Chapitre 8 – Fonction linéaire et proportionnalité
2nde Bac Pro | Algèbre – Analyse | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 18:00
Avant de commencer, tu dois savoir…
reconnaître une situation de proportionnalité et son coefficient ;
déterminer l'image d'un nombre par une fonction ;
placer un point dans un repère.
Ce que tu vas savoir faire à la fin de ce chapitre :
C1 — Reconnaître une situation de proportionnalité et une fonction linéaire
C2 — Déterminer le coefficient de proportionnalité k
C3 — Calculer une image avec f(x) = kx
C4 — Construire le tableau de valeurs et tracer la droite
C5 — Lire graphiquement une fonction linéaire
C6 — Revenir à la quantité : résoudre kx = b
C7 — Résoudre un problème de proportionnalité
1. Introduction — La proportionnalité dans les métiers (C1)
🪵 Situation professionnelle — Atelier de menuiserie
Un menuisier achète des lames de parquet à 8 € le mètre linéaire.
Plus il achète de mètres, plus il paye. Et la relation est régulière : si on double la longueur, on double le prix.
C'est une situation de proportionnalité. On peut la modéliser par une fonction linéaire :
\[f(x) = 8x\]
où \(x\) est la longueur en mètres et \(f(x)\) le coût en euros.
On reconnaît une situation de proportionnalité quand, pour \(x \ne 0\), le rapport \(\dfrac{\text{valeur}}{x}\) est toujours le même.
Ce rapport constant s'appelle le coefficient de proportionnalité.
2. Situation de proportionnalité (C1)
Définition :
Deux grandeurs \(x\) et \(y\) sont proportionnelles s'il existe une constante \(k\) telle que \(y = kx\).
Pour \(x \ne 0\), on calcule \(k = \dfrac{y}{x}\) ; \(k\) s'appelle le coefficient de proportionnalité.
La relation \(y = kx\) reste valable pour \(x = 0\).
Comment reconnaître un tableau de proportionnalité ?
Méthode
Dans un tableau de proportionnalité, le quotient \(\dfrac{\text{2e ligne}}{\text{1re ligne}}\) est toujours le même pour chaque colonne où la valeur de la première ligne est non nulle.
Tarif d'un artisan : 30 € l'heure + 50 € de frais de déplacement.
Heures x
1
2
3
4
Coût y (€)
80
110
140
170
Vérification : \(\dfrac{80}{1} = 80\) mais \(\dfrac{110}{2} = 55\) → les rapports sont différents → pas proportionnel (à cause des 50 € fixes).
⚠ Attention :
Quand il y a une valeur fixe ajoutée (frais de déplacement, abonnement, frais fixes…), ce n'est pas une situation de proportionnalité.
Application
Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ? Justifier en calculant le rapport \(\dfrac{y}{x}\) pour chaque colonne.
x
2
5
8
10
y
6
15
24
30
\(\dfrac{6}{2}=3\) | \(\dfrac{15}{5}=3\) | \(\dfrac{24}{8}=3\) | \(\dfrac{30}{10}=3\)
Le rapport est constant = 3 → OUI, tableau de proportionnalité, avec \(k=3\), soit \(y=3x\).
3. Fonction linéaire (C1)
Définition :
Une fonction linéaire est une fonction de la forme :
\[f(x) = kx\]
où \(k\) est un nombre fixe, appelé coefficient de proportionnalité (ou coefficient de la fonction). Il n'y a aucun terme ajouté : ni \(+2\), ni \(-5\).
La fonction linéaire est exactement la traduction algébrique d'une situation de proportionnalité.
Remarque — Deux lettres pour le même nombre
Ce coefficient se note \(k\) quand on pense « proportionnalité ». Quand on pense à la droite, on le note souvent \(a\) et on l'appelle coefficient directeur, parce qu'il en donne l'inclinaison : ce sera le vocabulaire du chapitre 9 sur la fonction affine. \(f(x) = kx\) et \(f(x) = ax\) désignent la même chose. Ce cours écrit \(k\).
Propriétés fondamentales :
\(f(0) = k \times 0 = \mathbf{0}\) → la courbe passe toujours par l'origine du repère.
\(f(1) = k\) → l'image de 1 donne directement le coefficient.
Si \(k > 0\) : \(f\) est croissante (plus x augmente, plus f(x) augmente).
Si \(k < 0\) : \(f\) est décroissante (plus x augmente, plus f(x) diminue).
Cas particulier \(k = 0\) : \(f(x) = 0\) pour tout \(x\) — la droite est confondue avec l'axe des abscisses.
