Reconnaître une fonction définie par une expression, un tableau ou une courbe
Calculer l'image d'un nombre par une fonction
Déterminer un antécédent par lecture graphique ou par calcul
Décrire les variations d'une fonction sur un intervalle
📌 Objectif
Ces exercices portent sur la notion de fonction : image, antécédent, tableau de valeurs, représentation graphique et lecture graphique.
Ils sont progressifs : on part des bases (calculer une image) pour aller vers des applications contextualisées.
Méthode — Calculer l'image d'un nombre :
On remplace \(x\) par la valeur donnée dans la formule. Toujours mettre des parenthèses autour de la valeur, surtout si elle est négative.
⚠ Pour \(f(-3)\) : écrire \(3\times(-3)\), pas \(3\times-3\). Les parenthèses sont indispensables.
Exercice 2Vrai ou FauxSocle
Soit \(g(x) = 5x - 1\). Indiquer Vrai ou Faux et justifier :
L'image de 2 par \(g\) est 9.
L'image de 0 par \(g\) est 0.
\(g(3) = 14\)
L'image de \(-1\) par \(g\) est \(-6\).
1
\(g(2)=5\times2-1=9\) → VRAI
2
\(g(0)=0-1=-1\neq0\) → FAUX — l'image de 0 est −1.
3
\(g(3)=15-1=14\) → VRAI
4
\(g(-1)=-5-1=-6\) → VRAI
Exercice 3Plusieurs fonctions — image de 2Socle
Calculer l'image de \(x=2\) pour chacune des fonctions :
\(f(x)=4x\)
\(g(x)=-2x+7\)
\(h(x)=x^2-3\)
\(k(x)=\dfrac{12}{x}\)
a
\(f(2)=4\times2=\) 8
b
\(g(2)=-4+7=\) 3
c
\(h(2)=4-3=\) 1
d
\(k(2)=12\div2=\) 6
Exercice 4Calculer une image pas à pasSocle
Méthode : Pour calculer \(f(a)\), on remplace \(x\) par la valeur \(a\) dans la formule.
Exemple : si \(f(x) = 2x + 1\), alors \(f(3) = 2 \times \mathbf{3} + 1 = 6 + 1 = 7\)
L'image se calcule directement (substituer). L'antécédent demande de résoudre une équation.
Exercice 7Lecture graphique guidée — Image et antécédentSocle
Rappel :
• Lire une image : on part de la valeur sur l'axe des \(x\), on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit la valeur sur l'axe des \(y\).
• Lire un antécédent : on part de la valeur sur l'axe des \(y\), on va horizontalement jusqu'à la courbe, puis on lit la valeur sur l'axe des \(x\).
On donne le tableau de valeurs d'une fonction \(f\) :
\(x\)
0
1
2
3
4
5
\(f(x)\)
3
5
7
9
11
13
a) L'image de 2 par \(f\) est : \(f(2) = \) …… b) L'image de 4 par \(f\) est : \(f(\ldots) = \) …… c) L'antécédent de 9 par \(f\) est : …… car \(f(\ldots) = 9\) d) L'antécédent de 5 par \(f\) est : …… car \(f(\ldots) = 5\)
a) \(f(2) = \mathbf{7}\)
b) \(f(4) = \mathbf{11}\)
c) L'antécédent de 9 est \(\mathbf{3}\) car \(f(3) = 9\)
d) L'antécédent de 5 est \(\mathbf{1}\) car \(f(1) = 5\)
Image (↑ vert) : on monte de l'axe x à la courbe, puis on lit f(x) sur l'axe y. Antécédent (← rouge) : on part de y et on lit x.
Exercice 8Vocabulaire — Croissante ou décroissante ?Socle
Rappel :
• Une fonction est croissante si, quand \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente aussi.
• Une fonction est décroissante si, quand \(x\) augmente, \(f(x)\) diminue.
Voici trois tableaux de valeurs. Pour chacun, dire si la fonction semble croissante ou décroissante.
Fonction \(f\) :
\(x\)
0
1
2
3
4
\(f(x)\)
1
4
7
10
13
→ \(f\) est …………… (croissante / décroissante)
Fonction \(g\) :
\(x\)
0
1
2
3
4
\(g(x)\)
20
16
12
8
4
→ \(g\) est …………… (croissante / décroissante)
Fonction \(h\) :
\(x\)
0
1
2
3
4
\(h(x)\)
2
2,5
3
3,5
4
→ \(h\) est …………… (croissante / décroissante)
\(f\) : Quand \(x\) passe de 0 à 4, \(f(x)\) passe de 1 à 13 → \(f(x)\) augmente → \(f\) est croissante.
\(g\) : Quand \(x\) passe de 0 à 4, \(g(x)\) passe de 20 à 4 → \(g(x)\) diminue → \(g\) est décroissante.
