reconnaître un angle droit sur une figure (petit carré, équerre) ;
calculer un carré et une racine carrée à la calculatrice ;
donner l'arrondi ou une valeur approchée d'un résultat.
Objectifs du chapitre :
C1 — Reconnaître la configuration et nommer les côtés
C2 — Calculer l’hypoténuse
C8 — Calculer un côté de l’angle droit
C9 — Réduire une distance en pente à l’horizontale
C3 — La réciproque : prouver qu’un angle est droit
C11 — Raisonner par l’absurde : le contrôle d’équerrage
C4 — Les triplets pythagoriciens et la règle du 3-4-5
C6 — Infirmer une affirmation : le contre-exemple
C10 — Raisonner par disjonction des cas
C5 — Pythagore dans l’espace : la diagonale d’un pavé
C7 — Chercher des triplets au tableur
Les codes sont ceux du cours PDF du chapitre ; ce ne sont pas des codes officiels. Pour aller plus loin (hors programme de Seconde, non évalué) : la distance entre deux points d'un repère (partie 11) et la contraposée (encadré de la partie 7).
Un installateur monte le cadre support d'un panneau solaire sur une toiture-terrasse. Le cadre doit être parfaitement rectangulaire. Il mesure les deux côtés (80 cm et 150 cm), calcule la diagonale attendue, puis la compare à la diagonale qu'il mesure réellement. Tout le chapitre repose sur une seule figure : le triangle rectangle.
Définition — Hypoténuse et côtés de l'angle droit :
Un triangle est rectangle s'il possède un angle de 90°. Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. Les deux autres sont les côtés de l'angle droit.
Méthode — Trois façons de repérer l'hypoténuse :
c'est le côté qui ne touche pas le petit carré de l'angle droit ;
c'est toujours le plus grand des trois côtés ;
dans « rectangle en A », c'est le côté dont le nom ne contient pas la lettre A : ici \([BC]\).
Erreur fréquente — « le côté du bas », « celui qui est penché » : la position sur la feuille ne décide de rien. Un triangle rectangle dessiné de travers a toujours son hypoténuse en face de l'angle droit. Cherchez le petit carré, pas l'orientation.
Application — Repérer l'hypoténuse
Une voile de planche à voile a la forme d'un triangle rectangle en B. Ses côtés mesurent \(BA = 3\) m, \(BC = 4\) m et \(AC = 5\) m. Quel côté est l'hypoténuse ? Justifier.
L'angle droit est en B : l'hypoténuse est le côté opposé à cet angle, c'est-à-dire \(AC\).
C'est aussi le plus grand côté (5 m > 4 m > 3 m). L'hypoténuse est donc AC = 5 m.
2. Calculer l'hypoténuse (C2)
Théorème de Pythagore :
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors
\[\boxed{BC^2 = AB^2 + AC^2}\]
Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Exemple 2 — Résultat non entier (valeur exacte et arrondie)
Triangle rectangle en B avec AB = 5 cm et BC = 7 cm. Calculer AC.
1
AC est l'hypoténuse : \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 25 + 49 = 74\)
2
Valeur exacte : \(AC = \sqrt{74}\) cm
3
Valeur approchée : \(AC \approx \mathbf{8{,}60\,\text{cm}}\) (arrondi au centième)
Erreur fréquente — additionner les longueurs au lieu des carrés : le théorème porte sur les carrés, pas sur les longueurs. Contrôle de bon sens, à faire à chaque fois : l'hypoténuse est plus grande que chacun des deux côtés, mais plus petite que leur somme. Dans l'exemple 2, \(8{,}60\) est bien entre 7 et \(5 + 7 = 12\).
3. Calculer un côté de l'angle droit (C8)
Le même théorème sert dans l'autre sens : quand c'est l'hypoténuse qu'on connaît, on soustrait au lieu d'additionner.
Propriété — Retrouver un côté de l'angle droit :
Dans un triangle rectangle en A :
\[\boxed{AB^2 = BC^2 - AC^2}\]
On part toujours du carré de l'hypoténuse, et on lui retire le carré du côté connu. Puis \(AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}\).
