Ch11 – Exercices : Figures planes — périmètres et aires

Exercice 1 Calculer des périmètres Socle

Calculer le périmètre de chacune des figures suivantes. Donner les résultats en cm, arrondis au centième si nécessaire.

a) Un carré de côté \(a = 7\) cm.

b) Un rectangle de longueur \(L = 5\) cm et de largeur \(l = 3\) cm.

c) Un triangle de côtés \(4\) cm, \(6\) cm et \(8\) cm.

d) Un cercle de rayon \(r = 5\) cm.

Mes calculs :

a) Carré de côté a = 7 cm

Formule : \(P = 4 \times a\)

\(P = 4 \times 7 = \mathbf{28 \text{ cm}}\)

b) Rectangle 5 cm × 3 cm

Formule : \(P = 2 \times (L + l)\)

\(P = 2 \times (5 + 3) = 2 \times 8 = \mathbf{16 \text{ cm}}\)

c) Triangle de côtés 4, 6 et 8 cm

Le périmètre est la somme des trois côtés :

\(P = 4 + 6 + 8 = \mathbf{18 \text{ cm}}\)

d) Cercle de rayon r = 5 cm

Formule : \(P = 2\pi r\)

\(P = 2 \times \pi \times 5 = 10\pi \approx \mathbf{31{,}42 \text{ cm}}\)

Exercice 2 Calculer des aires Socle

Calculer l'aire de chacune des figures suivantes. Donner les résultats en cm², arrondis au centième si nécessaire.

a) Un carré de côté \(a = 9\) cm.

b) Un rectangle de longueur \(L = 12\) cm et de largeur \(l = 8\) cm.

c) Un triangle de base \(b = 10\) cm et de hauteur \(h = 6\) cm.

d) Un disque de rayon \(r = 7\) cm.

Mes calculs :

a) Carré de côté a = 9 cm

Formule : \(\mathcal{A} = a^2\)

\(\mathcal{A} = 9^2 = \mathbf{81 \text{ cm}^2}\)

b) Rectangle 12 cm × 8 cm

Formule : \(\mathcal{A} = L \times l\)

\(\mathcal{A} = 12 \times 8 = \mathbf{96 \text{ cm}^2}\)

c) Triangle base = 10 cm, hauteur = 6 cm

Formule : \(\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}\)

\(\mathcal{A} = \dfrac{10 \times 6}{2} = \dfrac{60}{2} = \mathbf{30 \text{ cm}^2}\)

d) Disque de rayon r = 7 cm

Formule : \(\mathcal{A} = \pi r^2\)

\(\mathcal{A} = \pi \times 7^2 = 49\pi \approx \mathbf{153{,}94 \text{ cm}^2}\)

Exercice 3 Appliquer les formules de périmètre et d'aire Socle

Un menuisier prépare la découpe de pièces pour un meuble. Calculer le périmètre et l'aire de chaque pièce.

Panneau rectangulaire : longueur \(L = 120\) cm, largeur \(l = 45\) cm.
Calculer le périmètre \(P\) et l'aire \(\mathcal{A}\).
Étagère triangulaire : base \(b = 80\) cm, hauteur \(h = 35\) cm, côtés 50 cm et 60 cm.
Calculer le périmètre et l'aire.
Dessus de table circulaire : rayon \(r = 40\) cm.
Calculer le périmètre (tour de table) et l'aire du disque. Arrondir au cm² près.
Convertir l'aire du panneau rectangulaire en m².
Un triangle a deux angles de 52° et 73°. Calculer le troisième angle.

Mes calculs :

1. \(P = 2(120 + 45) = 2 \times 165 = \mathbf{330}\) cm. \(\mathcal{A} = 120 \times 45 = \mathbf{5\,400}\) cm².

2. \(P = 80 + 50 + 60 = \mathbf{190}\) cm. \(\mathcal{A} = \dfrac{80 \times 35}{2} = \mathbf{1\,400}\) cm².

3. \(P = 2\pi \times 40 \approx \mathbf{251}\) cm. \(\mathcal{A} = \pi \times 40^2 = 1\,600\pi \approx \mathbf{5\,027}\) cm².

4. \(5\,400 \text{ cm}^2 = \dfrac{5\,400}{10\,000} = \mathbf{0{,}54}\) m².

5. \(180 - 52 - 73 = \mathbf{55°}\).

Exercice 4 Périmètre guidé — figures simples Socle

Formules à utiliser :
• Carré : \(P = 4 \times a\)
• Rectangle : \(P = 2 \times (L + l)\)
• Triangle : \(P = \text{côté}_1 + \text{côté}_2 + \text{côté}_3\)
• Cercle : \(P = 2 \times \pi \times r\) (avec \(\pi \approx 3{,}14\))

Compléter les calculs en utilisant la bonne formule.

a) Carré de côté \(a = 5\) cm :
\(P = 4 \times \ldots = \ldots \text{ cm}\)

b) Rectangle de longueur \(L = 10\) cm et largeur \(l = 4\) cm :
\(P = 2 \times (L + l) = 2 \times (\ldots + \ldots) = 2 \times \ldots = \ldots \text{ cm}\)

c) Triangle de côtés \(3\) cm, \(4\) cm et \(5\) cm :
\(P = \ldots + \ldots + \ldots = \ldots \text{ cm}\)

d) Cercle de rayon \(r = 6\) cm :
\(P = 2 \times 3{,}14 \times \ldots \approx \ldots \text{ cm}\)

Mes calculs :

a) \(P = 4 \times 5 = \mathbf{20 \text{ cm}}\)

b) \(P = 2 \times (10 + 4) = 2 \times 14 = \mathbf{28 \text{ cm}}\)

c) \(P = 3 + 4 + 5 = \mathbf{12 \text{ cm}}\)

d) \(P = 2 \times 3{,}14 \times 6 = \mathbf{37{,}68 \text{ cm}}\)

Exercice 5 Aire guidée — figures simples Socle

Formules à utiliser :
• Carré : \(\mathcal{A} = a^2 = a \times a\)
• Rectangle : \(\mathcal{A} = L \times l\)
• Triangle : \(\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}\)
• Disque : \(\mathcal{A} = \pi \times r^2\) (avec \(\pi \approx 3{,}14\))

Compléter les calculs en utilisant la bonne formule.

a) Carré de côté \(a = 6\) cm :
\(\mathcal{A} = \ldots \times \ldots = \ldots \text{ cm}^2\)

b) Rectangle \(L = 8\) cm et \(l = 5\) cm :
\(\mathcal{A} = L \times l = \ldots \times \ldots = \ldots \text{ cm}^2\)

c) Triangle de base \(b = 10\) cm et hauteur \(h = 4\) cm :
\(\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2} = \dfrac{\ldots \times \ldots}{2} = \dfrac{\ldots}{2} = \ldots \text{ cm}^2\)

d) Disque de rayon \(r = 3\) cm :
\(\mathcal{A} = 3{,}14 \times r^2 = 3{,}14 \times \ldots^2 = 3{,}14 \times \ldots \approx \ldots \text{ cm}^2\)

Mes calculs :

a) \(\mathcal{A} = 6 \times 6 = \mathbf{36 \text{ cm}^2}\)

b) \(\mathcal{A} = 8 \times 5 = \mathbf{40 \text{ cm}^2}\)

c) \(\mathcal{A} = \dfrac{10 \times 4}{2} = \dfrac{40}{2} = \mathbf{20 \text{ cm}^2}\)

d) \(\mathcal{A} = 3{,}14 \times 3^2 = 3{,}14 \times 9 \approx \mathbf{28{,}26 \text{ cm}^2}\)

Exercice 6 Problème guidé — surface d'un atelier Socle

Atelier menuiserie
Un apprenti menuisier doit connaître la surface de l'atelier rectangulaire pour acheter du vernis de sol.
L'atelier mesure 12 m de long et 6 m de large.