\(h\) : Quand \(x\) passe de 0 à 4, \(h(x)\) passe de 2 à 4 → \(h(x)\) augmente → \(h\) est croissante.
Exercice 9Compléter un tableau et tracer — guidéSocle
Vie quotidienne — Consommation d'eau
La facture d'eau (en €) est donnée par \(f(x) = 4x + 10\) où \(x\) est le nombre de m³ consommés.
1. Compléter le tableau en remplaçant \(x\) dans la formule :
\(x\) (m³)
0
5
10
15
20
Calcul
4×0+10 = …
4×5+10 = …
4×10+10 = …
4×15+10 = …
4×20+10 = …
\(f(x)\) (€)
…
…
…
…
…
2. Quelle est l'image de 10 ? → \(f(10) = \) …… 3. Que représente le nombre 10 dans la formule \(f(x) = 4x + 10\) ? 4. Un client reçoit une facture de 50 €. Combien de m³ a-t-il consommés ?
Étape 1 : Poser l'équation : \(4x + 10 = \) ……
Étape 2 : \(4x = \ldots - 10 = \) ……
Étape 3 : \(x = \dfrac{\ldots}{4} = \) ……
1. Tableau :
\(x\)
0
5
10
15
20
\(f(x)\)
10
30
50
70
90
2. \(f(10) = 4 \times 10 + 10 = \mathbf{50}\) €
3. Le nombre 10 représente l'abonnement fixe (la partie de la facture qui ne dépend pas de la consommation).
5 points alignés sur une droite : la fonction est affine. L'ordonnée à l'origine (10 €) est l'abonnement fixe.
Exercice 10Maximum et minimum — lecture dans un tableauSocle
Sport — Entraînement de course
Lors d'un footing, la vitesse (en km/h) d'un coureur est relevée toutes les 5 minutes. On note \(v\) la fonction qui à chaque instant \(t\) (en min) associe la vitesse \(v(t)\).
\(t\) (min)
0
5
10
15
20
25
30
\(v(t)\) (km/h)
0
6
10
12
12
8
0
a) Quelle est l'image de 10 par \(v\) ? → \(v(10) = \) …… b) Le coureur atteint-il la vitesse de 12 km/h ? Si oui, à quel(s) instant(s) ? c) Quelle est la vitesse maximale atteinte ? À quel(s) instant(s) ? d) Sur quel intervalle de temps la vitesse semble-t-elle croissante ? décroissante ?
a) \(v(10) = \mathbf{10}\) km/h.
b) Oui, le coureur atteint 12 km/h à \(t = 15\) min et \(t = 20\) min.
c) La vitesse maximale est 12 km/h, atteinte à \(t = 15\) min et \(t = 20\) min.
d) La vitesse semble croissante de \(t = 0\) à \(t = 15\) min (elle passe de 0 à 12) et décroissante de \(t = 20\) à \(t = 30\) min (elle passe de 12 à 0).
Exercice 11Résoudre \(f(x) = k\) — guidé pas à pasSocle
Méthode : Pour résoudre \(f(x) = k\), on pose l'équation et on isole \(x\) étape par étape.
Atelier de menuiserie
Un fabricant de mobilier produit des planches. Le coût total (en €) pour \(x\) planches est \(C(x) = 8x + 20\).
a) Calculer le coût pour 10 planches :
\(C(10) = 8 \times \ldots + 20 = \ldots + 20 = \) …… €
b) Le budget est de 100 €. Combien de planches peut-on acheter ?
Étape 1 : \(8x + 20 = 100\)
Étape 2 : \(8x = 100 - \ldots = \) ……
Étape 3 : \(x = \dfrac{\ldots}{8} = \) ……
c) Le budget est de 60 €. Combien de planches ?
\(8x + 20 = \ldots\) → \(8x = \ldots\) → \(x = \) ……
b) \(8x + 20 = 100 \Rightarrow 8x = 80 \Rightarrow x = \mathbf{10}\) planches.
c) \(8x + 20 = 60 \Rightarrow 8x = 40 \Rightarrow x = \mathbf{5}\) planches.
Pour résoudre C(x) = k graphiquement : tracer la droite horizontale y = k, lire l'abscisse du point d'intersection.
Exercice 12Lecture graphique pas à pas — courbe de températureSocle
Rappel : Pour lire une image sur un graphique, on part de la valeur de \(x\) sur l'axe horizontal, on monte verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit la valeur sur l'axe vertical.
Science — Température d'un four
La température \(T\) (en °C) d'un four de séchage est relevée toutes les heures. On note \(T(t)\) la température à l'instant \(t\) (en heures).
