Fonction affine | 2de Bac Pro
Dernière mise à jour : 24 juillet 2026, 01:01
Fonction affine : \(f(x) = ax + b\) — courbe : une droite
Pour chacune des fonctions suivantes, identifier le coefficient directeur \(a\) et l'ordonnée à l'origine \(b\), puis calculer les images demandées.
\(f(0) = 3 \times 0 + 5 = \mathbf{5}\) | \(f(2) = 6 + 5 = \mathbf{11}\) | \(f(-1) = -3 + 5 = \mathbf{2}\)
2. g(x) = −2x + 6 : a = −2, b = 6\(g(0) = \mathbf{6}\) | \(g(3) = -6 + 6 = \mathbf{0}\) | \(g(-2) = 4 + 6 = \mathbf{10}\)
3. h(x) = 4x : a = 4, b = 0\(h(0) = \mathbf{0}\) | \(h(2{,}5) = 4 \times 2{,}5 = \mathbf{10}\). \(b = 0\) : la droite passe par l'origine.
4. k(x) = −7 : a = 0, b = −7\(k(0) = k(100) = \mathbf{-7}\). La valeur est toujours \(-7\) quelle que soit \(x\) : c'est une fonction constante, la droite est horizontale.
Compléter les tableaux de valeurs suivants.
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | −7 | −5 | −3 | −1 | 1 | 3 | 5 |
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
\(2x - 3 = -x + 4 \Rightarrow 3x = 7 \Rightarrow x = \dfrac{7}{3} \approx 2{,}33\)
On peut vérifier dans le tableau : entre \(x = 2\) et \(x = 3\), les valeurs se croisent (f passe de 1 à 3, g passe de 2 à 1).
| Fonction | Coefficient directeur \(a\) | Ordonnée à l'origine \(b\) | Sens de variation |
|---|---|---|---|
| \(f(x) = 3x + 5\) | … | … | … |
| \(g(x) = -2x + 6\) | … | … | … |
| \(h(x) = 4x\) | … | … | … |
| \(k(x) = -7\) | … | … | … |
| Fonction | \(a\) | \(b\) | Sens |
|---|---|---|---|
| \(f(x) = 3x + 5\) | 3 | 5 | croissante (\(a > 0\)) |
| \(g(x) = -2x + 6\) | −2 | 6 | décroissante (\(a < 0\)) |
| \(h(x) = 4x\) | 4 | 0 | croissante (\(a > 0\)) |
| \(k(x) = -7\) | 0 | −7 | constante (\(a = 0\)) |
| \(h\) (heures) | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(C(h)\) (€) | … | … | … | … | … |
Étape 1 : \(a = 45\) (45 €/heure) | \(b = 60\) (forfait déplacement 60 €)
Étape 2 :
\(C(2) = 45 \times 2 + 60 = 90 + 60 = \mathbf{150\,\text{€}}\)
\(C(3) = 45 \times 3 + 60 = 135 + 60 = \mathbf{195\,\text{€}}\)
\(C(5) = 45 \times 5 + 60 = 225 + 60 = \mathbf{285\,\text{€}}\)
Étape 3 — Tableau :
| \(h\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(C(h)\) | 60 | 105 | 150 | 195 | 285 |
Étape 1 : \(b = f(0) = 4\)
Étape 2 : \(a = \dfrac{10 - 4}{2 - 0} = \dfrac{6}{2} = 3\)
Étape 3 : \(\mathbf{f(x) = 3x + 4}\)
Étape 4 : \(f(2) = 3 \times 2 + 4 = 6 + 4 = 10\) ✔
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(y = 2x - 1\) | … | … | … | … |
| \(y = -x + 5\) | … | … | … | … |
Étape 1 :
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(y = 2x - 1\) | −1 | 1 | 3 | 5 |
| \(y = -x + 5\) | 5 | 4 | 3 | 2 |
Étape 2 : Pour \(x = 2\), les deux fonctions donnent \(y = 3\).
Étape 3 : Le point d'intersection est \(\mathbf{(2\,;\,3)}\).
On donne \(f(x) = 4x - 3\). Compléter le tableau ci-dessous en suivant le modèle :
Modèle : Pour \(x = 1\) : \(f(1) = 4 \times 1 - 3 = 4 - 3 = 1\)
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | … | 1 | … | … | … |
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | −3 | 1 | 5 | 9 | 17 |
a. \(a = 4 > 0\), donc \(f\) est croissante (les valeurs augmentent dans le tableau).
b. L'ordonnée à l'origine est \(b = -3\). On la lit dans la colonne \(x = 0\) : \(f(0) = -3\).
On donne \(g(x) = -2x + 5\).
Étape 1 — Compléter le tableau :| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | … | … | … | … |
Étape 1 :
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | 5 | 3 | 1 | −1 |
Étape 2 : On place les points et on trace la droite :
Étape 3 : La droite descend de gauche à droite. C'est normal : \(a = -2 < 0\), la fonction est décroissante.
Sur le graphique ci-dessous, la droite bleue représente une fonction affine \(f\). On lit les points \(A(0\,;\,1)\) et \(B(2\,;\,5)\).
Étape 1 : La droite coupe l'axe des ordonnées en \(y = 1\). Donc \(b = 1\).
Étape 2 : \(a = \dfrac{5 - 1}{2 - 0} = \dfrac{4}{2} = 2\)
Étape 3 : \(\mathbf{f(x) = 2x + 1}\)
| \(m\) (mois) | 0 | 1 | 3 | 6 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(C(m)\) (€) | … | … | … | … | … |
Étape 1 : \(a = 25\) (25 €/mois) | \(b = 40\) (frais d'inscription)
Étape 2 :
| \(m\) | 0 | 1 | 3 | 6 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(C(m)\) | 40 | 65 | 115 | 190 | 340 |
Étape 3 : \(25m + 40 = 190 \Rightarrow 25m = 150 \Rightarrow m = 6\)
L'élève peut s'inscrire pour 6 mois.
On donne \(f(x) = 3x - 6\).
Étape 1 — Trouver le zéro de \(f\) :| \(x\) | avant ……… | ……… | après ……… | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f(x)\) | … | \(0\) | … | ||
Étape 1 : \(3x - 6 = 0 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\)
Étape 2 : \(a = 3 > 0\) (positif), donc la fonction est croissante.
Étape 3 :
| \(x\) | avant 2 | 2 | après 2 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f(x)\) | − | \(0\) | + | ||
Étape 4 : \(f(x) \geq 0\) pour \(\mathbf{x \geq 2}\).
| \(n\) (affiches) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(C(n)\) (€) | … | … | … | … | … |
Étape 1 : \(a = 3\) (3 €/affiche) | \(b = 15\) (forfait 15 €)
Étape 2 :
\(C(0) = 0 + 15 = \mathbf{15\,\text{€}}\)
\(C(5) = 3 \times 5 + 15 = 15 + 15 = \mathbf{30\,\text{€}}\)
\(C(10) = 3 \times 10 + 15 = 30 + 15 = \mathbf{45\,\text{€}}\)
Étape 3 :
| \(n\) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(C(n)\) | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 |
Étape 4 : \(3n + 15 = 75 \Rightarrow 3n = 60 \Rightarrow n = 20\). Le client peut faire imprimer 20 affiches.