Étape 1 — Identifier la figure :
La forme de l'atelier est un rectangle. La formule de l'aire est : \(\mathcal{A} = L \times l\)

Étape 2 — Remplacer les valeurs :
\(\mathcal{A} = \ldots \times \ldots = \ldots \text{ m}^2\)

Étape 3 — Conclusion :
La surface de l'atelier est de …… m².

Question supplémentaire : Un bidon de vernis couvre 10 m². Combien de bidons faut-il ?
Nombre de bidons = surface ÷ 10 = …… ÷ 10 = ……

Mes calculs :

Étape 2 : \(\mathcal{A} = 12 \times 6 = \mathbf{72 \text{ m}^2}\)

Conclusion : La surface est de 72 m².

Nombre de bidons : \(72 \div 10 = 7{,}2\). Il faut donc 8 bidons (on arrondit à l'entier supérieur).

Exercice 7 Angle manquant — tableau à compléter Socle

Rappel : la somme des angles d'un triangle est toujours 180°.
Formule : angle manquant \(= 180° - \text{angle}_1 - \text{angle}_2\)

Compléter le tableau :

Angle 1	Angle 2	Angle 3 (à trouver)
60°	70°	180 − 60 − 70 = ……°
45°	45°	……°
90°	30°	……°
110°	40°	……°

Mes calculs :

Ligne 1 : \(180 - 60 - 70 = \mathbf{50°}\)

Ligne 2 : \(180 - 45 - 45 = \mathbf{90°}\) (triangle rectangle isocèle)

Ligne 3 : \(180 - 90 - 30 = \mathbf{60°}\) (triangle rectangle)

Ligne 4 : \(180 - 110 - 40 = \mathbf{30°}\)

Exercice 8 Aire d'un parallélogramme — pas à pas Socle

Formule à utiliser :
• Parallélogramme : \(\mathcal{A} = b \times h\) (base × hauteur)

Sport
Un terrain de handball a la forme d'un parallélogramme de base \(b = 40\) m et de hauteur \(h = 20\) m.

Étape 1 — Identifier la formule :
La formule de l'aire d'un parallélogramme est : \(\mathcal{A} = b \times h\)

Étape 2 — Remplacer les valeurs :
\(\mathcal{A} = \ldots \times \ldots = \ldots \text{ m}^2\)

Étape 3 — Conclusion :
L'aire du terrain est de …… m².

Mes calculs :

Étape 2 : \(\mathcal{A} = 40 \times 20 = \mathbf{800 \text{ m}^2}\)

Conclusion : L'aire du terrain est de 800 m².

Exercice 9 Aire d'un trapèze — compléter le calcul Socle

Formule à utiliser :
• Trapèze : \(\mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2}\) (grande base + petite base, × hauteur, ÷ 2)

Quotidien
Un parterre de fleurs a la forme d'un trapèze avec une grande base \(B = 8\) m, une petite base \(b = 5\) m et une hauteur \(h = 3\) m.

Compléter le calcul :
\(\mathcal{A} = \dfrac{(\ldots + \ldots) \times \ldots}{2} = \dfrac{\ldots \times \ldots}{2} = \dfrac{\ldots}{2} = \ldots \text{ m}^2\)

Mes calculs :

\(\mathcal{A} = \dfrac{(8 + 5) \times 3}{2} = \dfrac{13 \times 3}{2} = \dfrac{39}{2} = \mathbf{19{,}5 \text{ m}^2}\)

Exercice 10 Conversions d'aires — tableau guidé Socle

Rappels :
• \(1 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2\) (pour convertir m² → cm², on multiplie par 10 000)
• Pour convertir cm² → m², on divise par 10 000

Compléter le tableau :

Valeur	Opération	Résultat
\(2 \text{ m}^2\)	\(2 \times 10\,000 = \ldots\)	…… cm²
\(0{,}5 \text{ m}^2\)	\(0{,}5 \times 10\,000 = \ldots\)	…… cm²
\(30\,000 \text{ cm}^2\)	\(30\,000 \div 10\,000 = \ldots\)	…… m²
\(8\,500 \text{ cm}^2\)	\(8\,500 \div 10\,000 = \ldots\)	…… m²

Mes calculs :

Ligne 1 : \(2 \times 10\,000 = \mathbf{20\,000 \text{ cm}^2}\)

Ligne 2 : \(0{,}5 \times 10\,000 = \mathbf{5\,000 \text{ cm}^2}\)

Ligne 3 : \(30\,000 \div 10\,000 = \mathbf{3 \text{ m}^2}\)

Ligne 4 : \(8\,500 \div 10\,000 = \mathbf{0{,}85 \text{ m}^2}\)

Exercice 11 Périmètre d'une étagère — problème guidé Socle

Atelier menuiserie
Un artisan menuisier fabrique une étagère rectangulaire. Il doit coller une baguette décorative tout autour.
L'étagère mesure 90 cm de long et 25 cm de large.

Étape 1 — Quelle figure ?
L'étagère a la forme d'un rectangle. La formule du périmètre est : \(P = 2 \times (L + l)\)

Étape 2 — Remplacer :
\(P = 2 \times (\ldots + \ldots) = 2 \times \ldots = \ldots \text{ cm}\)

Étape 3 — Convertir en mètres :
\(P = \ldots \text{ cm} = \ldots \text{ m}\) (diviser par 100)

Question : La baguette est vendue en rouleaux de 2 m. Un rouleau suffit-il ?

Mes calculs :

Étape 2 : \(P = 2 \times (90 + 25) = 2 \times 115 = \mathbf{230 \text{ cm}}\)

Étape 3 : \(230 \text{ cm} = \dfrac{230}{100} = \mathbf{2{,}30 \text{ m}}\)

Conclusion : \(2{,}30 > 2\) donc un rouleau de 2 m ne suffit pas. Il faut 2 rouleaux.

Exercice 12 Aire d'un disque — panneau solaire circulaire Socle

Énergie
Un panneau solaire expérimental a une forme circulaire de diamètre \(d = 1{,}2\) m.

Étape 1 — Trouver le rayon :
\(r = d \div 2 = \ldots \div 2 = \ldots \text{ m}\)

Étape 2 — Appliquer la formule de l'aire d'un disque :
\(\mathcal{A} = \pi \times r^2 = 3{,}14 \times \ldots^2 = 3{,}14 \times \ldots \approx \ldots \text{ m}^2\)

Étape 3 — Convertir en cm² :
\(\mathcal{A} = \ldots \text{ m}^2 = \ldots \times 10\,000 = \ldots \text{ cm}^2\)

Mes calculs :

Étape 1 : \(r = 1{,}2 \div 2 = \mathbf{0{,}6 \text{ m}}\)

Étape 2 : \(\mathcal{A} = 3{,}14 \times 0{,}6^2 = 3{,}14 \times 0{,}36 \approx \mathbf{1{,}13 \text{ m}^2}\)

Étape 3 : \(1{,}13 \times 10\,000 = \mathbf{11\,300 \text{ cm}^2}\)

Exercice 13 Aire d'un parallélogramme — panneau décoratif Socle

Formule à utiliser :
• Parallélogramme : \(\mathcal{A} = b \times h\) (base × hauteur)

Atelier menuiserie
Un artisan menuisier découpe un panneau décoratif en forme de parallélogramme. La base mesure \(b = 50\) cm et la hauteur est \(h = 30\) cm.

