Thalès dans cette configuration papillon.
b) Calculer \(OD\).
c) Calculer \(CD\).
\(\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD} = \dfrac{AB}{CD}\)
b) Calcul de OD :\(\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}\) donc \(\dfrac{8}{12} = \dfrac{6}{OD}\)
\(OD = 6 \times \dfrac{12}{8} = 6 \times 1{,}5 = \mathbf{9 \text{ m}}\)
c) Calcul de CD :\(\dfrac{8}{12} = \dfrac{10}{CD}\) donc \(CD = 10 \times \dfrac{12}{8} = 10 \times 1{,}5 = \mathbf{15 \text{ m}}\)
Menuiserie
Un menuisier vérifie l'équerrage d'un assemblage triangulaire. Dans un triangle PQR, il place les points S sur [PQ] et T sur [PR]. Il mesure :
\(PS = 9\) cm, \(PQ = 27\) cm, \(PT = 7\) cm, \(PR = 21\) cm.
a) Calculer les rapports \(\dfrac{PS}{PQ}\) et \(\dfrac{PT}{PR}\).
b) Conclure : \((ST)\) est-elle parallèle à \((QR)\) ? Justifier.
c) Sachant que \(QR = 24\) cm, en déduire \(ST\).
\(\dfrac{PS}{PQ} = \dfrac{9}{27} = \dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{PT}{PR} = \dfrac{7}{21} = \dfrac{1}{3}\)
b) Conclusion :Les deux rapports sont égaux \(\left(\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}\right)\). D'après la réciproque du théorème de Thalès, \((ST) \parallel (QR)\).
c) Calcul de ST :\(\dfrac{PS}{PQ} = \dfrac{ST}{QR}\) donc \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{ST}{24}\) d'où \(ST = 24 \times \dfrac{1}{3} = \mathbf{8 \text{ cm}}\)
Quotidien
Les rayons du soleil sont parallèles. Un poteau de clôture de 1,20 m projette une ombre de 0,80 m. Un lampadaire voisin projette une ombre de 4 m.
a) Calculer le rapport \(\dfrac{\text{hauteur}}{\text{ombre}}\) pour le poteau.
b) En déduire la hauteur du lampadaire.
c) Un panneau publicitaire a une ombre de 2,40 m. Quelle est sa hauteur ?
\(\dfrac{1{,}20}{0{,}80} = 1{,}5\)
b) Hauteur du lampadaire :\(\dfrac{h}{4} = 1{,}5\) donc \(h = 4 \times 1{,}5 = \mathbf{6 \text{ m}}\)
c) Hauteur du panneau :\(\dfrac{h'}{2{,}40} = 1{,}5\) donc \(h' = 2{,}40 \times 1{,}5 = \mathbf{3{,}60 \text{ m}}\)
Science
Un géomètre veut mesurer la largeur d'une rivière. Il ne peut pas traverser. Il utilise la méthode de Thalès.
Il place trois points A, B, C alignés sur sa rive, avec \(AB = 5\) m et \(BC = 3\) m. Il vise un rocher R sur l'autre rive. Il place un point D sur [AR] tel que \((BD) \parallel (CR)\), et mesure \(BD = 7\) m.
a) Calculer \(AC = AB + BC\).
b) Écrire la proportion de Thalès : \(\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{CR}\).
c) Calculer \(CR\).
d) Interpréter : que représente \(CR\) sur le terrain ?
\(AC = AB + BC = 5 + 3 = \mathbf{8 \text{ m}}\)
b) Proportion de Thalès :\(\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{CR}\) soit \(\dfrac{5}{8} = \dfrac{7}{CR}\)
c) Calcul de CR :\(CR = 7 \times \dfrac{8}{5} = \mathbf{11{,}2 \text{ m}}\)
d) Interprétation :\(CR = 11{,}2\) m est la distance entre le point C (sur la rive) et le rocher R (sur l'autre rive). Cette mesure permet d'estimer la largeur de la rivière.
Agencement
Sur le plan d'un abri de jardin à l'échelle \(\dfrac{1}{20}\), la section transversale du toit forme un triangle ABC. Un chevron intermédiaire est représenté par le segment [DE] parallèle à la base [BC], avec D sur [AB] et E sur [AC].
