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Chapitre 9 – Exercices

Fonction affine  |  2de Pro MA-MA

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer
Au programme : identifier et calculer des images, tracer des droites, lire le coefficient directeur, déterminer l'expression d'une fonction affine, résoudre graphiquement un système d'équations.
Les exercices sont progressifs : commence par le niveau 1, puis avance à ton rythme.

📌 À retenir

Fonction affine : \(f(x) = ax + b\) — courbe : une droite

Exercices guidés pas à pas

Exercice 1 Identifier a et b, calculer des images Socle

Pour chacune des fonctions suivantes, identifier le coefficient directeur \(a\) et l'ordonnée à l'origine \(b\), puis calculer les images demandées.

1. \(f(x) = 3x + 5\)   —   Calculer \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(-1)\).
2. \(g(x) = -2x + 6\)   —   Calculer \(g(0)\), \(g(3)\), \(g(-2)\).
3. \(h(x) = 4x\)   —   Calculer \(h(0)\), \(h(2{,}5)\). Quelle est la valeur de \(b\) ?
4. \(k(x) = -7\)   —   Calculer \(k(0)\), \(k(100)\). Que remarque-t-on ?
1. f(x) = 3x + 5 : a = 3, b = 5

\(f(0) = 3 \times 0 + 5 = \mathbf{5}\)  |  \(f(2) = 6 + 5 = \mathbf{11}\)  |  \(f(-1) = -3 + 5 = \mathbf{2}\)

2. g(x) = −2x + 6 : a = −2, b = 6

\(g(0) = \mathbf{6}\)  |  \(g(3) = -6 + 6 = \mathbf{0}\)  |  \(g(-2) = 4 + 6 = \mathbf{10}\)

3. h(x) = 4x : a = 4, b = 0

\(h(0) = \mathbf{0}\)  |  \(h(2{,}5) = 4 \times 2{,}5 = \mathbf{10}\).   \(b = 0\) : la droite passe par l'origine.

4. k(x) = −7 : a = 0, b = −7

\(k(0) = k(100) = \mathbf{-7}\). La valeur est toujours \(-7\) quelle que soit \(x\) : c'est une fonction constante, la droite est horizontale.

Exercice 2 Compléter un tableau de valeurs Socle

Compléter les tableaux de valeurs suivants.

1. \(f(x) = 2x - 3\)
\(x\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)\(4\)
\(f(x)\)???????
2. \(g(x) = -x + 4\)
\(x\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)\(4\)
\(g(x)\)???????
3. Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(f(x) = g(x)\) ? Calculer.
1. f(x) = 2x − 3 :
\(x\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)\(4\)
\(f(x)\)−7−5−3−1135
2. g(x) = −x + 4 :
\(x\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)\(4\)
\(g(x)\)6543210
3. Résoudre f(x) = g(x) :

\(2x - 3 = -x + 4 \Rightarrow 3x = 7 \Rightarrow x = \dfrac{7}{3} \approx 2{,}33\)

On peut vérifier dans le tableau : entre \(x = 2\) et \(x = 3\), les valeurs se croisent (f passe de 1 à 3, g passe de 2 à 1).

Exercice 3 Identifier et caractériser des fonctions affines Socle

On donne les quatre fonctions suivantes :

  • \(f(x) = 3x + 4\)
  • \(g(x) = -2x + 5\)
  • \(h(x) = 7\)
  • \(k(x) = 3x - 1\)
  1. Pour chaque fonction, identifier le coefficient directeur \(a\) et l'ordonnée à l'origine \(b\).
  2. Parmi ces fonctions, lesquelles sont croissantes ? Décroissantes ? Constantes ? Justifier.
  3. Calculer \(f(0)\), \(g(0)\), \(h(0)\) et \(k(0)\). En déduire le point d'intersection de chaque droite avec l'axe des ordonnées.
  4. Les droites représentant \(f\) et \(k\) sont-elles parallèles, sécantes ou confondues ? Justifier.
  5. Les droites représentant \(f\) et \(g\) sont-elles parallèles ou sécantes ? Justifier.

1.

  • \(f\) : \(a = 3\), \(b = 4\)
  • \(g\) : \(a = -2\), \(b = 5\)
  • \(h\) : \(a = 0\), \(b = 7\) (fonction constante)
  • \(k\) : \(a = 3\), \(b = -1\)

2. \(f\) et \(k\) sont croissantes (\(a = 3 > 0\)). \(g\) est décroissante (\(a = -2 < 0\)). \(h\) est constante (\(a = 0\)).

3. \(f(0) = 4\), \(g(0) = 5\), \(h(0) = 7\), \(k(0) = -1\). Chaque droite coupe l'axe \(y\) au point \((0\,;\,b)\) : \((0\,;\,4)\), \((0\,;\,5)\), \((0\,;\,7)\), \((0\,;\,-1)\).

4. \(f\) et \(k\) ont le même coefficient directeur \(a = 3\), mais des ordonnées à l'origine différentes (\(4 \neq -1\)). Les droites sont parallèles.

5. \(f\) a \(a = 3\) et \(g\) a \(a = -2\). Coefficients directeurs différents → les droites sont sécantes.

x y 0 1 2 1 4 5 f g h = 7 k f // k (meme pente)
\(f\) et \(k\) sont paralleles (\(a = 3\)), \(h\) est horizontale (\(a = 0\))
Exercice 4 Identifier a et b — méthode guidée Socle
Rappel : Une fonction affine s'écrit \(f(x) = ax + b\)
• \(a\) = coefficient directeur (le nombre devant \(x\))
• \(b\) = ordonnée à l'origine (le nombre seul, sans \(x\))
• Si \(a > 0\) → fonction croissante  |  Si \(a < 0\) → fonction décroissante
Compléter le tableau suivant pour chaque fonction :

FonctionCoefficient directeur \(a\)Ordonnée à l'origine \(b\)Sens de variation
\(f(x) = 3x + 5\)………
\(g(x) = -2x + 6\)………
\(h(x) = 4x\)………
\(k(x) = -7\)………
Fonction\(a\)\(b\)Sens
\(f(x) = 3x + 5\)35croissante (\(a > 0\))
\(g(x) = -2x + 6\)−26décroissante (\(a < 0\))
\(h(x) = 4x\)40croissante (\(a > 0\))
\(k(x) = -7\)0−7constante (\(a = 0\))
Exercice 5 Calculer des images — guidé étape par étape Socle
Atelier de menuiserie
Un menuisier facture ses interventions avec la formule \(C(h) = 45h + 60\) (en euros), où \(h\) est le nombre d'heures.

Étape 1 — Identifier \(a\) et \(b\) :
\(a = \)……… (tarif par heure)  |  \(b = \)……… (forfait fixe)

Étape 2 — Calculer les images :
Pour \(h = 2\) : \(C(2) = 45 \times \)……… \(+ 60 = \)……… \(+ 60 = \)………\( \text{ €}\)
Pour \(h = 3\) : \(C(3) = 45 \times 3 + 60 = \)……… \(+ 60 = \)………\( \text{ €}\)
Pour \(h = 5\) : \(C(5) = \)……… \( = \)………\( \text{ €}\)

Étape 3 — Compléter le tableau :
\(h\) (heures)01235
\(C(h)\) (€)……………

Étape 1 : \(a = 45\) (45 €/heure)  |  \(b = 60\) (forfait déplacement 60 €)

Étape 2 :

\(C(2) = 45 \times 2 + 60 = 90 + 60 = \mathbf{150\,€}\)

\(C(3) = 45 \times 3 + 60 = 135 + 60 = \mathbf{195\,€}\)

\(C(5) = 45 \times 5 + 60 = 225 + 60 = \mathbf{285\,€}\)

Étape 3 — Tableau :

\(h\)01235
\(C(h)\)60105150195285
Exercice 6 Trouver l'expression d'une fonction affine — guidé Socle
On sait que \(f(0) = 4\) et \(f(2) = 10\).

Étape 1 — Trouver \(b\) :
\(f(0) = a \times 0 + b = b\). Donc \(b = \)………

Étape 2 — Trouver \(a\) :
On utilise la formule : \(a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \dfrac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \dfrac{\ldots - \ldots}{2} = \dfrac{\ldots}{2} = \)………

Étape 3 — Écrire \(f(x)\) :
\(f(x) = \)……… \(x + \)………

Étape 4 — Vérifier :
\(f(2) = \)……… \(\times 2 + \)……… \(= \)……… ✔ ou ✗ ?

Étape 1 : \(b = f(0) = 4\)

Étape 2 : \(a = \dfrac{10 - 4}{2 - 0} = \dfrac{6}{2} = 3\)

Étape 3 : \(\mathbf{f(x) = 3x + 4}\)

Étape 4 : \(f(2) = 3 \times 2 + 4 = 6 + 4 = 10\) ✔

Exercice 7 Résolution graphique d'un système — très guidé Socle
On considère le système : \(\begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = -x + 5 \end{cases}\)

Étape 1 — Compléter les tableaux :
\(x\)0123
\(y = 2x - 1\)…………
\(y = -x + 5\)…………

Étape 2 — Observer les tableaux :
Pour quelle valeur de \(x\) les deux fonctions donnent-elles la même valeur de \(y\) ? \(x = \)………
Quelle est cette valeur commune ? \(y = \)………

Étape 3 — Conclusion :
Le point d'intersection des deux droites est : \((\)……… \(;\) ………\()\)

Étape 1 :

\(x\)0123
\(y = 2x - 1\)−1135
\(y = -x + 5\)5432

Étape 2 : Pour \(x = 2\), les deux fonctions donnent \(y = 3\).

x y 0 1 2 3 1 3 5 y = 2x − 1 y = −x + 5 (2 ; 3)
Les deux droites se coupent en \((2\,;\,3)\) — solution du systeme

Étape 3 : Le point d'intersection est \(\mathbf{(2\,;\,3)}\).

Exercice 8 Compléter un tableau de valeurs — guidé Socle
Rappel : Pour calculer \(f(x)\), on remplace \(x\) par la valeur donnée dans la formule \(f(x) = ax + b\).

