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Chapitre 8 — Fonction linéaire et proportionnalité

Exercices  |  Seconde Bac Pro MAMA  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 1 mai 2026

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📌 Objectif
Ces exercices portent sur la fonction linéaire \(f(x)=ax\) et la proportionnalité : reconnaître une situation de proportionnalité, déterminer le coefficient \(a\), construire tableau / expression / graphique et passer de l'un à l'autre.
Ils sont progressifs : on part du calcul direct (Niveau 1) pour aller jusqu'aux applications professionnelles contextualisées (Niveau 4).
O f(x)=ax

✅ À retenir — Fonction linéaire

Δx Δy a = Δy/Δx
Méthode — Calculer l'image par \(f(x)=ax\) :
On remplace \(x\) par la valeur donnée et on multiplie par \(a\). Pas de constante à ajouter : la droite passe par l'origine.

Exercices guidés pas à pas

Exercice 1 Calcul d'images — fonctions linéaires Socle

Pour chaque fonction linéaire, calculer les images demandées :

  1. \(f(x)=3x\) — calculer \(f(2)\), \(f(5)\), \(f(0)\), \(f(-4)\)
  2. \(g(x)=0{,}5x\) — calculer \(g(4)\), \(g(10)\), \(g(-6)\)
  3. \(h(x)=-2x\) — calculer \(h(3)\), \(h(-1)\), \(h(0)\)
1. \(f(x)=3x\)
a
\(f(2)=3\times2=\) 6
b
\(f(5)=3\times5=\) 15
c
\(f(0)=3\times0=\) 0 — l'image de 0 est toujours 0 pour une fonction linéaire.
d
\(f(-4)=3\times(-4)=\) −12
2. \(g(x)=0{,}5x\)
a
\(g(4)=0{,}5\times4=\) 2
b
\(g(10)=0{,}5\times10=\) 5
c
\(g(-6)=0{,}5\times(-6)=\) −3
3. \(h(x)=-2x\)
a
\(h(3)=-2\times3=\) −6
b
\(h(-1)=-2\times(-1)=\) 2
c
\(h(0)=0\) 0 — toujours vrai.
⚠ Pour \(h(-1)\) : \(-2\times(-1)=+2\) (moins × moins = plus). Ne pas oublier la règle des signes.
Exercice 2 Tableau de proportionnalité — compléter Socle

Le tableau suivant est un tableau de proportionnalité de coefficient \(a=4\). Compléter les cases vides.

x135710
f(x) = 4x……………

Vérifier que \(\dfrac{f(x)}{x}=4\) pour chaque colonne.

x135710
f(x)=4x412202840
✓
Vérification : \(\dfrac{4}{1}=\dfrac{12}{3}=\dfrac{20}{5}=\dfrac{28}{7}=\dfrac{40}{10}=\) 4 ✓
Exercice 3 Reconnaître une situation de proportionnalité Socle

Pour chaque tableau, dire si les deux grandeurs sont proportionnelles (oui/non) et justifier.

Tableau A (nombre de lames de parquet / coût en €)

Lames (n)5101520
Coût (€)18365472

Tableau B (nombre d'heures / coût avec forfait)

Heures (h)1234
Coût (€)65100135170

Tableau C (surface peinte / consommation de peinture en L)

Surface (m²)481220
Peinture (L)0,511,52,5
A
\(\dfrac{18}{5}=3{,}6\) ; \(\dfrac{36}{10}=3{,}6\) ; \(\dfrac{54}{15}=3{,}6\) ; \(\dfrac{72}{20}=3{,}6\) → rapport constant → OUI, proportionnel — coefficient a = 3,6 €/lame
B
\(\dfrac{65}{1}=65\) ; \(\dfrac{100}{2}=50\) → rapports différents → NON, pas proportionnel (forfait fixe + taux horaire = fonction affine, pas linéaire)
C
\(\dfrac{0{,}5}{4}=0{,}125\) ; \(\dfrac{1}{8}=0{,}125\) ; \(\dfrac{1{,}5}{12}=0{,}125\) ; \(\dfrac{2{,}5}{20}=0{,}125\) → OUI, proportionnel — a = 0,125 L/m²
⚠ Le tableau B a un forfait de déplacement (intercept ≠ 0) → ce n'est pas une fonction linéaire, même si le tarif horaire est constant.
Δx Δy a = Δy/Δx
Exercice 4 Calculer des images — méthode guidée Socle
Méthode : Pour calculer \(f(x) = ax\), on remplace \(x\) par la valeur donnée et on multiplie par \(a\).
Exemple : si \(f(x) = 3x\), alors \(f(5) = 3 \times 5 = 15\).
Soit \(f(x) = 4x\). Compléter :

a) \(f(2) = 4 \times \ldots = \ldots\)
b) \(f(5) = 4 \times \ldots = \ldots\)
c) \(f(0) = 4 \times \ldots = \ldots\)
d) \(f(3) = \ldots \times \ldots = \ldots\)

Soit \(g(x) = 2{,}5x\). Compléter :

e) \(g(4) = 2{,}5 \times \ldots = \ldots\)
f) \(g(10) = \ldots \times \ldots = \ldots\)
a) \(f(2) = 4 \times 2 = \mathbf{8}\)
b) \(f(5) = 4 \times 5 = \mathbf{20}\)
c) \(f(0) = 4 \times 0 = \mathbf{0}\) — l'image de 0 est toujours 0 pour une fonction linéaire.
d) \(f(3) = 4 \times 3 = \mathbf{12}\)
e) \(g(4) = 2{,}5 \times 4 = \mathbf{10}\)
f) \(g(10) = 2{,}5 \times 10 = \mathbf{25}\)
Exercice 5 Compléter un tableau de proportionnalité — guidé Socle
Atelier de menuiserie
Un menuisier achète des lames de parquet à 6 € la lame. On note \(C(n) = 6n\) le coût total en euros pour \(n\) lames.

Étape 1 — Compléter le tableau :
Rappel : multiplier chaque valeur de \(n\) par 6.
n (lames)251020
C(n) = 6n (€)    
Étape 2 — Répondre :
Le menuisier dépense 60 €. Combien de lames a-t-il achetées ?
\(6n = 60 \Rightarrow n = \dfrac{60}{6} = \ldots\)
n251020
C(n)123060120
\(6n = 60 \Rightarrow n = \dfrac{60}{6} = \mathbf{10}\) lames.
Exercice 6 Reconnaître la proportionnalité — guidé Socle
Astuce : Pour vérifier la proportionnalité, on calcule \(\dfrac{y}{x}\) pour chaque colonne.
Si le rapport est toujours le même → proportionnel. Sinon → pas proportionnel.
Tableau A — Surface de bois peint / Volume de peinture
Surface (m²)2468
Peinture (L)0,40,81,21,6
Calcul des rapports : \(\dfrac{0{,}4}{2} = \ldots\) ; \(\dfrac{0{,}8}{4} = \ldots\) ; \(\dfrac{1{,}2}{6} = \ldots\)
→ Tous égaux ? Proportionnel : OUI / NON (entoure)

Tableau B — Nombre d'heures / Tarif avec forfait
Heures (h)1234
Coût (€)6090120150
Calcul des rapports : \(\dfrac{60}{1} = \ldots\) ; \(\dfrac{90}{2} = \ldots\)
→ Tous égaux ? Proportionnel : OUI / NON (entoure)
Tableau A : \(\dfrac{0{,}4}{2} = \dfrac{0{,}8}{4} = \dfrac{1{,}2}{6} = \dfrac{1{,}6}{8} = 0{,}2\) → rapport constant → OUI, proportionnel, coefficient \(a = 0{,}2\) L/m².