Sur le plan : \(AD = 3\) cm, \(AB = 7{,}5\) cm, \(BC = 12\) cm.
a) Calculer \(DE\) sur le plan.
b) Calculer les longueurs réelles de \(BC\) et \(DE\) (en m).
c) Le menuisier dispose d'un chevron de 1 m. Est-ce suffisant pour la pièce \(DE\) ? Justifier.
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\) donc \(\dfrac{3}{7{,}5} = \dfrac{DE}{12}\)
\(DE = 12 \times \dfrac{3}{7{,}5} = 12 \times 0{,}4 = \mathbf{4{,}8 \text{ cm}}\)
b) Longueurs réelles (×20) :\(BC_{\text{réel}} = 12 \times 20 = 240\) cm \(= \mathbf{2{,}40 \text{ m}}\)
\(DE_{\text{réel}} = 4{,}8 \times 20 = 96\) cm \(= \mathbf{0{,}96 \text{ m}}\)
c) Suffisance du chevron :\(DE_{\text{réel}} = 0{,}96\) m \(< 1\) m. Oui, le chevron de 1 m est suffisant (il reste 4 cm de marge).
Énergie
Un panneau solaire est incliné et forme un triangle avec le mur et le sol. On modélise la situation par un triangle ABC rectangle en B (B au sol). Un support intermédiaire est fixé en D sur [AC] et repose en E sur [AB], avec \((DE) \parallel (BC)\).
On donne : \(AB = 3\) m (longueur au sol), \(BC = 1{,}8\) m (hauteur du mur), \(AE = 2\) m.
a) Calculer le rapport \(\dfrac{AE}{AB}\).
b) En déduire la hauteur \(DE\) du support intermédiaire.
c) À quelle distance du mur se trouve le pied du support (\(EB\)) ?
\(\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{2}{3}\)
b) Hauteur du support (Thalès) :\(\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\) donc \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{DE}{1{,}8}\)
\(DE = 1{,}8 \times \dfrac{2}{3} = \mathbf{1{,}2 \text{ m}}\)
c) Distance au mur :\(EB = AB - AE = 3 - 2 = \mathbf{1 \text{ m}}\)
Le pied du support est à 1 m du mur.
Menuiserie
Un artisan menuisier fabrique une maquette d'un placard sur mesure à l'échelle \(\dfrac{1}{8}\). Le placard réel doit mesurer : hauteur 240 cm, largeur 160 cm, profondeur 56 cm.
a) Calculer les trois dimensions de la maquette.
b) Sur la maquette, la porte mesure 27 cm de haut et 9 cm de large. Calculer les dimensions réelles de la porte.
c) Le menuisier veut vérifier : le rapport largeur porte / largeur placard est-il le même sur la maquette et en réalité ? Justifier.
Hauteur : \(240 \div 8 = \mathbf{30 \text{ cm}}\)
Largeur : \(160 \div 8 = \mathbf{20 \text{ cm}}\)
Profondeur : \(56 \div 8 = \mathbf{7 \text{ cm}}\)
b) Dimensions réelles de la porte (×8) :Hauteur porte : \(27 \times 8 = \mathbf{216 \text{ cm}}\)
Largeur porte : \(9 \times 8 = \mathbf{72 \text{ cm}}\)
c) Vérification du rapport :Maquette : \(\dfrac{9}{20} = 0{,}45\) ; Réalité : \(\dfrac{72}{160} = 0{,}45\)
Les deux rapports sont égaux. C'est normal : un agrandissement conserve les proportions (Thalès). ✓
Quotidien
Deux routes rectilignes se croisent en un point O. De part et d'autre de O, on repère les points A, C d'un côté et B, D de l'autre, avec \((AB) \parallel (CD)\).
On mesure : \(OA = 10\) m, \(OC = 15\) m, \(OB = 8\) m, \(AB = 14\) m.
a) Écrire l'égalité des rapports donnée par Thalès dans cette configuration papillon.
b) Calculer \(OD\).
c) Calculer \(CD\).
d) Un piéton marche de A vers C en passant par O. Quelle distance totale parcourt-il ?
