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Exercices – Équations du premier degré

2nde Bac Pro  |  Chapitre 5  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 26/07/2026

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Exercices guidés pas à pas

Exercice 1-1 Résoudre des équations de la forme \(ax = b\) Socle
ax b =
Résoudre les équations suivantes. Donner la valeur exacte de \(x\).

a)  \(4x = 28\)    b)  \(9x = 63\)    c)  \(3{,}5x = 14\)    d)  \(12x = 0\)
a) \(4x = 28 \implies x = \dfrac{28}{4} = \mathbf{7}\)   Vérif : \(4 \times 7 = 28\) ✔

b) \(9x = 63 \implies x = \dfrac{63}{9} = \mathbf{7}\)   Vérif : \(9 \times 7 = 63\) ✔

c) \(3{,}5x = 14 \implies x = \dfrac{14}{3{,}5} = \mathbf{4}\)   Vérif : \(3{,}5 \times 4 = 14\) ✔

d) \(12x = 0 \implies x = \dfrac{0}{12} = \mathbf{0}\)   Vérif : \(12 \times 0 = 0\) ✔
Exercice 1-2 Vérifier si une valeur est solution Socle
Pour chaque équation, dire si la valeur proposée est une solution ou non. Justifier en remplaçant \(x\) par la valeur.

a)  Équation : \(5x - 3 = 22\)  — Valeur testée : \(x = 5\)
b)  Équation : \(2x + 7 = 15\)  — Valeur testée : \(x = 4\)
c)  Équation : \(3x - 1 = 11\)  — Valeur testée : \(x = 3\)
d)  Équation : \(6x + 2 = 32\)  — Valeur testée : \(x = 5\)
a) On remplace : \(5 \times 5 - 3 = 25 - 3 = 22\). C'est bien égal à 22.
✔ \(x = 5\) est bien solution de \(5x - 3 = 22\).
b) On remplace : \(2 \times 4 + 7 = 8 + 7 = 15\). C'est bien égal à 15.
✔ \(x = 4\) est bien solution de \(2x + 7 = 15\).
c) On remplace : \(3 \times 3 - 1 = 9 - 1 = 8 \neq 11\). Ce n'est pas égal à 11.
✗ \(x = 3\) n'est pas solution. La vraie solution est \(x = 4\) (vérif : \(3 \times 4 - 1 = 11\) ✔).
d) On remplace : \(6 \times 5 + 2 = 30 + 2 = 32\). C'est bien égal à 32.
✔ \(x = 5\) est bien solution de \(6x + 2 = 32\).
Exercice 1-3 Résoudre \(ax + b = c\) — méthode détaillée Socle
Méthode Pour résoudre \(ax + b = c\), on fait 2 étapes :
• Étape 1 : On isole le terme en \(x\) → on enlève \(b\) des deux côtés
• Étape 2 : On isole \(x\) → on divise les deux côtés par \(a\)
Exemple guidé : Résoudre \(3x + 5 = 20\)

Étape 1 : \(3x + 5 \color{red}{- 5} = 20 \color{red}{- 5}\) → \(3x = \) ……
Étape 2 : \(x = \dfrac{\ldots}{3} = \) ……

À toi : Résoudre avec la même méthode :
a) \(2x + 3 = 11\)
Étape 1 : \(2x + 3 - 3 = 11 - 3\) → \(2x = \) ……
Étape 2 : \(x = \dfrac{\ldots}{2} = \) ……

b) \(5x - 10 = 25\)
Étape 1 : \(5x - 10 \color{red}{+ 10} = 25 \color{red}{+ 10}\) → \(5x = \) ……
Étape 2 : \(x = \) ……

c) \(4x + 7 = 7\)
Étape 1 : …………………………
Étape 2 : …………………………

Exemple : \(3x = 20 - 5 = 15\), donc \(x = \frac{15}{3} = 5\).

a) \(2x = 11 - 3 = 8\) → \(x = \frac{8}{2} = \mathbf{4}\)

b) \(5x = 25 + 10 = 35\) → \(x = \frac{35}{5} = \mathbf{7}\)

c) \(4x = 7 - 7 = 0\) → \(x = \frac{0}{4} = \mathbf{0}\)

Exercice 1-4 Traduire un énoncé en équation — guidé Socle
Chauffage – Plomberie
Un plombier chauffagiste achète des raccords en cuivre à 3 € pièce et paie un forfait de livraison de 12 €. Sa facture totale est de 42 €.

DonnéeValeur
Prix par raccord3 €
Frais de livraison12 €
Total facturé42 €
Étape 1 — Mise en équation :
On appelle \(x\) le nombre de raccords. Le coût total s’écrit :
coût total = prix par raccord × nombre + livraison
…… × \(x\) + …… = ……
Donc l’équation est : …………………………

Étape 2 — Résolution :
\(3x + 12 = 42\)
\(3x = 42 - 12 = \) ……
\(x = \dfrac{\ldots}{3} = \) ……

Étape 3 — Conclusion :
Le plombier a acheté …… raccords.

Équation : \(3x + 12 = 42\)

\(3x = 42 - 12 = 30\) → \(x = \frac{30}{3} = \mathbf{10}\)

Conclusion : Le plombier chauffagiste a acheté 10 raccords.

Exercice 1-5 Problème guidé — budget peinture Socle
ax+b c =
Chantier – Bâtiment
Un apprenti peintre en bâtiment dispose d’un budget de 80 €. Un pot de peinture coûte 15 € et les rouleaux coûtent 5 € au total.

DonnéeValeur
Budget total80 €
Prix par pot15 €
Coût des rouleaux5 €
1. Appeler \(x\) le nombre de pots. Écrire l’équation si le budget est entièrement dépensé :
…… × \(x\) + …… = ……

2. Résoudre l’équation :
\(15x = 80 - 5 = \) ……
\(x = \dfrac{\ldots}{15} = \) ……

3. Le résultat est-il un nombre entier ? Conclure sur le nombre exact de pots correspondant au budget dépensé.

1. \(15x + 5 = 80\)

2. \(15x = 75\) → \(x = \frac{75}{15} = 5\)

3. Oui, \(x = 5\) est entier. Il peut acheter 5 pots.

Exercice 1-6 Résoudre \(ax - b = c\) — pas à pas Socle
Résoudre chaque équation en suivant les deux étapes :

a) \(6x - 4 = 20\)
Étape 1 : \(6x = 20 + 4 =\) ......
Étape 2 : \(x = \dfrac{......}{6} =\) ......

b) \(8x - 12 = 36\)
Étape 1 : \(8x =\) ......
Étape 2 : \(x =\) ......

c) \(10x - 5 = 0\)
Étape 1 : ......
Étape 2 : ......

a) \(6x = 24\) → \(x = \frac{24}{6} = \mathbf{4}\). Vérif : \(6 \times 4 - 4 = 20\) ✓

b) \(8x = 48\) → \(x = \frac{48}{8} = \mathbf{6}\). Vérif : \(8 \times 6 - 12 = 36\) ✓

c) \(10x = 5\) → \(x = \frac{5}{10} = \mathbf{0{,}5}\). Vérif : \(10 \times 0{,}5 - 5 = 0\) ✓

Exercice 1-7 Problème guidé — Longueurs de tubes Socle
Plomberie – Chauffage
Un plombier chauffagiste découpe un tube de cuivre de 2,40 m en deux morceaux. Le deuxième morceau mesure 30 cm de plus que le premier.

x cmx + 30 cm←— 240 cm —→
Tube de cuivre de 240 cm coupé en deux morceaux
1. Appeler \(x\) la longueur du premier morceau (en cm). Exprimer la longueur du deuxième :
Deuxième morceau = \(x +\) ......

2. Écrire l’équation (somme = 240 cm) :
\(x + (x + ......) =\) ......

3. Résoudre :
\(2x + ...... = 240\)
\(2x = 240 - ...... =\) ......
\(x =\) ......

4. En déduire les longueurs des deux morceaux.

1. Deuxième morceau = \(x + 30\) cm

2. \(x + (x + 30) = 240\)

3. \(2x + 30 = 240\) → \(2x = 210\) → \(x = 105\)

4. Premier morceau : 105 cm, deuxième : \(105 + 30 = \mathbf{135\,\text{cm}}\).

Vérif : \(105 + 135 = 240\) ✓

Exercice 1-8 Problème guidé — Prix après remise Socle
ax+b=c −b ax=c−b ÷a x=(c−b)/a
Commerce
Après une remise de 20 %, un outil coûte 36 €. On cherche le prix initial.

