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Exercices – Équations du premier degré

Seconde Bac Pro MAMA  |  Chapitre 5  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 10 avril 2026, 12:00

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📝 Mode d'emploi : Résous chaque exercice dans la zone prévue, puis clique sur "Voir la correction" pour vérifier ton travail. Les exercices sont classés du plus simple au plus complexe — avance à ton rythme !

Exercices guidés pas à pas

Exercice 1 Résoudre des équations de la forme \(ax = b\) Socle
ax+b c =
Résoudre les équations suivantes. Donner la valeur exacte de \(x\).

a)  \(4x = 28\)    b)  \(9x = 63\)    c)  \(3{,}5x = 14\)    d)  \(12x = 0\)
a) \(4x = 28 \implies x = \dfrac{28}{4} = \mathbf{7}\)   Vérif : \(4 \times 7 = 28\) ✔

b) \(9x = 63 \implies x = \dfrac{63}{9} = \mathbf{7}\)   Vérif : \(9 \times 7 = 63\) ✔

c) \(3{,}5x = 14 \implies x = \dfrac{14}{3{,}5} = \mathbf{4}\)   Vérif : \(3{,}5 \times 4 = 14\) ✔

d) \(12x = 0 \implies x = \dfrac{0}{12} = \mathbf{0}\)   Vérif : \(12 \times 0 = 0\) ✔
Exercice 2 Vérifier si une valeur est solution Socle
Pour chaque équation, dire si la valeur proposée est une solution ou non. Justifier en remplaçant \(x\) par la valeur.

a)  Équation : \(5x - 3 = 22\)  — Valeur testée : \(x = 5\)
b)  Équation : \(2x + 7 = 15\)  — Valeur testée : \(x = 4\)
c)  Équation : \(3x - 1 = 11\)  — Valeur testée : \(x = 3\)
d)  Équation : \(6x + 2 = 32\)  — Valeur testée : \(x = 5\)
a) On remplace : \(5 \times 5 - 3 = 25 - 3 = 22\). C'est bien égal à 22.
✔ \(x = 5\) est bien solution de \(5x - 3 = 22\).
b) On remplace : \(2 \times 4 + 7 = 8 + 7 = 15\). C'est bien égal à 15.
✔ \(x = 4\) est bien solution de \(2x + 7 = 15\).
c) On remplace : \(3 \times 3 - 1 = 9 - 1 = 8 \neq 11\). Ce n'est pas égal à 11.
✗ \(x = 3\) n'est pas solution. La vraie solution est \(x = 4\) (vérif : \(3 \times 4 - 1 = 11\) ✔).
d) On remplace : \(6 \times 5 + 2 = 30 + 2 = 32\). C'est bien égal à 32.
✔ \(x = 5\) est bien solution de \(6x + 2 = 32\).
Exercice 3 Résoudre des équations de la forme \(ax + b = c\) Socle
Résoudre les équations suivantes. Vérifier chaque résultat.

a) \(3x + 7 = 22\)
b) \(5x - 8 = 17\)
c) \(2x + 1{,}5 = 9{,}5\)
d) \(4x - 3 = 0\)

a) \(3x = 22 - 7 = 15\) → \(x = \frac{15}{3} = \mathbf{5}\). Vérif : \(3 \times 5 + 7 = 22\) ✓

b) \(5x = 17 + 8 = 25\) → \(x = \frac{25}{5} = \mathbf{5}\). Vérif : \(5 \times 5 - 8 = 17\) ✓

c) \(2x = 9{,}5 - 1{,}5 = 8\) → \(x = \frac{8}{2} = \mathbf{4}\). Vérif : \(2 \times 4 + 1{,}5 = 9{,}5\) ✓

d) \(4x = 3\) → \(x = \frac{3}{4} = \mathbf{0{,}75}\). Vérif : \(4 \times 0{,}75 - 3 = 0\) ✓

Exercice 4 Résoudre \(ax + b = c\) — méthode détaillée Socle
Méthode : Pour résoudre \(ax + b = c\), on fait 2 étapes :
• Étape 1 : On isole le terme en \(x\) → on enlève \(b\) des deux côtés
• Étape 2 : On isole \(x\) → on divise les deux côtés par \(a\)
Exemple guidé : Résoudre \(3x + 5 = 20\)

Étape 1 : \(3x + 5 \color{red}{- 5} = 20 \color{red}{- 5}\) → \(3x = \) ……
Étape 2 : \(x = \dfrac{\ldots}{3} = \) ……

