Chapitre 13 – Théorème de Thalès dans le triangle | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 20:10
💡 Notions centrales : leçon §1 (configuration de Thalès), §2 (théorème de Thalès), §3 (réciproque) et §4 (échelle d'un plan). Formule clé : \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}\).
Sur un toit à deux pentes, on pose deux barres de bois horizontales entre les deux versants : une tout en bas (au niveau des murs) et une plus haut, vers le sommet. À ton avis, laquelle est la plus longue ?
La barre du bas est plus longue. Un toit à deux pentes se resserre en montant vers le sommet (le faîtage) : plus on monte, plus l'écart entre les deux versants est petit. La barre du haut, plus proche du sommet, est donc plus courte. C'est exactement cette idée de proportion que le théorème de Thalès va nous permettre de calculer.
Malik est charpentier. Il fabrique une ferme de charpente (l'ossature triangulaire d'un toit) pour l'extension d'une maison. Il a déjà posé la poutre du bas qui relie les deux murs (l'entrait) et une barre horizontale plus haut (l'entrait retroussé), au niveau du futur plafond des combles. Il a aussi préparé le haut des deux chevrons, qui se rejoignent au sommet (le faîtage). Il lui reste à savoir quelle longueur totale de bois commander pour chaque chevron, du faîtage jusqu'au mur.
Malik ne connaît que la portée (8,00 m), la longueur de l'entrait retroussé (3,20 m) et le haut du chevron (2,00 m). Comment en déduire la longueur totale d'un chevron, pour savoir quelle longueur de bois commander ?
Sur le schéma, repère les deux pièces de bois horizontales. Comment s'appellent-elles ? Pourquoi sont-elles parallèles ? Dans quelle configuration géométrique se trouve-t-on ?
Les deux pièces horizontales sont l'entrait [BC] (en bas) et l'entrait retroussé [DE] (plus haut). Elles sont toutes les deux horizontales, donc parallèles : \((DE)\parallel(BC)\). Le point \(D\) est sur le chevron \([AB]\), le point \(E\) sur le chevron \([AC]\), et les deux triangles \(ADE\) et \(ABC\) ont le même sommet \(A\) (le faîtage). On est donc dans une configuration de Thalès (triangles emboîtés).
Écris l'égalité des trois rapports donnée par le théorème de Thalès dans le triangle \(ABC\) avec \((DE)\parallel(BC)\). Indique ensuite quel rapport permet de calculer la longueur du chevron \(AB\).
D'après le théorème de Thalès : \[\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}\] Pour trouver \(AB\), on utilise le rapport qui contient l'inconnue et deux longueurs connues, soit \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}\), car on connaît \(AD=2{,}00\) m, \(DE=3{,}20\) m et \(BC=8{,}00\) m.
À partir de \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}\), calcule la longueur totale \(AB\) du chevron.
On remplace par les valeurs connues : \[\frac{2}{AB}=\frac{3{,}20}{8{,}00}\] Le rapport de droite vaut \(\dfrac{3{,}20}{8{,}00}=0{,}4\). Par le produit en croix : \[AD\times BC = AB\times DE \;\Rightarrow\; 2\times 8 = AB\times 3{,}20\] \[16 = 3{,}20\times AB \;\Rightarrow\; AB=\frac{16}{3{,}20}=\mathbf{5{,}00\ \text{m}}\] Chaque chevron mesure donc 5,00 m du faîtage jusqu'au mur.
Déduis-en la longueur \(DB\) de la partie basse du chevron, c'est-à-dire du mur \(B\) jusqu'à l'entrait retroussé \(D\).
Le point \(D\) est sur \([AB]\), donc \(AB = AD + DB\). On isole \(DB\) : \[DB = AB - AD = 5{,}00 - 2{,}00 = \mathbf{3{,}00\ \text{m}}\] La partie basse du chevron mesure 3,00 m (elle est bien plus longue que la partie haute de 2,00 m).
Malik contrôle le chevron droit : il mesure \(AE = 2{,}00\) m (haut du chevron droit) et \(EC = 3{,}00\) m (partie basse). À l'aide de la réciproque du théorème de Thalès, vérifie que l'entrait retroussé \([DE]\) est bien parallèle à l'entrait \([BC]\) — autrement dit, que la barre est posée parfaitement horizontale.
On reconstitue le chevron droit entier : \(AC = AE + EC = 2{,}00 + 3{,}00 = 5{,}00\) m.
