te repérer dans un plan muni d'un repère orthogonal ;
calculer la valeur d'une expression pour un nombre donné ;
résoudre une équation simple du premier degré.
Capacités du chapitre (codes du cours PDF) :
C1 — Reconnaître une fonction et utiliser le vocabulaire
C2 — Calculer ou lire l’image d’un nombre
C3 — Déterminer un antécédent par calcul ou dans un tableau
C4 — Lire une image et des antécédents sur une courbe
C5 — Passer d’une représentation à une autre
C6 — Exploiter l’équation y = f(x) d’une courbe
1. Une grandeur dépend d'une autre (C1)
Sur un chantier ou dans une installation énergétique, une grandeur dépend souvent d'une autre :
la température d'un local dépend de l'heure ;
le volume d'eau écoulé dépend de la durée ;
le coût d'une intervention dépend de la quantité de matériel utilisée.
Exemple professionnel — maintenance énergétique
Un technicien CVC relève la température d'un local à différentes heures. À chaque heure du relevé correspond une seule température. La température peut donc être décrite comme une fonction du temps.
Entrée heure
⟶
fonction règle d'association
⟶
Sortie température
2. Définition, variable et notation (C1)
Définition
Une fonction \(f\) associe à chaque valeur d'entrée \(x\) une seule valeur de sortie, notée \(f(x)\).
Vocabulaire :
\(x\) est la variable ou la valeur d'entrée ;
\(f(x)\) est l'image de \(x\) par \(f\) ;
si \(f(a)=b\), alors \(a\) est un antécédent de \(b\).
\[
f:x\longmapsto f(x)
\]
On lit : « la fonction \(f\) qui, à \(x\), associe \(f(x)\) ».
Une fonction n'est pas forcément une formule. Elle peut être donnée de trois façons principales.
Mode de représentation
Ce que l'on observe
Exemple
Expression
Une règle de calcul
\(T(t)=22-\dfrac{t}{2}\)
Tableau
Des entrées et leurs images
une colonne associe \(t\) et \(T(t)\)
Courbe
Des points \((x\,;\,f(x))\)
lecture sur les deux axes
Application 1 — Reconnaître une fonction
Un tableau associe à chaque heure une seule température. Décrit-il une fonction de l'heure ?
Oui. Chaque heure possède une seule température associée : la règle respecte la définition d'une fonction.
Sur quel ensemble la fonction est-elle définie ?
Définition
Un intervalle est l'ensemble de tous les nombres compris entre deux bornes \(a\) et \(b\). Un crochet tourné vers le nombre indique une borne incluse ; un crochet tourné vers l'extérieur, une borne exclue.
Intervalle
Encadrement de \(x\)
Bornes
\([a\,;\,b]\)
\(a\leqslant x\leqslant b\)
\(a\) et \(b\) incluses
\(]a\,;\,b[\)
\(a \lt x \lt b\)
\(a\) et \(b\) exclues
\([a\,;\,b[\)
\(a\leqslant x \lt b\)
\(a\) incluse, \(b\) exclue
\(]a\,;\,b]\)
\(a \lt x\leqslant b\)
\(a\) exclue, \(b\) incluse
Pour dire que \(x\) est dans l'intervalle, on écrit \(x\in[a\,;\,b]\) ; sinon, \(x\notin[a\,;\,b]\).
Définition
Une fonction est définie sur un ensemble : celui des valeurs d'entrée qui ont un sens. En situation, c'est souvent un intervalle, fixé par la durée d'un relevé ou par les dimensions d'un ouvrage. Hors de cet ensemble, on ne calcule pas d'image, et une solution qui en sort n'est pas un antécédent.
Exemple — Un enregistrement de 12 heures
La puissance \(P(t)\) d'un atelier est enregistrée de \(t=0\) à \(t=12\) heures. La fonction \(P\) est définie sur \([0\,;\,12]\), c'est-à-dire pour \(0\leqslant t\leqslant 12\).
Ainsi \(5\in[0\,;\,12]\) : \(P(5)\) a un sens. Mais \(15\notin[0\,;\,12]\) : \(P(15)\) n'a pas de sens, l'enregistrement est terminé.
Pendant la pause, pour \(3 \lt t\leqslant 4\), les machines sont à l'arrêt : \(t\in\,]3\,;\,4]\). Le crochet en 3 est tourné vers l'extérieur, car 3 est exclu.
