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Chapitre 8 — Fonction linéaire et proportionnalité

Exercices  |  2nde Bac Pro  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 24 juillet 2026

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📌 Objectif
Ces exercices portent sur la fonction linéaire \(f(x)=ax\) et la proportionnalité : reconnaître une situation de proportionnalité, déterminer le coefficient \(a\), construire tableau / expression / graphique et passer de l'un à l'autre.
Ils sont progressifs : on part du calcul direct (Niveau 1) pour aller jusqu'aux applications professionnelles contextualisées (Niveau 4).
O f(x)=ax

✅ À retenir — Fonction linéaire

Δx Δy a = Δy/Δx
Méthode — Calculer l'image par \(f(x)=ax\) :
On remplace \(x\) par la valeur donnée et on multiplie par \(a\). Pas de constante à ajouter : la droite passe par l'origine.

Exercices guidés pas à pas

Exercice 1-1 Calcul d'images — fonctions linéaires Socle

Pour chaque fonction linéaire, calculer les images demandées :

  1. \(f(x)=3x\) — calculer \(f(2)\), \(f(5)\), \(f(0)\), \(f(-4)\)
  2. \(g(x)=0{,}5x\) — calculer \(g(4)\), \(g(10)\), \(g(-6)\)
  3. \(h(x)=-2x\) — calculer \(h(3)\), \(h(-1)\), \(h(0)\)
1. \(f(x)=3x\)
a
\(f(2)=3\times2=\) 6
b
\(f(5)=3\times5=\) 15
c
\(f(0)=3\times0=\) 0 — l'image de 0 est toujours 0 pour une fonction linéaire.
d
\(f(-4)=3\times(-4)=\) −12
2. \(g(x)=0{,}5x\)
a
\(g(4)=0{,}5\times4=\) 2
b
\(g(10)=0{,}5\times10=\) 5
c
\(g(-6)=0{,}5\times(-6)=\) −3
3. \(h(x)=-2x\)
a
\(h(3)=-2\times3=\) −6
b
\(h(-1)=-2\times(-1)=\) 2
c
\(h(0)=-2\times0=\) 0 — l'image de 0 est toujours 0 pour une fonction linéaire.
⚠ Pour \(h(-1)\) : \(-2\times(-1)=+2\) (moins × moins = plus). Ne pas oublier la règle des signes.
Exercice 1-2 Tableau de proportionnalité — compléter Socle

Le tableau suivant est un tableau de proportionnalité de coefficient \(a=4\). Compléter les cases vides.

x135710
f(x) = 4x……………

Vérifier que \(\dfrac{f(x)}{x}=4\) pour chaque colonne.

x135710
f(x)=4x412202840
✓
Vérification : \(\dfrac{4}{1}=\dfrac{12}{3}=\dfrac{20}{5}=\dfrac{28}{7}=\dfrac{40}{10}=\) 4 ✓
Exercice 1-3 Reconnaître une situation de proportionnalité Socle

Pour chaque tableau, dire si les deux grandeurs sont proportionnelles (oui/non) et justifier.

Tableau A (nombre de carreaux de carrelage / coût en €)

Carreaux (n)5101520
Coût (€)18365472

Tableau B (nombre d'heures / coût avec forfait)

Heures (h)1234
Coût (€)65100135170

Tableau C (surface peinte / consommation de peinture en L)

Surface (m²)481220
Peinture (L)0,511,52,5
A
\(\dfrac{18}{5}=3{,}6\) ; \(\dfrac{36}{10}=3{,}6\) ; \(\dfrac{54}{15}=3{,}6\) ; \(\dfrac{72}{20}=3{,}6\) → rapport constant → OUI, proportionnel — coefficient a = 3,6 €/carreau
B
\(\dfrac{65}{1}=65\) ; \(\dfrac{100}{2}=50\) → rapports différents → NON, pas proportionnel
C
\(\dfrac{0{,}5}{4}=0{,}125\) ; \(\dfrac{1}{8}=0{,}125\) ; \(\dfrac{1{,}5}{12}=0{,}125\) ; \(\dfrac{2{,}5}{20}=0{,}125\) → OUI, proportionnel — a = 0,125 L/m²
⚠ Le tableau B comporte un forfait de déplacement : pour 0 h, le prix n'est pas nul → ce n'est pas une situation de proportionnalité, même si le tarif horaire est constant.
Δx Δy a = Δy/Δx
Exercice 1-4 Calculer des images — méthode guidée Socle
Méthode : Pour calculer \(f(x) = ax\), on remplace \(x\) par la valeur donnée et on multiplie par \(a\).
Exemple : si \(f(x) = 3x\), alors \(f(5) = 3 \times 5 = 15\).
Soit \(f(x) = 4x\). Compléter :

a) \(f(2) = 4 \times \ldots = \ldots\)
b) \(f(5) = 4 \times \ldots = \ldots\)
c) \(f(0) = 4 \times \ldots = \ldots\)
d) \(f(3) = \ldots \times \ldots = \ldots\)

Soit \(g(x) = 2{,}5x\). Compléter :

e) \(g(4) = 2{,}5 \times \ldots = \ldots\)
f) \(g(10) = \ldots \times \ldots = \ldots\)
a) \(f(2) = 4 \times 2 = \mathbf{8}\)
b) \(f(5) = 4 \times 5 = \mathbf{20}\)
c) \(f(0) = 4 \times 0 = \mathbf{0}\) — l'image de 0 est toujours 0 pour une fonction linéaire.
d) \(f(3) = 4 \times 3 = \mathbf{12}\)
e) \(g(4) = 2{,}5 \times 4 = \mathbf{10}\)
f) \(g(10) = 2{,}5 \times 10 = \mathbf{25}\)
Exercice 1-5 Compléter un tableau de proportionnalité — guidé Socle
Chauffage — Plomberie
Un plombier chauffagiste achète des raccords en cuivre à 6 € pièce. On note \(C(n) = 6n\) le coût total en euros pour \(n\) raccords.

Étape 1 — Compléter le tableau :
Rappel : multiplier chaque valeur de \(n\) par 6.
n (raccords)251020
C(n) = 6n (€)    
Étape 2 — Répondre :
Le plombier dépense 60 €. Combien de raccords a-t-il achetés ?
\(6n = 60 \Rightarrow n = \dfrac{60}{6} = \ldots\)
n251020
C(n)123060120
\(6n = 60 \Rightarrow n = \dfrac{60}{6} = \mathbf{10}\) raccords.
Exercice 1-6 Reconnaître la proportionnalité — guidé Socle
Astuce : Pour vérifier la proportionnalité, on calcule \(\dfrac{y}{x}\) pour chaque colonne.
Si le rapport est toujours le même → proportionnel. Sinon → pas proportionnel.
Tableau A — Surface de mur peint / Volume de peinture
Surface (m²)2468
Peinture (L)0,40,81,21,6
Calcul des rapports : \(\dfrac{0{,}4}{2} = \ldots\) ; \(\dfrac{0{,}8}{4} = \ldots\) ; \(\dfrac{1{,}2}{6} = \ldots\)
→ Tous égaux ? Proportionnel : OUI / NON (entoure)

Tableau B — Nombre d'heures / Tarif avec forfait
Heures (h)1234
Coût (€)6090120150
Calcul des rapports : \(\dfrac{60}{1} = \ldots\) ; \(\dfrac{90}{2} = \ldots\)
→ Tous égaux ? Proportionnel : OUI / NON (entoure)
Tableau A : \(\dfrac{0{,}4}{2} = \dfrac{0{,}8}{4} = \dfrac{1{,}2}{6} = \dfrac{1{,}6}{8} = 0{,}2\) → rapport constant → OUI, proportionnel, coefficient \(a = 0{,}2\) L/m².

Tableau B : \(\dfrac{60}{1} = 60\) mais \(\dfrac{90}{2} = 45\) → rapports différents → NON, pas proportionnel. Il y a un forfait fixe inclus dans le tarif.
Exercice 1-7 Trouver le coefficient — pas à pas Socle
Méthode : Si \(f\) est linéaire et que l'on connaît un point \((x_0\,;\,y_0)\), alors \(a = \dfrac{y_0}{x_0}\).
On divise toujours \(y\) par \(x\), pas l'inverse.
a) \(f\) est linéaire et \(f(3) = 12\). Compléter :
\(a = \dfrac{12}{\ldots} = \ldots\) donc \(f(x) = \ldots \times x\)

b) \(g\) est linéaire et \(g(5) = 20\). Compléter :
\(a = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \ldots\) donc \(g(x) = \ldots\)

c) \(h\) est linéaire et \(h(4) = 10\). Compléter :
\(a = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \ldots\) donc \(h(x) = \ldots\)
a) \(a = \dfrac{12}{3} = \mathbf{4}\) donc \(f(x) = 4x\).
b) \(a = \dfrac{20}{5} = \mathbf{4}\) donc \(g(x) = 4x\).
c) \(a = \dfrac{10}{4} = \mathbf{2{,}5}\) donc \(h(x) = 2{,}5x\).
⚠ On fait toujours \(\dfrac{y}{x}\), jamais \(\dfrac{x}{y}\). Si on se trompe de sens, on obtient un coefficient faux.
Exercice 1-8 Tarif proportionnel — prix au kilogramme Socle
Quotidien
Au marché, les pommes coûtent 3,50 € le kilogramme. On note \(P(m)\) le prix en euros pour \(m\) kg de pommes.

Étape 1 — Écrire \(P(m)\) : \(P(m) = \ldots \times m\)

Étape 2 — Compléter le tableau :
m (kg)1235
P(m) (€)    
Étape 3 — On paie 14 €. Combien de kg a-t-on achetés ?
\(3{,}5 \times m = 14 \Rightarrow m = \dfrac{14}{\ldots} = \ldots\)
Étape 1 : \(P(m) = 3{,}5 \times m = 3{,}5m\).

