Devoir Surveillé – Chapitre 10

Fonction carré et variations | 2^de Pro MA-MA

Dernière mise à jour : 14 mars 2026

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Connaître la fonction carré f(x) = x² et tracer sa parabole
Identifier les variations de la fonction carré (décroissante puis croissante)
Reconnaître l'allure d'une fonction du type f(x) = ax² + bx + c
Déterminer graphiquement le sommet d'une parabole

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Socle

Rappels utiles :
• \(f(x) = x^2\) : pour calculer l'image de \(a\), on calcule \(a \times a\).
• \((-a)^2 = a^2\) : le carré d'un nombre négatif est positif.
• \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
• Pour trouver \(c\) tel que \(c^2 = k\) (avec \(k \geq 0\) et \(c > 0\)) : \(c = \sqrt{k}\).

Partie A – Calculs d'images 5 points

1 pt par question. Calcul = multiplier par soi-même.

1. Calculer \(f(4)\) pour \(f(x) = x^2\).
\(f(4) = 4 \times \) \(=\)

2. Calculer \(f(-4)\) pour \(f(x) = x^2\).
\(f(-4) = (-4) \times \) \(=\)
(Rappel : un nombre négatif au carré est positif)

3. Calculer \(f(0)\).
\(f(0) = 0 \times 0 =\)

4. Calculer \(f(1{,}5)\).
\(f(1{,}5) = 1{,}5 \times 1{,}5 =\)

5. Calculer \(g(3)\) pour \(g(x) = x^2 + 5\).
\(g(3) = 3^2 + 5 = \) \(+ 5 =\)

1. \(f(4) = 4 \times 4 = \mathbf{16}\)

2. \(f(-4) = (-4) \times (-4) = \mathbf{16}\). On remarque \(f(4) = f(-4)\) : symétrie !

3. \(f(0) = 0 \times 0 = \mathbf{0}\)

4. \(f(1{,}5) = 1{,}5 \times 1{,}5 = \mathbf{2{,}25}\)

5. \(g(3) = 9 + 5 = \mathbf{14}\)

Partie B – Tableau de valeurs et variations 7 points

1. (2 pts) Compléter le tableau de valeurs de \(f(x) = x^2\) (calcule \(x \times x\) pour chaque case) :

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x) = x^2\)

2. (2 pts) En regardant le tableau, répondre :
• De \(-3\) à \(0\), les valeurs de \(f(x)\) diminuent / augmentent (entourer). Donc \(f\) est :

• De \(0\) à \(3\), les valeurs de \(f(x)\) diminuent / augmentent (entourer). Donc \(f\) est :

3. (1 pt) La valeur minimale de \(f(x) = x^2\) est :

Elle est atteinte pour \(x =\) ……

4. (2 pts) On donne \(h(x) = x^2 + 2\). Compléter :
Pour obtenir \(h(x)\), on ajoute …… à \(f(x)\). Le minimum de \(h\) est donc ……, atteint en \(x =\) ……

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)\)	9	4	1	0	1	4	9

2. De \(-3\) à \(0\) : les valeurs diminuent (9 → 4 → 1 → 0) → \(f\) est décroissante.
De \(0\) à \(3\) : les valeurs augmentent (0 → 1 → 4 → 9) → \(f\) est croissante.

3. Valeur minimale : \(f(0) = \mathbf{0}\), atteinte en \(x = 0\).

4. On ajoute 2 à \(f(x)\). Minimum de \(h\) : \(\mathbf{2}\), atteint en \(x = 0\).

Partie C – Trouver un côté connaissant la surface 5 points

1 pt par question. Montrer les calculs.

Rappel : si \(c^2 = k\) et \(c > 0\), alors \(c = \sqrt{k}\).
Exemples : \(\sqrt{9} = 3\) | \(\sqrt{16} = 4\) | \(\sqrt{25} = 5\)

1. Trouver \(c > 0\) tel que \(c^2 = 9\).
\(c = \sqrt{9} =\)

2. Trouver \(c > 0\) tel que \(c^2 = 16\).
\(c = \sqrt{16} =\)

3. Trouver \(c > 0\) tel que \(c^2 = 6{,}25\).
Indice : \(2{,}5 \times 2{,}5 =\) ……

4. Un menuisier fabrique un panneau carré d'exactement 25 m². Quel est le côté \(c\) du panneau ?

5. Un agenceur pose un carrelage dans une pièce carrée. La surface de la pièce est 12,25 m².
\(c^2 = 12{,}25\) donc \(c = \sqrt{12{,}25} =\) m.
Indice : \(3{,}5 \times 3{,}5 =\) ……

1. \(c = \sqrt{9} = \mathbf{3}\). Vérif : \(3^2 = 9\) ✔

2. \(c = \sqrt{16} = \mathbf{4}\). Vérif : \(4^2 = 16\) ✔

3. \(c = \sqrt{6{,}25} = \mathbf{2{,}5}\). Vérif : \(2{,}5 \times 2{,}5 = 6{,}25\) ✔

4. \(c = \sqrt{25} = \mathbf{5}\) m. Le panneau mesure 5 m de côté.