DonnéeValeur
Remise20 %
Prix après remise36 €
1. Appeler \(x\) le prix initial. Le coefficient multiplicateur d’une remise de 20 % est :
CM \(= 1 - 0{,}20 =\) ......

2. Écrire l’équation :
\(x \times ...... = 36\)

3. Résoudre :
\(x = \dfrac{36}{......} =\) ...... €

1. CM \(= 0{,}80\)

2. \(0{,}80x = 36\)

3. \(x = \dfrac{36}{0{,}80} = \mathbf{45\,\text{€}}\)

Vérif : \(45 \times 0{,}80 = 36\) ✓

Exercice 1-9 Résoudre une équation simple avec une division Socle
Résoudre les équations suivantes. Compléter :

a) \(\dfrac{x}{4} = 7\)
\(x = 7 \times 4 =\) ......

b) \(\dfrac{x}{3} + 5 = 11\)
Étape 1 : \(\dfrac{x}{3} = 11 - 5 =\) ......
Étape 2 : \(x = ...... \times 3 =\) ......

c) \(\dfrac{x}{5} - 2 = 8\)
Résoudre seul en suivant la même méthode.

a) \(x = 7 \times 4 = \mathbf{28}\)

b) \(\frac{x}{3} = 6\) → \(x = 6 \times 3 = \mathbf{18}\). Vérif : \(\frac{18}{3} + 5 = 11\) ✓

c) \(\frac{x}{5} = 10\) → \(x = 10 \times 5 = \mathbf{50}\). Vérif : \(\frac{50}{5} - 2 = 8\) ✓

Exercice 1-10 Problème guidé — Périmètre d’un rectangle Socle
Géométrie
Un rectangle a un périmètre de 54 cm. Sa longueur mesure le double de sa largeur.

x (largeur)2xPérimètre = 54 cm
Rectangle : largeur x, longueur 2x
1. Appeler \(x\) la largeur. Exprimer la longueur : \(L =\) ......
2. Rappel : périmètre = \(2 \times (L + l)\). Écrire l’équation :
\(2 \times (2x + x) = 54\)
\(2 \times ...... = 54\)
\(......x = 54\)
\(x =\) ......
3. Donner les dimensions du rectangle.

1. \(L = 2x\)

2. \(2 \times 3x = 54\) → \(6x = 54\) → \(x = 9\)

3. Largeur : 9 cm, longueur : \(2 \times 9 = \mathbf{18\,\text{cm}}\).

Vérif : \(2 \times (18 + 9) = 2 \times 27 = 54\) ✓

Exercice 1-11 Problème guidé — Partage d’une somme Socle
Quotidien
Deux amis se partagent 75 €. Le premier reçoit 15 € de plus que le second.

1. Appeler \(x\) la part du second. Exprimer la part du premier : ......
2. Écrire l’équation : \(x + (x + 15) = 75\)
3. Résoudre.
4. Combien reçoit chacun ?

1. Part du premier = \(x + 15\)

2. Équation : \(x + (x + 15) = 75\)

3. \(2x + 15 = 75\) → \(2x = 60\) → \(x = 30\)

4. Second : 30 €, premier : \(30 + 15 = \mathbf{45\,\text{€}}\).

Vérif : \(30 + 45 = 75\) ✓

Exercice 1-12 Problème guidé — Commande de plaques de plâtre Socle
🏗️ Bâtiment – Métré
Un métreur commande des plaques de plâtre pour un chantier. Chaque plaque coûte 9,50 € et le transport est facturé 45 € quelle que soit la quantité. La facture totale s'élève à 235 €.

DonnéeValeur
Prix par plaque9,50 €
Transport45 €
Total facturé235 €
Étape 1 — Mise en équation :
On appelle \(x\) le nombre de plaques.
coût total = prix d'une plaque × nombre de plaques + transport
…… × \(x\) + …… = ……

Étape 2 — Résolution :
\(9{,}50x = 235 - 45 = \) ……
\(x = \dfrac{\ldots}{9{,}50} = \) ……

Étape 3 — Conclusion :
Le métreur a commandé …… plaques de plâtre.

Étape 1 : \(9{,}50x + 45 = 235\)

Étape 2 : \(9{,}50x = 235 - 45 = 190\) → \(x = \frac{190}{9{,}50} = \mathbf{20}\)

Étape 3 : Le métreur a commandé 20 plaques.

Vérif : \(9{,}50 \times 20 + 45 = 190 + 45 = 235\) € ✓

Exercice 1-13 Problème guidé — Retrouver une consommation Socle
⚡ Énergie – Maintenance
Un technicien de maintenance énergétique contrôle la facture d'électricité d'un local technique. La facture d'un mois comprend un abonnement de 14 € et 0,20 € par kWh consommé. Le montant total du mois est de 86 €.

DonnéeValeur
Abonnement mensuel14 €
Prix du kWh0,20 €
Montant de la facture86 €
1. On appelle \(x\) le nombre de kWh consommés. Compléter l'équation :
…… × \(x\) + …… = ……

2. Résoudre :
\(0{,}20x = 86 - 14 = \) ……
\(x = \dfrac{\ldots}{0{,}20} = \) ……

3. Conclure : le local a consommé …… kWh ce mois-ci.

1. \(0{,}20x + 14 = 86\)

2. \(0{,}20x = 72\) → \(x = \frac{72}{0{,}20} = \mathbf{360}\)

3. Le local technique a consommé 360 kWh dans le mois.

Vérif : \(0{,}20 \times 360 + 14 = 72 + 14 = 86\) € ✓

Exercice 1-14 Problème guidé — Longueur d'un panneau de clôture Socle
📐 Topographie – Implantation
Un géomètre implante une clôture rectiligne de 27,00 m le long d'une limite de propriété. Elle est composée de 12 panneaux identiques et d'un portail de 3,00 m.

? 12 panneaux identiques portail 3,00 m 27,00 m au total
Clôture de 27,00 m : 12 panneaux identiques et un portail de 3,00 m
1. On appelle \(x\) la longueur d'un panneau (en m). Compléter l'équation :
…… × \(x\) + …… = ……

2. Résoudre :
\(12x = 27 - 3 = \) ……
\(x = \dfrac{\ldots}{12} = \) ……

3. Conclure : chaque panneau mesure …… m.

1. \(12x + 3 = 27\)

2. \(12x = 24\) → \(x = \frac{24}{12} = \mathbf{2}\)

3. Chaque panneau mesure 2,00 m.

Vérif : \(12 \times 2 + 3 = 24 + 3 = 27\) m ✓

Exercice 1-15 Tester une valeur, puis résoudre — location d'une nacelle Socle
🏗️ Chantier – Location de matériel
Un chef de chantier loue une nacelle élévatrice : 180 € de forfait de livraison et de reprise puis 150 € par jour de location. La facture reçue est de 1 230 €.

DonnéeValeur
Forfait de livraison et reprise180 €
Prix par jour150 €
Total facturé1 230 €
1. On appelle \(x\) le nombre de jours de location. Compléter l'équation :
…… × \(x\) + …… = ……

2. Un apprenti affirme que la nacelle est restée 8 jours. Tester cette valeur :
\(150 \times 8 + 180 = \) …… . Est-ce égal à 1 230 ? ……

3. Un autre apprenti dit 7 jours. Tester cette valeur :
\(150 \times 7 + 180 = \) …… . Est-ce égal à 1 230 ? ……

4. Résoudre l'équation pour confirmer, puis conclure.

1. \(150x + 180 = 1\,230\)

2. \(150 \times 8 + 180 = 1\,200 + 180 = 1\,380\). Or \(1\,380 \neq 1\,230\) : 8 jours n'est pas la solution.

3. \(150 \times 7 + 180 = 1\,050 + 180 = 1\,230\). C'est bien égal à 1 230 : 7 jours est solution.

4. \(150x = 1\,230 - 180 = 1\,050\) → \(x = \frac{1\,050}{150} = \mathbf{7}\). La nacelle a été louée 7 jours.

✔ Une équation du premier degré n'a qu'une seule solution : ici 7 jours, et aucune autre valeur ne convient.

