Théorème de Pythagore et réciproque | 2de Pro MA-MA
Dans un triangle rectangle en A, avec BC l'hypoténuse :
\(\mathbf{BC^2 = AB^2 + AC^2}\)
Réciproque : Si \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), alors le triangle ABC est rectangle en A.
Dans chaque triangle rectangle en A, calculer la longueur de l'hypoténuse BC. Donner d'abord la valeur exacte, puis la valeur arrondie au centième.
a) \(AB = 3\) cm et \(AC = 4\) cm.
b) \(AB = 6\) cm et \(AC = 8\) cm.
c) \(AB = 5\) cm et \(AC = 12\) cm.
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
\(BC = \sqrt{25} = \mathbf{5 \text{ cm}}\) (valeur exacte entière)
Le triplet (3, 4, 5) est le triplet pythagoricien le plus classique.
b) AB = 6 cm, AC = 8 cm\(BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)
\(BC = \sqrt{100} = \mathbf{10 \text{ cm}}\) (valeur exacte entière)
Le triplet (6, 8, 10) est un multiple de (3, 4, 5) par le facteur 2.
c) AB = 5 cm, AC = 12 cm\(BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)
\(BC = \sqrt{169} = \mathbf{13 \text{ cm}}\) (valeur exacte entière)
Le triplet (5, 12, 13) est un triplet pythagoricien remarquable.
Dans chaque triangle rectangle en A, l'hypoténuse est BC. Calculer le côté manquant. Donner la valeur exacte et la valeur arrondie au centième.
a) \(BC = 13\) cm et \(AB = 5\) cm. Calculer \(AC\).
b) \(BC = 17\) cm et \(AB = 8\) cm. Calculer \(AC\).
c) \(BC = 10\) cm et \(AB = 6\) cm. Calculer \(AC\).
\(AC^2 = BC^2 - AB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\)
\(AC = \sqrt{144} = \mathbf{12 \text{ cm}}\)
b) BC = 17 cm, AB = 8 cm\(AC^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225\)
\(AC = \sqrt{225} = \mathbf{15 \text{ cm}}\)
Le triplet (8, 15, 17) est un triplet pythagoricien.
c) BC = 10 cm, AB = 6 cm\(AC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64\)
\(AC = \sqrt{64} = \mathbf{8 \text{ cm}}\)
Le triplet (6, 8, 10) est un multiple de (3, 4, 5).
1. \(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). Donc \(BC = \sqrt{169} = \mathbf{13}\) cm. (Triplet 5-12-13.)
2. \(DF^2 = EF^2 - DE^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225\). Donc \(DF = \sqrt{225} = \mathbf{15}\) cm. (Triplet 8-15-17.)
3. Le plus grand côté est 15 cm. On calcule : \(15^2 = 225\). Et \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\). Comme \(15^2 = 9^2 + 12^2\), le triangle est rectangle (réciproque de Pythagore). C'est le triplet (3, 4, 5) × 3.
4. Le plus grand côté est 12 cm. On calcule : \(12^2 = 144\). Et \(7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113\). Comme \(144 \neq 113\), le triangle n'est pas rectangle.
5. Si le cadre est d'équerre, la diagonale vaut \(\sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10\,000} = 100\) cm. Or la mesure donne 101 cm \(\neq\) 100 cm. Le cadre n'est pas d'équerre (écart de 1 cm).
Exemple guidé : Triangle rectangle en A, \(AB = 6\) cm, \(AC = 8\) cm.
Étape 1 — Écrire la formule : \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
Étape 2 — Calculer : \(BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = \ldots\ldots\)
Étape 3 — Extraire la racine : \(BC = \sqrt{\ldots\ldots} = \ldots\ldots\) cm
À toi : Triangle rectangle en A, \(AB = 9\) cm, \(AC = 12\) cm. Calcule BC.
Étape 1 : \(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = \ldots\ldots + \ldots\ldots = \ldots\ldots\)
Étape 2 : \(BC = \sqrt{\ldots\ldots} = \ldots\ldots\) cm
Exemple : \(BC^2 = 36 + 64 = 100\), donc \(BC = \sqrt{100} = \mathbf{10}\) cm.
À toi : \(BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\), donc \(BC = \sqrt{225} = \mathbf{15}\) cm.
Le triplet (9, 12, 15) est le triplet (3, 4, 5) multiplié par 3.
Dans un triangle rectangle en A, l'hypoténuse est BC. Complète le tableau en utilisant la formule \(AC^2 = BC^2 - AB^2\).
| BC (hypoténuse) | AB | \(BC^2\) | \(AB^2\) | \(AC^2 = BC^2 - AB^2\) | AC |
|---|---|---|---|---|---|
| 13 cm | 5 cm | \(13^2 = \ldots\) | \(5^2 = \ldots\) | \(\ldots - \ldots = \ldots\) | \(\ldots\) cm |
| 10 cm | 6 cm | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) cm |
| 17 cm | 8 cm | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) cm |
| BC | AB | \(BC^2\) | \(AB^2\) | \(AC^2\) | AC |
|---|---|---|---|---|---|
| 13 cm | 5 cm | 169 | 25 | 144 | 12 cm |
| 10 cm | 6 cm | 100 | 36 | 64 | 8 cm |
| 17 cm | 8 cm | 289 | 64 | 225 | 15 cm |
Un menuisier agenceur mesure une pièce de bois triangulaire : côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm.
Étape 1 — Le plus grand côté est : \(\ldots\ldots\) cm
Étape 2 — Grand côté au carré : \(\ldots\ldots^2 = \ldots\ldots\)
Étape 3 — Somme des carrés des deux autres : \(\ldots\ldots^2 + \ldots\ldots^2 = \ldots\ldots + \ldots\ldots = \ldots\ldots\)
Étape 4 — Conclusion : \(\ldots\ldots = \ldots\ldots\) ? (oui/non). Le triangle est-il rectangle ? ……
Étape 1 — Le plus grand côté est 5 cm.
Étape 2 — \(5^2 = 25\).
Étape 3 — \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\).
Étape 4 — \(25 = 25\) ✓ → Le triangle est bien rectangle. C'est le triplet 3-4-5 classique !
Atelier de menuiserie
Un menuisier coupe un panneau rectangulaire de 60 cm × 80 cm. Il veut vérifier l'équerrage en mesurant la diagonale.
