Devoir Surveillé – Chapitre 10

Fonction carré et variations | 2^de Bac Pro

Dernière mise à jour : 27 juillet 2026, 22:15

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Connaître la fonction carré f(x) = x² et tracer sa parabole
Identifier les variations de la fonction carré (décroissante puis croissante)
Déduire de la parabole celle de x ↦ x² + k (translation verticale) et de x ↦ kx²
Résoudre une équation du type x² = c (ou kx² = c) et une inéquation du type x² < c
Déterminer graphiquement l'extremum de la fonction

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

APP – S'Approprier ANA – Analyser REA – Réaliser VAL – Valider COM – Communiquer

Compétences évaluées :

S'approprier — reconnaître la fonction carré, identifier le sommet et le minimum d'une parabole
Analyser — interpréter un tableau de valeurs, déterminer les variations, comparer deux fonctions du type \(x^2+k\) ou \(kx^2\)
Réaliser — calculer des images, compléter un tableau de valeurs, résoudre \(f(x)=c\) et \(f(x)<c\) du type \(kx^2\)
Valider — vérifier un résultat (carré, racine) et juger sa cohérence
Communiquer — rédiger une réponse argumentée à une situation professionnelle

Socle

Rappels utiles :
• \(f(x) = x^2\) : pour calculer l'image de \(a\), on calcule \(a \times a\).
• \((-a)^2 = a^2\) : le carré d'un nombre négatif est positif.
• \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
• Pour trouver \(c\) tel que \(c^2 = k\) (avec \(k \geq 0\) et \(c > 0\)) : \(c = \sqrt{k}\).

Partie A – Calculs d'images 5 points

1 pt par question. Calcul = multiplier par soi-même.

1. REA Calculer \(f(4)\) pour \(f(x) = x^2\). (1 pt)
\(f(4) = 4 \times \) \(=\)

2. REA Calculer \(f(-4)\) pour \(f(x) = x^2\). (1 pt)
\(f(-4) = (-4) \times \) \(=\)
(Rappel : un nombre négatif au carré est positif)

3. REA Calculer \(f(0)\). (1 pt)
\(f(0) = 0 \times 0 =\)

4. REA Calculer \(f(1{,}5)\). (1 pt)
\(f(1{,}5) = 1{,}5 \times 1{,}5 =\)

5. REA Calculer \(g(3)\) pour \(g(x) = x^2 + 5\). (1 pt)
\(g(3) = 3^2 + 5 = \) \(+ 5 =\)

1. \(f(4) = 4 \times 4 = \mathbf{16}\)

2. \(f(-4) = (-4) \times (-4) = \mathbf{16}\). On remarque \(f(4) = f(-4)\) : symétrie !

3. \(f(0) = 0 \times 0 = \mathbf{0}\)

4. \(f(1{,}5) = 1{,}5 \times 1{,}5 = \mathbf{2{,}25}\)

5. \(g(3) = 9 + 5 = \mathbf{14}\)

Partie B – Tableau de valeurs et variations 7 points

1. (2 pts) REA Compléter le tableau de valeurs de \(f(x) = x^2\) (calcule \(x \times x\) pour chaque case) :

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x) = x^2\)

2. (2 pts) ANA En regardant le tableau, répondre :
• De \(-3\) à \(0\), les valeurs de \(f(x)\) diminuent / augmentent (entourer). Donc \(f\) est :

• De \(0\) à \(3\), les valeurs de \(f(x)\) diminuent / augmentent (entourer). Donc \(f\) est :

3. (1 pt) APP La valeur minimale de \(f(x) = x^2\) est :

Elle est atteinte pour \(x =\) ……

4. (2 pts) ANA On donne \(h(x) = x^2 + 2\). Compléter :
Pour obtenir \(h(x)\), on ajoute …… à \(f(x)\). Le minimum de \(h\) est donc ……, atteint en \(x =\) ……

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)\)	9	4	1	0	1	4	9

2. De \(-3\) à \(0\) : les valeurs diminuent (9 → 4 → 1 → 0) → \(f\) est décroissante.
De \(0\) à \(3\) : les valeurs augmentent (0 → 1 → 4 → 9) → \(f\) est croissante.

