Chapitre 11 — Figures planes : périmètres et aires

\(\mathcal{A}_{\text{totale}} = (5 \times 4) + (3 \times 2) = 20 + 6 = \mathbf{26 \text{ m}^2}\)

Configuration : rectangle 1 (5 × 4) en bas, rectangle 2 (3 × 2) collé en haut à gauche du rectangle 1. Les 6 côtés du L :

\(P = 5 + 4 + 2 + 2 + 3 + 6 = \mathbf{22 \text{ m}}\)

Longueur à commander avec 10 % de chutes : \(22 \times 1{,}10 = 24{,}2 \text{ m}\)

Nombre de barres : \(\dfrac{24{,}2}{2{,}40} \approx 10{,}08\)

On arrondit à l'entier supérieur : 11 barres de plinthe de 2,40 m.

\(\mathcal{A}_{\text{panneau}} = 1{,}20 \times 0{,}80 = \mathbf{0{,}96 \text{ m}^2}\)

Conversion : \(r = 8 \text{ cm} = 0{,}08 \text{ m}\)

\(\mathcal{A}_{\text{disque}} = \pi \times (0{,}08)^2 = \pi \times 0{,}0064 \approx 0{,}020\,1 \text{ m}^2\)

\(\mathcal{A}_{\text{reste}} = 0{,}96 - 3 \times 0{,}020\,1 \approx 0{,}96 - 0{,}060\,3 \approx \mathbf{0{,}90 \text{ m}^2}\)

Il reste environ \(0{,}90 \text{ m}^2\) de panneau après les trois découpes.

\(R = D \div 2 = 42 \div 2 = 21 \text{ cm}\)

\(\mathcal{A}_{\text{grand}} = \pi \times 21^2 = \pi \times 441 \approx 1\,385{,}44 \text{ cm}^2\)

\(\mathcal{A}_{\text{petit}} = \pi \times 6^2 = \pi \times 36 \approx 113{,}10 \text{ cm}^2\)

\(\mathcal{A}_{\text{peindre}} = 1\,385{,}44 - 113{,}10 \approx \mathbf{1\,272{,}34 \text{ cm}^2}\)

Un carter demande \(1\,272{,}34 \text{ cm}^2\) de peinture, un pot couvre \(500 \text{ cm}^2\).

\(\dfrac{1\,272{,}34}{500} \approx 2{,}54\) → un pot ne suffit pas : il couvre \(\dfrac{500}{1\,272{,}34} \approx 39\,\%\) d'un carter, soit un peu moins de deux cinquièmes.

On arrondit à l'entier supérieur : il faut 3 pots pour peindre un carter entier.

Pour 12 carters : \(12 \times 1\,272{,}34 \approx 15\,268 \text{ cm}^2\). Capacité de 5 pots : \(5 \times 500 = 2\,500 \text{ cm}^2\).

\(2\,500 < 15\,268\) donc non, 5 pots sont largement insuffisants. Il en faut au moins \(\lceil 15\,268 \div 500 \rceil = 31\) pots.

Conversion : \(2{,}50 \text{ m} = 250 \text{ cm}\) et \(0{,}60 \text{ m} = 60 \text{ cm}\)

\(\mathcal{A}_{\text{planche}} = 250 \times 60 = \mathbf{15\,000 \text{ cm}^2}\)

\(\mathcal{A}_{\text{trapèze}} = \dfrac{(60 + 40) \times 30}{2} = \dfrac{100 \times 30}{2} = \dfrac{3\,000}{2} = \mathbf{1\,500 \text{ cm}^2}\)

\(n = \dfrac{15\,000}{1\,500} = \mathbf{10}\) étagères (en théorie).

Surface utile : \(15\,000 \times 0{,}85 = 12\,750 \text{ cm}^2\)

\(n = \dfrac{12\,750}{1\,500} = 8{,}5\). On peut découper 8 étagères (on arrondit à l'entier inférieur).

\(\mathcal{A}_{\text{pièce}} = 5{,}40 \times 3{,}60 = \mathbf{19{,}44 \text{ m}^2}\)

Rayon : \(r = 3{,}60 \div 2 = 1{,}80 \text{ m}\)

\(\mathcal{A}_{\text{balcon}} = \dfrac{\pi \times 1{,}80^2}{2} = \dfrac{\pi \times 3{,}24}{2} = \dfrac{3{,}24\pi}{2} \approx \mathbf{5{,}09 \text{ m}^2}\)

\(\mathcal{A}_{\text{totale}} = 19{,}44 + 5{,}09 = \mathbf{24{,}53 \text{ m}^2}\)

Surface à commander : \(24{,}53 \times 1{,}10 = 26{,}98 \text{ m}^2\)

Nombre de boîtes : \(26{,}98 \div 2{,}5 = 10{,}79\). Il faut commander 11 boîtes.

