Théorème de Thalès dans le triangle | 2de Bac Pro
Dernière mise à jour : 19 juillet 2026, 15:22
Dans chaque cas, \((DE) \parallel (BC)\), D sur [AB], E sur [AC]. Calculer la valeur manquante.
a) \(AD = 4\) cm, \(AB = 8\) cm, \(BC = 6\) cm. Calculer \(DE\).
b) \(AD = 5\) cm, \(AB = 10\) cm, \(BC = 12\) cm. Calculer \(DE\).
c) \(AD = 3\) cm, \(AB = 9\) cm, \(DE = 7\) cm. Calculer \(BC\).
\(\dfrac{4}{8} = \dfrac{DE}{6}\) donc \(DE = 6 \times \dfrac{4}{8} = 6 \times 0{,}5 = \mathbf{3 \text{ cm}}\)
b) Thalès : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\)\(\dfrac{5}{10} = \dfrac{DE}{12}\) donc \(DE = 12 \times \dfrac{5}{10} = 12 \times 0{,}5 = \mathbf{6 \text{ cm}}\)
c) Thalès : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\)\(\dfrac{3}{9} = \dfrac{7}{BC}\) donc \(BC = 7 \times \dfrac{9}{3} = 7 \times 3 = \mathbf{21 \text{ cm}}\)
Dans chaque ligne, \((DE) \parallel (BC)\). Compléter la valeur manquante (notée ?).
| Cas | AD | AB | AE | AC | DE | BC |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 9 | 4 | 12 | ? | 15 |
| 2 | 6 | ? | 5 | 10 | 4 | 8 |
| 3 | ? | 20 | 3 | 12 | 5 | 20 |
| 4 | 7 | 14 | 6 | ? | 9 | 18 |
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\) donc \(DE = BC \times \dfrac{1}{3} = 15 \times \dfrac{1}{3} = \mathbf{5 \text{ cm}}\)
Cas 2 :\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\) donc \(AB = AD \times 2 = 6 \times 2 = \mathbf{12 \text{ cm}}\)
Cas 3 :\(\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}\) donc \(AD = AB \times \dfrac{1}{4} = 20 \times \dfrac{1}{4} = \mathbf{5 \text{ cm}}\)
Cas 4 :\(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2}\) donc \(AC = AE \times 2 = 6 \times 2 = \mathbf{12 \text{ cm}}\)
Étape 1 : \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\)
Étape 2 : \(\dfrac{6}{AB} = 0{,}4\)
Étape 3 : \(AB = \dfrac{6}{0{,}4} = \mathbf{15 \text{ cm}}\)
Vérification : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{6}{15} = 0{,}4 = \dfrac{AE}{AC}\) ✔
| Longueur | AD | DB | AB = AD + DB | AE |
|---|---|---|---|---|
| Valeur (cm) | 5 | 3 | ? | 6 |
a) \(AB = 5 + 3 = \mathbf{8}\) cm
b) \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{5}{8} = 0{,}625\)
c) \(\dfrac{5}{8} = \dfrac{6}{AC}\) donc \(AC = 6 \times \dfrac{8}{5} = \mathbf{9{,}6}\) cm
d) \(EC = 9{,}6 - 6 = \mathbf{3{,}6}\) cm
e) \(\dfrac{5}{8} = \dfrac{4}{BC}\) donc \(BC = 4 \times \dfrac{8}{5} = \mathbf{6{,}4}\) cm
Étape 1 : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\)
Étape 2 : \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}\)
Étape 3 : Les deux rapports sont égaux \(\left(\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}\right)\).
Conclusion : D'après la réciproque du théorème de Thalès, \((DE) \parallel (BC)\). ✔
Étape 1 : \(\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\)
Étape 2 : \(\dfrac{OC}{OD} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)
Étape 3 : Les deux rapports sont égaux \(\left(\dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}\right)\).
Conclusion : Oui, le théorème de Thalès est vérifié : \(\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD} = \dfrac{2}{3}\). On peut calculer \(AC = BD \times \dfrac{2}{3}\).
Étape 1 : Écrire la proportion :
\(\dfrac{\text{hauteur poteau}}{\text{ombre poteau}} = \dfrac{\text{hauteur bâtiment}}{\text{ombre bâtiment}}\)
Étape 2 : Remplacer par les valeurs :
\(\dfrac{2}{1{,}5} = \dfrac{h}{6}\)
Étape 3 : Calculer \(h\) :
\(h = 6 \times \dfrac{2}{1{,}5} = 6 \times \)…… = …… m
Étape 1 & 2 : \(\dfrac{2}{1{,}5} = \dfrac{h}{6}\)
Étape 3 : \(h = 6 \times \dfrac{2}{1{,}5} = 6 \times \dfrac{4}{3} = \mathbf{8 \text{ m}}\)
Le bâtiment mesure 8 m de haut.
| Dimension | Réelle (cm) | Maquette (cm) |
|---|---|---|
| Hauteur | 200 | ? |
| Largeur | 120 | ? |
| Profondeur | 60 | ? |
a) et b)
Hauteur maquette : \(200 \times \dfrac{1}{10} = \mathbf{20}\) cm
Largeur maquette : \(120 \times \dfrac{1}{10} = \mathbf{12}\) cm
Profondeur maquette : \(60 \times \dfrac{1}{10} = \mathbf{6}\) cm
Étape 1 : \(\dfrac{RU}{RS} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\)
Étape 2 : \(\dfrac{RV}{RT} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\)
Étape 3 : Les deux rapports sont égaux : \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}\).
Conclusion : D'après la réciproque du théorème de Thalès, \((UV) \parallel (ST)\). ✔
Étape 1 : \(AD = AB + BD = 4 + 2 = \mathbf{6}\) m
Étape 2 : \(\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)
Étape 3 : \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{DE}\) donc \(DE = 3 \times \dfrac{6}{4} = 3 \times 1{,}5 = \mathbf{4{,}5 \text{ m}}\)
Vérification : \(\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{2}{3} = \dfrac{AB}{AD}\) ✔ La distance inaccessible \(DE\) mesure 4,5 m.
Étape 1 : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\)
Étape 2 : \(\dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{BC}\)
Étape 3 : \(BC = 6 \times \dfrac{5}{2} = 6 \times 2{,}5 = \mathbf{15 \text{ cm}}\)
Vérification : \(\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{6}{15} = 0{,}4 = \dfrac{AD}{AB}\) ✔
Étape 1 & 2 : \(\dfrac{1{,}20}{0{,}90} = \dfrac{h}{7{,}5}\)
Étape 3 : \(\dfrac{1{,}20}{0{,}90} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}333\)
Étape 4 : \(h = 7{,}5 \times \dfrac{4}{3} = \mathbf{10 \text{ m}}\)
Les triangles « objet + ombre » sont semblables (rayons parallèles) : on applique Thalès.
Le pylône mesure 10 m de haut.
Cas 1 :
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}\)
Les rapports sont égaux. D'après la réciproque de Thalès, \((DE) \parallel (BC)\). ✔
Cas 2 :
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4\) et \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{6}{16} = 0{,}375\)
Les rapports sont différents (\(0{,}4 \neq 0{,}375\)). Donc \((DE)\) n'est pas parallèle à \((BC)\). ✘
Les rapports diffèrent (0,4 ≠ 0,375) : (DE) n'est pas parallèle à (BC). L'écart est subtil — c'est précisément l'intérêt de la réciproque, qui permet de conclure par calcul là où l'œil hésite.