Exemple 3 — Calculer un côté de l'angle droit
Triangle rectangle en A avec BC = 13 cm (hypoténuse) et AC = 5 cm. Calculer AB.
Exemple 4 — Calculer un côté de l'angle droit (contexte charpente)
Un charpentier pose un arbalétrier (la pièce inclinée d'un comble) qui mesure 4,25 m. Il repose sur un mur dont la portée horizontale est de 4 m. À quelle hauteur l'arbalétrier atteint-il le faîtage ? On modélise par un triangle rectangle dont l'arbalétrier est l'hypoténuse.
1
L'arbalétrier (4,25 m) est l'hypoténuse \(c\). La portée horizontale (4 m) est un côté de l'angle droit \(b\). On cherche la hauteur \(a\).
\(a = \sqrt{2{,}0625} \approx \mathbf{1{,}436\,\text{m}}\), soit \(\approx \mathbf{1{,}44\,\text{m}}\) (arrondi au cm).
Voir le détail
On cherche un côté de l'angle droit : on soustrait les carrés (\(a^2 = c^2 - b^2\)). On vérifie que la hauteur trouvée (1,44 m) est bien plus courte que l'hypoténuse (4,25 m) : c'est cohérent.
Erreur fréquente — soustraire dans le mauvais sens : écrire \(4^2 - 4{,}25^2\) donne un nombre négatif. Aucune longueur n'a un carré négatif : si cela arrive, c'est qu'on n'est pas parti de l'hypoténuse. Elle est le plus grand des trois côtés, donc son carré est le plus grand aussi.
Application
Une échelle de 5,20 m est appuyée contre un mur. Son pied est posé à 1,40 m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ? Arrondir au centimètre.
L'échelle (5,20 m) est l'hypoténuse, l'écart au mur (1,40 m) est un côté de l'angle droit.
\(h^2 = 5{,}20^2 - 1{,}40^2 = 27{,}04 - 1{,}96 = 25{,}08\)
\(h = \sqrt{25{,}08} \approx \mathbf{5{,}01\,\text{m}}\) (arrondi au cm).
4. Réduire une distance en pente à l'horizontale (C9)
Définition — Un plan est une vue de dessus :
Sur un plan de masse ou un cadastre, les distances sont mesurées à l'horizontale, comme si l'on regardait le terrain depuis le ciel. Sur un terrain en pente, le décamètre suit le sol : il mesure plus long. On ne reporte donc jamais sur un plan la distance mesurée le long du terrain sans l'avoir corrigée.
La distance mesurée au sol est l'hypoténuse ; la distance du plan et le dénivelé sont les côtés de l'angle droit.
Exemple — Un relevé en pente
Un géomètre mesure 25 m le long d'un talus qui descend de 7 m. Quelle longueur reporte-t-il sur le plan ?
1
La distance mesurée (25 m) est l'hypoténuse, le dénivelé (7 m) un côté de l'angle droit.
2
\(d^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576\)
3
\(d = \sqrt{576} = \mathbf{24\,\text{m}}\). Il reporte 24 m, et non 25 : sur une limite de propriété, un mètre d'écart compte.
Remarque — le même calcul dans l'autre sens : si l'on connaît la distance du plan et le dénivelé, on retrouve la longueur à parcourir sur le terrain : \(\sqrt{24^2 + 7^2} = 25\) m. C'est utile pour commander un grillage, qui, lui, suit le sol.
Application — Du terrain au plan
Un géomètre mesure 17 m le long d'une pente qui descend de 8 m. Quelle distance doit-il reporter sur le plan ?
La mesure au sol (17 m) est l'hypoténuse, le dénivelé (8 m) un côté de l'angle droit.
\(d^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225\), donc \(d = \sqrt{225} = \mathbf{15\,\text{m}}\) sur le plan (triplet 8-15-17).
5. La réciproque : prouver qu'un angle est droit (C3)
Jusqu'ici on savait que le triangle était rectangle et l'on cherchait une longueur. La réciproque fait l'inverse : on connaît les trois longueurs, et on veut prouver l'angle droit.
Réciproque du théorème de Pythagore :
Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au plus grand côté.
Avec les lettres : si \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), alors le triangle ABC est rectangle en A.