Étape 1 — Identifier la formule :
La figure est un parallélogramme. La formule de l'aire est : \(\mathcal{A} = b \times h\)

Étape 2 — Remplacer les valeurs :
\(\mathcal{A} = \ldots \times \ldots = \ldots \text{ cm}^2\)

Étape 3 — Convertir en m² :
\(\mathcal{A} = \ldots \text{ cm}^2 = \ldots \div 10\,000 = \ldots \text{ m}^2\)

Mes calculs :

Étape 2 : \(\mathcal{A} = 50 \times 30 = \mathbf{1\,500 \text{ cm}^2}\)

Étape 3 : \(1\,500 \div 10\,000 = \mathbf{0{,}15 \text{ m}^2}\)

Exercice 14 Aire d'un trapèze — dessus de meuble Socle

Formule à utiliser :
• Trapèze : \(\mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2}\)

Atelier menuiserie
Un métreur relève les dimensions d'un dessus de meuble en forme de trapèze : grande base \(B = 70\) cm, petite base \(b = 50\) cm, hauteur \(h = 40\) cm.

Compléter le calcul étape par étape :

Étape 1 — Additionner les deux bases :
\(B + b = \ldots + \ldots = \ldots \text{ cm}\)

Étape 2 — Multiplier par la hauteur :
\(\ldots \times h = \ldots \times \ldots = \ldots \text{ cm}^2\)

Étape 3 — Diviser par 2 :
\(\mathcal{A} = \ldots \div 2 = \ldots \text{ cm}^2\)

Mes calculs :

Étape 1 : \(B + b = 70 + 50 = 120 \text{ cm}\)

Étape 2 : \(120 \times 40 = 4\,800 \text{ cm}^2\)

Étape 3 : \(\mathcal{A} = 4\,800 \div 2 = \mathbf{2\,400 \text{ cm}^2}\)

Exercice 15 Figure composée guidée — porte avec partie vitrée Socle

Quotidien
Une porte rectangulaire mesure 200 cm de haut et 80 cm de large. Elle comporte un hublot circulaire de diamètre \(d = 30\) cm.

Étape 1 — Aire de la porte entière :
\(\mathcal{A}_{\text{porte}} = L \times l = \ldots \times \ldots = \ldots \text{ cm}^2\)

Étape 2 — Trouver le rayon du hublot :
\(r = d \div 2 = \ldots \div 2 = \ldots \text{ cm}\)

Étape 3 — Aire du hublot (disque) :
\(\mathcal{A}_{\text{hublot}} = 3{,}14 \times r^2 = 3{,}14 \times \ldots^2 = 3{,}14 \times \ldots \approx \ldots \text{ cm}^2\)

Étape 4 — Aire de la partie bois (porte − hublot) :
\(\mathcal{A}_{\text{bois}} = \ldots - \ldots = \ldots \text{ cm}^2\)

Mes calculs :

Étape 1 : \(\mathcal{A}_{\text{porte}} = 200 \times 80 = \mathbf{16\,000 \text{ cm}^2}\)

Étape 2 : \(r = 30 \div 2 = 15 \text{ cm}\)

Étape 3 : \(\mathcal{A}_{\text{hublot}} = 3{,}14 \times 15^2 = 3{,}14 \times 225 \approx \mathbf{706{,}5 \text{ cm}^2}\)

Étape 4 : \(\mathcal{A}_{\text{bois}} = 16\,000 - 706{,}5 = \mathbf{15\,293{,}5 \text{ cm}^2}\)

Exercice 16 Trouver les dimensions d'un rectangle Standard

Un rectangle a un périmètre de \(P = 36\) cm. Sa longueur est le double de sa largeur : \(L = 2l\).

Déterminer la longueur et la largeur de ce rectangle.

Guide de résolution

1

Écrire la formule du périmètre d'un rectangle : \(P = 2(L + l)\).

2

Remplacer \(L\) par \(2l\) dans la formule et substituer \(P = 36\).

3

Résoudre l'équation pour trouver \(l\).

4

En déduire \(L = 2l\), puis vérifier que \(P = 36\) cm.

Votre réponse…

Étape 1 — Formule du périmètre

\(P = 2(L + l)\)

Étape 2 — Substitution de L = 2l et P = 36

\(36 = 2(2l + l) = 2 \times 3l = 6l\)

Étape 3 — Résolution

\(l = \dfrac{36}{6} = 6 \text{ cm}\)

Étape 4 — Calcul de L et vérification

\(L = 2 \times 6 = 12 \text{ cm}\)

Vérification : \(P = 2(12 + 6) = 2 \times 18 = 36 \text{ cm}\) ✓

Conclusion : la largeur vaut \(l = 6 \text{ cm}\) et la longueur vaut \(L = 12 \text{ cm}\).

Exercice 17 Aire d'une figure composée — pièce avec alcôve semi-circulaire Standard

Une pièce rectangulaire mesure \(6\) m de long et \(4\) m de large. À une de ses extrémités, une alcôve semi-circulaire de diamètre \(d = 4\) m (rayon \(r = 2\) m) vient s'ajouter.

Calculer l'aire totale de la pièce (rectangle + demi-disque).

Guide de résolution

1

Calculer l'aire du rectangle : \(\mathcal{A}_{\text{rect}} = L \times l\).

2

Calculer l'aire du demi-disque : \(\mathcal{A}_{\text{demi}} = \dfrac{\pi r^2}{2}\).

3

Additionner les deux résultats.

Votre réponse…

Étape 1 — Aire du rectangle

\(\mathcal{A}_{\text{rect}} = 6 \times 4 = 24 \text{ m}^2\)

Étape 2 — Aire du demi-disque (r = 2 m)

\(\mathcal{A}_{\text{demi}} = \dfrac{\pi \times 2^2}{2} = \dfrac{4\pi}{2} = 2\pi \approx 6{,}28 \text{ m}^2\)

Étape 3 — Aire totale

\(\mathcal{A}_{\text{totale}} = 24 + 2\pi \approx 24 + 6{,}28 \approx \mathbf{30{,}28 \text{ m}^2}\)

Exercice 18 Convertir des aires Standard

Effectuer les conversions suivantes.

a) Convertir \(3{,}5 \text{ m}^2\) en \(\text{cm}^2\).

b) Convertir \(75\,000 \text{ cm}^2\) en \(\text{m}^2\).

c) Convertir \(0{,}04 \text{ m}^2\) en \(\text{mm}^2\).