Étape 1 : \(a = \dfrac{6 - 2}{30 - 10} = \dfrac{4}{20} = 0{,}2\)
Étape 2 : \(2 = 0{,}2 \times 10 + b \Rightarrow 2 = 2 + b \Rightarrow b = 0\)
Étape 3 : \(\mathbf{d(t) = 0{,}2t}\) (fonction linéaire, la droite passe par l'origine)
Étape 4 : \(d(30) = 0{,}2 \times 30 = 6\) ✔
Étape 5 : \(d(45) = 0{,}2 \times 45 = \mathbf{9 \text{ km}}\)
| \(t\) (SMS) | 0 | 20 | 50 | 80 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(F_A(t)\) (€) | … | … | … | … | … |
| \(F_B(t)\) (€) | … | … | … | … | … |
Étape 1 :
| \(t\) | 0 | 20 | 50 | 80 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(F_A(t)\) | 5 | 9 | 15 | 21 | 25 |
| \(F_B(t)\) | 10 | 12 | 15 | 18 | 20 |
Étape 2 : \(0{,}10t = 5 \Rightarrow t = \dfrac{5}{0{,}10} = 50\). Les deux forfaits coûtent le même prix pour 50 SMS (15 €).
Étape 3 : \(F_A(30) = 0{,}20 \times 30 + 5 = 11\,\text{€}\) | \(F_B(30) = 0{,}10 \times 30 + 10 = 13\,\text{€}\). Le forfait A est moins cher pour 30 SMS.
Étape 1 : \(T(0) = 80\). Donc \(b = 80\).
Étape 2 : \(a = \dfrac{60 - 80}{10 - 0} = \dfrac{-20}{10} = -2\)
Étape 3 : \(\mathbf{T(t) = -2t + 80}\)
Étape 4 : \(a = -2 < 0\), donc la température est décroissante (le liquide refroidit).
Étape 5 : \(T(20) = -2 \times 20 + 80 = -40 + 80 = \mathbf{40\,°C}\)
| \(t\) | avant ……… | ……… | après ……… | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(E(t)\) | … | \(0\) | … | ||
Étape 1 : \(-5t + 100 = 0 \Rightarrow -5t = -100 \Rightarrow t = 20\). La batterie est vide après 20 heures.
Étape 2 : \(a = -5 < 0\) (négatif). La fonction est décroissante.
Étape 3 :
| \(t\) | avant 20 | 20 | après 20 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(E(t)\) | + | \(0\) | − | ||
Étape 4 : \(E(t) > 0\) pour \(\mathbf{t < 20}\), soit pendant les 20 premières heures.
Étape 5 : \(E(15) = -5 \times 15 + 100 = -75 + 100 = \mathbf{25\,\%}\). Oui, il reste 25 % de charge.
On donne \(f(x) = 3x - 2\).
Étape 1 — Placer le point sur l'axe des ordonnées :Étape 1 : \(f(0) = -2\). Premier point : \((0\,;\,-2)\).
Étape 2 : \(f(2) = 6 - 2 = 4\). Deuxième point : \((2\,;\,4)\).
Étape 3 : \(f(4) = 12 - 2 = 10\). Troisième point : \((4\,;\,10)\).
Étape 4 : La droite monte de gauche à droite car \(a = 3 > 0\) : la fonction est croissante.
Étape 2 : \(a = \dfrac{130 - 50}{6 - 2} = \dfrac{80}{4} = 20\)
Étape 3 : \(50 = 20 \times 2 + b \Rightarrow 50 = 40 + b \Rightarrow b = 10\)
Étape 4 : \(\mathbf{T(n) = 20n + 10}\)
Interprétation : chaque plaque prend 20 minutes à poser, et il faut 10 minutes de préparation du chantier (traçage, installation de l'outillage).
Étape 5 : \(T(10) = 20 \times 10 + 10 = 200 + 10 = \mathbf{210 \text{ minutes}}\), soit 3 h 30 min.
| \(j\) (jours) | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(A(j)\) (€) | … | … | … | … | … |
| \(B(j)\) (€) | … | … | … | … | … |
Étape 1 :
| \(j\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(A(j)\) | 15 | 23 | 31 | 39 | 55 |
| \(B(j)\) | 3 | 15 | 27 | 39 | 63 |
Étape 2 : \(8j + 15 = 12j + 3 \Rightarrow 12 = 4j \Rightarrow j = 3\). Les prix sont identiques pour 3 jours (39 €).
Étape 3 : Pour 1 jour : \(A(1) = 23\,\text{€}\) et \(B(1) = 15\,\text{€}\) → Magasin B moins cher.
Pour 5 jours : \(A(5) = 55\,\text{€}\) et \(B(5) = 63\,\text{€}\) → Magasin A moins cher.
En dessous de 3 jours, le magasin B est avantageux. Au-delà, c'est le magasin A.
Étape 1 : \(a = 2\), \(b = 3\).
Étape 2 : Premier point : \((0\,;\,3)\).
Étape 3 : \(y = 3 + 2 = 5\). Deuxième point : \((1\,;\,5)\).
Étape 4 : \(f(3) = 6 + 3 = 9\). Troisième point : \((3\,;\,9)\).
Étape 5 : La droite monte car \(a = 2 > 0\) : la fonction est croissante.
Étape 1 : Point 1 : \((2\,;\,100)\) — Point 2 : \((8\,;\,130)\).
Étape 2 : \(a = \dfrac{130 - 100}{8 - 2} = \dfrac{30}{6} = 5\)
Étape 3 : \(100 = 5 \times 2 + b \Rightarrow 100 = 10 + b \Rightarrow b = 90\)
Étape 4 : \(\mathbf{F(t) = 5t + 90}\)
Étape 5 : \(F(12) = 5 \times 12 + 90 = 60 + 90 = \mathbf{150 \text{ bpm}}\)
| \(n\) (copies) | 0 | 20 | 50 | 100 |
|---|---|---|---|---|
| \(X(n)\) (€) | … | … | … | … |
| \(Y(n)\) (€) | … | … | … | … |
Étape 1 : Magasin X : \(a = 0{,}05\), \(b = 2\). Magasin Y : \(a = 0{,}08\), \(b = 0{,}50\).
Étape 2 :
| \(n\) | 0 | 20 | 50 | 100 |
|---|---|---|---|---|
| \(X(n)\) | 2 | 3 | 4,50 | 7 |
| \(Y(n)\) | 0,50 | 2,10 | 4,50 | 8,50 |
Étape 3 : \(1{,}50 = 0{,}03n \Rightarrow n = \dfrac{1{,}50}{0{,}03} = 50\). Les deux magasins coûtent le même prix pour 50 copies (4,50 €).
Étape 4 : \(X(30) = 0{,}05 \times 30 + 2 = 3{,}50\,\text{€}\) | \(Y(30) = 0{,}08 \times 30 + 0{,}50 = 2{,}90\,\text{€}\). Le magasin Y est moins cher pour 30 copies.