1. Quelle formule utilise-t-on pour calculer la diagonale \(d\) d'un rectangle de côtés \(a\) et \(b\) ?
Formule : \(d^2 = \ldots\ldots^2 + \ldots\ldots^2\)
2. Calcule \(d^2\) :
\(d^2 = 60^2 + 80^2 = \ldots\ldots + \ldots\ldots = \ldots\ldots\)
3. Calcule \(d\) :
\(d = \sqrt{\ldots\ldots} = \ldots\ldots\) cm
4. Le panneau mesure 60 cm × 80 cm. La diagonale mesurée par le menuisier est 102 cm. Le panneau est-il d'équerre ?
1. Formule : \(d^2 = a^2 + b^2\)
2. \(d^2 = 60^2 + 80^2 = 3\,600 + 6\,400 = 10\,000\)
3. \(d = \sqrt{10\,000} = \mathbf{100}\) cm
4. Diagonale théorique = 100 cm ≠ 102 cm mesurée. Le panneau n'est pas d'équerre (écart de 2 cm).
Un triangle MNP est rectangle en M. On donne \(MN = 4\) cm et \(MP = 7\) cm.
Étape 1 — Quel est le plus grand côté (l'hypoténuse) ? \(\ldots\ldots\)
Étape 2 — Écrire la formule : \(NP^2 = MN^2 + MP^2\)
Étape 3 — Calculer : \(NP^2 = 4^2 + 7^2 = \ldots\ldots + \ldots\ldots = \ldots\ldots\)
Étape 4 — Extraire la racine : \(NP = \sqrt{\ldots\ldots} \approx \ldots\ldots\) cm (arrondir au dixième)
Étape 1 — L'hypoténuse est NP (côté opposé à l'angle droit en M).
Étape 2 — \(NP^2 = MN^2 + MP^2\)
Étape 3 — \(NP^2 = 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65\)
Étape 4 — \(NP = \sqrt{65} \approx \mathbf{8{,}1 \text{ cm}}\)
Ici le résultat n'est pas un nombre entier : c'est normal, tous les résultats ne sont pas « ronds ».
Dans un triangle rectangle en A, l'hypoténuse est BC. Complète le tableau.
| BC | AB | \(BC^2\) | \(AB^2\) | \(AC^2 = BC^2 - AB^2\) | AC |
|---|---|---|---|---|---|
| 15 cm | 9 cm | \(15^2 = \ldots\) | \(9^2 = \ldots\) | \(\ldots - \ldots = \ldots\) | \(\ldots\) cm |
| 25 cm | 7 cm | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) cm |
| 20 cm | 12 cm | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) cm |
| BC | AB | \(BC^2\) | \(AB^2\) | \(AC^2\) | AC |
|---|---|---|---|---|---|
| 15 cm | 9 cm | 225 | 81 | 144 | 12 cm |
| 25 cm | 7 cm | 625 | 49 | 576 | 24 cm |
| 20 cm | 12 cm | 400 | 144 | 256 | 16 cm |
Le triplet (7, 24, 25) est un triplet pythagoricien remarquable.
Pour chaque triangle, suis les étapes pour déterminer s'il est rectangle.
Triangle 1 : côtés 6 cm, 8 cm, 10 cm.
Étape 1 — Le plus grand côté est : \(\ldots\ldots\) cm
Étape 2 — Grand côté au carré : \(\ldots\ldots^2 = \ldots\ldots\)
Étape 3 — Somme des carrés des deux autres : \(\ldots\ldots^2 + \ldots\ldots^2 = \ldots\ldots + \ldots\ldots = \ldots\ldots\)
Étape 4 — Conclusion : ……
Triangle 2 : côtés 5 cm, 7 cm, 9 cm.
Même méthode : ……
Étape 1 — Le plus grand côté est 10 cm.
Étape 2 — \(10^2 = 100\).
Étape 3 — \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\).
Étape 4 — \(100 = 100\) ✓ → Le triangle est rectangle. C'est le triplet (3, 4, 5) × 2.
Triangle 2 : 5, 7, 9Le plus grand côté est 9 cm.
\(9^2 = 81\). Et \(5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74\).
\(81 \neq 74\) → Le triangle n'est pas rectangle.
Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur. Son pied est à 3 m du mur.
1. Dessine la situation : l'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle. Quel est le côté le plus long (l'hypoténuse) ?
L'hypoténuse est : \(\ldots\ldots\)
2. Complète : on connaît l'hypoténuse (\(\ldots\ldots\) m) et un côté (\(\ldots\ldots\) m). On cherche la hauteur \(h\).
3. Calcule : \(h^2 = \ldots\ldots^2 - \ldots\ldots^2 = \ldots\ldots - \ldots\ldots = \ldots\ldots\)
4. Donc \(h = \sqrt{\ldots\ldots} = \ldots\ldots\) m
1. L'hypoténuse est l'échelle (5 m) : c'est le plus grand côté, opposé à l'angle droit entre le sol et le mur.
2. On connaît l'hypoténuse (5 m) et le pied au sol (3 m). On cherche la hauteur \(h\) atteinte sur le mur.
3. \(h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\)
4. \(h = \sqrt{16} = \mathbf{4 \text{ m}}\)
L'échelle atteint le mur à 4 m de hauteur. On retrouve le triplet (3, 4, 5).
Un terrain de basket mesure 28 m de long et 15 m de large. Un joueur traverse le terrain en diagonale.
1. Le terrain est un rectangle. Le triangle formé par la longueur, la largeur et la diagonale est rectangle. Quel est l'angle droit ?
L'angle droit est à : \(\ldots\ldots\)
2. Calcule \(d^2\) : \(d^2 = 28^2 + 15^2 = \ldots\ldots + \ldots\ldots = \ldots\ldots\)
3. Calcule \(d\) : \(d = \sqrt{\ldots\ldots} \approx \ldots\ldots\) m (arrondir au dixième)
1. L'angle droit est au coin du rectangle (un rectangle a 4 angles droits).
2. \(d^2 = 28^2 + 15^2 = 784 + 225 = 1\,009\)
3. \(d = \sqrt{1\,009} \approx \mathbf{31{,}8 \text{ m}}\)
La diagonale du terrain mesure environ 31,8 m. C'est plus long que la longueur du terrain !
Un artisan menuisier fixe une étagère. Pour vérifier l'équerrage, il mesure le côté horizontal : 40 cm, le côté vertical : 30 cm, et la diagonale.