Rappel — Conversions d'aires \(1 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2\) | \(1 \text{ cm}^2 = 100 \text{ mm}^2\) | \(1 \text{ m}^2 = 1\,000\,000 \text{ mm}^2\)

Mes calculs :

a) 3,5 m² en cm²

On multiplie par \(10\,000\) : \(3{,}5 \times 10\,000 = \mathbf{35\,000 \text{ cm}^2}\)

b) 75 000 cm² en m²

On divise par \(10\,000\) : \(75\,000 \div 10\,000 = \mathbf{7{,}5 \text{ m}^2}\)

c) 0,04 m² en mm²

On multiplie par \(1\,000\,000\) : \(0{,}04 \times 1\,000\,000 = \mathbf{40\,000 \text{ mm}^2}\)

Exercice 19 Comparer deux surfaces Standard

On dispose de deux figures :

Un carré de côté \(a = 8\) m.
Un disque de rayon \(r = 4{,}6\) m.

a) Calculer l'aire de chaque figure (résultats arrondis au centième de m²).

b) Laquelle des deux figures a la plus grande aire ?

c) Calculer la différence d'aire entre les deux figures.

Mes calculs :

a) Calcul des aires

Carré : \(\mathcal{A}_\square = 8^2 = 64{,}00 \text{ m}^2\)

Disque : \(\mathcal{A}_\circ = \pi \times (4{,}6)^2 = \pi \times 21{,}16 \approx 66{,}48 \text{ m}^2\)

b) Comparaison

\(66{,}48 > 64{,}00\) donc le disque a la plus grande aire.

Attention : malgré un rayon apparent plus petit que le côté du carré, le disque est plus grand. Toujours calculer avant de conclure !

c) Différence d'aire

\(\Delta\mathcal{A} = 66{,}48 - 64{,}00 = \mathbf{2{,}48 \text{ m}^2}\)

Le disque est plus grand d'environ \(2{,}48 \text{ m}^2\).

Exercice 20 Angles dans des triangles Standard

a) Dans un triangle ABC, \(\hat{A} = 52°\) et \(\hat{B} = 73°\). Calculer \(\hat{C}\).

b) Dans un triangle DEF, \(\hat{D} = 90°\) et \(\hat{E} = 37°\). Calculer \(\hat{F}\).

c) Un triangle isocèle IJK a deux angles de base égaux à \(65°\) chacun. Calculer le troisième angle. Ce triangle peut-il avoir un angle droit ? Justifier.

Mes calculs :

a) Triangle ABC

La somme des angles d'un triangle est 180°.

\(\hat{C} = 180 - 52 - 73 = \mathbf{55°}\)

b) Triangle DEF

\(\hat{F} = 180 - 90 - 37 = \mathbf{53°}\)

Ce triangle est rectangle en D (\(\hat{D} = 90°\)).

c) Triangle isocèle IJK

Troisième angle : \(\hat{K} = 180 - 65 - 65 = \mathbf{50°}\)

Les angles du triangle IJK sont 65°, 65° et 50° : aucun ne vaut 90°, donc ce triangle n'a pas d'angle droit.

Pour qu'un triangle isocèle soit rectangle, il faudrait que son angle au sommet vaille 90°, ce qui imposerait deux angles de base de 45° chacun.

Exercice 21 Aire d'un trapèze — terrasse extérieure Standard

Quotidien

Une terrasse a la forme d'un trapèze avec une grande base \(B = 7\) m, une petite base \(b = 4{,}5\) m et une hauteur \(h = 3{,}2\) m.

a) Calculer l'aire de la terrasse.

b) Le carrelage coûte 35 € par m². Quel est le coût total du carrelage ?

c) Convertir l'aire de la terrasse en cm².

Mes calculs :

a) Aire du trapèze

\(\mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2} = \dfrac{(7 + 4{,}5) \times 3{,}2}{2} = \dfrac{11{,}5 \times 3{,}2}{2} = \dfrac{36{,}8}{2} = \mathbf{18{,}4 \text{ m}^2}\)

b) Coût du carrelage

\(\text{Coût} = 18{,}4 \times 35 = \mathbf{644 \text{ €}}\)

c) Conversion en cm²

\(18{,}4 \text{ m}^2 = 18{,}4 \times 10\,000 = \mathbf{184\,000 \text{ cm}^2}\)

Exercice 22 Figure composée — aire d'un pignon de maison Standard

Science & habitat

Le pignon d'une maison est constitué d'un rectangle surmonté d'un triangle.

Rectangle : largeur \(L = 10\) m, hauteur \(h_1 = 3\) m.
Triangle : base \(b = 10\) m (même largeur), hauteur \(h_2 = 2{,}5\) m.

a) Calculer l'aire du rectangle.

b) Calculer l'aire du triangle.

c) En déduire l'aire totale du pignon.

d) Un pot de peinture couvre 8 m². Combien de pots faut-il pour 2 couches ?

Mes calculs :

a) Aire du rectangle

\(\mathcal{A}_{\text{rect}} = 10 \times 3 = \mathbf{30 \text{ m}^2}\)

b) Aire du triangle

\(\mathcal{A}_{\text{tri}} = \dfrac{10 \times 2{,}5}{2} = \dfrac{25}{2} = \mathbf{12{,}5 \text{ m}^2}\)

c) Aire totale

\(\mathcal{A}_{\text{totale}} = 30 + 12{,}5 = \mathbf{42{,}5 \text{ m}^2}\)

d) Nombre de pots pour 2 couches

Surface totale pour 2 couches : \(2 \times 42{,}5 = 85 \text{ m}^2\)

Nombre de pots : \(85 \div 8 = 10{,}625\). Il faut donc 11 pots.

Exercice 23 Périmètre et aire d'un parallélogramme Standard

Atelier menuiserie

Un métreur relève les dimensions d'un plan de travail en forme de parallélogramme : base \(b = 1{,}50\) m, côté oblique \(c = 0{,}65\) m, hauteur \(h = 0{,}60\) m.

a) Calculer le périmètre du parallélogramme.

b) Calculer l'aire du parallélogramme.

c) Exprimer cette aire en cm².

Rappel : Le périmètre d'un parallélogramme est \(P = 2 \times (b + c)\). Son aire est \(\mathcal{A} = b \times h\).

Mes calculs :

a) Périmètre

\(P = 2 \times (1{,}50 + 0{,}65) = 2 \times 2{,}15 = \mathbf{4{,}30 \text{ m}}\)

b) Aire

\(\mathcal{A} = 1{,}50 \times 0{,}60 = \mathbf{0{,}90 \text{ m}^2}\)

c) Conversion en cm²

\(0{,}90 \text{ m}^2 = 0{,}90 \times 10\,000 = \mathbf{9\,000 \text{ cm}^2}\)

Exercice 24 Périmètre d'une piste d'athlétisme Standard

Sport

Une piste d'athlétisme est composée d'un rectangle de longueur \(L = 84{,}39\) m et de largeur \(l = 73\) m, avec un demi-cercle à chaque extrémité. Le diamètre de chaque demi-cercle est \(d = 73\) m.

a) Calculer le périmètre de la piste (2 longueurs droites + 2 demi-cercles = 1 cercle complet).

b) Un coureur fait 4 tours de piste. Quelle distance parcourt-il ? Exprimer le résultat en km.

Mes calculs :

a) Périmètre de la piste

Les 2 demi-cercles forment un cercle complet de diamètre 73 m, donc de rayon \(r = 36{,}5\) m.