Méthode — La rédaction, toujours la même
1
Repérer le plus grand côté et calculer son carré, à part : \(c^2 = ?\)
2
Calculer la somme des carrés des deux autres, à part : \(a^2 + b^2 = ?\)
3
Comparer les deux nombres, puis conclure par une phrase : égaux → triangle rectangle ; différents → triangle non rectangle.
Erreur fréquente — écrire l'égalité avant de l'avoir vérifiée : commencer par « \(15^2 = 9^2 + 12^2\) » revient à affirmer ce qu'on veut prouver. Il faut deux calculs séparés, puis une comparaison.
Exemple — Vérifier si un triangle est rectangle
Un triangle a des côtés de 9 cm, 12 cm et 15 cm. Est-il rectangle ?
1
Plus grand côté : 15 cm. \(15^2 = 225\)
2
\(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\)
3
Les deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle ; l'angle droit est opposé au côté de 15 cm.
Application — Deux triangles à tester
a) Un triangle a des côtés de 5 cm, 7 cm et 8 cm. Est-il rectangle ? b) Un carreleur prépare un gabarit triangulaire de 16 cm, 30 cm et 34 cm. Forme-t-il un angle droit ?
a) Plus grand côté : 8 cm. \(8^2 = 64\).
\(5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74\).
\(64 \neq 74\) : le triangle n'est pas rectangle. b) Plus grand côté : 34 cm. \(34^2 = 1\,156\).
\(16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1\,156\).
Les deux résultats sont égaux : d'après la réciproque, le triangle est rectangle. Le gabarit forme bien un angle droit (triplet 8-15-17 multiplié par 2).
Exemple — Vérifier un angle droit avec la réciproque (dalle de maçon)
Un maçon coffre une dalle. Pour vérifier qu'un coin forme bien un angle droit, il mesure les trois côtés du triangle formé par ses repères : 1,25 m, 3 m et 3,25 m. Le coin est-il d'équerre ?
1
Plus grand côté : 3,25 m. \(3{,}25^2 = 10{,}5625\)
2
Somme des carrés des deux autres : \(1{,}25^2 + 3^2 = 1{,}5625 + 9 = 10{,}5625\)
3
Les deux résultats sont égaux : d'après la réciproque, le triangle est rectangle. Le coin est bien d'équerre.
Voir le détail
Les longueurs 1,25 – 3 – 3,25 forment le triplet 5 – 12 – 13 divisé par 4 (\(5/4=1{,}25\), \(12/4=3\), \(13/4=3{,}25\)). Comme l'égalité de Pythagore est vérifiée, le coin est rigoureusement à 90°.
6. Direct et réciproque : deux énoncés qu'on ne confond pas (C3)
Le théorème et sa réciproque s'écrivent tous deux « si… alors… », mais ils ne partent pas du même endroit et ne servent pas à la même chose.
Le théorème
La réciproque
Si le triangle est rectangle, alors \(c^2 = a^2 + b^2\).
Si \(c^2 = a^2 + b^2\), alors le triangle est rectangle.
Je sais que l'angle est droit. Je cherche une longueur.
Je connais les trois longueurs. Je cherche à prouver l'angle droit.
Définition — Réciproque d'un énoncé :
La réciproque d'un énoncé « si A alors B » est l'énoncé « si B alors A » : on a échangé l'hypothèse et la conclusion.
Remarque — une réciproque n'est pas toujours vraie : ici, le théorème et sa réciproque sont tous deux vrais. Ce n'est pas automatique. « Si un nombre se termine par 0, alors il est pair » est vrai ; sa réciproque, « si un nombre est pair, alors il se termine par 0 », est fausse : 14 suffit à le montrer (voir la partie 9).
Application — Lequel des deux ?
a) Un plombier connaît les deux côtés de l'angle droit d'un dévoiement et cherche la longueur du tuyau posé en biais. Théorème ou réciproque ? b) Un carreleur mesure les trois côtés d'un triangle tracé au sol pour savoir si l'angle est droit. Théorème ou réciproque ? c) Écrire la réciproque de « si un quadrilatère est un carré, alors ses quatre côtés ont la même longueur ». Est-elle vraie ?
a) L'angle droit est connu, on cherche une longueur : c'est le théorème. b) Les trois longueurs sont connues, on veut prouver l'angle droit : c'est la réciproque. c) Réciproque : « si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, alors c'est un carré ». Elle est fausse : un losange qui n'a pas d'angle droit a quatre côtés égaux sans être un carré.