\(t\) (h)
0
1
2
3
4
5
6
\(T(t)\) (°C)
20
45
70
80
80
60
30
a) Quelle est l'image de 2 par \(T\) ? → \(T(2) = \) …… b) Quelle est l'image de 5 par \(T\) ? → \(T(5) = \) …… c) Le four atteint-il 80 °C ? Si oui, à quel(s) instant(s) ? d) Quelle est la température maximale ? À quel(s) instant(s) est-elle atteinte ? e) Sur quel intervalle la température est-elle croissante ? décroissante ?
a) \(T(2) = \mathbf{70}\) °C.
b) \(T(5) = \mathbf{60}\) °C.
c) Oui, 80 °C est atteint à \(t = 3\) h et \(t = 4\) h.
d) La température maximale est 80 °C, atteinte à \(t = 3\) h et \(t = 4\) h.
e) La température est croissante de \(t = 0\) à \(t = 3\) h (elle passe de 20 à 80) et décroissante de \(t = 4\) à \(t = 6\) h (elle passe de 80 à 30).
Exercice 13Domaine de définition — lecture dans un tableauSocle
Rappel : Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles la fonction existe (on peut calculer \(f(x)\)).
Vie quotidienne — Tarif de location
Un loueur de matériel propose un tarif de location pour \(x\) jours, mais uniquement entre 1 et 7 jours. On donne le tableau :
\(x\) (jours)
1
2
3
4
5
6
7
Prix (€)
25
45
60
70
75
78
80
a) Peut-on louer pour 0 jour ? Pour 10 jours ? → La fonction est définie pour \(x\) allant de …… à …… b) Quelle est l'image de 3 ? → …… c) La fonction prix est-elle croissante ou décroissante sur son domaine ? Justifier. d) Le prix augmente-t-il toujours de la même façon ? (Comparer les augmentations entre chaque jour.)
a) Non, on ne peut louer ni pour 0 jour ni pour 10 jours. Le domaine de définition est \([1\,;\,7]\), soit de 1 à 7 jours.
b) L'image de 3 est 60 €.
c) La fonction est croissante car quand \(x\) augmente, le prix augmente aussi (25, 45, 60, 70, 75, 78, 80).
d) Non. Les augmentations sont : +20, +15, +10, +5, +3, +2. Le prix augmente de moins en moins vite.
Exercice 14Image et antécédent — vocabulaire guidéSocle
Sport — Course à pied
La distance \(d\) (en km) parcourue par un coureur est donnée par \(d(t) = 8t\) où \(t\) est le temps en heures.
a) Calculer l'image de \(t = 0{,}5\) : \(d(0{,}5) = 8 \times \ldots = \) …… km.
Compléter la phrase : « En …… h, le coureur a parcouru …… km. »
b) Calculer l'image de \(t = 1{,}5\) : \(d(1{,}5) = \) …… km.
c) Le coureur a parcouru 20 km. Trouver l'antécédent de 20 :
Étape 1 : \(8t = 20\)
Étape 2 : \(t = \dfrac{20}{\ldots} = \) …… h.
d) Compléter : « 20 est l'……… de …… par la fonction \(d\). » et « …… est l'……… de 20 par la fonction \(d\). »
a) \(d(0{,}5) = 8 \times 0{,}5 = \mathbf{4}\) km. « En 0,5 h, le coureur a parcouru 4 km. »
b) \(d(1{,}5) = 8 \times 1{,}5 = \mathbf{12}\) km.
c) \(8t = 20 \Rightarrow t = \dfrac{20}{8} = \mathbf{2{,}5}\) h.
d) « 20 est l'image de 2,5 par la fonction \(d\). » et « 2,5 est l'antécédent de 20 par la fonction \(d\). »
Exercice 15Résoudre \(f(x) = k\) dans un tableau — guidéSocle
Atelier de menuiserie
Un métreur calcule le périmètre \(P\) (en m) d'un cadre carré en fonction de la longueur \(c\) (en m) d'un côté : \(P(c) = 4c\).
1. Compléter le tableau :
\(c\) (m)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Calcul
4×0 = …
4×0,5 = …
4×1 = …
4×1,5 = …
4×2 = …
4×2,5 = …
4×3 = …
\(P(c)\) (m)
…
…
…
…
…
…
…
2. Le métreur a besoin d'un cadre de périmètre 6 m. Quel côté \(c\) faut-il choisir ?
Étape 1 : \(4c = 6\)
Étape 2 : \(c = \dfrac{6}{\ldots} = \) …… m.
3. Peut-on trouver un cadre de périmètre 10 m avec un côté entre 0 et 3 m ? Justifier.
1. Tableau :
\(c\)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
\(P(c)\)
0
2
4
6
8
10
12
2. \(4c = 6 \Rightarrow c = \dfrac{6}{4} = \mathbf{1{,}5}\) m.