Exemple 3 — Reconnaître le coefficient
Un peintre consomme 0,35 L de peinture par m². Soit \(C(s) = 0{,}35\,s\) où \(s\) est la surface.
a
Coefficient de proportionnalité : \(k = 0{,}35\) L/m²
b
\(C(20) = 0{,}35 \times 20 = 7\) L — pour 20 m², il faut 7 L de peinture.
c
\(C(0) = 0\) — logique : sans surface, pas de peinture.
Application
Soit \(f(x) = 5x\). Calculer \(f(4)\), \(f(0)\) et \(f(-2)\). Puis trouver l'antécédent de 35.
Méthode — Trouver le coefficient \(k\) :
Si on connaît un couple \((x_0 ; y_0)\) d'une situation proportionnelle, avec \(x_0 \neq 0\), alors :
\[k = \frac{y_0}{x_0}\]
On peut ensuite vérifier avec d'autres valeurs du tableau.
Exemple 4 — Déterminer f à partir d'un tableau
Un ouvrier pose 12 lames de plancher en 3 heures. Quelle est la fonction qui donne le nombre de lames en fonction du temps ?
1
On sait que \(f(3) = 12\).
2
On calcule \(k = \dfrac{12}{3} = 4\). Il pose 4 lames par heure.
3
La fonction est : \(f(t) = 4t\)
4
Vérification : en 5 h → \(f(5) = 20\) lames. En 8 h → \(f(8) = 32\) lames.
Exemple 5 — Trouver \(k\) depuis une image
Soit \(f(x) = kx\). On sait que \(f(6) = 15\). Trouver \(k\).
1
\(f(6) = k \times 6 = 15\)
2
\(k = \dfrac{15}{6} = 2{,}5\)
3
La fonction est : \(f(x) = 2{,}5x\)
Application — Trouver le coefficient
Soit \(f(x) = kx\) avec \(f(4) = 5\). Trouver \(k\), puis calculer \(f(6)\) et \(f(1)\).
Un plombier chauffagiste pose 18 m de tube de cuivre en 3 heures. Écrire la fonction linéaire donnant la longueur posée en fonction du temps, puis calculer la longueur posée en 7 heures.
1. \(k = \dfrac{5}{4} = 1{,}25\). La fonction est \(f(x) = 1{,}25x\).
\(f(6) = 1{,}25 \times 6 = 7{,}5\) | \(f(1) = 1{,}25\). 2. \(k = \dfrac{18}{3} = 6\) m/h. Fonction : \(f(h) = 6h\).
En 7 h : \(f(7) = 6 \times 7 = 42\) m de tube posés.
5. Calculer une image (C3)
Méthode — Calculer \(f(x_0)\)
remplacer la variable par la valeur demandée, entre parenthèses si elle est négative ;
effectuer la multiplication par \(k\) ;
écrire le résultat avec son unité, puis une phrase de réponse.
Exemple — Production d'une installation photovoltaïque
Une installation produit 170 kWh par mètre carré et par an. Pour une surface \(s\) de panneaux, la production annuelle est \(P(s) = 170\,s\).
1
\(P(12) = 170 \times 12 = 2\,040\)
2
Douze mètres carrés de panneaux produisent 2 040 kWh par an.
Application — Trois images
Un atelier consomme 0,3 L de vernis par mètre carré : \(V(x) = 0{,}3x\). Calculer \(V(3)\), \(V(7{,}5)\) et \(V(12)\), avec les unités.
\(V(3) = 0{,}3 \times 3 = 0{,}9\) L | \(V(7{,}5) = 0{,}3 \times 7{,}5 = 2{,}25\) L | \(V(12) = 0{,}3 \times 12 = 3{,}6\) L.
6. Revenir à la quantité : résoudre \(kx = b\) (C6)
Jusqu'ici, on part de la quantité pour obtenir le montant. Sur un chantier, la question se pose très souvent dans l'autre sens : « avec ce budget, quelle longueur puis-je acheter ? » On connaît alors la sortie et l'on cherche l'entrée.
Définition — Antécédent :
Si \(f(x) = b\), on dit que \(x\) est un antécédent de \(b\) par \(f\).
Pour une fonction linéaire \(f(x) = kx\) avec \(k \neq 0\), chercher l'antécédent de \(b\), c'est résoudre l'équation \(kx = b\), dont la solution est \(x = \dfrac{b}{k}\).
Exemple — Évacuation de gravats
L'évacuation coûte 23 € par mètre cube : \(C(x) = 23x\). Le budget est de 322 €.
1
On écrit l'équation : \(23x = 322\).
2
On divise par 23 : \(x = \dfrac{322}{23} = 14\).