\(P = 2 \times L + 2\pi r = 2 \times 84{,}39 + 2 \times \pi \times 36{,}5\)

\(P = 168{,}78 + 229{,}34 \approx \mathbf{398{,}12 \text{ m}}\)

b) Distance pour 4 tours

\(d = 4 \times 398{,}12 = 1\,592{,}48 \text{ m} \approx \mathbf{1{,}59 \text{ km}}\)

Exercice 25 Surface de plancher — pièce rectangulaire avec retrait Standard

Quotidien

Une chambre rectangulaire mesure \(4{,}5\) m sur \(3{,}8\) m. Dans un coin, un placard rectangulaire de \(1{,}2\) m sur \(0{,}6\) m est encastré dans le mur (cette zone n'est pas au sol).

a) Calculer l'aire totale de la chambre (sans retrait).

b) Calculer l'aire du placard.

c) En déduire la surface de plancher effective (chambre − placard).

d) Le parquet coûte 22 € le m². On prévoit 10 % de pertes à la découpe. Quel budget prévoir ?

Mes calculs :

a) Aire de la chambre

\(\mathcal{A}_{\text{chambre}} = 4{,}5 \times 3{,}8 = \mathbf{17{,}10 \text{ m}^2}\)

b) Aire du placard

\(\mathcal{A}_{\text{placard}} = 1{,}2 \times 0{,}6 = \mathbf{0{,}72 \text{ m}^2}\)

c) Surface de plancher effective

\(\mathcal{A}_{\text{eff}} = 17{,}10 - 0{,}72 = \mathbf{16{,}38 \text{ m}^2}\)

d) Budget avec 10 % de pertes

Surface à commander : \(16{,}38 \times 1{,}10 = 18{,}018 \text{ m}^2\)

Coût : \(18{,}018 \times 22 \approx \mathbf{396{,}40 \text{ €}}\)

Exercice 26 Aire d'un terrain triangulaire Standard

Quotidien

Un terrain constructible a la forme d'un triangle. Sa base mesure \(b = 25\) m et sa hauteur \(h = 18\) m.

a) Calculer l'aire du terrain en m².

b) La commune autorise une emprise au sol maximale de 40 % de la superficie du terrain. Quelle est la surface constructible maximale ?

c) Un artisan menuisier souhaite y construire un atelier rectangulaire de \(12\) m × \(8\) m. L'emprise de l'atelier est-elle compatible avec la réglementation ? Justifier.

Mes calculs :

a) Aire du terrain

\(\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2} = \dfrac{25 \times 18}{2} = \dfrac{450}{2} = \mathbf{225 \text{ m}^2}\)

b) Surface constructible maximale

\(\mathcal{A}_{\text{max}} = 225 \times 0{,}40 = \mathbf{90 \text{ m}^2}\)

c) Compatibilité de l'atelier

Aire de l'atelier : \(12 \times 8 = 96 \text{ m}^2\)

\(96 > 90\) donc non, l'emprise de l'atelier dépasse la surface constructible maximale de 6 m².

Exercice 27 Périmètre et coût de clôture — terrain en parallélogramme Standard

Quotidien

Un jardin a la forme d'un parallélogramme de base \(b = 15\) m et de côté oblique \(c = 9\) m. La hauteur du parallélogramme est \(h = 8\) m.

a) Calculer le périmètre du jardin.

b) Calculer l'aire du jardin.

c) Le propriétaire souhaite poser une clôture à 18 € le mètre linéaire. Quel est le coût de la clôture ?

d) Il souhaite également semer du gazon. Un sac de graines couvre 20 m². Combien de sacs faut-il acheter ?

Mes calculs :

a) Périmètre

\(P = 2 \times (b + c) = 2 \times (15 + 9) = 2 \times 24 = \mathbf{48 \text{ m}}\)

b) Aire

\(\mathcal{A} = b \times h = 15 \times 8 = \mathbf{120 \text{ m}^2}\)

c) Coût de la clôture

\(\text{Coût} = 48 \times 18 = \mathbf{864 \text{ €}}\)

d) Nombre de sacs de gazon

\(120 \div 20 = 6\). Il faut 6 sacs de graines.

Exercice 28 Figure composée — plan de travail avec découpe arrondie Standard

Atelier menuiserie

Un menuisier fabrique un plan de travail rectangulaire de \(1{,}80\) m × \(0{,}65\) m. À une extrémité, il arrondit un coin en quart de cercle de rayon \(r = 15\) cm (il retire un carré de 15 cm de côté et le remplace par un quart de disque).

a) Calculer l'aire du rectangle initial en cm².

b) Calculer l'aire du carré retiré (côté 15 cm).

c) Calculer l'aire du quart de disque ajouté.

d) En déduire l'aire finale du plan de travail. Exprimer aussi le résultat en m².

Rappel : Aire d'un quart de disque : \(\mathcal{A} = \dfrac{\pi r^2}{4}\)

Mes calculs :

a) Aire du rectangle initial

Conversion : \(1{,}80\) m = 180 cm, \(0{,}65\) m = 65 cm.

\(\mathcal{A}_{\text{rect}} = 180 \times 65 = \mathbf{11\,700 \text{ cm}^2}\)

b) Aire du carré retiré

\(\mathcal{A}_{\text{carré}} = 15^2 = \mathbf{225 \text{ cm}^2}\)

c) Aire du quart de disque

\(\mathcal{A}_{\text{quart}} = \dfrac{\pi \times 15^2}{4} = \dfrac{225\pi}{4} \approx \mathbf{176{,}71 \text{ cm}^2}\)

d) Aire finale

\(\mathcal{A} = 11\,700 - 225 + 176{,}71 = \mathbf{11\,651{,}71 \text{ cm}^2}\)

Conversion : \(11\,651{,}71 \div 10\,000 \approx \mathbf{1{,}165 \text{ m}^2}\)

Exercice 29 Surface de plancher — pièce trapézoïdale avec retrait Standard

Aménagement intérieur

Un métreur relève les dimensions d'une pièce en forme de trapèze : grande base \(B = 6{,}50\) m, petite base \(b = 4{,}20\) m, hauteur \(h = 4\) m. Dans cette pièce, un escalier rectangulaire de \(2{,}80\) m × \(0{,}90\) m occupe une trémie (vide dans le plancher).

a) Calculer l'aire de la pièce trapézoïdale.

b) Calculer l'aire de la trémie d'escalier.

c) En déduire la surface de plancher effective.

d) Le carrelage coûte 42 €/m². En prévoyant 12 % de pertes à la découpe, quel est le budget carrelage ?