Application 1 bis — Intervalle et ensemble de définition
La hauteur d'eau \(h(t)\) d'une cuve est définie sur \([0\,;\,8]\), avec \(t\) en minutes.
Traduire \([0\,;\,8]\) par un encadrement de \(t\).
Peut-on parler de \(h(9)\) ?
Écrire sous forme d'intervalle : \(2 \lt t\leqslant 5\).
1. \(0\leqslant t\leqslant 8\).
2. Non : \(9\notin[0\,;\,8]\), donc \(h(9)\) n'a pas de sens.
3. \(]2\,;\,5]\) : 2 est exclu, 5 est inclus.
3. Calculer ou lire une image (C2)
MéthodeAvec une expression :
repérer la valeur d'entrée donnée ;
remplacer la variable par cette valeur, entre parenthèses ;
effectuer le calcul et donner l'unité dans le contexte.
Exemple — Température d'un local
Pendant un test, la température est décrite par \(T(t)=22-\dfrac{t}{2}\), avec \(t\) en heures et \(T(t)\) en °C.
1On cherche l'image de \(6\), donc on calcule \(T(6)\).
2\(T(6)=22-\dfrac{6}{2}=22-3=19\).
3Après 6 heures, la température vaut 19 °C.
Application 2 — Image par calcul
La consommation d'un appareil est donnée par \(E(t)=1{,}5t+0{,}8\), en kWh. Calculer \(E(4)\).
\(E(4)=1{,}5\times4+0{,}8=6+0{,}8=\mathbf{6{,}8}\).
L'image de 4 par \(E\) est 6,8 : la consommation est de 6,8 kWh.
MéthodeAvec un tableau : choisir la valeur d'entrée sur la première ligne, puis lire son image dans la même colonne.
Le tableau ci-dessous donne la température extérieure relevée sur un chantier, heure par heure. Elle est notée \(T_{\text{ext}}(t)\) pour ne pas la confondre avec la température du local \(T(t)\) étudiée plus haut : ce sont deux fonctions différentes.
Heure \(t\) (h)
8
10
12
14
16
Température extérieure \(T_{\text{ext}}(t)\) (°C)
18
20
23
22
19
Dans ce tableau, l'image de 14 est 22 : on écrit \(T_{\text{ext}}(14)=22\).
Calculer des images en série : tableur et Python
Quand il faut une dizaine d'images, on ne les calcule pas une à une : le tableur et Python font le travail.
MéthodeAu tableur : on saisit les entrées en colonne A. En B2, on saisit la formule avec la référence de la cellule A2, puis on la recopie vers le bas. Pour \(f(x)=3x-2\), on écrit =3*A2-2.
A
B
1
\(x\)
\(f(x)\)
2
−1
−5
3
0
−2
4
2
4
5
4
10
Recopiée en B4, la formule devient =3*A4-2 : chaque ligne calcule l'image de sa propre entrée.
MéthodeEn Python : on écrit la règle de calcul une seule fois, puis on demande autant d'images qu'on veut. L'en-tête def f(x): est donné. Le mot return renvoie la sortie, c'est-à-dire l'image.
« Choisir un nombre, le multiplier par 5, puis retrancher 3. » L'expression est \(f(x)=5x-3\), et la fonction Python :
def f(x):
return 5*x - 3
Attention
Le tableur et Python calculent des images. Ils ne donnent pas les antécédents : pour remonter d'une sortie vers une entrée, il faut résoudre une équation ou lire la courbe. En Python, le séparateur décimal est le point : 1.8*t + 0.6.
Application 2 bis — Le tableur et Python
La consommation d'un appareil est \(E(t)=1{,}8t+0{,}6\), en kilowattheures.
Les valeurs de \(t\) sont en colonne A à partir de A2. Quelle formule saisir en B2 ?
Compléter la fonction Python : def E(t): puis return …
Traduire par une expression, puis en Python : « choisir un nombre, l'ajouter à 4, puis multiplier le tout par 7 ».
1. =1,8*A2+0,6 (ou =1.8*A2+0.6 selon le réglage du tableur). La référence A2 permet la recopie vers le bas.
2. return 1.8*t + 0.6
3. \(g(x)=7(x+4)\). En Python :
def g(x):
return 7*(x + 4)
Écrire return 7*x + 4 serait faux : l'ordre des opérations du programme ne serait pas respecté.