3. Valeur minimale : \(f(0) = \mathbf{0}\), atteinte en \(x = 0\).

4. On ajoute 2 à \(f(x)\). Minimum de \(h\) : \(\mathbf{2}\), atteint en \(x = 0\).

Partie C – Trouver un côté connaissant la surface 5 points

1 pt par question. Montrer les calculs.

Rappel : si \(c^2 = k\) et \(c > 0\), alors \(c = \sqrt{k}\).
Exemples : \(\sqrt{9} = 3\) | \(\sqrt{16} = 4\) | \(\sqrt{25} = 5\)

1. REA VAL Trouver \(c > 0\) tel que \(c^2 = 9\). (1 pt)
\(c = \sqrt{9} =\)

2. REA Trouver \(c > 0\) tel que \(c^2 = 16\). (1 pt)
\(c = \sqrt{16} =\)

3. REA Trouver \(c > 0\) tel que \(c^2 = 6{,}25\). (1 pt)
Indice : \(2{,}5 \times 2{,}5 =\) ……

4. REA Un agenceur pose un plancher dans une pièce carrée d'exactement 25 m². Quel est le côté \(c\) de la pièce ? (1 pt)

5. REA Un agenceur pose un carrelage dans une pièce carrée. La surface de la pièce est 12,25 m². (1 pt)
\(c^2 = 12{,}25\) donc \(c = \sqrt{12{,}25} =\) m.
Indice : \(3{,}5 \times 3{,}5 =\) ……

1. \(c = \sqrt{9} = \mathbf{3}\). Vérif : \(3^2 = 9\) ✔

2. \(c = \sqrt{16} = \mathbf{4}\). Vérif : \(4^2 = 16\) ✔

3. \(c = \sqrt{6{,}25} = \mathbf{2{,}5}\). Vérif : \(2{,}5 \times 2{,}5 = 6{,}25\) ✔

4. \(c = \sqrt{25} = \mathbf{5}\) m. La pièce mesure 5 m de côté.

5. \(c = \sqrt{12{,}25} = \mathbf{3{,}5}\) m. La pièce mesure 3,5 m de côté.

Partie D – Problème professionnel guidé 3 points

Un menuisier agenceur fabrique des panneaux de bois carrés de côté \(c\) mètres. Chaque panneau lui coûte \(C(c) = 30 \times c^2\) euros en matériaux.

1. (1 pt) REA Calculer le coût pour \(c = 1\) m, \(c = 2\) m, \(c = 3\) m :
\(C(1) = 30 \times 1^2 = 30 \times\)     \(=\)     €
\(C(2) = 30 \times 2^2 = 30 \times\)     \(=\)     €
\(C(3) = 30 \times 3^2 = 30 \times\)     \(=\)     €

2. (1 pt) REA Quel est le coût d'un panneau de côté \(c = 2{,}5\) m ?
\(C(2{,}5) = 30 \times (2{,}5)^2 = 30 \times\) \(=\) €

3. (1 pt) COM Si le menuisier double le côté (passe de 1 m à 2 m), le coût est-il multiplié par 2 ? Par combien est-il multiplié ? Justifier à l'aide des calculs de la question 1.

1. \(C(1) = 30 \times 1 = 30\,\text{€}\) | \(C(2) = 30 \times 4 = 120\,\text{€}\) | \(C(3) = 30 \times 9 = 270\,\text{€}\)

2. \(C(2{,}5) = 30 \times 6{,}25 = \mathbf{187{,}5}\,\text{€}\)

3. \(C(1) = 30\,\text{€}\) et \(C(2) = 120\,\text{€}\). On passe de 30 à 120 : le coût est multiplié par \(\frac{120}{30} = \mathbf{4}\), pas par 2.
Quand on double le côté, on multiplie la surface par 4, donc le coût aussi est multiplié par 4.

Standard

Partie A – Calculs d'images 5 points

1 pt par question correcte.