On donne les quatre fonctions suivantes :
1.
2. \(f\) et \(k\) sont croissantes (\(a = 3 > 0\)). \(g\) est décroissante (\(a = -2 < 0\)). \(h\) est constante (\(a = 0\)).
3. \(f(0) = 4\), \(g(0) = 5\), \(h(0) = 7\), \(k(0) = -1\). Chaque droite coupe l'axe \(y\) au point \((0\,;\,b)\) : \((0\,;\,4)\), \((0\,;\,5)\), \((0\,;\,7)\), \((0\,;\,-1)\).
4. \(f\) et \(k\) ont le même coefficient directeur \(a = 3\), mais des ordonnées à l'origine différentes (\(4 \neq -1\)). Les droites sont parallèles.
5. \(f\) a \(a = 3\) et \(g\) a \(a = -2\). Coefficients directeurs différents → les droites sont sécantes.
Le graphique représente : \(f(x) = 2x + 1\) (bleu), \(g(x) = -x + 4\) (rouge), \(h(x) = 2x - 2\) (vert).
1. Lectures graphiques :\(f(1) = 3\) | \(f(2) = 5\) | \(g(0) = 4\) | \(g(3) = 1\)
2. Coefficient directeur de f :On prend \(A(0\,;\,1)\) et \(B(2\,;\,5)\) : \(a = \dfrac{5 - 1}{2 - 0} = \dfrac{4}{2} = \mathbf{2}\)
3. Coefficient directeur de g :On prend \(A(0\,;\,4)\) et \(B(3\,;\,1)\) : \(a = \dfrac{1 - 4}{3 - 0} = \dfrac{-3}{3} = \mathbf{-1}\)
\(a = -1 < 0\) → \(g\) est décroissante.
\(f\) : \(a = 2\) | \(h\) : \(a = 2\). Même coefficient directeur → droites parallèles. Elles ne se croisent jamais.
Guide — Trouver f(x) = ax + b à partir de deux points :
\(a = \dfrac{7 - 3}{2 - 0} = \dfrac{4}{2} = 2\)
\(f(0) = 3 \Rightarrow b = 3\)
Donc \(\mathbf{f(x) = 2x + 3}\). Vérif : \(f(2) = 4 + 3 = 7\) ✔
2. g avec g(1)=5 et g(4)=−1 :\(a = \dfrac{-1 - 5}{4 - 1} = \dfrac{-6}{3} = -2\)
\(g(1) = 5 \Rightarrow -2 \times 1 + b = 5 \Rightarrow b = 7\)
Donc \(\mathbf{g(x) = -2x + 7}\). Vérif : \(g(4) = -8 + 7 = -1\) ✔
3. Droite par A(0 ; −2) et B(5 ; 8) :\(a = \dfrac{8 - (-2)}{5 - 0} = \dfrac{10}{5} = 2\)
\(A(0\,;\,-2) \Rightarrow b = -2\)
Équation : \(\mathbf{y = 2x - 2}\)
On considère le système : \(\begin{cases} y = 3x - 1 \\ y = -x + 7 \end{cases}\)
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(y = 3x - 1\) | −1 | 2 | 5 | 8 |
| \(y = -x + 7\) | 7 | 6 | 5 | 4 |
En \(x = 2\), les deux droites donnent \(y = 5\). Le point d'intersection est \(\mathbf{(2\,;\,5)}\).
3. Vérification :\(3 \times 2 - 1 = 5\) ✔ \(-2 + 7 = 5\) ✔
Solution du système : \(\mathbf{x = 2}\) et \(\mathbf{y = 5}\).
On considère \(f(x) = 2x + 1\), \(g(x) = 2x - 3\), \(h(x) = -x + 4\), \(p(x) = 5\).
\(f\) : \(a = 2 > 0\) → croissante | \(g\) : \(a = 2 > 0\) → croissante | \(h\) : \(a = -1 < 0\) → décroissante | \(p\) : \(a = 0\) → constante
2. Droites parallèles :\(f\) et \(g\) ont toutes deux \(a = 2\) → leurs droites sont parallèles.
3. Résoudre f(x) = p(x) :\(2x + 1 = 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow \mathbf{x = 2}\)
4. Résoudre h(x) > p(x) :\(-x + 4 > 5 \Rightarrow -x > 1 \Rightarrow x < -1\)
Solution : \(\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-1[\)
Résoudre graphiquement le système, puis vérifier algébriquement :
\[\begin{cases} y = \dfrac{1}{2}x + 2 \\ y = -2x + 7 \end{cases}\]| \(x\) | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| \(y = \frac{1}{2}x + 2\) | 2 | 3 | 4 |
| \(y = -2x + 7\) | 7 | 3 | −1 |
En \(x = 2\), les deux droites donnent \(y = 3\). Intersection : \(\mathbf{(2\,;\,3)}\).
3. Vérification :\(\frac{1}{2} \times 2 + 2 = 1 + 2 = 3\) ✔ \(-2 \times 2 + 7 = -4 + 7 = 3\) ✔
4. Parallélisme :Les coefficients directeurs sont \(\frac{1}{2}\) et \(-2\), qui sont différents. Donc les droites ne sont pas parallèles : elles se croisent en un seul point.
Une droite \(d\) passe par les points \(A(1\,;\,4)\) et \(B(4\,;\,-2)\).
\(a = \dfrac{-2 - 4}{4 - 1} = \dfrac{-6}{3} = \mathbf{-2}\)
2. Ordonnée à l'origine :Avec \(A(1\,;\,4)\) : \(4 = -2 \times 1 + b \Rightarrow b = 6\)
3. Expression :\(\mathbf{f(x) = -2x + 6}\). Vérif : \(f(4) = -8 + 6 = -2\) ✔
4. Résolution f(x) = 0 :\(-2x + 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow \mathbf{x = 3}\). La droite coupe l'axe des abscisses en \((3\,;\,0)\).
5. Signe :\(a = -2 < 0\) : la fonction est décroissante. \(f(x) \geq 0\) pour \(\mathbf{x \leq 3}\).
Vie quotidienne — Location
Deux agences de location de véhicules utilitaires proposent :
Agence P : \(a = 0{,}40\) (coût au km), \(b = 30\) (forfait fixe).
Agence Q : \(a = 0{,}25\) (coût au km), \(b = 60\) (forfait fixe).
\(P(100) = 40 + 30 = \mathbf{70\,\text{€}}\) | \(Q(100) = 25 + 60 = \mathbf{85\,\text{€}}\)
\(P(300) = 120 + 30 = \mathbf{150\,\text{€}}\) | \(Q(300) = 75 + 60 = \mathbf{135\,\text{€}}\)
3. Égalité :\(0{,}40k + 30 = 0{,}25k + 60 \Rightarrow 0{,}15k = 30 \Rightarrow \mathbf{k = 200 \text{ km}}\)
Prix identique : \(P(200) = Q(200) = 110\,\text{€}\).