Étape 2 :
m (kg)1235
P(m) (€)3,507,0010,5017,50
Étape 3 : \(3{,}5m = 14 \Rightarrow m = \dfrac{14}{3{,}5} = \mathbf{4}\) kg.
Exercice 1-9 La droite passe-t-elle par l'origine ? — guidé Socle
Rappel : Une fonction linéaire \(f(x) = ax\) donne toujours une droite qui passe par l'origine \(O(0\,;\,0)\).
Si la droite ne passe pas par l'origine, la situation n'est pas proportionnelle.
Voici trois situations. Pour chacune, dire si c'est une fonction linéaire (OUI ou NON) et justifier.

a) Un taxi facture 2 € le km, sans forfait de prise en charge.
→ La droite passe par l'origine ? ____
→ Fonction linéaire ? ____

b) Un plombier facture 40 € de déplacement + 30 € par heure.
→ Pour 0 heure, on paie combien ? ____
→ La droite passe par l'origine ? ____
→ Fonction linéaire ? ____

c) Un stade vend les billets 12 € l'unité, sans frais fixes.
→ Fonction linéaire ? ____
a) Pour 0 km, on paie 0 € → la droite passe par l'origine → OUI, c'est une fonction linéaire \(f(x) = 2x\).

b) Pour 0 heure, on paie déjà 40 € (forfait de déplacement) → la droite ne passe pas par l'origine → NON, ce n'est pas une fonction linéaire.

c) Pour 0 billet, on paie 0 € → la droite passe par l'origine → OUI, c'est une fonction linéaire \(f(x) = 12x\).
Exercice 1-10 Conversions — fonction linéaire du quotidien Socle
Conversions
Pour convertir des mètres en centimètres, on multiplie par 100 :
\(C(m) = 100 \times m\)

a) Convertir : \(C(2) = 100 \times \ldots = \ldots\) cm
b) Convertir : \(C(0{,}5) = 100 \times \ldots = \ldots\) cm
c) Convertir : \(C(3{,}25) = 100 \times \ldots = \ldots\) cm

d) Un athlète franchit une barre placée à 175 cm. Quelle est cette hauteur en mètres ?
\(100 \times m = 175 \Rightarrow m = \dfrac{175}{\ldots} = \ldots\)
a) \(C(2) = 100 \times 2 = \mathbf{200}\) cm
b) \(C(0{,}5) = 100 \times 0{,}5 = \mathbf{50}\) cm
c) \(C(3{,}25) = 100 \times 3{,}25 = \mathbf{325}\) cm
d) \(100m = 175 \Rightarrow m = \dfrac{175}{100} = \mathbf{1{,}75}\) m.
⚠ La conversion m → cm est une fonction linéaire de coefficient \(a = 100\). Comme \(C(0) = 0\) (0 mètre = 0 cm), c'est bien proportionnel.
Exercice 1-11 Pourcentage comme fonction linéaire — guidé Socle
Rappel : Calculer 20 % d'un nombre, c'est multiplier par \(0{,}20\).
On peut écrire : \(f(x) = 0{,}20 \times x\). C'est une fonction linéaire de coefficient \(a = 0{,}20\).
Sport
Un club de sport propose une réduction de 15 % pour les lycéens. Le prix normal est noté \(x\).

a) La réduction en euros est : \(R(x) = \ldots \times x\)
(rappel : 15 % = 0,15)

b) Calculer la réduction pour un abonnement de 200 € :
\(R(200) = 0{,}15 \times \ldots = \ldots\) €

c) Calculer la réduction pour un abonnement de 80 € :
\(R(80) = \ldots\) €

d) Un lycéen bénéficie d'une réduction de 45 €. Quel était le prix normal ?
\(0{,}15 \times x = 45 \Rightarrow x = \dfrac{45}{\ldots} = \ldots\) €
a) \(R(x) = 0{,}15x\) (c'est une fonction linéaire de coefficient \(a = 0{,}15\)).
b) \(R(200) = 0{,}15 \times 200 = \mathbf{30}\) € de réduction.
c) \(R(80) = 0{,}15 \times 80 = \mathbf{12}\) € de réduction.
d) \(0{,}15x = 45 \Rightarrow x = \dfrac{45}{0{,}15} = \mathbf{300}\) €.
⚠ Un pourcentage appliqué à un nombre donne toujours une fonction linéaire. Ici \(a = 0{,}15\), ce qui signifie que pour chaque euro du prix, la réduction est de 15 centimes.
Exercice 1-12 Lecture graphique — La droite passe-t-elle par l'origine ? Socle
Rappel : Si une droite passe par l'origine \(O(0\,;\,0)\), alors la fonction est linéaire : \(f(x) = ax\).
Si elle ne passe pas par l'origine, ce n'est pas une fonction linéaire.
On donne trois droites sur un graphique. Pour chacune, répondre par OUI ou NON.

Droite 1 : elle passe par les points \((0\,;\,0)\) et \((3\,;\,9)\).
→ Passe par l'origine ? ____ → Fonction linéaire ? ____ → Si oui, \(a = \dfrac{9}{\ldots} = \ldots\)

Droite 2 : elle passe par les points \((0\,;\,5)\) et \((2\,;\,11)\).
→ Passe par l'origine ? ____ → Fonction linéaire ? ____

Droite 3 : elle passe par les points \((0\,;\,0)\) et \((4\,;\,6)\).
→ Passe par l'origine ? ____ → Fonction linéaire ? ____ → Si oui, \(a = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \ldots\)
Droite 1 : Passe par \((0\,;\,0)\) → OUI, fonction linéaire. \(a = \dfrac{9}{3} = \mathbf{3}\), donc \(f(x) = 3x\).

Droite 2 : Passe par \((0\,;\,5)\), pas par l'origine → NON, ce n'est pas une fonction linéaire.

Droite 3 : Passe par \((0\,;\,0)\) → OUI, fonction linéaire. \(a = \dfrac{6}{4} = \mathbf{1{,}5}\), donc \(f(x) = 1{,}5x\).
⚠ Pour savoir si c'est une fonction linéaire, le critère est simple : la droite passe-t-elle par l'origine ? Si oui → linéaire. Si non → elle n'est pas linéaire.
Exercice 1-13 Antécédent d'un nombre — pas à pas Socle
Méthode : Trouver l'antécédent de \(y\) par \(f(x) = ax\), c'est résoudre \(ax = y\).
On divise les deux côtés par \(a\) : \(x = \dfrac{y}{a}\).
Soit \(f(x) = 5x\). Compléter :

a) Trouver \(x\) tel que \(f(x) = 30\) :
\(5 \times x = 30 \Rightarrow x = \dfrac{30}{\ldots} = \ldots\)

b) Trouver \(x\) tel que \(f(x) = 15\) :
\(5x = 15 \Rightarrow x = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \ldots\)

c) Trouver \(x\) tel que \(f(x) = 42{,}5\) :
\(5x = 42{,}5 \Rightarrow x = \ldots\)

Soit \(g(x) = 0{,}4x\).

d) Trouver \(x\) tel que \(g(x) = 2\) :
\(0{,}4x = 2 \Rightarrow x = \dfrac{2}{\ldots} = \ldots\)
a) \(5x = 30 \Rightarrow x = \dfrac{30}{5} = \mathbf{6}\)
b) \(5x = 15 \Rightarrow x = \dfrac{15}{5} = \mathbf{3}\)
c) \(5x = 42{,}5 \Rightarrow x = \dfrac{42{,}5}{5} = \mathbf{8{,}5}\)
d) \(0{,}4x = 2 \Rightarrow x = \dfrac{2}{0{,}4} = \mathbf{5}\)
⚠ L'antécédent, c'est la valeur de \(x\). L'image, c'est la valeur de \(f(x)\). Ne pas confondre les deux !
f(x) = 5x — Lecture graphique des antécédents x f(x) 2 4 6 8 10 10 20 30 40 50 f(x) = 5x y=30 x=6 y=15 x=3 y=42,5 x=8,5

Pour lire un antécédent : tracer une horizontale à la hauteur y, descendre à l'intersection avec la droite, lire l'abscisse.

Exercice 1-14 Tarif proportionnel — carburant Socle
Énergie
Le gazole coûte 1,60 € le litre à la station-service. On note \(P(\ell)\) le prix en euros pour \(\ell\) litres.

Étape 1 — Écrire \(P(\ell)\) : \(P(\ell) = \ldots \times \ell\)

Étape 2 — Compléter le tableau :
\(\ell\) (litres)5102035
\(P(\ell)\) (€)    
Étape 3 — Un automobiliste paie 48 €. Combien de litres a-t-il mis ?
\(1{,}6 \times \ell = 48 \Rightarrow \ell = \dfrac{48}{\ldots} = \ldots\)
Étape 1 : \(P(\ell) = 1{,}6\ell\).