Étape 1 : \(\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\)
Étape 2 : \(\dfrac{OB}{OD} = \dfrac{1}{2}\) donc \(\dfrac{8}{OD} = \dfrac{1}{2}\)
Étape 3 : \(OD = 8 \times 2 = \mathbf{16 \text{ m}}\)
À l'échelle (1 u = 8 px) : OC est bien le double de OA, et OD le double de OB. (AC) ∥ (BD) → Thalès donne OA/OC = OB/OD = 1/2.
Vérification : \(\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{OB}{OD} = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}\) ✔
Étape 1 & 2 : \(\dfrac{1}{0{,}80} = \dfrac{h}{6{,}40}\)
Étape 3 : \(\dfrac{1}{0{,}80} = 1{,}25\)
Étape 4 : \(h = 6{,}40 \times 1{,}25 = \mathbf{8 \text{ m}}\)
L'arbre mesure 8 m de haut.
a) Longueur réelle : \(16 \times 50 = 800\) cm \(= \mathbf{8 \text{ m}}\)
b) Largeur réelle : \(10 \times 50 = 500\) cm \(= \mathbf{5 \text{ m}}\)
c) Chaudière : \(4 \times 50 = 200\) cm \(= \mathbf{2 \text{ m}}\)
a) Hauteur maquette : \(180 \times \dfrac{1}{6} = \mathbf{30 \text{ cm}}\)
b) Largeur maquette : \(90 \times \dfrac{1}{6} = \mathbf{15 \text{ cm}}\)
c) Profondeur maquette : \(30 \times \dfrac{1}{6} = \mathbf{5 \text{ cm}}\)
Vérification : le rapport maquette/réel est bien \(\dfrac{1}{6}\) pour chaque dimension. ✔
Étape 1 : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{7}{21} = \dfrac{1}{3}\)
Étape 2 : \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{AC}\) donc \(AC = 5 \times 3 = \mathbf{15 \text{ cm}}\)
Étape 3 : \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{DE}{18}\) donc \(DE = 18 \times \dfrac{1}{3} = \mathbf{6 \text{ cm}}\)
Toutes les longueurs sont dans le rapport 1/3 — Thalès est cohérent.
Vérification : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC} = \dfrac{1}{3}\) ✔
Dans un triangle ABC, les points D et E sont placés respectivement sur [AB] et [AC] tels que (DE) ∥ (BC).
1. \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}\). Donc \(DE = BC \times \dfrac{1}{3} = 12 \times \dfrac{1}{3} = \mathbf{4}\) cm.
2. \(AB = AD + DB = 4 + 4 = 8\). \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\). Donc \(DE = 9 \times \dfrac{1}{2} = \mathbf{4{,}5}\) cm.
3. \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\). Les rapports sont égaux, donc (DE) ∥ (BC) par la réciproque de Thalès.
4. \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5\) et \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{7}{15} \approx 0{,}467\). Les rapports sont différents, donc (DE) n'est pas parallèle à (BC).
5. Longueur réelle = \(7{,}8 \times 50 = 390\) cm = 3,90 m.
Dans un triangle ABC, \((DE) \parallel (BC)\) avec D sur [AB] et E sur [AC].
On donne : \(AD = 6\) cm, \(AE = 8\) cm, \(AC = 20\) cm. Calculer AB.
Puisque \((DE) \parallel (BC)\), on a \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}\)
Étape 2 — Calcul du rapport connu :\(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\)
Étape 3 — Résolution :\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{2}{5}\) donc \(\dfrac{6}{AB} = \dfrac{2}{5}\) d'où \(AB = 6 \times \dfrac{5}{2} = \mathbf{15 \text{ cm}}\)
Pour chaque cas, vérifier par la réciproque si \((DE) \parallel (BC)\).
a) \(AD = 4\) cm, \(AB = 12\) cm, \(AE = 5\) cm, \(AC = 15\) cm.
b) \(AD = 3\) cm, \(AB = 10\) cm, \(AE = 4\) cm, \(AC = 12\) cm.
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}\)
Les deux rapports sont égaux, donc par la réciproque du théorème de Thalès, \((DE) \parallel (BC)\).
b) Calcul des rapports :\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3\) et \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\)
Les deux rapports sont différents, donc \((DE)\) n'est pas parallèle à \((BC)\).
Dans un triangle ABC, \((DE) \parallel (BC)\) avec D sur [AB] et E sur [AC].
On donne : \(AD = 6\) cm, \(DB = 4\) cm, \(AE = 9\) cm, \(DE = 6\) cm.
a) Calculer \(AB\).
b) Calculer \(AC\) grâce au théorème de Thalès.
c) En déduire \(EC\).
d) Calculer \(BC\).
\(AB = AD + DB = 6 + 4 = \mathbf{10 \text{ cm}}\)
b) Thalès pour AC :\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\) donc \(\dfrac{6}{10} = \dfrac{9}{AC}\) d'où \(AC = 9 \times \dfrac{10}{6} = \mathbf{15 \text{ cm}}\)
c) Calcul de EC :\(EC = AC - AE = 15 - 9 = \mathbf{6 \text{ cm}}\)
d) Thalès pour BC :\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\) donc \(\dfrac{6}{10} = \dfrac{6}{BC}\) d'où \(BC = 6 \times \dfrac{10}{6} = \mathbf{10 \text{ cm}}\)
Le rapport k = AD/AB = 6/10 = 0,6 s'applique à toutes les longueurs : AE/AC = DE/BC = 0,6.
Dans un triangle ABC, D sur [AB] et E sur [AC], avec \((DE) \parallel (BC)\).
On pose : \(AD = x\), \(AB = x + 4\), \(AE = x + 1\), \(AC = 2x + 2\) (en cm, \(x > 0\)).
a) En utilisant le théorème de Thalès, écrire l'égalité \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\) avec les expressions en \(x\).
b) Simplifier \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{x+1}{2x+2}\) et montrer que ce rapport se simplifie.
c) Résoudre l'équation obtenue pour trouver \(x\).
d) Calculer les quatre longueurs numériques.
\(\dfrac{x}{x+4} = \dfrac{x+1}{2x+2}\)
b) Simplification :\(\dfrac{x+1}{2x+2} = \dfrac{x+1}{2(x+1)} = \dfrac{1}{2}\) (pour \(x \neq -1\), ce qui est toujours vrai car \(x > 0\))
c) Résolution :\(\dfrac{x}{x+4} = \dfrac{1}{2}\) donc \(2x = x + 4\) d'où \(x = \mathbf{4 \text{ cm}}\)
d) Longueurs numériques :D et E sont les milieux : c'est un cas particulier où (DE) joint deux milieux et mesure la moitié de (BC).
Les rayons du soleil sont parallèles. Un piquet vertical de 1,5 m projette une ombre de 2 m sur le sol.
Au même moment, un arbre projette une ombre de 8 m.
a) Poser la proportion et calculer la hauteur de l'arbre.
b) Si un troisième objet (antenne) a une ombre de 5 m, quelle est sa hauteur ?
\(\dfrac{\text{hauteur piquet}}{\text{ombre piquet}} = \dfrac{\text{hauteur arbre}}{\text{ombre arbre}}\)
\(\dfrac{1{,}5}{2} = \dfrac{h}{8}\) donc \(h = 8 \times \dfrac{1{,}5}{2} = 8 \times 0{,}75 = \mathbf{6 \text{ m}}\)
b) Antenne :\(\dfrac{1{,}5}{2} = \dfrac{h'}{5}\) donc \(h' = 5 \times 0{,}75 = \mathbf{3{,}75 \text{ m}}\)
Quotidien
Deux routes rectilignes se croisent en un point O. On place les points A et C d'un côté, B et D de l'autre, avec \((AB) \parallel (CD)\).