On donne \(f(x) = 4x - 3\). Compléter le tableau ci-dessous en suivant le modèle :

Modèle : Pour \(x = 1\) : \(f(1) = 4 \times 1 - 3 = 4 - 3 = 1\)

\(x\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)\(5\)
\(f(x)\)…1………

Questions :
a. La fonction \(f\) est-elle croissante ou décroissante ? (Regarder le signe de \(a\)).
b. Quelle est l'ordonnée à l'origine ? En quelle case du tableau peut-on la lire directement ?
\(x\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)\(5\)
\(f(x)\)−315917

a. \(a = 4 > 0\), donc \(f\) est croissante (les valeurs augmentent dans le tableau).

b. L'ordonnée à l'origine est \(b = -3\). On la lit dans la colonne \(x = 0\) : \(f(0) = -3\).

Exercice 9 Tracer une droite point par point — guidé Socle
Méthode pour tracer une droite :
1. Calculer au moins 2 points avec le tableau de valeurs.
2. Placer les points dans le repère.
3. Relier les points à la règle : on obtient une droite.

On donne \(g(x) = -2x + 5\).

Étape 1 — Compléter le tableau :
\(x\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)
\(g(x)\)…………

Étape 2 : Placer les points \((0\,;\,...)\), \((1\,;\,...)\), \((2\,;\,...)\), \((3\,;\,...)\) dans un repère et tracer la droite.

Étape 3 : La droite monte-t-elle ou descend-elle ? Quel est le signe de \(a\) ?

Étape 1 :

\(x\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)
\(g(x)\)531−1

Étape 2 : On place les points et on trace la droite :

0 1 2 3 0 1 2 3 −1 x y (0 ; 5) (1 ; 3) (2 ; 1) (3 ; −1) b = 5
Droite \(g(x) = -2x + 5\) — décroissante (\(a = -2 < 0\))

Étape 3 : La droite descend de gauche à droite. C'est normal : \(a = -2 < 0\), la fonction est décroissante.

Exercice 10 Lire a et b sur un graphique — guidé Socle
Rappel — Lire \(a\) et \(b\) sur un graphique :
• \(b\) = ordonnée à l'origine : c'est le \(y\) du point où la droite coupe l'axe vertical (quand \(x = 0\)).
• \(a\) = coefficient directeur : on prend deux points A et B sur la droite, puis \(a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\).

Sur le graphique ci-dessous, la droite bleue représente une fonction affine \(f\). On lit les points \(A(0\,;\,1)\) et \(B(2\,;\,5)\).

x y 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 A(0;1) B(2;5) f
Étape 1 — Lire \(b\) :
La droite coupe l'axe des ordonnées en \(y = \)………. Donc \(b = \)………

Étape 2 — Calculer \(a\) :
\(a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{\ldots - \ldots}{\ldots - \ldots} = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \)………

Étape 3 — Écrire l'expression :
\(f(x) = \)………\(x + \)………

Étape 1 : La droite coupe l'axe des ordonnées en \(y = 1\). Donc \(b = 1\).

Étape 2 : \(a = \dfrac{5 - 1}{2 - 0} = \dfrac{4}{2} = 2\)

Étape 3 : \(\mathbf{f(x) = 2x + 1}\)

Exercice 11 Tarification guidée — abonnement salle de sport Socle
Vie quotidienne — Sport
Une salle de sport propose un abonnement à 25 € par mois plus 40 € de frais d'inscription.
Le coût total après \(m\) mois est : \(C(m) = 25m + 40\).

Étape 1 — Identifier \(a\) et \(b\) :
\(a = \)……… (coût par mois)  |  \(b = \)……… (frais fixes)

Étape 2 — Compléter le tableau :
\(m\) (mois)013612
\(C(m)\) (€)……………

Étape 3 : Un élève a un budget de 190 €. Combien de mois peut-il s'inscrire ?
Résoudre : \(25m + 40 = 190\)
\(25m = 190 - \)……… \(= \)………
\(m = \dfrac{\ldots}{25} = \)……… mois

Étape 1 : \(a = 25\) (25 €/mois)  |  \(b = 40\) (frais d'inscription)

Étape 2 :

\(m\)013612
\(C(m)\)4065115190340

Étape 3 : \(25m + 40 = 190 \Rightarrow 25m = 150 \Rightarrow m = 6\)

L'élève peut s'inscrire pour 6 mois.

Exercice 12 Signe d'une fonction affine — guidé Socle
Rappel — Signe de \(f(x) = ax + b\) :
• Trouver la valeur de \(x\) pour laquelle \(f(x) = 0\) (le zéro de \(f\)).
• Si \(a > 0\) : \(f(x) < 0\) avant le zéro, \(f(x) > 0\) après.
• Si \(a < 0\) : c'est l'inverse.

On donne \(f(x) = 3x - 6\).

Étape 1 — Trouver le zéro de \(f\) :
Résoudre \(f(x) = 0\) : \(3x - 6 = 0 \Rightarrow 3x = \)……… \(\Rightarrow x = \)………

Étape 2 — Signe de \(a\) :
\(a = 3\). Est-ce positif ou négatif ? ………

Étape 3 — Compléter le tableau de signes :
\(x\)avant ………………après ………
Signe de \(f(x)\)…\(0\)…

Étape 4 : Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) \geq 0\) ?

Étape 1 : \(3x - 6 = 0 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\)

Étape 2 : \(a = 3 > 0\) (positif), donc la fonction est croissante.

Étape 3 :

\(x\)avant 22après 2
Signe de \(f(x)\)−\(0\)+

Étape 4 : \(f(x) \geq 0\) pour \(\mathbf{x \geq 2}\).

Exercice 13 Coût de découpe de planches — guidé Socle
Atelier de menuiserie
Un artisan menuisier facture la découpe de planches avec la formule \(C(n) = 3n + 15\) (en euros), où \(n\) est le nombre de planches découpées.

Étape 1 — Identifier \(a\) et \(b\) :
\(a = \)……… (prix par planche)  |  \(b = \)……… (forfait mise en route)

Étape 2 — Calculer les images :
Pour \(n = 0\) : \(C(0) = 3 \times 0 + 15 = \)………\( \text{ €}\)
Pour \(n = 5\) : \(C(5) = 3 \times \)……… \(+ 15 = \)……… \(+ 15 = \)………\( \text{ €}\)
Pour \(n = 10\) : \(C(10) = \)………\( = \)………\( \text{ €}\)

Étape 3 — Compléter le tableau :
\(n\) (planches)05101520
\(C(n)\) (€)……………

Étape 4 : Le client a un budget de 75 €. Combien de planches peut-il faire découper ?
Résoudre : \(3n + 15 = 75 \Rightarrow 3n = 75 - \)……… \(= \)……… \(\Rightarrow n = \dfrac{\ldots}{3} = \)………

Étape 1 : \(a = 3\) (3 €/planche)  |  \(b = 15\) (forfait 15 €)

Étape 2 :

\(C(0) = 0 + 15 = \mathbf{15\,€}\)

\(C(5) = 3 \times 5 + 15 = 15 + 15 = \mathbf{30\,€}\)

\(C(10) = 3 \times 10 + 15 = 30 + 15 = \mathbf{45\,€}\)

Étape 3 :

\(n\)05101520
\(C(n)\)1530456075

Étape 4 : \(3n + 15 = 75 \Rightarrow 3n = 60 \Rightarrow n = 20\). Le client peut faire découper 20 planches.

Exercice 14 Déterminer f à partir de 2 points — guidé (contexte sport) Socle
Rappel : Pour trouver \(f(x) = ax + b\) à partir de deux points \((x_1\,;\,y_1)\) et \((x_2\,;\,y_2)\) :
1. Calculer \(a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
2. Remplacer dans \(y_1 = a \times x_1 + b\) pour trouver \(b\).
3. Vérifier avec le 2ᵉ point.
Sport — Course à pied
Un coureur note la distance parcourue lors d'un footing à vitesse constante. Après 10 minutes, il a parcouru 2 km. Après 30 minutes, il a parcouru 6 km.
On modélise la distance par \(d(t) = at + b\).

Étape 1 — Trouver \(a\) :
\(a = \dfrac{d(30) - d(10)}{30 - 10} = \dfrac{\ldots - \ldots}{\ldots} = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \)………

Étape 2 — Trouver \(b\) :
On utilise le point \((10\,;\,2)\) : \(2 = \)……… \(\times 10 + b \Rightarrow 2 = \)……… \(+ b \Rightarrow b = \)………

Étape 3 — Écrire \(d(t)\) :
\(d(t) = \)……… \(t + \)………

Étape 4 — Vérifier avec le 2ᵉ point :
\(d(30) = \)……… \(\times 30 + \)……… \(= \)……… \(+ \)……… \(= \)……… ✔ ou ✗ ?

Étape 5 : Quelle distance aura-t-il parcourue après 45 minutes ?

Étape 1 : \(a = \dfrac{6 - 2}{30 - 10} = \dfrac{4}{20} = 0{,}2\)

Étape 2 : \(2 = 0{,}2 \times 10 + b \Rightarrow 2 = 2 + b \Rightarrow b = 0\)

Étape 3 : \(\mathbf{d(t) = 0{,}2t}\) (fonction linéaire, la droite passe par l'origine)

Étape 4 : \(d(30) = 0{,}2 \times 30 = 6\) ✔

Étape 5 : \(d(45) = 0{,}2 \times 45 = \mathbf{9 \text{ km}}\)

Exercice 15 Intersection de deux droites — guidé (contexte quotidien) Socle
Vie quotidienne — Forfaits téléphoniques
Deux forfaits téléphoniques sont proposés :
• Forfait A : \(F_A(t) = 0{,}20t + 5\) (en €), où \(t\) est le nombre de SMS envoyés.
• Forfait B : \(F_B(t) = 0{,}10t + 10\) (en €).

Étape 1 — Compléter les tableaux :
\(t\) (SMS)0205080100
\(F_A(t)\) (€)……………
\(F_B(t)\) (€)……………

Étape 2 — Trouver l'intersection :
On cherche \(t\) tel que \(F_A(t) = F_B(t)\) :
\(0{,}20t + 5 = 0{,}10t + 10\)
\(0{,}20t - 0{,}10t = 10 - 5\)
\(0{,}10t = \)………
\(t = \dfrac{\ldots}{0{,}10} = \)………

Étape 3 : Pour \(t = 30\) SMS, quel forfait est le moins cher ?

Étape 1 :

\(t\)0205080100
\(F_A(t)\)59152125
\(F_B(t)\)1012151820

Étape 2 : \(0{,}10t = 5 \Rightarrow t = \dfrac{5}{0{,}10} = 50\). Les deux forfaits coûtent le même prix pour 50 SMS (15 €).