\(\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD} = \dfrac{AB}{CD}\)
b) Calcul de OD :\(\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}\) donc \(\dfrac{10}{15} = \dfrac{8}{OD}\)
\(OD = 8 \times \dfrac{15}{10} = 8 \times 1{,}5 = \mathbf{12 \text{ m}}\)
c) Calcul de CD :\(\dfrac{10}{15} = \dfrac{14}{CD}\) donc \(CD = 14 \times \dfrac{15}{10} = 14 \times 1{,}5 = \mathbf{21 \text{ m}}\)
d) Distance A → O → C :\(AO + OC = 10 + 15 = \mathbf{25 \text{ m}}\)
Science
Un géomètre veut mesurer la largeur \(AB\) d'un terrain inaccessible. Il choisit un point C et mesure :
\(CA = 60\) m, \(CB = 45\) m. Il place D sur [CA] tel que \(CD = 12\) m et E sur [CB] tel que \(CE = 9\) m. Il mesure \(DE = 8\) m.
a) Montrer que \((DE) \parallel (AB)\) en utilisant la réciproque de Thalès.
b) En déduire \(AB\).
c) Le géomètre veut vérifier son résultat en déplaçant les points. Il place \(D'\) sur [CA] tel que \(CD' = 20\) m et \(E'\) sur [CB] tel que \(CE' = 15\) m. Il mesure \(D'E' = 13{,}3\) m. Retrouve-t-on la même valeur de \(AB\) ? Justifier.
\(\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5}\) et \(\dfrac{CE}{CB} = \dfrac{9}{45} = \dfrac{1}{5}\)
Les rapports sont égaux, donc par la réciproque de Thalès, \((DE) \parallel (AB)\).
b) Calcul de AB :\(\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{DE}{AB}\) donc \(\dfrac{1}{5} = \dfrac{8}{AB}\)
\(AB = 8 \times 5 = \mathbf{40 \text{ m}}\)
c) Vérification avec D' et E' :\(\dfrac{CD'}{CA} = \dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{CE'}{CB} = \dfrac{15}{45} = \dfrac{1}{3}\)
Les rapports sont égaux, donc \((D'E') \parallel (AB)\).
\(\dfrac{1}{3} = \dfrac{13{,}3}{AB}\) donc \(AB = 13{,}3 \times 3 = 39{,}9 \approx \mathbf{40 \text{ m}}\)
On retrouve bien la même valeur (aux arrondis de mesure près). ✓
Agencement
La charpente d'un abri de jardin forme un triangle ABC, avec [BC] la base horizontale de 6 m et A le faîtage. On a \(AB = 5\) m et \(AC = 4{,}5\) m. Un chevron intermédiaire relie D (sur [AB]) à E (sur [AC]), avec \((DE) \parallel (BC)\) et \(AD = 3\) m.
a) Calculer le rapport \(\dfrac{AD}{AB}\).
b) En déduire \(AE\) et \(DE\).
c) Un second chevron [FG] parallèle à [BC] est placé avec \(AF = 1\) m. Calculer \(FG\).
d) Le menuisier dispose de tasseaux de 4 m. Quels chevrons ([DE] ou [FG]) peut-il couper dans un seul tasseau ?
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)
b) Calcul de AE et DE :\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\) donc \(AE = 4{,}5 \times 0{,}6 = \mathbf{2{,}7 \text{ m}}\)
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\) donc \(DE = 6 \times 0{,}6 = \mathbf{3{,}6 \text{ m}}\)
c) Second chevron FG :\(\dfrac{AF}{AB} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2\)
\(FG = BC \times 0{,}2 = 6 \times 0{,}2 = \mathbf{1{,}2 \text{ m}}\)
d) Choix du tasseau :\(DE = 3{,}6\) m \(\leq 4\) m : oui, le tasseau suffit.
\(FG = 1{,}2\) m \(\leq 4\) m : oui, le tasseau suffit aussi.
Les deux chevrons peuvent être découpés dans un tasseau de 4 m.
Un plan d'agencement est réalisé à l'échelle 1/25 (1 cm sur le plan = 25 cm en réalité).
Sur le plan :
a) Calculer la longueur réelle de la cloison (en m).
b) Calculer les dimensions réelles de la pièce (en m).
c) Calculer la surface réelle de la pièce (en m²).
d) Quel est le rapport des surfaces plan/réel ? Que remarque-t-on ?
