Utiliser la somme des angles d'un triangle (180°) pour trouver un angle manquant
Calculer la longueur d'un arc et l'aire d'un secteur angulaire
Convertir les unités d'aire (m², dm², cm², mm²)
Calculer l'aire d'une figure composée par décomposition (somme ou différence)
Résoudre des problèmes de surface en contexte professionnel
1. Figures planes usuelles
🪵 Situation professionnelle — Agencement d'une pièce
Un poseur de parquet doit calculer la surface à couvrir et la longueur de plinthe à acheter pour une pièce rectangulaire de 4,5 m × 3,2 m. Il a besoin de connaître l'aire (pour les lames) et le périmètre (pour les plinthes).
Définition — Figure plane :
Une figure plane est tracée entièrement dans un plan (surface à 2 dimensions). Les principales sont : le triangle, les quadrilatères (carré, rectangle, losange, trapèze, parallélogramme) et le cercle.
Reconnaître et nommer un quadrilatère
Sur un plan, une pièce n'est presque jamais nommée : c'est à partir des mesures relevées (côtés égaux, côtés parallèles, angles droits) qu'on identifie la figure — et c'est ce nom qui donne ensuite la bonne formule.
Définitions — Les quadrilatères usuels :
Nom
Ce qui le caractérise
Parallélogramme
côtés opposés parallèles deux à deux (ils sont alors aussi égaux deux à deux)
Rectangle
4 angles droits (ses côtés opposés sont égaux deux à deux)
Losange
4 côtés égaux (sans angle droit obligatoire)
Carré
4 côtés égaux et 4 angles droits
Trapèze
une seule paire de côtés parallèles
Propriété — Le carré est un cas particulier :
Un carré possède 4 angles droits : c'est donc aussi un rectangle. Il possède 4 côtés égaux : c'est donc aussi un losange.
L'inverse est faux : un rectangle de 30 cm × 20 cm n'est pas un carré, et un losange sans angle droit non plus.
Reconnaître un triangle
Définitions — Les triangles particuliers :
Équilatéral : 3 côtés égaux — ses 3 angles mesurent alors 60°.
Isocèle : 2 côtés égaux — les 2 angles à la base (opposés à ces côtés) sont égaux.
Rectangle : un angle de 90°.
Quelconque (ou scalène) : aucun côté de même longueur, aucun angle droit.
Un triangle peut cumuler deux qualificatifs : un triangle rectangle isocèle a un angle de 90° et deux angles de 45°.
Trois triangles particuliers. Les traits identiques marquent les côtés de même longueur ; les arcs orange, les angles égaux.
Application — Trier des carreaux décoratifs
Un poseur trie quatre modèles de carreaux décoratifs. Aucun n'est nommé sur le bon de livraison : il les mesure au réglet. Nommer chaque modèle.
Modèle
Côtés
Mesures relevées
P
4
côtés opposés parallèles deux à deux, 2 côtés de 120 mm et 2 côtés de 75 mm, aucun angle droit
Q
4
4 côtés de 95 mm, aucun angle droit
R
4
une seule paire de côtés parallèles (140 mm et 90 mm), aucun angle droit
S
3
2 côtés de 110 mm et 1 côté de 70 mm
P : côtés opposés parallèles deux à deux, sans angle droit → un parallélogramme. Q : 4 côtés égaux mais pas d'angle droit → un losange. R : une seule paire de côtés parallèles → un trapèze. S : 3 côtés dont exactement 2 égaux → un triangle isocèle (ses deux angles à la base sont égaux).
Rappels sur les angles d'un triangle
Propriété — Somme des angles :
Dans tout triangle ABC, la somme des mesures des trois angles est toujours égale à 180° :
\[\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°\]
Exemple — Trouver un angle manquant
Dans un triangle, deux angles mesurent 48° et 65°. Quel est le troisième angle ?
Le pignon d'un abri est formé de deux chevrons de même longueur reposant sur une panne horizontale : le triangle obtenu est isocèle. L'angle à gauche, entre la panne et le chevron, mesure 68°. Quels sont les deux autres angles ?