Étape 3 : \(F_A(30) = 0{,}20 \times 30 + 5 = 11\,€\)  |  \(F_B(30) = 0{,}10 \times 30 + 10 = 13\,€\). Le forfait A est moins cher pour 30 SMS.

Exercice 16 Lire a et b sur un graphique — 2ᵉ exercice guidé Socle
Rappel — Lire \(a\) et \(b\) sur un graphique :
• \(b\) : lire le \(y\) quand \(x = 0\).
• \(a\) : prendre deux points, puis calculer \(a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\).
Science — Température
Un thermomètre mesure la température d'un liquide qui refroidit. Sur le graphique, on lit les points \(A(0\,;\,80)\) et \(B(10\,;\,60)\).
La température est modélisée par une fonction affine \(T(t) = at + b\) (en °C, \(t\) en minutes).

Étape 1 — Lire \(b\) :
Quand \(t = 0\), \(T = \)………. Donc \(b = \)………

Étape 2 — Calculer \(a\) :
\(a = \dfrac{T(10) - T(0)}{10 - 0} = \dfrac{\ldots - \ldots}{\ldots} = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \)………

Étape 3 — Écrire \(T(t)\) :
\(T(t) = \)………\(t + \)………

Étape 4 : La température est-elle croissante ou décroissante ? Regarder le signe de \(a\).

Étape 5 : Quelle sera la température après 20 minutes ? \(T(20) = \)………

Étape 1 : \(T(0) = 80\). Donc \(b = 80\).

Étape 2 : \(a = \dfrac{60 - 80}{10 - 0} = \dfrac{-20}{10} = -2\)

Étape 3 : \(\mathbf{T(t) = -2t + 80}\)

Étape 4 : \(a = -2 < 0\), donc la température est décroissante (le liquide refroidit).

Étape 5 : \(T(20) = -2 \times 20 + 80 = -40 + 80 = \mathbf{40\,°C}\)

Exercice 17 Signe d'une fonction affine — 2ᵉ exercice guidé Socle
Énergie — Consommation électrique
La consommation électrique restante dans une batterie est modélisée par \(E(t) = -5t + 100\) (en %, \(t\) en heures).

Étape 1 — Trouver quand la batterie est vide :
Résoudre \(E(t) = 0\) : \(-5t + 100 = 0 \Rightarrow -5t = \)……… \(\Rightarrow t = \)………

Étape 2 — Signe de \(a\) :
\(a = -5\). Est-ce positif ou négatif ? ……… Donc \(E\) est ………

Étape 3 — Compléter le tableau de signes :
\(t\)avant ………………après ………
Signe de \(E(t)\)…\(0\)…

Étape 4 : Pour quelles valeurs de \(t\) la batterie est-elle encore chargée (\(E(t) > 0\)) ?

Étape 5 : La batterie a-t-elle encore de l'énergie après 15 heures ? Calculer \(E(15)\).

Étape 1 : \(-5t + 100 = 0 \Rightarrow -5t = -100 \Rightarrow t = 20\). La batterie est vide après 20 heures.

Étape 2 : \(a = -5 < 0\) (négatif). La fonction est décroissante.

Étape 3 :

\(t\)avant 2020après 20
Signe de \(E(t)\)+\(0\)−

Étape 4 : \(E(t) > 0\) pour \(\mathbf{t < 20}\), soit pendant les 20 premières heures.

Étape 5 : \(E(15) = -5 \times 15 + 100 = -75 + 100 = \mathbf{25\,\%}\). Oui, il reste 25 % de charge.

Exercice 18 Tracer une droite à partir de l'expression — guidé Socle
Rappel — Tracer la droite de \(f(x) = ax + b\) :
1. Placer le point \((0\,;\,b)\) sur l'axe des ordonnées.
2. Calculer un 2ᵉ point (par exemple \(f(1)\) ou \(f(2)\)).
3. Relier les deux points à la règle.

On donne \(f(x) = 3x - 2\).

Étape 1 — Placer le point sur l'axe des ordonnées :
\(f(0) = 3 \times 0 - 2 = \)………. Le premier point est \((0\,;\,\ldots)\).

Étape 2 — Calculer un deuxième point :
\(f(2) = 3 \times 2 - 2 = \)……… \(- 2 = \)………. Le deuxième point est \((2\,;\,\ldots)\).

Étape 3 — Calculer un troisième point pour vérifier :
\(f(4) = 3 \times 4 - 2 = \)……… \(- 2 = \)………. Le troisième point est \((4\,;\,\ldots)\).

Étape 4 : Placer les trois points dans un repère et tracer la droite. La droite monte-t-elle ou descend-elle ?

Étape 1 : \(f(0) = -2\). Premier point : \((0\,;\,-2)\).

Étape 2 : \(f(2) = 6 - 2 = 4\). Deuxième point : \((2\,;\,4)\).

Étape 3 : \(f(4) = 12 - 2 = 10\). Troisième point : \((4\,;\,10)\).

0 1 2 3 4 0 1 2 4 −1 −2 (0 ; −2) (1 ; 1) (2 ; 4) b = −2 +1 +3
\(f(x) = 3x - 2\) — pente \(a = 3\), ordonnée à l'origine \(b = -2\)

Étape 4 : La droite monte de gauche à droite car \(a = 3 > 0\) : la fonction est croissante.

Exercice 19 Déterminer f(x) à partir de deux points — guidé (contexte menuiserie) Socle
Atelier de menuiserie
Un artisan menuisier constate que pour découper 2 étagères, il met 50 minutes, et pour 6 étagères, il met 130 minutes.
On modélise le temps de travail par \(T(n) = an + b\) (en minutes), où \(n\) est le nombre d'étagères.

Étape 1 — Écrire les deux points connus :
Point 1 : \((2\,;\,50)\) — Point 2 : \((6\,;\,130)\)

Étape 2 — Calculer \(a\) :
\(a = \dfrac{130 - 50}{6 - 2} = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \)………

Étape 3 — Trouver \(b\) :
On utilise le point \((2\,;\,50)\) : \(50 = \)……… \(\times 2 + b\)
\(50 = \)……… \(+ b\)
\(b = 50 - \)……… \(= \)………

Étape 4 — Écrire \(T(n)\) :
\(T(n) = \)………\(n + \)………

Étape 5 : Combien de temps pour découper 10 étagères ? \(T(10) = \)………

Étape 2 : \(a = \dfrac{130 - 50}{6 - 2} = \dfrac{80}{4} = 20\)

Étape 3 : \(50 = 20 \times 2 + b \Rightarrow 50 = 40 + b \Rightarrow b = 10\)

Étape 4 : \(\mathbf{T(n) = 20n + 10}\)

Interprétation : chaque étagère prend 20 minutes à découper, et il faut 10 minutes de préparation (mise en route de l'atelier).

Étape 5 : \(T(10) = 20 \times 10 + 10 = 200 + 10 = \mathbf{210 \text{ minutes}}\), soit 3 h 30 min.

Exercice 20 Comparaison de deux forfaits — guidé (contexte quotidien) Socle
Vie quotidienne — Location de vélo
Deux magasins proposent de louer des vélos à la journée :
• Magasin A : \(A(j) = 8j + 15\) (en €), où \(j\) est le nombre de jours.
• Magasin B : \(B(j) = 12j + 3\) (en €).

Étape 1 — Compléter le tableau :
\(j\) (jours)01235
\(A(j)\) (€)……………
\(B(j)\) (€)……………

Étape 2 — Trouver quand les prix sont identiques :
Résoudre \(A(j) = B(j)\) :
\(8j + 15 = 12j + 3\)
\(15 - 3 = 12j - 8j\)
\(\ldots = \ldots j\)
\(j = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \)………

Étape 3 : Pour une location de 1 jour, quel magasin est le moins cher ? Et pour 5 jours ?

Étape 1 :

\(j\)01235
\(A(j)\)1523313955
\(B(j)\)315273963

Étape 2 : \(8j + 15 = 12j + 3 \Rightarrow 12 = 4j \Rightarrow j = 3\). Les prix sont identiques pour 3 jours (39 €).

Étape 3 : Pour 1 jour : \(A(1) = 23\,€\) et \(B(1) = 15\,€\) → Magasin B moins cher.
Pour 5 jours : \(A(5) = 55\,€\) et \(B(5) = 63\,€\) → Magasin A moins cher.
En dessous de 3 jours, le magasin B est avantageux. Au-delà, c'est le magasin A.

Exercice 21 Tracer une droite avec a et b — guidé Socle
Rappel — Tracer une droite rapidement :
1. Placer le point \((0\,;\,b)\) sur l'axe des ordonnées.
2. Depuis ce point, avancer de 1 vers la droite et monter (ou descendre) de \(a\).
3. Relier les deux points à la règle.
Atelier de menuiserie
Un artisan menuisier propose un tarif modélisé par \(f(x) = 2x + 3\), où \(x\) est le nombre de pièces fabriquées et \(f(x)\) le coût en dizaines d'euros.

Étape 1 — Identifier \(a\) et \(b\) :
\(a = \)………  |  \(b = \)………

Étape 2 — Placer le 1ᵉʳ point :
Le point de départ est \((0\,;\,b) = (0\,;\,\ldots)\). Le placer sur l'axe des ordonnées.

Étape 3 — Trouver le 2ᵉ point :
Depuis \((0\,;\,3)\), avancer de 1 vers la droite : \(x\) passe de 0 à 1.
Monter de \(a = 2\) : \(y\) passe de 3 à \(3 + 2 = \)………
Le 2ᵉ point est \((1\,;\,\ldots)\).

Étape 4 — Vérifier avec un 3ᵉ point :
\(f(3) = 2 \times 3 + 3 = \)………. Le 3ᵉ point est \((3\,;\,\ldots)\).

Étape 5 : Tracer la droite. Monte-t-elle ou descend-elle ?

Étape 1 : \(a = 2\), \(b = 3\).

Étape 2 : Premier point : \((0\,;\,3)\).

Étape 3 : \(y = 3 + 2 = 5\). Deuxième point : \((1\,;\,5)\).

Étape 4 : \(f(3) = 6 + 3 = 9\). Troisième point : \((3\,;\,9)\).

Étape 5 : La droite monte car \(a = 2 > 0\) : la fonction est croissante.