On compare les deux rapports issus du sommet \(A\) :
\[\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}=0{,}4 \qquad\text{et}\qquad \frac{AE}{AC}=\frac{2}{5}=0{,}4\]
Les deux rapports sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, \((DE)\parallel(BC)\). L'entrait retroussé est bien posé horizontal et la ferme est symétrique.
Malik dessine sa ferme sur un plan à l'échelle 1/50. Quelle est, sur le plan, la longueur du chevron \(AB\) et celle de l'entrait \(BC\) (en centimètres) ?
À l'échelle 1/50, une longueur sur le plan est \(50\) fois plus petite que la longueur réelle : \(\text{plan}=\dfrac{\text{réel}}{50}\).
Chevron : \(AB = 5{,}00\) m \(= 500\) cm, donc sur le plan \(\dfrac{500}{50}=\mathbf{10\ \text{cm}}\).
Entrait : \(BC = 8{,}00\) m \(= 800\) cm, donc sur le plan \(\dfrac{800}{50}=\mathbf{16\ \text{cm}}\).
(De même, l'entrait retroussé : \(320\div 50 = 6{,}4\) cm.)
Chez son fournisseur, Malik trouve des chevrons de 5,20 m. Pour poser la couverture, il faut le chevron utile (du faîtage au mur) plus 20 cm de débord (le bord du toit qui dépasse du mur). Un chevron de 5,20 m suffit-il ? Justifie.
Longueur nécessaire par chevron : \(AB + \text{débord} = 5{,}00 + 0{,}20 = 5{,}20\) m.
Le chevron du fournisseur mesure exactement 5,20 m : c'est donc tout juste suffisant (\(5{,}20 = 5{,}20\)), mais sans aucune marge de coupe. En pratique, Malik a intérêt à prévoir une longueur un peu supérieure (par exemple 5,50 m) pour pouvoir ajuster proprement.
Rédige en 2 à 3 phrases la réponse à la problématique : quelle longueur de bois Malik doit-il commander pour chaque chevron, et par quelle méthode l'a-t-il obtenue ?
Exemple : « En reconnaissant une configuration de Thalès (faîtage \(A\) sommet commun, entrait retroussé parallèle à l'entrait), Malik écrit \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}\), soit \(\dfrac{2}{AB}=\dfrac{3{,}20}{8}\), ce qui donne un chevron de 5,00 m. En ajoutant les 20 cm de débord, il doit commander des chevrons d'au moins 5,20 m (et plutôt 5,50 m pour la coupe). Le résultat est cohérent : un chevron de maison mesure environ 4 à 6 m, la ferme est symétrique et le plan au 1/50 donne bien 10 cm. »
Le poinçon est la pièce verticale qui va du faîtage \(A\) jusqu'au milieu \(M\) de l'entrait \([BC]\). Le triangle \(ABM\) est rectangle en \(M\), avec \(BM = \dfrac{BC}{2}\) et \(AB = 5{,}00\) m. Calcule la hauteur \(AM\) de la ferme, puis la hauteur de l'entrait retroussé au-dessus de l'entrait (sachant qu'il se trouve aux \(0{,}4\) de la hauteur sous le faîtage).
\(BM = \dfrac{8{,}00}{2} = 4{,}00\) m. Dans le triangle rectangle \(ABM\), le théorème de Pythagore donne :
\[AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25-16} = \sqrt{9} = \mathbf{3{,}00\ \text{m}}\]
Le faîtage est à 3,00 m au-dessus de l'entrait (hauteur du poinçon).
L'entrait retroussé est aux \(0{,}4\) de cette hauteur sous le faîtage : il descend de \(0{,}4\times 3{,}00 = 1{,}20\) m. Il se trouve donc à \(3{,}00 - 1{,}20 = \mathbf{1{,}80\ \text{m}}\) au-dessus de l'entrait — une hauteur cohérente pour un plafond de combles.
Réponse à la problématique : chaque chevron mesure \(AB = 5{,}00\) m (faîtage → mur). Avec le débord, Malik commande des chevrons d'au moins 5,20 m.
📚 Cette activité s'appuie sur §1, §2 (théorème), §3 (réciproque) et §4 (échelle) de la leçon Ch13.
Contexte professionnel : charpente bois / couverture. Dimensions choisies réalistes pour une ferme de maison individuelle (portée 8 m, chevron 5 m, pente ≈ 75 %). Situation et prénom fictifs.