Chapitre 8 – Fonction linéaire et proportionnalité
Seconde Bac Pro MAMA | Algèbre – Analyse | Mathématiques
Dernière mise à jour : 11 mai 2026
Objectifs du chapitre :
Reconnaître une fonction linéaire et déterminer son coefficient
Représenter graphiquement une fonction linéaire
Faire le lien entre proportionnalité et fonction linéaire
Résoudre des problèmes de proportionnalité par la fonction linéaire
1. Introduction — La proportionnalité dans les métiers
🪵 Situation professionnelle — Atelier de menuiserie
Un menuisier achète des lames de parquet à 8 € le mètre linéaire.
Plus il achète de mètres, plus il paye. Et la relation est régulière : si on double la longueur, on double le prix.
C'est une situation de proportionnalité. On peut la modéliser par une fonction linéaire :
\[f(x) = 8x\]
où \(x\) est la longueur en mètres et \(f(x)\) le coût en euros.
On reconnaît une situation de proportionnalité quand le rapport \(\dfrac{\text{valeur}}{x}\) est toujours le même.
Ce rapport constant s'appelle le coefficient de proportionnalité.
2. Situation de proportionnalité
Définition :
Deux grandeurs \(x\) et \(y\) sont proportionnelles si leur rapport \(\dfrac{y}{x}\) est constant.
Cette constante \(k = \dfrac{y}{x}\) s'appelle le coefficient de proportionnalité.
On a alors la relation : \(y = kx\)
Comment reconnaître un tableau de proportionnalité ?
Méthode :
Dans un tableau de proportionnalité, le quotient \(\dfrac{\text{2e ligne}}{\text{1re ligne}}\) est toujours le même pour chaque colonne.
Tarif d'un artisan : 30 € l'heure + 50 € de frais de déplacement.
Heures x
1
2
3
4
Coût y (€)
80
110
140
170
Vérification : \(\dfrac{80}{1} = 80\) mais \(\dfrac{110}{2} = 55\) → les rapports sont différents → pas proportionnel (à cause des 50 € fixes).
⚠ Attention :
Quand il y a une valeur fixe ajoutée (frais de déplacement, abonnement, frais fixes…), ce n'est pas une situation de proportionnalité.
Application
Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ? Justifier en calculant le rapport \(\dfrac{y}{x}\) pour chaque colonne.
x
2
5
8
10
y
6
15
24
30
\(\dfrac{6}{2}=3\) | \(\dfrac{15}{5}=3\) | \(\dfrac{24}{8}=3\) | \(\dfrac{30}{10}=3\)
Le rapport est constant = 3 → OUI, tableau de proportionnalité, avec \(k=3\), soit \(y=3x\).
3. Fonction linéaire
Définition :
Une fonction linéaire est une fonction de la forme :
\[f(x) = ax\]
où \(a\) est un nombre réel non nul appelé coefficient directeur (ou coefficient de proportionnalité).
La fonction linéaire est exactement la traduction algébrique d'une situation de proportionnalité.
Propriétés fondamentales :
\(f(0) = a \times 0 = \mathbf{0}\) → la courbe passe toujours par l'origine du repère.
\(f(1) = a\) → l'image de 1 donne directement le coefficient.
Si \(a > 0\) : \(f\) est croissante (plus x augmente, plus f(x) augmente).
Si \(a < 0\) : \(f\) est décroissante (plus x augmente, plus f(x) diminue).
Exemple 3 — Reconnaître le coefficient
Un peintre consomme 0,35 L de peinture par m². Soit \(C(s) = 0{,}35\,s\) où \(s\) est la surface.
a
Coefficient directeur : \(a = 0{,}35\)
b
\(C(20) = 0{,}35 \times 20 = 7\) L — pour 20 m², il faut 7 L de peinture.
c
\(C(0) = 0\) — logique : sans surface, pas de peinture.
Application
Soit \(f(x) = 5x\). Calculer \(f(4)\), \(f(0)\) et \(f(-2)\). Puis trouver l'antécédent de 35.
Méthode — Trouver le coefficient \(a\) :
Si on connaît un couple \((x_0 ; y_0)\) d'une situation proportionnelle, alors :
\[a = \frac{y_0}{x_0}\]
On peut ensuite vérifier avec d'autres valeurs du tableau.
Exemple 4 — Déterminer f à partir d'un tableau
Un ouvrier pose 12 lames de plancher en 3 heures. Quelle est la fonction qui donne le nombre de lames en fonction du temps ?
1
On sait que \(f(3) = 12\).
2
On calcule \(a = \dfrac{12}{3} = 4\). Il pose 4 lames par heure.
3
La fonction est : \(f(t) = 4t\)
4
Vérification : en 5 h → \(f(5) = 20\) lames. En 8 h → \(f(8) = 32\) lames.
Exemple 5 — Trouver \(a\) depuis une image
Soit \(f(x) = ax\). On sait que \(f(6) = 15\). Trouver \(a\).
1
\(f(6) = a \times 6 = 15\)
2
\(a = \dfrac{15}{6} = 2{,}5\)
3
La fonction est : \(f(x) = 2{,}5x\)
Application
Soit \(f(x) = ax\) avec \(f(4) = 10\). Trouver \(a\), puis calculer \(f(6)\) et \(f(1)\).