Exercice 22 Déterminer f(x) à partir de deux points — guidé (contexte santé) Socle
Santé — Fréquence cardiaque
Lors d'un exercice physique, la fréquence cardiaque d'un sportif augmente de façon régulière. On note :
• Après 2 minutes : 100 battements par minute.
• Après 8 minutes : 130 battements par minute.
On modélise par \(F(t) = at + b\).

Étape 1 — Écrire les deux points :
Point 1 : \((\)……… \(;\) ………\()\)  |  Point 2 : \((\)……… \(;\) ………\()\)

Étape 2 — Calculer \(a\) :
\(a = \dfrac{130 - 100}{8 - 2} = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \)………

Étape 3 — Trouver \(b\) :
On utilise le point \((2\,;\,100)\) : \(100 = \)……… \(\times 2 + b\)
\(100 = \)……… \(+ b\)
\(b = 100 - \)……… \(= \)………

Étape 4 — Écrire \(F(t)\) :
\(F(t) = \)………\(t + \)………

Étape 5 : Quelle sera la fréquence cardiaque après 12 minutes ? \(F(12) = \)………

Étape 1 : Point 1 : \((2\,;\,100)\) — Point 2 : \((8\,;\,130)\).

Étape 2 : \(a = \dfrac{130 - 100}{8 - 2} = \dfrac{30}{6} = 5\)

Étape 3 : \(100 = 5 \times 2 + b \Rightarrow 100 = 10 + b \Rightarrow b = 90\)

Étape 4 : \(\mathbf{F(t) = 5t + 90}\)

Étape 5 : \(F(12) = 5 \times 12 + 90 = 60 + 90 = \mathbf{150 \text{ bpm}}\)

Exercice 23 Comparaison de deux tarifs — guidé (contexte quotidien) Socle
Vie quotidienne — Photocopies
Deux magasins proposent un service de photocopies :
• Magasin X : \(X(n) = 0{,}05n + 2\) (en €), où \(n\) est le nombre de copies.
• Magasin Y : \(Y(n) = 0{,}08n + 0{,}50\) (en €).

Étape 1 — Identifier \(a\) et \(b\) pour chaque magasin :
Magasin X : \(a = \)……… (prix par copie)  |  \(b = \)……… (forfait fixe)
Magasin Y : \(a = \)……… (prix par copie)  |  \(b = \)……… (forfait fixe)

Étape 2 — Compléter le tableau :
\(n\) (copies)02050100
\(X(n)\) (€)…………
\(Y(n)\) (€)…………

Étape 3 — Trouver quand les prix sont identiques :
Résoudre \(X(n) = Y(n)\) :
\(0{,}05n + 2 = 0{,}08n + 0{,}50\)
\(2 - 0{,}50 = 0{,}08n - 0{,}05n\)
\(\ldots = \ldots n\)
\(n = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \)………

Étape 4 : Pour 30 copies, quel magasin est le moins cher ?

Étape 1 : Magasin X : \(a = 0{,}05\), \(b = 2\). Magasin Y : \(a = 0{,}08\), \(b = 0{,}50\).

Étape 2 :

\(n\)02050100
\(X(n)\)234,507
\(Y(n)\)0,502,104,508,50

Étape 3 : \(1{,}50 = 0{,}03n \Rightarrow n = \dfrac{1{,}50}{0{,}03} = 50\). Les deux magasins coûtent le même prix pour 50 copies (4,50 €).

Étape 4 : \(X(30) = 0{,}05 \times 30 + 2 = 3{,}50\,€\)  |  \(Y(30) = 0{,}08 \times 30 + 0{,}50 = 2{,}90\,€\). Le magasin Y est moins cher pour 30 copies.

Exercices d'application

Exercice 24 Tracer des droites et lire le coefficient directeur Standard

Trois droites dans un repère

1. Lire graphiquement \(f(1)\), \(f(2)\) et \(g(0)\), \(g(3)\).
2. Calculer le coefficient directeur de \(f\) à partir de deux points lus sur la courbe bleue.
3. Calculer le coefficient directeur de \(g\) (courbe rouge). Quel est son sens de variation ?
4. Les droites \(f\) et \(h\) (courbe verte) sont-elles parallèles ? Justifier.

Le graphique représente : \(f(x) = 2x + 1\) (bleu), \(g(x) = -x + 4\) (rouge), \(h(x) = 2x - 2\) (vert).

1. Lectures graphiques :

\(f(1) = 3\)  |  \(f(2) = 5\)  |  \(g(0) = 4\)  |  \(g(3) = 1\)

2. Coefficient directeur de f :

On prend \(A(0\,;\,1)\) et \(B(2\,;\,5)\) : \(a = \dfrac{5 - 1}{2 - 0} = \dfrac{4}{2} = \mathbf{2}\)

3. Coefficient directeur de g :

On prend \(A(0\,;\,4)\) et \(B(3\,;\,1)\) : \(a = \dfrac{1 - 4}{3 - 0} = \dfrac{-3}{3} = \mathbf{-1}\)
\(a = -1 < 0\) → \(g\) est décroissante.

4. Parallélisme f et h :

\(f\) : \(a = 2\)  |  \(h\) : \(a = 2\). Même coefficient directeur → droites parallèles. Elles ne se croisent jamais.

Exercice 25 Déterminer l'expression d'une fonction affine Standard

Guide — Trouver f(x) = ax + b à partir de deux points :

1
Calculer \(a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) avec les deux points donnés.
2
Remplacer \(a\) et les coordonnées d'un point dans \(y = ax + b\).
3
En déduire \(b\), puis écrire l'expression complète de \(f\).
4
Vérifier avec le deuxième point.
x y 0 1 2 3 1 2 3 (0 ; 3) (2 ; 7) +2 +4 a = 4/2 = 2 (1 ; 5) f (bleue) g (rouge)
Illustration : \(a\) = pente du triangle, \(b\) = point de depart sur l'axe \(y\)
1. Déterminer \(f(x) = ax + b\) sachant que \(f(0) = 3\) et \(f(2) = 7\).
2. Déterminer \(g(x) = ax + b\) sachant que \(g(1) = 5\) et \(g(4) = -1\).
3. Une droite passe par \(A(0\,;\,-2)\) et \(B(5\,;\,8)\). Déterminer son équation.
1. f avec f(0)=3 et f(2)=7 :

\(a = \dfrac{7 - 3}{2 - 0} = \dfrac{4}{2} = 2\)

\(f(0) = 3 \Rightarrow b = 3\)

Donc \(\mathbf{f(x) = 2x + 3}\). Vérif : \(f(2) = 4 + 3 = 7\) ✔

2. g avec g(1)=5 et g(4)=−1 :

\(a = \dfrac{-1 - 5}{4 - 1} = \dfrac{-6}{3} = -2\)

\(g(1) = 5 \Rightarrow -2 \times 1 + b = 5 \Rightarrow b = 7\)

Donc \(\mathbf{g(x) = -2x + 7}\). Vérif : \(g(4) = -8 + 7 = -1\) ✔

3. Droite par A(0 ; −2) et B(5 ; 8) :

\(a = \dfrac{8 - (-2)}{5 - 0} = \dfrac{10}{5} = 2\)

\(A(0\,;\,-2) \Rightarrow b = -2\)

Équation : \(\mathbf{y = 2x - 2}\)

Exercice 26 Résolution graphique d'un système Standard
Méthode — Résoudre graphiquement un système : Tracer les deux droites dans le même repère, puis lire les coordonnées du point d'intersection. C'est la solution du système.

On considère le système : \(\begin{cases} y = 3x - 1 \\ y = -x + 7 \end{cases}\)

1. Compléter les tableaux de valeurs pour chaque droite (\(x = 0, 1, 2, 3\)).
2. Tracer les deux droites dans le repère et lire le point d'intersection.
3. Vérifier algébriquement : remplacer les valeurs trouvées dans les deux équations.
1. Tableaux de valeurs :
\(x\)0123
\(y = 3x - 1\)−1258
\(y = -x + 7\)7654
2. Point d'intersection :

En \(x = 2\), les deux droites donnent \(y = 5\). Le point d'intersection est \(\mathbf{(2\,;\,5)}\).

3. Vérification :

\(3 \times 2 - 1 = 5\) ✔    \(-2 + 7 = 5\) ✔

Solution du système : \(\mathbf{x = 2}\) et \(\mathbf{y = 5}\).

Exercice 27 Comparer des fonctions affines Standard

Visualiser les droites

On considère \(f(x) = 2x + 1\), \(g(x) = 2x - 3\), \(h(x) = -x + 4\), \(p(x) = 5\).

1. Classer \(f\), \(g\) et \(h\) selon leur sens de variation.
2. Parmi ces fonctions, lesquelles ont des droites parallèles ? Justifier.
3. Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(f(x) = p(x)\) ? Résoudre algébriquement.
4. Pour quels \(x\) a-t-on \(h(x) > p(x)\) ?
1. Sens de variation :

\(f\) : \(a = 2 > 0\) → croissante  |  \(g\) : \(a = 2 > 0\) → croissante  |  \(h\) : \(a = -1 < 0\) → décroissante  |  \(p\) : \(a = 0\) → constante

2. Droites parallèles :

\(f\) et \(g\) ont toutes deux \(a = 2\) → leurs droites sont parallèles.

3. Résoudre f(x) = p(x) :

\(2x + 1 = 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow \mathbf{x = 2}\)

4. Résoudre h(x) > p(x) :

\(-x + 4 > 5 \Rightarrow -x > 1 \Rightarrow x < -1\)
Solution : \(\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-1[\)

Exercice 28 Système d'équations — Résolution graphique et vérification Standard

Résoudre graphiquement le système, puis vérifier algébriquement :

\[\begin{cases} y = \dfrac{1}{2}x + 2 \\ y = -2x + 7 \end{cases}\]
1. Compléter les tableaux pour \(x = 0, 2, 4\).
2. Tracer les droites et lire le point d'intersection.
3. Vérifier en remplaçant dans les deux équations.
4. Sans tracer, expliquer pourquoi ces deux droites ne sont pas parallèles.
1. Tableaux de valeurs :
\(x\)024
\(y = \frac{1}{2}x + 2\)234
\(y = -2x + 7\)73−1
2. Point d'intersection :

En \(x = 2\), les deux droites donnent \(y = 3\). Intersection : \(\mathbf{(2\,;\,3)}\).