5. \(c = \sqrt{12{,}25} = \mathbf{3{,}5}\) m. La pièce mesure 3,5 m de côté.

Partie D – Problème professionnel guidé 3 points

Un menuisier agenceur fabrique des panneaux de bois carrés de côté \(c\) mètres. Chaque panneau lui coûte \(C(c) = 30 \times c^2\) euros en matériaux.

1. (1 pt) Calculer le coût pour \(c = 1\) m, \(c = 2\) m, \(c = 3\) m :
\(C(1) = 30 \times 1^2 = 30 \times\)     \(=\)     €
\(C(2) = 30 \times 2^2 = 30 \times\)     \(=\)     €
\(C(3) = 30 \times 3^2 = 30 \times\)     \(=\)     €

2. (1 pt) Quel est le coût d'un panneau de côté \(c = 2{,}5\) m ?
\(C(2{,}5) = 30 \times (2{,}5)^2 = 30 \times\) \(=\) €

3. (1 pt) Si le menuisier double le côté (passe de 1 m à 2 m), le coût est-il multiplié par 2 ? Par combien est-il multiplié ? Justifier à l'aide des calculs de la question 1.

1. \(C(1) = 30 \times 1 = 30\,€\) | \(C(2) = 30 \times 4 = 120\,€\) | \(C(3) = 30 \times 9 = 270\,€\)

2. \(C(2{,}5) = 30 \times 6{,}25 = \mathbf{187{,}5}\,€\)

3. \(C(1) = 30\,€\) et \(C(2) = 120\,€\). On passe de 30 à 120 : le coût est multiplié par \(\frac{120}{30} = \mathbf{4}\), pas par 2.
Quand on double le côté, on multiplie la surface par 4, donc le coût aussi est multiplié par 4.

Standard

Partie A – Calculs d'images 5 points

1 pt par question correcte.

1. Calculer \(f(-6)\) pour \(f(x) = x^2\).

2. Calculer \(g(3)\) pour \(g(x) = x^2 + 4\).

3. Calculer \(f(1{,}5)\) pour \(f(x) = x^2\).

4. Calculer \(h(5)\) pour \(h(x) = 2x^2\).

5. Calculer \(p(0)\), \(p(-3)\), \(p(4)\) pour \(p(x) = x^2 - 1\).

1. \(f(-6) = (-6)^2 = \mathbf{36}\)

2. \(g(3) = 3^2 + 4 = 9 + 4 = \mathbf{13}\)

3. \(f(1{,}5) = (1{,}5)^2 = \mathbf{2{,}25}\)

4. \(h(5) = 2 \times 5^2 = 2 \times 25 = \mathbf{50}\)

5. \(p(0) = -1\) | \(p(-3) = 9 - 1 = 8\) | \(p(4) = 16 - 1 = 15\)

Partie B – Tableau de valeurs et variations 7 points

1. (2 pts) Compléter le tableau de valeurs de \(f(x) = x^2\) :

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)\)

2. (1 pt) Sur quel(s) intervalle(s) la fonction \(f\) est-elle décroissante ? croissante ?

3. (2 pts) Compléter le tableau de valeurs de \(g(x) = x^2 + 3\) :

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(g(x)\)

4. (2 pts) Comparer les tableaux de \(f\) et \(g\). Quel est le minimum de \(g\) ? En quoi la courbe de \(g\) diffère-t-elle de celle de \(f\) ?

1. \(f(-3)=9\), \(f(-2)=4\), \(f(-1)=1\), \(f(0)=0\), \(f(1)=1\), \(f(2)=4\), \(f(3)=9\)

2. \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Minimum = 0 en \(x = 0\).

3. \(g(-3)=12\), \(g(-2)=7\), \(g(-1)=4\), \(g(0)=3\), \(g(1)=4\), \(g(2)=7\), \(g(3)=12\)

4. Les valeurs de \(g\) sont toutes 3 de plus que celles de \(f\). Minimum de \(g\) = 3 en \(x = 0\). La courbe de \(g\) est la même parabole décalée de 3 unités vers le haut.

Partie C – Équations et résolution 5 points

1 pt par équation. Montrer toutes les étapes.

1. Résoudre \(x^2 = 25\).

2. Résoudre \(x^2 = 3\) (solutions exactes).

3. Résoudre \(x^2 = 0\).

4. Résoudre \(x^2 = -1\). Justifier.

5. Résoudre \(2x^2 = 18\).

1. \(x^2 = 25 \Rightarrow x = 5\) ou \(x = -5\). \(\mathcal{S} = \{-5\,;\,5\}\).