À toi : Résoudre avec la même méthode :
a) \(2x + 3 = 11\)
Étape 1 : \(2x + 3 - 3 = 11 - 3\) → \(2x = \) ……
Étape 2 : \(x = \dfrac{\ldots}{2} = \) ……

b) \(5x - 10 = 25\)
Étape 1 : \(5x - 10 \color{red}{+ 10} = 25 \color{red}{+ 10}\) → \(5x = \) ……
Étape 2 : \(x = \) ……

c) \(4x + 7 = 7\)
Étape 1 : …………………………
Étape 2 : …………………………

Exemple : \(3x = 20 - 5 = 15\), donc \(x = \frac{15}{3} = 5\).

a) \(2x = 11 - 3 = 8\) → \(x = \frac{8}{2} = \mathbf{4}\)

b) \(5x = 25 + 10 = 35\) → \(x = \frac{35}{5} = \mathbf{7}\)

c) \(4x = 7 - 7 = 0\) → \(x = \frac{0}{4} = \mathbf{0}\)

Exercice 5 Traduire un énoncé en équation — guidé Socle
Atelier de menuiserie
Un menuisier achète des tasseaux à 3 € pièce et paie un forfait de livraison de 12 €. Sa facture totale est de 42 €.

DonnéeValeur
Prix par tasseau3 €
Frais de livraison12 €
Total facturé42 €
Étape 1 — Mise en équation :
On appelle \(x\) le nombre de tasseaux. Le coût total s’écrit :
coût total = prix par tasseau × nombre + livraison
…… × \(x\) + …… = ……
Donc l’équation est : …………………………

Étape 2 — Résolution :
\(3x + 12 = 42\)
\(3x = 42 - 12 = \) ……
\(x = \dfrac{\ldots}{3} = \) ……

Étape 3 — Conclusion :
Le menuisier a acheté …… tasseaux.

Équation : \(3x + 12 = 42\)

\(3x = 42 - 12 = 30\) → \(x = \frac{30}{3} = \mathbf{10}\)

Conclusion : Le menuisier a acheté 10 tasseaux.

Exercice 6 Problème guidé — budget peinture Socle
ax+b c =
Atelier de menuiserie
Un apprenti peintre dispose d’un budget de 80 €. Un pot de peinture coûte 15 € et les rouleaux coûtent 5 € au total.

DonnéeValeur
Budget total80 €
Prix par pot15 €
Coût des rouleaux5 €
1. Appeler \(x\) le nombre de pots. Écrire l’équation si le budget est entièrement dépensé :
…… × \(x\) + …… = ……

2. Résoudre l’équation :
\(15x = 80 - 5 = \) ……
\(x = \dfrac{\ldots}{15} = \) ……

3. Le résultat est-il un nombre entier ? Combien de pots entiers peut-il acheter au maximum ?

1. \(15x + 5 = 80\)

2. \(15x = 75\) → \(x = \frac{75}{15} = 5\)

3. Oui, \(x = 5\) est entier. Il peut acheter 5 pots.

Exercice 7 Résoudre \(ax - b = c\) — pas à pas Socle
Résoudre chaque équation en suivant les deux étapes :

a) \(6x - 4 = 20\)
Étape 1 : \(6x = 20 + 4 =\) ......
Étape 2 : \(x = \dfrac{......}{6} =\) ......

b) \(8x - 12 = 36\)
Étape 1 : \(8x =\) ......
Étape 2 : \(x =\) ......

c) \(10x - 5 = 0\)
Étape 1 : ......
Étape 2 : ......

a) \(6x = 24\) → \(x = \frac{24}{6} = \mathbf{4}\). Vérif : \(6 \times 4 - 4 = 20\) ✓

b) \(8x = 48\) → \(x = \frac{48}{8} = \mathbf{6}\). Vérif : \(8 \times 6 - 12 = 36\) ✓

c) \(10x = 5\) → \(x = \frac{5}{10} = \mathbf{0{,}5}\). Vérif : \(10 \times 0{,}5 - 5 = 0\) ✓

Exercice 8 Problème guidé — Longueur de planches Socle
ax+b c =
Menuiserie
Un menuisier découpe une planche de 2,40 m en deux morceaux. Le deuxième morceau mesure 30 cm de plus que le premier.

x cmx + 30 cm←— 240 cm —→
Planche de 240 cm coupée en deux morceaux
1. Appeler \(x\) la longueur du premier morceau (en cm). Exprimer la longueur du deuxième :
Deuxième morceau = \(x +\) ......

2. Écrire l’équation (somme = 240 cm) :
\(x + (x + ......) =\) ......