3. Vérification :

\(\frac{1}{2} \times 2 + 2 = 1 + 2 = 3\) ✔    \(-2 \times 2 + 7 = -4 + 7 = 3\) ✔

4. Parallélisme :

Les coefficients directeurs sont \(\frac{1}{2}\) et \(-2\), qui sont différents. Donc les droites ne sont pas parallèles : elles se croisent en un seul point.

Exercice 29 Déterminer f(x) à partir d'un graphique et résoudre Standard

Une droite \(d\) passe par les points \(A(1\,;\,4)\) et \(B(4\,;\,-2)\).

x y 0 1 2 3 4 2 4 6 −1 −2 A(1 ; 4) B(4 ; −2) (3 ; 0) b = 6
Droite \(d\) passant par A et B — lecture de \(b\) et du zero
1. Calculer le coefficient directeur \(a\) de la droite \(d\).
2. Déterminer l'ordonnée à l'origine \(b\) en utilisant le point \(A\).
3. Écrire l'expression de \(f(x)\). Vérifier avec le point \(B\).
4. Résoudre \(f(x) = 0\). Interpréter graphiquement.
5. Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) \geq 0\) ?
1. Coefficient directeur :

\(a = \dfrac{-2 - 4}{4 - 1} = \dfrac{-6}{3} = \mathbf{-2}\)

2. Ordonnée à l'origine :

Avec \(A(1\,;\,4)\) : \(4 = -2 \times 1 + b \Rightarrow b = 6\)

3. Expression :

\(\mathbf{f(x) = -2x + 6}\). Vérif : \(f(4) = -8 + 6 = -2\) ✔

4. Résolution f(x) = 0 :

\(-2x + 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow \mathbf{x = 3}\). La droite coupe l'axe des abscisses en \((3\,;\,0)\).

5. Signe :

\(a = -2 < 0\) : la fonction est décroissante. \(f(x) \geq 0\) pour \(\mathbf{x \leq 3}\).

Exercice 30 Comparaison de forfaits de location Standard

Vie quotidienne — Location
Deux agences de location de véhicules utilitaires proposent :

1. Identifier \(a\) et \(b\) pour chaque forfait. Que représentent-ils ?
2. Calculer le prix pour 100 km et 300 km avec chaque agence.
3. Pour quel kilométrage les deux forfaits sont-ils identiques ? Résoudre algébriquement.
4. Conseiller un client qui doit parcourir 150 km, puis un client qui doit parcourir 250 km.
1. Paramètres :

Agence P : \(a = 0{,}40\) (coût au km), \(b = 30\) (forfait fixe).
Agence Q : \(a = 0{,}25\) (coût au km), \(b = 60\) (forfait fixe).

2. Calculs :

\(P(100) = 40 + 30 = \mathbf{70\,€}\)  |  \(Q(100) = 25 + 60 = \mathbf{85\,€}\)

\(P(300) = 120 + 30 = \mathbf{150\,€}\)  |  \(Q(300) = 75 + 60 = \mathbf{135\,€}\)

3. Égalité :

\(0{,}40k + 30 = 0{,}25k + 60 \Rightarrow 0{,}15k = 30 \Rightarrow \mathbf{k = 200 \text{ km}}\)

Prix identique : \(P(200) = Q(200) = 110\,€\).

4. Conseils :

150 km : \(P(150) = 90\,€\) et \(Q(150) = 97{,}50\,€\) → Agence P (moins de 200 km, forfait fixe plus bas).

250 km : \(P(250) = 130\,€\) et \(Q(250) = 122{,}50\,€\) → Agence Q (plus de 200 km, coût au km plus bas).

Exercice 31 Signe d'une fonction affine et tableau de signes Standard

On considère les fonctions \(f(x) = 4x - 12\) et \(g(x) = -3x + 9\).

x y 0 1 2 3 4 (3 ; 0) f < 0 f > 0 g > 0 g < 0 f g
\(f\) et \(g\) s'annulent toutes les deux en \(x = 3\)
1. Déterminer le zéro de \(f\) (résoudre \(f(x) = 0\)).
2. Dresser le tableau de signes de \(f(x)\).
3. Déterminer le zéro de \(g\) et dresser son tableau de signes.
4. Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on simultanément \(f(x) > 0\) et \(g(x) > 0\) ?
1. Zéro de f :

\(4x - 12 = 0 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow \mathbf{x = 3}\)

2. Tableau de signes de f :

\(a = 4 > 0\) (croissante) :

\(x\)avant 33après 3
Signe de \(f(x)\)−\(0\)+
3. Zéro de g :

\(-3x + 9 = 0 \Rightarrow -3x = -9 \Rightarrow \mathbf{x = 3}\). \(a = -3 < 0\) (décroissante) :

\(x\)avant 33après 3
Signe de \(g(x)\)+\(0\)−
4. f(x) > 0 et g(x) > 0 simultanément :

\(f(x) > 0\) quand \(x > 3\) et \(g(x) > 0\) quand \(x < 3\). Il n'existe aucune valeur de \(x\) pour laquelle les deux sont strictement positives en même temps (les deux s'annulent en \(x = 3\)).

Exercice 32 Résolution d'un système — altitude en randonnée Standard
Méthode — Résoudre algébriquement un système : On résout \(f(x) = g(x)\) pour trouver \(x\), puis on calcule \(y = f(x)\) pour obtenir le point d'intersection.

Quotidien — Randonnée
Deux randonneurs partent de points différents et marchent le long de chemins rectilignes. Leur altitude (en mètres) en fonction du temps \(t\) (en heures) est modélisée par :

1. Quel est le sens de variation de chaque fonction ? Interpréter.
2. Compléter un tableau de valeurs pour \(t = 0, 1, 2, 3, 4\).
3. Au bout de combien de temps sont-ils à la même altitude ? Résoudre algébriquement.
4. À quelle altitude se trouvent-ils à ce moment ?
1. Sens de variation :

Randonneur 1 : \(a = 150 > 0\) → croissante (il monte).
Randonneur 2 : \(a = -100 < 0\) → décroissante (il descend).

2. Tableau :
\(t\)01234
\(A_1(t)\)4005507008501000
\(A_2(t)\)1025925825725625
3. Résolution :

\(150t + 400 = -100t + 1025 \Rightarrow 250t = 625 \Rightarrow \mathbf{t = 2{,}5 \text{ h}}\) (2 h 30 min)

4. Altitude :

\(A_1(2{,}5) = 150 \times 2{,}5 + 400 = 375 + 400 = \mathbf{775 \text{ m}}\)

Vérif : \(A_2(2{,}5) = -100 \times 2{,}5 + 1025 = -250 + 1025 = 775\) ✔

Exercice 33 Droites parallèles et intersection — contexte énergie Standard

Énergie — Panneaux solaires
La production d'énergie (en kWh) de deux installations solaires en fonction du nombre d'heures d'ensoleillement \(h\) est modélisée par :

1. Les droites A et B sont-elles parallèles, sécantes ou confondues ? Justifier.
2. Les droites A et C sont-elles parallèles ou sécantes ? Justifier.
3. Trouver le point d'intersection des droites A et C (résoudre \(E_A(h) = E_C(h)\)).
4. Pour quelles durées d'ensoleillement l'installation A produit-elle plus que l'installation C ?
1. Droites A et B :

Même coefficient directeur \(a = 3\), ordonnées à l'origine différentes (\(2 \neq -1\)) → droites parallèles (ne se croisent jamais).

2. Droites A et C :

Coefficients directeurs différents (\(3 \neq -1\)) → droites sécantes.

3. Intersection A et C :

\(3h + 2 = -h + 14 \Rightarrow 4h = 12 \Rightarrow \mathbf{h = 3}\)

\(E_A(3) = 3 \times 3 + 2 = 11\). Point d'intersection : \(\mathbf{(3\,;\,11)}\).

4. Résolution E_A(h) > E_C(h) :

\(3h + 2 > -h + 14 \Rightarrow 4h > 12 \Rightarrow h > 3\)

L'installation A produit plus que C pour plus de 3 heures d'ensoleillement.

Exercice 34 Lire a et b sur un graphique — déterminer deux expressions Standard

Dans un repère, on observe deux droites :

x y 0 1 2 3 4 3 5 8 A(0;3) B(4;7) C(0;8) D(4;2) (2 ; 5) d1 d2
Les droites \(d_1\) et \(d_2\) se coupent au point d'intersection
1. Déterminer le coefficient directeur \(a_1\) et l'ordonnée à l'origine \(b_1\) de \(d_1\). En déduire l'expression de \(f_1(x)\).
2. Déterminer le coefficient directeur \(a_2\) et l'ordonnée à l'origine \(b_2\) de \(d_2\). En déduire l'expression de \(f_2(x)\).
3. Les deux droites sont-elles parallèles ou sécantes ? Justifier.
4. Trouver les coordonnées du point d'intersection de \(d_1\) et \(d_2\) en résolvant \(f_1(x) = f_2(x)\).
5. Vérifier le résultat en calculant \(f_1\) et \(f_2\) pour la valeur de \(x\) trouvée.
1. Droite d₁ :

\(a_1 = \dfrac{7 - 3}{4 - 0} = \dfrac{4}{4} = 1\)  |  \(b_1 = 3\) (ordonnée de A)

\(\mathbf{f_1(x) = x + 3}\)

2. Droite d₂ :

\(a_2 = \dfrac{2 - 8}{4 - 0} = \dfrac{-6}{4} = -1{,}5\)  |  \(b_2 = 8\) (ordonnée de C)

\(\mathbf{f_2(x) = -1{,}5x + 8}\)

3. Parallélisme :

\(a_1 = 1\) et \(a_2 = -1{,}5\) : coefficients directeurs différents → droites sécantes.

4. Intersection :

\(x + 3 = -1{,}5x + 8 \Rightarrow 2{,}5x = 5 \Rightarrow \mathbf{x = 2}\)

\(f_1(2) = 2 + 3 = 5\). Point d'intersection : \(\mathbf{(2\,;\,5)}\).

5. Vérification :

\(f_1(2) = 2 + 3 = 5\) ✔  |  \(f_2(2) = -1{,}5 \times 2 + 8 = -3 + 8 = 5\) ✔

Exercice 35 Tarification et seuil de rentabilité — contexte menuiserie Standard

Atelier de menuiserie
Un menuisier vend des étagères sur mesure. Ses coûts de production sont modélisés par \(C(n) = 18n + 200\) (en euros), où \(n\) est le nombre d'étagères produites. Il vend chaque étagère 45 €.