4. Conseils :150 km : \(P(150) = 90\,\text{€}\) et \(Q(150) = 97{,}50\,\text{€}\) → Agence P (moins de 200 km, forfait fixe plus bas).
250 km : \(P(250) = 130\,\text{€}\) et \(Q(250) = 122{,}50\,\text{€}\) → Agence Q (plus de 200 km, coût au km plus bas).
On considère les fonctions \(f(x) = 4x - 12\) et \(g(x) = -3x + 9\).
\(4x - 12 = 0 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow \mathbf{x = 3}\)
2. Tableau de signes de f :\(a = 4 > 0\) (croissante) :
| \(x\) | avant 3 | 3 | après 3 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f(x)\) | − | \(0\) | + | ||
\(-3x + 9 = 0 \Rightarrow -3x = -9 \Rightarrow \mathbf{x = 3}\). \(a = -3 < 0\) (décroissante) :
| \(x\) | avant 3 | 3 | après 3 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(g(x)\) | + | \(0\) | − | ||
\(f(x) > 0\) quand \(x > 3\) et \(g(x) > 0\) quand \(x < 3\). Il n'existe aucune valeur de \(x\) pour laquelle les deux sont strictement positives en même temps (les deux s'annulent en \(x = 3\)).
Quotidien — Randonnée
Deux randonneurs partent de points différents et marchent le long de chemins rectilignes. Leur altitude (en mètres) en fonction du temps \(t\) (en heures) est modélisée par :
Randonneur 1 : \(a = 150 > 0\) → croissante (il monte).
Randonneur 2 : \(a = -100 < 0\) → décroissante (il descend).
| \(t\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(A_1(t)\) | 400 | 550 | 700 | 850 | 1000 |
| \(A_2(t)\) | 1025 | 925 | 825 | 725 | 625 |
\(150t + 400 = -100t + 1025 \Rightarrow 250t = 625 \Rightarrow \mathbf{t = 2{,}5 \text{ h}}\) (2 h 30 min)
4. Altitude :\(A_1(2{,}5) = 150 \times 2{,}5 + 400 = 375 + 400 = \mathbf{775 \text{ m}}\)
Vérif : \(A_2(2{,}5) = -100 \times 2{,}5 + 1025 = -250 + 1025 = 775\) ✔
Énergie — Panneaux solaires
La production d'énergie (en kWh) de deux installations solaires en fonction du nombre d'heures d'ensoleillement \(h\) est modélisée par :
Même coefficient directeur \(a = 3\), ordonnées à l'origine différentes (\(2 \neq -1\)) → droites parallèles (ne se croisent jamais).
2. Droites A et C :Coefficients directeurs différents (\(3 \neq -1\)) → droites sécantes.
3. Intersection A et C :\(3h + 2 = -h + 14 \Rightarrow 4h = 12 \Rightarrow \mathbf{h = 3}\)
\(E_A(3) = 3 \times 3 + 2 = 11\). Point d'intersection : \(\mathbf{(3\,;\,11)}\).
4. Résolution E_A(h) > E_C(h) :\(3h + 2 > -h + 14 \Rightarrow 4h > 12 \Rightarrow h > 3\)
L'installation A produit plus que C pour plus de 3 heures d'ensoleillement.
Dans un repère, on observe deux droites :
\(a_1 = \dfrac{7 - 3}{4 - 0} = \dfrac{4}{4} = 1\) | \(b_1 = 3\) (ordonnée de A)
\(\mathbf{f_1(x) = x + 3}\)
2. Droite d₂ :\(a_2 = \dfrac{2 - 8}{4 - 0} = \dfrac{-6}{4} = -1{,}5\) | \(b_2 = 8\) (ordonnée de C)
\(\mathbf{f_2(x) = -1{,}5x + 8}\)
3. Parallélisme :\(a_1 = 1\) et \(a_2 = -1{,}5\) : coefficients directeurs différents → droites sécantes.
4. Intersection :\(x + 3 = -1{,}5x + 8 \Rightarrow 2{,}5x = 5 \Rightarrow \mathbf{x = 2}\)
\(f_1(2) = 2 + 3 = 5\). Point d'intersection : \(\mathbf{(2\,;\,5)}\).
5. Vérification :\(f_1(2) = 2 + 3 = 5\) ✔ | \(f_2(2) = -1{,}5 \times 2 + 8 = -3 + 8 = 5\) ✔
Bâtiment — Préfabrication béton
Une entreprise de préfabrication vend des bordures de béton sur mesure. Ses coûts de production sont modélisés par \(C(n) = 18n + 200\) (en euros), où \(n\) est le nombre de bordures produites. Elle vend chaque bordure 45 €.
\(\mathbf{R(n) = 45n}\)
2. Paramètres :\(C(n)\) : \(a = 18\) (coût variable par bordure), \(b = 200\) (charges fixes de l'atelier de préfabrication).
\(R(n)\) : \(a = 45\) (prix de vente unitaire), \(b = 0\) (pas de recette fixe).
\(C(10) = 180 + 200 = 380\,\text{€}\) | \(R(10) = 450\,\text{€}\) → bénéfice de 70 € (rentable).
\(C(20) = 360 + 200 = 560\,\text{€}\) | \(R(20) = 900\,\text{€}\) → bénéfice de 340 € (rentable).
4. Seuil de rentabilité :\(45n > 18n + 200 \Rightarrow 27n > 200 \Rightarrow n > \dfrac{200}{27} \approx 7{,}4\)
Il faut vendre au moins 8 bordures pour être rentable.
5. Bénéfice :\(B(n) = 45n - 18n - 200 = 27n - 200\)
\(B(15) = 27 \times 15 - 200 = 405 - 200 = \mathbf{205\,\text{€}}\)
Sciences — Température
La température extérieure un soir d'hiver est modélisée par \(T(t) = -1{,}5t + 6\) (en °C), où \(t\) est le temps écoulé en heures après 18 h.
\(T(0) = -1{,}5 \times 0 + 6 = \mathbf{6\,°C}\)
2. Sens de variation :\(a = -1{,}5 < 0\), donc \(T\) est décroissante : la température baisse au fil du temps.
3. Zéro de T :\(-1{,}5t + 6 = 0 \Rightarrow 1{,}5t = 6 \Rightarrow t = \dfrac{6}{1{,}5} = \mathbf{4}\)
La température atteint 0 °C à \(18 + 4 = \mathbf{22 \text{ h}}\).
4. Tableau de signes :| \(t\) | avant 4 | 4 | après 4 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(T(t)\) | + | \(0\) | − | ||
\(T(t) > 0\) pour \(t < 4\), soit entre 18 h et 22 h. La température reste positive pendant 4 heures. Après 22 h, il gèle.
Énergie — Chauffage
Un propriétaire compare deux offres de maintenance pour sa chaudière :
Offre A : \(a = 55\) (taux horaire 55 €/h), \(b = 80\) (forfait déplacement 80 €).