3. \(4c = 10 \Rightarrow c = 2{,}5\) m. Oui, car \(c = 2{,}5\) est bien entre 0 et 3 m (on le voit aussi dans le tableau).
Exercice 16Représentation graphique — Placer des points guidéSocle
Énergie — Consommation électrique
La consommation électrique \(E\) (en kWh) d'un radiateur est donnée par \(E(t) = 2t\) où \(t\) est le nombre d'heures de fonctionnement.
1. Compléter le tableau :
\(t\) (h)
0
1
2
3
4
5
\(E(t)\) (kWh)
…
…
…
…
…
…
2. Écrire les coordonnées des 6 points à placer : \((0\,;\,\ldots)\), \((1\,;\,\ldots)\), …
3. Sur votre cahier, tracer un repère avec :
— axe horizontal : \(t\) de 0 à 5 (1 carreau = 1 heure)
— axe vertical : \(E(t)\) de 0 à 10 (1 carreau = 1 kWh)
Placer les 6 points et les relier.
4. Le radiateur a consommé 7 kWh. En lisant le graphique, estimer le nombre d'heures de fonctionnement.
3. Les points sont alignés : on obtient une droite passant par l'origine.
4. \(2t = 7 \Rightarrow t = 3{,}5\). Sur le graphique, on lit \(t \approx 3{,}5\) h (3 h 30 min).
Les 6 points calculés sont alignés sur une droite passant par l'origine : la fonction est linéaire (E = 2t).
Exercice 17Lecture graphique d'images et antécédents — guidéSocle
🏃 Sport — Course à pied
La courbe ci-dessous représente la distance \(d\) (en km) parcourue par un jogger en fonction du temps \(t\) (en min).
\(t\) (min)
0
10
20
30
40
50
60
\(d(t)\) (km)
0
1,5
3
4
5
5,5
6
1. Lire l'image de 20 : \(d(20) = \ldots\) km. Interpréter : « Au bout de 20 min, le jogger a parcouru …… km. »
2. Lire l'image de 50 : \(d(50) = \ldots\) km.
3. Trouver l'antécédent de 4 : \(d(t) = 4\) → \(t = \ldots\) min. Interpréter.
4. La fonction \(d\) est-elle croissante ou décroissante ? Pourquoi est-ce logique ?
1. \(d(20) = 3\) km. Au bout de 20 min, le jogger a parcouru 3 km.
2. \(d(50) = 5{,}5\) km.
3. \(d(t) = 4\) pour \(t = 30\) min. Il faut 30 minutes au jogger pour parcourir 4 km.
4. La fonction est croissante : plus le temps passe, plus la distance augmente. C'est logique car le jogger avance toujours (il ne recule pas).
Exercice 18Calculer des images — remplir un tableau — guidéSocle
🔨 Menuiserie — Coût de découpe
Un artisan menuisier facture la découpe de planches selon la formule : \(f(x) = 3x + 5\), où \(x\) est le nombre de planches et \(f(x)\) le prix en euros.
\(0{,}05x + 15 > 20 \Rightarrow 0{,}05x > 5 \Rightarrow x > 100\). Le coût dépasse 20 € à partir de 101 SMS.
Exercice 28Exercice de synthèse — Plusieurs représentationsStandard
Atelier de menuiserie
Un artisan menuisier fabrique des cadres photo en bois. La longueur totale de baguette \(L\) (en cm) nécessaire pour un cadre carré de côté \(c\) (en cm) est \(L(c) = 4c + 8\), où les 8 cm supplémentaires correspondent aux raccords dans les coins.
Calculer \(L(10)\), \(L(15)\) et \(L(25)\). Interpréter chaque résultat.
Compléter le tableau pour \(c = 5, 10, 15, 20, 25, 30\).
La fonction \(L\) est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
L'artisan dispose d'une baguette de 120 cm. Quel est le plus grand cadre qu'il peut fabriquer ?
Pour quelles valeurs de \(c\) la longueur de baguette dépasse-t-elle 1 m ? (Résoudre \(L(c) > 100\).)
1
\(L(10) = 48\) cm | \(L(15) = 68\) cm | \(L(25) = 108\) cm. Pour un cadre de côté 25 cm, il faut 108 cm de baguette.
2
\(c\)
5
10
15
20
25
30
\(L(c)\)
28
48
68
88
108
128
3
\(L\) est croissante : quand \(c\) augmente, \(L(c)\) augmente aussi (28, 48, 68, 88, 108, 128).
4
\(4c + 8 = 120 \Rightarrow 4c = 112 \Rightarrow c = 28\). Le plus grand cadre a un côté de 28 cm.
5
\(4c + 8 > 100 \Rightarrow 4c > 92 \Rightarrow c > 23\). La longueur dépasse 1 m pour \(c > 23\) cm.