1. Écrire la fonction recette \(R(n)\) correspondant à la vente de \(n\) étagères.
2. Identifier \(a\) et \(b\) pour \(C(n)\) et \(R(n)\). Que représente chaque paramètre ?
3. Calculer \(C(10)\), \(R(10)\), \(C(20)\) et \(R(20)\). Conclure sur la rentabilité dans chaque cas.
4. Déterminer le nombre minimal d'étagères à vendre pour que la recette dépasse le coût (résoudre \(R(n) > C(n)\)).
5. Écrire la fonction bénéfice \(B(n) = R(n) - C(n)\). Calculer le bénéfice pour 15 étagères vendues.
1. Recette :

\(\mathbf{R(n) = 45n}\)

2. Paramètres :

\(C(n)\) : \(a = 18\) (coût variable par étagère), \(b = 200\) (charges fixes de l'atelier).
\(R(n)\) : \(a = 45\) (prix de vente unitaire), \(b = 0\) (pas de recette fixe).

3. Calculs :

\(C(10) = 180 + 200 = 380\,€\)  |  \(R(10) = 450\,€\) → bénéfice de 70 € (rentable).

\(C(20) = 360 + 200 = 560\,€\)  |  \(R(20) = 900\,€\) → bénéfice de 340 € (rentable).

4. Seuil de rentabilité :

\(45n > 18n + 200 \Rightarrow 27n > 200 \Rightarrow n > \dfrac{200}{27} \approx 7{,}4\)

Il faut vendre au moins 8 étagères pour être rentable.

5. Bénéfice :

\(B(n) = 45n - 18n - 200 = 27n - 200\)

\(B(15) = 27 \times 15 - 200 = 405 - 200 = \mathbf{205\,€}\)

Exercice 36 Signe d'une fonction affine et inéquations — contexte climat Standard

Climat — Température
La température extérieure un soir d'hiver est modélisée par \(T(t) = -1{,}5t + 6\) (en °C), où \(t\) est le temps écoulé en heures après 18 h.

t (h) T (°C) 0 2 4 6 8 0 3 6 −3 T > 0 T < 0 (gel) t = 4 (22h) 6 °C
La temperature passe en dessous de 0 °C a 22 h (t = 4)
1. Quelle est la température à 18 h ? (Calculer \(T(0)\).)
2. La température est-elle croissante ou décroissante ? Justifier avec le coefficient directeur.
3. À quelle heure la température atteint-elle 0 °C ? (Résoudre \(T(t) = 0\).)
4. Dresser le tableau de signes de \(T(t)\).
5. Pendant combien de temps la température reste-t-elle positive ? Interpréter dans le contexte.
1. Température à 18 h :

\(T(0) = -1{,}5 \times 0 + 6 = \mathbf{6\,°C}\)

2. Sens de variation :

\(a = -1{,}5 < 0\), donc \(T\) est décroissante : la température baisse au fil du temps.

3. Zéro de T :

\(-1{,}5t + 6 = 0 \Rightarrow 1{,}5t = 6 \Rightarrow t = \dfrac{6}{1{,}5} = \mathbf{4}\)

La température atteint 0 °C à \(18 + 4 = \mathbf{22 \text{ h}}\).

4. Tableau de signes :
\(t\)avant 44après 4
Signe de \(T(t)\)+\(0\)−
5. Interprétation :

\(T(t) > 0\) pour \(t < 4\), soit entre 18 h et 22 h. La température reste positive pendant 4 heures. Après 22 h, il gèle.

Exercice 37 Comparaison de forfaits — contexte énergie Standard

Énergie — Chauffage
Un propriétaire compare deux offres de maintenance pour sa chaudière :

1. Identifier les paramètres \(a\) et \(b\) de chaque offre. Interpréter chaque valeur dans le contexte.
2. Compléter un tableau de valeurs pour \(h = 0, 2, 4, 6, 8\).
3. Pour quel nombre d'heures les deux offres sont-elles identiques ?
4. Résoudre l'inéquation \(A(h) < B(h)\). Pour quelles durées l'offre A est-elle avantageuse ?
5. Le propriétaire prévoit 5 heures d'intervention par an. Quelle offre lui conseillez-vous ? Calculer l'économie réalisée.
1. Paramètres :

Offre A : \(a = 55\) (taux horaire 55 €/h), \(b = 80\) (forfait déplacement 80 €).
Offre B : \(a = 40\) (taux horaire 40 €/h), \(b = 140\) (forfait déplacement 140 €).

2. Tableau de valeurs :
\(h\)02468
\(A(h)\)80190300410520
\(B(h)\)140220300380460
3. Égalité des offres :

\(55h + 80 = 40h + 140 \Rightarrow 15h = 60 \Rightarrow \mathbf{h = 4}\). Pour 4 heures, les deux offres coûtent 300 €.

4. Inéquation :

\(55h + 80 < 40h + 140 \Rightarrow 15h < 60 \Rightarrow h < 4\). L'offre A est avantageuse pour moins de 4 heures.

5. Conseil :

\(A(5) = 55 \times 5 + 80 = 355\,€\)  |  \(B(5) = 40 \times 5 + 140 = 340\,€\)

Pour 5 heures, l'offre B est moins chère. Économie : \(355 - 340 = \mathbf{15\,€}\).

Exercices d'approfondissement

Exercice 38 Tarification d'une intervention 🪵 Menuiserie Approfondissement

Un menuisier facture ses interventions selon la formule :

\[C(h) = 45h + 60 \quad \text{(en euros)}\]

où \(h\) est le nombre d'heures de travail. Le forfait de déplacement est de 60 € et le taux horaire est de 45 €/h.

1. Identifier \(a\) et \(b\). Que représentent-ils concrètement ?
2. Calculer le coût pour 2 h, 3 h et 5 h de travail.
3. Un client a un budget de 330 €. Combien d'heures de travail peut-il commander ?
4. Un concurrent facture \(D(h) = 60h\) (pas de forfait). Pour quel nombre d'heures les deux devis sont-ils identiques ?
1. Paramètres :

\(a = 45\) : le taux horaire (45 € par heure supplémentaire).
\(b = 60\) : le forfait déplacement fixe, indépendant du nombre d'heures.

2. Calculs :

\(C(2) = 90 + 60 = \mathbf{150\,€}\)  |  \(C(3) = 135 + 60 = \mathbf{195\,€}\)  |  \(C(5) = 225 + 60 = \mathbf{285\,€}\)

3. Budget 330 € :

\(45h + 60 = 330 \Rightarrow 45h = 270 \Rightarrow h = 6\)

Le client peut commander 6 heures de travail.

4. Comparaison des devis :

\(C(h) = D(h) \Rightarrow 45h + 60 = 60h \Rightarrow 60 = 15h \Rightarrow h = 4\)

Pour 4 heures, les deux devis sont identiques (\(C(4) = D(4) = 240\,€\)).
En dessous de 4 h : le concurrent est moins cher. Au-delà de 4 h : le menuisier est moins cher.

Exercice 39 Deux entreprises — Choisir le meilleur devis 🏠 Agencement Approfondissement

Deux entreprises d'agencement proposent leurs tarifs pour poser un parquet (en euros, selon le nombre de m² posés) :

1. Compléter le tableau pour \(x = 0, 5, 10, 15, 20\) m².
2. Tracer les deux droites dans le repère ci-dessous et lire le point d'intersection.
3. Pour quelle surface les deux devis sont-ils égaux ? Vérifier algébriquement.
4. Pour une surface de 12 m², quelle entreprise choisir ? Et pour 8 m² ?

Comparaison des deux tarifs

1. Tableau de valeurs :
\(x\) (m²)05101520
\(T_A(x)\)150325500675850
\(T_B(x)\)02505007501000
2 & 3. Point d'intersection :

\(T_A(x) = T_B(x) \Rightarrow 35x + 150 = 50x \Rightarrow 150 = 15x \Rightarrow \mathbf{x = 10 \text{ m}^2}\)

Pour 10 m² : \(T_A(10) = T_B(10) = 500\,€\). Les deux devis sont identiques.

4. Comparaisons :

12 m² : \(T_A(12) = 570\,€\) et \(T_B(12) = 600\,€\) → Entreprise A moins chère (au-delà de 10 m²).

8 m² : \(T_A(8) = 430\,€\) et \(T_B(8) = 400\,€\) → Entreprise B moins chère (en dessous de 10 m²).

m² € 0 5 10 15 150 500 850 A B (10 ; 500) B moins cher A moins cher
Le point d'intersection determine le seuil de surface
Exercice 40 Rentabilité d'un atelier — modélisation et analyse 🔧 Maintenance automobile Approfondissement

Un atelier de maintenance automobile a des charges fixes de 800 € par mois (loyer, assurances). Chaque véhicule traité rapporte en moyenne 120 € de recette.

1. Écrire la fonction recette \(R(n) = \ldots\) et la fonction charges totales \(C(n) = \ldots\) en fonction du nombre \(n\) de véhicules traités par mois.
2. Écrire la fonction bénéfice \(B(n) = R(n) - C(n)\). Simplifier.
3. Pour quel nombre de véhicules l'atelier est-il à l'équilibre (bénéfice nul) ? Interpréter.
4. Le gérant veut réaliser un bénéfice d'au moins 400 €. Écrire et résoudre l'inéquation correspondante.
5. Un second atelier concurrent a une structure différente : charges fixes de 500 € et recette de 100 €/véhicule. Pour quel nombre de véhicules les deux ateliers ont-ils le même bénéfice ? Au-delà, lequel est plus rentable ? Justifier.
1. Fonctions :

\(R(n) = 120n\)  |  \(C(n) = 800\) (charges fixes constantes)

2. Bénéfice :

\(B(n) = R(n) - C(n) = 120n - 800\). C'est une fonction affine de coefficient directeur 120 et d'ordonnée à l'origine −800.

3. Équilibre :

\(B(n) = 0 \Rightarrow 120n - 800 = 0 \Rightarrow 120n = 800 \Rightarrow n = \dfrac{800}{120} \approx 6{,}7\)

À partir de 7 véhicules, l'atelier est bénéficiaire.

4. Inéquation :

\(B(n) \geq 400 \Rightarrow 120n - 800 \geq 400 \Rightarrow 120n \geq 1200 \Rightarrow n \geq 10\)

Il faut traiter au moins 10 véhicules pour réaliser un bénéfice d'au moins 400 €.