On donne : \(OA = 8\) m, \(OC = 12\) m, \(OB = 6\) m, \(AB = 10\) m.
a) Écrire l'égalité des rapports donnée par le théorème de Thalès dans cette configuration papillon.
b) Calculer \(OD\).
c) Calculer \(CD\).
\(\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD} = \dfrac{AB}{CD}\)
b) Calcul de OD :\(\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}\) donc \(\dfrac{8}{12} = \dfrac{6}{OD}\)
\(OD = 6 \times \dfrac{12}{8} = 6 \times 1{,}5 = \mathbf{9 \text{ m}}\)
c) Calcul de CD :\(\dfrac{8}{12} = \dfrac{10}{CD}\) donc \(CD = 10 \times \dfrac{12}{8} = 10 \times 1{,}5 = \mathbf{15 \text{ m}}\)
Bâtiment
Un chef de chantier vérifie l'équerrage d'un coffrage triangulaire. Dans un triangle PQR, il place les points S sur [PQ] et T sur [PR]. Il mesure :
\(PS = 9\) cm, \(PQ = 27\) cm, \(PT = 7\) cm, \(PR = 21\) cm.
a) Calculer les rapports \(\dfrac{PS}{PQ}\) et \(\dfrac{PT}{PR}\).
b) Conclure : \((ST)\) est-elle parallèle à \((QR)\) ? Justifier.
c) Sachant que \(QR = 24\) cm, en déduire \(ST\).
\(\dfrac{PS}{PQ} = \dfrac{9}{27} = \dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{PT}{PR} = \dfrac{7}{21} = \dfrac{1}{3}\)
b) Conclusion :Les deux rapports sont égaux \(\left(\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}\right)\). D'après la réciproque du théorème de Thalès, \((ST) \parallel (QR)\).
c) Calcul de ST :\(\dfrac{PS}{PQ} = \dfrac{ST}{QR}\) donc \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{ST}{24}\) d'où \(ST = 24 \times \dfrac{1}{3} = \mathbf{8 \text{ cm}}\)
Quotidien
Les rayons du soleil sont parallèles. Un poteau de clôture de 1,20 m projette une ombre de 0,80 m. Un lampadaire voisin projette une ombre de 4 m.
a) Calculer le rapport \(\dfrac{\text{hauteur}}{\text{ombre}}\) pour le poteau.
b) En déduire la hauteur du lampadaire.
c) Un panneau publicitaire a une ombre de 2,40 m. Quelle est sa hauteur ?
\(\dfrac{1{,}20}{0{,}80} = 1{,}5\)
b) Hauteur du lampadaire :\(\dfrac{h}{4} = 1{,}5\) donc \(h = 4 \times 1{,}5 = \mathbf{6 \text{ m}}\)
c) Hauteur du panneau :\(\dfrac{h'}{2{,}40} = 1{,}5\) donc \(h' = 2{,}40 \times 1{,}5 = \mathbf{3{,}60 \text{ m}}\)
Bâtiment — Topographie
Un géomètre veut mesurer la largeur d'une rivière. Il ne peut pas traverser. Il utilise la méthode de Thalès.
Il place trois points A, B, C alignés sur sa rive, avec \(AB = 5\) m et \(BC = 3\) m. Il vise un rocher R sur l'autre rive. Il place un point D sur [AR] tel que \((BD) \parallel (CR)\), et mesure \(BD = 7\) m.
a) Calculer \(AC = AB + BC\).
b) Écrire la proportion de Thalès : \(\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{CR}\).
c) Calculer \(CR\).
d) Interpréter : que représente \(CR\) sur le terrain ?
\(AC = AB + BC = 5 + 3 = \mathbf{8 \text{ m}}\)
b) Proportion de Thalès :\(\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{CR}\) soit \(\dfrac{5}{8} = \dfrac{7}{CR}\)
c) Calcul de CR :\(CR = 7 \times \dfrac{8}{5} = \mathbf{11{,}2 \text{ m}}\)
d) Interprétation :\(CR = 11{,}2\) m est la distance entre le point C (sur la rive) et le rocher R (sur l'autre rive). Cette mesure permet d'estimer la largeur de la rivière.
Agencement
Sur le plan d'un abri de jardin à l'échelle \(\dfrac{1}{20}\), la section transversale du toit forme un triangle ABC. Un chevron intermédiaire est représenté par le segment [DE] parallèle à la base [BC], avec D sur [AB] et E sur [AC].
Sur le plan : \(AD = 3\) cm, \(AB = 7{,}5\) cm, \(BC = 12\) cm.
a) Calculer \(DE\) sur le plan.
b) Calculer les longueurs réelles de \(BC\) et \(DE\) (en m).
c) Le menuisier dispose d'un chevron de 1 m. Est-ce suffisant pour la pièce \(DE\) ? Justifier.
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\) donc \(\dfrac{3}{7{,}5} = \dfrac{DE}{12}\)
\(DE = 12 \times \dfrac{3}{7{,}5} = 12 \times 0{,}4 = \mathbf{4{,}8 \text{ cm}}\)
b) Longueurs réelles (×20) :\(BC_{\text{réel}} = 12 \times 20 = 240\) cm \(= \mathbf{2{,}40 \text{ m}}\)
\(DE_{\text{réel}} = 4{,}8 \times 20 = 96\) cm \(= \mathbf{0{,}96 \text{ m}}\)
c) Suffisance du chevron :\(DE_{\text{réel}} = 0{,}96\) m \(< 1\) m. Oui, le chevron de 1 m est suffisant (il reste 4 cm de marge).
Énergie
Un panneau solaire est incliné et forme un triangle avec le mur et le sol. On modélise la situation par un triangle ABC rectangle en B (B au sol). Un support intermédiaire est fixé en D sur [AC] et repose en E sur [AB], avec \((DE) \parallel (BC)\).
On donne : \(AB = 3\) m (longueur au sol), \(BC = 1{,}8\) m (hauteur du mur), \(AE = 2\) m.
a) Calculer le rapport \(\dfrac{AE}{AB}\).
b) En déduire la hauteur \(DE\) du support intermédiaire.
c) À quelle distance du mur se trouve le pied du support (\(EB\)) ?
\(\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{2}{3}\)
b) Hauteur du support (Thalès) :\(\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\) donc \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{DE}{1{,}8}\)
\(DE = 1{,}8 \times \dfrac{2}{3} = \mathbf{1{,}2 \text{ m}}\)
c) Distance au mur :\(EB = AB - AE = 3 - 2 = \mathbf{1 \text{ m}}\)
Le pied du support est à 1 m du mur.
Énergie
Un électricien prépare la maquette d'une armoire électrique industrielle à l'échelle \(\dfrac{1}{8}\). L'armoire réelle doit mesurer : hauteur 240 cm, largeur 160 cm, profondeur 56 cm.
a) Calculer les trois dimensions de la maquette.
b) Sur la maquette, la porte mesure 27 cm de haut et 9 cm de large. Calculer les dimensions réelles de la porte.
c) L'électricien veut vérifier : le rapport largeur porte / largeur armoire est-il le même sur la maquette et en réalité ? Justifier.