Exercices d'application

Exercice 2-1 Résoudre des équations de la forme \(ax + b = c\) Standard
Résoudre les équations suivantes. Vérifier chaque résultat.

a) \(3x + 7 = 22\)
b) \(5x - 8 = 17\)
c) \(2x + 1{,}5 = 9{,}5\)
d) \(4x - 3 = 0\)

a) \(3x = 22 - 7 = 15\) → \(x = \frac{15}{3} = \mathbf{5}\). Vérif : \(3 \times 5 + 7 = 22\) ✓

b) \(5x = 17 + 8 = 25\) → \(x = \frac{25}{5} = \mathbf{5}\). Vérif : \(5 \times 5 - 8 = 17\) ✓

c) \(2x = 9{,}5 - 1{,}5 = 8\) → \(x = \frac{8}{2} = \mathbf{4}\). Vérif : \(2 \times 4 + 1{,}5 = 9{,}5\) ✓

d) \(4x = 3\) → \(x = \frac{3}{4} = \mathbf{0{,}75}\). Vérif : \(4 \times 0{,}75 - 3 = 0\) ✓

Exercice 2-2 Résoudre des équations du premier degré Standard
Résoudre chaque équation et vérifier la solution.

a)  \(3x + 8 = 23\)
b)  \(5x - 12 = 3\)
c)  \(2x + 9 = 4x - 7\)
d)  \(7(x - 2) = 3x + 10\)
a) \[3x + 8 = 23 \implies 3x = 15 \implies x = 5\] Vérif : \(3 \times 5 + 8 = 15 + 8 = 23\) ✔

b) \[5x - 12 = 3 \implies 5x = 15 \implies x = 3\] Vérif : \(5 \times 3 - 12 = 15 - 12 = 3\) ✔

c) \[2x + 9 = 4x - 7 \implies 9 + 7 = 4x - 2x \implies 16 = 2x \implies x = 8\] Vérif : membre gauche \(2 \times 8 + 9 = 25\), membre droit \(4 \times 8 - 7 = 25\) ✔

d) \[7(x-2) = 3x + 10 \implies 7x - 14 = 3x + 10 \implies 4x = 24 \implies x = 6\] Vérif : membre gauche \(7(6-2) = 7 \times 4 = 28\), membre droit \(3 \times 6 + 10 = 28\) ✔
Exercice 2-3 Équations avec solutions négatives Standard
Résoudre chaque équation. Attention, certaines solutions sont négatives !

a)  \(2x + 3 = 1\)
b)  \(3x - 5 = -11\)
c)  \(-2x + 7 = 1\)
d)  \(-4x - 8 = 0\)
a) \[2x + 3 = 1 \implies 2x = 1 - 3 = -2 \implies x = -1\] Vérif : \(2 \times (-1) + 3 = -2 + 3 = 1\) ✔

b) \[3x - 5 = -11 \implies 3x = -11 + 5 = -6 \implies x = -2\] Vérif : \(3 \times (-2) - 5 = -6 - 5 = -11\) ✔

c) \[-2x + 7 = 1 \implies -2x = 1 - 7 = -6 \implies x = \frac{-6}{-2} = 3\] Vérif : \(-2 \times 3 + 7 = -6 + 7 = 1\) ✔

d) \[-4x - 8 = 0 \implies -4x = 8 \implies x = \frac{8}{-4} = -2\] Vérif : \(-4 \times (-2) - 8 = 8 - 8 = 0\) ✔
⚠ Quand on divise par un nombre négatif, le signe du résultat change : \(\frac{-6}{-2} = +3\) et \(\frac{8}{-4} = -2\).
Exercice 2-4 Commande de robinets thermostatiques Standard
🔥 Chauffage – Installation thermique
Un installateur thermique commande des robinets thermostatiques à 18,50 € pièce pour équiper les radiateurs d'un pavillon. Les frais de livraison sont de 22 € quelle que soit la commande. Sa facture totale s'élève à 207 €.
DonnéeValeur
Prix par robinet18,50 €
Frais de livraison22 €
Total facturé207 €


Combien de robinets a-t-il commandés ?

Aide : noter \(x\) le nombre de robinets. Écrire une équation, puis la résoudre.
  1. Inconnue : on pose \(x\) = nombre de robinets commandés.
  2. Équation : coût total = prix des robinets + livraison \[18{,}50x + 22 = 207\]
  3. Résolution : \[18{,}50x = 207 - 22 = 185\] \[x = \frac{185}{18{,}50} = 10\]
  4. Vérification : \(18{,}50 \times 10 + 22 = 185 + 22 = 207\) ✔
✔ L'installateur thermique a commandé 10 robinets thermostatiques.
Exercice 2-5 Découpe de fers à béton Standard
🏗️ Chantier – Gros œuvre
Sur un chantier, un ferrailleur dispose d'une barre d'acier de 3,60 m. Il veut y découper des fers de longueur égale pour armer une dalle en béton. Il souhaite obtenir 8 fers et il restera une chute de 24 cm.

Quelle est la longueur de chaque fer (en cm) ?
chute Barre de 360 cm : 8 fers de même longueur, puis la chute
  1. Inconnue : \(x\) = longueur d'un fer en cm.
  2. Équation : \(8x + 24 = 360\)
  3. Résolution : \[8x = 360 - 24 = 336\] \[x = \frac{336}{8} = 42 \text{ cm}\]
  4. Vérification : \(8 \times 42 + 24 = 336 + 24 = 360\) ✔
✔ Chaque fer mesure 42 cm. La chute de 24 cm est trop courte pour un 9e fer : elle part au rebut.
Exercice 2-6 Prix de revient et prix de vente Standard
💶 Gestion – Commerce
Une fleuriste compose des bouquets identiques. Chaque bouquet lui coûte \(x\) euros en fleurs. Elle compose 6 bouquets et dépense en plus 18 € d'emballages et de rubans. Le total de ses dépenses s'élève à 66 €.
DonnéeValeur
Nombre de bouquets6
Coût des emballages18 €
Total des dépenses66 €


Quel est le coût en fleurs d'un bouquet ?
  1. Équation : \(6x + 18 = 66\)
  2. Résolution : \(6x = 48 \implies x = 8\)
  3. Vérification : \(6 \times 8 + 18 = 48 + 18 = 66\) ✔
✔ Chaque bouquet coûte 8 € en fleurs.
Exercice 2-7 Équations avec \(x\) des deux côtés — Entraînement Standard
Résoudre les équations suivantes :

a) \(7x + 3 = 4x + 18\)
b) \(9x - 5 = 3x + 19\)
c) \(2x + 14 = 5x - 1\)
d) \(6(x + 2) = 3(x + 8)\)

a) \(7x - 4x = 18 - 3\) → \(3x = 15\) → \(x = \mathbf{5}\). Vérif : \(7\times5+3=38\) et \(4\times5+18=38\) ✔

b) \(9x - 3x = 19 + 5\) → \(6x = 24\) → \(x = \mathbf{4}\). Vérif : \(9\times4-5=31\) et \(3\times4+19=31\) ✔

c) \(14 + 1 = 5x - 2x\) → \(3x = 15\) → \(x = \mathbf{5}\). Vérif : \(2\times5+14=24\) et \(5\times5-1=24\) ✔

d) \(6x + 12 = 3x + 24\) → \(3x = 12\) → \(x = \mathbf{4}\). Vérif : \(6(4+2)=36\) et \(3(4+8)=36\) ✔

Exercice 2-8 Problème — Âges de deux personnes Standard
Quotidien
Un père a 3 fois l’âge de son fils. La somme de leurs âges est 52 ans.

DonnéeValeur
Relationpère = 3 × âge du fils
Somme des âges52 ans
1. Poser l’équation en appelant \(x\) l’âge du fils.
2. Résoudre et donner l’âge de chacun.
3. Dans combien d’années le père aura-t-il exactement le double de l’âge de son fils ?

1. \(x + 3x = 52\)

2. \(4x = 52\) → \(x = 13\). Fils : 13 ans, père : \(3 \times 13 = \mathbf{39\,\text{ans}}\).