5. Comparaison des deux ateliers :

Atelier 2 : \(B_2(n) = 100n - 500\)

\(B(n) = B_2(n) \Rightarrow 120n - 800 = 100n - 500 \Rightarrow 20n = 300 \Rightarrow n = 15\)

Pour 15 véhicules, les deux ateliers ont le même bénéfice (\(B(15) = B_2(15) = 1000\,€\)).
Pour \(n > 15\) : l'atelier 1 est plus rentable (coefficient directeur 120 > 100).
Pour \(n < 15\) : l'atelier 2 est plus rentable (moins de charges fixes).

Exercice 41 Devis et seuil de rentabilité — fabrication de meubles 🪵 Menuiserie Approfondissement

Un fabricant de mobilier produit des étagères sur mesure. Les coûts sont modélisés par :

1. Identifier \(a\) et \(b\) dans chaque fonction. Interpréter concrètement chaque paramètre.
2. Écrire la fonction bénéfice \(B(n) = R(n) - C(n)\) et simplifier.
3. Déterminer le seuil de rentabilité (nombre minimal d'étagères pour que \(B(n) \geq 0\)).
4. Combien d'étagères faut-il vendre pour dégager un bénéfice d'au moins 200 € ?
5. Un concurrent propose \(C_2(n) = 45n + 300\). Comparer les deux modèles : pour quel nombre d'étagères le premier fabricant est-il plus compétitif ?
1. Paramètres :

\(C(n)\) : \(a = 35\) (coût unitaire de production), \(b = 480\) (charges fixes : loyer atelier, machines).
\(R(n)\) : \(a = 75\) (prix de vente unitaire), \(b = 0\) (pas de recette fixe).

2. Bénéfice :

\(B(n) = 75n - (35n + 480) = 75n - 35n - 480 = \mathbf{40n - 480}\)

3. Seuil de rentabilité :

\(B(n) \geq 0 \Rightarrow 40n - 480 \geq 0 \Rightarrow 40n \geq 480 \Rightarrow n \geq 12\)

Il faut vendre au minimum 12 étagères pour être rentable.

4. Bénéfice ≥ 200 € :

\(40n - 480 \geq 200 \Rightarrow 40n \geq 680 \Rightarrow n \geq 17\). Il faut vendre au moins 17 étagères.

5. Comparaison :

\(C(n) < C_2(n) \Rightarrow 35n + 480 < 45n + 300 \Rightarrow 180 < 10n \Rightarrow n > 18\)

Le premier fabricant est plus compétitif à partir de 19 étagères (charges fixes plus élevées mais coût unitaire plus bas).

Exercice 42 Optimisation de pose — trois artisans à comparer 🏠 Agencement Approfondissement

Pour la pose de placards sur mesure (en euros, selon le nombre de mètres linéaires \(x\)), trois artisans proposent :

1. Compléter un tableau de valeurs pour \(x = 0, 2, 5, 8, 10, 15\) mètres linéaires.
2. Pour quelle longueur M et P proposent-ils le même tarif ?
3. Pour quelle longueur M et A proposent-ils le même tarif ?
4. Un client souhaite poser 12 mètres linéaires de placards. Quel artisan est le moins cher ? Combien économise-t-il par rapport au plus cher ?
5. Déterminer les intervalles de longueur pour lesquels chaque artisan est le moins cher. Justifier par le calcul.
1. Tableau :
\(x\) (m)02581015
\(T_M\)20036060084010001400
\(T_P\)024060096012001800
\(T_A\)40052070088010001300
2. M = P :

\(80x + 200 = 120x \Rightarrow 200 = 40x \Rightarrow \mathbf{x = 5 \text{ m}}\) (tarif = 600 €).

3. M = A :

\(80x + 200 = 60x + 400 \Rightarrow 20x = 200 \Rightarrow \mathbf{x = 10 \text{ m}}\) (tarif = 1000 €).

4. Pour 12 m :

\(T_M(12) = 1160\,€\)  |  \(T_P(12) = 1440\,€\)  |  \(T_A(12) = 1120\,€\)

L'aménageur d'intérieur A est le moins cher. Économie par rapport à P : \(1440 - 1120 = \mathbf{320\,€}\).

5. Intervalles :

P = A quand \(120x = 60x + 400 \Rightarrow 60x = 400 \Rightarrow x \approx 6{,}7\) m.

  • \(0 < x < 5\) : P est le moins cher (pas de forfait fixe).
  • \(5 < x < 10\) : M est le moins cher (forfait modéré, coût intermédiaire).
  • \(x > 10\) : A est le moins cher (coût au mètre le plus faible).
Exercice 43 Modélisation et résolution — consommation énergétique Approfondissement

Énergie — Chauffage
Le coût annuel de chauffage d'un bâtiment est modélisé par une fonction affine du nombre de degrés-jours unifiés (DJU) \(d\) :

1. Identifier les coefficients directeurs et les ordonnées à l'origine. Interpréter physiquement chaque paramètre (coût variable, coût fixe d'abonnement/entretien).
2. Calculer le coût annuel de chaque système pour \(d = 2000\) DJU (hiver modéré) et \(d = 3500\) DJU (hiver rigoureux).
3. À partir de quel nombre de DJU la pompe à chaleur devient-elle plus économique que le gaz ?
4. En déduire : dans une région à 2800 DJU en moyenne, quel système recommander ? Calculer l'économie annuelle.
5. La pompe à chaleur coûte 4500 € de plus à l'installation que le gaz. En combien d'années (avec \(d = 2800\)) l'investissement est-il amorti ?
1. Paramètres :

Gaz : \(a = 0{,}08\) (coût par DJU, lié au prix du m³ de gaz), \(b = 350\) (abonnement + entretien annuel).
PAC : \(a = 0{,}03\) (coût par DJU, lié au prix de l'électricité et au COP), \(b = 800\) (abonnement électrique + entretien annuel plus élevé).

2. Calculs :

\(d = 2000\) : \(G = 0{,}08 \times 2000 + 350 = \mathbf{510\,€}\)  |  \(P = 0{,}03 \times 2000 + 800 = \mathbf{860\,€}\)

\(d = 3500\) : \(G = 0{,}08 \times 3500 + 350 = \mathbf{630\,€}\)  |  \(P = 0{,}03 \times 3500 + 800 = \mathbf{905\,€}\)

3. Seuil :

\(G(d) = P(d) \Rightarrow 0{,}08d + 350 = 0{,}03d + 800 \Rightarrow 0{,}05d = 450 \Rightarrow \mathbf{d = 9000 \text{ DJU}}\)

La PAC est plus économique au-delà de 9000 DJU (climat très froid, type montagne).

4. Recommandation pour d = 2800 :

\(G(2800) = 0{,}08 \times 2800 + 350 = 574\,€\)  |  \(P(2800) = 0{,}03 \times 2800 + 800 = 884\,€\)

Le chauffage gaz est plus économique. Économie : \(884 - 574 = \mathbf{310\,€/\text{an}}\).

5. Amortissement :

Avec le gaz moins cher de 310 €/an, le surcoût de 4500 € de la PAC ne s'amortit jamais dans ce climat. En effet, la PAC est toujours plus chère tant que \(d < 9000\) DJU.

(Si le climat se rapprochait de 9000 DJU, l'amortissement serait immédiat au-delà du seuil.)

Exercice 44 Intersection de droites et zone de profit — contexte science Approfondissement

Science — Biologie
Dans une expérience de croissance de plantes, la hauteur (en cm) de deux plants en fonction du nombre de jours \(j\) est modélisée par :

j (jours) h (cm) 0 3 6 9 12 3 6 12 18 A (pot) B (terre) (6 ; 12) A plus grand B depasse A
Avant 6 jours, A est plus grand (depart a 3 cm). Apres 6 jours, B depasse A.
1. Interpréter les paramètres \(a\) et \(b\) de chaque modèle dans le contexte biologique.
2. Quel plant est le plus grand au bout de 4 jours ? De 10 jours ?
3. Au bout de combien de jours les deux plants ont-ils la même hauteur ? Résoudre algébriquement.
4. Dresser un tableau de signes de la différence \(D(j) = h_A(j) - h_B(j)\). Interpréter.
5. Si une plante doit atteindre 30 cm pour être repiquée, quel plant atteint ce seuil en premier ? Calculer le nombre de jours pour chacun.
1. Interprétation :

Plant A : \(a = 1{,}5\) cm/jour (vitesse de croissance), \(b = 3\) cm (hauteur initiale au semis, pot avec terreau nutritif).
Plant B : \(a = 2\) cm/jour (croissance plus rapide en pleine terre), \(b = 0\) (semis ras du sol).

2. Comparaisons :

\(j = 4\) : \(h_A(4) = 6 + 3 = 9\) cm  |  \(h_B(4) = 8\) cm → Plant A plus grand.

\(j = 10\) : \(h_A(10) = 15 + 3 = 18\) cm  |  \(h_B(10) = 20\) cm → Plant B plus grand.

3. Même hauteur :

\(1{,}5j + 3 = 2j \Rightarrow 3 = 0{,}5j \Rightarrow \mathbf{j = 6 \text{ jours}}\). Hauteur commune : \(h_B(6) = 12\) cm.

4. Tableau de signes de D(j) :

\(D(j) = 1{,}5j + 3 - 2j = -0{,}5j + 3\). Zéro en \(j = 6\), \(a = -0{,}5 < 0\) :

\(j\)avant 66après 6
Signe de \(D(j)\)+\(0\)−

Avant 6 jours : A est plus grand. Après 6 jours : B dépasse A.

5. Seuil de 30 cm :

Plant A : \(1{,}5j + 3 = 30 \Rightarrow 1{,}5j = 27 \Rightarrow j = 18\) jours.

Plant B : \(2j = 30 \Rightarrow j = 15\) jours.

Le plant B atteint 30 cm en premier, 3 jours plus tôt.