Étape 2 :
\(\ell\)5102035
\(P(\ell)\)8,0016,0032,0056,00
Étape 3 : \(1{,}6\ell = 48 \Rightarrow \ell = \dfrac{48}{1{,}6} = \mathbf{30}\) litres.
Exercice 1-15 Coefficient directeur à partir d'un tableau — guidé Socle
Quotidien
On donne le tableau de valeurs suivant. On sait que la relation est proportionnelle.
x25810
y717,52835
Étape 1 — Calculer \(\dfrac{y}{x}\) pour chaque colonne :
\(\dfrac{7}{2} = \ldots\)  ;  \(\dfrac{17{,}5}{5} = \ldots\)  ;  \(\dfrac{28}{8} = \ldots\)  ;  \(\dfrac{35}{10} = \ldots\)

Étape 2 — Les rapports sont-ils tous égaux ? ____ → \(a = \ldots\)

Étape 3 — Écrire la fonction : \(f(x) = \ldots\)

Étape 4 — Calculer \(f(12)\) : \(f(12) = \ldots \times 12 = \ldots\)
Étape 1 : \(\dfrac{7}{2} = 3{,}5\) ; \(\dfrac{17{,}5}{5} = 3{,}5\) ; \(\dfrac{28}{8} = 3{,}5\) ; \(\dfrac{35}{10} = 3{,}5\).
Étape 2 : Oui, tous égaux → \(a = \mathbf{3{,}5}\).
Étape 3 : \(f(x) = 3{,}5x\).
Étape 4 : \(f(12) = 3{,}5 \times 12 = \mathbf{42}\).
Exercice 1-16 TVA comme fonction linéaire — guidé Socle
Rappel : La TVA à 20 % signifie qu'on multiplie le prix hors taxe par \(0{,}20\) pour obtenir le montant de la taxe.
\(T(x) = 0{,}20 \times x\) — c'est une fonction linéaire de coefficient \(a = 0{,}20\).
Chauffage — Sanitaire
Un plombier chauffagiste facture la pose d'un radiateur 450 € HT (hors taxe). La TVA est de 20 %.

a) Écrire la fonction TVA : \(T(x) = \ldots \times x\)

b) Calculer la TVA sur cette prestation :
\(T(450) = 0{,}20 \times \ldots = \ldots\) €

c) Calculer le prix TTC (toutes taxes comprises) :
Prix TTC = Prix HT + TVA = \(450 + \ldots = \ldots\) €

d) Sur une facture, la TVA est de 36 €. Quel est le prix HT ?
\(0{,}20 \times x = 36 \Rightarrow x = \dfrac{36}{\ldots} = \ldots\) €
a) \(T(x) = 0{,}20x\).
b) \(T(450) = 0{,}20 \times 450 = \mathbf{90}\) € de TVA.
c) Prix TTC = \(450 + 90 = \mathbf{540}\) €.
d) \(0{,}20x = 36 \Rightarrow x = \dfrac{36}{0{,}20} = \mathbf{180}\) € HT.
⚠ La TVA est un pourcentage → c'est une fonction linéaire. Ne pas confondre le prix HT (l'antécédent) et la TVA (l'image).
Exercice 1-17 Consommation d'essence — proportionnalité — guidé Socle
Vie quotidienne — Transport
Un véhicule consomme 6 litres aux 100 km. Le volume \(V\) de carburant consommé est proportionnel à la distance \(d\) parcourue.

a) Quel est le coefficient de proportionnalité ? \(V = \ldots \times d\)

b) Compléter le tableau :
\(d\) (km)050100200350500
\(V(d)\) (L)………………………………

c) \(V(d)\) est-elle une fonction linéaire ? Pourquoi ?

d) Le réservoir contient 42 litres. Quelle distance maximale peut-on parcourir ?
\(0{,}06 \times d = 42 \Rightarrow d = \dfrac{42}{\ldots} = \ldots\) km
a) 6 L pour 100 km → \(V(d) = 0{,}06d\). Le coefficient est \(\mathbf{0{,}06}\).
b)
\(d\)050100200350500
\(V(d)\)036122130
c) Oui, \(V(d) = 0{,}06d\) est de la forme \(f(x) = ax\) avec \(a = 0{,}06\). C'est une fonction linéaire car \(V(0) = 0\) et le rapport \(V/d\) est constant.
d) \(0{,}06d = 42 \Rightarrow d = \dfrac{42}{0{,}06} = \mathbf{700}\) km.
⚠ Proportionnalité = fonction linéaire. Le coefficient 0,06 signifie qu'on consomme 0,06 L par km, soit 6 L par 100 km.
Exercice 1-18 Masse de tuiles — proportionnalité — guidé Socle
Bâtiment — Couverture
Un couvreur prépare la toiture d'un pavillon. Chaque tuile pèse 2,5 kg. La masse totale \(M\) est proportionnelle au nombre \(n\) de tuiles.

a) Écrire la fonction : \(M(n) = \ldots \times n\)

b) Calculer :
\(M(4) = 2{,}5 \times \ldots = \ldots\) kg
\(M(10) = \ldots\) kg
\(M(20) = \ldots\) kg

c) Le monte-matériaux supporte 200 kg. Combien de tuiles peut-on monter au maximum ?
\(2{,}5n = 200 \Rightarrow n = \dfrac{200}{\ldots} = \ldots\) tuiles

d) Vérifier que le rapport \(\dfrac{M}{n}\) est constant pour toutes les valeurs du tableau. Que vaut-il ?
a) \(M(n) = 2{,}5n\).
b) \(M(4) = 10\) kg ; \(M(10) = 25\) kg ; \(M(20) = 50\) kg.
c) \(2{,}5n = 200 \Rightarrow n = \dfrac{200}{2{,}5} = \mathbf{80}\) tuiles.
d) \(\dfrac{10}{4} = \dfrac{25}{10} = \dfrac{50}{20} = 2{,}5\). Le rapport est constant et vaut \(\mathbf{2{,}5}\) : c'est le coefficient de la fonction linéaire.
Méthode — Trouver le coefficient directeur \(a\) :
Si on connaît un point \((x_0\,;\,y_0)\) avec \(x_0\neq0\), alors \(a=\dfrac{y_0}{x_0}\). On vérifie ensuite que \(f(x)=ax\) passe bien par ce point.
Exercice 1-19 Lire sur la droite d'une fonction linéaire Socle
📈 Lecture graphique
La droite ci-dessous représente une fonction linéaire \(f\) (elle passe par l'origine). Son expression n'est pas donnée : on lit tout sur le graphique.
1. Lire \(f(2)\).
2. Lire \(f(4)\).
3. La droite passe-t-elle par l'origine ? Que peut-on en conclure sur \(f\) ?

1. Au point d'abscisse 2, l'ordonnée est 3 : \(f(2) = 3\).

2. \(f(4) = 6\).

3. Oui, la droite passe par l'origine : \(f\) est bien une fonction linéaire (proportionnalité).

Exercices d'application

Exercice 2-1 Trouver la fonction linéaire — Exercice guidé Standard

On sait que \(f\) est une fonction linéaire et que \(f(4)=14\). Déterminer \(f\).

1
Écrire la forme générale : \(f(x)=a\times\) ___
2
Utiliser le point connu : \(f(4)=14\), donc \(a\times4=\) ___
3
Calculer \(a\) : \(a=\dfrac{14}{4}=\) ___
4
Écrire la fonction : \(f(x)=\) ___
5
Vérification : \(f(4)=\_\times4=\) ___ ✓
1
\(f(x)=a\times x\)
2
\(f(4)=4a=14\)
3
\(a=\dfrac{14}{4}=3{,}5\)
4
\(f(x)=3{,}5\,x\)
5
Vérif. : \(f(4)=3{,}5\times4=14\) ✓
⚠ On divise toujours \(y\) par \(x\), pas l'inverse : \(a=\dfrac{y}{x}=\dfrac{14}{4}\), pas \(\dfrac{4}{14}\).
Exercice 2-2 Tableau de valeurs d'une fonction linéaire Standard

Soit \(p(x)=2{,}4\,x\). Compléter le tableau, puis répondre aux questions.

x0122,5510
p(x)………………
  1. Quelle est l'image de 5 ?
  2. Quel est l'antécédent de 12 ? (Résoudre \(2{,}4\,x=12\))
  3. Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(p(x)=24\) ?
Tableau :
x0122,5510
p(x)02,44,861224
1
\(p(5)=2{,}4\times5=\) 12
2
\(2{,}4\,x=12\Rightarrow x=\dfrac{12}{2{,}4}=\) 5 — l'antécédent de 12 est 5.
3
\(2{,}4\,x=24\Rightarrow x=\dfrac{24}{2{,}4}=\) 10
Exercice 2-3 Lecture graphique — Droite passant par l'origine Standard

Le graphique ci-dessous représente la fonction linéaire \(f(x)=ax\). Répondre aux questions sans calculer — en lisant uniquement le graphique.

Droite \(f(x)=ax\) — lire les coordonnées des points A et B pour répondre.
  1. Lire les coordonnées du point A.
  2. Lire les coordonnées du point B.
  3. En utilisant le point A, calculer le coefficient \(a\).
  4. Vérifier avec le point B.
  5. Donner l'expression de \(f(x)\).
  6. Que vaut \(f(6)\) ? Lire sur le graphique puis vérifier par le calcul.
1
Point A : A(4 ; 2)
2
Point B : B(2 ; 1)
3
\(a=\dfrac{y_A}{x_A}=\dfrac{2}{4}=\) 0,5
4
Vérif. avec B : \(\dfrac{y_B}{x_B}=\dfrac{1}{2}=0{,}5\) ✓
5
\(f(x)=0{,}5\,x\)
6
\(f(6)=0{,}5\times6=\) 3
Exercice 2-4 Du tableau à l'expression et au graphique Standard

On donne le tableau de valeurs suivant :

x01246
y0361218
  1. Calculer le rapport \(\dfrac{y}{x}\) pour chaque colonne (sauf \(x=0\)). Que remarques-tu ?
  2. En déduire \(a\) et écrire la fonction \(f(x)\).
  3. Compléter le tableau avec \(x=3\) et \(x=5\).
  4. Calculer \(f(2{,}5)\) et \(f(8)\).
  5. Quel est l'antécédent de 21 ?
1
\(\dfrac{3}{1}=3\) ; \(\dfrac{6}{2}=3\) ; \(\dfrac{12}{4}=3\) ; \(\dfrac{18}{6}=3\) → rapport toujours égal à 3 : proportionnel, a = 3
2
\(f(x)=3x\)
3
\(f(3)=9\) ; \(f(5)=15\)
4
\(f(2{,}5)=7{,}5\) ; \(f(8)=24\)
5
\(3x=21\Rightarrow x=7\) → antécédent de 21 = 7
Exercice 2-5 Graphique interactif — Explorer \(f(x)=ax\) Standard

Utilise le graphique interactif ci-dessous. Sélectionne une fonction, puis clique sur la droite pour lire les coordonnées d'un point.