\(r = D \div 2 = 50 \div 2 = \mathbf{25 \text{ cm}}\)

\(P = 2\pi r = 2 \times \pi \times 25 = 50\pi \approx \mathbf{157 \text{ cm}}\)

Le manchon est un rectangle de longueur \(157\) cm et de largeur \(120\) cm :

\(\mathcal{A} = L \times l = 157 \times 120 = \mathbf{18\,840 \text{ cm}^2}\)

Conversion : \(18\,840 \div 10\,000 = \mathbf{1{,}884 \text{ m}^2}\)

Surface du rouleau : \(1 \times 10 = 10 \text{ m}^2\). Or \(1{,}884 < 10\), donc oui, un seul rouleau suffit largement.

(Remarque : le rouleau ne fait que 1 m = 100 cm de large, alors que le manchon en demande 120. Il faudra donc découper le manchon en deux bandes, mais la surface totale d'isolant est bien suffisante.)

Rectangle : \(\mathcal{A}_1 = 6 \times 4 = \mathbf{24 \text{ m}^2}\)

Trapèze : \(\mathcal{A}_2 = \dfrac{(4 + 2{,}5) \times 2}{2} = \dfrac{6{,}5 \times 2}{2} = \dfrac{13}{2} = \mathbf{6{,}5 \text{ m}^2}\)

Triangle : \(\mathcal{A}_3 = \dfrac{2 \times 1{,}5}{2} = \dfrac{3}{2} = \mathbf{1{,}5 \text{ m}^2}\)

\(\mathcal{A}_{\text{totale}} = 24 + 6{,}5 + 1{,}5 = \mathbf{32 \text{ m}^2}\)

Fourniture : \(32 \times 28 = 896 \text{ €}\)

Pose : \(32 \times 15 = 480 \text{ €}\)

Total : \(896 + 480 = \mathbf{1\,376 \text{ €}}\)

\(1\,376 < 1\,700\) donc oui, le budget de 1 700 € est suffisant. Il reste \(1\,700 - 1\,376 = 324 \text{ €}\).

Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut \(180°\). Le triangle est rectangle : il possède donc un angle de \(90°\).

Le troisième angle vaut : \(180 - 90 - 37 = \mathbf{53°}\).

Les trois angles du triangle sont donc \(90°\), \(37°\) et \(53°\) (vérification : \(90 + 37 + 53 = 180°\)).

\(\mathcal{A}_{\text{rect}} = 90 \times 200 = \mathbf{18\,000 \text{ cm}^2}\)

Rayon : \(r = 90 \div 2 = 45 \text{ cm}\)

\(\mathcal{A}_{\text{demi}} = \dfrac{\pi \times 45^2}{2} = \dfrac{2\,025\pi}{2} \approx \mathbf{3\,181 \text{ cm}^2}\)

\(\mathcal{A}_{\text{totale}} = 18\,000 + 3\,181 = \mathbf{21\,181 \text{ cm}^2}\) soit environ \(2{,}12 \text{ m}^2\).

Le contour se compose de : 2 côtés verticaux (\(2 \times 200\) cm), la base (\(90\) cm) et le demi-cercle (\(\pi r = \pi \times 45\) cm).

\(P = 2 \times 200 + 90 + \pi \times 45 = 400 + 90 + 141{,}37 \approx \mathbf{631 \text{ cm}}\)

Conversion : \(631 \text{ cm} = 6{,}31 \text{ m}\)

Coût : \(6{,}31 \times 3{,}50 \approx \mathbf{22{,}09 \text{ €}}\)

Conversion : \(2{,}10\) m = 210 cm, \(0{,}70\) m = 70 cm.

En longueur : \(\lfloor 210 \div 35 \rfloor = 6\) disques.

En largeur : \(\lfloor 70 \div 35 \rfloor = 2\) disques.

Nombre total : \(6 \times 2 = \mathbf{12}\) disques.

\(\mathcal{A}_{\text{planche}} = 210 \times 70 = \mathbf{14\,700 \text{ cm}^2}\)

Rayon : \(r = 35 \div 2 = 17{,}5\) cm.