1. REA Calculer \(f(-6)\) pour \(f(x) = x^2\). (1 pt)

2. REA Calculer \(g(3)\) pour \(g(x) = x^2 + 4\). (1 pt)

3. REA Calculer \(f(1{,}5)\) pour \(f(x) = x^2\). (1 pt)

4. REA Calculer \(h(5)\) pour \(h(x) = 2x^2\). (1 pt)

5. REA Calculer \(p(0)\), \(p(-3)\), \(p(4)\) pour \(p(x) = x^2 - 1\). (1 pt)

1. \(f(-6) = (-6)^2 = \mathbf{36}\)

2. \(g(3) = 3^2 + 4 = 9 + 4 = \mathbf{13}\)

3. \(f(1{,}5) = (1{,}5)^2 = \mathbf{2{,}25}\)

4. \(h(5) = 2 \times 5^2 = 2 \times 25 = \mathbf{50}\)

5. \(p(0) = -1\) | \(p(-3) = 9 - 1 = 8\) | \(p(4) = 16 - 1 = 15\)

Partie B – Tableau de valeurs et variations 7 points

1. (2 pts) REA Compléter le tableau de valeurs de \(f(x) = x^2\) :

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)\)

2. (1 pt) ANA Sur quel(s) intervalle(s) la fonction \(f\) est-elle décroissante ? croissante ?

3. (2 pts) REA Compléter le tableau de valeurs de \(g(x) = x^2 + 3\) :

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(g(x)\)

4. (2 pts) APP ANA Comparer les tableaux de \(f\) et \(g\). Quel est le minimum de \(g\) ? En quoi la courbe de \(g\) diffère-t-elle de celle de \(f\) ?

1. \(f(-3)=9\), \(f(-2)=4\), \(f(-1)=1\), \(f(0)=0\), \(f(1)=1\), \(f(2)=4\), \(f(3)=9\)

2. \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Minimum = 0 en \(x = 0\).

3. \(g(-3)=12\), \(g(-2)=7\), \(g(-1)=4\), \(g(0)=3\), \(g(1)=4\), \(g(2)=7\), \(g(3)=12\)

4. Les valeurs de \(g\) sont toutes 3 de plus que celles de \(f\). Minimum de \(g\) = 3 en \(x = 0\). La courbe de \(g\) est la même parabole décalée de 3 unités vers le haut.

Partie C – Équations et résolution 5 points

1 pt par équation. Montrer toutes les étapes.

1. REA Résoudre \(x^2 = 25\). (1 pt)

2. REA Résoudre \(x^2 = 3\) (solutions exactes). (1 pt)

3. REA Résoudre \(x^2 = 0\). (1 pt)

4. VAL Résoudre \(x^2 = -1\). Justifier. (1 pt)

5. REA Résoudre \(2x^2 = 18\). (1 pt)

1. \(x^2 = 25 \Rightarrow x = 5\) ou \(x = -5\). \(\mathcal{S} = \{-5\,;\,5\}\).

2. \(x^2 = 3 \Rightarrow x = \sqrt{3}\) ou \(x = -\sqrt{3}\). \(\mathcal{S} = \{-\sqrt{3}\,;\,\sqrt{3}\}\).

3. \(x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\). \(\mathcal{S} = \{0\}\).

4. Aucune solution : \(x^2 \geq 0\) toujours, donc \(x^2 = -1\) est impossible. \(\mathcal{S} = \emptyset\).

5. \(2x^2 = 18 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\) ou \(x = -3\). \(\mathcal{S} = \{-3\,;\,3\}\).

Partie D – Problème ouvert 3 points

Un menuisier agenceur délimite une zone de stockage carrée dans un entrepôt. Il dispose de 36 mètres de cloison pour en faire le tour.

1. (1 pt) REA Exprimer la longueur du côté \(c\) du carré en fonction du périmètre \(P\). Calculer \(c\).

2. (1 pt) REA Calculer l'aire de la zone de stockage.

3. (1 pt) COM Si le menuisier dispose de 48 m de cloison au lieu de 36 m, l'aire est-elle multipliée par le même rapport que le périmètre ? Justifier par le calcul.

1. \(P = 4c\), donc \(c = \dfrac{P}{4} = \dfrac{36}{4} = 9\) m.

2. \(A = c^2 = 9^2 = \mathbf{81}\) m² — une zone de 9 m sur 9 m.