Tableau B : \(\dfrac{60}{1} = 60\) mais \(\dfrac{90}{2} = 45\) → rapports différents → NON, pas proportionnel. Il y a un forfait fixe inclus dans le tarif.
Exercice 7 Trouver le coefficient — pas à pas Socle
Méthode : Si \(f\) est linéaire et que l'on connaît un point \((x_0\,;\,y_0)\), alors \(a = \dfrac{y_0}{x_0}\).
On divise toujours \(y\) par \(x\), pas l'inverse.
a) \(f\) est linéaire et \(f(3) = 12\). Compléter :
\(a = \dfrac{12}{\ldots} = \ldots\) donc \(f(x) = \ldots \times x\)

b) \(g\) est linéaire et \(g(5) = 20\). Compléter :
\(a = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \ldots\) donc \(g(x) = \ldots\)

c) \(h\) est linéaire et \(h(4) = 10\). Compléter :
\(a = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \ldots\) donc \(h(x) = \ldots\)
a) \(a = \dfrac{12}{3} = \mathbf{4}\) donc \(f(x) = 4x\).
b) \(a = \dfrac{20}{5} = \mathbf{4}\) donc \(g(x) = 4x\).
c) \(a = \dfrac{10}{4} = \mathbf{2{,}5}\) donc \(h(x) = 2{,}5x\).
⚠ On fait toujours \(\dfrac{y}{x}\), jamais \(\dfrac{x}{y}\). Si on se trompe de sens, on obtient un coefficient faux.
Exercice 8 Tarif proportionnel — prix au kilogramme Socle
Quotidien
Au marché, les pommes coûtent 3,50 € le kilogramme. On note \(P(m)\) le prix en euros pour \(m\) kg de pommes.

Étape 1 — Écrire \(P(m)\) : \(P(m) = \ldots \times m\)

Étape 2 — Compléter le tableau :
m (kg)1235
P(m) (€)    
Étape 3 — On paie 14 €. Combien de kg a-t-on achetés ?
\(3{,}5 \times m = 14 \Rightarrow m = \dfrac{14}{\ldots} = \ldots\)
Étape 1 : \(P(m) = 3{,}5 \times m = 3{,}5m\).

Étape 2 :
m (kg)1235
P(m) (€)3,507,0010,5017,50
Étape 3 : \(3{,}5m = 14 \Rightarrow m = \dfrac{14}{3{,}5} = \mathbf{4}\) kg.
Exercice 9 La droite passe-t-elle par l'origine ? — guidé Socle
Rappel : Une fonction linéaire \(f(x) = ax\) donne toujours une droite qui passe par l'origine \(O(0\,;\,0)\).
Si la droite ne passe pas par l'origine, la situation n'est pas proportionnelle.
Voici trois situations. Pour chacune, dire si c'est une fonction linéaire (OUI ou NON) et justifier.

a) Un taxi facture 2 € le km, sans forfait de prise en charge.
→ La droite passe par l'origine ? ____
→ Fonction linéaire ? ____

b) Un plombier facture 40 € de déplacement + 30 € par heure.
→ Pour 0 heure, on paie combien ? ____
→ La droite passe par l'origine ? ____
→ Fonction linéaire ? ____

c) Un stade vend les billets 12 € l'unité, sans frais fixes.
→ Fonction linéaire ? ____
a) Pour 0 km, on paie 0 € → la droite passe par l'origine → OUI, c'est une fonction linéaire \(f(x) = 2x\).

b) Pour 0 heure, on paie déjà 40 € (forfait de déplacement) → la droite ne passe pas par l'origine → NON, ce n'est pas une fonction linéaire (c'est une fonction affine).

c) Pour 0 billet, on paie 0 € → la droite passe par l'origine → OUI, c'est une fonction linéaire \(f(x) = 12x\).
Exercice 10 Conversions — fonction linéaire du quotidien Socle
Conversions
Pour convertir des mètres en centimètres, on multiplie par 100 :
\(C(m) = 100 \times m\)

a) Convertir : \(C(2) = 100 \times \ldots = \ldots\) cm
b) Convertir : \(C(0{,}5) = 100 \times \ldots = \ldots\) cm
c) Convertir : \(C(3{,}25) = 100 \times \ldots = \ldots\) cm

d) Un menuisier mesure une planche de 175 cm. Quelle est sa longueur en mètres ?
\(100 \times m = 175 \Rightarrow m = \dfrac{175}{\ldots} = \ldots\)
a) \(C(2) = 100 \times 2 = \mathbf{200}\) cm
b) \(C(0{,}5) = 100 \times 0{,}5 = \mathbf{50}\) cm
c) \(C(3{,}25) = 100 \times 3{,}25 = \mathbf{325}\) cm
d) \(100m = 175 \Rightarrow m = \dfrac{175}{100} = \mathbf{1{,}75}\) m.
⚠ La conversion m → cm est une fonction linéaire de coefficient \(a = 100\). Comme \(C(0) = 0\) (0 mètre = 0 cm), c'est bien proportionnel.
Exercice 11 Pourcentage comme fonction linéaire — guidé Socle
Rappel : Calculer 20 % d'un nombre, c'est multiplier par \(0{,}20\).
On peut écrire : \(f(x) = 0{,}20 \times x\). C'est une fonction linéaire de coefficient \(a = 0{,}20\).
Sport
Un club de sport propose une réduction de 15 % pour les lycéens. Le prix normal est noté \(x\).

a) La réduction en euros est : \(R(x) = \ldots \times x\)
(rappel : 15 % = 0,15)

b) Calculer la réduction pour un abonnement de 200 € :
\(R(200) = 0{,}15 \times \ldots = \ldots\) €

c) Calculer la réduction pour un abonnement de 80 € :
\(R(80) = \ldots\) €

d) Un lycéen bénéficie d'une réduction de 45 €. Quel était le prix normal ?
\(0{,}15 \times x = 45 \Rightarrow x = \dfrac{45}{\ldots} = \ldots\) €
a) \(R(x) = 0{,}15x\) (c'est une fonction linéaire de coefficient \(a = 0{,}15\)).
b) \(R(200) = 0{,}15 \times 200 = \mathbf{30}\) € de réduction.
c) \(R(80) = 0{,}15 \times 80 = \mathbf{12}\) € de réduction.
d) \(0{,}15x = 45 \Rightarrow x = \dfrac{45}{0{,}15} = \mathbf{300}\) €.
⚠ Un pourcentage appliqué à un nombre donne toujours une fonction linéaire. Ici \(a = 0{,}15\), ce qui signifie que pour chaque euro du prix, la réduction est de 15 centimes.
Exercice 12 Lecture graphique — La droite passe-t-elle par l'origine ? Socle
Rappel : Si une droite passe par l'origine \(O(0\,;\,0)\), alors la fonction est linéaire : \(f(x) = ax\).
Si elle ne passe pas par l'origine, ce n'est pas une fonction linéaire.
On donne trois droites sur un graphique. Pour chacune, répondre par OUI ou NON.

Droite 1 : elle passe par les points \((0\,;\,0)\) et \((3\,;\,9)\).
→ Passe par l'origine ? ____ → Fonction linéaire ? ____ → Si oui, \(a = \dfrac{9}{\ldots} = \ldots\)

Droite 2 : elle passe par les points \((0\,;\,5)\) et \((2\,;\,11)\).
→ Passe par l'origine ? ____ → Fonction linéaire ? ____

Droite 3 : elle passe par les points \((0\,;\,0)\) et \((4\,;\,6)\).
→ Passe par l'origine ? ____ → Fonction linéaire ? ____ → Si oui, \(a = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \ldots\)
Droite 1 : Passe par \((0\,;\,0)\) → OUI, fonction linéaire. \(a = \dfrac{9}{3} = \mathbf{3}\), donc \(f(x) = 3x\).