Mes calculs :

a) Aire de la pièce

\(\mathcal{A}_{\text{pièce}} = \dfrac{(6{,}50 + 4{,}20) \times 4}{2} = \dfrac{10{,}70 \times 4}{2} = \dfrac{42{,}80}{2} = \mathbf{21{,}40 \text{ m}^2}\)

b) Aire de la trémie

\(\mathcal{A}_{\text{trémie}} = 2{,}80 \times 0{,}90 = \mathbf{2{,}52 \text{ m}^2}\)

c) Surface de plancher effective

\(\mathcal{A}_{\text{eff}} = 21{,}40 - 2{,}52 = \mathbf{18{,}88 \text{ m}^2}\)

d) Budget carrelage avec 12 % de pertes

Surface à commander : \(18{,}88 \times 1{,}12 = 21{,}15 \text{ m}^2\)

Coût : \(21{,}15 \times 42 = \mathbf{888{,}30 \text{ €}}\)

Exercice 30 Surface à carreler et longueur de plinthe — pièce en L Parquet & plinthes Approfondissement

Une pièce a une forme en L composée de deux rectangles :

Rectangle 1 : \(5 \text{ m} \times 4 \text{ m}\)
Rectangle 2 : \(3 \text{ m} \times 2 \text{ m}\) (dans le prolongement de la largeur du rectangle 1)

a) Calculer la surface totale de la pièce.

b) Calculer le périmètre total de la pièce en L (la figure a 6 côtés).

c) Les plinthes sont vendues en barres de 2,40 m. Combien de barres faut-il commander, en prévoyant 10 % de chutes ?

Mes calculs :

a) Surface totale

\(\mathcal{A}_{\text{totale}} = (5 \times 4) + (3 \times 2) = 20 + 6 = \mathbf{26 \text{ m}^2}\)

b) Périmètre de la pièce en L

Configuration : rectangle 1 (5 × 4) en bas, rectangle 2 (3 × 2) collé en haut à gauche du rectangle 1. Les 6 côtés du L :

Côté	Longueur	Explication
Bas	5 m	longueur totale du bas (rectangle 1)
Droite	4 m	hauteur du rectangle 1
Retour horizontal	\(5 - 3 = 2\) m	partie haute du rectangle 1 non couverte
Droite rectangle 2	2 m	hauteur du rectangle 2
Haut rectangle 2	3 m	largeur du rectangle 2
Gauche	\(4 + 2 = 6\) m	hauteur totale gauche (rect 1 + rect 2)

\(P = 5 + 4 + 2 + 2 + 3 + 6 = \mathbf{22 \text{ m}}\)

c) Nombre de barres de plinthe

Longueur à commander avec 10 % de chutes : \(22 \times 1{,}10 = 24{,}2 \text{ m}\)

Nombre de barres : \(\dfrac{24{,}2}{2{,}40} \approx 10{,}08\)

On arrondit à l'entier supérieur : 11 barres de plinthe de 2,40 m.

Exercice 31 Panneau rectangulaire avec découpes circulaires Panneau de façade Approfondissement

Un panneau rectangulaire mesure \(1{,}20\) m de long et \(0{,}80\) m de large. Il comporte 3 découpes circulaires de rayon \(r = 8\) cm chacune (passages pour luminaires encastrés).

a) Calculer l'aire du panneau rectangulaire (en m²).

b) Calculer l'aire d'une découpe circulaire en m² (convertir d'abord le rayon en mètres).

c) Calculer la surface de panneau restante après les 3 découpes.

Attention aux unités ! Le rayon est donné en cm et les dimensions du panneau en m. Il faut tout exprimer dans la même unité avant de calculer.

Mes calculs :

a) Aire du panneau

\(\mathcal{A}_{\text{panneau}} = 1{,}20 \times 0{,}80 = \mathbf{0{,}96 \text{ m}^2}\)

b) Aire d'une découpe circulaire

Conversion : \(r = 8 \text{ cm} = 0{,}08 \text{ m}\)

\(\mathcal{A}_{\text{disque}} = \pi \times (0{,}08)^2 = \pi \times 0{,}0064 \approx 0{,}020\,1 \text{ m}^2\)

c) Surface restante

\(\mathcal{A}_{\text{reste}} = 0{,}96 - 3 \times 0{,}020\,1 \approx 0{,}96 - 0{,}060\,3 \approx \mathbf{0{,}90 \text{ m}^2}\)

Il reste environ \(0{,}90 \text{ m}^2\) de panneau après les trois découpes.

Exercice 32 Optimisation — surface peinte sur un carter circulaire Maintenance automobile Approfondissement

Un technicien en maintenance automobile doit peindre un carter circulaire (disque) de diamètre \(D = 42\) cm. Au centre, une zone circulaire de rayon \(r = 6\) cm (pour le passage de l'axe) ne doit pas être peinte.

a) Calculer le rayon du grand disque.

b) Calculer l'aire à peindre (couronne circulaire = grand disque − petit disque). Donner le résultat arrondi au cm².

c) Un pot de peinture permet de couvrir 500 cm². Combien de carters peut-on peindre avec un pot ?

d) Le technicien commande 5 pots pour peindre 12 carters. A-t-il commandé suffisamment ? Justifier par le calcul.

Mes calculs :

a) Rayon du grand disque

\(R = D \div 2 = 42 \div 2 = 21 \text{ cm}\)

b) Aire à peindre

\(\mathcal{A}_{\text{grand}} = \pi \times 21^2 = \pi \times 441 \approx 1\,385{,}44 \text{ cm}^2\)

\(\mathcal{A}_{\text{petit}} = \pi \times 6^2 = \pi \times 36 \approx 113{,}10 \text{ cm}^2\)

\(\mathcal{A}_{\text{peindre}} = 1\,385{,}44 - 113{,}10 \approx \mathbf{1\,272{,}34 \text{ cm}^2}\)

c) Nombre de carters par pot

\(\dfrac{500}{1\,272{,}34} \approx 0{,}39\) → un pot ne suffit pas pour un carter entier.

Autrement dit, il faut environ \(\lceil 1\,272{,}34 \div 500 \rceil = 3\) pots par carter.

d) Suffisance de la commande

Pour 12 carters : \(12 \times 1\,272{,}34 \approx 15\,268 \text{ cm}^2\). Capacité de 5 pots : \(5 \times 500 = 2\,500 \text{ cm}^2\).

\(2\,500 < 15\,268\) donc non, 5 pots sont largement insuffisants. Il en faut au moins \(\lceil 15\,268 \div 500 \rceil = 31\) pots.

Exercice 33 Optimisation de découpe — panneaux trapézoïdaux Découpe de matériaux Approfondissement

Un fabricant de mobilier doit découper des étagères en forme de trapèze dans une planche rectangulaire de \(2{,}50\) m × \(0{,}60\) m.

Chaque étagère trapézoïdale a les dimensions suivantes : grande base \(B = 60\) cm, petite base \(b = 40\) cm, hauteur \(h = 30\) cm.

a) Calculer l'aire de la planche rectangulaire en cm².

b) Calculer l'aire d'une étagère trapézoïdale.

c) En théorie (sans perte), combien d'étagères peut-on découper dans la planche ?

d) En pratique, on estime les pertes de découpe à 15 %. Combien d'étagères peut-on réellement obtenir ?

Mes calculs :

a) Aire de la planche

Conversion : \(2{,}50 \text{ m} = 250 \text{ cm}\) et \(0{,}60 \text{ m} = 60 \text{ cm}\)

\(\mathcal{A}_{\text{planche}} = 250 \times 60 = \mathbf{15\,000 \text{ cm}^2}\)

b) Aire d'une étagère trapézoïdale

\(\mathcal{A}_{\text{trapèze}} = \dfrac{(60 + 40) \times 30}{2} = \dfrac{100 \times 30}{2} = \dfrac{3\,000}{2} = \mathbf{1\,500 \text{ cm}^2}\)

c) Nombre théorique d'étagères

\(n = \dfrac{15\,000}{1\,500} = \mathbf{10}\) étagères (en théorie).

d) Nombre réel avec 15 % de pertes

Surface utile : \(15\,000 \times 0{,}85 = 12\,750 \text{ cm}^2\)

\(n = \dfrac{12\,750}{1\,500} = 8{,}5\). On peut découper 8 étagères (on arrondit à l'entier inférieur).

