Activité 7 – La photo de la tour Eiffel TRANSVERSALE · DEVOIR MAISON

Chapitre 13 – Théorème de Thalès | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Objectifs :

Reconnaître une configuration de Thalès cachée dans une prise de vue photo
Écrire l'égalité des rapports et l'utiliser pour calculer une longueur
Comprendre que « reculer » revient à réduire la taille de l'image (réduction)
Réinvestir la notion sur une situation du quotidien (smartphone, voyage)

Situation – Léa cadre la tour Eiffel sur son téléphone

En voyage scolaire à Paris, Léa veut prendre en photo la tour Eiffel… mais elle n'arrive pas à la faire « tenir » entièrement sur l'écran : le sommet est toujours coupé. Pour comprendre, sa professeure de maths lui explique comment fonctionne un appareil photo.

Ce qu'un smartphone « voit » est limité par la taille de son capteur. On peut le représenter simplement : un petit cadre DE, de la hauteur du capteur, placé juste devant l'objectif O, à la distance OD. Tout ce que l'on voit depuis O à travers ce cadre est sur la photo. L'objectif O, le cadre DE et la tour BC forment deux triangles emboîtés de même sommet O : c'est la configuration du théorème de Thalès dans le triangle.

D ∈ [OB], E ∈ [OC] ; le cadre DE et la tour BC sont verticaux, donc parallèles. Schéma non à l'échelle.

Données de la situation :

Donnée	Valeur
Hauteur réelle de la tour Eiffel (BC)	330 m
Hauteur du capteur du smartphone (cadre DE)	6 mm
Distance objectif ↔ cadre (OD)	4 mm
Distance de Léa à la tour, 1^re photo (OB)	200 m

Valeurs simplifiées pour l'activité (un vrai capteur de smartphone mesure environ 5 à 7 mm de haut).

Problématique :

À 200 m de la tour, l'image dépasse-t-elle la hauteur du capteur (le sommet est-il coupé) ? Et à quelle distance Léa doit-elle se placer pour que la tour entière tienne tout juste sur sa photo ?

Question 1 APP

Sur le schéma, on note O l'objectif (le sommet commun), BC la tour réelle et DE le cadre qui représente le capteur, où se forme l'image de la tour. Pourquoi peut-on affirmer que les segments [BC] et [DE] sont parallèles ?

La tour est verticale, et le cadre DE (le capteur) est tenu verticalement lui aussi. Deux segments verticaux sont parallèles entre eux : (BC) ∥ (DE). Avec D ∈ [OB] et E ∈ [OC], c'est la condition pour appliquer le théorème de Thalès.

Question 2 ANA

Le sommet C de la tour, le haut E du cadre et l'objectif O sont alignés sur un même rayon de lumière (en pointillés sur le schéma). En utilisant le sommet commun O, écrire l'égalité des deux rapports de Thalès reliant la hauteur de l'objet, la hauteur de l'image, et les deux distances à l'objectif.

Les deux triangles ont le même sommet O, et BC ∥ DE. D'après le théorème de Thalès, les longueurs issues de O se correspondent : \[\frac{DE}{BC} = \frac{OD}{OB}\] Autrement dit : hauteur de l'image / hauteur de l'objet = distance du cadre / distance de l'objet. C'est le même rapport de réduction pour les deux triangles.

Question 3 REA

Pour la 1^re photo, Léa est à OB = 200 m de la tour. La distance objectif–cadre est OD = 4 mm et la tour mesure BC = 330 m. Calculer la hauteur DE de l'image sur le capteur, en millimètres.

Conseil : convertir d'abord les deux distances dans la même unité avant de calculer le rapport. 200 m = 200 000 mm et 330 m = 330 000 mm.

On applique \(\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{OD}{OB}\), donc \(DE = BC \times \dfrac{OD}{OB}\).
Le rapport \(\dfrac{OD}{OB} = \dfrac{4\ \text{mm}}{200\,000\ \text{mm}} = \dfrac{4}{200\,000} = 0{,}00002\).
\(DE = 330\,000\ \text{mm} \times 0{,}00002 = \mathbf{6{,}6\ \text{mm}}\).
(On peut aussi écrire directement : \(DE = \dfrac{BC \times OD}{OB} = \dfrac{330 \times 4}{200\,000}\times 1000\) en gardant les mètres au numérateur… le plus simple reste de tout passer en mm.)

Question 4 VAL

Le capteur mesure au maximum 6 mm de haut. À l'aide du résultat de la question 3, expliquer pourquoi le sommet de la tour est coupé sur la 1^re photo de Léa.

L'image calculée mesure DE = 6,6 mm, alors que le capteur ne fait que 6 mm de haut. Comme 6,6 mm > 6 mm, l'image est trop grande pour entrer entièrement sur le capteur : il manque 0,6 mm. La partie qui dépasse (le sommet) n'est donc pas enregistrée → le sommet est coupé. Cela confirme le problème de Léa.

