Un installateur monte le cadre support d'un panneau solaire sur une toiture-terrasse. Le cadre doit être parfaitement rectangulaire. Il mesure les deux côtés (80 cm et 150 cm), calcule la diagonale attendue, puis la compare à la diagonale qu'il mesure réellement : si les deux valeurs coïncident, les angles sont droits.
Définition — Triangle rectangle :
Un triangle est rectangle s'il possède un angle de 90°. Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est le plus grand côté du triangle.
Application — Repérer l'hypoténuse
Une voile de planche à voile a la forme d'un triangle rectangle en B. Ses côtés mesurent \(BA = 3\) m, \(BC = 4\) m et \(AC = 5\) m. Quel côté est l'hypoténuse ? Justifier.
L'angle droit est en B : l'hypoténuse est le côté opposé à cet angle, c'est-à-dire \(AC\).
C'est aussi le plus grand côté (5 m > 4 m > 3 m). L'hypoténuse est donc AC = 5 m.
2. Théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore :
Dans un triangle rectangle en A, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
\[\boxed{BC^2 = AB^2 + AC^2}\]
Exemple 3 — Résultat non entier (valeur exacte et arrondie)
Triangle rectangle en B avec AB = 5 cm et BC = 7 cm. Calculer AC.
1
AC est l'hypoténuse : \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 25 + 49 = 74\)
2
Valeur exacte : \(AC = \sqrt{74}\) cm
3
Valeur approchée : \(AC \approx \mathbf{8{,}60\,\text{cm}}\) (arrondi au centième)
Exemple 4 — Calculer un côté de l'angle droit (contexte charpente)
Un charpentier pose un arbalétrier (la pièce inclinée d'un comble) qui mesure 4,25 m. Il repose sur un mur dont la portée horizontale est de 4 m. À quelle hauteur l'arbalétrier atteint-il le faîtage ? On modélise par un triangle rectangle dont l'arbalétrier est l'hypoténuse.
1
L'arbalétrier (4,25 m) est l'hypoténuse \(c\). La portée horizontale (4 m) est un côté de l'angle droit \(b\). On cherche la hauteur \(a\).
\(a = \sqrt{2{,}0625} \approx \mathbf{1{,}436\,\text{m}}\), soit \(\approx \mathbf{1{,}44\,\text{m}}\) (arrondi au cm).
Voir le détail
On cherche un côté de l'angle droit : on soustrait les carrés (\(a^2 = c^2 - b^2\)). On vérifie que la hauteur trouvée (1,44 m) est bien plus courte que l'hypoténuse (4,25 m) : c'est cohérent.
Application
Une échelle de 5,20 m est appuyée contre un mur. Son pied est posé à 1,40 m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ? Arrondir au centimètre.
L'échelle (5,20 m) est l'hypoténuse, l'écart au mur (1,40 m) est un côté de l'angle droit.
\(h^2 = 5{,}20^2 - 1{,}40^2 = 27{,}04 - 1{,}96 = 25{,}08\)
\(h = \sqrt{25{,}08} \approx \mathbf{5{,}01\,\text{m}}\) (arrondi au cm).
3. Réciproque du théorème de Pythagore
Réciproque :
Si dans un triangle ABC on a \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), alors le triangle est rectangle en A.
Attention : Pour utiliser la réciproque, il faut d'abord identifier le plus grand côté (candidat à l'hypoténuse) et vérifier l'égalité.
Organigramme — Utiliser la réciproque
1
Identifier le plus grand côté : c'est le candidat à l'hypoténuse.
2
Calculer le carré du plus grand côté : \(c^2 = ?\)
3
Calculer la somme des carrés des deux autres : \(a^2 + b^2 = ?\)
4
Si \(c^2 = a^2 + b^2\) → triangle rectangle. Sinon → triangle non rectangle.
Exemple — Vérifier si un triangle est rectangle
Un triangle a des côtés de 9 cm, 12 cm et 15 cm. Est-il rectangle ?
1
Plus grand côté : 15 cm → candidat hypoténuse. \(15^2 = 225\)
2
\(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\)
3
\(225 = 225\) ✓ → Le triangle est rectangle (côté opposé à l'angle droit : 15 cm).
Application — Deux triangles à tester
a) Un triangle a des côtés de 5 cm, 7 cm et 8 cm. Est-il rectangle ? b) Un carreleur prépare un gabarit triangulaire de 16 cm, 30 cm et 34 cm. Forme-t-il un angle droit ?
a) Plus grand côté : 8 cm → candidat hypoténuse. \(8^2 = 64\).
\(5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74 \neq 64\).
Les résultats sont différents → le triangle n'est pas rectangle. b) Plus grand côté : 34 cm → candidat hypoténuse. \(34^2 = 1\,156\).
