Fiche résumé — Théorème de Pythagore et réciproque

Chapitre 12 | Seconde Bac Pro | Mathématiques

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle en A :

\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)

L'hypoténuse \(BC\) est le côté opposé à l'angle droit. C'est le plus grand côté.

Formules dérivées

Calculer l'hypoténuse :

\(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\)

Calculer un côté de l'angle droit :

\(AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}\)

Réciproque

Si \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), alors le triangle est rectangle en A.

Identifier le plus grand côté (candidat hypoténuse)
Calculer son carré
Calculer la somme des carrés des deux autres
Comparer : si égalité, le triangle est rectangle

Triplets pythagoriciens

3 – 4 – 5 (et ses multiples : 6-8-10, 9-12-15)
5 – 12 – 13
8 – 15 – 17
7 – 24 – 25

Permettent de vérifier rapidement un résultat exact.

Piège 1 : Mettre l'hypoténuse du mauvais côté de l'égalité. L'hypoténuse est seule d'un côté : \(c^2 = a^2 + b^2\). Ne jamais écrire \(a^2 = b^2 + c^2\) si \(c\) est l'hypoténuse.

Piège 2 : Oublier la racine carrée. Après avoir trouvé \(BC^2 = 100\), il faut encore prendre \(BC = \sqrt{100} = 10\). Le résultat de Pythagore donne le carré de la longueur, pas la longueur.

Piège 3 : Appliquer Pythagore à un triangle qui n'est pas rectangle. Le théorème ne s'applique que dans un triangle rectangle. Vérifier d'abord qu'il y a un angle de 90°.

Astuce : Sur chantier, la règle des 3-4-5 permet de tracer un angle droit sans rapporteur : mesurer 3 m, 4 m et vérifier que la diagonale fait 5 m.

Astuce : Si le résultat n'est pas un entier, donner la valeur exacte \(\sqrt{...}\) puis l'arrondi. Exemple : \(\sqrt{74} \approx 8{,}60\) cm.

Résumé express — Méthode type

Repérer l'angle droit et identifier l'hypoténuse (côté opposé, le plus grand).
Écrire l'égalité de Pythagore : hypoténuse² = côté₁² + côté₂².
Remplacer par les valeurs connues et calculer les carrés.
Isoler l'inconnue (somme ou différence des carrés).
Prendre la racine carrée pour obtenir la longueur.
Vérifier la cohérence : l'hypoténuse doit rester le plus grand côté.