Droite 2 : Passe par \((0\,;\,5)\), pas par l'origine → NON, ce n'est pas une fonction linéaire (c'est une fonction affine).

Droite 3 : Passe par \((0\,;\,0)\) → OUI, fonction linéaire. \(a = \dfrac{6}{4} = \mathbf{1{,}5}\), donc \(f(x) = 1{,}5x\).
⚠ Pour savoir si c'est une fonction linéaire, le critère est simple : la droite passe-t-elle par l'origine ? Si oui → linéaire. Si non → affine (ou autre).
Exercice 13 Antécédent d'un nombre — pas à pas Socle
Méthode : Trouver l'antécédent de \(y\) par \(f(x) = ax\), c'est résoudre \(ax = y\).
On divise les deux côtés par \(a\) : \(x = \dfrac{y}{a}\).
Soit \(f(x) = 5x\). Compléter :

a) Trouver \(x\) tel que \(f(x) = 30\) :
\(5 \times x = 30 \Rightarrow x = \dfrac{30}{\ldots} = \ldots\)

b) Trouver \(x\) tel que \(f(x) = 15\) :
\(5x = 15 \Rightarrow x = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \ldots\)

c) Trouver \(x\) tel que \(f(x) = 42{,}5\) :
\(5x = 42{,}5 \Rightarrow x = \ldots\)

Soit \(g(x) = 0{,}4x\).

d) Trouver \(x\) tel que \(g(x) = 2\) :
\(0{,}4x = 2 \Rightarrow x = \dfrac{2}{\ldots} = \ldots\)
a) \(5x = 30 \Rightarrow x = \dfrac{30}{5} = \mathbf{6}\)
b) \(5x = 15 \Rightarrow x = \dfrac{15}{5} = \mathbf{3}\)
c) \(5x = 42{,}5 \Rightarrow x = \dfrac{42{,}5}{5} = \mathbf{8{,}5}\)
d) \(0{,}4x = 2 \Rightarrow x = \dfrac{2}{0{,}4} = \mathbf{5}\)
⚠ L'antécédent, c'est la valeur de \(x\). L'image, c'est la valeur de \(f(x)\). Ne pas confondre les deux !
f(x) = 5x — Lecture graphique des antécédents x f(x) 2 4 6 8 10 10 20 30 40 50 f(x) = 5x y=30 x=6 y=15 x=3

Pour lire un antécédent : tracer une horizontale à la hauteur y, descendre à l'intersection avec la droite, lire l'abscisse.

Exercice 14 Tarif proportionnel — carburant Socle
Énergie
Le gazole coûte 1,60 € le litre à la station-service. On note \(P(\ell)\) le prix en euros pour \(\ell\) litres.

Étape 1 — Écrire \(P(\ell)\) : \(P(\ell) = \ldots \times \ell\)

Étape 2 — Compléter le tableau :
\(\ell\) (litres)5102035
\(P(\ell)\) (€)    
Étape 3 — Un automobiliste paie 48 €. Combien de litres a-t-il mis ?
\(1{,}6 \times \ell = 48 \Rightarrow \ell = \dfrac{48}{\ldots} = \ldots\)
Étape 1 : \(P(\ell) = 1{,}6\ell\).

Étape 2 :
\(\ell\)5102035
\(P(\ell)\)8,0016,0032,0056,00
Étape 3 : \(1{,}6\ell = 48 \Rightarrow \ell = \dfrac{48}{1{,}6} = \mathbf{30}\) litres.
Exercice 15 Coefficient directeur à partir d'un tableau — guidé Socle
Quotidien
On donne le tableau de valeurs suivant. On sait que la relation est proportionnelle.
x25810
y717,52835
Étape 1 — Calculer \(\dfrac{y}{x}\) pour chaque colonne :
\(\dfrac{7}{2} = \ldots\)  ;  \(\dfrac{17{,}5}{5} = \ldots\)  ;  \(\dfrac{28}{8} = \ldots\)  ;  \(\dfrac{35}{10} = \ldots\)

Étape 2 — Les rapports sont-ils tous égaux ? ____ → \(a = \ldots\)

Étape 3 — Écrire la fonction : \(f(x) = \ldots\)

Étape 4 — Calculer \(f(12)\) : \(f(12) = \ldots \times 12 = \ldots\)
Étape 1 : \(\dfrac{7}{2} = 3{,}5\) ; \(\dfrac{17{,}5}{5} = 3{,}5\) ; \(\dfrac{28}{8} = 3{,}5\) ; \(\dfrac{35}{10} = 3{,}5\).
Étape 2 : Oui, tous égaux → \(a = \mathbf{3{,}5}\).
Étape 3 : \(f(x) = 3{,}5x\).
Étape 4 : \(f(12) = 3{,}5 \times 12 = \mathbf{42}\).
Exercice 16 TVA comme fonction linéaire — guidé Socle
Rappel : La TVA à 20 % signifie qu'on multiplie le prix hors taxe par \(0{,}20\) pour obtenir le montant de la taxe.
\(T(x) = 0{,}20 \times x\) — c'est une fonction linéaire de coefficient \(a = 0{,}20\).
Atelier de menuiserie
Un artisan menuisier facture un meuble 450 € HT (hors taxe). La TVA est de 20 %.

a) Écrire la fonction TVA : \(T(x) = \ldots \times x\)

b) Calculer la TVA sur ce meuble :
\(T(450) = 0{,}20 \times \ldots = \ldots\) €

c) Calculer le prix TTC (toutes taxes comprises) :
Prix TTC = Prix HT + TVA = \(450 + \ldots = \ldots\) €

d) Sur une facture, la TVA est de 36 €. Quel est le prix HT ?
\(0{,}20 \times x = 36 \Rightarrow x = \dfrac{36}{\ldots} = \ldots\) €
a) \(T(x) = 0{,}20x\).
b) \(T(450) = 0{,}20 \times 450 = \mathbf{90}\) € de TVA.
c) Prix TTC = \(450 + 90 = \mathbf{540}\) €.
d) \(0{,}20x = 36 \Rightarrow x = \dfrac{36}{0{,}20} = \mathbf{180}\) € HT.
⚠ La TVA est un pourcentage → c'est une fonction linéaire. Ne pas confondre le prix HT (l'antécédent) et la TVA (l'image).
Exercice 17 Consommation d'essence — proportionnalité — guidé Socle
Vie quotidienne — Transport
Un véhicule consomme 6 litres aux 100 km. Le volume \(V\) de carburant consommé est proportionnel à la distance \(d\) parcourue.

a) Quel est le coefficient de proportionnalité ? \(V = \ldots \times d\)

b) Compléter le tableau :
\(d\) (km)050100200350500
\(V(d)\) (L)………………………………

c) \(V(d)\) est-elle une fonction linéaire ? Pourquoi ?