3. Résoudre :
\(2x + ...... = 240\)
\(2x = 240 - ...... =\) ......
\(x =\) ......

4. En déduire les longueurs des deux morceaux.

1. Deuxième morceau = \(x + 30\) cm

2. \(x + (x + 30) = 240\)

3. \(2x + 30 = 240\) → \(2x = 210\) → \(x = 105\)

4. Premier morceau : 105 cm, deuxième : \(105 + 30 = \mathbf{135\,\text{cm}}\).

Vérif : \(105 + 135 = 240\) ✓

Exercice 9 Problème guidé — Prix après remise Socle
ax+b=c −b ax=c−b ÷a x=(c−b)/a
Commerce
Après une remise de 20 %, un outil coûte 36 €. On cherche le prix initial.

DonnéeValeur
Remise20 %
Prix après remise36 €
1. Appeler \(x\) le prix initial. Le coefficient multiplicateur d’une remise de 20 % est :
CM \(= 1 - 0{,}20 =\) ......

2. Écrire l’équation :
\(x \times ...... = 36\)

3. Résoudre :
\(x = \dfrac{36}{......} =\) ...... €

1. CM \(= 0{,}80\)

2. \(0{,}80x = 36\)

3. \(x = \dfrac{36}{0{,}80} = \mathbf{45\,\text{€}}\)

Vérif : \(45 \times 0{,}80 = 36\) ✓

Exercice 10 Résoudre une équation simple avec une division Socle
Résoudre les équations suivantes. Compléter :

a) \(\dfrac{x}{4} = 7\)
\(x = 7 \times 4 =\) ......

b) \(\dfrac{x}{3} + 5 = 11\)
Étape 1 : \(\dfrac{x}{3} = 11 - 5 =\) ......
Étape 2 : \(x = ...... \times 3 =\) ......

c) \(\dfrac{x}{5} - 2 = 8\)
Résoudre seul en suivant la même méthode.

a) \(x = 7 \times 4 = \mathbf{28}\)

b) \(\frac{x}{3} = 6\) → \(x = 6 \times 3 = \mathbf{18}\). Vérif : \(\frac{18}{3} + 5 = 11\) ✓

c) \(\frac{x}{5} = 10\) → \(x = 10 \times 5 = \mathbf{50}\). Vérif : \(\frac{50}{5} - 2 = 8\) ✓

Exercice 11 Problème guidé — Périmètre d’un rectangle Socle
ax+b c =
Géométrie
Un rectangle a un périmètre de 54 cm. Sa longueur mesure le double de sa largeur.

x (largeur)2xPérimètre = 54 cm
Rectangle : largeur x, longueur 2x
1. Appeler \(x\) la largeur. Exprimer la longueur : \(L =\) ......
2. Rappel : périmètre = \(2 \times (L + l)\). Écrire l’équation :
\(2 \times (2x + x) = 54\)
\(2 \times ...... = 54\)
\(......x = 54\)
\(x =\) ......
3. Donner les dimensions du rectangle.

1. \(L = 2x\)

2. \(2 \times 3x = 54\) → \(6x = 54\) → \(x = 9\)

3. Largeur : 9 cm, longueur : \(2 \times 9 = \mathbf{18\,\text{cm}}\).

Vérif : \(2 \times (18 + 9) = 2 \times 27 = 54\) ✓

Exercice 12 Problème guidé — Partage d’une somme Socle
Quotidien
Deux amis se partagent 75 €. Le premier reçoit 15 € de plus que le second.

1. Appeler \(x\) la part du second. Exprimer la part du premier : ......
2. Écrire l’équation : \(x + (x + 15) = 75\)
3. Résoudre.
4. Combien reçoit chacun ?

1. Part du premier = \(x + 15\)

2. Équation : \(x + (x + 15) = 75\)

3. \(2x + 15 = 75\) → \(2x = 60\) → \(x = 30\)

4. Second : 30 €, premier : \(30 + 15 = \mathbf{45\,\text{€}}\).

Vérif : \(30 + 45 = 75\) ✓

Exercices d'application

Exercice 13 Résoudre des équations du premier degré Standard
Résoudre chaque équation et vérifier la solution.