1. Si l'étagère est bien d'équerre, quel triangle rectangle est formé ? Quel est l'angle droit ?
L'angle droit est entre le côté ……… et le côté ………
2. Calcule la diagonale théorique :
\(d^2 = 40^2 + 30^2 = \ldots + \ldots = \ldots\)
\(d = \sqrt{\ldots} = \ldots\) cm
3. L'artisan mesure une diagonale de 51 cm. L'étagère est-elle d'équerre ? Justifie avec la réciproque du théorème de Pythagore.
1. L'angle droit est entre le côté horizontal (40 cm) et le côté vertical (30 cm).
2. \(d^2 = 40^2 + 30^2 = 1\,600 + 900 = 2\,500\). \(d = \sqrt{2\,500} = \mathbf{50 \text{ cm}}\).
C'est le triplet (30, 40, 50) = 10 × (3, 4, 5).
3. Diagonale mesurée : 51 cm. Vérifions : \(51^2 = 2\,601\) et \(40^2 + 30^2 = 2\,500\). Comme \(2\,601 \neq 2\,500\), le triangle n'est pas rectangle. L'étagère n'est pas d'équerre : il faut la réajuster.
On doit tirer un câble le long d'un mur, depuis le sol jusqu'à un point situé à 2,4 m de hauteur et 3,2 m à l'horizontale du point de départ.
1. Schématise la situation. Quel est l'angle droit ?
2. Calcule la longueur du câble en complétant :
\(c^2 = \ldots^2 + \ldots^2 = \ldots + \ldots = \ldots\)
\(c = \sqrt{\ldots} = \ldots\) m
3. Le câble est vendu par morceaux de 1 m. Combien de morceaux faut-il acheter ?
1. Le mur et le sol forment un angle droit. Le câble est l'hypoténuse.
2. \(c^2 = 2{,}4^2 + 3{,}2^2 = 5{,}76 + 10{,}24 = 16\). \(c = \sqrt{16} = \mathbf{4 \text{ m}}\).
C'est le triplet (2,4 ; 3,2 ; 4) = 0,8 × (3, 4, 5).
3. Il faut acheter 4 morceaux de 1 m (exactement 4 m, pas de chute).
Une rampe d'accès pour personnes à mobilité réduite doit franchir une marche de 0,60 m de haut. La norme impose une pente maximale de 5 %, soit une longueur horizontale de 12 m pour cette hauteur.
1. Quel triangle rectangle est formé par la hauteur, la longueur horizontale et la rampe ?
2. Calcule la longueur de la rampe :
\(r^2 = 12^2 + 0{,}60^2 = \ldots + \ldots = \ldots\)
\(r = \sqrt{\ldots} \approx \ldots\) m (arrondir au centième)
3. La différence entre la longueur de la rampe et la longueur horizontale est-elle grande ? Justifie.
1. Le triangle rectangle a : la hauteur (0,60 m) et la longueur horizontale (12 m) comme côtés de l'angle droit, et la rampe comme hypoténuse.
2. \(r^2 = 12^2 + 0{,}60^2 = 144 + 0{,}36 = 144{,}36\). \(r = \sqrt{144{,}36} \approx \mathbf{12{,}02 \text{ m}}\).
3. La différence : \(12{,}02 - 12 = 0{,}02\) m = 2 cm. La rampe est seulement 2 cm plus longue que la distance horizontale. Quand la pente est faible, la rampe et la distance horizontale sont quasiment égales.
Un panneau rectangulaire mesure \(AB = 45\) cm et \(AC = 60\) cm. Calculer la longueur de la diagonale BC.
Donner la valeur exacte (sous forme de racine carrée simplifiée si possible), puis la valeur arrondie au millimètre.
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 45^2 + 60^2 = 2025 + 3600 = 5625\)
Étape 3 — Extraction de la racine\(BC = \sqrt{5625} = \mathbf{75 \text{ cm}}\) (valeur exacte entière)
Le triplet (45, 60, 75) est un multiple de (3, 4, 5) par 15.
Arrondi au millimètre : \(BC = 75{,}0 \text{ cm} = 750 \text{ mm}\).
Déterminer si chacun des triangles suivants est rectangle, en vérifiant si \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) (avec BC le plus grand côté).
a) \(AB = 5\), \(AC = 12\), \(BC = 13\)
b) \(AB = 7\), \(AC = 8\), \(BC = 9\)
c) \(AB = 9\), \(AC = 12\), \(BC = 15\)
\(BC^2 = 13^2 = 169\)
\(AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)
\(169 = 169\) ✓ → Le triangle est rectangle en A.
b) AB = 7, AC = 8, BC = 9\(BC^2 = 9^2 = 81\)
\(AB^2 + AC^2 = 7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113\)
\(81 \neq 113\) → Le triangle n'est pas rectangle.
c) AB = 9, AC = 12, BC = 15\(BC^2 = 15^2 = 225\)
\(AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\)
\(225 = 225\) ✓ → Le triangle est rectangle en A. (Multiple de (3,4,5) par 3.)
a) Dans un triangle rectangle en A, \(AB = 7\) cm et \(AC = 11\) cm. Calculer BC (valeur exacte puis arrondie au centième de cm).
b) Dans un triangle rectangle en A, \(BC = \sqrt{85}\) cm et \(AB = 2\) cm. Calculer AC (valeur exacte).
\(BC^2 = 7^2 + 11^2 = 49 + 121 = 170\)
Valeur exacte : \(BC = \sqrt{170} \text{ cm}\)
Valeur arrondie : \(BC = \sqrt{170} \approx \mathbf{13{,}04 \text{ cm}}\)
b) BC = √85 cm, AB = 2 cmOn cherche AC : \(AC^2 = BC^2 - AB^2 = (\sqrt{85})^2 - 2^2 = 85 - 4 = 81\)
\(AC = \sqrt{81} = \mathbf{9 \text{ cm}}\) (valeur exacte entière)
Un triangle isocèle IJK a une base \(IK = 8\) cm et deux côtés égaux \(IJ = JK = 10\) cm.
a) La hauteur issue de J est perpendiculaire à IK et coupe IK en son milieu, noté H. Quelle est la longueur IH ?
b) Dans le triangle rectangle JHI, calculer la hauteur JH (valeur exacte puis arrondie au centième).
c) Calculer l'aire du triangle IJK.