3
Vérification : \(C(14) = 23 \times 14 = 322\) €. Avec 322 €, on peut faire évacuer 14 m³ de gravats.
Attention — Image ou antécédent ?
Ce n'est pas le vocabulaire de l'énoncé qui décide, mais la grandeur donnée : entrée connue → on multiplie (image) ; sortie connue → on divise (antécédent).
Application — Deux retours en arrière
Des lames de bois coûtent 4,50 € le mètre : \(C(x) = 4{,}5x\). Quelle longueur peut-on acheter avec 90 € ? Vérifier.
Une peinture se consomme à raison de 0,125 L par mètre carré : \(V(s) = 0{,}125s\). Quelle surface peut-on couvrir avec 10 L ?
1. \(4{,}5x = 90\), donc \(x = \dfrac{90}{4{,}5} = 20\) m. Vérification : \(C(20) = 90\) €. 2. \(0{,}125s = 10\), donc \(s = \dfrac{10}{0{,}125} = 80\) m².
7. Tableau de valeurs d'une fonction linéaire (C4)
Pour construire un tableau de valeurs de \(f(x) = kx\), on choisit des valeurs de \(x\) et on multiplie par \(k\).
Le tableau est lui-même un tableau de proportionnalité.
Exemple 6 — Tableau pour f(x) = 3x
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
f(x) = 3x
−9
−6
−3
0
3
6
9
On vérifie : chaque valeur de f(x) est 3 fois la valeur de \(x\) correspondante.
Et surtout : \(f(0) = 0\) → la courbe passe par l'origine.
Application — Compléter un tableau de valeurs
Une imprimante 3D d'un atelier de menuiserie consomme \(f(x) = 4x\) grammes de filament pour \(x\) heures d'impression. Compléter le tableau de valeurs pour \(x = 1\), \(x = 2{,}5\), \(x = 6\) et \(x = 8\).
\(f(1) = 4 \times 1 = 4\) g | \(f(2{,}5) = 4 \times 2{,}5 = 10\) g
\(f(6) = 4 \times 6 = 24\) g | \(f(8) = 4 \times 8 = 32\) g
Chaque valeur est 4 fois la durée : le tableau est bien un tableau de proportionnalité.
8. Représentation graphique (C4)
La courbe représentative d'une fonction linéaire \(f(x) = kx\) est une droite passant par l'origine du repère.
Le coefficient \(k\) détermine la pente (inclinaison) de la droite :
\(k\) grand et positif → droite très inclinée vers le haut
\(k\) petit et positif → droite peu inclinée
\(k\) négatif → droite inclinée vers le bas
Toutes les droites d'une fonction linéaire passent par l'origine \((0\,;\,0)\).
Tracer la droite de \(f(x)=kx\)
Méthode
Une droite est déterminée par deux points. Pour une fonction linéaire, le premier est offert :
Premier point : l'origine \(O(0\,;\,0)\), puisque \(f(0)=0\) pour toute fonction linéaire — aucun calcul.
Deuxième point : choisir une valeur de \(x\) commode et calculer son image. Le plus simple est \(x=1\), qui donne le point \((1\,;\,k)\) ; si \(k\) est décimal, prendre plutôt \(x=2\), \(x=5\) ou \(x=10\) pour obtenir un point éloigné et bien placé.
Tracer à la règle la droite passant par ces deux points, en la prolongeant de part et d'autre.
Vérification : calculer un troisième point et contrôler qu'il tombe sur la droite tracée.
Attention
Plus les deux points choisis sont proches, plus le tracé est imprécis : une petite erreur de placement fait beaucoup pivoter la droite. Avec \(f(x)=0{,}4x\), le point \((1\,;\,0{,}4)\) est presque collé à l'origine — mieux vaut utiliser \((10\,;\,4)\).
Exemple 7 — Tracer la droite de \(f(x)=0{,}8x\)
1
\(f(0)=0\) → premier point : l'origine \(O(0\,;\,0)\).
2
\(k=0{,}8\) est décimal : on évite \(x=1\) et on prend \(x=5\). \(f(5)=0{,}8\times5=4\) → deuxième point : \(A(5\,;\,4)\).
3
On trace la droite \((OA)\) à la règle.
4
Vérification : \(f(10)=8\) ; le point \((10\,;\,8)\) est bien sur la droite tracée.
L'origine est toujours l'un des deux points d'une fonction linéaire.
Application — Tracer une droite
Un plaquiste facture la pose de cloisons 26 € le mètre carré : \(f(s)=26s\), où \(s\) est la surface en m².
Donner les coordonnées de deux points permettant de tracer la droite de \(f\).