Exercice 34 Surface d'un appartement — figures composées Aménagement intérieur Approfondissement

Un menuisier agenceur doit réaliser le plan de pose d'un parquet dans un studio composé de :

Pièce principale : rectangle de \(5{,}40\) m × \(3{,}60\) m
Salle de bain : carré de côté \(2{,}10\) m
Balcon semi-circulaire : diamètre \(d = 3{,}60\) m (même largeur que la pièce)

Le parquet est posé dans la pièce principale et le balcon uniquement (pas dans la salle de bain).

a) Calculer l'aire de la pièce principale.

b) Calculer l'aire du balcon semi-circulaire.

c) Calculer la surface totale à parqueter.

d) Le parquet est vendu en boîtes de 2,5 m². Combien de boîtes commander en prévoyant 10 % de chutes ?

Mes calculs :

a) Aire de la pièce principale

\(\mathcal{A}_{\text{pièce}} = 5{,}40 \times 3{,}60 = \mathbf{19{,}44 \text{ m}^2}\)

b) Aire du balcon semi-circulaire

Rayon : \(r = 3{,}60 \div 2 = 1{,}80 \text{ m}\)

\(\mathcal{A}_{\text{balcon}} = \dfrac{\pi \times 1{,}80^2}{2} = \dfrac{\pi \times 3{,}24}{2} = \dfrac{3{,}24\pi}{2} \approx \mathbf{5{,}09 \text{ m}^2}\)

c) Surface totale à parqueter

\(\mathcal{A}_{\text{totale}} = 19{,}44 + 5{,}09 = \mathbf{24{,}53 \text{ m}^2}\)

d) Nombre de boîtes avec 10 % de chutes

Surface à commander : \(24{,}53 \times 1{,}10 = 26{,}98 \text{ m}^2\)

Nombre de boîtes : \(26{,}98 \div 2{,}5 = 10{,}79\). Il faut commander 11 boîtes.

Exercice 35 Aire latérale d'un réservoir cylindrique Énergie & isolation Approfondissement

Un technicien de maintenance doit isoler la surface latérale d'un ballon d'eau chaude cylindrique. Le cylindre a un diamètre \(D = 50\) cm et une hauteur \(H = 120\) cm.

Rappel : L'aire latérale d'un cylindre est la surface du « tube » (sans les deux disques). Si on le déroule, on obtient un rectangle de largeur = périmètre du cercle et de hauteur = H.
\(\mathcal{A}_{\text{lat}} = 2\pi r \times H\)

a) Calculer le rayon du cylindre.

b) Calculer l'aire latérale du cylindre (en cm², arrondi à l'unité).

c) Convertir cette aire en m².

d) Le rouleau d'isolant mesure 1 m de large et 10 m de long. Un seul rouleau suffit-il ? Justifier.

Mes calculs :

a) Rayon

\(r = D \div 2 = 50 \div 2 = \mathbf{25 \text{ cm}}\)

b) Aire latérale

\(\mathcal{A}_{\text{lat}} = 2\pi \times 25 \times 120 = 6\,000\pi \approx \mathbf{18\,850 \text{ cm}^2}\)

c) Conversion en m²

\(18\,850 \div 10\,000 = \mathbf{1{,}885 \text{ m}^2}\)

d) Suffisance du rouleau

Surface du rouleau : \(1 \times 10 = 10 \text{ m}^2\). Or \(1{,}885 < 10\), donc oui, un seul rouleau suffit largement.

Exercice 36 Devis de pose de revêtement — pièce complexe Agencement Approfondissement

Un technicien d'agencement doit chiffrer la pose d'un revêtement de sol dans une pièce dont le plan au sol se décompose en :

Un rectangle de \(6\) m × \(4\) m (séjour)
Un trapèze de grande base \(4\) m, petite base \(2{,}5\) m et hauteur \(2\) m (couloir)
Un triangle rectangle de côtés de l'angle droit \(2\) m et \(1{,}5\) m (renfoncement)

a) Calculer l'aire de chaque zone.

b) Calculer l'aire totale de la pièce.

c) Le revêtement coûte 28 €/m², la pose 15 €/m². Établir le devis total (fourniture + pose).

d) Le client dispose d'un budget de 1 700 €. Le budget est-il suffisant ?

Mes calculs :

a) Aire de chaque zone

Rectangle : \(\mathcal{A}_1 = 6 \times 4 = \mathbf{24 \text{ m}^2}\)

Trapèze : \(\mathcal{A}_2 = \dfrac{(4 + 2{,}5) \times 2}{2} = \dfrac{6{,}5 \times 2}{2} = \dfrac{13}{2} = \mathbf{6{,}5 \text{ m}^2}\)

Triangle : \(\mathcal{A}_3 = \dfrac{2 \times 1{,}5}{2} = \dfrac{3}{2} = \mathbf{1{,}5 \text{ m}^2}\)

b) Aire totale

\(\mathcal{A}_{\text{totale}} = 24 + 6{,}5 + 1{,}5 = \mathbf{32 \text{ m}^2}\)

c) Devis

Fourniture : \(32 \times 28 = 896 \text{ €}\)

Pose : \(32 \times 15 = 480 \text{ €}\)

Total : \(896 + 480 = \mathbf{1\,376 \text{ €}}\)

d) Budget

\(1\,376 < 1\,700\) donc oui, le budget de 1 700 € est suffisant. Il reste \(1\,700 - 1\,376 = 324 \text{ €}\).

Exercice 37 Porte cintrée — rectangle surmonté d'un demi-cercle Menuiserie Approfondissement

Un artisan menuisier conçoit une porte cintrée composée d'un rectangle de largeur \(l = 90\) cm et de hauteur \(H = 200\) cm, surmonté d'un demi-cercle de diamètre \(d = 90\) cm.

a) Calculer l'aire de la partie rectangulaire (en cm²).

b) Calculer l'aire du demi-cercle (en cm², arrondi à l'unité).

c) En déduire l'aire totale de la porte.

d) Calculer le périmètre total de la porte (2 côtés verticaux + base + demi-cercle). Arrondir au cm.

e) L'artisan pose un joint d'étanchéité tout autour de la porte. Le joint coûte 3{,}50 € le mètre linéaire. Quel est le coût du joint ?

Mes calculs :

a) Aire de la partie rectangulaire

\(\mathcal{A}_{\text{rect}} = 90 \times 200 = \mathbf{18\,000 \text{ cm}^2}\)

b) Aire du demi-cercle

Rayon : \(r = 90 \div 2 = 45 \text{ cm}\)

\(\mathcal{A}_{\text{demi}} = \dfrac{\pi \times 45^2}{2} = \dfrac{2\,025\pi}{2} \approx \mathbf{3\,181 \text{ cm}^2}\)

c) Aire totale

\(\mathcal{A}_{\text{totale}} = 18\,000 + 3\,181 = \mathbf{21\,181 \text{ cm}^2}\) soit environ \(2{,}12 \text{ m}^2\).

d) Périmètre de la porte

Le contour se compose de : 2 côtés verticaux (\(2 \times 200\) cm), la base (\(90\) cm) et le demi-cercle (\(\pi r = \pi \times 45\) cm).