Clique sur le graphique pour lire les coordonnées d'un point.
À observer : Quelle que soit la fonction choisie, la droite passe toujours par l'origine O(0 ; 0). C'est la caractéristique de la fonction linéaire.
  1. Avec \(f(x)=1{,}5x\), lire l'image de 4. Vérifier par le calcul.
  2. Avec \(g(x)=0{,}5x\), quel est l'antécédent de 2 ?
  3. Avec \(h(x)=-x\), la droite monte ou descend quand \(x\) augmente ?
  4. Quelle droite est la plus "pentue" ? Pourquoi ?
1
\(f(4)=1{,}5\times4=\) 6
2
\(0{,}5x=2\Rightarrow x=4\) → antécédent de 2 = 4
3
Avec \(h(x)=-x\) : quand \(x\) augmente, \(h(x)\) diminue (droite descendante car \(a<0\)).
4
\(k(x)=2{,}5x\) est la plus pentue car \(|a|=2{,}5\) est le plus grand — plus \(|a|\) est grand, plus la droite est inclinée.
Exercice 2-6 Déterminer la fonction linéaire à partir de deux points Standard

On sait qu'une droite passe par l'origine et par le point \(A(6\,;\,21)\).

  1. Justifier que cette droite représente une fonction linéaire.
  2. Calculer le coefficient directeur \(a\).
  3. En déduire l'expression de \(f(x)\).
  4. Calculer \(f(8)\) et \(f(2{,}5)\).
  5. Déterminer l'antécédent de 52,5 par \(f\).
1
La droite passe par l'origine \(O(0\,;\,0)\) → c'est bien une fonction linéaire de la forme \(f(x) = ax\).
2
\(a = \dfrac{21}{6} = \) 3,5
3
\(f(x) = 3{,}5x\)
4
\(f(8) = 3{,}5 \times 8 = \) 28  ;  \(f(2{,}5) = 3{,}5 \times 2{,}5 = \) 8,75
5
\(3{,}5x = 52{,}5 \Rightarrow x = \dfrac{52{,}5}{3{,}5} = \) 15
Exercice 2-7 Comparer deux tarifs — Proportionnel ou non ? Standard

Deux salles de sport proposent chacune un tarif mensuel :

  1. On note \(A(m)\) le coût total à la salle Alpha pour \(m\) mois, et \(B(m)\) le coût total à la salle Bêta. Écrire \(A(m)\) et \(B(m)\).
  2. Laquelle de ces deux fonctions est linéaire ? Justifier en calculant \(A(0)\) et \(B(0)\).
  3. Compléter le tableau de valeurs pour \(m \in \{1\,;\,2\,;\,4\,;\,6\,;\,10\,;\,12\}\).
  4. À partir de combien de mois la salle Bêta devient-elle plus avantageuse que la salle Alpha ?
m (mois)12461012
A(m) (€)………………
B(m) (€)………………
1
\(A(m) = 35m\)  |  \(B(m) = 50 + 20m\)
2
\(A(0)=0\) : \(A\) est linéaire (coefficient \(35\)), le coût est proportionnel à la durée. \(B(0)=50\neq0\) : \(B\) n'est pas linéaire, le coût n'est pas proportionnel à la durée (frais d'inscription).
3
m12461012
A(m)3570140210350420
B(m)7090130170250290
4
On cherche quand \(B(m) < A(m)\), c'est-à-dire \(50 + 20m < 35m\), soit \(50 < 15m\), donc \(m > \dfrac{50}{15} \approx 3{,}3\).
→ À partir de 4 mois, la salle Bêta est moins chère.
⚠ Un tarif avec des frais fixes n'est jamais proportionnel : le rapport coût/durée n'est pas constant (\(70/1=70\) mais \(90/2=45\)). Seul le tarif sans frais fixes (salle Alpha) donne une fonction linéaire.
Exercice 2-8 Conversions d'unités — fonctions linéaires Standard

Les conversions suivantes sont toutes des fonctions linéaires. Pour chacune, donner le coefficient \(a\) et écrire la fonction.

  1. km → m : 1 km = 1 000 m. On note \(f(x)\) la longueur en mètres pour \(x\) km.
    Écrire \(f(x)\). Calculer \(f(3{,}5)\) et trouver l'antécédent de 7 200.
  2. heures → minutes : 1 h = 60 min. On note \(g(t)\) la durée en minutes pour \(t\) heures.
    Écrire \(g(t)\). Calculer \(g(2{,}5)\) et trouver l'antécédent de 225.
  3. kg → g : 1 kg = 1 000 g. On note \(h(m)\) la masse en grammes pour \(m\) kg.
    Écrire \(h(m)\). Calculer \(h(0{,}75)\).
1
\(f(x) = 1\,000\,x\). \(f(3{,}5) = 1\,000 \times 3{,}5 = \) 3 500 m.
Antécédent de 7 200 : \(1\,000\,x = 7\,200 \Rightarrow x = \) 7,2 km.
2
\(g(t) = 60t\). \(g(2{,}5) = 60 \times 2{,}5 = \) 150 min.
Antécédent de 225 : \(60t = 225 \Rightarrow t = \dfrac{225}{60} = \) 3,75 h = 3 h 45 min.
3
\(h(m) = 1\,000\,m\). \(h(0{,}75) = 1\,000 \times 0{,}75 = \) 750 g.
⚠ Toutes les conversions d'unités sont des fonctions linéaires : 0 km = 0 m, 0 h = 0 min, etc. Le coefficient \(a\) est le facteur de conversion.
Exercice 2-9 Coefficient directeur négatif — Température Standard

En montagne, la température diminue de 6,5 °C par kilomètre d'altitude gagné. On note \(D(h)\) la variation de température (en °C) après une montée de \(h\) km : elle est négative, puisque la température diminue avec l'altitude.

  1. Écrire \(D(h)\). Quel est le signe du coefficient directeur ? Pourquoi ?
  2. Compléter le tableau de valeurs :
h (km)00,5123
D(h) (°C)……………
  1. Si la température au sol est de 25 °C, quelle sera la température à 2 km d'altitude ?
  2. À quelle altitude la température aura-t-elle baissé de 19,5 °C, c'est-à-dire à quelle altitude a-t-on \(D(h) = -19{,}5\) ?
1
\(D(h) = -6{,}5h\). Le coefficient est négatif car la température diminue quand l'altitude augmente.
2
h (km)00,5123
D(h) (°C)0−3,25−6,5−13−19,5
3
Température à 2 km : \(25 + D(2) = 25 + (-13) = 25 - 13 = \) 12 °C.
4
\(-6{,}5h = -19{,}5 \Rightarrow h = \dfrac{-19{,}5}{-6{,}5} = \) 3 km d'altitude.
Exercice 2-10 Pourcentage et réduction — Vente en ligne Standard

Un site de vente en ligne propose une réduction de 30 % pendant les soldes. On note \(R(x)\) le montant de la réduction en euros pour un article de prix initial \(x\) euros.

  1. Écrire \(R(x)\). Est-ce une fonction linéaire ? Justifier.
  2. Compléter le tableau :
Prix initial \(x\) (€)205080120200
Réduction \(R(x)\) (€)……………
Prix soldé (€)……………
  1. Exprimer le prix soldé \(S(x)\) en fonction de \(x\). Est-ce aussi une fonction linéaire ?
  2. Un client obtient une réduction de 27 €. Quel était le prix initial de l'article ?
1
\(R(x) = 0{,}3x\). Oui, c'est une fonction linéaire : \(R(x) = ax\) avec \(a = 0{,}3\) et \(R(0) = 0\).
2
\(x\)205080120200
\(R(x)\)615243660
Prix soldé14355684140
3
\(S(x) = x - 0{,}3x = 0{,}7x\). Oui, c'est aussi une fonction linéaire de coefficient \(a = 0{,}7\).
4
\(0{,}3x = 27 \Rightarrow x = \dfrac{27}{0{,}3} = \) 90 €
⚠ Le prix soldé est aussi proportionnel au prix initial : payer 70 % du prix, c'est multiplier par 0,7. C'est donc une fonction linéaire de coefficient 0,7.
Exercice 2-11 Conversion euros-dollars — taux de change Standard
🌍 Vie quotidienne — Voyage
Le taux de change euro/dollar est de 1 € = 1,08 $. On note \(D(x)\) le montant en dollars correspondant à \(x\) euros.
  1. Exprimer \(D(x)\) en fonction de \(x\). Est-ce une fonction linéaire ? Justifier.
  2. Compléter le tableau de conversion pour \(x = 10, 50, 100, 200, 500\).
  3. Vérifier la proportionnalité en calculant le rapport \(D(x)/x\) pour chaque valeur.
  4. Un touriste a dépensé 270 $ aux États-Unis. Combien cela représente-t-il en euros ?
  5. La fonction \(E(y)\) qui convertit les dollars \(y\) en euros est-elle aussi linéaire ? Donner son coefficient.
1
\(D(x) = 1{,}08x\). Oui, c'est une fonction linéaire de coefficient \(a = 1{,}08\). On a bien \(D(0) = 0\).
2
\(x\) (€)1050100200500
\(D(x)\) ($)10,8054108216540
3
\(\dfrac{10{,}80}{10} = \dfrac{54}{50} = \dfrac{108}{100} = 1{,}08\). Le rapport est constant : c'est bien proportionnel.
4
\(1{,}08x = 270 \Rightarrow x = \dfrac{270}{1{,}08} = \) 250 €.
5
\(E(y) = \dfrac{y}{1{,}08} \approx 0{,}926y\). Oui, c'est une fonction linéaire de coefficient \(a \approx 0{,}926\).
Exercice 2-12 Vitesse et distance — course à pied Standard
🏃 Sport — Athlétisme
Un athlète court à vitesse constante de 12 km/h. La distance \(d\) (en km) est proportionnelle au temps \(t\) (en heures).
  1. Exprimer \(d(t)\) en fonction de \(t\). Donner le coefficient de la fonction linéaire.
  2. Calculer la distance parcourue en 30 minutes, 1 h 15 min et 2 h.
  3. L'athlète veut parcourir un semi-marathon (21,1 km). En combien de temps le terminera-t-il ?
  4. Un second athlète court à 10 km/h. Exprimer sa distance \(d_2(t)\). Après 1 h 30 min, quel écart (en km) sépare les deux coureurs ?
1
\(d(t) = 12t\). Le coefficient est \(a = 12\) (la vitesse en km/h).
2
30 min = 0,5 h : \(d(0{,}5) = 6\) km. 1 h 15 = 1,25 h : \(d(1{,}25) = 15\) km. 2 h : \(d(2) = 24\) km.
3
\(12t = 21{,}1 \Rightarrow t = \dfrac{21{,}1}{12} \approx 1{,}76\) h, soit environ 1 h 45 min.
4
\(d_2(t) = 10t\). Après 1,5 h : \(d(1{,}5) = 18\) km et \(d_2(1{,}5) = 15\) km. Écart : \(18 - 15 = \) 3 km.
⚠ La différence \(d(t) - d_2(t) = 12t - 10t = 2t\) est aussi une fonction linéaire ! L'écart croît proportionnellement au temps.
Exercice 2-13 Coefficient et antécédent par lecture Standard
📈 Lecture graphique
La droite d'une fonction linéaire \(g\) (par l'origine) est tracée ci-dessous. Son expression n'est pas donnée : réponds par lecture graphique.
1. Lire \(g(2)\).
2. En déduire le coefficient de \(g\) (le nombre \(a\) tel que \(g(x)=a\,x\)).
3. Lire l'antécédent de 6 (l'abscisse du point de la droite d'ordonnée 6).