7. Raisonner par l'absurde : le contrôle d'équerrage (C11)
Vous faites déjà ce raisonnement à chaque contrôle de diagonale. Il porte un nom, et le programme demande de le connaître.
Définition — Raisonnement par l'absurde :
Pour montrer qu'une affirmation est fausse, on la suppose vraie. On en tire une conséquence. Si cette conséquence contredit un fait connu, l'affirmation ne pouvait pas être vraie : elle est donc fausse. C'est un raisonnement par l'absurde.
Méthode — Rédiger en trois temps :
1
Supposons que … (on écrit ce qu'on veut réfuter).
2
Alors, d'après le théorème de Pythagore, … (on calcule la conséquence).
3
Or … (le fait mesuré) : c'est impossible. Donc … (la conclusion inverse de la supposition).
Exemple — Le cadre du panneau solaire est-il d'équerre ?
L'installateur de la partie 1 monte un cadre de 80 cm × 150 cm. Avant de fixer le panneau, il mesure la diagonale du cadre : 172 cm.
1
Supposons que le cadre soit d'équerre.
2
Alors, d'après le théorème de Pythagore, sa diagonale vaudrait \(\sqrt{80^2 + 150^2}\) \(= \sqrt{6\,400 + 22\,500}\) \(= \sqrt{28\,900} = 170\,\text{cm}\).
3
Or elle mesure 172 cm : c'est impossible. Donc le cadre n'est pas d'équerre ; il doit être repris avant la pose.
Voir le détail
Un écart de 2 cm sur 1,70 m est bien trop grand pour venir de la précision du mètre ruban. C'est le cahier des charges (ou l'énoncé) qui indique l'écart encore admis.
Remarque — pourquoi c'est le raisonnement du chantier : on ne peut pas mesurer un angle droit directement avec assez de précision. On mesure donc une conséquence, la diagonale. Si elle ne tombe pas juste, on en conclut que l'angle ne l'est pas.
Pour aller plus loin — La contraposée
Hors programme de Seconde, non évalué. Le même raisonnement s'écrit aussi : « si le cadre est rectangle, alors la diagonale vaut 170 cm ; or elle ne vaut pas 170 cm, donc le cadre n'est pas rectangle ». D'un énoncé « si A alors B », on déduit « si non B alors non A » : c'est la contraposée. Elle est toujours vraie quand l'énoncé de départ l'est. Ne pas la confondre avec la réciproque, « si B alors A », qui peut être fausse.
Application — Le raisonnement du contrôleur
Un châssis de fenêtre devrait mesurer 1,20 m sur 0,50 m. Le contrôleur mesure sa diagonale : 1,32 m. Rédiger la conclusion par l'absurde, en trois temps.
Supposons que le châssis soit d'équerre.
Alors, d'après le théorème de Pythagore, sa diagonale vaudrait \(\sqrt{1{,}20^2 + 0{,}50^2}\) \(= \sqrt{1{,}44 + 0{,}25}\) \(= \sqrt{1{,}69} = 1{,}30\) m.
Or elle mesure 1,32 m : c'est impossible. Donc le châssis n'est pas d'équerre.
8. Les triplets pythagoriciens et la règle du 3-4-5 (C4)
Définition — Triplet pythagoricien :
Trois nombres entiers \((a, b, c)\) forment un triplet pythagoricien lorsque \(a^2 + b^2 = c^2\). Un triangle dont les côtés sont ces trois entiers est donc rectangle, et tous les calculs y tombent juste.
3 – 4 – 5\(9 + 16 = 25\)
5 – 12 – 13\(25 + 144 = 169\)
8 – 15 – 17\(64 + 225 = 289\)
6 – 8 – 10multiple de 3-4-5
9 – 12 – 15multiple de 3-4-5
30 – 40 – 50multiple de 3-4-5
Propriété — Pourquoi les multiples marchent :
Si \(a^2 + b^2 = c^2\), alors pour tout nombre \(k\) :
\[(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2\]
\[= k^2(a^2 + b^2) = k^2c^2 = (kc)^2\]
Agrandir un triangle rectangle le laisse rectangle.