\(16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1\,156\).
\(1\,156 = 1\,156\) ✓ → d'après la réciproque, le triangle est rectangle : le gabarit forme bien un angle droit (triplet 8-15-17 multiplié par 2).
Exemple — Vérifier l'équerrage d'un cadre
Un installateur monte le cadre support d'un panneau solaire de 80 cm × 150 cm. Avant de fixer le panneau, il mesure la diagonale du cadre : 172 cm. Le cadre est-il d'équerre ?
1
Diagonale attendue si l'angle est droit : \(\sqrt{80^2 + 150^2} = \sqrt{6\,400 + 22\,500} = \sqrt{28\,900} = 170\,\text{cm}\) (valeur exacte).
2
Diagonale mesurée : 172 cm. Si l'angle était droit, on devrait lire 170 cm ; comme \(172 \neq 170\), l'angle n'est pas droit et le cadre doit être repris avant la pose.
Voir le détail
On peut aussi appliquer la réciproque en comparant les carrés : le plus grand côté est 172, or \(172^2 = 29\,584\) et \(80^2 + 150^2 = 28\,900\). Les deux nombres sont différents, donc le triangle n'est pas rectangle. Un écart signifie toujours que l'angle n'est pas exactement droit ; c'est le cahier des charges (ou l'énoncé) qui indique l'écart encore admis, et 2 cm sur 1,70 m est bien trop grand pour venir de la précision du mètre ruban.
Exemple — Vérifier un angle droit avec la réciproque (dalle de maçon)
Un maçon coffre une dalle. Pour vérifier qu'un coin forme bien un angle droit, il mesure les trois côtés du triangle formé par ses repères : 1,25 m, 3 m et 3,25 m. Le coin est-il d'équerre ?
1
Plus grand côté : 3,25 m → candidat hypoténuse. \(3{,}25^2 = 10{,}5625\)
2
Somme des carrés des deux autres : \(1{,}25^2 + 3^2 = 1{,}5625 + 9 = 10{,}5625\)
3
\(10{,}5625 = 10{,}5625\) ✓ → d'après la réciproque, le triangle est rectangle : le coin est bien d'équerre.
Voir le détail
Les longueurs 1,25 – 3 – 3,25 forment le triplet 5 – 12 – 13 divisé par 4 (\(5/4=1{,}25\), \(12/4=3\), \(13/4=3{,}25\)). Comme l'égalité de Pythagore est vérifiée, le coin est rigoureusement à 90°.
4. Triplets pythagoriciens à connaître
Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois entiers \((a, b, c)\) vérifiant \(a^2 + b^2 = c^2\). Ils permettent de vérifier rapidement un résultat exact.
3 – 4 – 5\(9 + 16 = 25\)
5 – 12 – 13\(25 + 144 = 169\)
8 – 15 – 17\(64 + 225 = 289\)
6 – 8 – 10multiple de 3-4-5
9 – 12 – 15multiple de 3-4-5
7 – 24 – 25\(49 + 576 = 625\)
Application — Reconnaître un multiple d'un triplet
Un menuisier renforce un portail rectangulaire par une barre diagonale. Les côtés de l'angle droit mesurent 50 cm et 120 cm. En reconnaissant un multiple d'un triplet connu, donne la longueur de la barre (la diagonale) sans passer par la racine carrée.
On divise par 10 : \(50 = 5 \times 10\) et \(120 = 12 \times 10\). On reconnaît le triplet 5 – 12 – 13.
La diagonale vaut donc \(13 \times 10 = \mathbf{130\,\text{cm}}\).
Vérification : \(50^2 + 120^2 = 2\,500 + 14\,400 = 16\,900 = 130^2\) ✓
5. Application professionnelle — La règle des 3-4-5
🏠 Technique professionnelle — Tracer un angle droit sur chantier
Sur chantier, pour tracer un angle droit sans rapporteur, on utilise la règle des 3-4-5 :
Fixer un point de départ A.
Mesurer 3 unités sur une direction → point B.
Mesurer 4 unités sur la direction à 90° supposée → point C.
Si BC = 5 unités, alors l'angle en A est bien droit.
En pratique : on peut utiliser 30 cm, 40 cm, 50 cm ou 3 m, 4 m, 5 m selon l'échelle.
Application — Règle des 3-4-5
Sur un chantier, un menuisier mesure 60 cm sur une direction et 80 cm sur l'autre. Quelle longueur de diagonale doit-il obtenir pour confirmer que l'angle est droit ?
\(d = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{3\,600 + 6\,400} = \sqrt{10\,000} = \mathbf{100\,\text{cm}}\)
Le triplet 60-80-100 est un multiple du triplet 3-4-5 (× 20). Si la diagonale mesure 100 cm, l'angle est bien droit.