3. Avec 48 m : \(c' = \dfrac{48}{4} = 12\) m, \(A' = 12^2 = 144\) m².
Rapport des périmètres : \(\dfrac{48}{36} = \dfrac{4}{3}\). Rapport des aires : \(\dfrac{144}{81} = \dfrac{16}{9} = \left(\dfrac{4}{3}\right)^2\).
Non, l'aire est multipliée par le carré du rapport des côtés.

Approfondissement

Partie A – Calculs d'images et analyse 5 points

Justifier toutes les réponses. Rédaction soignée attendue.

1. (1 pt) ANA Calculer \(f(-6)\), \(f(6)\), \(f(-6) - f(6)\). Que remarque-t-on ? Généraliser.

2. (1 pt) VAL Comparer \(f(a)\) et \(f(-a)\) pour un réel \(a\) quelconque. Justifier à l'aide de la définition \(f(x) = x^2\).

3. (1 pt) REA Pour \(h(x) = 3x^2 - 5\), calculer \(h(0)\), \(h(2)\), \(h(-2)\). Quel est le minimum de \(h\) ?

4. (1 pt) COM Expliquer sans calcul pourquoi \(f(x) = x^2\) n'admet pas de valeur négative. Quelle conclusion peut-on en tirer sur la courbe ?

5. (1 pt) APP ANA Pour \(g(x) = x^2 + k\) où \(k\) est un réel donné, quel est le minimum de \(g\) ? Pour quelle valeur de \(x\) est-il atteint ? Donner une réponse générale en fonction de \(k\).

1. \(f(-6) = 36\), \(f(6) = 36\), \(f(-6) - f(6) = 0\). Les deux valeurs sont égales. Généralisation : \(f(-a) = f(a)\) pour tout réel \(a\) (propriété de symétrie).

2. \(f(-a) = (-a)^2 = (-a)(-a) = a^2 = f(a)\). Donc \(f(-a) = f(a)\) pour tout réel \(a\) : la fonction carré est une fonction paire.

3. \(h(0) = -5\) | \(h(2) = 12 - 5 = 7\) | \(h(-2) = 7\). Minimum = \(h(0) = \mathbf{-5}\), atteint en \(x = 0\).

4. \(f(x) = x^2 = x \times x\). Un nombre multiplié par lui-même est toujours \(\geq 0\) (positif ou nul). La courbe (parabole) est donc entièrement au-dessus ou sur l'axe des abscisses.

5. Minimum de \(g(x) = x^2 + k\) : c'est \(\mathbf{k}\), atteint en \(x = 0\). En effet, \(x^2 \geq 0\) donc \(x^2 + k \geq k\).

Partie B – Variations et lecture graphique 7 points

1. (2 pts) REA Compléter les tableaux de valeurs de \(f(x) = x^2\), \(g(x) = -x^2\) et \(h(x) = 2x^2\) pour \(x \in \{-3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3\}\). Présenter les trois tableaux côte à côte.

2. (2 pts) ANA Pour \(g(x) = -x^2\) :
• La courbe est-elle une parabole ouverte vers le haut ou vers le bas ? Justifier.
• \(g\) admet-elle un maximum ou un minimum ? Donner la valeur.

3. (1 pt) REA Résoudre \(f(x) = g(x)\), c'est-à-dire \(x^2 = -x^2\). Que peut-on en déduire graphiquement ?

4. (2 pts) ANA Sans calculer, classer dans l'ordre croissant : \(h(1)\), \(h(4)\), \(h(-2)\), \(h(0)\) pour \(h(x) = 2x^2\). Justifier en utilisant les variations de \(h\).

1. Tableaux :

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)=x^2\)	9	4	1	1	4	9
\(g(x)=-x^2\)	−9	−4	−1	−1	−4	−9
\(h(x)=2x^2\)	18	8	2	2	8	18

2. La courbe de \(g(x) = -x^2\) est une parabole ouverte vers le bas (coefficient de \(x^2\) négatif). \(g\) admet un maximum de 0 en \(x = 0\).

3. \(x^2 = -x^2 \Rightarrow 2x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\). Graphiquement, les deux courbes se croisent uniquement en l'origine \((0\,;\,0)\).