d) Le réservoir contient 42 litres. Quelle distance maximale peut-on parcourir ?
\(0{,}06 \times d = 42 \Rightarrow d = \dfrac{42}{\ldots} = \ldots\) km
a) 6 L pour 100 km → \(V(d) = 0{,}06d\). Le coefficient est \(\mathbf{0{,}06}\).
b)
\(d\)050100200350500
\(V(d)\)036122130
c) Oui, \(V(d) = 0{,}06d\) est de la forme \(f(x) = ax\) avec \(a = 0{,}06\). C'est une fonction linéaire car \(V(0) = 0\) et le rapport \(V/d\) est constant.
d) \(0{,}06d = 42 \Rightarrow d = \dfrac{42}{0{,}06} = \mathbf{700}\) km.
⚠ Proportionnalité = fonction linéaire. Le coefficient 0,06 signifie qu'on consomme 0,06 L par km, soit 6 L par 100 km.
Exercice 18 Masse de planches — proportionnalité — guidé Socle
Menuiserie — Atelier
Un fabricant de mobilier utilise des planches de chêne. Chaque planche pèse 2,5 kg. La masse totale \(M\) est proportionnelle au nombre \(n\) de planches.

a) Écrire la fonction : \(M(n) = \ldots \times n\)

b) Calculer :
\(M(4) = 2{,}5 \times \ldots = \ldots\) kg
\(M(10) = \ldots\) kg
\(M(20) = \ldots\) kg

c) Le véhicule de livraison supporte 200 kg. Combien de planches peut-on transporter au maximum ?
\(2{,}5n = 200 \Rightarrow n = \dfrac{200}{\ldots} = \ldots\) planches

d) Vérifier que le rapport \(\dfrac{M}{n}\) est constant pour toutes les valeurs du tableau. Que vaut-il ?
a) \(M(n) = 2{,}5n\).
b) \(M(4) = 10\) kg ; \(M(10) = 25\) kg ; \(M(20) = 50\) kg.
c) \(2{,}5n = 200 \Rightarrow n = \dfrac{200}{2{,}5} = \mathbf{80}\) planches.
d) \(\dfrac{10}{4} = \dfrac{25}{10} = \dfrac{50}{20} = 2{,}5\). Le rapport est constant et vaut \(\mathbf{2{,}5}\) : c'est le coefficient de la fonction linéaire.
Méthode — Trouver le coefficient directeur \(a\) :
Si on connaît un point \((x_0\,;\,y_0)\) avec \(x_0\neq0\), alors \(a=\dfrac{y_0}{x_0}\). On vérifie ensuite que \(f(x)=ax\) passe bien par ce point.

Exercices d'application

Exercice 19 Trouver la fonction linéaire — Exercice guidé Standard

On sait que \(f\) est une fonction linéaire et que \(f(4)=14\). Déterminer \(f\).

1
Écrire la forme générale : \(f(x)=a\times\) ___
2
Utiliser le point connu : \(f(4)=14\), donc \(a\times4=\) ___
3
Calculer \(a\) : \(a=\dfrac{14}{4}=\) ___
4
Écrire la fonction : \(f(x)=\) ___
5
Vérification : \(f(4)=\_\times4=\) ___ ✓
1
\(f(x)=a\times x\)
2
\(f(4)=4a=14\)
3
\(a=\dfrac{14}{4}=3{,}5\)
4
\(f(x)=3{,}5\,x\)
5
Vérif. : \(f(4)=3{,}5\times4=14\) ✓
⚠ On divise toujours \(y\) par \(x\), pas l'inverse : \(a=\dfrac{y}{x}=\dfrac{14}{4}\), pas \(\dfrac{4}{14}\).
Exercice 20 Tableau de valeurs d'une fonction linéaire Standard

Soit \(p(x)=2{,}4\,x\). Compléter le tableau, puis répondre aux questions.

x0122,5510
p(x)………………
  1. Quelle est l'image de 5 ?
  2. Quel est l'antécédent de 12 ? (Résoudre \(2{,}4\,x=12\))
  3. Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(p(x)=24\) ?
Tableau :
x0122,5510
p(x)02,44,861224
1
\(p(5)=2{,}4\times5=\) 12
2
\(2{,}4\,x=12\Rightarrow x=\dfrac{12}{2{,}4}=\) 5 — l'antécédent de 12 est 5.
3
\(2{,}4\,x=24\Rightarrow x=\dfrac{24}{2{,}4}=\) 10
Exercice 21 Lecture graphique — Droite passant par l'origine Standard

Le graphique ci-dessous représente la fonction linéaire \(f(x)=ax\). Répondre aux questions sans calculer — en lisant uniquement le graphique.

x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 f(x) A(4 ; 2) B(2 ; 1) O

Droite \(f(x)=ax\) — lire les coordonnées des points A et B pour répondre.

  1. Lire les coordonnées du point A.
  2. Lire les coordonnées du point B.
  3. En utilisant le point A, calculer le coefficient \(a\).
  4. Vérifier avec le point B.
  5. Donner l'expression de \(f(x)\).
  6. Que vaut \(f(6)\) ? Lire sur le graphique puis vérifier par le calcul.
1
Point A : A(4 ; 2)
2
Point B : B(2 ; 1)
3
\(a=\dfrac{y_A}{x_A}=\dfrac{2}{4}=\) 0,5
4
Vérif. avec B : \(\dfrac{y_B}{x_B}=\dfrac{1}{2}=0{,}5\) ✓
5
\(f(x)=0{,}5\,x\)
6
\(f(6)=0{,}5\times6=\) 3
Exercice 22 Du tableau à l'expression et au graphique Standard

On donne le tableau de valeurs suivant :

x01246
y0361218
  1. Calculer le rapport \(\dfrac{y}{x}\) pour chaque colonne (sauf \(x=0\)). Que remarques-tu ?
  2. En déduire \(a\) et écrire la fonction \(f(x)\).
  3. Compléter le tableau avec \(x=3\) et \(x=5\).
  4. Calculer \(f(2{,}5)\) et \(f(8)\).
  5. Quel est l'antécédent de 21 ?
1
\(\dfrac{3}{1}=3\) ; \(\dfrac{6}{2}=3\) ; \(\dfrac{12}{4}=3\) ; \(\dfrac{18}{6}=3\) → rapport toujours égal à 3 : proportionnel, a = 3
2
\(f(x)=3x\)
3
\(f(3)=9\) ; \(f(5)=15\)
4
\(f(2{,}5)=7{,}5\) ; \(f(8)=24\)
5
\(3x=21\Rightarrow x=7\) → antécédent de 21 = 7
Exercice 23 Graphique interactif — Explorer \(f(x)=ax\) Standard

Utilise le graphique interactif ci-dessous. Sélectionne une fonction, puis clique sur la droite pour lire les coordonnées d'un point.

Clique sur le graphique pour lire les coordonnées d'un point.
À observer : Quelle que soit la fonction choisie, la droite passe toujours par l'origine O(0 ; 0). C'est la caractéristique de la fonction linéaire.
  1. Avec \(f(x)=1{,}5x\), lire l'image de 4. Vérifier par le calcul.
  2. Avec \(g(x)=0{,}5x\), quel est l'antécédent de 2 ?
  3. Avec \(h(x)=-x\), la droite monte ou descend quand \(x\) augmente ?
  4. Quelle droite est la plus "pentue" ? Pourquoi ?
1
\(f(4)=1{,}5\times4=\) 6
2
\(0{,}5x=2\Rightarrow x=4\) → antécédent de 2 = 4
3
Avec \(h(x)=-x\) : quand \(x\) augmente, \(h(x)\) diminue (droite descendante car \(a<0\)).
4
\(k(x)=2{,}5x\) est la plus pentue car \(|a|=2{,}5\) est le plus grand — plus \(|a|\) est grand, plus la droite est inclinée.
Exercice 24 Déterminer la fonction linéaire à partir de deux points Standard

On sait qu'une droite passe par l'origine et par le point \(A(6\,;\,21)\).