H est le milieu de IK, donc \(IH = \dfrac{IK}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 \text{ cm}\).
b) Hauteur JH dans le triangle rectangle JHILe triangle JHI est rectangle en H (JH est la hauteur).
\(JH^2 = JI^2 - IH^2 = 10^2 - 4^2 = 100 - 16 = 84\)
Valeur exacte : \(JH = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \text{ cm}\)
Valeur arrondie : \(JH \approx \mathbf{9{,}17 \text{ cm}}\)
c) Aire du triangle IJK\(\mathcal{A} = \dfrac{IK \times JH}{2} = \dfrac{8 \times \sqrt{84}}{2} = 4\sqrt{84} \approx 4 \times 9{,}17 \approx \mathbf{36{,}66 \text{ cm}^2}\)
Un rectangle ABCD mesure \(AB = 15\) cm et \(BC = 8\) cm.
a) Calculer la longueur de la diagonale AC (valeur exacte et arrondie au millimètre).
b) Calculer la longueur de la diagonale BD. Que remarquez-vous ?
c) Vérifier par le calcul que le triangle ABC est bien rectangle en B.
Le triangle ABC est rectangle en B (angle du rectangle).
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289\)
\(AC = \sqrt{289} = \mathbf{17 \text{ cm}}\)
Le triplet (8, 15, 17) est un triplet pythagoricien.
b) Diagonale BDLe triangle BCD est rectangle en C (angle du rectangle). \(BD^2 = BC^2 + CD^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\).
\(BD = 17 \text{ cm}\)
Remarque : Les diagonales d'un rectangle sont égales : \(AC = BD = 17 \text{ cm}\).
c) Vérification réciproque pour le triangle ABC\(AC^2 = 17^2 = 289\) et \(AB^2 + BC^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289\).
\(289 = 289\) ✓ → Le triangle ABC est bien rectangle en B.
Un artisan menuisier pose une échelle de 6,50 m contre un mur. Le pied de l'échelle est à 2,50 m du mur.
a) Schématiser la situation et identifier le triangle rectangle.
b) Calculer la hauteur atteinte par l'échelle sur le mur (valeur exacte puis arrondie au centimètre).
c) Pour des raisons de sécurité, l'angle entre l'échelle et le sol ne doit pas être trop grand. Si le pied est reculé à 3 m du mur, quelle hauteur atteint-on alors ?
Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle. L'angle droit est entre le sol et le mur. L'échelle (6,50 m) est l'hypoténuse.
b) Hauteur atteinte\(h^2 = 6{,}50^2 - 2{,}50^2 = 42{,}25 - 6{,}25 = 36\)
\(h = \sqrt{36} = \mathbf{6{,}00 \text{ m}}\)
c) Avec le pied à 3 m\(h^2 = 6{,}50^2 - 3^2 = 42{,}25 - 9 = 33{,}25\)
\(h = \sqrt{33{,}25} \approx \mathbf{5{,}77 \text{ m}}\)
En reculant le pied de 50 cm, on perd environ 23 cm de hauteur, mais l'échelle est plus stable.
Un géomètre mesure un terrain triangulaire dont les côtés mesurent \(20\) m, \(21\) m et \(29\) m.
a) Ce terrain a-t-il la forme d'un triangle rectangle ? Justifier par le calcul (réciproque de Pythagore).
b) Si oui, calculer l'aire de ce terrain.
c) Un second terrain a pour côtés \(10\) m, \(15\) m et \(20\) m. Est-il rectangle ? Justifier.
Le plus grand côté est 29 m. On calcule :
\(29^2 = 841\)
\(20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841\)
\(841 = 841\) ✓ → Le terrain est un triangle rectangle (triplet pythagoricien 20-21-29).
b) AireL'angle droit est entre les côtés de 20 m et 21 m.
\(\mathcal{A} = \dfrac{20 \times 21}{2} = \mathbf{210 \text{ m}^2}\)
c) Terrain 10, 15, 20\(20^2 = 400\) et \(10^2 + 15^2 = 100 + 225 = 325\).
\(400 \neq 325\) → Le terrain n'est pas rectangle.
Dans un repère orthonormé, on place les points \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,6)\).
a) Calculer la distance horizontale \(|x_B - x_A|\) et la distance verticale \(|y_B - y_A|\).
b) Le triangle formé par A, B et le point C(4 ; 2) est rectangle en C. En déduire la distance AB à l'aide du théorème de Pythagore.
c) Calculer de même la distance entre \(D(−2\,;\,1)\) et \(E(3\,;\,−3)\), arrondie au dixième.
Horizontale : \(|x_B - x_A| = |4 - 1| = 3\)
Verticale : \(|y_B - y_A| = |6 - 2| = 4\)
b) Distance AB\(AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
\(AB = \sqrt{25} = \mathbf{5}\)
c) Distance DE\(DE^2 = (3 - (-2))^2 + (-3 - 1)^2 = 5^2 + (-4)^2 = 25 + 16 = 41\)
\(DE = \sqrt{41} \approx \mathbf{6{,}4}\)
La charpente d'un toit a la forme d'un triangle isocèle. La base (largeur de la maison) mesure 10 m et la hauteur du faîtage est de 4 m.
a) La hauteur du faîtage coupe la base en son milieu. Quelle est la demi-largeur ?
b) Calculer la longueur d'un pan de toiture (du bord au faîte), arrondie au centimètre.
c) Un couvreur doit couvrir les deux pans. Si la longueur du toit (profondeur) est de 12 m, calculer la surface totale à couvrir.
Demi-largeur = \(\dfrac{10}{2} = 5 \text{ m}\)
b) Longueur d'un panLe triangle rectangle a pour côtés 5 m (demi-base) et 4 m (hauteur). Le pan est l'hypoténuse.
\(L^2 = 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41\)
\(L = \sqrt{41} \approx \mathbf{6{,}40 \text{ m}}\)
c) Surface totaleChaque pan mesure \(\sqrt{41} \times 12\) m².
Surface totale = \(2 \times \sqrt{41} \times 12 = 24\sqrt{41} \approx 24 \times 6{,}40 \approx \mathbf{153{,}7 \text{ m}^2}\)
Un pylône électrique de 12 m de haut est maintenu par un câble de haubanage fixé au sommet et ancré au sol à 5 m de la base du pylône.
a) Schématiser la situation et identifier le triangle rectangle.
b) Calculer la longueur du câble (valeur exacte puis arrondie au dixième).
c) Un second câble est ancré à 9 m de la base. Calculer sa longueur. Quel câble est le plus long ? De combien ?