Hauteur : \(240 \div 8 = \mathbf{30 \text{ cm}}\)
Largeur : \(160 \div 8 = \mathbf{20 \text{ cm}}\)
Profondeur : \(56 \div 8 = \mathbf{7 \text{ cm}}\)
b) Dimensions réelles de la porte (×8) :Hauteur porte : \(27 \times 8 = \mathbf{216 \text{ cm}}\)
Largeur porte : \(9 \times 8 = \mathbf{72 \text{ cm}}\)
c) Vérification du rapport :Maquette : \(\dfrac{9}{20} = 0{,}45\) ; Réalité : \(\dfrac{72}{160} = 0{,}45\)
Les deux rapports sont égaux. C'est normal : un agrandissement conserve les proportions (Thalès). ✓
Quotidien
Deux routes rectilignes se croisent en un point O. De part et d'autre de O, on repère les points A, C d'un côté et B, D de l'autre, avec \((AB) \parallel (CD)\).
On mesure : \(OA = 10\) m, \(OC = 15\) m, \(OB = 8\) m, \(AB = 14\) m.
a) Écrire l'égalité des rapports donnée par Thalès dans cette configuration papillon.
b) Calculer \(OD\).
c) Calculer \(CD\).
d) Un piéton marche de A vers C en passant par O. Quelle distance totale parcourt-il ?
\(\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD} = \dfrac{AB}{CD}\)
b) Calcul de OD :\(\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}\) donc \(\dfrac{10}{15} = \dfrac{8}{OD}\)
\(OD = 8 \times \dfrac{15}{10} = 8 \times 1{,}5 = \mathbf{12 \text{ m}}\)
c) Calcul de CD :\(\dfrac{10}{15} = \dfrac{14}{CD}\) donc \(CD = 14 \times \dfrac{15}{10} = 14 \times 1{,}5 = \mathbf{21 \text{ m}}\)
d) Distance A → O → C :\(AO + OC = 10 + 15 = \mathbf{25 \text{ m}}\)
Bâtiment — Topographie
Un géomètre veut mesurer la largeur \(AB\) d'un terrain inaccessible. Il choisit un point C et mesure :
\(CA = 60\) m, \(CB = 45\) m. Il place D sur [CA] tel que \(CD = 12\) m et E sur [CB] tel que \(CE = 9\) m. Il mesure \(DE = 8\) m.
a) Montrer que \((DE) \parallel (AB)\) en utilisant la réciproque de Thalès.
b) En déduire \(AB\).
c) Le géomètre veut vérifier son résultat en déplaçant les points. Il place \(D'\) sur [CA] tel que \(CD' = 20\) m et \(E'\) sur [CB] tel que \(CE' = 15\) m. Il mesure \(D'E' = 13{,}3\) m. Retrouve-t-on la même valeur de \(AB\) ? Justifier.
\(\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5}\) et \(\dfrac{CE}{CB} = \dfrac{9}{45} = \dfrac{1}{5}\)
Les rapports sont égaux, donc par la réciproque de Thalès, \((DE) \parallel (AB)\).
b) Calcul de AB :\(\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{DE}{AB}\) donc \(\dfrac{1}{5} = \dfrac{8}{AB}\)
\(AB = 8 \times 5 = \mathbf{40 \text{ m}}\)
c) Vérification avec D' et E' :\(\dfrac{CD'}{CA} = \dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{CE'}{CB} = \dfrac{15}{45} = \dfrac{1}{3}\)
Les rapports sont égaux, donc \((D'E') \parallel (AB)\).
\(\dfrac{1}{3} = \dfrac{13{,}3}{AB}\) donc \(AB = 13{,}3 \times 3 = 39{,}9 \approx \mathbf{40 \text{ m}}\)
On retrouve bien la même valeur (aux arrondis de mesure près). ✓
Agencement
La charpente d'un abri de jardin forme un triangle ABC, avec [BC] la base horizontale de 6 m et A le faîtage. On a \(AB = 5\) m et \(AC = 4{,}5\) m. Un chevron intermédiaire relie D (sur [AB]) à E (sur [AC]), avec \((DE) \parallel (BC)\) et \(AD = 3\) m.
a) Calculer le rapport \(\dfrac{AD}{AB}\).
b) En déduire \(AE\) et \(DE\).
c) Un second chevron [FG] parallèle à [BC] est placé avec \(AF = 1\) m. Calculer \(FG\).
d) Le menuisier dispose de tasseaux de 4 m. Quels chevrons ([DE] ou [FG]) peut-il couper dans un seul tasseau ?
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)
b) Calcul de AE et DE :\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\) donc \(AE = 4{,}5 \times 0{,}6 = \mathbf{2{,}7 \text{ m}}\)
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\) donc \(DE = 6 \times 0{,}6 = \mathbf{3{,}6 \text{ m}}\)
c) Second chevron FG :\(\dfrac{AF}{AB} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2\)
\(FG = BC \times 0{,}2 = 6 \times 0{,}2 = \mathbf{1{,}2 \text{ m}}\)
d) Choix du tasseau :\(DE = 3{,}6\) m \(\leq 4\) m : oui, le tasseau suffit.
\(FG = 1{,}2\) m \(\leq 4\) m : oui, le tasseau suffit aussi.
Les deux chevrons peuvent être découpés dans un tasseau de 4 m.
Le plan d'un appartement, dressé par un métreur, est réalisé à l'échelle 1/25 (1 cm sur le plan = 25 cm en réalité).
Sur le plan :
a) Calculer la longueur réelle de la cloison (en m).
b) Calculer les dimensions réelles de la pièce (en m).
c) Calculer la surface réelle de la pièce (en m²).
d) Quel est le rapport des surfaces plan/réel ? Que remarque-t-on ?
\(L_{\text{réel}} = 15{,}6 \times 25 = 390 \text{ cm} = \mathbf{3{,}90 \text{ m}}\)
b) Dimensions réelles de la pièce :\(L = 8{,}4 \times 25 = 210 \text{ cm} = \mathbf{2{,}10 \text{ m}}\)
\(l = 5{,}2 \times 25 = 130 \text{ cm} = \mathbf{1{,}30 \text{ m}}\)
c) Surface réelle :\(S_{\text{réel}} = 2{,}10 \times 1{,}30 = \mathbf{2{,}73 \text{ m}^2}\)
d) Rapport des surfaces :\(S_{\text{plan}} = 8{,}4 \times 5{,}2 = 43{,}68 \text{ cm}^2\)
\(S_{\text{réel}} = 2{,}73 \text{ m}^2 = 27\,300 \text{ cm}^2\)
\(\dfrac{S_{\text{plan}}}{S_{\text{réel}}} = \dfrac{43{,}68}{27\,300} = \dfrac{1}{625} = \dfrac{1}{25^2}\)
Remarque : Le rapport des surfaces est \(\dfrac{1}{k^2} = \dfrac{1}{25^2}\). Lorsqu'on agrandit d'un facteur \(k\), les surfaces sont multipliées par \(k^2\).
Un tiroir modèle a pour dimensions : longueur 30 cm, largeur 20 cm, hauteur 15 cm.
On veut fabriquer une version agrandie avec un facteur \(k = 1{,}5\) sur toutes les dimensions.
a) Calculer les nouvelles dimensions du tiroir agrandi.
b) Le fond du tiroir modèle a une surface de \(30 \times 20 = 600 \text{ cm}^2\). Calculer la surface du fond du grand tiroir. Quel est le facteur multiplicatif ?
c) Calculer le volume du tiroir modèle, puis le volume du grand tiroir. Quel est le facteur multiplicatif ?
d) Si le bois pour le fond du tiroir modèle coûte 45 €, combien coûtera le fond du grand tiroir (même bois, même prix au cm²) ?