  1. Justifier que cette droite représente une fonction linéaire.
  2. Calculer le coefficient directeur \(a\).
  3. En déduire l'expression de \(f(x)\).
  4. Calculer \(f(8)\) et \(f(2{,}5)\).
  5. Déterminer l'antécédent de 52,5 par \(f\).
1
La droite passe par l'origine \(O(0\,;\,0)\) → c'est bien une fonction linéaire de la forme \(f(x) = ax\).
2
\(a = \dfrac{21}{6} = \) 3,5
3
\(f(x) = 3{,}5x\)
4
\(f(8) = 3{,}5 \times 8 = \) 28  ;  \(f(2{,}5) = 3{,}5 \times 2{,}5 = \) 8,75
5
\(3{,}5x = 52{,}5 \Rightarrow x = \dfrac{52{,}5}{3{,}5} = \) 15
Exercice 25 Comparer deux tarifs — Proportionnel ou non ? Standard

Deux salles de sport proposent chacune un tarif mensuel :

  1. On note \(A(m)\) le coût total à la salle Alpha pour \(m\) mois, et \(B(m)\) le coût total à la salle Bêta. Écrire \(A(m)\) et \(B(m)\).
  2. L'une de ces fonctions est-elle linéaire ? Laquelle ? Justifier.
  3. Compléter le tableau de valeurs pour \(m \in \{1\,;\,2\,;\,4\,;\,6\,;\,10\,;\,12\}\).
  4. À partir de combien de mois la salle Bêta devient-elle plus avantageuse que la salle Alpha ?
m (mois)12461012
A(m) (€)………………
B(m) (€)………………
1
\(A(m) = 35m\)  |  \(B(m) = 50 + 20m\)
2
\(A(m) = 35m\) est linéaire (pas de forfait, \(A(0) = 0\)). \(B(m) = 50 + 20m\) n'est pas linéaire : c'est une fonction affine (il y a un terme constant de 50 €).
3
m12461012
A(m)3570140210350420
B(m)7090130170250290
4
On cherche quand \(B(m) < A(m)\), c'est-à-dire \(50 + 20m < 35m\), soit \(50 < 15m\), donc \(m > \dfrac{50}{15} \approx 3{,}3\).
→ À partir de 4 mois, la salle Bêta est moins chère.
⚠ Un tarif avec forfait fixe n'est jamais proportionnel. Seul le tarif sans frais fixes (salle Alpha) donne une fonction linéaire.
Exercice 26 Conversions d'unités — fonctions linéaires Standard

Les conversions suivantes sont toutes des fonctions linéaires. Pour chacune, donner le coefficient \(a\) et écrire la fonction.

  1. km → m : 1 km = 1 000 m. On note \(f(x)\) la longueur en mètres pour \(x\) km.
    Écrire \(f(x)\). Calculer \(f(3{,}5)\) et trouver l'antécédent de 7 200.
  2. heures → minutes : 1 h = 60 min. On note \(g(t)\) la durée en minutes pour \(t\) heures.
    Écrire \(g(t)\). Calculer \(g(2{,}5)\) et trouver l'antécédent de 225.
  3. kg → g : 1 kg = 1 000 g. On note \(h(m)\) la masse en grammes pour \(m\) kg.
    Écrire \(h(m)\). Calculer \(h(0{,}75)\).
1
\(f(x) = 1\,000\,x\). \(f(3{,}5) = 1\,000 \times 3{,}5 = \) 3 500 m.
Antécédent de 7 200 : \(1\,000\,x = 7\,200 \Rightarrow x = \) 7,2 km.
2
\(g(t) = 60t\). \(g(2{,}5) = 60 \times 2{,}5 = \) 150 min.
Antécédent de 225 : \(60t = 225 \Rightarrow t = \dfrac{225}{60} = \) 3,75 h = 3 h 45 min.
3
\(h(m) = 1\,000\,m\). \(h(0{,}75) = 1\,000 \times 0{,}75 = \) 750 g.
⚠ Toutes les conversions d'unités sont des fonctions linéaires : 0 km = 0 m, 0 h = 0 min, etc. Le coefficient \(a\) est le facteur de conversion.
Exercice 27 Coefficient directeur négatif — Température Standard

En montagne, la température diminue de 6,5 °C par kilomètre d'altitude gagné. On note \(D(h)\) la baisse de température (en °C) pour \(h\) km d'altitude.

  1. Écrire \(D(h)\). Quel est le signe du coefficient directeur ? Pourquoi ?
  2. Compléter le tableau de valeurs :
h (km)00,5123
D(h) (°C)……………
  1. Si la température au sol est de 25 °C, quelle sera la température à 2 km d'altitude ?
  2. À quelle altitude la température aura-t-elle baissé de 19,5 °C ?
1
\(D(h) = -6{,}5h\). Le coefficient est négatif car la température diminue quand l'altitude augmente.
2
h (km)00,5123
D(h) (°C)0−3,25−6,5−13−19,5
3
Température à 2 km : \(25 + D(2) = 25 + (-13) = 25 - 13 = \) 12 °C.
4
\(-6{,}5h = -19{,}5 \Rightarrow h = \dfrac{-19{,}5}{-6{,}5} = \) 3 km d'altitude.
Exercice 28 Pourcentage et réduction — Vente en ligne Standard

Un site de vente en ligne propose une réduction de 30 % pendant les soldes. On note \(R(x)\) le montant de la réduction en euros pour un article de prix initial \(x\) euros.