Le pylône est vertical, le sol est horizontal : l'angle est droit à la base. Le câble est l'hypoténuse du triangle rectangle.
b) Longueur du câble (ancrage à 5 m)\(c^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169\)
\(c = \sqrt{169} = \mathbf{13 \text{ m}}\) (triplet pythagoricien 5-12-13)
c) Second câble (ancrage à 9 m)\(c_2^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225\)
\(c_2 = \sqrt{225} = \mathbf{15 \text{ m}}\) (triplet 9-12-15 = 3×(3,4,5))
Le second câble est plus long de \(15 - 13 = \mathbf{2 \text{ m}}\).
La charpente d'un toit forme un triangle isocèle. La base du toit (distance entre les deux murs) mesure 8 m. Chaque pan de toiture (rampant) mesure 5 m.
a) La hauteur du pignon coupe la base en son milieu. Quel triangle rectangle obtient-on ? Donner ses dimensions connues.
b) Calculer la hauteur du pignon (valeur exacte puis arrondie au dixième).
c) Un menuisier veut poser un panneau vertical de 2,80 m sous le pignon. Est-ce possible ?
La hauteur du pignon est perpendiculaire à la base. On obtient un triangle rectangle avec : hypoténuse = rampant = 5 m, base = demi-largeur = 4 m, et hauteur \(h\) inconnue.
b) Calcul de la hauteur\(h^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9\)
\(h = \sqrt{9} = \mathbf{3 \text{ m}}\) (triplet 3-4-5).
c) Panneau de 2,80 mLa hauteur du pignon est 3 m > 2,80 m. Oui, le panneau peut être posé sous le pignon.
Un écran de télévision mesure 80 cm de large et 45 cm de haut. La taille d'un écran est donnée par sa diagonale.
a) Calculer la diagonale de l'écran (arrondie au dixième de cm).
b) Convertir en pouces sachant que 1 pouce = 2,54 cm. Arrondir à l'entier.
c) Un second écran a une diagonale de 55 pouces et une largeur de 121 cm. Calculer sa hauteur.
\(d^2 = 80^2 + 45^2 = 6\,400 + 2\,025 = 8\,425\)
\(d = \sqrt{8\,425} \approx \mathbf{91{,}8 \text{ cm}}\)
b) Conversion en pouces\(\dfrac{91{,}8}{2{,}54} \approx 36{,}1\). L'écran fait environ 36 pouces.
c) Hauteur du second écranDiagonale : \(55 \times 2{,}54 = 139{,}7\) cm.
\(h^2 = 139{,}7^2 - 121^2 = 19\,516{,}09 - 14\,641 = 4\,875{,}09\)
\(h = \sqrt{4\,875{,}09} \approx \mathbf{69{,}8 \text{ cm}}\)
Pour chaque triangle, vérifier s'il est rectangle en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore.
a) Triangle DEF avec \(DE = 6\) cm, \(EF = 10\) cm, \(DF = 8\) cm.
b) Triangle GHI avec \(GH = 7\) cm, \(HI = 9\) cm, \(GI = 12\) cm.
c) Triangle JKL avec \(JK = 15\) cm, \(KL = 20\) cm, \(JL = 25\) cm.
Le plus grand côté est EF = 10. \(EF^2 = 100\). \(DE^2 + DF^2 = 36 + 64 = 100\).
\(100 = 100\) → le triangle DEF est rectangle en D (triplet 6-8-10 = 2×(3,4,5)).
b) GHI : 7, 9, 12Le plus grand côté est GI = 12. \(GI^2 = 144\). \(GH^2 + HI^2 = 49 + 81 = 130\).
\(144 \neq 130\) → le triangle GHI n'est pas rectangle.
c) JKL : 15, 20, 25Le plus grand côté est JL = 25. \(JL^2 = 625\). \(JK^2 + KL^2 = 225 + 400 = 625\).
\(625 = 625\) → le triangle JKL est rectangle en K (triplet 15-20-25 = 5×(3,4,5)).
Un géomètre mesure un terrain en pente. La distance horizontale entre deux piquets est de 24 m et la différence d'altitude est de 7 m.
a) Schématiser la situation et identifier le triangle rectangle.
b) Calculer la distance réelle (en pente) entre les deux piquets.
c) Un artisan menuisier doit installer une clôture le long de cette pente. Il dispose de panneaux de 2,50 m de long. Combien de panneaux lui faut-il ?
Le triangle rectangle est formé par : la distance horizontale (24 m), la dénivellation (7 m) et la pente (hypoténuse). L'angle droit est entre l'horizontale et la verticale.
b) Distance en pente\(d^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625\)
\(d = \sqrt{625} = \mathbf{25 \text{ m}}\) (triplet 7-24-25)
c) Nombre de panneaux\(\dfrac{25}{2{,}50} = 10\). Il faut exactement 10 panneaux.
Un encadrement de fenêtre rectangulaire mesure \(120\) cm de large et \(90\) cm de haut. Pour vérifier qu'il est d'équerre, on mesure sa diagonale.
a) Calculer la diagonale théorique (si le cadre est parfaitement d'équerre), arrondie au millimètre.
b) Sur le chantier, la diagonale mesurée est \(151\) cm. L'encadrement est-il d'équerre ? Justifier par le calcul.
c) De combien la diagonale mesurée s'écarte-t-elle de la valeur théorique ? Quel réglage faut-il effectuer ?
\(d^2 = 120^2 + 90^2 = 14\,400 + 8\,100 = 22\,500\)
\(d = \sqrt{22\,500} = \mathbf{150 \text{ cm}}\)
Le triplet (90, 120, 150) est un multiple de (3, 4, 5) par 30.
Diagonale théorique : \(d = 150{,}0 \text{ cm} = 1\,500 \text{ mm}\).
b) L'encadrement est-il d'équerre ?Diagonale mesurée : \(d_{\text{mes}} = 151 \text{ cm}\)
Diagonale théorique : \(d_{\text{théo}} = 150 \text{ cm}\)
\(151 \neq 150\) → L'encadrement n'est pas d'équerre.
On peut également vérifier : si \(d = 151\), alors \(d^2 = 22\,801 \neq 22\,500\).
c) Écart et correctionÉcart : \(151 - 150 = \mathbf{1 \text{ cm}}\)
La diagonale est trop longue de 1 cm : il faut rapprocher deux angles opposés de l'encadrement pour réduire la diagonale longue, jusqu'à ce que les deux diagonales mesurent chacune 150 cm.