Application — Reconnaître un multiple d'un triplet
Un menuisier renforce un portail rectangulaire par une barre diagonale. Les côtés de l'angle droit mesurent 50 cm et 120 cm. En reconnaissant un multiple d'un triplet connu, donne la longueur de la barre (la diagonale) sans passer par la racine carrée.
On divise par 10 : \(50 = 5 \times 10\) et \(120 = 12 \times 10\). On reconnaît le triplet 5 – 12 – 13.
La diagonale vaut donc \(13 \times 10 = \mathbf{130\,\text{cm}}\).
Vérification : \(50^2 + 120^2 = 2\,500 + 14\,400 = 16\,900 = 130^2\) ✓
🏠 Technique professionnelle — La règle du 3-4-5 sur le chantier
Pour implanter un angle droit sans équerre, on tend une corde :
Fixer un point de départ A.
Mesurer 3 m sur une direction → point B.
Mesurer 4 m sur la direction à 90° supposée → point C.
Ajuster jusqu'à ce que BC mesure exactement 5 m : l'angle en A est alors droit, par la réciproque du théorème.
Sur un grand ouvrage, on emploie un multiple pour gagner en précision : 6 m, 8 m, 10 m, ou même 9 m, 12 m, 15 m. Plus les longueurs sont grandes, moins l'erreur de mesure pèse sur l'angle.
Erreur fréquente — trois entiers ne suffisent pas : 5, 6 et 7 sont trois entiers consécutifs. Pourtant \(5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61\) alors que \(7^2 = 49\) : ce n'est pas un triplet. Il faut toujours vérifier l'égalité.
Application — Règle des 3-4-5
Sur un chantier, un menuisier mesure 60 cm sur une direction et 80 cm sur l'autre. Quelle longueur de diagonale doit-il obtenir pour confirmer que l'angle est droit ?
\(d = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{3\,600 + 6\,400} = \sqrt{10\,000} = \mathbf{100\,\text{cm}}\)
Le triplet 60-80-100 est un multiple du triplet 3-4-5 (× 20). Si la diagonale mesure 100 cm, l'angle est bien droit.
9. Infirmer une affirmation : le contre-exemple (C6)
Le programme demande de travailler les raisonnements logiques à l'occasion de Pythagore. Après l'absurde (partie 7), voici le plus utile : pour démolir une affirmation générale, un seul cas suffit.
Définition — Contre-exemple :
Une affirmation qui commence par « tout… », « toujours », « n'importe quel… » prétend valoir dans tous les cas. Pour la réfuter, il suffit d'en montrer un seul qui ne marche pas. Ce cas s'appelle un contre-exemple.
Méthode — Rédiger un contre-exemple :
1
Annoncer le cas choisi, avec ses nombres.
2
Faire le calcul qui montre qu'il ne marche pas.
3
Conclure : « donc l'affirmation est fausse ».
Exemple — « Tout triangle dont les trois côtés sont des nombres pairs est rectangle »
Le triangle 6 – 8 – 10 vérifie bien l'affirmation… mais cela ne prouve rien. Cherchons un contre-exemple.
1
Prenons les côtés 6 – 8 – 12 (trois nombres pairs). Plus grand côté : 12, donc \(12^2 = 144\).
2
\(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\). Or \(144 \neq 100\) : ce triangle n'est pas rectangle.
3
Ce seul contre-exemple suffit : l'affirmation est fausse. Ce n'est pas la parité qui fait un triplet, c'est l'égalité de Pythagore.
Erreur fréquente — un exemple qui marche ne démontre rien : trouver que 6-8-10 fonctionne ne prouve pas que tous les triangles à côtés pairs fonctionnent. Un exemple ne confirme pas une affirmation universelle ; un contre-exemple, lui, la réfute définitivement.