1. \(g(2) = 4\).

2. Pour une fonction linéaire, le coefficient est \(a = \dfrac{g(2)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\). Donc \(g(x) = 2\,x\).

3. La droite atteint l'ordonnée 6 au point d'abscisse 3 : l'antécédent de 6 est \(x = 3\).

Exercice 2-14 Construire la représentation graphique d'une fonction linéaire Standard

Un menuisier débite des tasseaux : chaque tasseau a une masse de 3 kg. On note \(f(x) = 3x\) la masse totale (en kg) de \(x\) tasseaux.

  1. Calculer \(f(1)\) et \(f(4)\).
  2. Dans le repère ci-dessous, placer les deux points obtenus : \(A\big(1\,;\,f(1)\big)\) et \(B\big(4\,;\,f(4)\big)\).
  3. Tracer la droite représentant la fonction \(f\) en joignant ces points (elle doit aussi passer par l'origine \(O\)).
  4. Par lecture graphique, déterminer la masse de 5 tasseaux, puis vérifier par le calcul \(f(5)\).
Repère à compléter — masse f(x) = 3x x (tasseaux) f(x) (kg) 1 2 3 4 5 6 3 6 9 12 15 18 0
Repère vierge à compléter : place les points, puis trace la droite.
1
\(f(1) = 3 \times 1 = \) 3  ;  \(f(4) = 3 \times 4 = \) 12.
2
On place \(A(1\,;\,3)\) : à l'abscisse 1, on monte jusqu'à la hauteur 3. On place \(B(4\,;\,12)\) : à l'abscisse 4, on monte jusqu'à la hauteur 12.
3
On trace la droite passant par \(O(0\,;\,0)\), \(A\) et \(B\) : ces trois points sont alignés, ce qui confirme que \(f\) est une fonction linéaire (la droite passe par l'origine).
4
Lecture graphique pour \(x = 5\) : on lit une hauteur de 15 kg. Vérification par le calcul : \(f(5) = 3 \times 5 = \) 15 kg ✓.
⚠ Deux points suffisent pour tracer une droite, mais pour une fonction linéaire on a toujours un troisième point « gratuit » : l'origine \(O(0\,;\,0)\). Utilise-le pour vérifier ton tracé.
Exercice 2-15 Douche ou bain — quel volume d'eau ? Standard

Un pommeau de douche classique débite 12 litres d'eau par minute. On note \(V(t)\) le volume d'eau consommé, en litres, pour une douche de \(t\) minutes.

Débit du pommeau classique12 L/min
Volume d'un bain150 L
Débit d'un pommeau économiseur7 L/min

1. Expliquer pourquoi la situation relève de la proportionnalité, puis donner l'expression de \(V(t)\) et le coefficient de la fonction linéaire.

2. Calculer \(V(5)\) et interpréter le résultat.

3. Une douche a consommé 96 L. Quelle a été sa durée ?

4. Au bout de combien de minutes de douche consomme-t-on autant d'eau qu'avec un bain ? Conclure.

5. On remplace le pommeau par un modèle économiseur. Donner la nouvelle fonction, puis calculer l'eau économisée sur une douche de 8 minutes, en litres et en pourcentage.

1. Le débit est constant : si la durée double, le volume double. Le volume est donc proportionnel à la durée, et la fonction est linéaire :

\[V(t) = 12\,t\]

Le coefficient est \(a = \mathbf{12}\) : c'est le débit, en litres par minute. On vérifie que \(V(0) = 0\) — sans douche, pas d'eau consommée.

2. \(V(5) = 12 \times 5 = \mathbf{60}\) L. Une douche de 5 minutes consomme 60 litres d'eau, soit déjà l'équivalent de 40 bouteilles de 1,5 L.

3. On cherche l'antécédent de 96 par \(V\) :

\[12\,t = 96\] \[t = \frac{96}{12} = \mathbf{8} \text{ min}\]

Vérification : \(12 \times 8 = 96\) L ✓. Le coefficient se retrouve sur deux couples différents : \(\dfrac{60}{5} = 12\) et \(\dfrac{96}{8} = 12\) — le rapport est bien constant.

4. On résout \(V(t) = 150\) :

\[12\,t = 150\] \[t = \frac{150}{12} = \mathbf{12{,}5} \text{ min}\]

Une douche de 12 min 30 s consomme autant qu'un bain. En dessous de cette durée la douche est plus économe ; au-delà, elle consomme davantage qu'un bain. L'idée reçue « la douche consomme toujours moins que le bain » est donc fausse : tout dépend de la durée.

5. Avec le pommeau économiseur : \(E(t) = 7\,t\).

Sur 8 minutes : \(V(8) = 12 \times 8 = 96\) L et \(E(8) = 7 \times 8 = 56\) L.

\[96 - 56 = \mathbf{40} \text{ L économisés}\]

En pourcentage : \(\dfrac{40}{96} \approx 0{,}417\), soit environ 42 % d'eau en moins — et autant d'eau chaude en moins à produire, donc aussi de l'énergie économisée.

Exercices d'approfondissement

Exercice 3-1 Coût du tube de cuivre — installation de chauffage Approfondissement

Du tube de cuivre pour installation de chauffage coûte 8,50 € le mètre. On appelle \(C(n)\) le coût total en euros pour \(n\) mètres de tube.

  1. Écrire l'expression de \(C(n)\).
  2. Est-ce une fonction linéaire ? Justifier.
  3. Compléter le tableau de valeurs :
n (mètres)05102050100
C(n) (€)………………
  1. Un installateur thermique commande 75 m de tube. Quel est le coût total ?
  2. Son budget est de 500 €. Quelle longueur de tube (en mètres entiers) peut-il acheter au maximum ?
1
\(C(n)=8{,}5\,n\)
2
Oui, c'est une fonction linéaire : \(C(n)=a\times n\) avec \(a=8{,}5\), et \(C(0)=0\) (pas de forfait fixe).
3
n05102050100
C(n)042,5085170425850
4
\(C(75)=8{,}5\times75=\) 637,50 €
5
\(8{,}5\,n\leq500\Rightarrow n\leq\dfrac{500}{8{,}5}\approx58{,}8\) → 58 mètres maximum (on arrondit à l'entier inférieur).
Exercice 3-2 Consommation de peinture — Comparer deux produits Approfondissement

Un peintre en bâtiment compare deux peintures pour des murs intérieurs :

On note \(A(s)\) et \(B(s)\) les volumes de peinture (en litres) nécessaires pour couvrir \(s\) m².

  1. Écrire \(A(s)\) et \(B(s)\).
  2. Lire le graphique ci-dessous et répondre : pour 12 m², quelle est la consommation de chaque peinture ?
  3. Pour peindre 20 m², quelle économie en litres réalise-t-on avec la peinture A ?
  4. Un pot de peinture A contient 2,5 L. Combien de m² peut-on couvrir avec un pot ?
1
\(A(s)=0{,}15\,s\) et \(B(s)=0{,}25\,s\)
2
\(A(12)=0{,}15\times12=\) 1,8 L  |  \(B(12)=0{,}25\times12=\) 3 L
3
\(B(20)-A(20)=5-3=\) 2 L d'économie avec la peinture A pour 20 m².
4
\(0{,}15\,s=2{,}5\Rightarrow s=\dfrac{2{,}5}{0{,}15}\approx\) 16,7 m² avec un pot de 2,5 L.
Exercice 3-3 Deux artisans — Vitesse de pose proportionnelle Approfondissement

Deux artisans posent des panneaux isolants sur les murs d'un pavillon. Ils travaillent à vitesse constante :

On appelle \(J(h)\) et \(T(h)\) la surface posée (en m²) après \(h\) heures de travail.

