Fiche résumé — Théorème de Pythagore et réciproque
Chapitre 12 | Seconde Bac Pro | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle en A :
\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
L'hypoténuse \(BC\) est le côté opposé à l'angle droit. C'est le plus grand côté.
Formules dérivées
Calculer l'hypoténuse :
\(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\)
Calculer un côté de l'angle droit :
\(AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}\)
Réciproque
Si \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), alors le triangle est rectangle en A.
- Calculer à part le carré du plus grand côté
- Calculer à part la somme des carrés des deux autres
- Comparer, puis conclure par une phrase
Théorème : je sais que l'angle est droit, je cherche une longueur. Réciproque : je connais les trois longueurs, je prouve l'angle droit.
Par l'absurde : le contrôle d'équerrage
Supposons que l'ouvrage soit d'équerre. Alors, d'après le théorème de Pythagore, sa diagonale vaudrait … Or elle mesure … : c'est impossible. Donc il n'est pas d'équerre.
Distance en pente
Sur un plan, les distances sont horizontales. La mesure prise le long de la pente est l'hypoténuse :
\(d^2 = \text{mesure}^2 - \text{dénivelé}^2\)
Contre-exemple et disjonction des cas
Un seul contre-exemple suffit à réfuter un « tout… est… ». Un exemple qui marche ne démontre rien.
Si l'énoncé ne dit pas quel côté est l'hypoténuse, on examine tous les cas et on écarte les impossibles.
Diagonale d'un pavé
Pythagore appliqué deux fois, dans le fond puis dans le plan vertical :
\(D = \sqrt{L^2 + \ell^2 + h^2}\)
Tableur
En D2, recopiée vers le bas :
=SI(A2^2+B2^2=C2^2;"oui";"non")
^2 est le carré, *2 le double.
Triplets pythagoriciens
- 3 – 4 – 5 (et ses multiples : 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50)
- 5 – 12 – 13
- 8 – 15 – 17
Et tous leurs multiples. Trois entiers ne suffisent pas : 5-6-7 n'est pas un triplet, il faut vérifier l'égalité.
Piège 1 : Mettre l'hypoténuse du mauvais côté de l'égalité. L'hypoténuse est seule d'un côté : \(c^2 = a^2 + b^2\). Ne jamais écrire \(a^2 = b^2 + c^2\) si \(c\) est l'hypoténuse.
Piège 2 : Oublier la racine carrée. Après avoir trouvé \(BC^2 = 100\), il faut encore prendre \(BC = \sqrt{100} = 10\). Le résultat de Pythagore donne le carré de la longueur, pas la longueur.
Piège 3 : Appliquer Pythagore à un triangle qui n'est pas rectangle. Le théorème ne s'applique que dans un triangle rectangle. Vérifier d'abord qu'il y a un angle de 90°.
Astuce : Sur chantier, la règle des 3-4-5 permet de tracer un angle droit sans rapporteur : mesurer 3 m, 4 m et vérifier que la diagonale fait 5 m.
Astuce : Si le résultat n'est pas un entier, donner la valeur exacte \(\sqrt{...}\) puis l'arrondi. Exemple : \(\sqrt{74} \approx 8{,}60\) cm.
Résumé express — Méthode type
- Repérer l'angle droit et identifier l'hypoténuse (côté opposé, le plus grand).
- Écrire l'égalité de Pythagore : hypoténuse² = côté₁² + côté₂².
- Remplacer par les valeurs connues et calculer les carrés.
- Isoler l'inconnue (somme ou différence des carrés).
- Prendre la racine carrée pour obtenir la longueur.
- Vérifier la cohérence : l'hypoténuse doit rester le plus grand côté.
Pour aller plus loin (hors programme de Seconde, non évalué) : la distance entre deux points d'un repère, \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\), et la contraposée (« si non B alors non A »).