Application — Réfuter une affirmation
Un élève affirme : « tout triangle dont les trois côtés sont des multiples de 5 est rectangle ». Donner un contre-exemple et conclure.
Prenons le triangle de côtés 10 cm, 15 cm et 20 cm (trois multiples de 5).
Plus grand côté : \(20^2 = 400\). Somme des deux autres : \(10^2 + 15^2 = 100 + 225 = 325\).
\(400 \neq 325\) : ce triangle n'est pas rectangle. Donc l'affirmation est fausse.
10. Quand l'énoncé ne dit pas quel côté est l'hypoténuse : la disjonction des cas (C10)
Troisième raisonnement du programme. Il sert dès qu'une situation laisse plusieurs cas possibles : au lieu de choisir au hasard, on les examine tous.
Définition — Disjonction des cas :
Raisonner par disjonction des cas, c'est découper la situation en toutes les possibilités, les traiter une par une, et écarter celles qui sont impossibles. Le raisonnement n'est complet que si l'on a montré qu'il n'en reste aucune autre.
Exemple — Deux côtés de 12 cm et 16 cm dans un triangle rectangle
Rien ne dit lequel est l'hypoténuse. On examine les trois cas.
1
Cas 1 — c'est la longueur cherchée \(x\) qui est l'hypoténuse : \(x^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400\), donc \(x = 20\) cm.
2
Cas 2 — le côté de 16 cm est l'hypoténuse : \(x^2 = 16^2 - 12^2 = 256 - 144 = 112\), donc \(x = \sqrt{112} \approx 10{,}58\) cm.
3
Cas 3 — le côté de 12 cm est l'hypoténuse : impossible, car l'hypoténuse est le plus grand côté et 16 > 12. Conclusion : deux réponses possibles, \(x = 20\) cm ou \(x \approx 10{,}58\) cm.
Erreur fréquente — s'arrêter au premier cas : répondre 20 cm et s'arrêter donne une réponse, pas la réponse. Tant que l'hypoténuse n'est pas nommée, il faut les deux, et il faut dire pourquoi le troisième cas est écarté.
Application — Examiner tous les cas
Un triangle rectangle a deux côtés de 8 cm et 17 cm. Donner toutes les valeurs possibles du troisième côté (arrondir au centième si besoin).
Cas 1 — le côté de 17 cm est l'hypoténuse : \(x^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225\), donc \(x = 15\) cm. Cas 2 — le troisième côté est l'hypoténuse : \(x^2 = 8^2 + 17^2 = 64 + 289 = 353\), donc \(x = \sqrt{353} \approx 18{,}79\) cm. Cas 3 — le côté de 8 cm est l'hypoténuse : impossible, il n'est pas le plus grand côté.
Deux réponses possibles : 15 cm ou environ 18,79 cm.
11. Pour aller plus loin — La distance entre deux points d'un repère
Hors programme de Seconde, non évalué. Un carnet de levé donne des points par leurs coordonnées. Pour connaître la distance entre deux d'entre eux, on retrouve un triangle rectangle sans même le tracer.
Méthode — Calculer la distance AB :
1
Calculer l'écart horizontal : la différence des abscisses, \(x_B - x_A\).
2
Calculer l'écart vertical : la différence des ordonnées, \(y_B - y_A\).
3
Ces deux écarts sont les côtés de l'angle droit ; la distance cherchée est l'hypoténuse : \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).
Les écarts sont élevés au carré : leur signe n'a aucune importance.
Le triangle RST est rectangle en T : \(RS^2 = 4^2 + 3^2 = 25\), donc \(RS = 5\).
12. Pythagore dans l'espace : la diagonale d'un pavé (C5)
Quand la longueur cherchée traverse un solide, on applique Pythagore deux fois : d'abord à plat dans le fond, puis dans le plan vertical qui contient la diagonale cherchée.
Méthode — Grande diagonale d'un pavé droit \(L \times \ell \times h\) :
1
Dans le fond (rectangle \(L \times \ell\)) : \(d^2 = L^2 + \ell^2\).
2
Le triangle formé par cette diagonale \(d\), la hauteur \(h\) et la grande diagonale \(D\) est rectangle : \(D^2 = d^2 + h^2\).