  1. Écrire \(R(x)\). Est-ce une fonction linéaire ? Justifier.
  2. Compléter le tableau :
Prix initial \(x\) (€)205080120200
Réduction \(R(x)\) (€)……………
Prix soldé (€)……………
  1. Exprimer le prix soldé \(S(x)\) en fonction de \(x\). Est-ce aussi une fonction linéaire ?
  2. Un client obtient une réduction de 27 €. Quel était le prix initial de l'article ?
1
\(R(x) = 0{,}3x\). Oui, c'est une fonction linéaire : \(R(x) = ax\) avec \(a = 0{,}3\) et \(R(0) = 0\).
2
\(x\)205080120200
\(R(x)\)615243660
Prix soldé14355684140
3
\(S(x) = x - 0{,}3x = 0{,}7x\). Oui, c'est aussi une fonction linéaire de coefficient \(a = 0{,}7\).
4
\(0{,}3x = 27 \Rightarrow x = \dfrac{27}{0{,}3} = \) 90 €
⚠ Le prix soldé est aussi proportionnel au prix initial : payer 70 % du prix, c'est multiplier par 0,7. C'est donc une fonction linéaire de coefficient 0,7.
Exercice 29 Conversion euros-dollars — taux de change Standard
🌍 Vie quotidienne — Voyage
Le taux de change euro/dollar est de 1 € = 1,08 $. On note \(D(x)\) le montant en dollars correspondant à \(x\) euros.
  1. Exprimer \(D(x)\) en fonction de \(x\). Est-ce une fonction linéaire ? Justifier.
  2. Compléter le tableau de conversion pour \(x = 10, 50, 100, 200, 500\).
  3. Vérifier la proportionnalité en calculant le rapport \(D(x)/x\) pour chaque valeur.
  4. Un touriste a dépensé 270 $ aux États-Unis. Combien cela représente-t-il en euros ?
  5. La fonction \(E(y)\) qui convertit les dollars \(y\) en euros est-elle aussi linéaire ? Donner son coefficient.
1
\(D(x) = 1{,}08x\). Oui, c'est une fonction linéaire de coefficient \(a = 1{,}08\). On a bien \(D(0) = 0\).
2
\(x\) (€)1050100200500
\(D(x)\) ($)10,8054108216540
3
\(\dfrac{10{,}80}{10} = \dfrac{54}{50} = \dfrac{108}{100} = 1{,}08\). Le rapport est constant : c'est bien proportionnel.
4
\(1{,}08x = 270 \Rightarrow x = \dfrac{270}{1{,}08} = \) 250 €.
5
\(E(y) = \dfrac{y}{1{,}08} \approx 0{,}926y\). Oui, c'est une fonction linéaire de coefficient \(a \approx 0{,}926\).
Exercice 30 Vitesse et distance — course à pied Standard
🏃 Sport — Athlétisme
Un athlète court à vitesse constante de 12 km/h. La distance \(d\) (en km) est proportionnelle au temps \(t\) (en heures).
  1. Exprimer \(d(t)\) en fonction de \(t\). Donner le coefficient de la fonction linéaire.
  2. Calculer la distance parcourue en 30 minutes, 1 h 15 min et 2 h.
  3. L'athlète veut parcourir un semi-marathon (21,1 km). En combien de temps le terminera-t-il ?
  4. Un second athlète court à 10 km/h. Exprimer sa distance \(d_2(t)\). Après 1 h 30 min, quel écart (en km) sépare les deux coureurs ?
1
\(d(t) = 12t\). Le coefficient est \(a = 12\) (la vitesse en km/h).
2
30 min = 0,5 h : \(d(0{,}5) = 6\) km. 1 h 15 = 1,25 h : \(d(1{,}25) = 15\) km. 2 h : \(d(2) = 24\) km.
3
\(12t = 21{,}1 \Rightarrow t = \dfrac{21{,}1}{12} \approx 1{,}76\) h, soit environ 1 h 45 min.
4
\(d_2(t) = 10t\). Après 1,5 h : \(d(1{,}5) = 18\) km et \(d_2(1{,}5) = 15\) km. Écart : \(18 - 15 = \) 3 km.
⚠ La différence \(d(t) - d_2(t) = 12t - 10t = 2t\) est aussi une fonction linéaire ! L'écart croît proportionnellement au temps.

Exercices d'approfondissement

Exercice 31 Coût des lames de parquet chêne 🪵 Menuiserie — Parquet / Lames de plancher Approfondissement

Des lames de parquet en chêne massif coûtent 8,50 € la lame. On appelle \(C(n)\) le coût total en euros pour \(n\) lames.

  1. Écrire l'expression de \(C(n)\).
  2. Est-ce une fonction linéaire ? Justifier.
  3. Compléter le tableau de valeurs :
n (lames)05102050100
C(n) (€)………………
  1. Un menuisier commande 75 lames. Quel est le coût total ?
  2. Son budget est de 500 €. Combien de lames peut-il acheter au maximum ?
1
\(C(n)=8{,}5\,n\)
2
Oui, c'est une fonction linéaire : \(C(n)=a\times n\) avec \(a=8{,}5\), et \(C(0)=0\) (pas de forfait fixe).
3
n05102050100
C(n)042,5085170425850
4
\(C(75)=8{,}5\times75=\) 637,50 €
5
\(8{,}5\,n\leq500\Rightarrow n\leq\dfrac{500}{8{,}5}\approx58{,}8\) → 58 lames maximum (on arrondit à l'entier inférieur).
Exercice 32 Consommation de peinture — Comparer deux produits 🎨 Menuiserie — Peinture / Revêtements Approfondissement

Un menuisier compare deux peintures pour laquer des portes :

On note \(A(s)\) et \(B(s)\) les volumes de peinture (en litres) nécessaires pour couvrir \(s\) m².

  1. Écrire \(A(s)\) et \(B(s)\).
  2. Lire le graphique ci-dessous et répondre : pour 12 m², quelle est la consommation de chaque peinture ?
  3. Pour peindre 20 m², quelle économie en litres réalise-t-on avec la peinture A ?
  4. Un pot de peinture A contient 2,5 L. Combien de m² peut-on couvrir avec un pot ?
1
\(A(s)=0{,}15\,s\) et \(B(s)=0{,}25\,s\)
2
\(A(12)=0{,}15\times12=\) 1,8 L  |  \(B(12)=0{,}25\times12=\) 3 L
3
\(B(20)-A(20)=5-3=\) 2 L d'économie avec la peinture A pour 20 m².
4
\(0{,}15\,s=2{,}5\Rightarrow s=\dfrac{2{,}5}{0{,}15}\approx\) 16,7 m² avec un pot de 2,5 L.
Exercice 33 Deux artisans — Vitesse de pose proportionnelle 🔧 Menuiserie — Pose de plancher / Vitesse de travail Approfondissement

Deux artisans posent du parquet stratifié. Ils travaillent à vitesse constante :

On appelle \(J(h)\) et \(T(h)\) la surface posée (en m²) après \(h\) heures de travail.

  1. Écrire \(J(h)\) et \(T(h)\).
  2. Compléter le tableau de valeurs pour \(h\in\{0;1;2;3;4;6;8\}\).
  3. Un chantier nécessite 48 m² de parquet. Combien de temps mettra chaque artisan ?
  4. Le client dispose de 6 heures. Quelle surface chaque artisan peut-il couvrir ?
  5. Quelle est la "signification professionnelle" du coefficient directeur de \(J\) ?
h (heures)0123468
J(h) m²…………………
T(h) m²…………………
1
\(J(h)=8h\) et \(T(h)=5h\)
2
h0123468
J(h)081624324864
T(h)051015203040
3
Jules : \(8h=48\Rightarrow h=6\) → 6 heures  |  Théo : \(5h=48\Rightarrow h=9{,}6\) → 9 h 36 min
4
\(J(6)=48\text{ m}^2\)  |  \(T(6)=30\text{ m}^2\)
5
Le coefficient directeur \(a=8\) représente la vitesse de pose : 8 m² posés par heure. Dans un contexte professionnel, c'est la productivité horaire de Jules.
Exercice 34 Tarification proportionnelle — Moulures sur mesure 🪵 Menuiserie — Devis / Facturation Approfondissement

Un fabricant de mobilier vend des moulures décoratives en bois massif au mètre linéaire. Le catalogue propose trois essences :

On note \(C_1(\ell)\), \(C_2(\ell)\) et \(C_3(\ell)\) les coûts respectifs pour \(\ell\) mètres de moulure.

  1. Écrire les trois fonctions. Sont-elles linéaires ? Justifier.
  2. Compléter le tableau de valeurs pour \(\ell \in \{0\,;\,2\,;\,5\,;\,10\,;\,15\,;\,20\}\).
  3. Un métreur a besoin de 14 m de moulures pour encadrer un plafond. Calculer le coût dans chaque essence.
  4. Le budget maximal est de 150 €. Quelle longueur maximale de moulure en chêne peut-on acheter ?
  5. Quelle essence permet d'acheter au moins 25 m avec un budget de 150 € ?
\(\ell\) (m)025101520
\(C_1(\ell)\) chêne………………
\(C_2(\ell)\) hêtre………………
\(C_3(\ell)\) pin………………
1
\(C_1(\ell) = 12{,}5\ell\), \(C_2(\ell) = 8{,}4\ell\), \(C_3(\ell) = 5{,}2\ell\). Les trois sont linéaires : \(f(\ell) = a\ell\) et \(f(0) = 0\) (pas de forfait).
2
\(\ell\)025101520
Chêne02562,50125187,50250
Hêtre016,804284126168
Pin010,40265278104
3
Pour 14 m : Chêne : \(12{,}5 \times 14 = \) 175 € | Hêtre : \(8{,}4 \times 14 = \) 117,60 € | Pin : \(5{,}2 \times 14 = \) 72,80 €
4
\(12{,}5\ell \leq 150 \Rightarrow \ell \leq \dfrac{150}{12{,}5} = \) 12 m maximum en chêne.
5
Pin : \(5{,}2 \times 25 = 130 \leq 150\) ✓ | Hêtre : \(8{,}4 \times 25 = 210 > 150\) ✗ → Seul le pin permet 25 m avec 150 €.
Exercice 35 Comparaison de devis — Proportionnel vs affine 🔧 Menuiserie — Devis professionnel Approfondissement

Un menuisier agenceur reçoit deux devis de fournisseurs pour des panneaux de contreplaqué :

On note \(X(n)\) et \(Y(n)\) les coûts totaux pour \(n\) panneaux.