Surface grand tiroir : \(45 \times 30 = 1\,350 \text{ cm}^2\)
Facteur : \(\dfrac{1\,350}{600} = 2{,}25 = 1{,}5^2 = k^2\) → les surfaces sont multipliées par \(\mathbf{k^2 = 2{,}25}\)
c) Volumes :Modèle : \(V = 30 \times 20 \times 15 = 9\,000 \text{ cm}^3\)
Grand : \(V' = 45 \times 30 \times 22{,}5 = 30\,375 \text{ cm}^3\)
Facteur : \(\dfrac{30\,375}{9\,000} = 3{,}375 = 1{,}5^3 = k^3\) → les volumes sont multipliés par \(\mathbf{k^3 = 3{,}375}\)
d) Coût du fond :Prix au cm² : \(\dfrac{45}{600} = 0{,}075\) €/cm². Fond du grand tiroir : \(1\,350 \times 0{,}075 = \mathbf{101{,}25 \text{ €}}\)
Ou directement : \(45 \times k^2 = 45 \times 2{,}25 = \mathbf{101{,}25 \text{ €}}\) — le coût suit la surface, donc \(k^2\).
Prolongement : les questions 1 à 3 mobilisent des fonctions affines (comparaison de coûts) et dépassent les capacités strictes de Thalès ; la question 4 relève bien de Thalès et des échelles.
Un atelier de maintenance automobile doit acheter des panneaux d'isolation pour son local. Deux fournisseurs proposent :
| Fournisseur | Prix unitaire | Frais de port |
|---|---|---|
| IsoPro | 14,00 € / panneau | 0 € |
| PanneauxShop | 11,50 € / panneau | 35 € forfait |
1. Écrire le coût total chez chaque fournisseur en fonction de \(x\) (nombre de panneaux).
2. Pour quelle valeur de \(x\) les deux fournisseurs coûtent-ils le même prix ?
3. Si l'atelier commande 20 panneaux, quel fournisseur choisir ? Calculer l'économie réalisée.
4. Un plan des murs de l'atelier est à l'échelle 1/30. Sur le plan, un mur mesure 12 cm. Quelle est sa longueur réelle ? En déduire le nombre minimum de panneaux de 1,20 m de large nécessaires pour couvrir ce mur.
\(14x = 11{,}50x + 35 \Rightarrow 2{,}50x = 35 \Rightarrow x = 14\)
Pour 14 panneaux, les deux fournisseurs coûtent le même prix.
3. Pour 20 panneaux :\(C_1(20) = 14 \times 20 = 280\) € ; \(C_2(20) = 11{,}50 \times 20 + 35 = 265\) €
Choisir PanneauxShop. Économie : \(280 - 265 = \mathbf{15}\) €.
4. Longueur réelle et panneaux :Longueur réelle du mur : \(12 \times 30 = 360\) cm \(= 3{,}60\) m
Nombre de panneaux : \(\dfrac{360}{120} = 3\) panneaux exactement.
Un menuisier agenceur doit découper un panneau en forme de trapèze. Il trace un triangle ABC, puis coupe parallèlement à la base [BC] à une hauteur donnée pour obtenir le bord supérieur [DE].
Le triangle a pour dimensions : \(AB = 90\) cm, \(AC = 75\) cm, \(BC = 120\) cm. Le point D est sur [AB] tel que \(AD = 60\) cm, et E est sur [AC] avec \((DE) \parallel (BC)\).
a) Calculer le rapport \(\dfrac{AD}{AB}\).
b) En déduire \(AE\) et \(DE\).
c) Le menuisier a besoin de connaître les longueurs \(DB\) et \(EC\) pour les deux côtés latéraux du trapèze. Les calculer.
d) Pour estimer le coût de la planche, il calcule l'aire du trapèze \(BCED\). Rappel : aire du trapèze \(= \dfrac{(B + b) \times h}{2}\). La hauteur du trapèze, mesurée perpendiculairement à [BC], est de 18,7 cm. Calculer cette aire.
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{60}{90} = \dfrac{2}{3}\)
b) Calcul de AE et DE (Thalès) :\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}\) donc \(AE = 75 \times \dfrac{2}{3} = \mathbf{50 \text{ cm}}\)
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\) donc \(DE = 120 \times \dfrac{2}{3} = \mathbf{80 \text{ cm}}\)
c) Côtés latéraux :\(DB = AB - AD = 90 - 60 = \mathbf{30 \text{ cm}}\)
\(EC = AC - AE = 75 - 50 = \mathbf{25 \text{ cm}}\)
d) Aire du trapèze BCED :\(\mathcal{A} = \dfrac{(BC + DE) \times h}{2} = \dfrac{(120 + 80) \times 18{,}7}{2} = \dfrac{200 \times 18{,}7}{2} = \mathbf{1\,870 \text{ cm}^2}\)
Contrôle par une autre route : l'aire du triangle ABC vaut 3 371 cm², celle du petit triangle ADE est réduite du carré du rapport, soit \(3\,371 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = 1\,498\) cm². Le trapèze mesure donc \(3\,371 - 1\,498 = 1\,873\) cm² — le même résultat aux arrondis près. ✔
Un technicien d'agencement réalise la maquette d'un salon d'exposition à l'échelle \(\dfrac{1}{25}\). Sur la maquette, la pièce principale mesure \(12 \text{ cm} \times 8 \text{ cm}\) et un meuble d'angle a les dimensions \(2{,}4 \text{ cm} \times 1{,}6 \text{ cm} \times 3{,}2 \text{ cm}\) (L × l × h).
a) Calculer les dimensions réelles de la pièce (en m).
b) Calculer les dimensions réelles du meuble (en m).
c) Calculer la surface au sol réelle de la pièce et celle de la maquette. Vérifier que le rapport des surfaces est bien \(k^2 = 625\).
d) Calculer le volume réel du meuble et le volume de la maquette. Vérifier que le rapport des volumes est bien \(k^3 = 15\,625\).
\(L = 12 \times 25 = 300\) cm \(= \mathbf{3 \text{ m}}\) ; \(l = 8 \times 25 = 200\) cm \(= \mathbf{2 \text{ m}}\)
b) Dimensions réelles du meuble (×25) :\(L = 2{,}4 \times 25 = 60\) cm \(= \mathbf{0{,}60 \text{ m}}\)
\(l = 1{,}6 \times 25 = 40\) cm \(= \mathbf{0{,}40 \text{ m}}\)
\(h = 3{,}2 \times 25 = 80\) cm \(= \mathbf{0{,}80 \text{ m}}\)
c) Surfaces :Maquette : \(S_m = 12 \times 8 = 96 \text{ cm}^2\)
Réelle : \(S_r = 300 \times 200 = 60\,000 \text{ cm}^2\)
\(\dfrac{S_r}{S_m} = \dfrac{60\,000}{96} = 625 = 25^2 = k^2\) ✓
d) Volumes :Maquette : \(V_m = 2{,}4 \times 1{,}6 \times 3{,}2 = 12{,}288 \text{ cm}^3\)
Réel : \(V_r = 60 \times 40 \times 80 = 192\,000 \text{ cm}^3\)
\(\dfrac{V_r}{V_m} = \dfrac{192\,000}{12{,}288} = 15\,625 = 25^3 = k^3\) ✓
Bâtiment — Topographie
Un géomètre doit mesurer la distance entre deux points A et B situés de part et d'autre d'un lac. Il ne peut pas mesurer AB directement. Il utilise la méthode suivante :
a) Montrer que \((DE) \parallel (AB)\) en utilisant la réciproque du théorème de Thalès.
b) Calculer \(AB\).
c) Si le géomètre avait placé D tel que \(CD = 30\) m (au lieu de 20), à quelle distance \(CE'\) aurait-il dû placer E' pour que \((DE') \parallel (AB)\) ?
