Fiche résumé — Fonction linéaire et proportionnalité
Chapitre 8 | Seconde Bac Pro | Mathématiques
Proportionnalité
Deux grandeurs \(x\) et \(y\) sont proportionnelles si \(\dfrac{y}{x}\) est constant.
\(y = kx\) avec \(k = \dfrac{y}{x}\)
Dans un tableau de proportionnalité, le quotient \(\dfrac{\text{2e ligne}}{\text{1re ligne}}\) est le même pour chaque colonne.
Fonction linéaire
\(f(x) = ax\)
\(a\) = coefficient directeur (ou de proportionnalité)
\(f(0) = 0\) toujours (passe par l'origine)
\(f(1) = a\) (l'image de 1 donne le coefficient)
Sens de variation
\(a > 0\) : fonction croissante
\(a < 0\) : fonction décroissante
La courbe est une droite passant par l'origine.
Trouver le coefficient
Si on connaît \(f(x_0) = y_0\) :
\(a = \dfrac{y_0}{x_0}\)
Lecture graphique avec deux points :
\(a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
Piège 1 : Confondre fonction linéaire \(f(x) = ax\) et fonction affine \(f(x) = ax + b\). Seule la fonction linéaire traduit une proportionnalité stricte et passe par l'origine.
Piège 2 : Oublier que \(f(0) = 0\). Si \(f(0) \neq 0\), ce n'est pas une fonction linéaire (il y a une partie fixe : abonnement, frais de déplacement...).
Piège 3 : Inverser le coefficient. Si 3 kg coûtent 12 euros, \(a = \dfrac{12}{3} = 4\) euros/kg, et non \(\dfrac{3}{12}\). Toujours diviser la grandeur dépendante par la variable.
Astuce : Pour vérifier rapidement un tableau de proportionnalité, calculer le quotient \(\dfrac{y}{x}\) pour chaque colonne. S'ils sont tous égaux, c'est proportionnel.
Astuce : Sur un graphique, le coefficient \(a\) se lit directement : c'est l'ordonnée du point d'abscisse 1 (car \(f(1) = a\)).
Résumé express — Méthode type
Identifier si la situation est proportionnelle : vérifier que \(\dfrac{y}{x}\) est constant (pas de frais fixes).
Calculer le coefficient : \(a = \dfrac{y_0}{x_0}\) à partir d'un couple connu.
Écrire la fonction : \(f(x) = ax\).
Vérifier : \(f(0) = 0\) et le graphique est une droite passant par l'origine.
Calculer des images ou antécédents selon le besoin.