  1. Écrire \(X(n)\) et \(Y(n)\). Laquelle est une fonction linéaire ?
  2. Compléter le tableau de valeurs pour \(n \in \{0\,;\,2\,;\,5\,;\,10\,;\,15\,;\,20\}\).
  3. Résoudre l'équation \(X(n) = Y(n)\) pour trouver le nombre de panneaux à partir duquel le fournisseur Y est plus avantageux.
  4. Un chantier nécessite 25 panneaux. Quelle économie réalise-t-on en choisissant le meilleur fournisseur ?
  5. Représenter graphiquement les deux fonctions sur un même repère et vérifier le résultat de la question 3.
n (panneaux)025101520
X(n) (€)………………
Y(n) (€)………………
1
\(X(n) = 18n\) (linéaire) et \(Y(n) = 60 + 12n\) (affine, non linéaire car \(Y(0) = 60 \neq 0\)).
2
n025101520
X(n)03690180270360
Y(n)6084120180240300
3
\(18n = 60 + 12n \Rightarrow 6n = 60 \Rightarrow n = \) 10 panneaux. Pour \(n > 10\), le fournisseur Y est moins cher.
4
\(X(25) = 18 \times 25 = 450\) €  |  \(Y(25) = 60 + 12 \times 25 = 360\) € → économie : 90 € avec le fournisseur Y.
5
Sur le graphique, la droite \(X(n)\) part de l'origine (linéaire), la droite \(Y(n)\) part de 60 (affine). Elles se croisent en \(n = 10\).
Exercice 36 Échelle de plan — Fonction linéaire et proportionnalité Approfondissement

Un menuisier agenceur travaille sur le plan d'un dressing à l'échelle 1/20. Cela signifie que 1 cm sur le plan représente 20 cm en réalité.

On note \(R(x)\) la dimension réelle (en cm) pour une dimension \(x\) cm sur le plan : \(R(x) = 20x\).

  1. Justifier que \(R\) est une fonction linéaire. Quel est son coefficient directeur ?
  2. Sur le plan, le dressing mesure 12 cm de large et 8 cm de profondeur. Calculer les dimensions réelles en cm, puis en mètres.
  3. La hauteur réelle du dressing est 250 cm. Quelle sera la mesure sur le plan ?
  4. Le menuisier souhaite ajouter une étagère de 60 cm de profondeur réelle. Quelle dimension sur le plan ?
  5. Si l'on change pour une échelle 1/50, écrire la nouvelle fonction \(R'(x)\) et recalculer les dimensions du dressing sur le nouveau plan.
1
\(R(x) = 20x\) est linéaire : forme \(f(x) = ax\) avec \(a = 20\), et \(R(0) = 0\) (0 cm sur le plan = 0 cm en réalité).
2
Largeur : \(R(12) = 20 \times 12 = \) 240 cm = 2,40 m.
Profondeur : \(R(8) = 20 \times 8 = \) 160 cm = 1,60 m.
3
\(20x = 250 \Rightarrow x = \dfrac{250}{20} = \) 12,5 cm sur le plan.
4
\(20x = 60 \Rightarrow x = \dfrac{60}{20} = \) 3 cm sur le plan.
5
\(R'(x) = 50x\). Largeur sur le plan : \(\dfrac{240}{50} = \) 4,8 cm. Profondeur : \(\dfrac{160}{50} = \) 3,2 cm.
Exercice 37 Pourcentage de perte — Usinage du bois Approfondissement

Lors de l'usinage du bois (ponçage, découpe, rabotage), on perd en moyenne 8 % du volume initial de la pièce. On note \(P(V)\) le volume perdu (en dm³) pour une pièce de volume initial \(V\) dm³.

  1. Écrire \(P(V)\). Est-ce une fonction linéaire ?
  2. Écrire la fonction \(U(V)\) donnant le volume utile (volume restant après usinage) en fonction de \(V\).
  3. Un artisan menuisier doit fabriquer un plateau de table dont le volume utile doit être exactement 36 dm³. Quel volume initial de bois brut doit-il commander ?
  4. Il commande 5 pièces de bois de 10 dm³ chacune. Quel volume utile total obtiendra-t-il ?
  5. Quel est le coefficient directeur de \(U\) ? Interpréter sa valeur dans le contexte professionnel.
1
\(P(V) = 0{,}08V\). Oui, c'est une fonction linéaire (\(a = 0{,}08\) et \(P(0) = 0\)).
2
\(U(V) = V - 0{,}08V = \) \(0{,}92V\). C'est aussi une fonction linéaire de coefficient \(a = 0{,}92\).
3
\(0{,}92V = 36 \Rightarrow V = \dfrac{36}{0{,}92} \approx \) 39,13 dm³. Il doit commander au moins 39,2 dm³ de bois brut.
4
Volume total initial : \(5 \times 10 = 50\) dm³. Volume utile : \(U(50) = 0{,}92 \times 50 = \) 46 dm³.
5
Le coefficient \(a = 0{,}92\) signifie que 92 % du volume initial est conservé après usinage. Pour chaque dm³ de bois brut, on obtient 0,92 dm³ de bois utilisable.
Exercice 38 Consommation électrique — Fonction linéaire et énergie Approfondissement

Un atelier de menuiserie utilise une scie à panneaux qui consomme 2,4 kWh par heure de fonctionnement. Le prix de l'électricité est de 0,18 € par kWh.

  1. Écrire la fonction \(E(t)\) donnant l'énergie consommée (en kWh) pour \(t\) heures de fonctionnement.
  2. Écrire la fonction \(C(t)\) donnant le coût de l'électricité (en €) pour \(t\) heures de fonctionnement. Est-ce une fonction linéaire ?
  3. Compléter le tableau pour \(t \in \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\}\).
  4. Un artisan utilise la scie pendant une journée de 7 heures. Quel est le coût en électricité ?
  5. Le budget mensuel en électricité pour cette machine est de 50 €. Combien d'heures par mois peut-elle fonctionner au maximum ?
  6. Montrer que la composition de deux fonctions linéaires est encore une fonction linéaire.
t (h)012468
E(t) (kWh)………………
C(t) (€)………………
1
\(E(t) = 2{,}4t\) (fonction linéaire, \(a = 2{,}4\)).
2
\(C(t) = 0{,}18 \times E(t) = 0{,}18 \times 2{,}4t = \) \(0{,}432t\). Oui, c'est une fonction linéaire de coefficient \(a = 0{,}432\).
3
t012468
E(t)02,44,89,614,419,2
C(t)00,430,861,732,593,46
4
\(C(7) = 0{,}432 \times 7 = \) 3,02 €.
5
\(0{,}432t \leq 50 \Rightarrow t \leq \dfrac{50}{0{,}432} \approx \) 115,7 heures par mois maximum.
6
Si \(E(t) = bt\) et \(C(E) = cE\), alors \(C(t) = c \times bt = (cb)t\). C'est une fonction linéaire de coefficient \(a = cb = 0{,}18 \times 2{,}4 = 0{,}432\). La composée de deux fonctions linéaires est linéaire, de coefficient égal au produit des deux coefficients.
Exercice 39 Problème ouvert — Mélange de proportions Approfondissement

Un fabricant de mobilier prépare une teinte personnalisée pour un client. La recette nécessite un mélange de deux produits :

On note \(V\) le volume total du mélange (en litres).