\(P = 2 \times 200 + 90 + \pi \times 45 = 400 + 90 + 141{,}37 \approx \mathbf{631 \text{ cm}}\)

e) Coût du joint

Conversion : \(631 \text{ cm} = 6{,}31 \text{ m}\)

Coût : \(6{,}31 \times 3{,}50 \approx \mathbf{22{,}09 \text{ €}}\)

Exercice 38 Optimisation — découpe de disques dans une planche Découpe de matériaux Approfondissement

Un menuisier doit découper des dessus de tabouret circulaires de diamètre \(d = 35\) cm dans une planche rectangulaire de \(2{,}10\) m × \(0{,}70\) m.

a) Combien de disques peut-on placer en longueur ? En largeur ? En déduire le nombre total de disques découpables (disposition en grille).

b) Calculer l'aire de la planche (en cm²).

c) Calculer l'aire totale des disques découpés.

d) Calculer le taux de chute (pourcentage de matière perdue). Commenter l'efficacité de la découpe.

Mes calculs :

a) Nombre de disques

Conversion : \(2{,}10\) m = 210 cm, \(0{,}70\) m = 70 cm.

En longueur : \(\lfloor 210 \div 35 \rfloor = 6\) disques.

En largeur : \(\lfloor 70 \div 35 \rfloor = 2\) disques.

Nombre total : \(6 \times 2 = \mathbf{12}\) disques.

b) Aire de la planche

\(\mathcal{A}_{\text{planche}} = 210 \times 70 = \mathbf{14\,700 \text{ cm}^2}\)

c) Aire totale des disques

Rayon : \(r = 35 \div 2 = 17{,}5\) cm.

Aire d'un disque : \(\pi \times 17{,}5^2 = \pi \times 306{,}25 \approx 962{,}11 \text{ cm}^2\)

Aire de 12 disques : \(12 \times 962{,}11 \approx \mathbf{11\,545{,}35 \text{ cm}^2}\)

d) Taux de chute

Matière perdue : \(14\,700 - 11\,545{,}35 = 3\,154{,}65 \text{ cm}^2\)

Taux de chute : \(\dfrac{3\,154{,}65}{14\,700} \times 100 \approx \mathbf{21{,}5\,\%}\)

Environ 21,5 % de la planche est perdue. C'est un taux classique pour la découpe de formes circulaires dans un rectangle (\(\approx 1 - \dfrac{\pi}{4} \approx 21{,}5\,\%\)).

Exercice 39 Aménagement d'une salle — figures composées et budget Agencement Approfondissement

Un technicien d'agencement doit aménager une salle de réception dont le plan se décompose en :

Un rectangle central de \(10\) m × \(7\) m
Deux alcôves semi-circulaires, une à chaque extrémité (sur les côtés de 7 m), de diamètre \(d = 7\) m chacune

a) Calculer l'aire du rectangle central.

b) Calculer l'aire d'une alcôve semi-circulaire, puis l'aire des deux alcôves réunies.

c) Calculer l'aire totale de la salle.

d) Le revêtement de sol coûte 55 €/m², la main-d'œuvre 20 €/m². En prévoyant 8 % de marge pour les découpes, établir le devis total TTC (TVA à 20 %).

Mes calculs :

a) Aire du rectangle

\(\mathcal{A}_{\text{rect}} = 10 \times 7 = \mathbf{70 \text{ m}^2}\)

b) Aire des alcôves

Rayon : \(r = 7 \div 2 = 3{,}5\) m.

Aire d'une alcôve : \(\dfrac{\pi \times 3{,}5^2}{2} = \dfrac{12{,}25\pi}{2} \approx 19{,}24 \text{ m}^2\)

Deux alcôves : \(2 \times 19{,}24 = \mathbf{38{,}48 \text{ m}^2}\)

c) Aire totale

\(\mathcal{A}_{\text{totale}} = 70 + 38{,}48 = \mathbf{108{,}48 \text{ m}^2}\)

d) Devis TTC

Surface avec marge : \(108{,}48 \times 1{,}08 = 117{,}16 \text{ m}^2\)

Fourniture : \(117{,}16 \times 55 = 6\,443{,}80 \text{ €}\)

Main-d'œuvre : \(117{,}16 \times 20 = 2\,343{,}20 \text{ €}\)

Total HT : \(6\,443{,}80 + 2\,343{,}20 = 8\,787 \text{ €}\)

TVA : \(8\,787 \times 0{,}20 = 1\,757{,}40 \text{ €}\)

Total TTC : \(8\,787 + 1\,757{,}40 = \mathbf{10\,544{,}40 \text{ €}}\)

Exercice 40 Optimisation — dimensions d'un enclos rectangulaire Menuiserie Approfondissement

Un fabricant de mobilier dispose de \(24\) m de tasseaux pour fabriquer le cadre rectangulaire d'un panneau d'affichage. Il souhaite que l'aire du panneau soit la plus grande possible.

a) Le périmètre du rectangle est fixé : \(P = 24\) m. Exprimer la longueur \(L\) en fonction de la largeur \(l\) (à partir de \(P = 2(L+l)\)).

b) Compléter le tableau suivant :

\(l\) (m)	1	2	3	4	5	6	7	8
\(L = 12 - l\) (m)	11	…	…	…	…	…	…	…
\(\mathcal{A} = L \times l\) (m²)	11	…	…	…	…	…	…	…

c) Pour quelle valeur de \(l\) l'aire est-elle maximale ? Quelles sont alors les dimensions du panneau ? Quelle figure obtient-on ?

d) Calculer l'aire maximale obtenue. Comparer avec l'aire d'un disque de même périmètre (24 m). Quelle forme donne la plus grande aire ?

Mes calculs :

a) Expression de L

\(P = 2(L + l) \Rightarrow 24 = 2(L + l) \Rightarrow L + l = 12 \Rightarrow \mathbf{L = 12 - l}\)

b) Tableau complété

\(l\)	1	2	3	4	5	6	7	8
\(L\)	11	10	9	8	7	6	5	4
\(\mathcal{A}\)	11	20	27	32	35	36	35	32

c) Dimensions optimales

L'aire est maximale pour \(l = 6\) m, soit \(L = 6\) m. Le rectangle est un carré de côté 6 m.

d) Comparaison avec un disque

Aire maximale du carré : \(\mathcal{A}_{\square} = 6 \times 6 = \mathbf{36 \text{ m}^2}\)

Disque de périmètre 24 m : \(2\pi r = 24 \Rightarrow r = \dfrac{24}{2\pi} = \dfrac{12}{\pi} \approx 3{,}82 \text{ m}\)

\(\mathcal{A}_{\circ} = \pi \times 3{,}82^2 \approx \pi \times 14{,}59 \approx \mathbf{45{,}84 \text{ m}^2}\)

Le disque (\(45{,}84 \text{ m}^2\)) donne une aire plus grande que le carré (\(36 \text{ m}^2\)). À périmètre égal, le cercle est la figure qui maximise l'aire.

Chapitre 11 – Exercices

Exercices guidés pas à pas

Exercices d'application

Exercices d'approfondissement