Question 5 REA

Léa décide de reculer. On cherche la distance OB' pour laquelle l'image fait exactement DE = 6 mm (tour pile dans le cadre). En repartant de \(\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{OD}{OB'}\), calculer OB' (en mètres).

On veut DE = 6 mm. On isole OB' par le produit en croix dans \(\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{OD}{OB'}\) : \[DE \times OB' = BC \times OD \;\Rightarrow\; OB' = \frac{BC \times OD}{DE}\] Tout en millimètres : \(OB' = \dfrac{330\,000 \times 4}{6} = \dfrac{1\,320\,000}{6} = 220\,000\ \text{mm}\).
Soit OB' = 220 m. Léa doit donc se placer à 220 m de la tour (au lieu de 200 m).

Question 6 ANA

Comparer OB = 200 m et OB' = 220 m. En s'éloignant de la tour, l'image devient-elle plus grande ou plus petite sur le capteur ? Relier cette observation à la notion d'agrandissement / réduction vue en cours.

En reculant, OB augmente (de 200 à 220 m). Dans le rapport \(DE = BC \times \dfrac{OD}{OB}\), si OB est plus grand alors \(\dfrac{OD}{OB}\) est plus petit, donc DE diminue (de 6,6 à 6 mm). S'éloigner réduit la taille de l'image : c'est une réduction (le rapport \(k = \dfrac{OD}{OB}\) est très petit, donc \(0 < k < 1\)). C'est pour cela qu'on recule quand un sujet est « trop gros » dans le cadre.

Question 7 VAL

Le smartphone de Malik a un capteur plus grand : 7 mm de haut, avec la même distance OD = 4 mm. Depuis le même endroit que Léa (OB = 200 m), peut-il photographier la tour en entier ? Justifier à l'aide de la question 3.

À 200 m, avec OD = 4 mm, l'image de la tour mesure DE = 6,6 mm (question 3). Le capteur de Malik mesure 7 mm : comme 6,6 mm < 7 mm, l'image tient sur le capteur. Malik peut photographier toute la tour sans reculer.

Question 8 COM

Rédiger en deux ou trois phrases la réponse complète à la problématique : le sommet est-il coupé à 200 m, et où Léa doit-elle se placer pour photographier toute la tour ?

À 200 m, l'image de la tour mesure 6,6 mm alors que le capteur n'en fait que 6 mm : l'image dépasse, donc le sommet est coupé. En reculant jusqu'à 220 m, l'image se réduit à exactement 6 mm et tient tout juste dans le cadre : Léa doit donc s'éloigner d'environ 20 m pour photographier la tour Eiffel en entier. Le calcul repose sur le théorème de Thalès appliqué aux deux triangles de sommet l'objectif.

🔎 Bonus — Pour aller plus loin (hors programme de Seconde) : la réciproque pour vérifier le cadrage

Un ami de Léa affirme avoir photographié une statue de 4 m de haut placée à OB = 10 m, et obtenu une image de DE = 1,6 mm avec OD = 4 mm. En comparant les deux rapports \(\dfrac{DE}{BC}\) et \(\dfrac{OD}{OB}\), dire si sa photo est géométriquement cohérente (configuration de Thalès respectée).

On compare les deux rapports (tout en mm : BC = 4 m = 4000 mm, OB = 10 m = 10 000 mm).
\(\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{1{,}6}{4000} = 0{,}0004\) et \(\dfrac{OD}{OB} = \dfrac{4}{10\,000} = 0{,}0004\).
Les deux rapports sont égaux : d'après la réciproque du théorème de Thalès, la configuration est cohérente. La photo est donc géométriquement possible.

À retenir

Réponse à la problématique : À 200 m, l'image (6,6 mm) dépasse le capteur (6 mm) : le sommet est coupé. En reculant à 220 m, l'image se réduit à 6 mm et la tour entière tient dans le cadre.

Dans une prise de vue, l'objectif O, le cadre du capteur DE et l'objet BC forment deux triangles emboîtés de même sommet O, avec DE ∥ BC → configuration de Thalès dans le triangle.
Égalité des rapports : \(\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{OD}{OB}\) (hauteur du cadre / hauteur de l'objet = distance du cadre / distance de l'objet).
Plus on s'éloigne (OB grand), plus l'image est petite : c'est une réduction de rapport \(k = \dfrac{OD}{OB}\), avec \(0 < k < 1\).
Pour aller plus loin : la réciproque permet de vérifier qu'une configuration est cohérente : si les deux rapports sont égaux, la géométrie de Thalès est respectée.

📚 Cette activité s'appuie sur §2 (théorème de Thalès), §3 (réciproque, pour aller plus loin) et §4 (agrandissement / réduction) de la leçon Ch13.

Contexte du quotidien (voyage, photographie au smartphone). Valeurs numériques simplifiées à but pédagogique : la hauteur réelle de la tour Eiffel est d'environ 330 m (avec antennes).