3. Dans \(n\) années : \(39 + n = 2(13 + n)\) → \(39 + n = 26 + 2n\) → \(n = \mathbf{13}\). Vérification : dans 13 ans le père aura 52 ans et le fils 26 ans, et \(52 = 2 \times 26\) ✔

Exercice 2-9 Comparaison de forfaits téléphoniques Standard
Quotidien
Deux opérateurs proposent :
  • Forfait A : 8 €/mois + 0,04 € par minute de communication
  • Forfait B : 20 €/mois, tout illimité
ForfaitAbonnementPrix/min
A8 €/mois0,04 €
B20 €/moisillimité
1. Écrire avec \(x\) (minutes utilisées) le coût mensuel du forfait A, puis celui du forfait B.
2. Écrire et résoudre l'équation qui traduit l'égalité des deux coûts, puis vérifier le coût commun.
3. Un utilisateur consomme en moyenne 250 min/mois. Quel forfait lui conseiller ?

1. Forfait A : \(8 + 0{,}04x\) (en €). Forfait B : \(20\) (en €), quel que soit \(x\).

2. \(8 + 0{,}04x = 20\) → \(0{,}04x = 12\) → \(x = \mathbf{300}\) minutes. Vérification : \(0{,}04\times300+8=20\) € ✔

3. Pour 250 minutes, le forfait A coûte \(8+0{,}04\times250=18\) €, contre 20 € pour B.

✔ On lui conseille le forfait A : il économise 2 € par mois. Plus généralement, A reste le moins cher tant que la consommation est inférieure à 300 minutes — la valeur trouvée à la question 2 — et au-delà c'est le forfait B qu'il faut choisir.
Exercice 2-10 Problème — Mélange de cafés Standard
Commerce
Un torréfacteur mélange deux types de café :
  • Arabica à 18 €/kg
  • Robusta à 10 €/kg
CaféPrix/kgMasse
Arabica18 €?
Robusta10 €?
Mélange15,20 €5 kg
Il veut obtenir 5 kg de mélange à 15,20 €/kg.

1. Appeler \(x\) la masse d’Arabica. Exprimer la masse de Robusta.
2. Écrire l’équation du coût total.
3. Résoudre et vérifier.

1. Robusta : \(5 - x\) kg

2. \(18x + 10(5 - x) = 15{,}20 \times 5\)

\(18x + 50 - 10x = 76\) → \(8x = 26\) → \(x = 3{,}25\)

3. Arabica : 3,25 kg, Robusta : 1,75 kg.

Vérif : \(3{,}25 \times 18 + 1{,}75 \times 10 = 58{,}50 + 17{,}50 = 76\) € et \(76 \div 5 = 15{,}20\) ✓

Exercice 2-11 Problème — Agrandissement d’un jardin Standard
Aménagement
Un jardin rectangulaire mesure 12 m de long et 8 m de large. On agrandit le jardin en ajoutant une bande de largeur constante \(x\) (en m) sur les deux longueurs.

12 m× 8 mxxNouvelle aire = 120 m²
Agrandissement par bandes de largeur x (en m) en haut et en bas
1. Écrire avec \(x\) la nouvelle largeur du jardin.
2. Écrire avec \(x\) la nouvelle aire.
3. On veut une aire de 120 m². Résoudre l’équation et trouver \(x\).
4. Vérifier le résultat.

1. Nouvelle largeur : \(8 + 2x\) (on ajoute \(x\) de chaque côté).

2. Nouvelle aire : \(A = 12 \times (8 + 2x) = 96 + 24x\)

3. \(96 + 24x = 120\) → \(24x = 24\) → \(x = \mathbf{1\,\text{m}}\)

4. Vérif : \(12 \times (8 + 2) = 12 \times 10 = 120\,\text{m}^2\) ✓

Exercice 2-12 Résolution graphique d'une équation Standard
Sport — Coût de production
Le coût total d'impression de \(x\) tee-shirts pour un club sportif est donné par l'égalité \(C = 3x + 50\) (en euros).
01020 304050 607080 90100 050100 150200250 300350400 C = 3x + 50 coût cible : 200 € x (nombre de tee-shirts) C (€)

a) Lire graphiquement la valeur de \(x\) pour laquelle le coût atteint 200 €.

b) Vérifier par le calcul : résoudre \(3x + 50 = 200\).

c) Interpréter : que signifie ce résultat pour le club ?

a) On lit sur le graphique : la droite du coût coupe la droite \(y = 200\) en \(x = 50\).

b) \(3x + 50 = 200 \Rightarrow 3x = 150 \Rightarrow x = \mathbf{50}\). Résultat confirmé.

c) Il faut imprimer 50 tee-shirts pour que le coût atteigne 200 €.

Exercice 2-13 Débit d'air d'une VMC Standard
🌬️ Ventilation – Technicien CVC
Un technicien CVC met en service une VMC dans un logement. Le caisson d'extraction dessert les pièces de service par des bouches identiques de 30 m³/h, plus une bouche de cuisine de 120 m³/h. Au caisson, il mesure un débit total de 240 m³/h.
DonnéeValeur
Débit d'une bouche courante30 m³/h
Débit de la bouche cuisine120 m³/h
Débit total mesuré240 m³/h
1. Écrire une équation permettant de déterminer le nombre de bouches courantes raccordées.
2. Résoudre l'équation et vérifier la solution.
3. Le technicien raccorde une bouche courante supplémentaire. Quel sera le nouveau débit total ?

1. On note \(x\) le nombre de bouches courantes : \(30x + 120 = 240\).

2. \(30x = 240 - 120 = 120\) → \(x = \dfrac{120}{30} = \mathbf{4}\).

Vérif : \(30 \times 4 + 120 = 120 + 120 = 240\) m³/h ✓

✔ Le caisson dessert 4 bouches courantes en plus de la bouche de cuisine.

3. Avec 5 bouches courantes : \(30 \times 5 + 120 = 150 + 120 = \mathbf{270\,\text{m}^3\text{/h}}\).

Exercice 2-14 Relevé de façade — largeur des baies Standard
📐 Bâtiment – Relevé de géomètre
Un géomètre relève la façade d'un local commercial. Elle mesure 13,20 m et se compose de 4 baies vitrées identiques séparées par 5 trumeaux (parties pleines) de 1,20 m chacun, un trumeau se trouvant à chaque extrémité.
? ? ? ? 1,20 1,20 1,20 1,20 1,20 trumeaux pleins de 1,20 m — baies vitrées identiques 13,20 m
Façade de 13,20 m : 5 trumeaux de 1,20 m et 4 baies vitrées identiques
1. Écrire l'équation qui donne la largeur d'une baie vitrée.
2. Résoudre l'équation, vérifier la solution et conclure.
3. Le maître d'œuvre impose finalement des baies de 1,50 m de large, toujours 4 baies et 5 trumeaux identiques sur les mêmes 13,20 m. Quelle sera la largeur de chaque trumeau ?

1. On note \(x\) la largeur d'une baie (en m). Les 5 trumeaux mesurent \(5 \times 1{,}20 = 6{,}00\) m, donc :

\[4x + 6{,}00 = 13{,}20\]

2. \(4x = 13{,}20 - 6{,}00 = 7{,}20\) → \(x = \dfrac{7{,}20}{4} = \mathbf{1{,}80\,\text{m}}\).

Vérif : \(4 \times 1{,}80 + 6{,}00 = 7{,}20 + 6{,}00 = 13{,}20\) m ✓

✔ Chaque baie vitrée mesure 1,80 m de large.

3. On note \(y\) la largeur d'un trumeau. Les 4 baies mesurent \(4 \times 1{,}50 = 6{,}00\) m :

\[5y + 6{,}00 = 13{,}20 \implies 5y = 7{,}20 \implies y = \frac{7{,}20}{5} = \mathbf{1{,}44\,\text{m}}\]

Vérif : \(5 \times 1{,}44 + 6{,}00 = 7{,}20 + 6{,}00 = 13{,}20\) m ✓

Exercice 2-15 Devis d'une installation photovoltaïque Standard
☀️ Énergies renouvelables
Un installateur en énergies renouvelables établit un devis de pose de panneaux photovoltaïques en toiture. Le devis comprend un forfait de 3 000 € (onduleur, coffret de protection, échafaudage, mise en service) et 750 € par panneau posé (module, fixations et main-d'œuvre). Le montant total du devis est de 12 750 € TTC. Chaque panneau a une puissance de 425 Wc.
DonnéeValeur
Forfait (onduleur, échafaudage…)3 000 €
Prix par panneau posé750 €
Montant du devis12 750 €
Puissance d'un panneau425 Wc
1. Écrire l'équation qui donne le nombre de panneaux prévus au devis.
2. Résoudre l'équation et vérifier la solution.
3. En déduire la puissance totale de l'installation, en Wc puis en kWc.
4. Calculer le prix au kWc de cette installation (arrondir à l'euro). Le comparer à la fourchette de marché de 2 000 à 2 500 € par kWc.