1
Le triangle est isocèle : les deux angles à la base sont égaux, donc l'angle de droite mesure aussi \(\mathbf{68°}\).
Attention — Une somme d'angles est impossible :
Si trois mesures relevées ne totalisent pas 180°, elles ne peuvent pas être celles d'un même triangle.
Exemple : 50°, 60° et 80° donnent \(50 + 60 + 80 = 190° \neq 180°\) → ce triangle n'existe pas, il y a une erreur de mesure.
Application — Ferme de charpente
Un charpentier trace une ferme de toiture triangulaire. Deux de ses angles mesurent 55° et 72°. Quelle est la mesure du troisième angle ?
La somme des trois angles vaut 180° :
\(\hat{C} = 180 - (55 + 72) = 180 - 127 = \mathbf{53°}\).
2. Périmètres
Définition : Le périmètre d'une figure plane est la longueur totale de son contour (en unités de longueur : cm, m…).
Rectangle
\(P = 2(L + l)\)
Carré
\(P = 4a\)
Triangle
\(P = a + b + c\)
Cercle
\(P = 2\pi r = \pi d\)
Propriété — Le périmètre d'un polygone est la somme de ses côtés.
Toutes les formules ci-dessus en découlent — il suffit de savoir quels côtés sont égaux :
Figure
Périmètre
Pourquoi
Carré (côté \(a\))
\(P = 4a\)
4 côtés égaux
Losange (côté \(a\))
\(P = 4a\)
4 côtés égaux, comme le carré
Rectangle (\(L\), \(l\))
\(P = 2(L + l)\)
côtés égaux 2 à 2
Parallélogramme (base \(b\), côté oblique \(c\))
\(P = 2(b + c)\)
côtés opposés égaux 2 à 2
Trapèze
somme des 4 côtés
aucun côté n'est égal a priori
Triangle
\(P = a + b + c\)
somme des 3 côtés
⚠ Le périmètre du parallélogramme n'utilise pas la hauteur mais le côté oblique : la hauteur ne fait pas partie du contour.
Exemple — Périmètre d'une pièce rectangulaire
Une pièce mesure 4,5 m × 3,2 m. Longueur de plinthe nécessaire ?
Définition : L'aire (ou surface) d'une figure est la mesure de sa superficie (en unités d'aire : cm², m², …).
Rectangle
\(\mathcal{A} = L \times l\)
Carré
\(\mathcal{A} = a^2\)
Triangle
\(\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}\)
Disque
\(\mathcal{A} = \pi r^2\)
Trapèze, parallélogramme et losange
Trapèze
\(\mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2}\) B et b : les deux côtés parallèles ; h : distance entre eux
Parallélogramme
\(\mathcal{A} = b \times h\) h : hauteur ⊥ à la base — pas le côté \(c\)
Losange
\(\mathcal{A} = \dfrac{d_1 \times d_2}{2}\) d₁ et d₂ : les deux diagonales
Attention — hauteur ≠ côté :
La hauteur d'un triangle, d'un trapèze ou d'un parallélogramme est la perpendiculaire à la base (petit carré rouge ou orange sur la figure), pas le côté oblique. Le côté oblique sert au périmètre ; la hauteur sert à l'aire.
Exemple — Surface de parquet
Une pièce rectangulaire fait 4,5 m × 3,2 m. Combien de m² de parquet commander (avec 10 % de chutes) ?
Un menuisier fabrique un plan de travail d'angle en forme de trapèze : grande base \(B = 2{,}4\,\text{m}\), petite base \(b = 1{,}6\,\text{m}\), profondeur (hauteur) \(h = 0{,}65\,\text{m}\). Quelle est l'aire du plan ?
1
Formule du trapèze : \(\mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2}\)
Un menuisier découpe une tablette d'angle en quart de disque (secteur de 90°) de rayon 45 cm. Calculer l'aire de la tablette et la longueur de chant arrondi à recouvrir (l'arc).