Aire d'un disque : \(\pi \times 17{,}5^2 = \pi \times 306{,}25 \approx 962{,}11 \text{ cm}^2\)

Aire de 12 disques : \(12 \times 962{,}11 \approx \mathbf{11\,545{,}32 \text{ cm}^2}\)

Matière perdue : \(14\,700 - 11\,545{,}32 = 3\,154{,}68 \text{ cm}^2\)

Taux de chute : \(\dfrac{3\,154{,}68}{14\,700} \times 100 \approx \mathbf{21{,}5\,\%}\)

Environ 21,5 % de la planche est perdue. C'est un taux classique pour la découpe de formes circulaires dans un rectangle (\(\approx 1 - \dfrac{\pi}{4} \approx 21{,}5\,\%\)).

\(\mathcal{A}_{\text{rect}} = 10 \times 7 = \mathbf{70 \text{ m}^2}\)

Rayon : \(r = 7 \div 2 = 3{,}5\) m.

Aire d'une alcôve : \(\dfrac{\pi \times 3{,}5^2}{2} = \dfrac{12{,}25\pi}{2} \approx 19{,}24 \text{ m}^2\)

Deux alcôves : \(2 \times 19{,}24 = \mathbf{38{,}48 \text{ m}^2}\)

\(\mathcal{A}_{\text{totale}} = 70 + 38{,}48 = \mathbf{108{,}48 \text{ m}^2}\)

Surface avec marge : \(108{,}48 \times 1{,}08 = 117{,}16 \text{ m}^2\)

Fourniture : \(117{,}16 \times 55 = 6\,443{,}80 \text{ €}\)

Main-d'œuvre : \(117{,}16 \times 20 = 2\,343{,}20 \text{ €}\)

Total HT : \(6\,443{,}80 + 2\,343{,}20 = 8\,787 \text{ €}\)

TVA : \(8\,787 \times 0{,}20 = 1\,757{,}40 \text{ €}\)

Total TTC : \(8\,787 + 1\,757{,}40 = \mathbf{10\,544{,}40 \text{ €}}\)

\(P = 2(L + l) \Rightarrow 24 = 2(L + l) \Rightarrow L + l = 12 \Rightarrow \mathbf{L = 12 - l}\)

L'aire est maximale pour \(l = 6\) m, soit \(L = 6\) m. Le rectangle est un carré de côté 6 m.

Aire maximale du carré : \(\mathcal{A}_{\square} = 6 \times 6 = \mathbf{36 \text{ m}^2}\)

Disque de périmètre 24 m : \(2\pi r = 24 \Rightarrow r = \dfrac{24}{2\pi} = \dfrac{12}{\pi} \approx 3{,}82 \text{ m}\)

\(\mathcal{A}_{\circ} = \pi \times 3{,}82^2 \approx \pi \times 14{,}59 \approx \mathbf{45{,}84 \text{ m}^2}\)

Le disque (\(45{,}84 \text{ m}^2\)) donne une aire plus grande que le carré (\(36 \text{ m}^2\)). À périmètre égal, le cercle est la figure qui maximise l'aire.

Sur la figure : grande base \(B = 8\) m, petite base \(b = 4\) m, hauteur \(h = 3\) m.

\(\mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2} = \dfrac{(8 + 4) \times 3}{2} = \dfrac{12 \times 3}{2} = \dfrac{36}{2} = \mathbf{18 \text{ m}^2}\)

\(18 \times 45 = \mathbf{810 \text{ €}}\)

\(810 \text{ €} \leq 900 \text{ €}\) : le revêtement est finançable. Il reste même \(900 - 810 = 90\) € de marge.

\(\mathcal{A}_{\text{pièce}} = \dfrac{(6{,}50 + 4{,}20) \times 4}{2} = \dfrac{10{,}70 \times 4}{2} = \dfrac{42{,}80}{2} = \mathbf{21{,}40 \text{ m}^2}\)

\(\mathcal{A}_{\text{trémie}} = 2{,}80 \times 0{,}90 = \mathbf{2{,}52 \text{ m}^2}\)

\(\mathcal{A}_{\text{eff}} = 21{,}40 - 2{,}52 = \mathbf{18{,}88 \text{ m}^2}\)

Surface à commander : \(18{,}88 \times 1{,}12 = 21{,}15 \text{ m}^2\)

Coût : \(21{,}15 \times 42 = \mathbf{888{,}30 \text{ €}}\)

\(\mathcal{A}_{\text{toiture}} = 10 \times 5 = \mathbf{50 \text{ m}^2}\)

Par rangée : \(10 \div 1{,}70 \approx 5{,}88\) → 5 panneaux (on arrondit à l'entier inférieur).