En pratique : pousser le coin du grand côté de 1 cm vers l'intérieur.
Sur un chantier, on veut tracer un angle droit en utilisant la règle des 3-4-5 avec une corde.
a) Les ouvriers disposent d'une corde de \(12\) m. La règle des 3-4-5 utilise un périmètre total de \(3 + 4 + 5 = 12\) unités. Quelle est ici la valeur de l'unité ? Donner les trois longueurs à mesurer sur la corde.
b) Vérifier par le calcul que ces trois longueurs forment bien un triangle rectangle.
c) Un escalier extérieur a une base rectangulaire de \(3{,}60\) m × \(4{,}80\) m. Calculer la longueur de sa diagonale (arrondie au centimètre).
Périmètre total de la corde : 12 m. Nombre d'unités total : \(3 + 4 + 5 = 12\).
Valeur d'une unité : \(\dfrac{12}{12} = 1 \text{ m}\)
Les trois longueurs sont : 3 m, 4 m et 5 m.
On marque ces points sur la corde, on forme le triangle et l'angle entre les côtés de 3 m et 4 m est droit.
b) Vérification\(5^2 = 25\) et \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
\(25 = 25\) ✓ → Le triangle de côtés 3, 4 et 5 m est bien rectangle.
c) Diagonale de l'escalier 3,60 m × 4,80 m\(d^2 = (3{,}60)^2 + (4{,}80)^2 = 12{,}96 + 23{,}04 = 36{,}00\)
\(d = \sqrt{36} = \mathbf{6{,}00 \text{ m}}\)
Le triplet (3,60 ; 4,80 ; 6,00) est le triplet (3, 4, 5) multiplié par 1,2 !
La diagonale de l'escalier mesure exactement 6,00 m = 600 cm.
Un agenceur doit poser une cloison perpendiculaire à un mur existant de longueur 7,50 m. Il veut vérifier l'angle droit en utilisant la méthode des 3-4-5 avec les dimensions de la pièce.
a) Il choisit une unité de 1,50 m. Calculer les trois longueurs correspondantes pour la méthode 3-4-5 et vérifier qu'elles forment un triangle rectangle.
b) Une deuxième cloison doit relier deux points A et B de la pièce. A est situé à 2,40 m d'un coin et B à 3,20 m sur le mur perpendiculaire. Calculer la longueur AB.
c) Un technicien mesure AB = 4,05 m. Y a-t-il une erreur ? Expliquer et calculer l'écart.
Longueurs : \(3 \times 1{,}50 = 4{,}50\) m ; \(4 \times 1{,}50 = 6{,}00\) m ; \(5 \times 1{,}50 = 7{,}50\) m.
Vérification : \(7{,}50^2 = 56{,}25\) et \(4{,}50^2 + 6{,}00^2 = 20{,}25 + 36{,}00 = 56{,}25\) ✓
b) Longueur ABLe triangle formé par le coin, A et B est rectangle (angle du coin = 90°).
\(AB^2 = 2{,}40^2 + 3{,}20^2 = 5{,}76 + 10{,}24 = 16{,}00\)
\(AB = \sqrt{16} = \mathbf{4{,}00 \text{ m}}\)
c) Analyse de l'écartAB théorique = 4,00 m ≠ 4,05 m mesuré. Il y a bien une erreur.
Écart : \(4{,}05 - 4{,}00 = \mathbf{0{,}05 \text{ m} = 5 \text{ cm}}\).
Cela peut indiquer que les murs ne sont pas parfaitement perpendiculaires (angle droit non respecté) ou une erreur de mesure.
Un fabricant de mobilier construit une étagère en forme de parallélépipède rectangle de dimensions : longueur \(L = 120\) cm, largeur \(\ell = 40\) cm, hauteur \(h = 180\) cm.
Il veut placer une tringle rigide en diagonale à l'intérieur de l'étagère (de coin en coin opposé) pour la rigidifier.
a) Calculer d'abord la diagonale \(d_1\) de la base rectangulaire (rectangle \(L \times \ell\)).
b) En déduire la grande diagonale \(D\) du parallélépipède, en utilisant le triangle rectangle formé par \(d_1\), \(h\) et \(D\).
c) On rappelle la formule directe : \(D = \sqrt{L^2 + \ell^2 + h^2}\). Vérifier le résultat.
d) La tringle doit-elle être coupée dans un tasseau de 2,30 m ? Justifier.
\(d_1^2 = L^2 + \ell^2 = 120^2 + 40^2 = 14\,400 + 1\,600 = 16\,000\)
\(d_1 = \sqrt{16\,000} = 40\sqrt{10} \approx 126{,}5 \text{ cm}\)
b) Grande diagonaleLe triangle rectangle a pour côtés \(d_1\) (horizontal) et \(h = 180\) cm (vertical), avec \(D\) comme hypoténuse.
\(D^2 = d_1^2 + h^2 = 16\,000 + 180^2 = 16\,000 + 32\,400 = 48\,400\)
\(D = \sqrt{48\,400} = \mathbf{220 \text{ cm}}\)
c) Vérification avec la formule directe\(D = \sqrt{120^2 + 40^2 + 180^2} = \sqrt{14\,400 + 1\,600 + 32\,400} = \sqrt{48\,400} = 220 \text{ cm}\) ✓
d) Tasseau de 2,30 m = 230 cmLa tringle mesure 220 cm < 230 cm. Oui, un tasseau de 2,30 m suffit (il restera 10 cm de marge).
Un architecte d'intérieur utilise un plan coté sur lequel 1 unité = 50 cm. Les points suivants repèrent des éléments de la pièce :
a) Calculer la distance AB (en unités du plan, puis en mètres).
b) Calculer la distance AC (en unités du plan, puis en mètres, arrondie au centimètre).
c) Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier par le calcul avec la réciproque de Pythagore.
\(AB = \sqrt{(5-1)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = \mathbf{5 \text{ unités}}\)
En mètres : \(5 \times 0{,}50 = \mathbf{2{,}50 \text{ m}}\)
b) Distance AC\(AC = \sqrt{(-1-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx \mathbf{4{,}47 \text{ unités}}\)
En mètres : \(2\sqrt{5} \times 0{,}50 = \sqrt{5} \approx \mathbf{2{,}24 \text{ m}}\)
c) Le triangle ABC est-il rectangle ?Calculons BC : \(BC = \sqrt{(-1-5)^2 + (7-6)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}\)
Le plus grand côté est BC (\(\sqrt{37} \approx 6{,}08\)). Vérifions :
\(BC^2 = 37\) et \(AB^2 + AC^2 = 25 + 20 = 45\).