\(L_{\text{réel}} = 15{,}6 \times 25 = 390 \text{ cm} = \mathbf{3{,}90 \text{ m}}\)
b) Dimensions réelles de la pièce :\(L = 8{,}4 \times 25 = 210 \text{ cm} = \mathbf{2{,}10 \text{ m}}\)
\(l = 5{,}2 \times 25 = 130 \text{ cm} = \mathbf{1{,}30 \text{ m}}\)
c) Surface réelle :\(S_{\text{réel}} = 2{,}10 \times 1{,}30 = \mathbf{2{,}73 \text{ m}^2}\)
d) Rapport des surfaces :\(S_{\text{plan}} = 8{,}4 \times 5{,}2 = 43{,}68 \text{ cm}^2\)
\(S_{\text{réel}} = 2{,}73 \text{ m}^2 = 27\,300 \text{ cm}^2\)
\(\dfrac{S_{\text{plan}}}{S_{\text{réel}}} = \dfrac{43{,}68}{27\,300} = \dfrac{1}{625} = \dfrac{1}{25^2}\)
Remarque : Le rapport des surfaces est \(\dfrac{1}{k^2} = \dfrac{1}{25^2}\). Lorsqu'on agrandit d'un facteur \(k\), les surfaces sont multipliées par \(k^2\).
Un tiroir modèle a pour dimensions : longueur 30 cm, largeur 20 cm, hauteur 15 cm.
On veut fabriquer une version agrandie avec un facteur \(k = 1{,}5\) sur toutes les dimensions.
a) Calculer les nouvelles dimensions du tiroir agrandi.
b) Le fond du tiroir modèle a une surface de \(30 \times 20 = 600 \text{ cm}^2\). Calculer la surface du fond du grand tiroir. Quel est le facteur multiplicatif ?
c) Calculer le volume du tiroir modèle, puis le volume du grand tiroir. Quel est le facteur multiplicatif ?
d) Si le bois pour le fond du tiroir modèle coûte 45 €, combien coûtera le fond du grand tiroir (même bois, même prix au cm²) ?
Surface grand tiroir : \(45 \times 30 = 1\,350 \text{ cm}^2\)
Facteur : \(\dfrac{1\,350}{600} = 2{,}25 = 1{,}5^2 = k^2\) → les surfaces sont multipliées par \(\mathbf{k^2 = 2{,}25}\)
c) Volumes :Modèle : \(V = 30 \times 20 \times 15 = 9\,000 \text{ cm}^3\)
Grand : \(V' = 45 \times 30 \times 22{,}5 = 30\,375 \text{ cm}^3\)
Facteur : \(\dfrac{30\,375}{9\,000} = 3{,}375 = 1{,}5^3 = k^3\) → les volumes sont multipliés par \(\mathbf{k^3 = 3{,}375}\)
d) Coût du fond :Ou directement : \(45 \times k^2 = 45 \times 2{,}25 = \mathbf{101{,}25 \text{ €}}\)
Un atelier de maintenance automobile doit acheter des panneaux de bois pour son local. Deux fournisseurs proposent :
| Fournisseur | Prix unitaire | Frais de port |
|---|---|---|
| BoisPro | 14,00 € / panneau | 0 € |
| PanneauxShop | 11,50 € / panneau | 35 € forfait |
1. Écrire le coût total chez chaque fournisseur en fonction de \(x\) (nombre de panneaux).
2. Pour quelle valeur de \(x\) les deux fournisseurs coûtent-ils le même prix ?
3. Si l'atelier commande 20 panneaux, quel fournisseur choisir ? Calculer l'économie réalisée.
4. Un plan des murs de l'atelier est à l'échelle 1/30. Sur le plan, un mur mesure 12 cm. Quelle est sa longueur réelle ? En déduire le nombre minimum de panneaux de 1,20 m de large nécessaires pour couvrir ce mur.
\(14x = 11{,}50x + 35 \Rightarrow 2{,}50x = 35 \Rightarrow x = 14\)
Pour 14 panneaux, les deux fournisseurs coûtent le même prix.
3. Pour 20 panneaux :\(C_1(20) = 14 \times 20 = 280\) € ; \(C_2(20) = 11{,}50 \times 20 + 35 = 265\) €
Choisir PanneauxShop. Économie : \(280 - 265 = \mathbf{15}\) €.