\(\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{20}{80} = \dfrac{1}{4}\) et \(\dfrac{CE}{CB} = \dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4}\)
Les rapports sont égaux. D'après la réciproque du théorème de Thalès, \((DE) \parallel (AB)\).
b) Calcul de AB :\(\dfrac{CD}{CA} = \dfrac{DE}{AB}\) donc \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{18}{AB}\)
\(AB = 18 \times 4 = \mathbf{72 \text{ m}}\)
c) Nouvelle position de E' :Pour que \((D'E') \parallel (AB)\), il faut \(\dfrac{CD'}{CA} = \dfrac{CE'}{CB}\).
\(\dfrac{30}{80} = \dfrac{CE'}{60}\) donc \(CE' = 60 \times \dfrac{30}{80} = 60 \times \dfrac{3}{8} = \mathbf{22{,}5 \text{ m}}\)
Un chef de chantier conçoit un escalier droit en béton reliant deux niveaux. L'escalier monte de \(H = 2{,}70\) m sur une longueur au sol de \(L = 4{,}50\) m. L'escalier comporte 15 marches régulières.
On modélise le profil de l'escalier par un triangle ABC rectangle en B, avec \(AB = L = 4{,}50\) m (horizontal) et \(BC = H = 2{,}70\) m (vertical).
a) Calculer la hauteur d'une marche (giron vertical) et la profondeur d'une marche (giron horizontal).
b) Un palier intermédiaire est placé à la 6e marche. On appelle D le point correspondant sur [AB] et E le point correspondant sur la ligne de pente [AC], avec \((DE) \parallel (BC)\). Calculer \(AD\) et \(DE\).
c) Vérifier que le rapport \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\).
d) (Prolongement métier — hors capacités strictes de Thalès) Un bureau d'études impose que la formule de Blondel soit respectée : \(2h + g\) doit être compris entre 59 et 65 cm, où \(h\) = hauteur et \(g\) = profondeur de marche. Est-ce le cas ici ?
Hauteur : \(h = \dfrac{2{,}70}{15} = 0{,}18\) m \(= \mathbf{18 \text{ cm}}\)
Profondeur : \(g = \dfrac{4{,}50}{15} = 0{,}30\) m \(= \mathbf{30 \text{ cm}}\)
b) Palier à la 6e marche (Thalès) :\(AD = 6 \times g = 6 \times 0{,}30 = \mathbf{1{,}80 \text{ m}}\)
Rapport : \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{1{,}80}{4{,}50} = \dfrac{2}{5}\)
\(DE = BC \times \dfrac{2}{5} = 2{,}70 \times \dfrac{2}{5} = \mathbf{1{,}08 \text{ m}}\)
c) Vérification :\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{1{,}80}{4{,}50} = 0{,}4\) et \(\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{1{,}08}{2{,}70} = 0{,}4\)
Les rapports sont bien égaux. ✓
d) Formule de Blondel :\(2h + g = 2 \times 18 + 30 = 36 + 30 = \mathbf{66 \text{ cm}}\)
66 cm est légèrement au-dessus de l'intervalle [59 ; 65]. L'escalier ne respecte pas tout à fait la norme de Blondel (il faudrait ajuster les dimensions).
Énergie
Un installateur de panneaux photovoltaïques place un support incliné. La section forme un triangle FGH avec G au sol. Il fixe un renfort [IJ] parallèle à [GH], avec I sur [FG] et J sur [FH].
On pose : \(FI = x\) cm, \(FG = 3x + 6\) cm, \(FJ = x + 2\) cm, \(FH = 3x + 12\) cm (avec \(x > 0\)).
a) Écrire l'égalité de Thalès \(\dfrac{FI}{FG} = \dfrac{FJ}{FH}\) avec les expressions en \(x\).
b) Simplifier chaque fraction. Montrer que \(\dfrac{FJ}{FH} = \dfrac{x+2}{3(x+4)}\).
c) Résoudre l'équation obtenue et trouver la valeur de \(x\).
d) Peut-on encore calculer \(IJ\) en sachant que \(GH = 45\) cm ? Que doit en conclure l'installateur ?
\(\dfrac{x}{3x+6} = \dfrac{x+2}{3x+12}\)
b) Simplifications :\(\dfrac{x}{3x+6} = \dfrac{x}{3(x+2)}\)
\(\dfrac{x+2}{3x+12} = \dfrac{x+2}{3(x+4)}\)
c) Résolution :\(\dfrac{x}{3(x+2)} = \dfrac{x+2}{3(x+4)}\)
On simplifie par \(\dfrac{1}{3}\) : \(\dfrac{x}{x+2} = \dfrac{x+2}{x+4}\)
Produit en croix : \(x(x+4) = (x+2)^2\)
\(x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4\)
\(0 = 4\) — Contradiction !
Non : calculer \(IJ\) par Thalès supposerait \((IJ) \parallel (GH)\), ce que la question c) vient justement d'exclure. Il n'existe aucune valeur de \(x\) qui rende le renfort parallèle à la base : la question n'a pas de réponse, et c'est cela le résultat.
L'installateur doit en conclure que ses cotes sont à revoir. Ce résultat montre que la vérification par Thalès est indispensable : on ne peut pas supposer le parallélisme, il se démontre.
Un menuisier agenceur doit poser des tasseaux horizontaux sur un pignon triangulaire ABC (A au sommet, [BC] la base en bas). La base mesure \(BC = 4{,}80\) m et les côtés \(AB = 3{,}60\) m et \(AC = 3\) m.
Il veut poser 3 tasseaux horizontaux parallèles à [BC], régulièrement espacés. Le premier tasseau \([D_1E_1]\) est placé au quart de la hauteur depuis A, le deuxième \([D_2E_2]\) à la moitié, le troisième \([D_3E_3]\) aux trois quarts.
a) Exprimer les rapports \(\dfrac{AD_1}{AB}\), \(\dfrac{AD_2}{AB}\) et \(\dfrac{AD_3}{AB}\).
b) Calculer les longueurs \(D_1E_1\), \(D_2E_2\) et \(D_3E_3\).
c) Le menuisier commande les tasseaux par lot de 2 m. Combien de lots doit-il acheter au minimum pour couper les 3 tasseaux ? Justifier.
d) Calculer la chute totale de bois (longueur non utilisée).
\(\dfrac{AD_1}{AB} = \dfrac{1}{4}\) ; \(\dfrac{AD_2}{AB} = \dfrac{1}{2}\) ; \(\dfrac{AD_3}{AB} = \dfrac{3}{4}\)
b) Longueurs des tasseaux (Thalès) :\(D_1E_1 = BC \times \dfrac{1}{4} = 4{,}80 \times 0{,}25 = \mathbf{1{,}20 \text{ m}}\)
\(D_2E_2 = BC \times \dfrac{1}{2} = 4{,}80 \times 0{,}5 = \mathbf{2{,}40 \text{ m}}\)
\(D_3E_3 = BC \times \dfrac{3}{4} = 4{,}80 \times 0{,}75 = \mathbf{3{,}60 \text{ m}}\)
c) Nombre de lots de 2 m :Longueur totale à couper : \(1{,}20 + 2{,}40 + 3{,}60 = 7{,}20\) m. Il faut donc au moins \(7{,}20 \div 2 = 3{,}6\), soit 4 lots.