\(a = \dfrac{10}{4} = 2{,}5\). La fonction est \(f(x) = 2{,}5x\).
\(f(6) = 2{,}5 \times 6 = 15\) | \(f(1) = 2{,}5\).
Application — Contexte professionnel
Un menuisier pose 18 m de lame de plancher en 3 heures. Trouver la fonction linéaire donnant la longueur posée en fonction du temps, puis calculer la longueur posée en 7 heures.
\(a = \dfrac{18}{3} = 6\) m/h. Fonction : \(f(h) = 6h\).
En 7 h : \(f(7) = 6 \times 7 = 42\) m de lame posés.
5. Tableau de valeurs d'une fonction linéaire
Pour construire un tableau de valeurs de \(f(x) = ax\), on choisit des valeurs de \(x\) et on multiplie par \(a\).
Le tableau est lui-même un tableau de proportionnalité.
Exemple 6 — Tableau pour f(x) = 3x
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
f(x) = 3x
−9
−6
−3
0
3
6
9
On vérifie : chaque valeur de f(x) est 3 fois la valeur de \(x\) correspondante.
Et surtout : \(f(0) = 0\) → la courbe passe par l'origine.
6. Représentation graphique
La courbe représentative d'une fonction linéaire \(f(x) = ax\) est une droite passant par l'origine du repère.
Le coefficient \(a\) détermine la pente (inclinaison) de la droite :
\(a\) grand et positif → droite très inclinée vers le haut
\(a\) petit et positif → droite peu inclinée
\(a\) négatif → droite inclinée vers le bas
Toutes les droites d'une fonction linéaire passent par l'origine \((0\,;\,0)\).
7. Animation — Explorer le coefficient directeur
Déplace le curseur pour faire varier le coefficient \(a\) et observer comment change la droite \(f(x)=ax\).
f(x) = 1·x = x (droite à 45°)
8. Graphique — Comparaison de fonctions linéaires
Trois tarifs de matériaux utilisés en menuiserie-agencement sont comparés ci-dessous.
Chacun est proportionnel à la quantité achetée :
Lame de chêne : \(f(x)=12x\) (12 €/m)
Lame de pin : \(g(x)=7x\) (7 €/m)
Lame composite : \(h(x)=9x\) (9 €/m)
Les trois droites passent par l'origine (0 ; 0). Le coefficient directeur représente le prix unitaire.
9. Lecture graphique d'une fonction linéaire
Méthode — Lire \(a\) sur le graphique :
Le coefficient directeur \(a\) représente la pente de la droite.
Pour le calculer graphiquement : prendre deux points de la droite \((x_1 ; y_1)\) et \((x_2 ; y_2)\), puis calculer :
\[a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]
Pour une fonction linéaire, on peut simplifier en prenant \(x_1=0\) et \(x_2=1\) : \(a = f(1)\).
Exemple 7 — Lire le coefficient sur un graphique
Sur une droite passant par l'origine, on lit les points \(A(2 ; 6)\) et \(B(0 ; 0)\).
1
\(a = \dfrac{6-0}{2-0} = \dfrac{6}{2} = 3\)
2
La fonction est : \(f(x) = 3x\)
3
Vérification : \(f(2) = 6\) ✓
10. Lien entre proportionnalité, tableau et graphique
✅ Le triangle des représentations
Représentation
Ce qu'on voit
Lien avec les autres
Expression \(f(x)=ax\)
Le coefficient \(a\) est affiché
\(a\) = rapport du tableau = pente du graphique
Tableau de valeurs
Lignes 2 et 1 proportionnelles
\(a = \dfrac{y}{x}\) pour toute colonne
Graphique
Droite passant par l'origine
\(a\) = montée / avancement = pente
11. Applications professionnelles
Situation
Fonction linéaire
Coefficient \(a\)
Exemple
Prix de lames de plancher
\(f(x)=8x\)
8 €/m
\(f(5)=40\) €
Consommation de colle (carrelage)
\(f(x)=1{,}5x\)
1,5 kg/m²
\(f(10)=15\) kg
Vitesse constante d'un livreur
\(d(t)=80t\)
80 km/h
\(d(2{,}5)=200\) km
Surface de peinture (2 couches)
\(f(b)=2b\)
2 m²/m²
\(f(12)=24\) m²
Poids de bois (densité 0,6 kg/dm³)
\(m(v)=0{,}6v\)
0,6 kg/dm³
\(m(40)=24\) kg
12. À retenir — Erreurs fréquentes
⚠ Erreur 1 — Confondre fonction linéaire et affine
\(f(x) = 3x\) est linéaire (passe par l'origine).
\(g(x) = 3x + 5\) est affine (ne passe pas par l'origine, car \(g(0)=5\neq0\)).
Seule la fonction linéaire traduit une proportionnalité stricte.
⚠ Erreur 2 — Oublier que \(f(0) = 0\)
Une fonction linéaire donne toujours 0 quand \(x=0\). Si ce n'est pas le cas, ce n'est pas une fonction linéaire.
⚠ Erreur 3 — Inversion du coefficient
Si on sait que 3 kg coûtent 12 €, le coefficient est \(a = \dfrac{12}{3} = 4\) (€/kg), pas \(\dfrac{3}{12}\).
→ Toujours diviser la grandeur dépendante par la variable.