Exercice 45 Problème ouvert — choix d'un mode de production 🪵 Menuiserie Approfondissement

Un métreur dans une entreprise de menuiserie doit choisir entre deux modes de fabrication pour des panneaux de cloison :

1. Modéliser le coût total de chaque mode par une fonction affine \(A(n)\) et \(I(n)\) du nombre \(n\) de panneaux.
2. Résoudre \(A(n) = I(n)\) et interpréter le résultat.
3. Dresser le tableau de signes de \(A(n) - I(n)\). En déduire le mode le plus économique selon le nombre de panneaux.
4. Le chantier nécessite 50 panneaux. Quel mode choisir ? Calculer l'économie réalisée.
5. Le métreur envisage un deuxième chantier de 30 panneaux le mois suivant. Si les deux chantiers sont regroupés en une seule commande (80 panneaux), y a-t-il intérêt à regrouper ? Comparer le coût total « 2 commandes séparées » versus « 1 commande groupée » en mode semi-industriel.
1. Modélisation :

\(A(n) = 18n + 120\)  |  \(I(n) = 8n + 500\)

2. Égalité des coûts :

\(18n + 120 = 8n + 500 \Rightarrow 10n = 380 \Rightarrow \mathbf{n = 38}\)

Pour 38 panneaux, les deux modes coûtent le même prix : \(A(38) = I(38) = 804\,€\).

3. Tableau de signes :

\(A(n) - I(n) = 10n - 380\). Zéro en \(n = 38\), \(a = 10 > 0\) :

\(n\)avant 3838après 38
Signe de \(A(n) - I(n)\)−\(0\)+

Pour \(n < 38\) : mode artisanal moins cher. Pour \(n > 38\) : mode semi-industriel moins cher.

4. Pour 50 panneaux :

\(A(50) = 18 \times 50 + 120 = \mathbf{1020\,€}\)  |  \(I(50) = 8 \times 50 + 500 = \mathbf{900\,€}\)

Le mode semi-industriel est plus économique. Économie : \(1020 - 900 = \mathbf{120\,€}\).

5. Regroupement des commandes :

2 commandes séparées (semi-industriel) : \(I(50) + I(30) = 900 + (240 + 500) = 900 + 740 = \mathbf{1640\,€}\).

1 commande groupée (semi-industriel, 80 panneaux) : \(I(80) = 8 \times 80 + 500 = 640 + 500 = \mathbf{1140\,€}\).

Économie en regroupant : \(1640 - 1140 = \mathbf{500\,€}\) (on ne paie le coût fixe qu'une seule fois).

Exercice 46 Devis et optimisation — pose de parquet 🪵 Menuiserie Approfondissement

Un menuisier agenceur propose deux formules pour la pose de parquet :

1. Interpréter les paramètres \(a\) et \(b\) de chaque formule dans le contexte professionnel.
2. Pour quelle surface les deux formules sont-elles équivalentes ? Résoudre algébriquement.
3. Un client souhaite poser du parquet dans un salon de 25 m². Quelle formule est la plus économique ? Calculer la différence de prix.
4. Un second client a un budget maximal de 1 000 €. Pour chaque formule, déterminer la surface maximale qu'il peut couvrir (résoudre \(F_C(x) \leq 1000\) et \(F_P(x) \leq 1000\)).
5. Dresser le tableau de signes de la fonction \(D(x) = F_C(x) - F_P(x)\). En déduire pour quelles surfaces la formule Classique est moins chère.
1. Interprétation :

Formule C : \(a = 42\) (coût au m² de pose), \(b = 350\) (forfait déplacement + préparation du chantier).
Formule P : \(a = 30\) (coût au m² réduit car parquet premium pré-assemblé), \(b = 590\) (forfait plus élevé car matériaux premium inclus).

2. Égalité :

\(42x + 350 = 30x + 590 \Rightarrow 12x = 240 \Rightarrow \mathbf{x = 20 \text{ m}^2}\)

Vérif : \(F_C(20) = 840 + 350 = 1190\,€\)  |  \(F_P(20) = 600 + 590 = 1190\,€\) ✔

3. Pour 25 m² :

\(F_C(25) = 42 \times 25 + 350 = 1050 + 350 = 1400\,€\)
\(F_P(25) = 30 \times 25 + 590 = 750 + 590 = 1340\,€\)

La formule Premium est moins chère. Différence : \(1400 - 1340 = \mathbf{60\,€}\).

4. Budget 1 000 € :

\(F_C(x) \leq 1000 \Rightarrow 42x \leq 650 \Rightarrow x \leq 15{,}5\) → au maximum 15 m².

\(F_P(x) \leq 1000 \Rightarrow 30x \leq 410 \Rightarrow x \leq 13{,}7\) → au maximum 13 m².

5. Tableau de signes :

\(D(x) = F_C(x) - F_P(x) = 12x - 240\). Zéro : \(x = 20\). \(a = 12 > 0\) → croissante.

\(x\)avant 2020après 20
Signe de \(D(x)\)−\(0\)+

\(D(x) < 0\) pour \(x < 20\) : la formule Classique est moins chère pour moins de 20 m².

Exercice 47 Modélisation à partir de données — isolation thermique 🏠 Agencement Approfondissement

Énergie — Isolation
Un métreur relève la déperdition thermique d'un bâtiment (en kW) en fonction de l'épaisseur d'isolant posée (en cm). Voici les résultats :

Épaisseur \(e\) (cm)261014
Déperdition \(P(e)\) (kW)9,47,86,24,6
1. Vérifier que la déperdition diminue de façon constante. Quel est l'écart entre chaque mesure ?
2. La fonction \(P(e) = ae + b\) est-elle un bon modèle ? Calculer \(a\) en utilisant les points \((2\,;\,9{,}4)\) et \((14\,;\,4{,}6)\).
3. Déterminer \(b\) et écrire l'expression complète de \(P(e)\). Vérifier avec les valeurs du tableau.
4. Pour quelle épaisseur d'isolant la déperdition atteint-elle 3 kW ? (Résoudre \(P(e) = 3\).)
5. Le fabricant de mobilier veut que la déperdition reste inférieure à 5 kW. Quelle épaisseur minimale d'isolant doit-il poser ? (Résoudre \(P(e) \leq 5\).)
1. Variation constante :

De 2 à 6 cm : \(7{,}8 - 9{,}4 = -1{,}6\). De 6 à 10 cm : \(6{,}2 - 7{,}8 = -1{,}6\). De 10 à 14 cm : \(4{,}6 - 6{,}2 = -1{,}6\).
L'écart est constant (\(-1{,}6\) kW pour chaque pas de 4 cm) → un modèle affine est adapté.

2. Calcul de a :

\(a = \dfrac{4{,}6 - 9{,}4}{14 - 2} = \dfrac{-4{,}8}{12} = \mathbf{-0{,}4}\)

3. Calcul de b :

Avec \((2\,;\,9{,}4)\) : \(9{,}4 = -0{,}4 \times 2 + b \Rightarrow 9{,}4 = -0{,}8 + b \Rightarrow b = 10{,}2\)

\(\mathbf{P(e) = -0{,}4e + 10{,}2}\)

Vérif : \(P(6) = -2{,}4 + 10{,}2 = 7{,}8\) ✔  |  \(P(10) = -4 + 10{,}2 = 6{,}2\) ✔

4. Déperdition de 3 kW :

\(-0{,}4e + 10{,}2 = 3 \Rightarrow -0{,}4e = -7{,}2 \Rightarrow e = \dfrac{7{,}2}{0{,}4} = \mathbf{18 \text{ cm}}\)

5. Déperdition ≤ 5 kW :

\(-0{,}4e + 10{,}2 \leq 5 \Rightarrow -0{,}4e \leq -5{,}2 \Rightarrow e \geq \dfrac{5{,}2}{0{,}4} = 13\)

Il faut poser au moins 13 cm d'isolant.

Exercice 48 Problème ouvert — choix d'investissement pour un atelier 🔧 Menuiserie Approfondissement

Un artisan menuisier hésite entre deux machines pour son atelier :

1. Écrire les fonctions de coût total \(C_A(n)\) et \(C_B(n)\) en fonction du nombre \(n\) de pièces fabriquées.
2. Calculer le coût total pour 200 pièces et 500 pièces avec chaque machine.
3. À partir de combien de pièces la machine B devient-elle plus rentable que la machine A ? (Résoudre \(C_B(n) < C_A(n)\).)
4. L'artisan prévoit de fabriquer 300 pièces la première année. Calculer le coût avec chaque machine et l'économie réalisée avec le meilleur choix.
5. L'artisan vend chaque pièce 20 €. Écrire la fonction bénéfice \(B_A(n) = 20n - C_A(n)\). Résoudre \(B_A(n) \geq 0\). Interpréter : à partir de combien de pièces la machine A est-elle rentabilisée ?
6. Même question pour la machine B : déterminer le seuil de rentabilité.
1. Fonctions de coût :

\(\mathbf{C_A(n) = 8n + 3000}\)  |  \(\mathbf{C_B(n) = 2n + 5400}\)

2. Calculs :

\(C_A(200) = 1600 + 3000 = 4600\,€\)  |  \(C_B(200) = 400 + 5400 = 5800\,€\)

\(C_A(500) = 4000 + 3000 = 7000\,€\)  |  \(C_B(500) = 1000 + 5400 = 6400\,€\)

3. Seuil d'équivalence :

\(2n + 5400 < 8n + 3000 \Rightarrow 5400 - 3000 < 8n - 2n \Rightarrow 2400 < 6n \Rightarrow n > 400\)

La machine B devient plus rentable à partir de 401 pièces.

4. Pour 300 pièces :

\(C_A(300) = 2400 + 3000 = 5400\,€\)  |  \(C_B(300) = 600 + 5400 = 6000\,€\)

La machine A est meilleure. Économie : \(6000 - 5400 = \mathbf{600\,€}\).

5. Seuil de rentabilité machine A :

\(B_A(n) = 20n - 8n - 3000 = 12n - 3000\)

\(12n - 3000 \geq 0 \Rightarrow 12n \geq 3000 \Rightarrow n \geq 250\)

La machine A est rentabilisée à partir de 250 pièces vendues.

6. Seuil de rentabilité machine B :

\(B_B(n) = 20n - 2n - 5400 = 18n - 5400\)

\(18n - 5400 \geq 0 \Rightarrow 18n \geq 5400 \Rightarrow n \geq 300\)

La machine B est rentabilisée à partir de 300 pièces vendues. Elle met plus de temps à être rentabilisée (investissement initial plus élevé), mais son bénéfice par pièce est supérieur (18 € vs 12 €).

n (pieces) Cout (€) 0 200 400 600 3000 5400 C_A 3000 C_B 5400 n = 400 A moins chere B moins chere
La machine B devient plus rentable au-dela de 400 pieces