Fiche résumé — Fonction carré et variations
Chapitre 10 | Seconde Bac Pro | Mathématiques
Définition
\(f(x) = x^2\)
- Définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier
- \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\) (toujours positif ou nul)
- Courbe : une parabole en forme de U
- Sommet : \(S(0\,;\,0)\)
Variations
- Décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\)
- Croissante sur \([0\,;\,+\infty[\)
- Minimum = 0 en \(x = 0\)
- Pas de maximum
Symétrie
\(f(-x) = f(x)\)
Deux nombres opposés ont la même image. La parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Exemples : \(f(3) = f(-3) = 9\)
Résoudre f(x) = c
- \(c > 0\) : deux solutions \(x = \sqrt{c}\) et \(x = -\sqrt{c}\)
- \(c = 0\) : une seule solution \(x = 0\)
- \(c < 0\) : aucune solution
Transformations : f(x) + k
\(g(x) = x^2 + k\)
Parabole décalée verticalement de \(k\) unités. Sommet en \(S(0\,;\,k)\). Mêmes variations que \(f\).
Transformations : k · f(x)
\(h(x) = k \cdot x^2\)
- \(k > 1\) : parabole plus resserrée
- \(0 < k < 1\) : parabole plus ouverte
- \(k < 0\) : parabole retournée (max en 0)
Piège 1 : Croire que \((-3)^2 = -9\). Le carré d'un nombre négatif est toujours positif : \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\).
Piège 2 : Oublier la deuxième solution. \(x^2 = 9\) donne \(x = 3\) et \(x = -3\). Ne pas oublier la solution négative.
Piège 3 : Dire que la fonction carré est croissante partout. Elle est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) puis croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Elle n'est pas monotone sur \(\mathbb{R}\).
Astuce : Pour savoir si la courbe est au-dessus ou en dessous de \(y = c\), tracer la droite horizontale et repérer visuellement les zones d'intersection.
Astuce : Si on double le côté d'un carré, sa surface est multipliée par 4 (pas par 2). C'est la propriété fondamentale du carré : \((2c)^2 = 4c^2\).
Résumé express — Méthode type
- Calculer l'image : remplacer \(x\) dans \(f(x) = x^2\) (attention aux signes).
- Résoudre \(f(x) = c\) : si \(c \geq 0\), les solutions sont \(x = \pm\sqrt{c}\) ; si \(c < 0\), pas de solution.
- Pour les inéquations \(f(x) \leq c\) : repérer graphiquement la zone où la parabole est en dessous de \(y = c\).
- Utiliser le tableau de variations pour comparer des images sans calculer.