Offre B : \(a = 40\) (taux horaire 40 €/h), \(b = 140\) (forfait déplacement 140 €).
| \(h\) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(A(h)\) | 80 | 190 | 300 | 410 | 520 |
| \(B(h)\) | 140 | 220 | 300 | 380 | 460 |
\(55h + 80 = 40h + 140 \Rightarrow 15h = 60 \Rightarrow \mathbf{h = 4}\). Pour 4 heures, les deux offres coûtent 300 €.
4. Inéquation :\(55h + 80 < 40h + 140 \Rightarrow 15h < 60 \Rightarrow h < 4\). L'offre A est avantageuse pour moins de 4 heures.
5. Conseil :\(A(5) = 55 \times 5 + 80 = 355\,\text{€}\) | \(B(5) = 40 \times 5 + 140 = 340\,\text{€}\)
Pour 5 heures, l'offre B est moins chère. Économie : \(355 - 340 = \mathbf{15\,\text{€}}\).
Un menuisier facture ses interventions selon la formule :
\[C(h) = 38h + 75 \quad \text{(en euros)}\]où \(h\) est le nombre d'heures de travail. Le forfait de déplacement est de 75 € et le taux horaire est de 38 €/h.
\(a = 38\) : le taux horaire (38 € par heure supplémentaire).
\(b = 75\) : le forfait déplacement fixe, indépendant du nombre d'heures.
\(C(2) = 76 + 75 = \mathbf{151\,\text{€}}\) | \(C(3) = 114 + 75 = \mathbf{189\,\text{€}}\) | \(C(5) = 190 + 75 = \mathbf{265\,\text{€}}\)
3. Budget 341 € :\(38h + 75 = 341 \Rightarrow 38h = 266 \Rightarrow h = 7\)
Le client peut commander 7 heures de travail.
4. Comparaison des devis :\(C(h) = D(h) \Rightarrow 38h + 75 = 53h \Rightarrow 75 = 15h \Rightarrow h = 5\)
Pour 5 heures, les deux devis sont identiques (\(C(5) = D(5) = 265\,\text{€}\)).
En dessous de 5 h : le concurrent est moins cher. Au-delà de 5 h : le menuisier est moins cher.
Deux entreprises de bâtiment proposent leurs tarifs pour poser un carrelage (en euros, selon le nombre de m² posés) :
| \(x\) (m²) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(T_A(x)\) | 150 | 325 | 500 | 675 | 850 |
| \(T_B(x)\) | 0 | 250 | 500 | 750 | 1000 |
\(T_A(x) = T_B(x) \Rightarrow 35x + 150 = 50x \Rightarrow 150 = 15x \Rightarrow \mathbf{x = 10 \text{ m}^2}\)
Pour 10 m² : \(T_A(10) = T_B(10) = 500\,\text{€}\). Les deux devis sont identiques.
4. Comparaisons :12 m² : \(T_A(12) = 570\,\text{€}\) et \(T_B(12) = 600\,\text{€}\) → Entreprise A moins chère (au-delà de 10 m²).
8 m² : \(T_A(8) = 430\,\text{€}\) et \(T_B(8) = 400\,\text{€}\) → Entreprise B moins chère (en dessous de 10 m²).
Un atelier de maintenance automobile a des charges fixes de 800 € par mois (loyer, assurances). Chaque véhicule traité rapporte en moyenne 120 € de recette.
\(R(n) = 120n\) | \(C(n) = 800\) (charges fixes constantes)
2. Bénéfice :\(B(n) = R(n) - C(n) = 120n - 800\). C'est une fonction affine de coefficient directeur 120 et d'ordonnée à l'origine −800.
3. Équilibre :\(B(n) = 0 \Rightarrow 120n - 800 = 0 \Rightarrow 120n = 800 \Rightarrow n = \dfrac{800}{120} \approx 6{,}7\)
À partir de 7 véhicules, l'atelier est bénéficiaire.
4. Inéquation :\(B(n) \geq 400 \Rightarrow 120n - 800 \geq 400 \Rightarrow 120n \geq 1200 \Rightarrow n \geq 10\)
Il faut traiter au moins 10 véhicules pour réaliser un bénéfice d'au moins 400 €.
5. Comparaison des deux ateliers :Atelier 2 : \(B_2(n) = 100n - 500\)
\(B(n) = B_2(n) \Rightarrow 120n - 800 = 100n - 500 \Rightarrow 20n = 300 \Rightarrow n = 15\)
Pour 15 véhicules, les deux ateliers ont le même bénéfice (\(B(15) = B_2(15) = 1000\,\text{€}\)).
Pour \(n > 15\) : l'atelier 1 est plus rentable (coefficient directeur 120 > 100).
Pour \(n < 15\) : l'atelier 2 est plus rentable (moins de charges fixes).
Un artisan électricien assemble des coffrets électriques sur mesure. Les coûts sont modélisés par :
\(C(n)\) : \(a = 35\) (coût unitaire des composants et de l'assemblage), \(b = 480\) (charges fixes : loyer atelier, outillage).
\(R(n)\) : \(a = 75\) (prix de vente unitaire), \(b = 0\) (pas de recette fixe).
\(B(n) = 75n - (35n + 480) = 75n - 35n - 480 = \mathbf{40n - 480}\)
3. Seuil de rentabilité :\(B(n) \geq 0 \Rightarrow 40n - 480 \geq 0 \Rightarrow 40n \geq 480 \Rightarrow n \geq 12\)
Il faut vendre au minimum 12 coffrets pour être rentable.
4. Bénéfice ≥ 200 € :\(40n - 480 \geq 200 \Rightarrow 40n \geq 680 \Rightarrow n \geq 17\). Il faut vendre au moins 17 coffrets.
5. Comparaison :\(C(n) < C_2(n) \Rightarrow 35n + 480 < 45n + 300 \Rightarrow 180 < 10n \Rightarrow n > 18\)
Le premier artisan est plus compétitif à partir de 19 coffrets (charges fixes plus élevées mais coût unitaire plus bas).
Pour la pose de placards sur mesure (en euros, selon le nombre de mètres linéaires \(x\)), trois artisans proposent :
| \(x\) (m) | 0 | 2 | 5 | 8 | 10 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(T_M\) | 200 | 360 | 600 | 840 | 1000 | 1400 |
| \(T_P\) | 0 | 240 | 600 | 960 | 1200 | 1800 |
| \(T_A\) | 400 | 520 | 700 | 880 | 1000 | 1300 |
\(80x + 200 = 120x \Rightarrow 200 = 40x \Rightarrow \mathbf{x = 5 \text{ m}}\) (tarif = 600 €).
3. M = A :\(80x + 200 = 60x + 400 \Rightarrow 20x = 200 \Rightarrow \mathbf{x = 10 \text{ m}}\) (tarif = 1000 €).
4. Pour 12 m :\(T_M(12) = 1160\,\text{€}\) | \(T_P(12) = 1440\,\text{€}\) | \(T_A(12) = 1120\,\text{€}\)
L'aménageur d'intérieur A est le moins cher. Économie par rapport à P : \(1440 - 1120 = \mathbf{320\,\text{€}}\).