1. On note \(x\) le nombre de panneaux : \(750x + 3000 = 12\,750\).

2. \(750x = 12\,750 - 3\,000 = 9\,750\) → \(x = \dfrac{9\,750}{750} = \mathbf{13}\).

Vérif : \(750 \times 13 + 3\,000 = 9\,750 + 3\,000 = 12\,750\) € ✓

✔ Le devis porte sur 13 panneaux.

3. Puissance totale : \(13 \times 425 = 5\,525\) Wc, soit \(\mathbf{5{,}525\,\text{kWc}}\) (car 1 kWc = 1 000 Wc).

4. Prix au kWc : \(\dfrac{12\,750}{5{,}525} \approx \mathbf{2\,308\,\text{€/kWc}}\). Cette valeur se situe bien dans la fourchette de marché 2 000 – 2 500 €/kWc : le devis est cohérent.

Exercices d'approfondissement

Exercice 3-1 Assemblage de coffrets électriques Approfondissement
⚡ Électricité – Gestion
Un artisan électricien assemble des coffrets électriques pré-câblés.
  • Ses charges fixes (loyer, assurance) s'élèvent à 420 € par mois.
  • Chaque coffret lui coûte 28 € en fournitures.
  • Il vend chaque coffret 75 €.
DonnéeValeur
Charges fixes420 €/mois
Coût fournitures/coffret28 €
Prix de vente/coffret75 €
1. Écrire avec le nombre \(x\) de coffrets vendus une expression donnant le bénéfice mensuel \(B\).
2. Combien de coffrets doit-il vendre pour réaliser un bénéfice de 520 € ?
1. Expression du bénéfice : \[B = 75x - (420 + 28x) = 75x - 420 - 28x = 47x - 420\] 2. Pour un bénéfice de 520 € : \[47x - 420 = 520\] \[47x = 940\] \[x = \frac{940}{47} = 20\] Vérif : \(47 \times 20 - 420 = 940 - 420 = 520\) ✔
✔ Il doit vendre 20 coffrets pour réaliser un bénéfice de 520 €.
Exercice 3-2 Comparaison de deux fournisseurs Approfondissement
💼 Gestion – Approvisionnement
Un chef de chantier doit acheter des sacs de ciment. Deux fournisseurs proposent :

FournisseurPrix unitaireFrais de port
BatiPro9,50 € / sac0 €
CimentDirect7,50 € / sac30 € forfait

1. Écrire avec \(x\) (nombre de sacs) le coût total chez chaque fournisseur.
2. Pour quelle valeur de \(x\) les deux fournisseurs coûtent-ils le même prix ? Poser et résoudre l'équation correspondante.
3. Si le chantier nécessite 20 sacs, quel fournisseur choisir ? Calculer l'économie réalisée.
1. Coûts totaux :
  • BatiPro : \(9{,}50x\)
  • CimentDirect : \(7{,}50x + 30\)
2. Même prix : \[9{,}50x = 7{,}50x + 30\] \[9{,}50x - 7{,}50x = 30\] \[2x = 30\] \[x = \frac{30}{2} = 15\]
✔ Pour 15 sacs, les deux fournisseurs coûtent le même prix (\(9{,}50 \times 15 = 142{,}50\) € chacun).
3. Pour 20 sacs : \[9{,}50 \times 20 = 190 \text{ €}\] \[7{,}50 \times 20 + 30 = 150 + 30 = 180 \text{ €}\]
✔ Il faut choisir CimentDirect. Économie : \(190 - 180 = 10\) €.
Exercice 3-3 Seuil de rentabilité d’une production Approfondissement
Gestion
Un fabricant de mobilier produit des tabourets. Ses coûts sont :
  • Charges fixes : 1 200 €/mois
  • Coût variable : 18 € par tabouret
  • Prix de vente : 42 € par tabouret
DonnéeValeur
Charges fixes1 200 €/mois
Coût variable/tabouret18 €
Prix de vente/tabouret42 €
1. Écrire avec \(x\) (nombre de tabourets) le coût total \(C\) et la recette \(R\).
2. Déterminer le seuil de rentabilité : le nombre de tabourets pour lequel la recette est exactement égale au coût total. Poser et résoudre l'équation \(R = C\).
3. Calculer le bénéfice pour une production de 80 tabourets.
4. Combien de tabourets faut-il vendre pour un bénéfice exact de 1 992 € ?

1. \(C = 1200 + 18x\) et \(R = 42x\).

2. \(R = C\) → \(42x = 1200 + 18x\) → \(24x = 1200\) → \(x = \mathbf{50}\). Seuil de rentabilité : 50 tabourets. Vérification : \(42\times50 = 2100\) € et \(1200+18\times50 = 2100\) € ✔

3. Bénéfice : \(24\times80-1200=1920-1200=\mathbf{720\,\text{€}}\).

4. \(24x-1200=1992\) → \(24x=3192\) → \(x=\mathbf{133}\). Vérification : \(24\times133-1200=1992\) €.

Exercice 3-4 Équations avec fractions Approfondissement
Résoudre les équations suivantes :

a) \(\dfrac{2x + 1}{3} = 5\)

b) \(\dfrac{x - 4}{2} = \dfrac{x + 2}{5}\)

c) \(\dfrac{3x}{4} - \dfrac{x}{6} = 7\)

a) \(2x + 1 = 15\) → \(2x = 14\) → \(x = \mathbf{7}\)

b) Produits en croix : \(5(x - 4) = 2(x + 2)\) → \(5x - 20 = 2x + 4\) → \(3x = 24\) → \(x = \mathbf{8}\)

c) PPCM(4,6) = 12. On multiplie par 12 : \(9x - 2x = 84\) → \(7x = 84\) → \(x = \mathbf{12}\)

Exercice 3-5 Problème — Choix d’un mode de transport Approfondissement
Logistique
Une entreprise de menuiserie doit livrer \(x\) meubles par mois. Deux options :
  • Option 1 (véhicule propre) : coût fixe 800 €/mois + 12 € par meuble
  • Option 2 (transporteur) : 35 € par meuble, pas de coût fixe
OptionCoût fixeCoût/meuble
Véhicule propre800 €/mois12 €
Transporteur—35 €
1. Écrire avec \(x\) (nombre de meubles) le coût de chaque option.
2. Pour quelle valeur de \(x\) les deux coûts sont-ils égaux ? Poser et résoudre l'équation correspondante.
3. L’entreprise livre 40 meubles/mois. Quelle option choisir ? Calculer l’économie.
4. Pour 50 meubles, calculer l'économie exacte réalisée avec l'option 1.

1. Option 1 : \(800 + 12x\) (en €). Option 2 : \(35x\) (en €).

2. \(800 + 12x = 35x\) → \(800 = 23x\) → \(x = \dfrac{800}{23}\approx\mathbf{34{,}8}\). Les deux coûts sont égaux pour environ 35 meubles.

3. Pour 40 meubles : option 1 \(=800+12\times40=1280\) € ; option 2 \(=35\times40=1400\) €. L'option 1 économise \(\mathbf{120}\) €.

4. Pour 50 meubles : option 1 \(=1400\) € ; option 2 \(=1750\) €. Économie : \(\mathbf{350}\) €.

Exercice 3-6 Problème ouvert — Titre d’un alliage d’or Approfondissement
🔬 Sciences — alliages
L’or utilisé en bijouterie n’est jamais pur : il est allié à d’autres métaux. Le titre d’un alliage est le pourcentage d’or qu’il contient en masse. L’or dit « 18 carats » a pour titre \(\dfrac{18}{24} = 0{,}75\), soit 75 %.

Un atelier dispose de deux lots et veut obtenir 200 g d’un alliage 18 carats.
DonnéeValeur
Titre du lot A60 %
Titre du lot B (or pur)100 %
Masse d’alliage voulue200 g
Titre visé (18 carats)75 %
lot A — 60 % ? g lot B — 100 % x g on allie 200 g d’alliage à 75 % d’or Les masses des deux lots sont à déterminer
Deux lots de titres différents réunis pour obtenir 200 g d’alliage à 75 %
1. On note \(x\) la masse d’or pur (lot B), en grammes. Exprimer avec \(x\) la masse de lot A utilisée.
2. Exprimer avec \(x\) la masse d’or contenue dans le mélange, puis écrire l’équation traduisant le titre visé.
3. Résoudre l’équation, donner les deux masses et vérifier le résultat.
4. L’atelier veut maintenant 200 g d’un alliage à 90 % d’or (« 21,6 carats »). Reprendre le calcul. Que remarque-t-on lorsque le titre visé augmente ?