6. Pythagore dans un repère et dans l'espace
6.1 Distance entre deux points d'un repère
Dans un repère orthonormé (les deux axes ont la même graduation et sont perpendiculaires), deux points définissent toujours un triangle rectangle : il suffit de « descendre » de l'un et de « traverser » vers l'autre.
Méthode — Calculer la distance AB :
1
Placer un troisième sommet : il a la même abscisse que l'un des deux points et la même ordonnée que l'autre. Le triangle obtenu est rectangle en ce sommet.
2
Mesurer les deux côtés de l'angle droit : l'écart horizontal \(|x_B - x_A|\) et l'écart vertical \(|y_B - y_A|\).
6.2 Deux applications successives — la diagonale d'un pavé droit
Quand la longueur cherchée traverse un solide, on applique Pythagore deux fois : d'abord dans le plan de la base, puis dans le plan vertical qui contient la diagonale cherchée.
Méthode — Grande diagonale d'un pavé droit \(L \times \ell \times h\) :
1
Dans la base (rectangle \(L \times \ell\)) : \(d^2 = L^2 + \ell^2\).
2
Le triangle formé par cette diagonale \(d\), la hauteur \(h\) et la grande diagonale \(D\) est rectangle : \(D^2 = d^2 + h^2\).
3
En remplaçant : \(D^2 = L^2 + \ell^2 + h^2\), soit \(D = \sqrt{L^2 + \ell^2 + h^2}\).
Cette diagonale est la plus grande longueur d'un objet rigide qui peut entrer dans le pavé (carton, gaine technique, tringle).
Schéma en perspective (les longueurs dessinées ne sont pas à l'échelle) : d'abord la diagonale \(d\) du fond, puis la grande diagonale \(D\).
Exemple — Coffre d'outillage de 90 cm × 60 cm × 20 cm
\(D = \sqrt{12\,100} = \mathbf{110\,\text{cm}}\). Un niveau à bulle de 110 cm entre tout juste, posé en diagonale ; un niveau de 120 cm ne rentre pas.
7. Raisonner avec Pythagore
Le théorème de Pythagore et sa réciproque sont l'occasion de travailler deux façons de raisonner qui servent dans toutes les mathématiques.
Méthode — Infirmer une affirmation par un contre-exemple :
Une affirmation qui commence par « tout… est… » prétend valoir sans aucune exception. Pour la rejeter, on n'a donc pas besoin d'une démonstration : un seul cas où elle tombe en défaut suffit. Ce cas s'appelle un contre-exemple.
Attention à la dissymétrie : trouver un cas qui fonctionne, en revanche, ne prouve rien du tout.
Exemple — « Tout triangle dont les trois côtés sont des nombres pairs est rectangle »
Le triangle 6 – 8 – 10 vérifie bien l'affirmation… mais cela ne prouve rien. Cherchons un contre-exemple.
1
Prenons les côtés 6 – 8 – 12 (trois nombres pairs). Plus grand côté : 12, donc \(12^2 = 144\).
2
\(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\). Or \(144 \neq 100\) : ce triangle n'est pas rectangle.
3
Ce seul contre-exemple suffit : l'affirmation est fausse. Ce n'est pas la parité qui fait un triplet, c'est l'égalité de Pythagore.
Méthode — La disjonction des cas :
Un énoncé laisse parfois plusieurs configurations possibles. Plutôt que d'en choisir une au hasard, on les traite l'une après l'autre, puis on réunit les réponses obtenues.
En géométrie, la configuration ambiguë la plus courante est celle-ci : deux longueurs sont connues dans un triangle rectangle, mais rien ne dit laquelle est l'hypoténuse. Le troisième côté a alors deux valeurs possibles, et il faut les donner toutes les deux.
Exemple — Deux côtés de 12 cm et 16 cm dans un triangle rectangle
1
Cas 1 — c'est la longueur cherchée \(x\) qui est l'hypoténuse : \(x^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400\), donc \(x = 20\) cm.
2
Cas 2 — le côté de 16 cm est l'hypoténuse : \(x^2 = 16^2 - 12^2 = 256 - 144 = 112\), donc \(x = \sqrt{112} \approx 10{,}58\) cm.
3
Le côté de 12 cm, lui, ne peut pas être l'hypoténuse : elle est toujours le plus grand côté. Conclusion : deux réponses possibles, \(x = 20\) cm ou \(x \approx 10{,}58\) cm.