\(37 \neq 45\) → Le triangle ABC n'est pas rectangle.
Un technicien de maintenance énergétique installe des panneaux solaires sur un toit. La toiture a une largeur au sol de 6 m (demi-portée) et une hauteur sous faîtage de 3,50 m.
a) Calculer la longueur du rampant (pan de toit), arrondie au centimètre.
b) Les panneaux solaires mesurent 1,70 m × 1,00 m. Combien de rangées de panneaux peut-on placer sur le rampant (en considérant 30 cm de marge en haut et en bas) ?
c) Si le toit fait 10 m de long, combien de panneaux peut-on installer au total sur un pan ? Calculer la surface totale de panneaux.
\(R^2 = 6^2 + 3{,}50^2 = 36 + 12{,}25 = 48{,}25\)
\(R = \sqrt{48{,}25} \approx \mathbf{6{,}95 \text{ m}}\)
b) Nombre de rangéesLongueur utile : \(6{,}95 - 0{,}30 - 0{,}30 = 6{,}35 \text{ m}\)
Chaque panneau mesure 1,70 m dans le sens du rampant.
Nombre de rangées : \(\left\lfloor \dfrac{6{,}35}{1{,}70} \right\rfloor = \left\lfloor 3{,}73 \right\rfloor = \mathbf{3 \text{ rangées}}\)
c) Nombre total de panneauxDans le sens de la longueur (10 m), chaque panneau mesure 1,00 m : on place \(\left\lfloor \dfrac{10}{1{,}00} \right\rfloor = 10\) panneaux par rangée.
Total : \(3 \times 10 = \mathbf{30 \text{ panneaux}}\)
Surface totale : \(30 \times 1{,}70 \times 1{,}00 = \mathbf{51 \text{ m}^2}\)
Un poteau cylindrique de 8 m de haut se trouve à 6 m d'un mur de 4 m de haut. On veut tendre une corde du sommet du poteau au sommet du mur.
a) Calculer la longueur de la corde si elle est tendue en ligne droite (en supposant qu'elle passe au-dessus du vide entre le poteau et le mur).
b) En réalité, la corde doit toucher le sol entre les deux (elle descend du poteau au sol, puis remonte au mur). Soit \(x\) la distance au pied du poteau où la corde touche le sol. Exprimer la longueur totale de la corde \(L(x)\) en fonction de \(x\).
c) Calculer \(L(x)\) pour \(x = 2\), \(x = 3\), \(x = 4\) et \(x = 4{,}8\). Quelle valeur semble minimiser la longueur ?
La différence de hauteur est \(8 - 4 = 4\) m, la distance horizontale est 6 m.
\(c^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52\)
\(c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx \mathbf{7{,}21 \text{ m}}\)
b) Expression de L(x)Du poteau au sol : triangle rectangle de hauteur 8 m et base \(x\) → \(\ell_1 = \sqrt{x^2 + 64}\)
Du sol au mur : triangle rectangle de hauteur 4 m et base \((6 - x)\) → \(\ell_2 = \sqrt{(6-x)^2 + 16}\)
\(L(x) = \sqrt{x^2 + 64} + \sqrt{(6-x)^2 + 16}\)
c) Calculs numériques\(x = 2\) : \(L = \sqrt{68} + \sqrt{32} \approx 8{,}25 + 5{,}66 = \mathbf{13{,}90 \text{ m}}\)
\(x = 3\) : \(L = \sqrt{73} + \sqrt{25} \approx 8{,}54 + 5{,}00 = \mathbf{13{,}54 \text{ m}}\)
\(x = 4\) : \(L = \sqrt{80} + \sqrt{20} \approx 8{,}94 + 4{,}47 = \mathbf{13{,}42 \text{ m}}\)
\(x = 4{,}8\) : \(L = \sqrt{87{,}04} + \sqrt{17{,}44} \approx 9{,}33 + 4{,}18 = \mathbf{13{,}51 \text{ m}}\)
La longueur minimale semble atteinte autour de \(x = 4\) m (valeur exacte : \(x = 4\) donne le minimum car \(\frac{x}{8} = \frac{6-x}{4}\), soit \(x = 4\)).
Un menuisier agenceur doit transporter un panneau rigide à travers une porte de 2,10 m de haut et 0,90 m de large.
a) Calculer la diagonale de la porte (du coin inférieur gauche au coin supérieur droit), arrondie au centimètre.
b) Le panneau mesure 2,20 m de long. Peut-il passer à plat par la porte en le penchant en diagonale ? Justifier.
c) En réalité, on peut aussi incliner le panneau dans l'épaisseur du mur (40 cm). La « diagonale maximale » utilisable est alors celle du parallélépipède formé par la porte et l'épaisseur : \(D = \sqrt{0{,}90^2 + 2{,}10^2 + 0{,}40^2}\). Calculer \(D\). Le panneau passe-t-il ?
d) Quelle est la longueur maximale d'un objet rigide pouvant passer par cette ouverture ?
\(d^2 = 0{,}90^2 + 2{,}10^2 = 0{,}81 + 4{,}41 = 5{,}22\)
\(d = \sqrt{5{,}22} \approx \mathbf{2{,}28 \text{ m}}\)
b) Panneau de 2,20 mDiagonale de la porte ≈ 2,28 m > 2,20 m. Oui, le panneau passe en diagonale dans le plan de la porte.
c) Diagonale 3D\(D = \sqrt{0{,}90^2 + 2{,}10^2 + 0{,}40^2} = \sqrt{0{,}81 + 4{,}41 + 0{,}16} = \sqrt{5{,}38}\)
\(D \approx \mathbf{2{,}32 \text{ m}}\)
Le panneau de 2,20 m passe largement avec cette inclinaison 3D.
d) Longueur maximaleLa longueur maximale d'un objet rigide pouvant passer est la diagonale 3D : \(D \approx \mathbf{2{,}32 \text{ m}}\).