4. Longueur réelle et panneaux :Longueur réelle du mur : \(12 \times 30 = 360\) cm \(= 3{,}60\) m
Nombre de panneaux : \(\dfrac{360}{120} = 3\) panneaux exactement.
Un menuisier agenceur doit découper un panneau en forme de trapèze. Il trace un triangle ABC, puis coupe parallèlement à la base [BC] à une hauteur donnée pour obtenir le bord supérieur [DE].
Le triangle a pour dimensions : \(AB = 90\) cm, \(AC = 75\) cm, \(BC = 120\) cm. Le point D est sur [AB] tel que \(AD = 60\) cm, et E est sur [AC] avec \((DE) \parallel (BC)\).
a) Calculer le rapport \(\dfrac{AD}{AB}\).
b) En déduire \(AE\) et \(DE\).
c) Le menuisier a besoin de connaître les longueurs \(DB\) et \(EC\) pour les deux côtés latéraux du trapèze. Les calculer.
d) Pour estimer le coût de la planche, il calcule l'aire du trapèze \(BCED\). Rappel : aire du trapèze \(= \dfrac{(B + b) \times h}{2}\). La hauteur du trapèze est de 28 cm. Calculer cette aire.
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{60}{90} = \dfrac{2}{3}\)
b) Calcul de AE et DE (Thalès) :\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\) donc \(AE = 75 \times \dfrac{2}{3} = \mathbf{50 \text{ cm}}\)
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\) donc \(DE = 120 \times \dfrac{2}{3} = \mathbf{80 \text{ cm}}\)
c) Côtés latéraux :\(DB = AB - AD = 90 - 60 = \mathbf{30 \text{ cm}}\)
\(EC = AC - AE = 75 - 50 = \mathbf{25 \text{ cm}}\)
d) Aire du trapèze BCED :\(\mathcal{A} = \dfrac{(BC + DE) \times h}{2} = \dfrac{(120 + 80) \times 28}{2} = \dfrac{200 \times 28}{2} = \mathbf{2\,800 \text{ cm}^2}\)
Un technicien d'agencement réalise la maquette d'un salon d'exposition à l'échelle \(\dfrac{1}{25}\). Sur la maquette, la pièce principale mesure \(12 \text{ cm} \times 8 \text{ cm}\) et un meuble d'angle a les dimensions \(2{,}4 \text{ cm} \times 1{,}6 \text{ cm} \times 3{,}2 \text{ cm}\) (L × l × h).
a) Calculer les dimensions réelles de la pièce (en m).
b) Calculer les dimensions réelles du meuble (en m).
c) Calculer la surface au sol réelle de la pièce et celle de la maquette. Vérifier que le rapport des surfaces est bien \(k^2 = 625\).
d) Calculer le volume réel du meuble et le volume de la maquette. Vérifier que le rapport des volumes est bien \(k^3 = 15\,625\).
\(L = 12 \times 25 = 300\) cm \(= \mathbf{3 \text{ m}}\) ; \(l = 8 \times 25 = 200\) cm \(= \mathbf{2 \text{ m}}\)
b) Dimensions réelles du meuble (×25) :\(L = 2{,}4 \times 25 = 60\) cm \(= \mathbf{0{,}60 \text{ m}}\)
\(l = 1{,}6 \times 25 = 40\) cm \(= \mathbf{0{,}40 \text{ m}}\)
\(h = 3{,}2 \times 25 = 80\) cm \(= \mathbf{0{,}80 \text{ m}}\)
c) Surfaces :Maquette : \(S_m = 12 \times 8 = 96 \text{ cm}^2\)
Réelle : \(S_r = 300 \times 200 = 60\,000 \text{ cm}^2\)
\(\dfrac{S_r}{S_m} = \dfrac{60\,000}{96} = 625 = 25^2 = k^2\) ✓
d) Volumes :Maquette : \(V_m = 2{,}4 \times 1{,}6 \times 3{,}2 = 12{,}288 \text{ cm}^3\)
Réel : \(V_r = 60 \times 40 \times 80 = 192\,000 \text{ cm}^3\)
\(\dfrac{V_r}{V_m} = \dfrac{192\,000}{12{,}288} = 15\,625 = 25^3 = k^3\) ✓
Science
Un géomètre doit mesurer la distance entre deux points A et B situés de part et d'autre d'un lac. Il ne peut pas mesurer AB directement. Il utilise la méthode suivante :
a) Montrer que \((DE) \parallel (AB)\) en utilisant la réciproque du théorème de Thalès.
b) Calculer \(AB\).
c) Si le géomètre avait placé D tel que \(CD = 30\) m (au lieu de 20), à quelle distance \(CE'\) aurait-il dû placer E' pour que \((DE') \parallel (AB)\) ?