8. Algorithme — Pythagore en Python
Appliquer Pythagore, c'est toujours la même suite d'opérations : élever au carré, additionner (ou soustraire), prendre la racine carrée. On peut donc la confier à un programme. Deux notations à connaître : ** est le symbole de la puissance (a**2 se lit « \(a\) au carré ») et sqrt est la fonction racine carrée, qu'il faut d'abord importer.
from math import sqrt
def hypotenuse(a, b):
# a et b sont les deux côtés de l'angle droit
return sqrt(a**2 + b**2)
print(hypotenuse(3, 4)) # affiche 5.0
print(hypotenuse(5, 12)) # affiche 13.0
Le même programme sert à chercher un côté de l'angle droit : on remplace l'addition par une soustraction, en partant de l'hypoténuse c (le plus grand côté).
from math import sqrt
def cote_angle_droit(c, a):
# c est l'hypoténuse, a l'un des côtés de l'angle droit
return sqrt(c**2 - a**2)
print(cote_angle_droit(17, 8)) # affiche 15.0
print(cote_angle_droit(25, 24)) # affiche 7.0
Attention — Lire le résultat affiché :
Python répond 5.0 et non 5 : le point est le séparateur décimal (à la place de notre virgule), et sqrt renvoie toujours un nombre à virgule.
Attention aussi à ** : a**2 est le carré de \(a\), alors que a*2 est le double de \(a\). Une seule étoile de trop et le résultat n'a plus rien à voir.
9. Animation — Visualiser le théorème de Pythagore
🎮 Simulation interactive — Modifie les côtés et vérifie l'hypoténuse
Le triangle rectangle en A est dessiné en temps réel, à l'échelle. Les deux bandes colorées repèrent les côtés de l'angle droit et affichent leurs carrés ; l'hypoténuse BC est recalculée à chaque déplacement. La construction des carrés sur les trois côtés est montrée dans l'animation suivante.
10. Preuve visuelle — La démonstration par l'eau
💧 Animation — Le carré de l'hypoténuse = somme des deux autres carrés
On construit un carré sur chaque côté du triangle. Clique sur Lancer : l'eau remplit le grand carré BC² = 25, puis se déverse exactement dans les deux petits carrés AB² = 9 et AC² = 16.
11. Erreurs fréquentes
❌
Appliquer Pythagore sans vérifier que le triangle est rectangle
Le théorème de Pythagore n'est valide que dans un triangle rectangle. Certains élèves l'appliquent à n'importe quel triangle en espérant trouver une longueur manquante. Conseil : avant de commencer, vérifier qu'un angle droit est indiqué (carré dans l'angle, mention "rectangle en..."). Sans angle droit, Pythagore ne s'applique pas.
❌
Confondre l'hypoténuse et un côté quelconque
L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit, c'est le plus grand côté. Certains élèves prennent un côté au hasard comme hypoténuse dans leur calcul. Conseil : repérer d'abord l'angle droit (le petit carré), puis identifier le côté qui lui est opposé : c'est l'hypoténuse. Elle est toujours de l'autre côté du carré.
❌
Oublier de prendre la racine carrée
Après avoir calculé \(a^2 + b^2 = 25\), certains élèves donnent \(c = 25\) au lieu de \(c = \sqrt{25} = 5\). Ils oublient que Pythagore donne d'abord \(c^2\), pas \(c\). Conseil : la dernière étape est toujours de prendre la racine carrée du résultat. Vérifier que la valeur trouvée est plus petite que la somme des deux autres côtés.
❌
Croire que \(\sqrt{a^2 + b^2} = a + b\)
C'est une erreur classique : \(\sqrt{9 + 16} \neq 3 + 4\). En effet, \(\sqrt{25} = 5\) et non \(7\). La racine carrée ne se distribue pas sur une addition. Conseil : toujours additionner les carrés d'abord, puis prendre la racine du résultat. \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), pas 3 + 4 = 7.
❌
Mal poser la formule quand on cherche un côté de l'angle droit
Quand l'hypoténuse \(c\) est connue et qu'on cherche un côté \(a\), certains élèves écrivent \(a^2 = b^2 + c^2\) au lieu de \(a^2 = c^2 - b^2\). Ils additionnent au lieu de soustraire. Conseil : si on cherche un côté de l'angle droit : \(a^2 = c^2 - b^2\). Vérifier que le résultat est bien positif (le côté de l'angle droit est toujours plus court que l'hypoténuse).
Triplets à connaître : 3-4-5 | 5-12-13 | 8-15-17 — et tous leurs multiples (6-8-10, 9-12-15, 30-40-50…).
Deux contrôles de bon sens : l'hypoténuse est toujours le plus grand côté, et elle est toujours plus courte que la somme des deux autres (sinon, on a additionné au lieu d'appliquer Pythagore).
Raisonner : un seul contre-exemple suffit à infirmer un « tout… est… » ; quand on ignore quel côté est l'hypoténuse, on fait une disjonction des cas (deux réponses possibles).
En Python :a**2 est le carré de \(a\) et sqrt (importée de math) la racine carrée ; l'hypoténuse s'écrit donc sqrt(a**2 + b**2).