2. \(x^2 = 3 \Rightarrow x = \sqrt{3}\) ou \(x = -\sqrt{3}\). \(\mathcal{S} = \{-\sqrt{3}\,;\,\sqrt{3}\}\).

3. \(x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\). \(\mathcal{S} = \{0\}\).

4. Aucune solution : \(x^2 \geq 0\) toujours, donc \(x^2 = -1\) est impossible. \(\mathcal{S} = \emptyset\).

5. \(2x^2 = 18 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\) ou \(x = -3\). \(\mathcal{S} = \{-3\,;\,3\}\).

Partie D – Problème ouvert 3 points

Un menuisier agenceur veut fabriquer un panneau carré. Il dispose d'une planche dont le périmètre est de 36 mètres.

1. (1 pt) Exprimer la longueur du côté \(c\) du carré en fonction du périmètre \(P\). Calculer \(c\).

2. (1 pt) Calculer l'aire du panneau.

3. (1 pt) Si le menuisier dispose d'une planche de périmètre 48 m au lieu de 36 m, l'aire est-elle multipliée par le même rapport que le périmètre ? Justifier par le calcul.

1. \(P = 4c\), donc \(c = \dfrac{P}{4} = \dfrac{36}{4} = 9\) m.

2. \(A = c^2 = 9^2 = \mathbf{81}\) m².

3. Avec 48 m : \(c' = \dfrac{48}{4} = 12\) m, \(A' = 12^2 = 144\) m².
Rapport des périmètres : \(\dfrac{48}{36} = \dfrac{4}{3}\). Rapport des aires : \(\dfrac{144}{81} = \dfrac{16}{9} = \left(\dfrac{4}{3}\right)^2\).
Non, l'aire est multipliée par le carré du rapport des côtés.

Approfondissement

Partie A – Calculs d'images et analyse 5 points

Justifier toutes les réponses. Rédaction soignée attendue.

1. (1 pt) Calculer \(f(-6)\), \(f(6)\), \(f(-6) - f(6)\). Que remarque-t-on ? Généraliser.

2. (1 pt) Comparer \(f(a)\) et \(f(-a)\) pour un réel \(a\) quelconque. Justifier à l'aide de la définition \(f(x) = x^2\).

3. (1 pt) Pour \(h(x) = 3x^2 - 5\), calculer \(h(0)\), \(h(2)\), \(h(-2)\). Quel est le minimum de \(h\) ?

4. (1 pt) Expliquer sans calcul pourquoi \(f(x) = x^2\) n'admet pas de valeur négative. Quelle conclusion peut-on en tirer sur la courbe ?

5. (1 pt) Pour \(g(x) = x^2 + k\) où \(k\) est un réel donné, quel est le minimum de \(g\) ? Pour quelle valeur de \(x\) est-il atteint ? Donner une réponse générale en fonction de \(k\).

1. \(f(-6) = 36\), \(f(6) = 36\), \(f(-6) - f(6) = 0\). Les deux valeurs sont égales. Généralisation : \(f(-a) = f(a)\) pour tout réel \(a\) (propriété de symétrie).

2. \(f(-a) = (-a)^2 = (-a)(-a) = a^2 = f(a)\). Donc \(f(-a) = f(a)\) pour tout réel \(a\) : la fonction carré est une fonction paire.

3. \(h(0) = -5\) | \(h(2) = 12 - 5 = 7\) | \(h(-2) = 7\). Minimum = \(h(0) = \mathbf{-5}\), atteint en \(x = 0\).

4. \(f(x) = x^2 = x \times x\). Un nombre multiplié par lui-même est toujours \(\geq 0\) (positif ou nul). La courbe (parabole) est donc entièrement au-dessus ou sur l'axe des abscisses.

5. Minimum de \(g(x) = x^2 + k\) : c'est \(\mathbf{k}\), atteint en \(x = 0\). En effet, \(x^2 \geq 0\) donc \(x^2 + k \geq k\).

Partie B – Variations et lecture graphique 7 points

1. (2 pts) Compléter les tableaux de valeurs de \(f(x) = x^2\), \(g(x) = -x^2\) et \(h(x) = 2x^2\) pour \(x \in \{-3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3\}\). Présenter les trois tableaux côte à côte.

2. (2 pts) Pour \(g(x) = -x^2\) :
• La courbe est-elle une parabole ouverte vers le haut ou vers le bas ? Justifier.
• \(g\) admet-elle un maximum ou un minimum ? Donner la valeur.