\(\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{20}{80} = \dfrac{1}{4}\) et \(\dfrac{CE}{CB} = \dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4}\)
Les rapports sont égaux. D'après la réciproque du théorème de Thalès, \((DE) \parallel (AB)\).
b) Calcul de AB :\(\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{DE}{AB}\) donc \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{18}{AB}\)
\(AB = 18 \times 4 = \mathbf{72 \text{ m}}\)
c) Nouvelle position de E' :Pour que \((D'E') \parallel (AB)\), il faut \(\dfrac{CD'}{CA} = \dfrac{CE'}{CB}\).
\(\dfrac{30}{80} = \dfrac{CE'}{60}\) donc \(CE' = 60 \times \dfrac{30}{80} = 60 \times \dfrac{3}{8} = \mathbf{22{,}5 \text{ m}}\)
Un fabricant de mobilier conçoit un escalier droit reliant deux niveaux. L'escalier monte de \(H = 2{,}70\) m sur une longueur au sol de \(L = 4{,}50\) m. L'escalier comporte 15 marches régulières.
On modélise le profil de l'escalier par un triangle ABC rectangle en B, avec \(AB = L = 4{,}50\) m (horizontal) et \(BC = H = 2{,}70\) m (vertical).
a) Calculer la hauteur d'une marche (giron vertical) et la profondeur d'une marche (giron horizontal).
b) Un palier intermédiaire est placé à la 6e marche. On appelle D le point correspondant sur [AB] et E le point correspondant sur la ligne de pente [AC], avec \((DE) \parallel (BC)\). Calculer \(AD\) et \(DE\).
c) Vérifier que le rapport \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\).
d) Un bureau d'études impose que la formule de Blondel soit respectée : \(2h + g\) doit être compris entre 59 et 65 cm, où \(h\) = hauteur et \(g\) = profondeur de marche. Est-ce le cas ici ?
Hauteur : \(h = \dfrac{2{,}70}{15} = 0{,}18\) m \(= \mathbf{18 \text{ cm}}\)
Profondeur : \(g = \dfrac{4{,}50}{15} = 0{,}30\) m \(= \mathbf{30 \text{ cm}}\)
b) Palier à la 6e marche (Thalès) :\(AD = 6 \times g = 6 \times 0{,}30 = \mathbf{1{,}80 \text{ m}}\)
Rapport : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{1{,}80}{4{,}50} = \dfrac{2}{5}\)
\(DE = BC \times \dfrac{2}{5} = 2{,}70 \times \dfrac{2}{5} = \mathbf{1{,}08 \text{ m}}\)
c) Vérification :\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{1{,}80}{4{,}50} = 0{,}4\) et \(\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{1{,}08}{2{,}70} = 0{,}4\)
Les rapports sont bien égaux. ✓
d) Formule de Blondel :\(2h + g = 2 \times 18 + 30 = 36 + 30 = \mathbf{66 \text{ cm}}\)
66 cm est légèrement au-dessus de l'intervalle [59 ; 65]. L'escalier ne respecte pas tout à fait la norme de Blondel (il faudrait ajuster les dimensions).
Énergie
Un installateur de panneaux photovoltaïques place un support incliné. La section forme un triangle FGH avec G au sol. Il fixe un renfort [IJ] parallèle à [GH], avec I sur [FG] et J sur [FH].
On pose : \(FI = x\) cm, \(FG = 3x + 6\) cm, \(FJ = x + 2\) cm, \(FH = 3x + 12\) cm (avec \(x > 0\)).
a) Écrire l'égalité de Thalès \(\dfrac{FI}{FG} = \dfrac{FJ}{FH}\) avec les expressions en \(x\).
b) Simplifier chaque fraction. Montrer que \(\dfrac{FJ}{FH} = \dfrac{x+2}{3(x+4)}\).
c) Résoudre l'équation obtenue et trouver la valeur de \(x\).
d) Calculer toutes les longueurs numériques. Sachant que \(GH = 45\) cm, calculer \(IJ\).