Règle : Pour convertir des aires, le coefficient est au carré.
km²
×10⁶ →
m²
×100 →
dm²
×100 →
cm²
×100 →
mm²
← ÷10⁶
← ÷100
← ÷100
← ÷100
D'un rang au suivant, le facteur est 100 (c'est \(10^2\), le carré du facteur 10 des longueurs). Attention, le tableau saute deux rangs : entre le km² et le m², deux rangs ne sont pas écrits (hm² et dam²), il y a donc trois pas de 100, d'où \(100 \times 100 \times 100 = 10^6\).
Un carreleur doit poser du carrelage sur une surface de 0,75 m². Le fabricant indique les surfaces en cm² sur ses paquets. Convertir cette aire en cm².
Pour les aires, on multiplie par 10 000 pour passer des m² aux cm² :
\(0{,}75\,\text{m}^2 = 0{,}75 \times 10\,000 = \mathbf{7\,500\,\text{cm}^2}\).
6. Figures composées
Méthode — Aire d'une figure composée :
Décomposer la figure en figures simples connues. L'aire totale est la somme (ou la différence) des aires des parties.
Méthode — Périmètre d'une figure composée :
Le périmètre est la longueur du contour réellement parcouru : on fait le tour de la figure et on additionne les longueurs rencontrées.
1
Repérer les côtés qui forment le contour extérieur (les traits de découpe intérieurs n'en font pas partie).
2
Additionner leurs longueurs, en calculant d'abord celles qui ne sont pas données (côté manquant d'une pièce en L, arc de cercle…).
⚠ Le périmètre d'une figure composée n'est pas la somme des périmètres des parties.
Quand deux parties sont collées, le trait commun est à l'intérieur de la figure : il ne fait pas partie du contour, on ne le compte pas.
Exemple d'un comptoir d'accueil à bout arrondi = rectangle 140 cm × 50 cm prolongé, sur l'un de ses petits côtés, par un demi-disque de diamètre 50 cm :
contour = 2 grands côtés (2 × 140) + le petit côté resté libre (50) + le demi-cercle. La longueur d'un demi-cercle est \(\dfrac{2\pi r}{2} = \pi r = \pi \times 25 \approx 78{,}5\,\text{cm}\).
\(P = 280 + 50 + 78{,}5 \approx \mathbf{409\,\text{cm}}\). Le petit côté sur lequel le demi-disque est collé (50 cm) n'est pas compté : il est à l'intérieur du comptoir.
Exemple — Périmètre d'une terrasse en L
Une terrasse en L est formée d'un rectangle de 9 m × 6 m auquel s'ajoute un rectangle de 4 m × 2,5 m posé sur son côté haut, à droite. Le contour a 6 côtés.
1
Côtés connus : 9 m (bas), 6 m (gauche), 4 m (haut du petit rectangle), 2,5 m (droite du petit rectangle).
2
Côtés à calculer : le retour horizontal \(9 - 4 = 5\,\text{m}\) et le grand côté droit \(6 + 2{,}5 = 8{,}5\,\text{m}\).
3
\(P = 9 + 8{,}5 + 4 + 2{,}5 + 5 + 6 = \mathbf{35\,\text{m}}\) (à comparer aux périmètres séparés : \(30 + 13 = 43\,\text{m}\), qui compterait deux fois le trait intérieur de 4 m).
Les deux façons de décomposer : on ajoute les parties qui s'assemblent, on soustrait la partie retirée.
Exemple — Fenêtre arrondie
Une fenêtre est formée d'un rectangle (80 cm × 120 cm) surmonté d'un demi-cercle de diamètre 80 cm.
a) Un habillage de meuble est composé d'un rectangle de 60 cm × 45 cm surmonté d'un triangle de base 60 cm et de hauteur 20 cm. Calculer l'aire totale.
b) Une pièce a la forme d'un grand rectangle de 3 m × 2 m dans lequel on a retiré un angle rectangulaire de 1,2 m × 0,8 m. Calculer la surface au sol de la pièce.
a) Aire rectangle : \(\mathcal{A}_1 = 60 \times 45 = 2\,700\,\text{cm}^2\)
Aire triangle : \(\mathcal{A}_2 = \dfrac{60 \times 20}{2} = 600\,\text{cm}^2\)
Aire totale : \(\mathcal{A} = 2\,700 + 600 = \mathbf{3\,300\,\text{cm}^2} = 0{,}33\,\text{m}^2\). b) Aire du grand rectangle : \(\mathcal{A}_1 = 3 \times 2 = 6\,\text{m}^2\)
Aire retirée : \(\mathcal{A}_2 = 1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96\,\text{m}^2\)
Surface au sol : \(\mathcal{A} = 6 - 0{,}96 = \mathbf{5{,}04\,\text{m}^2}\).