4. Déterminer un antécédent (C3)
Définition
Un nombre \(a\) est un antécédent de \(b\) par \(f\) lorsque \(f(a)=b\).
Attention
Pour une entrée donnée, il n'y a qu'une seule image. En revanche, une valeur de sortie peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents.
Exemple — Antécédent par calcul
Le coût d'une commande est donné par \(C(q)=12q+40\), où \(q\) est le nombre de lots. Pour combien de lots le coût vaut-il 124 € ?
On cherche \(q\) tel que \(C(q)=124\) :
\(12q+40=124\), donc \(12q=84\), puis \(q=7\).
Vérification : \(C(7)=12\times7+40=124\). L'antécédent de 124 est 7.
Application 3 — Antécédents dans un tableau
À l'aide du tableau précédent, déterminer le ou les antécédents de 19 par \(T_{\text{ext}}\).
On cherche 19 sur la ligne des températures. On le trouve sous \(t=16\). Dans ce tableau, l'antécédent de 19 est donc 16.
5. Lire une image et des antécédents sur une courbe (C4)
La courbe ci-dessous représente la hauteur d'eau \(h(t)\) mesurée pendant un essai de remplissage puis de vidange d'une petite cuve. L'expression de la fonction n'est pas nécessaire pour effectuer les lectures.
La même hauteur peut être atteinte pendant le remplissage puis pendant la vidange.
Méthode
Lire une image
partir de l'entrée sur l'axe horizontal ;
rejoindre la courbe verticalement ;
lire l'image sur l'axe vertical.
Lire un antécédent
partir de la sortie sur l'axe vertical ;
rejoindre la courbe horizontalement ;
lire chaque antécédent sur l'axe horizontal.
Les deux figures ci-dessous montrent les deux lectures sur une même courbe : celle de la puissance électrique \(P(t)\), en kilowatts, appelée par un atelier au cours de 12 heures de production.
Lecture verticale puis horizontale : l'image de 3 est 23. On écrit \(P(3)=23\).Lecture horizontale puis verticale : l'horizontale d'ordonnée 20 rencontre la courbe trois fois. La valeur 20 possède donc trois antécédents : 0, 6 et 12.
Application 4 — Lecture graphique
Lire l'image de 2 par \(h\).
Déterminer tous les antécédents de 2 par \(h\).
L'image de 2 est 2 : \(h(2)=2\). La valeur 2 possède deux antécédents : 2 et 6.
Les pointillés de lecture apparaissent uniquement dans la correction.
6. Passer d'une représentation à une autre (C5)
Une même fonction peut être présentée de plusieurs façons.
L'expression permet de calculer précisément une image.
Le tableau regroupe quelques couples entrée-sortie.
La courbe permet de lire rapidement des images et des antécédents.
Dans un tableau, chaque colonne \((x\,;\,f(x))\) donne les coordonnées d'un point de la courbe. Réciproquement, un point de la courbe permet de lire une entrée et son image.
Chaque colonne du tableau devient un point. Les points ne sont pas reliés : entre deux relevés, on ne sait pas ce qui s'est passé.
Application 5 — Choisir la bonne représentation
Un technicien doit connaître précisément la température à \(t=3{,}7\) h. Parmi expression, tableau limité à des heures entières et courbe, quelle représentation donnera la valeur la plus précise ?
L'expression est la plus précise : on peut remplacer directement \(t\) par 3,7. Le tableau ne contient pas nécessairement cette entrée et la courbe donne une lecture approchée.
7. L'équation \(y=f(x)\) d'une courbe (C6)
Jusqu'ici, on a lu une courbe. On peut aussi dire exactement quels points la composent.
Définition
La courbe représentative d'une fonction \(f\), souvent notée \(\mathcal{C}\), est l'ensemble des points \(M(x\,;\,y)\) du repère dont les coordonnées vérifient
\[y=f(x)\]
On dit que \(y=f(x)\) est l'équation de la courbe \(\mathcal{C}\).
Conséquence directe. Un point \(M(a\,;\,b)\) appartient à \(\mathcal{C}\) si et seulement si \(f(a)=b\).
Il n'y a donc rien à mesurer sur le dessin : on vérifie par le calcul.
Méthode
Un point est-il sur la courbe ?
repérer l'abscisse \(a\) et l'ordonnée \(b\) du point ;
calculer \(f(a)\) ;
comparer : si \(f(a)=b\), le point appartient à \(\mathcal{C}\) ; sinon, il n'y appartient pas.