5. Intervalles :P = A quand \(120x = 60x + 400 \Rightarrow 60x = 400 \Rightarrow x \approx 6{,}7\) m.
Énergie — Chauffage
Le coût annuel de chauffage d'un bâtiment est modélisé par une fonction affine du nombre de degrés-jours unifiés (DJU) \(d\) :
Gaz : \(a = 0{,}08\) (coût par DJU, lié au prix du m³ de gaz), \(b = 350\) (abonnement + entretien annuel).
PAC : \(a = 0{,}03\) (coût par DJU, lié au prix de l'électricité et au COP), \(b = 800\) (abonnement électrique + entretien annuel plus élevé).
\(d = 2000\) : \(G = 0{,}08 \times 2000 + 350 = \mathbf{510\,\text{€}}\) | \(P = 0{,}03 \times 2000 + 800 = \mathbf{860\,\text{€}}\)
\(d = 3500\) : \(G = 0{,}08 \times 3500 + 350 = \mathbf{630\,\text{€}}\) | \(P = 0{,}03 \times 3500 + 800 = \mathbf{905\,\text{€}}\)
3. Seuil :\(G(d) = P(d) \Rightarrow 0{,}08d + 350 = 0{,}03d + 800 \Rightarrow 0{,}05d = 450 \Rightarrow \mathbf{d = 9000 \text{ DJU}}\)
La PAC est plus économique au-delà de 9000 DJU (climat très froid, type montagne).
4. Recommandation pour d = 2800 :\(G(2800) = 0{,}08 \times 2800 + 350 = 574\,\text{€}\) | \(P(2800) = 0{,}03 \times 2800 + 800 = 884\,\text{€}\)
Le chauffage gaz est plus économique. Économie : \(884 - 574 = \mathbf{310\,\text{€}/\text{an}}\).
5. Amortissement :Avec le gaz moins cher de 310 €/an, le surcoût de 4500 € de la PAC ne s'amortit jamais dans ce climat. En effet, la PAC est toujours plus chère tant que \(d < 9000\) DJU.
(Si le climat se rapprochait de 9000 DJU, l'amortissement serait immédiat au-delà du seuil.)
Science — Biologie
Dans une expérience de croissance de plantes, la hauteur (en cm) de deux plants en fonction du nombre de jours \(j\) est modélisée par :
Plant A : \(a = 1{,}5\) cm/jour (vitesse de croissance), \(b = 3\) cm (hauteur initiale au semis, pot avec terreau nutritif).
Plant B : \(a = 2\) cm/jour (croissance plus rapide en pleine terre), \(b = 0\) (semis ras du sol).
\(j = 4\) : \(h_A(4) = 6 + 3 = 9\) cm | \(h_B(4) = 8\) cm → Plant A plus grand.
\(j = 10\) : \(h_A(10) = 15 + 3 = 18\) cm | \(h_B(10) = 20\) cm → Plant B plus grand.
3. Même hauteur :\(1{,}5j + 3 = 2j \Rightarrow 3 = 0{,}5j \Rightarrow \mathbf{j = 6 \text{ jours}}\). Hauteur commune : \(h_B(6) = 12\) cm.
4. Tableau de signes de D(j) :\(D(j) = 1{,}5j + 3 - 2j = -0{,}5j + 3\). Zéro en \(j = 6\), \(a = -0{,}5 < 0\) :
| \(j\) | avant 6 | 6 | après 6 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(D(j)\) | + | \(0\) | − | ||
Avant 6 jours : A est plus grand. Après 6 jours : B dépasse A.
5. Seuil de 30 cm :Plant A : \(1{,}5j + 3 = 30 \Rightarrow 1{,}5j = 27 \Rightarrow j = 18\) jours.
Plant B : \(2j = 30 \Rightarrow j = 15\) jours.
Le plant B atteint 30 cm en premier, 3 jours plus tôt.
Un métreur dans une entreprise de menuiserie doit choisir entre deux modes de fabrication pour des panneaux de cloison :
\(A(n) = 18n + 120\) | \(I(n) = 8n + 500\)
2. Égalité des coûts :\(18n + 120 = 8n + 500 \Rightarrow 10n = 380 \Rightarrow \mathbf{n = 38}\)
Pour 38 panneaux, les deux modes coûtent le même prix : \(A(38) = I(38) = 804\,\text{€}\).
3. Tableau de signes :\(A(n) - I(n) = 10n - 380\). Zéro en \(n = 38\), \(a = 10 > 0\) :
| \(n\) | avant 38 | 38 | après 38 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(A(n) - I(n)\) | − | \(0\) | + | ||
Pour \(n < 38\) : mode artisanal moins cher. Pour \(n > 38\) : mode semi-industriel moins cher.
4. Pour 50 panneaux :\(A(50) = 18 \times 50 + 120 = \mathbf{1020\,\text{€}}\) | \(I(50) = 8 \times 50 + 500 = \mathbf{900\,\text{€}}\)
Le mode semi-industriel est plus économique. Économie : \(1020 - 900 = \mathbf{120\,\text{€}}\).
5. Regroupement des commandes :2 commandes séparées (semi-industriel) : \(I(50) + I(30) = 900 + (240 + 500) = 900 + 740 = \mathbf{1640\,\text{€}}\).
1 commande groupée (semi-industriel, 80 panneaux) : \(I(80) = 8 \times 80 + 500 = 640 + 500 = \mathbf{1140\,\text{€}}\).
Économie en regroupant : \(1640 - 1140 = \mathbf{500\,\text{€}}\) (on ne paie le coût fixe qu'une seule fois).
Un menuisier agenceur propose deux formules pour la pose de parquet :
Formule C : \(a = 42\) (coût au m² de pose), \(b = 350\) (forfait déplacement + préparation du chantier).
Formule P : \(a = 30\) (coût au m² réduit car parquet premium pré-assemblé), \(b = 590\) (forfait plus élevé car matériaux premium inclus).
\(42x + 350 = 30x + 590 \Rightarrow 12x = 240 \Rightarrow \mathbf{x = 20 \text{ m}^2}\)
Vérif : \(F_C(20) = 840 + 350 = 1190\,\text{€}\) | \(F_P(20) = 600 + 590 = 1190\,\text{€}\) ✔
3. Pour 25 m² :\(F_C(25) = 42 \times 25 + 350 = 1050 + 350 = 1400\,\text{€}\)
\(F_P(25) = 30 \times 25 + 590 = 750 + 590 = 1340\,\text{€}\)
La formule Premium est moins chère. Différence : \(1400 - 1340 = \mathbf{60\,\text{€}}\).
4. Budget 1 000 € :\(F_C(x) \leq 1000 \Rightarrow 42x \leq 650 \Rightarrow x \leq 15{,}5\) → au maximum 15 m².
\(F_P(x) \leq 1000 \Rightarrow 30x \leq 410 \Rightarrow x \leq 13{,}7\) → au maximum 13 m².