1. La masse totale vaut 200 g, donc le lot A représente \(200 - x\) grammes.

2. Le lot B est de l’or pur : il apporte \(x\) grammes d’or. Le lot A titre 60 % : il apporte \(0{,}60(200 - x)\) grammes d’or. L’alliage voulu doit contenir \(0{,}75 \times 200 = 150\) grammes d’or :

\[x + 0{,}60(200 - x) = 150\]

3. On développe puis on isole \(x\) :

\[x + 120 - 0{,}60x = 150 \implies 0{,}40x = 30 \implies x = \frac{30}{0{,}40} = \mathbf{75}\]
✔ Il faut 75 g d’or pur et 125 g de lot A.

Vérif : l’or apporté vaut \(75 + 0{,}60 \times 125 = 75 + 75 = 150\) g, et \(\dfrac{150}{200} = 0{,}75\), soit 75 % ✓

4. Même méthode avec un titre visé de 90 %, soit \(0{,}90 \times 200 = 180\) grammes d’or :

\[x + 0{,}60(200 - x) = 180 \implies 0{,}40x = 60 \implies x = \frac{60}{0{,}40} = \mathbf{150}\]

Il faut alors 150 g d’or pur et 50 g de lot A. Vérif : \(150 + 0{,}60 \times 50 = 150 + 30 = 180\) g, soit 90 % ✓

✔ Plus le titre visé est élevé, plus la part d’or pur augmente : elle passe de 75 g à 150 g, soit du quart aux trois quarts de la masse totale.
Exercice 3-7 Problème ouvert — Dimensions d’un meuble Approfondissement
Menuiserie
Un artisan conçoit une bibliothèque aux dimensions suivantes :
  • La hauteur est le double de la largeur.
  • La profondeur est la moitié de la largeur.
  • Le périmètre de la face avant (hauteur × largeur) est de 360 cm.
x (largeur)2xPérimètre face = 360 cm
Face avant : largeur x, hauteur 2x
1. Poser \(x\) = largeur. Exprimer hauteur et profondeur.
2. Écrire l’équation du périmètre de la face avant.
3. Résoudre et donner les 3 dimensions du meuble.
4. Calculer le volume de l’encombrement du meuble en dm³ puis en litres.
5. Le panneau utilisé coûte 30 € le m². Estimer le coût du bois pour les 5 faces (sans la face avant) — penser à convertir les cm² en m².

1. Largeur : \(x\), hauteur : \(2x\), profondeur : \(\frac{x}{2}\).

2. Périmètre face avant : \(2(x + 2x) = 360\) → \(6x = 360\) → \(x = 60\).

3. Largeur : 60 cm, hauteur : 120 cm, profondeur : 30 cm.

4. Volume : \(60 \times 120 \times 30 = 216\,000\,\text{cm}^3 = 216\,\text{dm}^3 = \mathbf{216\,\text{L}}\).

5. Surfaces (5 faces sans la face avant) :

  • Fond : \(60 \times 120 = 7200\,\text{cm}^2\)
  • 2 côtés : \(2 \times 30 \times 120 = 7200\,\text{cm}^2\)
  • Haut + bas : \(2 \times 60 \times 30 = 3600\,\text{cm}^2\)

Total : \(7200 + 7200 + 3600 = 18\,000\,\text{cm}^2\), soit \(18\,000 \div 10\,000 = 1{,}8\,\text{m}^2\) (car \(1\,\text{m}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2\)).

Coût : \(1{,}8 \times 30 = \mathbf{54\,\text{€}}\).

Exercice 3-8 Défi BTS — Tarification électrique Approfondissement
Énergie
Un artisan hésite entre deux contrats électriques pour son atelier :
  • Contrat Bleu : abonnement 180 €/mois, kWh à 0,18 €
  • Contrat Vert : abonnement 95 €/mois, kWh à 0,24 €
ContratAbonnementPrix kWh
Bleu180 €/mois0,18 €
Vert95 €/mois0,24 €
1. Écrire avec \(x\) (kWh consommés) le coût mensuel de chaque contrat.
2. Déterminer la consommation pour laquelle les deux contrats coûtent le même prix. Poser et résoudre l'équation correspondante.
3. L’atelier consomme 1 500 kWh/mois en hiver et 800 kWh/mois en été (6 mois chacun). Calculer le coût annuel de chaque contrat.
4. Un troisième contrat propose 0,21 €/kWh sans abonnement. Pour quelle consommation son prix est-il exactement égal à celui du contrat Bleu ? Résoudre \(0{,}03x=180\).

1. Bleu : \(180 + 0{,}18x\). Vert : \(95 + 0{,}24x\) (en €).

2. \(180 + 0{,}18x = 95 + 0{,}24x\) → \(85 = 0{,}06x\) → \(x = \dfrac{85}{0{,}06}\approx\mathbf{1\,416{,}67\,\text{kWh}}\). Vérification : les deux factures valent alors environ 435 €.

3. Bleu annuel : \(6 \times (180 + 0{,}18 \times 1500) + 6 \times (180 + 0{,}18 \times 800)\)

\(= 6 \times 450 + 6 \times 324 = 2700 + 1944 = \mathbf{4\,644\,\text{€}}\)

Vert annuel : \(6 \times (95 + 0{,}24 \times 1500) + 6 \times (95 + 0{,}24 \times 800)\)

\(= 6 \times 455 + 6 \times 287 = 2730 + 1722 = \mathbf{4\,452\,\text{€}}\)

Le contrat Vert est moins cher sur l’année (économie : 192 €).

4. \(0{,}03x=180\) → \(x=\mathbf{6\,000}\) kWh. Vérification : troisième contrat \(=0{,}21\times6000=1260\) € ; contrat Bleu \(=180+0{,}18\times6000=1260\) €.

Exercice 3-9 Une équation, deux méthodes — choisir la mieux adaptée Approfondissement
Menuiserie — Devis
Deux ateliers proposent un devis pour la pose de plinthes (prix en euros pour \(x\) mètres posés) :
  • Atelier Boismétré : 30 € de déplacement + 5 € par mètre, soit un coût de \(5x + 30\) €
  • Atelier Posexpress : 8 € par mètre, sans déplacement, soit un coût de \(8x\) €
AtelierDéplacementPrix/mètre
Boismétré30 €5 €
Posexpress—8 €
On cherche la longueur \(x\) pour laquelle les deux devis sont égaux.
024 6810 121416 1820 04080 120160200 P₁ P₂ x (mètres de plinthes) P (€)
Les deux devis selon la longueur de plinthes posée — P₁ : atelier Boismétré, P₂ : atelier Posexpress

a) Méthode graphique : lire l'abscisse du point d'intersection des deux droites.

b) Méthode algébrique : résoudre l'équation \(5x + 30 = 8x\).

c) Comparer les deux résultats. Quelle méthode donne la valeur exacte et pourquoi ? Laquelle choisir si l'on veut une réponse rapide et approchée ?

d) Pour vérifier au tableur, on saisit en colonne A les longueurs 0, 5, 10, 15 et en colonnes B et C les formules =5*A2+30 et =8*A2. Pour quelle ligne les deux colonnes affichent-elles la même valeur ?

a) Méthode graphique : les deux droites se croisent à l'abscisse \(x = 10\). On lit donc une égalité des devis pour environ 10 mètres.

b) Méthode algébrique :

\[5x + 30 = 8x \implies 30 = 8x - 5x \implies 30 = 3x \implies x = \frac{30}{3} = \mathbf{10}\]

Vérif : \(5\times10+30=80\) € et \(8\times10=80\) €. ✔

c) Les deux méthodes donnent \(x = 10\). La méthode algébrique donne la valeur exacte (calcul), alors que la lecture graphique reste approchée (elle dépend de la précision du tracé). Pour une réponse rapide et estimée, le graphique suffit ; pour une réponse certaine, on résout l'équation.

d) Tableur : pour \(x = 10\) (ligne où A = 10), B donne \(5 \times 10 + 30 = 80\) et C donne \(8 \times 10 = 80\) : les deux colonnes affichent 80. C'est la 3ᵉ ligne de données (A = 10) qui confirme le résultat.