3
En remplaçant : \(D^2 = L^2 + \ell^2 + h^2\), soit \(D = \sqrt{L^2 + \ell^2 + h^2}\).
Cette diagonale est la plus grande longueur d'un objet rigide qui peut entrer dans le pavé (carton, gaine technique, tringle).
Schéma en perspective (les longueurs dessinées ne sont pas à l'échelle) : d'abord la diagonale \(d\) du fond, puis la grande diagonale \(D\).
Exemple — Coffre d'outillage de 90 cm × 60 cm × 20 cm
\(D = \sqrt{12\,100} = \mathbf{110\,\text{cm}}\). Un niveau à bulle de 110 cm entre tout juste, posé en diagonale ; un niveau de 120 cm ne rentre pas.
Application — Ce qui rentre, ce qui ne rentre pas
Un carton mesure 40 cm sur 30 cm, et 120 cm de haut. Calculer la diagonale du fond, puis la grande diagonale. Une tringle rigide de 1,25 m peut-elle y entrer ?
Diagonale du fond : \(d^2 = 40^2 + 30^2 = 1\,600 + 900 = 2\,500\), donc \(d = 50\) cm.
Grande diagonale : \(D^2 = d^2 + 120^2 = 2\,500 + 14\,400 = 16\,900\), donc \(D = \sqrt{16\,900} = \mathbf{130\,\text{cm}}\).
125 cm < 130 cm : oui, la tringle entre, posée en diagonale.
13. Chercher des triplets au tableur (C7)
Le programme demande de chercher des triplets pythagoriciens. À la main, c'est interminable ; au tableur, c'est une formule écrite une seule fois, puis recopiée.
Trois conventions du tableur :
une formule commence toujours par le signe = ;
^2 se lit « au carré » : A2^2 est le carré du nombre écrit dans la case A2 ;
SI(condition;"oui";"non") affiche le premier texte si la condition est vraie, le second sinon.
Trois colonnes pour \(a\), \(b\) et \(c\), puis une quatrième qui répond. On écrit en D2 :
=SI(A2^2+B2^2=C2^2;"oui";"non")
puis on attrape le coin de la case et on la tire vers le bas. Les références suivent la ligne toutes seules : en D3 le tableur lit A3, B3 et C3. Voici ce que la feuille affiche :
A — a
B — b
C — c
D
2
3
4
5
oui
3
5
12
13
oui
4
2
3
4
non
5
8
15
17
oui
6
6
7
9
non
Remarque — chercher, et non reconnaître : la liste de la partie 8 donne les triplets qu'on a appris. Le tableur, lui, les cherche : on essaie toutes les valeurs et on garde celles qui tombent juste. C'est ainsi qu'on trouve 7 – 24 – 25, qui n'est dans aucune liste du cours.
Le tableur sait aussi calculer une longueur : =RACINE(A2^2+B2^2) donne l'hypoténuse, et =RACINE(A2^2-B2^2) un côté de l'angle droit, à condition que la case A contienne l'hypoténuse.
Attention — deux pièges du tableur : A2^2 est le carré de A2 ; A2*2 en est le double. Avec le double, la ligne 3-4-5 afficherait « non », puisque \(6 + 8 = 14\) et non 10. Contrôlez toujours une ligne dont vous connaissez la réponse.
Dans =RACINE(A2^2-B2^2), si la case A ne contient pas le plus grand côté, le tableur doit prendre la racine d'un nombre négatif : il affiche un message d'erreur.
Application — Lire et contrôler la feuille
a) On ajoute la ligne \(a = 7\), \(b = 24\), \(c = 25\). Qu'affichera la colonne D ? Justifier par le calcul. b) Un élève a tapé =SI(A2*2+B2*2=C2*2;"oui";"non"). Qu'affiche sa formule sur la ligne 3-4-5 ? Que faut-il corriger ?
a) \(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\) et \(25^2 = 625\) : l'égalité est vraie, la colonne D affiche oui. b) Sa formule calcule des doubles : \(3 \times 2 + 4 \times 2 = 14\) et \(5 \times 2 = 10\). Comme \(14 \neq 10\), elle affiche non alors que 3-4-5 est un triplet. Il faut remplacer *2 par ^2.