Et 4 lots suffisent, à condition de réutiliser les chutes :
Il faut donc \(\mathbf{4 \text{ lots}}\) de 2 m.
Découper chaque tasseau dans des lots neufs, sans jamais reprendre une chute, en coûterait 5 : c'est ce que « au minimum » invite à éviter.
d) Chute totale :Bois acheté : \(4 \times 2 = 8\) m. Bois utilisé : 7,20 m.
Chute : \(8 - 7{,}20 = \mathbf{0{,}80 \text{ m}}\), soit les deux bouts de 0,40 m du plan de coupe. ✔
Dans une chaufferie, deux tuyauteries rectilignes se croisent en un point O. On repère les extrémités A, B d'un côté et C, D de l'autre. On sait que \((AC) \parallel (BD)\).
On mesure : \(OA = 2{,}50\) m, \(OB = 3{,}75\) m, \(OC = 4\) m, \(AC = 3\) m.
a) Écrire l'égalité de Thalès dans cette configuration papillon (sommet O).
b) Calculer \(OD\).
c) Calculer \(BD\).
d) Un technicien de maintenance affirme : « Si on double les distances OA et OB, alors les longueurs AC et BD doublent aussi. » A-t-il raison ? Justifier par un calcul.
Puisque \((AC) \parallel (BD)\), les triangles OAC et OBD sont semblables (configuration papillon). On a donc :
\(\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD} = \dfrac{AC}{BD}\)
b) Calcul de OD :\(\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD}\) donc \(\dfrac{2{,}50}{3{,}75} = \dfrac{4}{OD}\)
\(OD = 4 \times \dfrac{3{,}75}{2{,}50} = 4 \times 1{,}5 = \mathbf{6 \text{ m}}\)
c) Calcul de BD :\(\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{AC}{BD}\) donc \(\dfrac{2{,}50}{3{,}75} = \dfrac{3}{BD}\)
\(BD = 3 \times \dfrac{3{,}75}{2{,}50} = 3 \times 1{,}5 = \mathbf{4{,}50 \text{ m}}\)
d) Si on double OA et OB :Le rapport \(\dfrac{OA}{OB}\) reste inchangé (\(\dfrac{5}{7{,}50} = \dfrac{2}{3}\) au lieu de \(\dfrac{2{,}50}{3{,}75} = \dfrac{2}{3}\)). En revanche, OC et OD restent fixes : le rapport \(\dfrac{OA}{OC}\) change donc.
Doubler OA et OB déplace A et B sur leurs droites, ce qui modifie la configuration du papillon. Les longueurs AC et BD ne doublent pas mécaniquement. Le technicien a tort.
Un menuisier conçoit une étagère murale en forme de triangle ABC, avec A en haut, [BC] la base horizontale en bas. Les dimensions sont : \(AB = 80\) cm, \(AC = 60\) cm, \(BC = 100\) cm.
Il veut placer deux étagères horizontales parallèles à [BC] : la première \([D_1E_1]\) à mi-hauteur et la seconde \([D_2E_2]\) aux deux tiers depuis A.
1. Calculer les longueurs \(D_1E_1\) et \(D_2E_2\).
2. Calculer \(AD_1\), \(AD_2\), \(AE_1\), \(AE_2\).
3. Sur un plan à l'échelle \(\dfrac{1}{5}\), dessiner le triangle et les deux étagères. Donner les dimensions sur le plan.
4. Le menuisier veut estimer la quantité de bois. Calculer la longueur totale de bois nécessaire pour les deux étagères, les deux côtés \(D_1B\) et \(E_1C\), et la base \(BC\). Arrondir au cm.
5. Si le bois coûte 8,50 € le mètre linéaire, calculer le coût total des pièces découpées (question 4).
Première étagère (\(k_1 = \dfrac{1}{2}\)) : \(D_1E_1 = 100 \times \dfrac{1}{2} = \mathbf{50 \text{ cm}}\)
Seconde étagère (\(k_2 = \dfrac{2}{3}\)) : \(D_2E_2 = 100 \times \dfrac{2}{3} \approx \mathbf{66{,}7 \text{ cm}}\)
2. Longueurs sur les côtés :\(AD_1 = 80 \times \dfrac{1}{2} = \mathbf{40 \text{ cm}}\) ; \(AE_1 = 60 \times \dfrac{1}{2} = \mathbf{30 \text{ cm}}\)
\(AD_2 = 80 \times \dfrac{2}{3} \approx \mathbf{53{,}3 \text{ cm}}\) ; \(AE_2 = 60 \times \dfrac{2}{3} = \mathbf{40 \text{ cm}}\)
3. Dimensions sur le plan (÷5) :Triangle : \(AB = 16\) cm, \(AC = 12\) cm, \(BC = 20\) cm
Étagère 1 : \(D_1E_1 = 10\) cm ; Étagère 2 : \(D_2E_2 \approx 13{,}3\) cm
4. Longueur totale de bois :\(D_1B = AB - AD_1 = 80 - 40 = 40\) cm ; \(E_1C = AC - AE_1 = 60 - 30 = 30\) cm
Total : \(D_1E_1 + D_2E_2 + D_1B + E_1C + BC = 50 + 66{,}7 + 40 + 30 + 100 = \mathbf{286{,}7 \text{ cm}} = 2{,}867 \text{ m}\)
5. Coût :\(2{,}867 \times 8{,}50 \approx \mathbf{24{,}37 \text{ €}}\) (arrondi au centime, calcul sans arrondi intermédiaire)
Sur le plan ci-dessous, les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles. Les longueurs (en cm sur le plan) se lisent sur la figure. Le plan est dessiné à l'échelle \(1/50\).
a) Lire \(AM\), \(MB\) et \(AN\) sur la figure. Calculer \(NC\) à l'aide du théorème de Thalès.
b) \(NC\) est une longueur mesurée sur le plan (en cm). Quelle est la longueur réelle correspondante ? (échelle \(1/50\), résultat en mètres)
Sur la figure : \(AM = 4\), \(MB = 8\), \(AN = 5\) (en cm).
Thalès : \(\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC}\), soit \(\dfrac{4}{8} = \dfrac{5}{NC}\).
Produit en croix : \(4 \times NC = 8 \times 5 = 40\), donc \(NC = \dfrac{40}{4} = \mathbf{10 \text{ cm}}\).
b) Longueur réelleÉchelle \(1/50\) : \(1\) cm sur le plan représente \(50\) cm en réalité.
\(NC_{\text{réel}} = 10 \times 50 = 500\) cm \(= \mathbf{5 \text{ m}}\).
Une ferme de charpente a la forme d'un triangle ABC : A est le sommet (le faîtage), [BC] est l'entrait horizontal, et [AB] et [AC] sont les deux arbalétriers (les pièces inclinées). On veut fixer une entretoise [DE], horizontale, avec D sur [AB] et E sur [AC] : elle est donc parallèle à l'entrait (BC).
| Pièce | Arbalétrier [AB] | Arbalétrier [AC] | Entrait [BC] |
|---|---|---|---|
| Longueur | 6,00 m | 6,00 m | 8,00 m |
1. Le charpentier dispose d'une entretoise de 3,00 m. À quelle distance du faîtage A doit-il fixer le point D sur l'arbalétrier [AB] ?