5. Tableau de signes :\(D(x) = F_C(x) - F_P(x) = 12x - 240\). Zéro : \(x = 20\). \(a = 12 > 0\) → croissante.
| \(x\) | avant 20 | 20 | après 20 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(D(x)\) | − | \(0\) | + | ||
\(D(x) < 0\) pour \(x < 20\) : la formule Classique est moins chère pour moins de 20 m².
Bâtiment — Métré
Un métreur relève la déperdition thermique d'un bâtiment (en kW) en fonction de l'épaisseur d'isolant posée (en cm). Voici les résultats :
| Épaisseur \(e\) (cm) | 2 | 6 | 10 | 14 |
|---|---|---|---|---|
| Déperdition \(P(e)\) (kW) | 9,4 | 7,8 | 6,2 | 4,6 |
De 2 à 6 cm : \(7{,}8 - 9{,}4 = -1{,}6\). De 6 à 10 cm : \(6{,}2 - 7{,}8 = -1{,}6\). De 10 à 14 cm : \(4{,}6 - 6{,}2 = -1{,}6\).
L'écart est constant (\(-1{,}6\) kW pour chaque pas de 4 cm) → un modèle affine est adapté.
\(a = \dfrac{4{,}6 - 9{,}4}{14 - 2} = \dfrac{-4{,}8}{12} = \mathbf{-0{,}4}\)
3. Calcul de b :Avec \((2\,;\,9{,}4)\) : \(9{,}4 = -0{,}4 \times 2 + b \Rightarrow 9{,}4 = -0{,}8 + b \Rightarrow b = 10{,}2\)
\(\mathbf{P(e) = -0{,}4e + 10{,}2}\)
Vérif : \(P(6) = -2{,}4 + 10{,}2 = 7{,}8\) ✔ | \(P(10) = -4 + 10{,}2 = 6{,}2\) ✔
4. Déperdition de 3 kW :\(-0{,}4e + 10{,}2 = 3 \Rightarrow -0{,}4e = -7{,}2 \Rightarrow e = \dfrac{7{,}2}{0{,}4} = \mathbf{18 \text{ cm}}\)
5. Déperdition ≤ 5 kW :\(-0{,}4e + 10{,}2 \leq 5 \Rightarrow -0{,}4e \leq -5{,}2 \Rightarrow e \geq \dfrac{5{,}2}{0{,}4} = 13\)
Il faut poser au moins 13 cm d'isolant.
Un artisan menuisier hésite entre deux machines pour son atelier :
\(\mathbf{C_A(n) = 8n + 3000}\) | \(\mathbf{C_B(n) = 2n + 5400}\)
2. Calculs :\(C_A(200) = 1600 + 3000 = 4600\,\text{€}\) | \(C_B(200) = 400 + 5400 = 5800\,\text{€}\)
\(C_A(500) = 4000 + 3000 = 7000\,\text{€}\) | \(C_B(500) = 1000 + 5400 = 6400\,\text{€}\)
3. Seuil d'équivalence :\(2n + 5400 < 8n + 3000 \Rightarrow 5400 - 3000 < 8n - 2n \Rightarrow 2400 < 6n \Rightarrow n > 400\)
La machine B devient plus rentable à partir de 401 pièces.
4. Pour 300 pièces :\(C_A(300) = 2400 + 3000 = 5400\,\text{€}\) | \(C_B(300) = 600 + 5400 = 6000\,\text{€}\)
La machine A est meilleure. Économie : \(6000 - 5400 = \mathbf{600\,\text{€}}\).
5. Seuil de rentabilité machine A :\(B_A(n) = 20n - 8n - 3000 = 12n - 3000\)
\(12n - 3000 \geq 0 \Rightarrow 12n \geq 3000 \Rightarrow n \geq 250\)
La machine A est rentabilisée à partir de 250 pièces vendues.
6. Seuil de rentabilité machine B :\(B_B(n) = 20n - 2n - 5400 = 18n - 5400\)
\(18n - 5400 \geq 0 \Rightarrow 18n \geq 5400 \Rightarrow n \geq 300\)
La machine B est rentabilisée à partir de 300 pièces vendues. Elle met plus de temps à être rentabilisée (investissement initial plus élevé), mais son bénéfice par pièce est supérieur (18 € vs 12 €).
Un géomètre-topographe relève le profil en long d'une route en construction : l'altitude \(h\) (en mètres) est une fonction affine de la distance \(d\) parcourue depuis le point de départ (en mètres). Deux points sont relevés :
| Point relevé | Distance \(d\) (m) | Altitude \(h\) (m) |
|---|---|---|
| Départ | 0 | 148 |
| Borne B | 400 | 160 |
\(a = \dfrac{160 - 148}{400 - 0} = \dfrac{12}{400} = 0{,}03\) et \(b = h(0) = 148\).
\(\mathbf{h(d) = 0{,}03\,d + 148}\)
Vérification : \(h(400) = 0{,}03 \times 400 + 148 = 12 + 148 = 160\) ✔
2. Interprétation :Pente \(= 0{,}03 \times 100 = \mathbf{3\,\%}\) : la route monte de 3 m tous les 100 m parcourus.
\(b = 148\) est l'altitude au point de départ (\(d = 0\)).
3. Altitude à 650 m :\(h(650) = 0{,}03 \times 650 + 148 = 19{,}5 + 148 = \mathbf{167{,}5\,\text{m}}\)
4. Distance pour 175 m :\(0{,}03\,d + 148 = 175 \Rightarrow 0{,}03\,d = 27 \Rightarrow d = \dfrac{27}{0{,}03} = \mathbf{900\,\text{m}}\)
5. Voie de service :Même pente donc même coefficient directeur : \(\mathbf{g(d) = 0{,}03\,d + 142}\).
\(h\) et \(g\) ont le même coefficient directeur \(a = 0{,}03\) et des ordonnées à l'origine différentes (\(148 \neq 142\)) : les deux droites sont parallèles et distinctes. Elles ne se rejoignent jamais : l'écart d'altitude reste constant, égal à \(148 - 142 = 6\) m sur tout le tracé.
6. Variante à 5 % :\(\mathbf{k(d) = 0{,}05\,d + 148}\) (pente 5 % \(\leq\) 6 % : la variante est réglementaire).
\(0{,}05\,d + 148 = 175 \Rightarrow 0{,}05\,d = 27 \Rightarrow d = \mathbf{540\,\text{m}}\)
La variante atteint 175 m après 540 m au lieu de 900 m : elle est plus raide, donc elle gagne de l'altitude sur une distance plus courte.
Un technicien de maintenance énergétique relance la chaudière d'un atelier le matin. Il enregistre la température \(T\) de la salle (en °C) en fonction du temps \(t\) écoulé depuis la relance (en minutes). La montée en température est modélisée par une fonction affine. Son expression n'est pas donnée : elle doit être lue sur le graphique.
La droite coupe l'axe des ordonnées en \((0\,;\,13)\), donc \(\mathbf{b = 13}\) : c'est la température de l'atelier au moment de la relance (13 °C).
2. Coefficient directeur :On lit par exemple \(A(0\,;\,13)\) et \(B(10\,;\,18)\) :
\(a = \dfrac{18 - 13}{10 - 0} = \dfrac{5}{10} = \mathbf{0{,}5}\) (en °C/min)
La température monte de 0,5 °C par minute, soit 30 °C par heure. Comme \(a > 0\), la fonction est croissante.
