Un menuisier pose un encadrement de porte et doit vérifier que les angles sont bien droits. Il mesure les deux côtés (90 cm et 210 cm) et calcule la diagonale attendue. Si la diagonale mesurée correspond, l'angle est bien droit.
Définition — Triangle rectangle :
Un triangle est rectangle s'il possède un angle de 90°. Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est le plus grand côté du triangle.
2. Théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore :
Dans un triangle rectangle en A, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
\[\boxed{BC^2 = AB^2 + AC^2}\]
Exemple 3 — Résultat non entier (valeur exacte et arrondie)
Triangle rectangle en B avec AB = 5 cm et BC = 7 cm. Calculer AC.
1
AC est l'hypoténuse : \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 25 + 49 = 74\)
2
Valeur exacte : \(AC = \sqrt{74}\) cm
3
Valeur approchée : \(AC \approx \mathbf{8{,}60\,\text{cm}}\) (arrondi au centième)
3. Réciproque du théorème de Pythagore
Réciproque :
Si dans un triangle ABC on a \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), alors le triangle est rectangle en A.
Attention : Pour utiliser la réciproque, il faut d'abord identifier le plus grand côté (candidat à l'hypoténuse) et vérifier l'égalité.
Organigramme — Utiliser la réciproque
1
Identifier le plus grand côté : c'est le candidat à l'hypoténuse.
2
Calculer le carré du plus grand côté : \(c^2 = ?\)
3
Calculer la somme des carrés des deux autres : \(a^2 + b^2 = ?\)
4
Si \(c^2 = a^2 + b^2\) → triangle rectangle. Sinon → triangle non rectangle.
Exemple — Vérifier si un triangle est rectangle
Un triangle a des côtés de 9 cm, 12 cm et 15 cm. Est-il rectangle ?
1
Plus grand côté : 15 cm → candidat hypoténuse. \(15^2 = 225\)
2
\(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\)
3
\(225 = 225\) ✓ → Le triangle est rectangle (côté opposé à l'angle droit : 15 cm).
Application
Un triangle a des côtés de 5 cm, 7 cm et 8 cm. Est-il rectangle ? Justifier.
Plus grand côté : 8 cm → candidat hypoténuse. \(8^2 = 64\).
\(5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74 \neq 64\).
Les résultats sont différents → le triangle n'est pas rectangle.
Exemple — Vérifier l'équerrage d'un encadrement
Un encadrement rectangulaire mesure 90 cm × 210 cm. Sa diagonale mesure 228 cm. Est-il bien d'équerre ?
Diagonale mesurée : 228 cm. Écart : 0,5 cm → légèrement hors d'équerre, à corriger.
4. Triplets pythagoriciens à connaître
Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois entiers \((a, b, c)\) vérifiant \(a^2 + b^2 = c^2\). Ils permettent de vérifier rapidement un résultat exact.
3 – 4 – 5\(9 + 16 = 25\)
5 – 12 – 13\(25 + 144 = 169\)
8 – 15 – 17\(64 + 225 = 289\)
6 – 8 – 10multiple de 3-4-5
9 – 12 – 15multiple de 3-4-5
7 – 24 – 25\(49 + 576 = 625\)
5. Application professionnelle — La règle des 3-4-5
🏠 Technique professionnelle — Tracer un angle droit sur chantier
Sur chantier, pour tracer un angle droit sans rapporteur, on utilise la règle des 3-4-5 :
Fixer un point de départ A.
Mesurer 3 unités sur une direction → point B.
Mesurer 4 unités sur la direction à 90° supposée → point C.
Si BC = 5 unités, alors l'angle en A est bien droit.
En pratique : on peut utiliser 30 cm, 40 cm, 50 cm ou 3 m, 4 m, 5 m selon l'échelle.
Application — Règle des 3-4-5
Sur un chantier, un menuisier mesure 60 cm sur une direction et 80 cm sur l'autre. Quelle longueur de diagonale doit-il obtenir pour confirmer que l'angle est droit ?
\(d = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{3\,600 + 6\,400} = \sqrt{10\,000} = \mathbf{100\,\text{cm}}\)
Le triplet 60-80-100 est un multiple du triplet 3-4-5 (× 20). Si la diagonale mesure 100 cm, l'angle est bien droit.
6. Animation — Visualiser le théorème de Pythagore
🎮 Simulation interactive — Modifie les côtés et vérifie l'hypoténuse
Le triangle rectangle en A est dessiné en temps réel. Les carrés construits sur les côtés illustrent l'égalité BC² = AB² + AC².
7. Preuve visuelle — La démonstration par l'eau
💧 Animation — Le carré de l'hypoténuse = somme des deux autres carrés
On construit un carré sur chaque côté du triangle. Clique sur Lancer : l'eau remplit le grand carré BC² = 25, puis se déverse exactement dans les deux petits carrés AB² = 9 et AC² = 16.
8. Erreurs fréquentes
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Appliquer Pythagore sans vérifier que le triangle est rectangle
Le théorème de Pythagore n'est valide que dans un triangle rectangle. Certains élèves l'appliquent à n'importe quel triangle en espérant trouver une longueur manquante. Conseil : avant de commencer, vérifier qu'un angle droit est indiqué (carré dans l'angle, mention "rectangle en..."). Sans angle droit, Pythagore ne s'applique pas.
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Confondre l'hypoténuse et un côté quelconque
L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit, c'est le plus grand côté. Certains élèves prennent un côté au hasard comme hypoténuse dans leur calcul. Conseil : repérer d'abord l'angle droit (le petit carré), puis identifier le côté qui lui est opposé : c'est l'hypoténuse. Elle est toujours de l'autre côté du carré.
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Oublier de prendre la racine carrée
Après avoir calculé \(a^2 + b^2 = 25\), certains élèves donnent \(c = 25\) au lieu de \(c = \sqrt{25} = 5\). Ils oublient que Pythagore donne d'abord \(c^2\), pas \(c\). Conseil : la dernière étape est toujours de prendre la racine carrée du résultat. Vérifier que la valeur trouvée est plus petite que la somme des deux autres côtés.
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Croire que \(\sqrt{a^2 + b^2} = a + b\)
C'est une erreur classique : \(\sqrt{9 + 16} \neq 3 + 4\). En effet, \(\sqrt{25} = 5\) et non \(7\). La racine carrée ne se distribue pas sur une addition. Conseil : toujours additionner les carrés d'abord, puis prendre la racine du résultat. \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), pas 3 + 4 = 7.
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Mal poser la formule quand on cherche un côté de l'angle droit
Quand l'hypoténuse \(c\) est connue et qu'on cherche un côté \(a\), certains élèves écrivent \(a^2 = b^2 + c^2\) au lieu de \(a^2 = c^2 - b^2\). Ils additionnent au lieu de soustraire. Conseil : si on cherche un côté de l'angle droit : \(a^2 = c^2 - b^2\). Vérifier que le résultat est bien positif (le côté de l'angle droit est toujours plus court que l'hypoténuse).