Exercice 3-10 Problème ouvert — Mise en équation autonome Approfondissement
Agencement
Un menuisier agenceur réalise un plan de travail composé de plusieurs modules identiques alignés, plus un retour d'angle de longueur fixe.
  • Chaque module a la même longueur, notée \(x\) (en cm).
  • Le plan comporte 4 modules alignés.
  • On ajoute en bout un retour d'angle de 45 cm.
  • La longueur totale du plan de travail mesure 3,25 m.
DonnéeValeur
Nombre de modules4
Retour d'angle45 cm
Longueur totale3,25 m = 325 cm
1. Choisir l'inconnue, poser une équation traduisant la situation, puis la résoudre seul(e). Donner la longueur d'un module.
2. Pour une autre commande, chaque module mesure exactement 80 cm, le retour mesure 45 cm et la longueur totale est exactement 365 cm. Combien de modules comporte ce plan de travail ?
3. Rédiger en une phrase la méthode que tu as utilisée pour mettre le problème en équation.

1. On note \(x\) la longueur d'un module (en cm). Les 4 modules plus le retour font la longueur totale :

\[4x + 45 = 325 \implies 4x = 325 - 45 = 280 \implies x = \frac{280}{4} = \mathbf{70\,\text{cm}}\]

Vérif : \(4 \times 70 + 45 = 280 + 45 = 325\) cm = 3,25 m. ✔ Chaque module mesure 70 cm.

2. Avec des modules de 80 cm : \(80n + 45 = 365\), donc \(80n = 320\) et \(n = 4\). Vérification : \(4 \times 80 + 45 = 365\) cm ✔. Ce plan comporte exactement 4 modules.

3. Méthode : on nomme la grandeur cherchée par une lettre, on exprime la longueur totale comme « 4 fois un module + le retour », on écrit l'égalité avec la longueur connue (en convertissant les mètres en centimètres), puis on isole l'inconnue.

Exercice 3-11 Défi BTS — Épaisseur d'isolant à poser Approfondissement
🧱 Rénovation énergétique
Un technicien de maintenance énergétique prépare l'isolation d'un mur. La résistance thermique \(R\) d'une paroi se mesure en m²·K/W : plus elle est grande, mieux la paroi est isolée. Les résistances des différentes couches s'additionnent. Pour une couche d'isolant, on a \(R_{\text{iso}} = \dfrac{e}{\lambda}\), où \(e\) est l'épaisseur en mètres et \(\lambda\) la conductivité de l'isolant.
DonnéeValeur
Résistance du mur existant \(R_0\)0,50 m²·K/W
Conductivité de l'isolant \(\lambda\)0,040 W/(m·K)
Objectif de résistance totale \(R\)4,00 m²·K/W
1. Écrire l'équation vérifiée par l'épaisseur \(e\) (en m) pour atteindre l'objectif.
2. Résoudre l'équation. Donner l'épaisseur en mètres puis en centimètres, et vérifier le résultat.
3. Le fabricant propose des panneaux de 100, 120, 140, 160 et 200 mm. Quelle épaisseur commander ?
4. Pour une autre paroi, l'objectif passe à \(R = 5{,}00\) m²·K/W avec le même mur et le même isolant. Calculer l'épaisseur nécessaire, choisir l'épaisseur commerciale adaptée et calculer la résistance totale réellement obtenue.

1. La résistance totale est celle du mur plus celle de l'isolant :

\[0{,}50 + \frac{e}{0{,}040} = 4{,}00\]

2. \(\dfrac{e}{0{,}040} = 4{,}00 - 0{,}50 = 3{,}50\), donc \(e = 3{,}50 \times 0{,}040 = \mathbf{0{,}140\,\text{m}} = \mathbf{14\,\text{cm}}\).

Vérif : \(0{,}50 + \dfrac{0{,}140}{0{,}040} = 0{,}50 + 3{,}50 = 4{,}00\) m²·K/W ✓

3. 0,140 m = 140 mm : le panneau de 140 mm convient exactement.

4. \(0{,}50 + \dfrac{e}{0{,}040} = 5{,}00\) → \(\dfrac{e}{0{,}040} = 4{,}50\) → \(e = 4{,}50 \times 0{,}040 = 0{,}180\) m = 18 cm.

Aucun panneau ne fait 180 mm : on prend le suivant, 200 mm. La résistance obtenue vaut alors \(0{,}50 + \dfrac{0{,}200}{0{,}040} = 0{,}50 + 5{,}00 = \mathbf{5{,}50\ \text{m²·K/W}}\), donc l'objectif est atteint.

Exercice 3-12 Défi BTS — Chaudière gaz ou pompe à chaleur ? Approfondissement
🔥 Énergie – Chauffage
Un installateur de pompes à chaleur compare deux solutions pour une maison individuelle :
  • Chaudière gaz : 4 500 € posée, puis 1 350 € de gaz par an
  • Pompe à chaleur : 13 500 € posée (aides déduites), puis 600 € d'électricité par an
SolutionInvestissementCoût annuel
Chaudière gaz4 500 €1 350 €
Pompe à chaleur13 500 €600 €
1. Calculer l'écart d'investissement entre les deux solutions, puis l'écart de coût annuel de fonctionnement.
2. On cherche la durée \(x\) (en années) pour laquelle les deux solutions reviennent exactement au même prix. Résoudre \(750x = 9\,000\), puis vérifier en calculant le coût total de chaque solution pour cette durée.
3. Le client garde son installation 15 ans. Calculer le coût total de chaque solution et l'écart obtenu.
4. Une aide supplémentaire de 3 000 € réduit l'investissement de la pompe à chaleur. Reprendre la question 2 avec cette aide.

1. Écart d'investissement : \(13\,500 - 4\,500 = 9\,000\) €. Écart annuel de fonctionnement : \(1\,350 - 600 = 750\) € par an en faveur de la pompe à chaleur.

2. \(750x = 9\,000 \implies x = \dfrac{9\,000}{750} = \mathbf{12}\) ans.

Vérif sur 12 ans : chaudière \(= 4\,500 + 12 \times 1\,350 = 4\,500 + 16\,200 = 20\,700\) € ; pompe à chaleur \(= 13\,500 + 12 \times 600 = 13\,500 + 7\,200 = 20\,700\) €. Les deux coûts sont bien égaux ✓

3. Sur 15 ans : chaudière \(= 4\,500 + 15 \times 1\,350 = 4\,500 + 20\,250 = \mathbf{24\,750\,\text{€}}\) ; pompe à chaleur \(= 13\,500 + 15 \times 600 = 13\,500 + 9\,000 = \mathbf{22\,500\,\text{€}}\).

✔ Sur 15 ans, la pompe à chaleur coûte \(24\,750 - 22\,500 = 2\,250\) € de moins.

4. L'investissement devient \(13\,500 - 3\,000 = 10\,500\) €, soit un écart de \(10\,500 - 4\,500 = 6\,000\) € : \(750x = 6\,000 \implies x = \mathbf{8}\) ans. Vérif : \(4\,500 + 8 \times 1\,350 = 15\,300\) € et \(10\,500 + 8 \times 600 = 15\,300\) € ✓

Exercice 3-13 Problème ouvert — Implantation de poteaux Approfondissement
🏗️ Gros œuvre – Implantation
Un chef de chantier implante des poteaux sous une poutre de 7,80 m de portée. Les poteaux sont régulièrement espacés : la distance entre deux poteaux voisins est toujours la même, et la distance entre chaque poteau d'extrémité et le bord de la poutre vaut la moitié de cet espacement.
DonnéeValeur
Portée de la poutre7,80 m
Nombre de poteaux (1ᵉʳ cas)3
Distance aux bordsmoitié de l'espacement
1. Choisir l'inconnue, écrire l'équation traduisant la situation pour 3 poteaux, puis la résoudre.
2. Donner la distance de chaque poteau au bord gauche de la poutre. Vérifier que le total fait bien 7,80 m.
3. Reprendre avec 5 poteaux.
4. Écrire l'espacement \(d\) en fonction du nombre \(n\) de poteaux. Que remarque-t-on ?