Exercice 29Volume d'eau dans une piscineStandard
🏊 Sport — Piscine
On remplit une piscine à débit constant. Le volume d'eau \(V\) (en m³) en fonction du temps \(t\) (en heures) est donné par \(V(t) = 4t + 2\).
Quel est le volume d'eau au départ (\(t = 0\)) ? Interpréter.
Calculer \(V(3)\) et \(V(8)\). Interpréter chaque résultat.
La piscine a une capacité de 50 m³. Au bout de combien d'heures sera-t-elle pleine ? (Résoudre \(V(t) = 50\).)
Compléter un tableau de valeurs pour \(t = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12\).
La fonction \(V\) est-elle croissante ou décroissante sur \([0 ; 12]\) ? Justifier à l'aide du tableau.
1
\(V(0) = 4 \times 0 + 2 = 2\) m³. Au départ, il y a déjà 2 m³ d'eau dans la piscine.
2
\(V(3) = 14\) m³ : après 3 h, il y a 14 m³. \(V(8) = 34\) m³ : après 8 h, il y a 34 m³.
3
\(4t + 2 = 50 \Rightarrow 4t = 48 \Rightarrow t = 12\). La piscine est pleine après 12 heures.
4
\(t\)
0
2
4
6
8
10
12
\(V(t)\)
2
10
18
26
34
42
50
5
\(V\) est croissante : quand \(t\) augmente, \(V(t)\) augmente aussi (2, 10, 18, 26…). C'est logique : on ajoute de l'eau en continu.
Exercice 30Consommation de carburant — lecture graphiqueStandard
🚗 Vie quotidienne — Transport
La consommation de carburant \(C\) (en litres) d'un véhicule en fonction de la distance \(d\) parcourue (en km) est modélisée par \(C(d) = 0{,}07d\).
Calculer \(C(100)\), \(C(250)\) et \(C(500)\). Interpréter.
Le réservoir contient 45 litres. Quelle distance maximale peut-on parcourir ? (Résoudre \(C(d) = 45\).)
Le voyant de réserve s'allume quand il reste 7 litres, soit quand on a consommé 38 litres. Après combien de km le voyant s'allume-t-il ?
Le carburant coûte 1,80 €/litre. Exprimer le coût du trajet \(P(d)\) en fonction de \(d\). Quel est le coût d'un trajet de 300 km ?
1
\(C(100) = 7\) L ; \(C(250) = 17{,}5\) L ; \(C(500) = 35\) L. Pour 500 km, on consomme 35 litres.
2
\(0{,}07d = 45 \Rightarrow d = \dfrac{45}{0{,}07} \approx 642{,}9\). Distance maximale : environ 642 km.
3
\(0{,}07d = 38 \Rightarrow d = \dfrac{38}{0{,}07} \approx 542{,}9\). Le voyant s'allume après environ 543 km.
\(45h=30h+90\Rightarrow 15h=90\Rightarrow h=6\). À 6 heures, même prix (270 €).
3
Au-delà de 6 heures, l'Artisan A est moins cher.
4
Artisan A : \(45h=270\Rightarrow h=\) 6 h | Artisan B : \(30h+90=270\Rightarrow h=\) 6 h
💡 Normal ! 270 € correspond exactement au point d'intersection des deux droites.
Exercice 33Exercice bilan — Toutes les notions🪵 Agencement — ÉtagèresApprofondissement
Longueur de bois (en m) pour \(n\) étagères : \(L(n)=2{,}4n+0{,}6\)
Calculer \(L(5)\) et \(L(10)\). Interpréter.
Compléter pour \(n=0,1,2,3,4,5\).
Avec 15 m de bois, combien d'étagères peut-on poser ?
Que représente le point \((0\,;\,0{,}6)\) sur la courbe ?
Vrai ou Faux : « L'image de 4 par \(L\) est 10. » Justifier.
1
\(L(5)=12+0{,}6=\) 12,6 m | \(L(10)=24{,}6\) m
2
n
0
1
2
3
4
5
L(n)
0,6
3
5,4
7,8
10,2
12,6
3
\(2{,}4n+0{,}6=15\Rightarrow n=6\) → 6 étagères
4
Le point \((0\,;\,0{,}6)\) signifie : même sans étagère, il faut 0,6 m de bois (frais fixes de fixation).
5
\(L(4)=9{,}6+0{,}6=10{,}2\neq10\) → FAUX
Exercice 34Modélisation et comparaison de tarifs — Approfondissement🔧 Maintenance automobile — DiagnosticApprofondissement
Un garagiste facture ses diagnostics selon deux formules :
• Forfait Standard : \(S(h) = 60h + 40\) (60 €/h + 40 € de forfait)
• Forfait Expert : \(E(h) = 45h + 100\) (45 €/h + 100 € de forfait)
Justifier que \(S\) et \(E\) sont des fonctions de la variable \(h\).