  1. Écrire \(J(h)\) et \(T(h)\).
  2. Compléter le tableau de valeurs pour \(h\in\{0;1;2;3;4;6;8\}\).
  3. Un chantier nécessite 48 m² d'isolant. Combien de temps mettra chaque artisan ?
  4. Le client dispose de 6 heures. Quelle surface chaque artisan peut-il couvrir ?
  5. Quelle est la "signification professionnelle" du coefficient directeur de \(J\) ?
h (heures)0123468
J(h) m²…………………
T(h) m²…………………
1
\(J(h)=8h\) et \(T(h)=5h\)
2
h0123468
J(h)081624324864
T(h)051015203040
3
Jules : \(8h=48\Rightarrow h=6\) → 6 heures  |  Théo : \(5h=48\Rightarrow h=9{,}6\) → 9 h 36 min
4
\(J(6)=48\text{ m}^2\)  |  \(T(6)=30\text{ m}^2\)
5
Le coefficient directeur \(a=8\) représente la vitesse de pose : 8 m² posés par heure. Dans un contexte professionnel, c'est la productivité horaire de Jules.
Exercice 3-4 Tarification proportionnelle — Tubes au mètre linéaire Approfondissement

Un grossiste en plomberie vend des tubes pour installations de chauffage au mètre linéaire. Le catalogue propose trois matériaux :

On note \(C_1(\ell)\), \(C_2(\ell)\) et \(C_3(\ell)\) les coûts respectifs pour \(\ell\) mètres de tube.

  1. Écrire les trois fonctions. Sont-elles linéaires ? Justifier.
  2. Compléter le tableau de valeurs pour \(\ell \in \{0\,;\,2\,;\,5\,;\,10\,;\,15\,;\,20\}\).
  3. Un plombier chauffagiste a besoin de 14 m de tube pour alimenter des radiateurs. Calculer le coût dans chaque matériau.
  4. Le budget maximal est de 150 €. Quelle longueur maximale de tube en cuivre peut-on acheter ?
  5. Quel matériau permet d'acheter au moins 25 m avec un budget de 150 € ?
\(\ell\) (m)025101520
\(C_1(\ell)\) cuivre………………
\(C_2(\ell)\) multicouche………………
\(C_3(\ell)\) PER………………
1
\(C_1(\ell) = 12{,}5\ell\), \(C_2(\ell) = 8{,}4\ell\), \(C_3(\ell) = 5{,}2\ell\). Les trois sont linéaires : \(f(\ell) = a\ell\) et \(f(0) = 0\) (pas de forfait).
2
\(\ell\)025101520
Cuivre02562,50125187,50250
Multicouche016,804284126168
PER010,40265278104
3
Pour 14 m : Cuivre : \(12{,}5 \times 14 = \) 175 € | Multicouche : \(8{,}4 \times 14 = \) 117,60 € | PER : \(5{,}2 \times 14 = \) 72,80 €
4
\(12{,}5\ell \leq 150 \Rightarrow \ell \leq \dfrac{150}{12{,}5} = \) 12 m maximum en cuivre.
5
PER : \(5{,}2 \times 25 = 130 \leq 150\) ✓ | Multicouche : \(8{,}4 \times 25 = 210 > 150\) ✗ → Seul le PER permet 25 m avec 150 €.
Exercice 3-5 Comparaison de devis — Avec ou sans frais fixes Approfondissement

Un menuisier agenceur reçoit deux devis de fournisseurs pour des panneaux de contreplaqué :

On note \(X(n)\) et \(Y(n)\) les coûts totaux pour \(n\) panneaux.

  1. Écrire \(X(n)\) et \(Y(n)\). Laquelle est une fonction linéaire ? Justifier.
  2. Compléter le tableau de valeurs pour \(n \in \{0\,;\,2\,;\,5\,;\,10\,;\,15\,;\,20\}\).
  3. Résoudre l'équation \(X(n) = Y(n)\) pour trouver le nombre de panneaux à partir duquel le fournisseur Y est plus avantageux.
  4. Un chantier nécessite 25 panneaux. Quelle économie réalise-t-on en choisissant le meilleur fournisseur ?
  5. Pour le fournisseur X, vérifier que le rapport \(X(n)/n\) est constant. Ce rapport l'est-il aussi pour le fournisseur Y ?
n (panneaux)025101520
X(n) (€)………………
Y(n) (€)………………
1
\(X(n) = 18n\) : fonction linéaire (coefficient 18, \(X(0)=0\)). \(Y(n) = 60 + 12n\) : ce n'est pas une fonction linéaire car \(Y(0) = 60 \neq 0\).
2
n025101520
X(n)03690180270360
Y(n)6084120180240300
3
\(18n = 60 + 12n \Rightarrow 6n = 60 \Rightarrow n = \) 10 panneaux. Pour \(n > 10\), le fournisseur Y est moins cher.
4
\(X(25) = 18 \times 25 = 450\) €  |  \(Y(25) = 60 + 12 \times 25 = 360\) € → économie : 90 € avec le fournisseur Y.
5
\(X(n)/n = 18\) pour tout \(n>0\) : le rapport est constant, le coût est proportionnel au nombre de panneaux.
\(Y(2)/2 = 42\), \(Y(5)/5 = 24\), \(Y(20)/20 = 15\) : le rapport n'est pas constant → pas de proportionnalité chez Y, à cause des frais fixes.
Exercice 3-6 Échelle de plan — Fonction linéaire et proportionnalité Approfondissement

Un dessinateur en bâtiment travaille sur le plan d'une salle d'eau à l'échelle 1/20. Cela signifie que 1 cm sur le plan représente 20 cm en réalité.

On note \(R(x)\) la dimension réelle (en cm) pour une dimension \(x\) cm sur le plan : \(R(x) = 20x\).

  1. Justifier que \(R\) est une fonction linéaire. Quel est son coefficient directeur ?
  2. Sur le plan, la salle d'eau mesure 12 cm de large et 8 cm de profondeur. Calculer les dimensions réelles en cm, puis en mètres.
  3. La hauteur sous plafond réelle est 250 cm. Quelle sera la mesure sur le plan ?
  4. Le dessinateur doit placer un receveur de douche de 60 cm de largeur réelle. Quelle dimension sur le plan ?
  5. Si l'on change pour une échelle 1/50, écrire la nouvelle fonction \(R'(x)\) et recalculer les dimensions de la salle d'eau sur le nouveau plan.
1
\(R(x) = 20x\) est linéaire : forme \(f(x) = ax\) avec \(a = 20\), et \(R(0) = 0\) (0 cm sur le plan = 0 cm en réalité).
2
Largeur : \(R(12) = 20 \times 12 = \) 240 cm = 2,40 m.
Profondeur : \(R(8) = 20 \times 8 = \) 160 cm = 1,60 m.
3
\(20x = 250 \Rightarrow x = \dfrac{250}{20} = \) 12,5 cm sur le plan.
4
\(20x = 60 \Rightarrow x = \dfrac{60}{20} = \) 3 cm sur le plan.
5
\(R'(x) = 50x\). Largeur sur le plan : \(\dfrac{240}{50} = \) 4,8 cm. Profondeur : \(\dfrac{160}{50} = \) 3,2 cm.
Exercice 3-7 Pourcentage de perte — Usinage du bois Approfondissement

Lors de l'usinage du bois (ponçage, découpe, rabotage), on perd en moyenne 8 % du volume initial de la pièce. On note \(P(V)\) le volume perdu (en dm³) pour une pièce de volume initial \(V\) dm³.

  1. Écrire \(P(V)\). Est-ce une fonction linéaire ?
  2. Écrire la fonction \(U(V)\) donnant le volume utile (volume restant après usinage) en fonction de \(V\).
  3. Un artisan menuisier doit fabriquer un plateau de table dont le volume utile doit être exactement 36 dm³. Quel volume initial de bois brut doit-il commander ?
  4. Il commande 5 pièces de bois de 10 dm³ chacune. Quel volume utile total obtiendra-t-il ?
  5. Quel est le coefficient directeur de \(U\) ? Interpréter sa valeur dans le contexte professionnel.
1
\(P(V) = 0{,}08V\). Oui, c'est une fonction linéaire (\(a = 0{,}08\) et \(P(0) = 0\)).
2
\(U(V) = V - 0{,}08V = \) \(0{,}92V\). C'est aussi une fonction linéaire de coefficient \(a = 0{,}92\).
3
\(0{,}92V = 36 \Rightarrow V = \dfrac{36}{0{,}92} \approx \) 39,13 dm³.
Comme le volume utile doit être au moins 36 dm³, on arrondit par excès (jamais par défaut) : un arrondi par défaut donnerait trop peu de bois utile. À une décimale : on commande 39,2 dm³.
Vérification : avec 39,2 dm³ on obtient \(0{,}92 \times 39{,}2 = 36{,}064\) dm³ utiles \(\geq 36\) ✓ ; alors qu'avec 39,1 dm³ on n'obtiendrait que \(0{,}92 \times 39{,}1 = 35{,}972\) dm³ \(< 36\) ✗ (insuffisant). Il faut donc commander au moins 39,2 dm³ de bois brut.
4
Volume total initial : \(5 \times 10 = 50\) dm³. Volume utile : \(U(50) = 0{,}92 \times 50 = \) 46 dm³.
5
Le coefficient \(a = 0{,}92\) signifie que 92 % du volume initial est conservé après usinage. Pour chaque dm³ de bois brut, on obtient 0,92 dm³ de bois utilisable.
Exercice 3-8 Consommation électrique — Fonction linéaire et énergie Approfondissement

Un installateur thermique étudie une pompe à chaleur qui consomme 2,4 kWh d'électricité par heure de fonctionnement. Le prix de l'électricité est de 0,18 € par kWh.