7. Animation — Explorer périmètre et aire d'un rectangle
🎮 Simulation interactive — Change les dimensions et observe !
8. Erreurs fréquentes
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Confondre périmètre et aire
Le périmètre est une longueur (en cm, m…) et l'aire est une surface (en cm², m²…). Certains élèves utilisent la formule de l'aire pour calculer le périmètre et vice versa, ou donnent une réponse sans unité. Conseil : périmètre → contour de la figure (en m, cm) ; aire → surface intérieure (en m², cm²). Toujours préciser l'unité dans la réponse.
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Confondre les formules du périmètre et de l'aire du cercle
Beaucoup d'élèves utilisent \(\pi r^2\) pour le périmètre et \(2\pi r\) pour l'aire, en intervertissant les deux formules. Conseil : périmètre (circonférence) du cercle = \(2\pi r\) ; aire du disque = \(\pi r^2\). Mémo : la formule avec le carré (\(r^2\)) donne une surface (en m²), c'est donc l'aire.
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Utiliser un côté à la place de la hauteur dans l'aire du triangle
L'aire d'un triangle est \(\frac{base \times hauteur}{2}\), où la hauteur est perpendiculaire à la base. Certains élèves utilisent un côté oblique à la place de la hauteur. Conseil : la hauteur est toujours perpendiculaire à la base. Si le triangle n'est pas rectangle, la hauteur n'est pas forcément un côté du triangle — elle peut tomber à l'extérieur.
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Mal convertir les unités d'aire (m² ↔ cm²)
1 m² = 10 000 cm² (et non 100 cm²). Beaucoup d'élèves multiplient par 100 au lieu de 10 000, car ils confondent la conversion des longueurs (×100) avec celle des aires (×10 000). Conseil : pour les aires, chaque dimension est convertie séparément. Un carré de 1 m de côté = 100 cm de côté, donc 100 × 100 = 10 000 cm². Dessiner un schéma aide à visualiser.
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Additionner les périmètres des parties d'une figure composée
Pour une pièce en L formée de deux rectangles, certains élèves additionnent les deux périmètres. Le trait commun aux deux rectangles est pourtant à l'intérieur de la pièce : il n'appartient pas au contour et se retrouve compté deux fois. Conseil : faire le tour de la figure au crayon, en repérant un à un les côtés effectivement parcourus. Certains ne sont pas donnés dans l'énoncé et se calculent par différence (par exemple 9 − 4 = 5 m).
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Utiliser la hauteur d'un parallélogramme pour calculer son périmètre
Pour un parallélogramme, l'aire utilise la hauteur (\(\mathcal{A} = b \times h\)) mais le périmètre utilise le côté oblique (\(P = 2(b + c)\)). Beaucoup d'élèves écrivent \(P = 2(b + h)\), ce qui donne un contour trop court. Conseil : le périmètre se parcourt sur la figure — la hauteur, elle, est un trait tracé à l'intérieur, on ne marche jamais dessus.
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Oublier d'additionner toutes les parties d'une figure composée
Pour une figure composée, certains élèves calculent l'aire d'une seule partie et oublient les autres, ou oublient de soustraire une découpe (trou ou retrait). Conseil : décomposer clairement la figure en formes simples sur un schéma, calculer chaque partie séparément, puis additionner (ou soustraire si une partie est enlevée).
Reconnaître : rectangle = 4 angles droits | losange = 4 côtés égaux | carré = les deux | trapèze = une seule paire de côtés parallèles | parallélogramme = côtés opposés parallèles
Angles d'un triangle : \(\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°\) — dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux ; dans un triangle équilatéral, les trois angles valent 60°.