Pour quelle durée de diagnostic les deux forfaits coûtent-ils le même prix ? Résoudre \(S(h) = E(h)\).
Écrire une expression du bénéfice net \(B(h) = S(h) - E(h)\) et simplifier. Interpréter le signe de \(B(h)\) selon la valeur de \(h\).
Un client dispose de 280 €. Quel est le nombre maximum d'heures de diagnostic pour chaque forfait ? (Résoudre les deux inéquations, puis conclure.)
1
À chaque valeur de \(h\) correspond une unique valeur de \(S(h)\) et de \(E(h)\) : ce sont bien des fonctions.
2
\[60h + 40 = 45h + 100 \Rightarrow 15h = 60 \Rightarrow h = 4\]
Pour 4 heures, les deux forfaits coûtent le même prix : \(S(4) = E(4) = 280\) €.
3
\[B(h) = (60h + 40) - (45h + 100) = 15h - 60\]
\(B(h) > 0\) si \(h > 4\) : le forfait Standard coûte plus cher au-delà de 4 h.
\(B(h) < 0\) si \(h < 4\) : le forfait Standard est plus avantageux en dessous de 4 h.
4
Standard : \(60h + 40 \leq 280 \Rightarrow h \leq 4\) → max 4 h.
Expert : \(45h + 100 \leq 280 \Rightarrow h \leq 4\) → max 4 h.
Coïncidence : les deux forfaits permettent exactement 4 h avec 280 €, car c'est le point d'équilibre.
Exercice 35Fonction et domaine de définition — Contexte professionnel🪵 Menuiserie — Découpe de panneauxApprofondissement
Un menuisier agenceur découpe dans un panneau rectangulaire de 240 cm × 120 cm des étagères de largeur \(x\) (en cm).
La surface restante (en cm²) après découpe de 3 étagères de largeur \(x\) est modélisée par :
\[R(x) = 28\,800 - 360x\]
Justifier que le domaine de définition de \(R\) est \([0\,;\,80]\). (Indice : la largeur totale des 3 étagères ne peut pas dépasser 240 cm.)
Calculer \(R(0)\) et \(R(80)\). Interpréter ces résultats dans le contexte.
Compléter le tableau pour \(x = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80\).
La fonction \(R\) est-elle croissante ou décroissante sur \([0\,;\,80]\) ? Justifier.
Pour quelle largeur d'étagère la surface restante est-elle exactement la moitié du panneau initial ?
Le menuisier veut conserver au moins 10 000 cm² de panneau. Résoudre \(R(x) \geq 10\,000\) et conclure.
1
Les 3 étagères occupent une largeur totale de \(3x\). On doit avoir \(3x \leq 240\), soit \(x \leq 80\). De plus \(x \geq 0\), d'où le domaine \([0\,;\,80]\).
\(R\) est décroissante sur \([0\,;\,80]\) car quand \(x\) augmente, \(R(x)\) diminue (le coefficient de \(x\) est \(-360 < 0\)).
5
Moitié du panneau : \(\frac{28\,800}{2} = 14\,400\). On résout \(R(x) = 14\,400\) :
\(28\,800 - 360x = 14\,400 \Rightarrow 360x = 14\,400 \Rightarrow x = \) 40 cm.
6
\(28\,800 - 360x \geq 10\,000 \Rightarrow -360x \geq -18\,800 \Rightarrow x \leq \frac{18\,800}{360} \approx 52{,}2\) cm.
Le menuisier doit choisir \(x \leq 52{,}2\) cm (étagères d'au plus 52 cm de large environ).
Exercice 36Lecture graphique avancée — Résolution de \(f(x) = k\) et \(f(x) > k\)Approfondissement
Science — Altitude d'un drone
On modélise l'altitude \(h\) (en mètres) d'un drone en fonction du temps \(t\) (en secondes) par la fonction \(h\) dont voici le tableau de valeurs :
\(t\) (s)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
\(h(t)\) (m)
0
20
35
45
50
48
40
25
0
Quel est le domaine de définition de \(h\) ? Interpréter.
Résoudre \(h(t) = 0\). Interpréter chaque solution dans le contexte.
Résoudre \(h(t) = 40\). Que signifient ces solutions ?
Déterminer graphiquement les intervalles où \(h(t) > 40\).
Quel est le maximum de \(h\) ? Quand est-il atteint ? Interpréter.
Dresser le tableau de variations de \(h\) sur \([0\,;\,40]\).
1
Le domaine est \([0\,;\,40]\). Le vol dure 40 secondes (du décollage à l'atterrissage).