  1. Exprimer le volume de produit A en fonction de \(V\). Même question pour le produit B.
    Indication : dans le mélange, on a 3 parts de A et 1 part de B, soit 4 parts au total.
  2. Montrer que \(A(V)\) et \(B(V)\) sont des fonctions linéaires. Donner leurs coefficients.
  3. Le client commande 12 litres de teinte. Quels volumes de A et de B faut-il préparer ?
  4. Le fabricant dispose de 5 litres de produit B en stock. Quel volume maximal de mélange peut-il réaliser ?
  5. Le produit A coûte 8 € le litre et le produit B coûte 22 € le litre. Écrire la fonction \(P(V)\) donnant le prix total du mélange pour \(V\) litres. Est-ce une fonction linéaire ?
  6. Quel est le prix au litre du mélange ?
1
Le mélange contient 4 parts au total : 3 de A et 1 de B.
\(A(V) = \dfrac{3}{4}V = 0{,}75V\)  |  \(B(V) = \dfrac{1}{4}V = 0{,}25V\)
2
\(A(V) = 0{,}75V\) est linéaire (\(a = 0{,}75\)) et \(B(V) = 0{,}25V\) est linéaire (\(a = 0{,}25\)). Remarque : \(0{,}75 + 0{,}25 = 1\), ce qui est cohérent (le total = \(V\)).
3
\(A(12) = 0{,}75 \times 12 = \) 9 litres de A  |  \(B(12) = 0{,}25 \times 12 = \) 3 litres de B.
4
\(0{,}25V = 5 \Rightarrow V = \dfrac{5}{0{,}25} = \) 20 litres de mélange au maximum.
5
\(P(V) = 8 \times A(V) + 22 \times B(V) = 8 \times 0{,}75V + 22 \times 0{,}25V = 6V + 5{,}5V = \) \(11{,}5V\).
Oui, c'est une fonction linéaire de coefficient \(a = 11{,}5\).
6
Le prix au litre du mélange est le coefficient directeur : 11,50 € par litre.
⚠ La combinaison linéaire de fonctions linéaires est encore une fonction linéaire. Ici, \(P(V) = 8 \times 0{,}75V + 22 \times 0{,}25V = (6 + 5{,}5)V = 11{,}5V\).
Exercice 40 Puissance et consommation — comparaison de deux appareils ⚡ Énergie — Consommation électrique Approfondissement

Un technicien de maintenance énergétique compare deux radiateurs électriques pour un atelier :

Le tarif de l'électricité est de 0,22 €/kWh.

  1. Exprimer le coût horaire de chaque radiateur sous forme de fonction linéaire : \(C_A(t)\) et \(C_B(t)\) en euros, où \(t\) est le temps en heures.
  2. Calculer le coût d'utilisation de chaque radiateur pour 8 h (une journée de travail).
  3. Le radiateur B chauffe la pièce en 45 min contre 1 h 15 pour le radiateur A. Exprimer le coût pour atteindre la température souhaitée avec chaque radiateur.
  4. En supposant qu'on utilise le radiateur pendant \(t\) heures par jour, 220 jours par an, exprimer le coût annuel de chaque radiateur. Pour combien d'heures par jour le surcoût annuel du radiateur B dépasse-t-il 100 € ?
1
\(C_A(t) = 1{,}5 \times 0{,}22 \times t = 0{,}33t\) € et \(C_B(t) = 2 \times 0{,}22 \times t = 0{,}44t\) €. Les deux sont des fonctions linéaires.
2
\(C_A(8) = 0{,}33 \times 8 = 2{,}64\) € et \(C_B(8) = 0{,}44 \times 8 = 3{,}52\) €. Différence : 0,88 € par jour.
3
Radiateur A (1 h 15 = 1,25 h) : \(C_A(1{,}25) = 0{,}41\) €.
Radiateur B (45 min = 0,75 h) : \(C_B(0{,}75) = 0{,}33\) €.
Le radiateur B est moins cher pour la mise en température (plus puissant mais utilisé moins longtemps).
4
Annuel A : \(0{,}33t \times 220 = 72{,}6t\) €. Annuel B : \(0{,}44t \times 220 = 96{,}8t\) €.
Surcoût : \(96{,}8t - 72{,}6t = 24{,}2t\). \(24{,}2t > 100 \Rightarrow t > 4{,}13\).
Le surcoût dépasse 100 €/an dès plus de 4 h d'utilisation quotidienne.
Exercice 41 Devis et rentabilité — sous-traitance ou embauche 🪵 Menuiserie — Chantier Approfondissement

Un artisan menuisier doit réaliser un chantier d'agencement intérieur. Il hésite entre deux options pour la découpe des panneaux :

On note \(n\) le nombre de panneaux découpés en une journée.

  1. Exprimer le coût de chaque option en fonction de \(n\) : \(C_A(n)\) et \(C_B(n)\). L'option A est-elle une fonction linéaire ? Et l'option B ?
  2. À partir de combien de panneaux la location devient-elle plus avantageuse ? (Résoudre \(C_B(n) < C_A(n)\).)
  3. Le chantier nécessite la découpe de 25 panneaux en une journée. Quelle option choisir ? Calculer l'économie.
  4. Si le chantier dure 3 jours avec 25 panneaux par jour, comparer les coûts totaux. L'option B reste-t-elle avantageuse ?
  5. Déterminer le coefficient de la fonction linéaire \(C_A\). Le rapport \(C_B(n)/n\) est-il constant ? Qu'en conclure ?
1
\(C_A(n) = 12n\) (fonction linéaire, \(a = 12\)). \(C_B(n) = 2n + 180\) (pas une fonction linéaire car \(C_B(0) = 180 \neq 0\)). C'est une fonction affine.
2
\(2n + 180 < 12n \Rightarrow 180 < 10n \Rightarrow n > 18\). La location est avantageuse à partir de 19 panneaux.
3
\(C_A(25) = 300\) € et \(C_B(25) = 230\) €. L'option B est préférable. Économie : 70 €.
4
Sur 3 jours (75 panneaux) : \(C_A = 12 \times 75 = 900\) € et \(C_B = 3 \times 180 + 2 \times 75 = 690\) €. Économie : 210 €. L'option B reste largement avantageuse.
5
\(C_A/n = 12\) (constant) → proportionnalité confirmée.
\(C_B/n = 2 + 180/n\) (dépend de \(n\)) → pas de proportionnalité. La location fixe « casse » la linéarité.
⚠ Seule l'option A (sans frais fixe) est une fonction linéaire. L'option B est affine : le coût fixe empêche la proportionnalité. C'est la différence fondamentale entre fonction linéaire (\(f(x) = ax\)) et fonction affine (\(f(x) = ax + b\)).

✅ Bilan — Ce que tu dois savoir faire