3. (1 pt) Résoudre \(f(x) = g(x)\), c'est-à-dire \(x^2 = -x^2\). Que peut-on en déduire graphiquement ?

4. (2 pts) Sans calculer, classer dans l'ordre croissant : \(h(1)\), \(h(4)\), \(h(-2)\), \(h(0)\) pour \(h(x) = 2x^2\). Justifier en utilisant les variations de \(h\).

1. Tableaux :

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)=x^2\)	9	4	1	1	4	9
\(g(x)=-x^2\)	−9	−4	−1	−1	−4	−9
\(h(x)=2x^2\)	18	8	2	2	8	18

2. La courbe de \(g(x) = -x^2\) est une parabole ouverte vers le bas (coefficient de \(x^2\) négatif). \(g\) admet un maximum de 0 en \(x = 0\).

3. \(x^2 = -x^2 \Rightarrow 2x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\). Graphiquement, les deux courbes se croisent uniquement en l'origine \((0\,;\,0)\).

4. \(h(x) = 2x^2 \geq 0\) avec minimum en \(x = 0\). \(h\) est paire donc \(h(-2) = h(2)\). Ordre croissant des \(|x|\) : \(0 < 1 < 2 = |-2| < 4\). Donc : \(h(0) < h(1) < h(-2) < h(4)\), soit \(0 < 2 < 8 < 32\).

Partie C – Résolution d'équations et d'inéquations 5 points

Rédiger soigneusement. Indiquer l'ensemble de solutions \(\mathcal{S}\).

1. (1 pt) Résoudre \(x^2 = 25\). Puis résoudre \(x^2 < 25\) (ensemble d'intervalles).

2. (1 pt) Résoudre \(x^2 \geq 4\). Écrire la solution sous forme de réunion d'intervalles.

3. (1 pt) Résoudre \(3x^2 - 27 = 0\). Montrer toutes les étapes.

4. (1 pt) Résoudre \(x^2 + 5 = 2\). Justifier l'absence éventuelle de solution.

5. (1 pt) Résoudre \(x^2 + 5 > 2\). L'ensemble de solutions est-il surprenant ? Expliquer.

1. \(x^2 = 25 \Rightarrow \mathcal{S} = \{-5\,;\,5\}\). \(x^2 < 25 \Rightarrow \mathcal{S} = ]-5\,;\,5[\) (courbe strictement sous la droite \(y = 25\)).

2. \(x^2 \geq 4 \Rightarrow \mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-2] \cup [2\,;\,+\infty[\).

3. \(3x^2 = 27 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\) ou \(x = -3\). \(\mathcal{S} = \{-3\,;\,3\}\).

4. \(x^2 = 2 - 5 = -3\). Or \(x^2 \geq 0\) toujours, donc \(x^2 = -3\) est impossible. \(\mathcal{S} = \emptyset\).

5. \(x^2 + 5 > 2 \Leftrightarrow x^2 > -3\). Or \(x^2 \geq 0 > -3\) toujours : l'inégalité est vérifiée pour tout réel \(x\). \(\mathcal{S} = \mathbb{R}\) (l'ensemble des réels). Ce n'est pas surprenant : on compare une quantité toujours positive à un nombre négatif.

Partie D – Problème ouvert : optimisation de surface 3 points

Un agenceur doit délimiter une zone de travail rectangulaire dans un atelier. Il dispose de 20 mètres de cloison pour entourer les 4 côtés d'un rectangle de côtés \(x\) et \(y\) (en mètres).

1. (0,5 pt) Écrire la contrainte sur le périmètre : \(2x + 2y = 20\). En déduire \(y\) en fonction de \(x\).

2. (0,5 pt) Exprimer l'aire \(A(x) = x \cdot y\) en fonction de \(x\) seul. Développer pour obtenir la forme \(A(x) = -x^2 + 10x\).

3. (1 pt) Compléter le tableau suivant et identifier la valeur de \(x\) qui semble maximiser l'aire :

\(x\)	1	2	3	4	5	6	7
\(A(x)\)

4. (1 pt) Quelle forme géométrique donne la surface maximale ? Calculer cette aire maximale. Conclure en rédigeant une réponse complète à l'agenceur.

1. \(2x + 2y = 20 \Rightarrow y = 10 - x\).

2. \(A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2 = -x^2 + 10x\).

3. Tableau :

\(x\)	1	2	3	4	5	6	7
\(A(x)\)	9	16	21	24	25	24	21

Le maximum semble atteint pour \(x = 5\).

4. Pour \(x = 5\) : \(y = 10 - 5 = 5\). La zone est un carré de 5 m de côté. Aire maximale = \(5^2 = \mathbf{25 \text{ m}^2}\).
Réponse : L'agenceur doit tracer un carré de 5 m de côté pour obtenir la surface de travail maximale de 25 m².