2
\(h(t) = 0\) pour \(t = 0\) s (décollage) et \(t = 40\) s (atterrissage).
3
\(h(t) = 40\) pour \(t \approx 12\) s (montée) et \(t = 30\) s (descente). Le drone passe deux fois par l'altitude de 40 m.
4
\(h(t) > 40\) sur l'intervalle \(]12\,;\,30[\) environ (entre les deux passages à 40 m).
5
Le maximum est \(h(20) = 50\) m. Le drone atteint son altitude maximale de 50 m après 20 secondes de vol.
6
Tableau de variations :
• \(h\) est croissante sur \([0\,;\,20]\) (de 0 à 50 m).
• \(h\) est décroissante sur \([20\,;\,40]\) (de 50 à 0 m).
Maximum : 50 m en \(t = 20\) s.
Exercice 37Modélisation et comparaison — Approfondissement🪑 Ameublement — Devis comparatifApprofondissement
Un fabricant de mobilier propose deux formules pour la fabrication de meubles sur mesure :
• Formule A (atelier local) : \(A(n) = 180n + 500\)
• Formule B (sous-traitant) : \(B(n) = 120n + 1\,100\)
où \(n\) est le nombre de meubles commandés et le résultat est en euros.
Calculer \(A(5)\), \(A(10)\), \(B(5)\) et \(B(10)\). Quelle formule est la moins chère pour 5 meubles ? pour 10 meubles ?
Résoudre \(A(n) = B(n)\). Interpréter le résultat.
Exprimer la différence \(D(n) = A(n) - B(n)\) et simplifier. Pour quelles valeurs de \(n\) a-t-on \(D(n) < 0\) ?
Un client a un budget de 3 000 €. Combien de meubles peut-il commander au maximum avec chaque formule ?
Représenter les deux droites dans un même repère (sur cahier). Vérifier graphiquement votre réponse à la question 2.
1
\(A(5) = 900+500 = \) 1 400 € | \(A(10) = 1800+500 = 2\,300\) €
\(B(5) = 600+1100 = \) 1 700 € | \(B(10) = 1200+1100 = 2\,300\) €
Pour 5 meubles : Formule A est moins chère. Pour 10 meubles : même prix.
2
\(180n + 500 = 120n + 1\,100 \Rightarrow 60n = 600 \Rightarrow n = \) 10.
Pour 10 meubles, les deux formules coûtent le même prix (2 300 €).
3
\(D(n) = (180n+500)-(120n+1100) = 60n - 600\).
\(D(n) < 0 \Leftrightarrow 60n < 600 \Leftrightarrow n < 10\). Pour moins de 10 meubles, la Formule A est moins chère. Au-delà de 10 meubles, la Formule B devient avantageuse.
4
Formule A : \(180n + 500 \leq 3\,000 \Rightarrow n \leq \frac{2500}{180} \approx 13{,}9\) → max 13 meubles.
Formule B : \(120n + 1\,100 \leq 3\,000 \Rightarrow n \leq \frac{1900}{120} \approx 15{,}8\) → max 15 meubles.
5
Les deux droites se croisent au point \((10\,;\,2\,300)\). Avant ce point, la droite A est en dessous (A moins cher). Après, la droite B est en dessous (B moins cher).
Exercice 38Fonction non linéaire — Aire et optimisationApprofondissement
Vie quotidienne — Jardin et clôture
Un jardinier dispose de 40 m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire accolé à un mur (le mur remplace un des grands côtés).
Si la largeur de l'enclos est \(x\) (en m), alors :
— la longueur vaut \(L = 40 - 2x\)
— l'aire de l'enclos est \(A(x) = x(40 - 2x) = 40x - 2x^2\)
Justifier que le domaine de définition de \(A\) est \([0\,;\,20]\).
Compléter le tableau pour \(x = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\).
La fonction \(A\) est-elle croissante sur tout son domaine ? Justifier avec le tableau.
Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) l'aire est-elle nulle ? Interpréter.
Déterminer le maximum de \(A\) et la valeur de \(x\) correspondante. Quelles sont les dimensions de l'enclos d'aire maximale ?
Pour quelles valeurs de \(x\) l'aire dépasse-t-elle 150 m² ?
1
On doit avoir \(x \geq 0\) (largeur positive) et \(40 - 2x \geq 0\), soit \(x \leq 20\). Domaine : \([0\,;\,20]\).
2
\(x\)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
\(A(x)\)
0
72
128
168
192
200
192
168
128
72
0
3
Non. \(A\) est croissante sur \([0\,;\,10]\) (0, 72, 128, 168, 192, 200) puis décroissante sur \([10\,;\,20]\) (200, 192, 168, 128, 72, 0).
4
\(A(x) = 0\) pour \(x = 0\) (pas de clôture) et \(x = 20\) (longueur nulle). Dans les deux cas, l'enclos n'existe pas.