4. \(h(x) = 2x^2 \geq 0\) avec minimum en \(x = 0\). \(h\) est paire donc \(h(-2) = h(2)\). Ordre croissant des \(|x|\) : \(0 < 1 < 2 = |-2| < 4\). Donc : \(h(0) < h(1) < h(-2) < h(4)\), soit \(0 < 2 < 8 < 32\).

Partie C – Résolution d'équations et d'inéquations 5 points

Rédiger soigneusement. Indiquer l'ensemble de solutions \(\mathcal{S}\).

1. (1 pt) REA Résoudre \(x^2 = 25\). Puis résoudre \(x^2 < 25\) (ensemble d'intervalles).

2. (1 pt) REA Résoudre \(x^2 \geq 4\). Écrire la solution sous forme de réunion d'intervalles.

3. (1 pt) REA Résoudre \(3x^2 - 27 = 0\). Montrer toutes les étapes.

4. (1 pt) VAL Résoudre \(x^2 + 5 = 2\). Justifier l'absence éventuelle de solution.

5. (1 pt) COM Résoudre \(x^2 + 5 > 2\). L'ensemble de solutions est-il surprenant ? Expliquer.

1. \(x^2 = 25 \Rightarrow \mathcal{S} = \{-5\,;\,5\}\). \(x^2 < 25 \Rightarrow \mathcal{S} = ]-5\,;\,5[\) (courbe strictement sous la droite \(y = 25\)).

2. \(x^2 \geq 4 \Rightarrow \mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-2] \cup [2\,;\,+\infty[\).

3. \(3x^2 = 27 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\) ou \(x = -3\). \(\mathcal{S} = \{-3\,;\,3\}\).

4. \(x^2 = 2 - 5 = -3\). Or \(x^2 \geq 0\) toujours, donc \(x^2 = -3\) est impossible. \(\mathcal{S} = \emptyset\).

5. \(x^2 + 5 > 2 \Leftrightarrow x^2 > -3\). Or \(x^2 \geq 0 > -3\) toujours : l'inégalité est vérifiée pour tout réel \(x\). \(\mathcal{S} = \mathbb{R}\) (l'ensemble des réels). Ce n'est pas surprenant : on compare une quantité toujours positive à un nombre négatif.

Partie D – Problème ouvert : optimisation de surface 3 points

⚠ Au-delà du programme — Le trinôme complet \(A(x) = -x^2 + 10x\) (avec un terme en \(x\)) dépasse le programme de Seconde Bac Pro (limité à \(x^2\), \(x^2+k\) et \(kx^2\)). Cette partie est proposée comme prolongement vers le BTS : l'aire se lit ici dans un tableau de valeurs, sans étude formelle du trinôme.

Un agenceur doit délimiter une zone de travail rectangulaire dans un atelier. Il dispose de 20 mètres de cloison pour entourer les 4 côtés d'un rectangle de côtés \(x\) et \(y\) (en mètres).

1. (0,5 pt) REA Écrire la contrainte sur le périmètre : \(2x + 2y = 20\). En déduire \(y\) en fonction de \(x\).

2. (0,5 pt) ANA Exprimer l'aire \(A(x) = x \cdot y\) en fonction de \(x\) seul. Développer pour obtenir la forme \(A(x) = -x^2 + 10x\).

3. (1 pt) REA Compléter le tableau suivant et identifier la valeur de \(x\) qui semble maximiser l'aire :

\(x\)	1	2	3	4	5	6	7
\(A(x)\)

4. (1 pt) COM Quelle forme géométrique donne la surface maximale ? Calculer cette aire maximale. Conclure en rédigeant une réponse complète à l'agenceur.

1. \(2x + 2y = 20 \Rightarrow y = 10 - x\).

2. \(A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2 = -x^2 + 10x\).

3. Tableau :

\(x\)	1	2	3	4	5	6	7
\(A(x)\)	9	16	21	24	25	24	21

Le maximum semble atteint pour \(x = 5\).

4. Pour \(x = 5\) : \(y = 10 - 5 = 5\). La zone est un carré de 5 m de côté. Aire maximale = \(5^2 = \mathbf{25 \text{ m}^2}\).
Réponse : L'agenceur doit tracer un carré de 5 m de côté pour obtenir la surface de travail maximale de 25 m².