Un menuisier agenceur doit fabriquer un escalier droit reliant deux niveaux. La hauteur entre les deux planchers est de 2,80 m et la trémie (ouverture dans le plancher) impose un recul horizontal maximal de 4,20 m.
a) Calculer la longueur du limon (pièce de bois inclinée qui supporte les marches), c'est-à-dire la distance entre le pied de l'escalier et le palier d'arrivée.
b) L'escalier comporte 14 marches. Calculer la hauteur de chaque marche et le giron (profondeur horizontale de chaque marche).
c) La « formule de Blondel » pour le confort d'un escalier impose : \(2h + g \approx 63\) cm, où \(h\) est la hauteur de marche et \(g\) le giron. Vérifier si cet escalier respecte la formule de Blondel.
d) Si le menuisier réduit le recul à 3,50 m (pour gagner de la place), quelle sera la nouvelle longueur du limon ? Recalculer \(h\), \(g\) et vérifier Blondel.
\(L^2 = 2{,}80^2 + 4{,}20^2 = 7{,}84 + 17{,}64 = 25{,}48\)
\(L = \sqrt{25{,}48} \approx \mathbf{5{,}05 \text{ m}}\)
b) Dimensions des marchesHauteur : \(h = \dfrac{280}{14} = \mathbf{20 \text{ cm}}\). Giron : \(g = \dfrac{420}{14} = \mathbf{30 \text{ cm}}\).
c) Vérification Blondel\(2h + g = 2 \times 20 + 30 = 70\) cm. La norme recommande 63 cm (entre 60 et 64). Ici \(70 > 64\) : l'escalier est un peu trop raide, le confort n'est pas optimal.
d) Avec recul = 3,50 m\(L^2 = 2{,}80^2 + 3{,}50^2 = 7{,}84 + 12{,}25 = 20{,}09\). \(L = \sqrt{20{,}09} \approx 4{,}48\) m.
\(h = 20\) cm (inchangée). \(g = \dfrac{350}{14} = 25\) cm. Blondel : \(2 \times 20 + 25 = 65\) cm. Encore légèrement au-dessus de 64 cm. L'escalier reste raide ; il faudrait 15 ou 16 marches pour un meilleur confort.
Un installateur de panneaux solaires pose un panneau de 1,70 m de long sur un toit plat. Pour une inclinaison optimale, le bord arrière du panneau est surélevé par un support de 0,65 m.
a) Calculer la longueur de la base horizontale occupée par le panneau (distance entre le bord avant au sol et le pied du support).
b) L'installateur doit fixer un rail de 3 panneaux côte à côte. Quelle longueur horizontale totale le rail occupe-t-il ?
c) Le toit mesure 5 m de profondeur. Peut-on poser 3 rangées de panneaux (avec un espace de 30 cm entre chaque rangée pour éviter les ombres) ?
d) La puissance d'un panneau est de 400 W. Si on pose le maximum de panneaux possible, quelle sera la puissance totale de l'installation ?
Le panneau est l'hypoténuse, le support est le côté vertical.
\(b^2 = 1{,}70^2 - 0{,}65^2 = 2{,}89 - 0{,}4225 = 2{,}4675\)
\(b = \sqrt{2{,}4675} \approx \mathbf{1{,}57 \text{ m}}\)
b) Rail de 3 panneauxLes 3 panneaux sont côte à côte (pas en profondeur), donc la longueur horizontale est la même qu'un seul panneau en profondeur : 1,57 m. La largeur du rail dépend de la largeur des panneaux, pas de leur inclinaison.
c) 3 rangées sur 5 mChaque rangée occupe 1,57 m en profondeur. 3 rangées + 2 espaces de 30 cm : \(3 \times 1{,}57 + 2 \times 0{,}30 = 4{,}71 + 0{,}60 = 5{,}31\) m.
\(5{,}31 > 5\) → Non, 3 rangées ne tiennent pas. On peut poser 2 rangées : \(2 \times 1{,}57 + 0{,}30 = 3{,}44\) m ✔.
d) Puissance maximale2 rangées × 3 panneaux = 6 panneaux. Puissance : \(6 \times 400 = \mathbf{2\,400 \text{ W}}\) soit 2,4 kW.
Un fabricant de mobilier doit expédier une tringle métallique rigide dans un carton parallélépipédique de dimensions intérieures : 120 cm × 40 cm × 30 cm.
a) Calculer la diagonale de la face rectangulaire de base (120 cm × 40 cm).
b) En déduire la grande diagonale du parallélépipède (de coin à coin opposé) en utilisant le résultat de la question a). Démontrer que \(D = \sqrt{120^2 + 40^2 + 30^2}\).
c) La tringle mesure 130 cm. Peut-elle tenir dans le carton ? Justifier.
d) Quelle est la longueur maximale d'un objet rigide que l'on peut placer dans ce carton ?
e) Le fabricant dispose aussi de cartons de 100 cm × 50 cm × 50 cm. Lequel des deux cartons permet de transporter l'objet le plus long ?
\(d^2 = 120^2 + 40^2 = 14\,400 + 1\,600 = 16\,000\)
\(d = \sqrt{16\,000} = 40\sqrt{10} \approx 126{,}5\) cm.
b) Grande diagonaleLa diagonale de la base (\(d\)) et la hauteur (30 cm) forment un nouveau triangle rectangle dont l'hypoténuse est la grande diagonale \(D\).
\(D^2 = d^2 + 30^2 = 16\,000 + 900 = 16\,900\)
\(D = \sqrt{16\,900} = \mathbf{130 \text{ cm}}\)
On vérifie : \(D = \sqrt{120^2 + 40^2 + 30^2} = \sqrt{14\,400 + 1\,600 + 900} = \sqrt{16\,900} = 130\) cm ✔
c) Tringle de 130 cmLa grande diagonale vaut exactement 130 cm = longueur de la tringle. Oui, elle tient tout juste (en diagonale dans le carton).
d) Longueur maximaleLa longueur maximale est la grande diagonale : 130 cm.
e) Second carton : 100 × 50 × 50\(D_2 = \sqrt{100^2 + 50^2 + 50^2} = \sqrt{10\,000 + 2\,500 + 2\,500} = \sqrt{15\,000} \approx 122{,}5\) cm.
Le premier carton (130 cm) permet de transporter un objet plus long que le second (122,5 cm), même si le second a un volume plus grand (\(250\,000\) cm³ contre \(144\,000\) cm³).
Chapitre 12 — Théorème de Pythagore et réciproque | 2de Pro MA-MA