2. Finalement, seule une entretoise de 5,00 m est disponible en stock. Où faut-il alors la placer ?
3. Le bureau d'études impose au contraire que l'entretoise soit fixée à exactement 3,00 m du faîtage. Quelle longueur d'entretoise faut-il commander ?
4. Un apprenti affirme : « si je descends l'entretoise deux fois plus bas sur l'arbalétrier, elle sera deux fois plus longue. » A-t-il raison ? Justifier.
D est sur [AB], E est sur [AC] et \((DE) \parallel (BC)\) : on est dans une configuration de Thalès de sommet A. Donc
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\), c'est-à-dire \(\dfrac{AD}{6} = \dfrac{DE}{8}\).
1. Avec \(DE = 3{,}00\) m : \(\dfrac{AD}{6} = \dfrac{3}{8}\), donc \(AD = \dfrac{6 \times 3}{8} = \dfrac{18}{8} = \mathbf{2{,}25\ \text{m}}\) sous le faîtage.
2. Avec \(DE = 5{,}00\) m : \(AD = \dfrac{6 \times 5}{8} = \dfrac{30}{8} = \mathbf{3{,}75\ \text{m}}\). L'entretoise plus longue se pose plus bas, ce qui est logique : la ferme s'élargit vers le bas.
3. Avec \(AD = 3{,}00\) m : \(\dfrac{3}{6} = \dfrac{DE}{8}\), donc \(DE = \dfrac{8 \times 3}{6} = \mathbf{4{,}00\ \text{m}}\).
4. Il a raison. L'égalité \(\dfrac{AD}{6} = \dfrac{DE}{8}\) donne \(DE = \dfrac{8}{6} \times AD\) : la longueur de l'entretoise est proportionnelle à la distance AD. Vérification : en passant de \(AD = 2{,}25\) m à \(AD = 4{,}50\) m, on obtient \(DE = \dfrac{8 \times 4{,}50}{6} = 6{,}00\) m, soit bien le double de 3,00 m.
Attention : cette proportionnalité vaut pour les longueurs. Elle ne s'appliquerait pas de la même façon à une aire ou à un volume.
Une grille de ventilation ferme le haut d'un local technique de chaufferie. Elle a la forme d'un triangle ABC : la base [BC] est horizontale, le sommet A est en haut. On y fixe des lames horizontales, donc parallèles à (BC). La première est posée à 15 cm du sommet A, mesurés le long du montant [AB], puis les suivantes tous les 15 cm, jusqu'à la base exclue.
| Grandeur | Base [BC] | Montants [AB] et [AC] | Espacement des lames sur [AB] |
|---|---|---|---|
| Mesure | 90 cm | 75 cm chacun | 15 cm |
1. Combien de lames peut-on fixer entre le sommet A et la base ? Justifier.
2. Déterminer la longueur de chacune de ces lames.
3. Les lames sont découpées dans un profilé d'aluminium vendu en barres de 1 m, que l'on peut recouper. Combien de barres faut-il commander ? Quelle longueur de chute reste-t-il ?
4. Le technicien récupère dans son atelier une lame de 45 cm. À quelle distance du sommet A pourrait-il la fixer ?
1. Le montant [AB] mesure 75 cm. Les lames sont posées à 15 cm, 30 cm, 45 cm et 60 cm du sommet ; à 75 cm on retomberait sur la base elle-même, qui n'est pas une lame. Il y a donc 4 lames.
2. Chaque lame [DE] est parallèle à (BC) avec D sur [AB] et E sur [AC] : c'est une configuration de Thalès de sommet A, donc \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}\), c'est-à-dire \(DE = \dfrac{90}{75} \times AD = 1{,}2 \times AD\).
Lame 1 : \(1{,}2 \times 15 = \mathbf{18\ \text{cm}}\) ; lame 2 : \(1{,}2 \times 30 = \mathbf{36\ \text{cm}}\) ; lame 3 : \(1{,}2 \times 45 = \mathbf{54\ \text{cm}}\) ; lame 4 : \(1{,}2 \times 60 = \mathbf{72\ \text{cm}}\).
Vérification de cohérence : la lame du bas (72 cm) est bien plus longue que celle du haut (18 cm) et reste inférieure à la base (90 cm) ✓
3. Longueur totale de profilé : \(18 + 36 + 54 + 72 = 180\ \text{cm} = 1{,}80\) m.
Avec des barres de 1 m, il faut 2 barres (1 m serait insuffisant). Chute : \(2{,}00 - 1{,}80 = \mathbf{0{,}20\ \text{m}}\), soit 20 cm.
Remarque : une barre entière donne la lame de 72 cm (chute 28 cm), la seconde donne 54 cm puis, avec la chute précédente, les lames de 36 cm et 18 cm — la découpe reste possible.
4. On cherche \(AD\) tel que \(1{,}2 \times AD = 45\), donc \(AD = \dfrac{45}{1{,}2} = \mathbf{37{,}5\ \text{cm}}\) sous le sommet A. Cette position tombe entre la lame 2 (30 cm) et la lame 3 (45 cm) : elle ne coïncide avec aucune lame déjà prévue.
Un menuisier agenceur fabrique un panneau décoratif triangulaire ABC posé au-dessus d'une porte. Il doit y insérer une traverse [DE], parallèle à la base [BC], avec D sur [AB] et E sur [AC]. Les cotes relevées sont \(AD = 24\) cm, \(AB = 40\) cm et \(BC = 65\) cm.
Un apprenti rédige le calcul suivant pour trouver la longueur de la traverse :
« Comme \((DE) \parallel (BC)\), le théorème de Thalès donne \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{BC}{DE}\).
Donc \(\dfrac{24}{40} = \dfrac{65}{DE}\), d'où \(DE = \dfrac{65 \times 40}{24} \approx 108{,}3\) cm. »
1. Sans effectuer aucun calcul, expliquer pourquoi le résultat de l'apprenti est nécessairement faux.
2. Repérer précisément l'erreur commise dans l'écriture des rapports, puis écrire l'égalité correcte.
3. Calculer la longueur réelle de la traverse.
4. Le client souhaite en réalité une traverse de 45,5 cm. À quelle distance du sommet A le menuisier doit-il alors la positionner sur [AB] ?
1. D est entre A et B, E est entre A et C : la traverse [DE] se trouve à l'intérieur du triangle, plus près du sommet que la base. Elle est donc forcément plus courte que 65 cm. Or l'apprenti trouve 108,3 cm : c'est impossible.
2. L'apprenti a inversé un des deux rapports. Le théorème de Thalès compare des longueurs qui se correspondent, toujours dans le même ordre : le petit triangle au numérateur, le grand au dénominateur. L'écriture correcte est
\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}\), et non \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{BC}{DE}\).
3. \(\dfrac{24}{40} = \dfrac{DE}{65}\), donc \(DE = \dfrac{65 \times 24}{40} = \dfrac{1\,560}{40} = \mathbf{39\ \text{cm}}\).
Vérification : \(39\ \text{cm} \lt 65\ \text{cm}\) ✓ et le rapport vaut \(\dfrac{24}{40} = 0{,}6\) comme \(\dfrac{39}{65} = 0{,}6\) ✓
4. On cherche cette fois \(AD\) avec \(DE = 45{,}5\) cm : \(\dfrac{AD}{40} = \dfrac{45{,}5}{65}\), donc \(AD = \dfrac{40 \times 45{,}5}{65} = \dfrac{1\,820}{65} = \mathbf{28\ \text{cm}}\).
La traverse doit être descendue de 24 cm à 28 cm sous le sommet A. Cohérent : une traverse plus longue se place plus bas.