\(\dfrac{x}{3x+6} = \dfrac{x+2}{3x+12}\)
b) Simplifications :\(\dfrac{x}{3x+6} = \dfrac{x}{3(x+2)}\)
\(\dfrac{x+2}{3x+12} = \dfrac{x+2}{3(x+4)}\)
c) Résolution :\(\dfrac{x}{3(x+2)} = \dfrac{x+2}{3(x+4)}\)
On simplifie par \(\dfrac{1}{3}\) : \(\dfrac{x}{x+2} = \dfrac{x+2}{x+4}\)
Produit en croix : \(x(x+4) = (x+2)^2\)
\(x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4\)
\(0 = 4\) — Contradiction !
Ce résultat montre que la vérification par Thalès est indispensable : on ne peut pas supposer le parallélisme sans calcul. L'installateur devra ajuster les mesures pour garantir que le renfort est bien parallèle à la base.
Un menuisier agenceur doit poser des tasseaux horizontaux sur un pignon triangulaire ABC (A au sommet, [BC] la base en bas). La base mesure \(BC = 4{,}80\) m et les côtés \(AB = 3{,}60\) m et \(AC = 3\) m.
Il veut poser 3 tasseaux horizontaux parallèles à [BC], régulièrement espacés. Le premier tasseau \([D_1E_1]\) est placé au quart de la hauteur depuis A, le deuxième \([D_2E_2]\) à la moitié, le troisième \([D_3E_3]\) aux trois quarts.
a) Exprimer les rapports \(\dfrac{AD_1}{AB}\), \(\dfrac{AD_2}{AB}\) et \(\dfrac{AD_3}{AB}\).
b) Calculer les longueurs \(D_1E_1\), \(D_2E_2\) et \(D_3E_3\).
c) Le menuisier commande les tasseaux par lot de 2 m. Combien de lots doit-il acheter au minimum pour couper les 3 tasseaux ? Justifier.
d) Calculer la chute totale de bois (longueur non utilisée).
\(\dfrac{AD_1}{AB} = \dfrac{1}{4}\) ; \(\dfrac{AD_2}{AB} = \dfrac{1}{2}\) ; \(\dfrac{AD_3}{AB} = \dfrac{3}{4}\)
b) Longueurs des tasseaux (Thalès) :\(D_1E_1 = BC \times \dfrac{1}{4} = 4{,}80 \times 0{,}25 = \mathbf{1{,}20 \text{ m}}\)
\(D_2E_2 = BC \times \dfrac{1}{2} = 4{,}80 \times 0{,}5 = \mathbf{2{,}40 \text{ m}}\)
\(D_3E_3 = BC \times \dfrac{3}{4} = 4{,}80 \times 0{,}75 = \mathbf{3{,}60 \text{ m}}\)
c) Nombre de lots de 2 m :\(D_1E_1 = 1{,}20\) m → 1 lot de 2 m suffit.
\(D_2E_2 = 2{,}40\) m → 2 lots de 2 m (on en coupe un bout de 0,40 m dans le second).
\(D_3E_3 = 3{,}60\) m → 2 lots de 2 m.
Total : \(1 + 2 + 2 = \mathbf{5 \text{ lots}}\) de 2 m.
d) Chute totale :Bois acheté : \(5 \times 2 = 10\) m. Bois utilisé : \(1{,}20 + 2{,}40 + 3{,}60 = 7{,}20\) m.
Chute : \(10 - 7{,}20 = \mathbf{2{,}80 \text{ m}}\)
Dans un atelier, deux poutres rectilignes se croisent en un point O. On repère les extrémités A, B d'un côté et C, D de l'autre. On sait que \((AC) \parallel (BD)\).
On mesure : \(OA = 2{,}50\) m, \(OB = 3{,}75\) m, \(OC = 4\) m, \(AC = 3\) m.
a) Écrire l'égalité de Thalès dans cette configuration papillon (sommet O).
b) Calculer \(OD\).
c) Calculer \(BD\).
d) Un technicien d'agencement affirme : « Si on double les distances OA et OB, alors les longueurs AC et BD doublent aussi. » A-t-il raison ? Justifier par un calcul.