Coordonnées d'un point de la courbe
abscisse \(a\) connue : l'ordonnée est \(f(a)\), le point est \((a\,;\,f(a))\) ;
ordonnée \(b\) connue : on résout l'équation \(f(x)=b\), chaque solution donne un point \((x\,;\,b)\).
Exemple — Salle d'escalade
Une salle d'escalade demande 10 € de licence, puis 5 € par séance. La dépense totale est \(f(x)=5x+10\), où \(x\) est le nombre de séances et \(f(x)\) la dépense en euros. On note \(\mathcal{C}\) la courbe de \(f\).
1Le point \(A(4\,;\,30)\) appartient-il à \(\mathcal{C}\) ? On calcule \(f(4)=5\times4+10=30\). L'égalité \(30=30\) est vérifiée : oui, \(A\) appartient à \(\mathcal{C}\).
2Et le point \(B(2\,;\,25)\) ? On calcule \(f(2)=5\times2+10=20\). Or \(20\neq25\) : non, \(B\) n'appartient pas à \(\mathcal{C}\).
3Quelles sont les coordonnées du point de \(\mathcal{C}\) d'ordonnée 45 ? On résout \(5x+10=45\), donc \(5x=35\) et \(x=7\) : le point est \((7\,;\,45)\). Après 7 séances, la dépense atteint 45 €.
\(f(4)=30\) : le point \(A\) est sur la courbe. \(f(2)=20\) et non 25 : le point \(B\) est au-dessus de la courbe, il ne lui appartient pas.
Attention
Un point « proche » de la courbe n'est pas un point de la courbe. La seule preuve acceptée est l'égalité \(f(a)=b\), écrite avec le calcul qui la justifie.
Application 6 — Appartenance et coordonnées
Un bassin de rétention contient déjà 8 m³ d'eau lorsque l'orage commence, puis il reçoit 12 m³ par heure. Le volume est \(V(t)=12t+8\), où \(t\) est la durée de l'orage en heures et \(V(t)\) le volume en m³. On note \(\mathcal{C}\) la courbe de \(V\).
Le point \(A(5\,;\,68)\) appartient-il à \(\mathcal{C}\) ? Justifier par une égalité.
Donner les coordonnées du point de \(\mathcal{C}\) d'abscisse 9.
1. \(V(5)=12\times5+8=60+8=68\). L'égalité \(V(5)=68\) est vérifiée, donc \(A\) appartient à \(\mathcal{C}\).
2. \(V(9)=12\times9+8=108+8=116\) : le point cherché est \(\mathbf{(9\,;\,116)}\), soit 116 m³ après 9 heures d'orage.
8. Erreurs fréquentes
Erreur 1Confondre image et antécédent. Pour l'image, on connaît l'entrée. Pour l'antécédent, on connaît la sortie et on remonte vers l'entrée.
Erreur 2Lire sur le mauvais axe. Les entrées se lisent sur l'axe horizontal ; les images se lisent sur l'axe vertical.
Erreur 3Croire qu'une fonction est toujours une formule. Un tableau ou une courbe peuvent suffire à définir la relation étudiée.
Erreur 4Oublier un antécédent. Une horizontale peut rencontrer la courbe plusieurs fois : il faut lire toutes les abscisses correspondantes.
Erreur 5Placer un point « à peu près » sur la courbe. Pour décider si \(M(a\,;\,b)\) appartient à la courbe, on calcule \(f(a)\) et on le compare à \(b\) : le dessin ne prouve rien.
9. À retenir
Une fonction associe à chaque entrée \(x\) une seule image \(f(x)\).
Une fonction est définie sur un ensemble, souvent un intervalle comme \([0\,;\,12]\) : hors de cet ensemble, l'image n'a pas de sens.
Une fonction peut être définie par une expression, un tableau ou une courbe.
Le tableur et Python calculent des images en série ; ils ne donnent pas les antécédents.
Image : on donne \(x\), on cherche \(f(x)\).
Antécédent : on donne une valeur de sortie, on cherche le ou les \(x\) correspondants.
Sur une courbe : image = lecture verticale ; antécédent = lecture horizontale.
La courbe de \(f\) a pour équation \(y=f(x)\) : le point \(M(a\,;\,b)\) lui appartient si et seulement si \(f(a)=b\).