Nombre de rangées : \(5 \div 1{,}00 = 5\) → 5 rangées.

Total : \(5 \times 5 = \mathbf{25 \text{ panneaux}}\)

Par rangée : \(10 \div 1{,}00 = 10\) → 10 panneaux.

Nombre de rangées : \(5 \div 1{,}70 \approx 2{,}94\) → 2 rangées.

Total : \(10 \times 2 = \mathbf{20 \text{ panneaux}}\)

Aire d'un panneau : \(1{,}70 \times 1{,}00 = 1{,}70 \text{ m}^2\)

Disposition A : \(25 \times 1{,}70 = 42{,}5 \text{ m}^2\), soit \(\dfrac{42{,}5}{50} \times 100 = \mathbf{85\ \%}\)

Disposition B : \(20 \times 1{,}70 = 34 \text{ m}^2\), soit \(\dfrac{34}{50} \times 100 = \mathbf{68\ \%}\)

On retient la disposition A : elle couvre 8,5 m² de plus, soit 5 panneaux supplémentaires.

\(25 \times 400 = 10\,000 \text{ Wc} = \mathbf{10 \text{ kWc}}\)

Rectangle : \(\mathcal{A}_1 = 12 \times 6 = \mathbf{72 \text{ m}^2}\)

Triangle : \(\mathcal{A}_2 = \dfrac{12 \times 3}{2} = \dfrac{36}{2} = \mathbf{18 \text{ m}^2}\)

Total : \(\mathcal{A}_{\text{pignon}} = 72 + 18 = \mathbf{90 \text{ m}^2}\)

Une fenêtre : \(1{,}20 \times 1{,}40 = 1{,}68 \text{ m}^2\) ; quatre fenêtres : \(4 \times 1{,}68 = 6{,}72 \text{ m}^2\)

Porte : \(0{,}90 \times 2{,}10 = 1{,}89 \text{ m}^2\)

Total des ouvertures : \(6{,}72 + 1{,}89 = \mathbf{8{,}61 \text{ m}^2}\)

\(\mathcal{A}_{\text{isoler}} = 90 - 8{,}61 = \mathbf{81{,}39 \text{ m}^2}\)

\(81{,}39 \times 130 = \mathbf{10\,580{,}70 \text{ €}}\)

Aide : \(10\,580{,}70 \times 0{,}30 = \mathbf{3\,174{,}21 \text{ €}}\)

Reste à charge : \(10\,580{,}70 - 3\,174{,}21 = \mathbf{7\,406{,}49 \text{ €}}\)

Oublier de déduire les ouvertures aurait conduit à facturer \(90 \times 130 = 11\,700\) €, soit plus de 1 100 € de trop.

Formule utilisée : \(\mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2}\), avec ici \(h = 10\) m pour chaque trapèze.

\(\mathcal{A}_1 = \dfrac{(5{,}00 + 8{,}60) \times 10}{2} = \dfrac{136}{2} = \mathbf{68{,}00 \text{ m}^2}\)

\(\mathcal{A}_2 = \dfrac{(8{,}60 + 11{,}40) \times 10}{2} = \dfrac{200}{2} = \mathbf{100{,}00 \text{ m}^2}\)

\(\mathcal{A}_3 = \dfrac{(11{,}40 + 9{,}20) \times 10}{2} = \dfrac{206}{2} = \mathbf{103{,}00 \text{ m}^2}\)

\(\mathcal{A}_4 = \dfrac{(9{,}20 + 6{,}00) \times 10}{2} = \dfrac{152}{2} = \mathbf{76{,}00 \text{ m}^2}\)

\(\mathcal{A} = 68{,}00 + 100{,}00 + 103{,}00 + 76{,}00 = \mathbf{347{,}00 \text{ m}^2}\)

\(347 \div 100 = \mathbf{3{,}47 \text{ ares}}\)

Longueur : \([AB]\) plus les deux côtés perpendiculaires, soit \(40 + 5{,}00 + 6{,}00 = \mathbf{51{,}00 \text{ m}}\)

Coût : \(51 \times 38 = \mathbf{1\,938 \text{ €}}\)

La haie n'est pas clôturée : elle ferme déjà le quatrième côté.