  1. Écrire la fonction \(E(t)\) donnant l'énergie consommée (en kWh) pour \(t\) heures de fonctionnement.
  2. Écrire la fonction \(C(t)\) donnant le coût de l'électricité (en €) pour \(t\) heures de fonctionnement. Est-ce une fonction linéaire ?
  3. Compléter le tableau pour \(t \in \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\}\).
  4. La pompe à chaleur fonctionne pendant une journée froide durant 7 heures. Quel est le coût en électricité ?
  5. Le budget mensuel en électricité pour cet équipement est de 50 €. Combien d'heures par mois peut-il fonctionner au maximum ?
  6. Montrer que la composition de deux fonctions linéaires est encore une fonction linéaire.
t (h)012468
E(t) (kWh)………………
C(t) (€)………………
1
\(E(t) = 2{,}4t\) (fonction linéaire, \(a = 2{,}4\)).
2
\(C(t) = 0{,}18 \times E(t) = 0{,}18 \times 2{,}4t = \) \(0{,}432t\). Oui, c'est une fonction linéaire de coefficient \(a = 0{,}432\).
3
t012468
E(t)02,44,89,614,419,2
C(t)00,430,861,732,593,46
4
\(C(7) = 0{,}432 \times 7 = \) 3,02 €.
5
\(0{,}432t \leq 50 \Rightarrow t \leq \dfrac{50}{0{,}432} \approx \) 115,7 heures par mois maximum.
6
Si \(E(t) = bt\) et \(C(E) = cE\), alors \(C(t) = c \times bt = (cb)t\). C'est une fonction linéaire de coefficient \(a = cb = 0{,}18 \times 2{,}4 = 0{,}432\). La composée de deux fonctions linéaires est linéaire, de coefficient égal au produit des deux coefficients.
Exercice 3-9 Problème ouvert — Mélange de proportions Approfondissement

Un magasin de bricolage prépare une peinture à la teinte personnalisée pour un client. La recette nécessite un mélange de deux produits :

On note \(V\) le volume total du mélange (en litres).

  1. Exprimer le volume de produit A en fonction de \(V\). Même question pour le produit B.
    Indication : dans le mélange, on a 3 parts de A et 1 part de B, soit 4 parts au total.
  2. Montrer que \(A(V)\) et \(B(V)\) sont des fonctions linéaires. Donner leurs coefficients.
  3. Le client commande 12 litres de peinture. Quels volumes de A et de B faut-il préparer ?
  4. Le vendeur dispose de 5 litres de produit B en stock. Quel volume maximal de mélange peut-il réaliser ?
  5. Le produit A coûte 8 € le litre et le produit B coûte 22 € le litre. Écrire la fonction \(P(V)\) donnant le prix total du mélange pour \(V\) litres. Est-ce une fonction linéaire ?
  6. Quel est le prix au litre du mélange ?
1
Le mélange contient 4 parts au total : 3 de A et 1 de B.
\(A(V) = \dfrac{3}{4}V = 0{,}75V\)  |  \(B(V) = \dfrac{1}{4}V = 0{,}25V\)
2
\(A(V) = 0{,}75V\) est linéaire (\(a = 0{,}75\)) et \(B(V) = 0{,}25V\) est linéaire (\(a = 0{,}25\)). Remarque : \(0{,}75 + 0{,}25 = 1\), ce qui est cohérent (le total = \(V\)).
3
\(A(12) = 0{,}75 \times 12 = \) 9 litres de A  |  \(B(12) = 0{,}25 \times 12 = \) 3 litres de B.
4
\(0{,}25V = 5 \Rightarrow V = \dfrac{5}{0{,}25} = \) 20 litres de mélange au maximum.
5
\(P(V) = 8 \times A(V) + 22 \times B(V) = 8 \times 0{,}75V + 22 \times 0{,}25V = 6V + 5{,}5V = \) \(11{,}5V\).
Oui, c'est une fonction linéaire de coefficient \(a = 11{,}5\).
6
Le prix au litre du mélange est le coefficient directeur : 11,50 € par litre.
⚠ La combinaison linéaire de fonctions linéaires est encore une fonction linéaire. Ici, \(P(V) = 8 \times 0{,}75V + 22 \times 0{,}25V = (6 + 5{,}5)V = 11{,}5V\).
Exercice 3-10 Puissance et consommation — comparaison de deux appareils Approfondissement

Un technicien de maintenance énergétique compare deux radiateurs électriques pour un atelier :

Le tarif de l'électricité est de 0,22 €/kWh.

  1. Exprimer le coût horaire de chaque radiateur sous forme de fonction linéaire : \(C_A(t)\) et \(C_B(t)\) en euros, où \(t\) est le temps en heures.
  2. Calculer le coût d'utilisation de chaque radiateur pour 8 h (une journée de travail).
  3. Le radiateur B chauffe la pièce en 45 min contre 1 h 15 pour le radiateur A. Exprimer le coût pour atteindre la température souhaitée avec chaque radiateur.
  4. En supposant qu'on utilise le radiateur pendant \(t\) heures par jour, 220 jours par an, exprimer le coût annuel de chaque radiateur. Pour combien d'heures par jour le surcoût annuel du radiateur B dépasse-t-il 100 € ?
1
\(C_A(t) = 1{,}5 \times 0{,}22 \times t = 0{,}33t\) € et \(C_B(t) = 2 \times 0{,}22 \times t = 0{,}44t\) €. Les deux sont des fonctions linéaires.
2
\(C_A(8) = 0{,}33 \times 8 = 2{,}64\) € et \(C_B(8) = 0{,}44 \times 8 = 3{,}52\) €. Différence : 0,88 € par jour.
3
Radiateur A (1 h 15 = 1,25 h) : \(C_A(1{,}25) = 0{,}41\) €.
Radiateur B (45 min = 0,75 h) : \(C_B(0{,}75) = 0{,}33\) €.
Le radiateur B est moins cher pour la mise en température (plus puissant mais utilisé moins longtemps).
4
Annuel A : \(0{,}33t \times 220 = 72{,}6t\) €. Annuel B : \(0{,}44t \times 220 = 96{,}8t\) €.
Surcoût : \(96{,}8t - 72{,}6t = 24{,}2t\). \(24{,}2t > 100 \Rightarrow t > 4{,}13\).
Le surcoût dépasse 100 €/an dès plus de 4 h d'utilisation quotidienne.
Exercice 3-11 Découpe de panneaux — Le coût est-il proportionnel ? Approfondissement

Un artisan menuisier doit réaliser un chantier d'agencement intérieur. Il hésite entre deux options pour la découpe des panneaux :

On note \(n\) le nombre de panneaux découpés en une journée.

  1. Exprimer le coût de chaque option en fonction de \(n\) : \(C_A(n)\) et \(C_B(n)\). L'option A est-elle une fonction linéaire ? Et l'option B ?
  2. À partir de combien de panneaux la location devient-elle plus avantageuse ? (Résoudre \(C_B(n) < C_A(n)\).)
  3. Le chantier nécessite la découpe de 25 panneaux en une journée. Quelle option choisir ? Calculer l'économie.
  4. Si le chantier dure 3 jours avec 25 panneaux par jour, comparer les coûts totaux. L'option B reste-t-elle avantageuse ?
  5. Déterminer le coefficient de la fonction linéaire \(C_A\). Le rapport \(C_B(n)/n\) est-il constant ? Qu'en conclure ?
1
\(C_A(n) = 12n\) : fonction linéaire de coefficient \(a = 12\). \(C_B(n) = 2n + 180\) : pas une fonction linéaire car \(C_B(0) = 180 \neq 0\).
2
\(2n + 180 < 12n \Rightarrow 180 < 10n \Rightarrow n > 18\). La location est avantageuse à partir de 19 panneaux.
3
\(C_A(25) = 300\) € et \(C_B(25) = 230\) €. L'option B est préférable. Économie : 70 €.
4
Sur 3 jours (75 panneaux) : \(C_A = 12 \times 75 = 900\) € et \(C_B = 3 \times 180 + 2 \times 75 = 690\) €. Économie : 210 €. L'option B reste largement avantageuse.
5
\(C_A(n)/n = 12\) (constant) → proportionnalité confirmée, le coefficient de \(C_A\) vaut \(12\).
\(C_B(n)/n = 2 + 180/n\) (dépend de \(n\)) → pas de proportionnalité : la location fixe « casse » la proportionnalité.
⚠ Seule l'option A (sans coût fixe) est une fonction linéaire : son coût est proportionnel au nombre de panneaux. Dès qu'un coût fixe s'ajoute, la droite ne passe plus par l'origine et le rapport coût/quantité n'est plus constant.
Exercice 3-12 Du graphique à l'expression (lecture seule) Approfondissement
📈 Lecture graphique
La droite d'une fonction linéaire \(h\) (par l'origine) est tracée ci-dessous. Son expression n'est pas donnée.
1. Déterminer l'expression \(h(x) = a\,x\) en lisant un point de la droite.
2. Calculer \(h(10)\) (valeur hors du graphique).
3. Résoudre \(h(x) = 12\) : quelle abscisse a une ordonnée de 12 ?

1. On lit un point : la droite passe par \((4\,;\,2)\). Donc \(a = \dfrac{2}{4} = 0{,}5\) et \(h(x) = 0{,}5\,x\).

2. \(h(10) = 0{,}5 \times 10 = 5\).

3. \(0{,}5\,x = 12 \Rightarrow x = \dfrac{12}{0{,}5} = 24\).

Exercice 3-13 Le séchage d'une chape est-il proportionnel à son épaisseur ? Approfondissement

Avant de poser un revêtement de sol, une chape en ciment doit sécher. Les professionnels utilisent la règle suivante : compter 1 semaine de séchage par centimètre d'épaisseur pour les 4 premiers centimètres, puis 2 semaines par centimètre supplémentaire.

Sur un chantier, un apprenti affirme : « le séchage est proportionnel à l'épaisseur, donc une chape de 8 cm sèche en 8 semaines. »

1. Calculer la durée de séchage d'une chape de 3 cm, 4 cm, 6 cm et 8 cm, et organiser les résultats dans un tableau.

2. La durée de séchage est-elle proportionnelle à l'épaisseur ? Justifier par le calcul des rapports.

3. Que penser de l'affirmation de l'apprenti ?

4. Sur quel intervalle d'épaisseurs la durée est-elle modélisée par une fonction linéaire ? Donner cette fonction.

5. Le planning du chantier ne laisse que 10 semaines de séchage. Quelle épaisseur de chape ne faut-il pas dépasser ?

1. Jusqu'à 4 cm, on compte 1 semaine par centimètre ; au-delà, on ajoute 2 semaines par centimètre supplémentaire.

— 3 cm : \(3 \times 1 = \mathbf{3}\) semaines.
— 4 cm : \(4 \times 1 = \mathbf{4}\) semaines.
— 6 cm : \(4 + 2 \times 2 = 4 + 4 = \mathbf{8}\) semaines.
— 8 cm : \(4 + 4 \times 2 = 4 + 8 = \mathbf{12}\) semaines.