1. On note \(d\) l'espacement entre deux poteaux voisins (en m). Avec 3 poteaux, la poutre se décompose en : un demi-espacement, puis 2 espacements, puis un demi-espacement :

\[\frac{d}{2} + d + d + \frac{d}{2} = 7{,}80 \implies 3d = 7{,}80 \implies d = \frac{7{,}80}{3} = \mathbf{2{,}60\,\text{m}}\]

2. Le premier poteau est à \(\frac{2{,}60}{2} = 1{,}30\) m du bord, les suivants à \(1{,}30 + 2{,}60 = 3{,}90\) m et \(3{,}90 + 2{,}60 = 6{,}50\) m.

Vérif : \(1{,}30 + 2{,}60 + 2{,}60 + 1{,}30 = 7{,}80\) m ✓

3. Avec 5 poteaux : \(\frac{d}{2} + 4d + \frac{d}{2} = 7{,}80\), soit \(5d = 7{,}80\) et \(d = \mathbf{1{,}56\,\text{m}}\). Les poteaux sont alors à 0,78 m — 2,34 m — 3,90 m — 5,46 m — 7,02 m du bord gauche (et le dernier est bien à \(7{,}80 - 7{,}02 = 0{,}78\) m du bord droit ✓).

4. Avec \(n\) poteaux : \(\frac{d}{2} + (n-1)d + \frac{d}{2} = n\,d = 7{,}80\), donc \(\mathbf{d = \dfrac{7{,}80}{n}}\).

✔ Les deux demi-espacements des bords se réunissent en un espacement complet : la poutre se partage donc en \(n\) parts égales, quel que soit le nombre de poteaux.
Exercice 3-14 Trois outils pour une même équation — calcul, grapheur, tableur Approfondissement
⚡ Énergie – Facturation
Un technicien CVC modélise le coût annuel de chauffage électrique d'un logement par l'égalité \(C = 0{,}22x + 190\), où \(x\) est la consommation annuelle en kWh et \(C\) le coût en euros (190 € d'abonnement annuel, 0,22 € par kWh). Le propriétaire a payé 850 € cette année.
1. Par le calcul : écrire puis résoudre l'équation donnant la consommation annuelle. Vérifier la solution.
2. Au grapheur : lire sur le graphique la consommation correspondant à un coût de 850 €. Le résultat est-il cohérent avec la question 1 ?
3. Au tableur : on saisit les consommations 1 000, 2 000, 3 000 et 4 000 en colonne A à partir de la ligne 2, et la formule =0,22*A2+190 en B2, recopiée vers le bas. Quelles valeurs affiche la colonne B ? Sur quelle ligne lit-on 850 ?
4. Après des travaux d'isolation, la consommation baisse de 25 %. Calculer la nouvelle consommation, le nouveau coût annuel et l'économie réalisée.
5. Des trois méthodes, laquelle donne la valeur exacte ? Justifier.

1. \(0{,}22x + 190 = 850 \implies 0{,}22x = 660 \implies x = \dfrac{660}{0{,}22} = \mathbf{3\,000}\) kWh.

Vérif : \(0{,}22 \times 3\,000 + 190 = 660 + 190 = 850\) € ✓

2. La droite du coût rencontre le niveau 850 € pour une consommation de 3 000 kWh : la lecture graphique confirme le calcul.

3. Colonne B : \(0{,}22 \times 1\,000 + 190 = 410\) ; \(0{,}22 \times 2\,000 + 190 = 630\) ; \(0{,}22 \times 3\,000 + 190 = 850\) ; \(0{,}22 \times 4\,000 + 190 = 1\,070\). La valeur 850 apparaît en B4, c'est-à-dire sur la ligne où A vaut 3 000.

4. Nouvelle consommation : \(3\,000 \times 0{,}75 = 2\,250\) kWh. Nouveau coût : \(0{,}22 \times 2\,250 + 190 = 495 + 190 = \mathbf{685\,\text{€}}\). Économie : \(850 - 685 = \mathbf{165\,\text{€}}\) par an.

5. Seul le calcul algébrique donne la valeur exacte. Le graphique donne une valeur lue, donc approchée (elle dépend de la précision du tracé) ; le tableur ne teste que les valeurs saisies et pourrait « rater » la solution si elle ne figurait pas dans la colonne A. Grapheur et tableur servent donc à vérifier, pas à démontrer.

Exercice 3-15 Problème ouvert — Répartition d'un budget de rénovation Approfondissement
🏢 Rénovation – Conduite de travaux
Un conducteur de travaux répartit un budget de rénovation énergétique de 96 000 € entre trois lots :
  • le lot isolation représente le double du lot menuiseries ;
  • le lot chauffage représente 12 000 € de plus que le lot menuiseries ;
  • les trois lots consomment la totalité du budget.
DonnéeValeur
Budget total96 000 €
Isolation2 × menuiseries
Chauffagemenuiseries + 12 000 €
1. Choisir l'inconnue, écrire l'équation traduisant la répartition, puis la résoudre.
2. Donner le montant de chaque lot et vérifier que la somme fait bien 96 000 €.
3. Calculer la part de chaque lot en pourcentage du budget total (arrondir au dixième).
4. Le maître d'ouvrage porte finalement le budget à 108 000 € en conservant les mêmes relations entre les lots. Recalculer les trois montants.

1. On note \(x\) le montant du lot menuiseries (en €). Alors isolation \(= 2x\) et chauffage \(= x + 12\,000\) :

\[x + 2x + (x + 12\,000) = 96\,000 \implies 4x + 12\,000 = 96\,000 \implies 4x = 84\,000 \implies x = \mathbf{21\,000}\]

2. Menuiseries : 21 000 € ; isolation : \(2 \times 21\,000 = \mathbf{42\,000\,\text{€}}\) ; chauffage : \(21\,000 + 12\,000 = \mathbf{33\,000\,\text{€}}\).

Vérif : \(21\,000 + 42\,000 + 33\,000 = 96\,000\) € ✓

3. Menuiseries : \(\dfrac{21\,000}{96\,000} = 0{,}21875\), soit 21,9 % ; isolation : \(\dfrac{42\,000}{96\,000} = 0{,}4375\), soit 43,8 % ; chauffage : \(\dfrac{33\,000}{96\,000} = 0{,}34375\), soit 34,4 %. (Total \(\approx 100\ \%\) ✓)

4. \(4x + 12\,000 = 108\,000 \implies 4x = 96\,000 \implies x = 24\,000\). Menuiseries : 24 000 €, isolation : 48 000 €, chauffage : 36 000 €. Vérif : \(24\,000 + 48\,000 + 36\,000 = 108\,000\) € ✓

Bilan des compétences travaillées
CompétenceExercices
Résoudre \(ax = b\)Ex 1-1 (socle)
Vérifier qu'une valeur est solutionEx 1-2, 1-15 (socle)
Résoudre \(ax + b = c\) — guidé pas à pasEx 1-3, 1-6 (socle)
Résoudre \(ax + b = c\) ou \(ax + b = cx + d\) sans guidage, y compris avec un coefficient négatifEx 2-1, 2-2, 2-3, 2-7 (standard)
Gérer les solutions négativesEx 2-3 (standard)
Traduire un problème par une équationEx 1-4, 1-5, 1-7, 1-8, 1-10, 1-11, 1-12, 1-13, 1-14, 1-15 (socle) ; 2-4, 2-5, 2-6, 2-8, 2-9, 2-10, 2-11, 2-13, 2-14, 2-15 (standard) ; 3-6 (appro)
Interpréter une solution dans son contexteEx 1-4, 1-5, 1-7, 1-8, 1-12, 1-13, 1-14, 1-15 (socle) ; 2-4, 2-5, 2-6, 2-8, 2-9, 2-10, 2-11, 2-13, 2-14, 2-15 (standard)
Résoudre graphiquement une équation (grapheur, tableur)Ex 2-12 (standard) ; 3-9, 3-14 (appro)
Choisir/comparer une méthode (algébrique, graphique, tableur)Ex 3-9, 3-14 (appro)
Mettre un problème en équation de façon autonomeEx 3-6, 3-7, 3-10, 3-11, 3-12, 3-13, 3-15 (appro)
Exprimer un bénéfice et déterminer la quantité correspondanteEx 3-1, 3-3 (appro)
Seuil de rentabilité / comparaison de coûtsEx 2-9 (standard) ; 3-2, 3-3, 3-5, 3-8, 3-12 (appro)
Problème de mélange (deux composants)Ex 2-10 (standard) ; 3-6 (appro)
Équations avec fractions ou avec quotientEx 1-9 (socle) ; 3-4, 3-11 (appro)
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