Puisque \((AC) \parallel (BD)\), les triangles OAC et OBD sont semblables (configuration papillon). On a donc :
\(\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD} = \dfrac{AC}{BD}\)
b) Calcul de OD :\(\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD}\) donc \(\dfrac{2{,}50}{3{,}75} = \dfrac{4}{OD}\)
\(OD = 4 \times \dfrac{3{,}75}{2{,}50} = 4 \times 1{,}5 = \mathbf{6 \text{ m}}\)
c) Calcul de BD :\(\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{AC}{BD}\) donc \(\dfrac{2{,}50}{3{,}75} = \dfrac{3}{BD}\)
\(BD = 3 \times \dfrac{3{,}75}{2{,}50} = 3 \times 1{,}5 = \mathbf{4{,}50 \text{ m}}\)
d) Si on double OA et OB :Le rapport \(\dfrac{OA}{OB}\) reste inchangé (\(\dfrac{5}{7{,}50} = \dfrac{2}{3}\) au lieu de \(\dfrac{2{,}50}{3{,}75} = \dfrac{2}{3}\)). En revanche, OC et OD restent fixes : le rapport \(\dfrac{OA}{OC}\) change donc.
Doubler OA et OB déplace A et B sur leurs droites, ce qui modifie la configuration du papillon. Les longueurs AC et BD ne doublent pas mécaniquement. Le technicien a tort.
Un menuisier conçoit une étagère murale en forme de triangle ABC, avec A en haut, [BC] la base horizontale en bas. Les dimensions sont : \(AB = 80\) cm, \(AC = 60\) cm, \(BC = 100\) cm.
Il veut placer deux étagères horizontales parallèles à [BC] : la première \([D_1E_1]\) à mi-hauteur et la seconde \([D_2E_2]\) aux deux tiers depuis A.
1. Calculer les longueurs \(D_1E_1\) et \(D_2E_2\).
2. Calculer \(AD_1\), \(AD_2\), \(AE_1\), \(AE_2\).
3. Sur un plan à l'échelle \(\dfrac{1}{5}\), dessiner le triangle et les deux étagères. Donner les dimensions sur le plan.
4. Le menuisier veut estimer la quantité de bois. Calculer la longueur totale de bois nécessaire pour les deux étagères, les deux côtés \(D_1B\) et \(E_1C\), et la base \(BC\). Arrondir au cm.
5. Si le bois coûte 8,50 € le mètre linéaire, calculer le coût total des pièces découpées (question 4).
Première étagère (\(k_1 = \dfrac{1}{2}\)) : \(D_1E_1 = 100 \times \dfrac{1}{2} = \mathbf{50 \text{ cm}}\)
Seconde étagère (\(k_2 = \dfrac{2}{3}\)) : \(D_2E_2 = 100 \times \dfrac{2}{3} \approx \mathbf{66{,}7 \text{ cm}}\)
2. Longueurs sur les côtés :\(AD_1 = 80 \times \dfrac{1}{2} = \mathbf{40 \text{ cm}}\) ; \(AE_1 = 60 \times \dfrac{1}{2} = \mathbf{30 \text{ cm}}\)
\(AD_2 = 80 \times \dfrac{2}{3} \approx \mathbf{53{,}3 \text{ cm}}\) ; \(AE_2 = 60 \times \dfrac{2}{3} = \mathbf{40 \text{ cm}}\)
3. Dimensions sur le plan (÷5) :Triangle : \(AB = 16\) cm, \(AC = 12\) cm, \(BC = 20\) cm
Étagère 1 : \(D_1E_1 = 10\) cm ; Étagère 2 : \(D_2E_2 \approx 13{,}3\) cm
4. Longueur totale de bois :\(D_1B = AB - AD_1 = 80 - 40 = 40\) cm ; \(E_1C = AC - AE_1 = 60 - 30 = 30\) cm
Total : \(D_1E_1 + D_2E_2 + D_1B + E_1C + BC = 50 + 66{,}7 + 40 + 30 + 100 = \mathbf{286{,}7 \text{ cm}} \approx 2{,}87 \text{ m}\)
5. Coût :\(2{,}87 \times 8{,}50 = \mathbf{24{,}40 \text{ €}}\) (arrondi au centime)