Expliquer pourquoi \(s=1\) n'est pas le meilleur choix ici si le repère est gradué de 0 à 500 € en ordonnée.
1. \(f(0)=0\) → l'origine \(O(0\,;\,0)\) ; puis par exemple \(f(15)=26\times15=390\) → le point \(A(15\,;\,390)\).
2. Avec \(s=1\), on obtient \((1\,;\,26)\) : sur un axe gradué jusqu'à 500 €, ce point est presque confondu avec l'origine et le tracé serait très imprécis. Il faut choisir un point éloigné de l'origine.
Application — Un point sur la droite ?
On trace la droite représentant le prix d'un câble électrique à 6 € le mètre : \(f(x) = 6x\). Les points \(A(4\,;\,24)\) et \(B(5\,;\,28)\) appartiennent-ils à cette droite ?
Pour \(A\) : \(f(4) = 6 \times 4 = 24\). On retrouve bien l'ordonnée 24 → \(A\) appartient à la droite.
Pour \(B\) : \(f(5) = 6 \times 5 = 30 \neq 28\) → \(B\) n'appartient pas à la droite (5 m de câble coûtent 30 €, pas 28 €).
9. Animation — Explorer le coefficient \(k\) (C4)
Déplace le curseur pour faire varier le coefficient \(k\) et observer comment change la droite \(f(x)=kx\). Le repère est orthonormé (même échelle sur les deux axes) : la pente se lit donc directement, et \(k=1\) donne bien une droite à 45°.
k = 1 → f(1) = 1 | Fonction croissante ↗
10. Graphique — Comparaison de fonctions linéaires (C5)
Trois tarifs de tubes utilisés en installation de chauffage sont comparés ci-dessous.
Chacun est proportionnel à la quantité achetée :
Tube cuivre : \(f(x)=12x\) (12 €/m)
Tube PER : \(g(x)=7x\) (7 €/m)
Tube multicouche : \(h(x)=9x\) (9 €/m)
Les trois droites passent par l'origine (0 ; 0). Le coefficient \(k\) de chaque droite est le prix unitaire.
11. Lecture graphique d'une fonction linéaire (C5)
Méthode — Lire \(k\) sur le graphique :
Repérer un point de la droite bien lisible, c'est-à-dire dont les deux coordonnées tombent sur des graduations. Si ce point est \(M(x_M\,;\,y_M)\), avec \(x_M \neq 0\), alors :
\[k = \frac{y_M}{x_M}\]
Le cas le plus simple est le point d'abscisse 1 : son ordonnée est \(k\).
Un point lu « à peu près », entre deux graduations, donne un coefficient faux.
Exemple 8 — Lire le coefficient sur un graphique
Sur une droite passant par l'origine, on lit les points \(A(2 ; 6)\) et \(B(0 ; 0)\).
1
\(k = \dfrac{6-0}{2-0} = \dfrac{6}{2} = 3\)
2
La fonction est : \(f(x) = 3x\)
3
Vérification : \(f(2) = 6\) ✓
Application — Lire le coefficient sur un graphique
Sur un graphique, la droite qui donne la distance parcourue par un cycliste en fonction du temps passe par l'origine et par le point \(M(4\,;\,60)\) (distance en km, temps en h). Déterminer le coefficient \(k\), écrire la fonction, puis calculer la distance parcourue en 5 h.
La droite passe par l'origine \((0\,;\,0)\) et par \(M(4\,;\,60)\), donc \(k = \dfrac{60 - 0}{4 - 0} = \dfrac{60}{4} = 15\).
La fonction est \(f(t) = 15t\) : le cycliste roule à 15 km/h.
En 5 h : \(f(5) = 15 \times 5 = \mathbf{75}\) km.
12. Calculer des images en série : tableur et Python (C3)
Chiffrer un devis demande rarement une seule image : on veut le prix pour dix, vingt ou cinquante quantités. Deux outils font ce travail d'un coup. Ils calculent des images ; ils ne résolvent pas l'équation \(kx = b\) de la partie 6.
Méthode — Au tableur
La ligne 1 porte les titres. La colonne A contient les quantités, la colonne B les prix. Dans la cellule B2, on écrit la formule =A2*8, puis on la recopie vers le bas : le tableur adapte tout seul le numéro de ligne. Une formule commence toujours par le signe =. Un tableur réglé en français écrit les décimaux avec une virgule : =A2*15,5.
Exemple — Prix du parquet à 8 € le mètre, au tableur
A
B
1
Longueur (m)
Prix (€)
2
2
=A2*8 → 16
3
5
=A3*8 → 40
4
12
=A4*8 → 96
La formule tapée en B2 est recopiée vers le bas. Elle traduit \(f(x) = 8x\).