5
Le maximum est \(A(10) = 200\) m². Pour \(x = 10\) : largeur = 10 m, longueur = \(40 - 20 = 20\) m. L'enclos optimal mesure 10 m × 20 m.
6
D'après le tableau, \(A(x) > 150\) pour \(x\) entre 5 et 15 environ. Plus précisément, \(A(x) = 150 \Rightarrow 40x - 2x^2 = 150 \Rightarrow 2x^2 - 40x + 150 = 0 \Rightarrow x^2 - 20x + 75 = 0\).
\(\Delta = 400 - 300 = 100\), \(x = \frac{20 \pm 10}{2}\), soit \(x = 5\) ou \(x = 15\). \(A(x) > 150\) pour \(x \in \,]5\,;\,15[\).
Un technicien d'agencement étudie la déperdition thermique d'une pièce en fonction de l'épaisseur d'isolant. La déperdition \(D\) (en W/m²) est modélisée par :
\[D(e) = \dfrac{120}{e + 2}\]
où \(e\) est l'épaisseur d'isolant (en cm), avec \(e \geq 0\).
Calculer \(D(0)\). Interpréter : que se passe-t-il sans isolant ?
Compléter le tableau pour \(e = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 18, 28, 58\).
La fonction \(D\) est-elle croissante ou décroissante ? Justifier. Est-ce logique dans le contexte ?
Pour quelle épaisseur d'isolant la déperdition vaut-elle exactement 10 W/m² ? (Résoudre \(D(e) = 10\).)
La réglementation impose une déperdition inférieure à 15 W/m². Résoudre \(D(e) < 15\) et déterminer l'épaisseur minimale d'isolant nécessaire.
La déperdition peut-elle atteindre 0 W/m² ? Justifier mathématiquement et interpréter.
1
\(D(0) = \frac{120}{0+2} = \) 60 W/m². Sans isolant, la déperdition est très élevée (60 W/m²).
2
\(e\) (cm)
0
2
4
6
8
10
18
28
58
\(D(e)\) (W/m²)
60
30
20
15
12
10
6
4
2
3
\(D\) est décroissante : quand \(e\) augmente, \(D(e)\) diminue. C'est logique : plus on met d'isolant, moins la chaleur s'échappe.
4
\(\frac{120}{e+2} = 10 \Rightarrow e + 2 = 12 \Rightarrow e = \) 10 cm.
5
\(\frac{120}{e+2} < 15 \Rightarrow e + 2 > 8 \Rightarrow e > 6\). Il faut une épaisseur d'isolant supérieure à 6 cm (strictement) pour respecter la réglementation.
6
\(D(e) = 0\) impliquerait \(\frac{120}{e+2} = 0\), ce qui est impossible car un numérateur non nul divisé par un nombre ne donne jamais 0. Physiquement, on ne peut jamais supprimer totalement la déperdition thermique, on ne peut que la réduire.
La puissance électrique \(P\) (en kW) produite par une installation de panneaux solaires varie selon l'heure de la journée. On modélise cette puissance par la fonction \(P\) définie sur \([6 ; 20]\) :
Heure (\(t\))
6
8
10
12
14
16
18
20
\(P(t)\) (kW)
0
1,2
3,0
4,0
3,5
2,0
0,8
0
Donner l'image de 12 par la fonction \(P\). Interpréter dans le contexte.
Trouver le(s) antécédent(s) de 2 par la fonction \(P\) (lecture du tableau). Interpréter.
Sur quel intervalle la fonction \(P\) est-elle croissante ? Décroissante ? Justifier et interpréter.
Le tarif de rachat de l'électricité est de 0,10 €/kWh. On suppose que la puissance est constante entre deux relevés (paliers de 2 h). Estimer l'énergie produite sur la journée et le revenu correspondant.
L'installation a coûté 8 000 €. En supposant 250 jours de production similaire par an, estimer le nombre d'années pour amortir l'installation.
1
\(P(12) = 4\) kW. À midi, les panneaux produisent 4 kW, c'est le maximum de la journée.
2
\(P(t) = 2\) pour \(t = 16\) (lecture directe). Il y a possiblement un second antécédent entre 8 et 10 (interpolation : vers \(t \approx 9\)). Les panneaux produisent 2 kW vers 9 h et à 16 h.
3
\(P\) est croissante sur \([6 ; 12]\) (la puissance augmente le matin) et décroissante sur \([12 ; 20]\) (elle diminue l'après-midi). C'est logique : le soleil monte puis descend.
Revenu annuel ≈ \(2{,}90 \times 250 = 725\) €. Amortissement : \(\dfrac{8000}{725} \approx 11\) ans. Il faut environ 11 ans pour rentabiliser l'installation.