3. Expression :\(\mathbf{T(t) = 0{,}5\,t + 13}\)
4. Atteinte de la consigne :\(0{,}5\,t + 13 = 19 \Rightarrow 0{,}5\,t = 6 \Rightarrow t = \mathbf{12\ \text{min}}\)
Sur le graphique, à \(t = 12\) la droite passe bien à la hauteur 19 °C. ✔
5. Heure de relance :Il faut 12 minutes : la relance doit être programmée à \(7\,\text{h}\,45 - 12\,\text{min} = \mathbf{7\,\text{h}\,33}\).
6. Limites du modèle :3 heures \(= 180\) min : \(T(180) = 0{,}5 \times 180 + 13 = 90 + 13 = 103\) °C.
Ce résultat n'a aucun sens : un atelier ne monte pas à 103 °C. Le modèle affine ne décrit que la phase de montée : dès que la consigne est atteinte, le thermostat coupe la chaudière et la température se stabilise autour de 19 °C. Le modèle n'est donc valable que sur l'intervalle \([0\,;\,12]\) environ — une fonction affine est croissante sans limite, ce qu'aucun phénomène physique borné ne peut être.
Une entreprise d'isolation facture la pose de laine de roche en combles selon la fonction \(f(x) = 28x + 150\), où \(x\) est la surface isolée en m² et \(f(x)\) le montant en euros.
\(a = 28\) est le prix au m² (28 €/m²) ; \(b = 150\) est le forfait fixe de déplacement, facturé même pour une petite surface.
2. Forme de g :Même prix au m² \(\Rightarrow\) même coefficient directeur : \(g(x) = 28x + b'\) avec \(b' \neq 150\).
Les deux droites ont le même coefficient directeur : elles sont donc parallèles.
3. Forfait du concurrent :\(g(20) = 690 \Rightarrow 28 \times 20 + b' = 690 \Rightarrow 560 + b' = 690 \Rightarrow b' = \mathbf{130}\)
\(\mathbf{g(x) = 28x + 130}\)
4. Intersection et comparaison :Deux droites parallèles distinctes ne se coupent jamais : il n'y a pas de surface pour laquelle les deux devis seraient égaux.
\(f(x) - g(x) = (28x + 150) - (28x + 130) = 20\). Le concurrent est toujours moins cher de 20 €, quelle que soit la surface.
5. Troisième entreprise :\(h\) a pour coefficient directeur 35 \(\neq\) 28 : sa droite n'est pas parallèle aux deux autres, elle les coupe.
\(35x + 40 = 28x + 150 \Rightarrow 7x = 110 \Rightarrow x = \dfrac{110}{7} \approx \mathbf{15{,}7\ \text{m}^2}\)
Pour une surface inférieure à environ 15,7 m², \(h\) est moins chère (son forfait de 40 € est faible) ; au-delà, son prix au m² plus élevé la rend plus chère que \(f\).
6. Décision :Pour 30 m² : \(f(30) = 840 + 150 = 990\,\text{€}\) | \(g(30) = 840 + 130 = \mathbf{970\,\text{€}}\) | \(h(30) = 1050 + 40 = 1090\,\text{€}\).
On conseille le concurrent \(g\) (970 €).
Pour 10 m² : \(f(10) = 430\,\text{€}\) | \(g(10) = 410\,\text{€}\) | \(h(10) = \mathbf{390\,\text{€}}\). La décision change : sur une petite surface, c'est \(h\) la moins chère. Le classement dépend de la surface, sauf entre \(f\) et \(g\) dont les droites parallèles ne se croisent jamais.
Un technicien en génie climatique relève la puissance \(P\) (en kW) que doit fournir une pompe à chaleur pour maintenir 19 °C dans un logement, selon la température extérieure \(T\) (en °C) :
| \(T\) (°C) | \(-10\) | \(-5\) | \(0\) | \(5\) | \(10\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) (kW) | 9,0 | 7,5 | 6,0 | 4,5 | 3,0 |
Quand \(T\) augmente de 5 °C, \(P\) diminue à chaque fois de 1,5 kW :
\(7{,}5 - 9{,}0 = -1{,}5\) ; \(6{,}0 - 7{,}5 = -1{,}5\) ; \(4{,}5 - 6{,}0 = -1{,}5\) ; \(3{,}0 - 4{,}5 = -1{,}5\)
La variation est constante pour un même pas de \(T\) : le taux d'accroissement ne dépend pas du point choisi, donc \(P\) est bien une fonction affine de \(T\).
2. Expression :\(a = \dfrac{-1{,}5}{5} = \mathbf{-0{,}3}\) et \(b = P(0) = \mathbf{6{,}0}\) (lu directement dans le tableau).
\(\mathbf{P(T) = -0{,}3\,T + 6}\)
Vérification : \(P(-10) = 3 + 6 = 9\) ✔ et \(P(10) = -3 + 6 = 3\) ✔
3. Interprétation :\(a = -0{,}3\) : chaque degré gagné à l'extérieur fait économiser 0,3 kW. \(b = 6\) : par 0 °C, il faut 6 kW.
\(a < 0\) donc \(P\) est décroissante : plus il fait doux dehors, moins il faut de puissance pour chauffer. C'est cohérent — les déperditions d'un logement diminuent quand l'écart de température avec l'extérieur se réduit.
4. Puissance par −15 °C :\(P(-15) = -0{,}3 \times (-15) + 6 = 4{,}5 + 6 = \mathbf{10{,}5\ \text{kW}}\)
5. Limite de l'installation :On cherche \(P(T) > 12\) :
\(-0{,}3\,T + 6 > 12 \Rightarrow -0{,}3\,T > 6 \Rightarrow T < \dfrac{6}{-0{,}3}\) (on divise par un nombre négatif : le sens change)
\(T < \mathbf{-20\ ^\circ\text{C}}\)
En dessous de \(-20\) °C, la puissance demandée dépasse les 12 kW disponibles : la pompe à chaleur ne suffit plus et un appoint est nécessaire. Contrôle : \(P(-20) = 6 + 6 = 12\) kW, exactement la limite. ✔
6. Écart mesure / modèle :Valeur prévue : \(P(-5) = 1{,}5 + 6 = 7{,}5\) kW. Écart : \(8{,}0 - 7{,}5 = \mathbf{0{,}5\ \text{kW}}\).
En pourcentage : \(\dfrac{0{,}5}{7{,}5} \approx 0{,}067\), soit environ \(\mathbf{6{,}7\,\%}\).
Non, on ne peut pas conclure que le modèle est faux. Un modèle affine est une approximation : la mesure dépend du vent, de l'ensoleillement, de l'occupation du logement et de la précision de l'appareil. Un écart de 6,7 % reste faible et le modèle demeure utile pour dimensionner l'installation. Il faudrait un écart important et répété, ou un écart qui grandit régulièrement avec \(T\), pour remettre le modèle en cause.