Épaisseur \(e\) (cm)3468
Durée \(d\) (semaines)34812
Rapport \(\dfrac{d}{e}\)11≈ 1,331,5

2. On calcule le rapport \(\dfrac{d}{e}\) pour chaque colonne :

\[\frac{3}{3} = 1 \quad ; \quad \frac{4}{4} = 1 \quad ; \quad \frac{8}{6} \approx 1{,}33 \quad ; \quad \frac{12}{8} = 1{,}5\]

Les rapports ne sont pas tous égaux : la durée de séchage n'est pas proportionnelle à l'épaisseur. Deux colonnes qui diffèrent suffisent à le prouver.

3. L'apprenti se trompe. Il applique le coefficient 1 semaine/cm valable pour les petites épaisseurs à une chape de 8 cm : la vraie durée est de 12 semaines, pas 8. L'erreur est de 4 semaines, soit un mois de chantier — le revêtement serait posé sur une chape encore humide, avec un risque de décollement ou de cloques.

4. Sur l'intervalle \([0\,;\,4]\) (en cm), la règle est bien « 1 semaine par centimètre » : la durée est alors proportionnelle à l'épaisseur, de coefficient 1 semaine/cm :

\[d(e) = 1 \times e = \mathbf{e} \quad \text{pour } 0 \leq e \leq 4\]

Au-delà de 4 cm, le modèle linéaire n'est plus valable : chaque centimètre supplémentaire coûte deux fois plus de temps. C'est un bon exemple de modèle qui n'est fiable que sur un domaine limité.

5. Pour \(e \gt 4\), la durée s'écrit \(d = 4 + 2(e - 4) = 2e - 4\). On cherche les épaisseurs telles que \(d \leq 10\) :

\[2e - 4 \leq 10\] \[2e \leq 14\] \[e \leq \mathbf{7} \text{ cm}\]

Vérification : pour \(e = 7\) cm, \(d = 4 + 2 \times 3 = 10\) semaines ✓ ; pour \(e = 8\) cm, \(d = 12\) semaines \(\gt 10\) ✗

Il ne faut donc pas dépasser 7 cm d'épaisseur. Si le projet impose une chape plus épaisse, il faut changer de solution technique (chape à séchage rapide, chape fluide) plutôt que de raboter le délai.

Exercice 3-14 Quelle surface de panneaux photovoltaïques ? Approfondissement

À orientation et inclinaison identiques, la production annuelle d'une installation photovoltaïque est proportionnelle à la surface de panneaux installés. Sur une installation de référence, un technicien relève les valeurs suivantes.

Surface de l'installation de référence12 m²
Production annuelle mesurée2 040 kWh
Consommation annuelle de la maison3 200 kWh
Surface de toiture disponible16 m²

1. Déterminer la fonction linéaire \(P\) donnant la production annuelle (en kWh) en fonction de la surface \(s\) (en m²). Interpréter son coefficient.

2. Quelle surface de panneaux faudrait-il pour produire l'équivalent de toute la consommation de la maison ? Arrondir au mètre carré supérieur et justifier cet arrondi.

3. Avec les 16 m² réellement disponibles, quel pourcentage de la consommation annuelle est produit ?

4. Un voisin annonce « 30 m² de panneaux, 6 000 kWh par an ». Ce chiffre est-il compatible avec le modèle ? Discuter les limites de ce modèle.

1. La situation est proportionnelle : le coefficient se calcule à partir du couple connu \((12\,;\,2\,040)\) :

\[a = \frac{2\,040}{12} = \mathbf{170}\] \[P(s) = 170\,s\]

Le coefficient signifie que chaque mètre carré de panneaux produit 170 kWh par an. Vérification : \(P(12) = 170 \times 12 = 2\,040\) kWh ✓

2. On cherche l'antécédent de 3 200 par \(P\) :

\[170\,s = 3\,200\] \[s = \frac{3\,200}{170} \approx \mathbf{18{,}8} \text{ m}^2\]

On arrondit à 19 m², à l'entier supérieur : avec 18 m², on ne produirait que \(170 \times 18 = 3\,060\) kWh, soit 140 kWh de moins que la consommation. Avec 19 m² : \(170 \times 19 = 3\,230\) kWh \(\geq 3\,200\) kWh ✓

3. Production réellement possible :

\[P(16) = 170 \times 16 = \mathbf{2\,720} \text{ kWh}\] \[\frac{2\,720}{3\,200} = 0{,}85 = \mathbf{85\,\%}\]

La toiture disponible permet de produire l'équivalent de 85 % de la consommation annuelle ; il restera environ \(3\,200 - 2\,720 = 480\) kWh à acheter au réseau.

4. D'après le modèle, 30 m² produiraient :

\[P(30) = 170 \times 30 = \mathbf{5\,100} \text{ kWh}\]

L'annonce du voisin dépasse cette valeur de \(6\,000 - 5\,100 = 900\) kWh, soit \(900 \div 5\,100 \approx 17{,}6\,\%\) de plus. Son installation correspondrait à un coefficient de \(6\,000 \div 30 = 200\) kWh/m² par an : le chiffre n'est pas absurde, mais il n'est pas compatible avec ce modèle.

Limites du modèle : le coefficient 170 kWh/m² par an n'a de sens qu'à orientation, inclinaison, ombrage, technologie de panneaux et région identiques — c'est précisément l'hypothèse posée dans l'énoncé. Une installation plein sud, sans ombre portée, dans une région plus ensoleillée, produit davantage par mètre carré. Enfin, « produire l'équivalent de sa consommation » n'est pas « être autonome » : la production a lieu le jour et l'été, la consommation le soir et l'hiver ; sans stockage, une partie de l'électricité produite est renvoyée au réseau.

Exercice 3-15 Un plan de travail en chêne portable à deux ? Approfondissement

Un menuisier fabrique un plan de travail en chêne massif de 200 cm de long sur 65 cm de large. La masse du chêne est proportionnelle au volume : 1 dm³ de ce bois pèse 0,75 kg. Les recommandations de manutention de l'atelier limitent à 45 kg la charge portée par deux personnes.

Longueur du plan de travail200 cm
Largeur du plan de travail65 cm
Masse d'un dm³ de chêne0,75 kg
Charge maximale portée à deux45 kg

1. Calculer le volume, en dm³, d'un plan de travail de 4 cm d'épaisseur, puis sa masse.

2. Exprimer la masse \(m\) (en kg) en fonction de l'épaisseur \(e\) (en cm). S'agit-il d'une fonction linéaire ? Interpréter le coefficient.

3. Quelle épaisseur maximale respecte la limite de manutention ?

4. Le client souhaite un plan de travail de 5 cm d'épaisseur. Que répondre ? Discuter la fiabilité du résultat.

1. On convertit toutes les dimensions en décimètres : 200 cm = 20 dm, 65 cm = 6,5 dm, 4 cm = 0,4 dm.

\[V = 20 \times 6{,}5 \times 0{,}4 = \mathbf{52} \text{ dm}^3\] \[m = 0{,}75 \times 52 = \mathbf{39} \text{ kg}\]

2. Pour une épaisseur \(e\) en centimètres, soit \(\dfrac{e}{10}\) décimètres :

\[V(e) = 20 \times 6{,}5 \times \frac{e}{10} = 13\,e \quad (\text{en dm}^3)\] \[m(e) = 0{,}75 \times 13\,e = \mathbf{9{,}75\,e} \quad (\text{en kg})\]

C'est bien une fonction linéaire : elle est de la forme \(m(e) = a\,e\), avec \(a = 9{,}75\), et \(m(0) = 0\) (pas d'épaisseur, pas de matière). Le coefficient signifie que chaque centimètre d'épaisseur ajoute 9,75 kg au plan de travail.

Vérification avec la question 1 : \(m(4) = 9{,}75 \times 4 = 39\) kg ✓  ; autre couple : \(m(2) = 19{,}5\) kg et \(\dfrac{19{,}5}{2} = 9{,}75\) — le rapport est constant ✓

3. On cherche les épaisseurs telles que \(m(e) \leq 45\) :

\[9{,}75\,e \leq 45\] \[e \leq \frac{45}{9{,}75} \approx \mathbf{4{,}6} \text{ cm}\]

Vérification : \(m(4{,}6) = 9{,}75 \times 4{,}6 = 44{,}85\) kg \(\leq 45\) kg ✓. En pratique, le menuisier retiendra une épaisseur commerciale de 4,5 cm (soit 43,9 kg), qui laisse une petite marge.

4. Pour 5 cm :

\[m(5) = 9{,}75 \times 5 = \mathbf{48{,}75} \text{ kg}\]

C'est 3,75 kg au-dessus de la limite : le plan de travail ne doit pas être porté à deux. Trois réponses possibles au client : porter à trois personnes, utiliser un chariot ou des sangles de manutention, ou réaliser le plan en deux éléments assemblés sur place (deux morceaux de 100 cm pèsent \(48{,}75 \div 2 \approx 24{,}4\) kg chacun).

Fiabilité : le modèle suppose une masse volumique constante de 0,75 kg/dm³. Or celle du chêne varie avec l'essence et surtout avec le taux d'humidité du bois : entre 0,68 et 0,80 kg/dm³, la masse d'un plan de 5 cm irait de \(0{,}68 \times 65 = 44{,}2\) kg à \(0{,}80 \times 65 = 52\) kg (le volume vaut ici \(13 \times 5 = 65\) dm³). Le calcul donne un ordre de grandeur, pas une valeur exacte : à 48,75 kg on est trop près de la limite pour trancher au gramme près — raison de plus pour prévoir une aide au port.

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