14. Animation — Visualiser le théorème de Pythagore
🎮 Simulation interactive — Modifie les côtés et vérifie l'hypoténuse
Le triangle rectangle en A est dessiné en temps réel, à l'échelle. Les deux bandes colorées repèrent les côtés de l'angle droit et affichent leurs carrés ; l'hypoténuse BC est recalculée à chaque déplacement. La construction des carrés sur les trois côtés est montrée dans l'animation suivante.
15. Preuve visuelle — La démonstration par l'eau
💧 Animation — Le carré de l'hypoténuse = somme des deux autres carrés
On construit un carré sur chaque côté du triangle. Clique sur Lancer : l'eau remplit le grand carré BC² = 25, puis se déverse exactement dans les deux petits carrés AB² = 9 et AC² = 16.
16. Erreurs fréquentes
❌
Appliquer Pythagore sans vérifier que le triangle est rectangle
Le théorème de Pythagore n'est valide que dans un triangle rectangle. Certains élèves l'appliquent à n'importe quel triangle en espérant trouver une longueur manquante. Conseil : avant de commencer, vérifier qu'un angle droit est indiqué (carré dans l'angle, mention "rectangle en..."). Sans angle droit, Pythagore ne s'applique pas.
❌
Confondre l'hypoténuse et un côté quelconque
L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit, c'est le plus grand côté. Certains élèves prennent un côté au hasard comme hypoténuse dans leur calcul. Conseil : repérer d'abord l'angle droit (le petit carré), puis identifier le côté qui lui est opposé : c'est l'hypoténuse. Elle est toujours de l'autre côté du carré.
❌
Oublier de prendre la racine carrée
Après avoir calculé \(a^2 + b^2 = 25\), certains élèves donnent \(c = 25\) au lieu de \(c = \sqrt{25} = 5\). Ils oublient que Pythagore donne d'abord \(c^2\), pas \(c\). Conseil : la dernière étape est toujours de prendre la racine carrée du résultat. Vérifier que la valeur trouvée est plus petite que la somme des deux autres côtés.
❌
Croire que \(\sqrt{a^2 + b^2} = a + b\)
C'est une erreur classique : \(\sqrt{9 + 16} \neq 3 + 4\). En effet, \(\sqrt{25} = 5\) et non \(7\). La racine carrée ne se distribue pas sur une addition. Conseil : toujours additionner les carrés d'abord, puis prendre la racine du résultat. \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), pas 3 + 4 = 7.
❌
Mal poser la formule quand on cherche un côté de l'angle droit
Quand l'hypoténuse \(c\) est connue et qu'on cherche un côté \(a\), certains élèves écrivent \(a^2 = b^2 + c^2\) au lieu de \(a^2 = c^2 - b^2\). Ils additionnent au lieu de soustraire. Conseil : si on cherche un côté de l'angle droit : \(a^2 = c^2 - b^2\). Vérifier que le résultat est bien positif (le côté de l'angle droit est toujours plus court que l'hypoténuse).
Pour aller plus loin (non évalué) : la distance entre deux points d'un repère, \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).
Triplets à connaître : 3-4-5 | 5-12-13 | 8-15-17 — et tous leurs multiples (6-8-10, 9-12-15, 30-40-50…).
Deux contrôles de bon sens : l'hypoténuse est toujours le plus grand côté, et elle est toujours plus courte que la somme des deux autres (sinon, on a additionné au lieu d'appliquer Pythagore).
Par l'absurde : « supposons que l'ouvrage soit d'équerre ; alors, d'après le théorème de Pythagore, sa diagonale vaudrait… ; or elle mesure autre chose : c'est impossible ; donc il n'est pas d'équerre ». C'est le raisonnement de tout contrôle d'équerrage.
Raisonner : un seul contre-exemple suffit à infirmer un « tout… est… » ; quand on ignore quel côté est l'hypoténuse, on fait une disjonction des cas : on examine tous les cas et on écarte les impossibles.
Au tableur :=SI(A2^2+B2^2=C2^2;"oui";"non"), écrite une fois en D2 et recopiée vers le bas, teste chaque ligne et cherche les triplets.