Échelle \(1/200\) : \(1\) cm sur le dessin représente \(200\) cm sur le terrain. On divise donc les longueurs réelles par 200.

\(AB = 40\) m \(= 4\,000\) cm, donc sur le plan : \(4\,000 \div 200 = \mathbf{20 \text{ cm}}\)

Plus grande ordonnée : \(11{,}40\) m \(= 1\,140\) cm, donc \(1\,140 \div 200 = \mathbf{5{,}70 \text{ cm}}\)

Le dessin occupe \(20\) cm de long sur \(5{,}70\) cm de haut. On pose donc la feuille A4 en format paysage, c'est-à-dire son grand côté de \(29{,}7\) cm à l'horizontale : la longueur du dessin se compare alors à \(29{,}7\) cm et sa hauteur à \(21\) cm. Comme \(20 \le 29{,}7\) et \(5{,}70 \le 21\), le dessin tient largement — il reste près de \(10\) cm de marge dans le sens de la longueur.

Les longueurs sont divisées par 200, donc les aires sont divisées par \(200^2 = 40\,000\).

Aire réelle en cm² : \(347 \text{ m}^2 = 347 \times 10\,000 = 3\,470\,000 \text{ cm}^2\)

Aire sur le dessin : \(3\,470\,000 \div 40\,000 = \mathbf{86{,}75 \text{ cm}^2}\)

Vérification par les trapèzes du dessin : sur le plan, les ordonnées mesurent \(2{,}50\) ; \(4{,}30\) ; \(5{,}70\) ; \(4{,}60\) et \(3{,}00\) cm, espacées de \(10 \text{ m} \div 200 = 5\) cm.

Premier trapèze du dessin : \(\dfrac{(2{,}50 + 4{,}30) \times 5}{2} = 17{,}00\) cm². De même, les trois autres valent \(25{,}00\) ; \(25{,}75\) et \(19{,}00\) cm².

Somme : \(17{,}00 + 25{,}00 + 25{,}75 + 19{,}00 = 86{,}75\) cm² ✔

\(\mathcal{A}_{\text{plancher}} = 4{,}20 \times 3{,}80 = \mathbf{15{,}96 \text{ m}^2}\)

La cloison et la gaine ne sont pas déduites ici : la surface de plancher s'arrête au nu intérieur des façades.

Cloison : elle traverse toute la profondeur intérieure, donc \(3{,}80 \times 0{,}10 = \mathbf{0{,}38 \text{ m}^2}\)

Gaine : \(0{,}40 \times 0{,}30 = \mathbf{0{,}12 \text{ m}^2}\)

\(\mathcal{A}_{\text{habitable}} = 15{,}96 - (0{,}38 + 0{,}12) = 15{,}96 - 0{,}50 = \mathbf{15{,}46 \text{ m}^2}\)

Largeur du séjour : \(4{,}20 - 1{,}50 - 0{,}10 = \mathbf{2{,}60 \text{ m}}\) (on retire la salle d'eau et la cloison).

Salle d'eau : \(1{,}50 \times 3{,}80 = 5{,}70 \text{ m}^2\), dont on retire la gaine : \(5{,}70 - 0{,}12 = \mathbf{5{,}58 \text{ m}^2}\)

Séjour : \(2{,}60 \times 3{,}80 = \mathbf{9{,}88 \text{ m}^2}\)

Somme : \(5{,}58 + 9{,}88 = 15{,}46 \text{ m}^2\) ✔ On retrouve bien la surface habitable.

Aire perdue : \(0{,}50\) m² sur \(15{,}96\) m².

\(\dfrac{0{,}50}{15{,}96} = 0{,}03132\ldots\), soit \(3{,}132\ldots\) % \(\approx \mathbf{3{,}1 \text{ %}}\)

Sur un vrai logement, avec plusieurs cloisons, cette part monte vite : c'est pour cela qu'un acquéreur compare toujours la surface habitable annoncée, jamais la surface de plancher du permis.

Ordre croissant : \(15{,}46 < 15{,}96 < 24{,}84\) (en m²).

À chaque étape on enlève quelque chose : de l'emprise au sol on retire l'auvent et l'épaisseur des murs, puis de la surface de plancher on retire la cloison et la gaine. La surface habitable est la seule des trois sur laquelle l'occupant peut réellement poser un meuble.