Méthode — En Python
On écrit une fonction : un petit programme de calcul auquel on donne une valeur d'entrée et qui renvoie l'image. L'en-tête def prix(x): est donné ; ce qui est à écrire, c'est la ligne return. En Python, un décimal s'écrit avec un point : 15.5, jamais 15,5.
def prix(x):
return 8*x
for q in [2, 5, 12]:
print(q, prix(q))
Le programme affiche 2 16, 5 40 et 12 96 : trois quantités et leurs trois prix.
Application — Compléter les deux outils
Le bardage est facturé 15,50 € le mètre carré, la surface étant en A2.
Compléter la formule du tableur en B2 : = ........
Compléter la fonction Python : def prix(s): puis return ........
Que renvoie prix(20) ? Écrire le calcul et la réponse avec son unité.
1.=A2*15,5 (ou =15,5*A2) ; dans un tableur réglé en anglais, =A2*15.5. 2.return 15.5*s 3. \(15{,}5 \times 20 = 310\) : prix(20) renvoie 310.0, soit 310 € pour 20 m² de bardage.
13. Lien entre proportionnalité, tableau et graphique
✅ Le triangle des représentations
Représentation
Ce qu'on voit
Lien avec les autres
Expression \(f(x)=kx\)
Le coefficient \(k\) est affiché
\(k\) = rapport du tableau = pente du graphique
Tableau de valeurs
Lignes 2 et 1 proportionnelles
\(k = \dfrac{y}{x}\) pour toute colonne où \(x \ne 0\)
Graphique
Droite passant par l'origine
\(k\) = montée / avancement = pente
14. Résoudre un problème de proportionnalité (C7)
Situation
Fonction linéaire
Coefficient \(k\)
Exemple
Prix de lames de plancher
\(f(x)=8x\)
8 €/m
\(f(5)=40\) €
Consommation de colle (carrelage)
\(f(x)=1{,}5x\)
1,5 kg/m²
\(f(10)=15\) kg
Vitesse constante d'un livreur
\(d(t)=80t\)
80 km/h
\(d(2{,}5)=200\) km
Surface de peinture (2 couches)
\(f(b)=2b\)
2 m²/m²
\(f(12)=24\) m²
Masse d'une pièce de bois (masse volumique 0,6 kg/dm³)
\(m(v)=0{,}6v\)
0,6 kg/dm³
\(m(25)=15\) kg
Quatre situations qui sont toujours des fonctions linéaires
Beaucoup de calculs déjà rencontrés sont en réalité des fonctions linéaires déguisées : les reconnaître évite de tout réapprendre.
Calcul
Fonction linéaire
Coefficient \(k\)
Exemple
Prendre \(p\) % d'un nombre
\(f(x)=\dfrac{p}{100}\,x\)
\(\dfrac{p}{100}\)
12 % : \(f(x)=0{,}12x\), donc \(f(150)=18\)
Calculer une TVA à 20 %
\(T(x)=0{,}20x\)
0,20
\(T(250)=50\) € de TVA
Convertir une unité
\(C(x)=kx\)
le facteur de conversion
cm → mm : \(C(x)=10x\), donc \(C(4{,}7)=47\) mm
Passer du plan au réel (échelle)
\(R(x)=kx\)
le dénominateur de l'échelle
échelle 1/25 : \(R(x)=25x\), donc \(R(6)=150\) cm
Attention
Appliquer une réduction de 12 % n'est pas la même chose que calculer la réduction. Le montant de la réduction est \(R(x)=0{,}12x\) ; le prix payé est \(P(x)=x-0{,}12x=0{,}88x\). Les deux sont des fonctions linéaires, mais leurs coefficients sont différents : 0,12 et 0,88.
15. À retenir — Erreurs fréquentes
⚠ Erreur 1 — Croire que toute droite traduit une proportionnalité
Pour une fonction linéaire, la droite doit passer par l'origine : \(f(0)=0\).
Une droite qui ne passe pas par l'origine ne modélise pas une situation de proportionnalité.
⚠ Erreur 2 — Oublier que \(f(0) = 0\)
Une fonction linéaire donne toujours 0 quand \(x=0\). Si ce n'est pas le cas, ce n'est pas une fonction linéaire.
⚠ Erreur 3 — Inversion du coefficient
Si on sait que 3 kg coûtent 12 €, le coefficient est \(k = \dfrac{12}{3} = 4\) (€/kg), pas \(\dfrac{3}{12}\).
→ Toujours diviser la grandeur dépendante par la variable.