a)  \(3x + 8 = 23\)
b)  \(5x - 12 = 3\)
c)  \(2x + 9 = 4x - 7\)
d)  \(7(x - 2) = 3x + 10\)
a) \[3x + 8 = 23 \implies 3x = 15 \implies x = 5\] Vérif : \(3 \times 5 + 8 = 15 + 8 = 23\) ✔

b) \[5x - 12 = 3 \implies 5x = 15 \implies x = 3\] Vérif : \(5 \times 3 - 12 = 15 - 12 = 3\) ✔

c) \[2x + 9 = 4x - 7 \implies 9 + 7 = 4x - 2x \implies 16 = 2x \implies x = 8\] Vérif : membre gauche \(2 \times 8 + 9 = 25\), membre droit \(4 \times 8 - 7 = 25\) ✔

d) \[7(x-2) = 3x + 10 \implies 7x - 14 = 3x + 10 \implies 4x = 24 \implies x = 6\] Vérif : membre gauche \(7(6-2) = 7 \times 4 = 28\), membre droit \(3 \times 6 + 10 = 28\) ✔
Exercice 14 Équations avec solutions négatives Standard
Résoudre chaque équation. Attention, certaines solutions sont négatives !

a)  \(2x + 3 = 1\)
b)  \(3x - 5 = -11\)
c)  \(-2x + 7 = 1\)
d)  \(-4x - 8 = 0\)
a) \[2x + 3 = 1 \implies 2x = 1 - 3 = -2 \implies x = -1\] Vérif : \(2 \times (-1) + 3 = -2 + 3 = 1\) ✔

b) \[3x - 5 = -11 \implies 3x = -11 + 5 = -6 \implies x = -2\] Vérif : \(3 \times (-2) - 5 = -6 - 5 = -11\) ✔

c) \[-2x + 7 = 1 \implies -2x = 1 - 7 = -6 \implies x = \frac{-6}{-2} = 3\] Vérif : \(-2 \times 3 + 7 = -6 + 7 = 1\) ✔

d) \[-4x - 8 = 0 \implies -4x = 8 \implies x = \frac{8}{-4} = -2\] Vérif : \(-4 \times (-2) - 8 = 8 - 8 = 0\) ✔
⚠ Quand on divise par un nombre négatif, le signe du résultat change : \(\frac{-6}{-2} = +3\) et \(\frac{8}{-4} = -2\).
Exercice 15 Commande de panneaux de bois Standard
🪵 Menuiserie – Agencement
Un menuisier commande des panneaux de contreplaqué à 18,50 € le panneau. Les frais de livraison sont de 22 € quelle que soit la commande. Sa facture totale s'élève à 207 €.
DonnéeValeur
Prix par panneau18,50 €
Frais de livraison22 €
Total facturé207 €


Combien de panneaux a-t-il commandés ?

Aide : noter \(x\) le nombre de panneaux. Écrire une équation, puis la résoudre.
  1. Inconnue : on pose \(x\) = nombre de panneaux commandés.
  2. Équation : coût total = prix des panneaux + livraison \[18{,}50x + 22 = 207\]
  3. Résolution : \[18{,}50x = 207 - 22 = 185\] \[x = \frac{185}{18{,}50} = 10\]
  4. Vérification : \(18{,}50 \times 10 + 22 = 185 + 22 = 207\) ✔
✔ Le menuisier a commandé 10 panneaux.
Exercice 16 Découpe de tasseaux Standard
🔨 Charpente – Menuiserie
Un artisan dispose d'une barre de bois de 3,60 m. Il veut y découper des tasseaux de longueur égale. Il souhaite obtenir 8 tasseaux et il restera une chute de 40 cm.

Quelle est la longueur de chaque tasseau (en cm) ?
Barre de 360 cm — 8 tasseaux + chute
  1. Inconnue : \(x\) = longueur d'un tasseau en cm.
  2. Équation : \(8x + 40 = 360\)
  3. Résolution : \[8x = 360 - 40 = 320\] \[x = \frac{320}{8} = 40 \text{ cm}\]
  4. Vérification : \(8 \times 40 + 40 = 320 + 40 = 360\) ✔
✔ Chaque tasseau mesure 40 cm.
Exercice 17 Prix de revient et prix de vente Standard
💶 Gestion – Ameublement
Un artisan fabrique des cadres photo en bois. Chaque cadre lui coûte \(x\) euros en matériaux. Il fabrique 6 cadres et dépense en plus 18 € de produit de finition (vernis). Le total de ses dépenses s'élève à 66 €.
DonnéeValeur
Nombre de cadres6
Coût du vernis18 €
Total des dépenses66 €


Quel est le coût en matériaux d'un cadre ?
  1. Équation : \(6x + 18 = 66\)
  2. Résolution : \(6x = 48 \implies x = 8\)
  3. Vérification : \(6 \times 8 + 18 = 48 + 18 = 66\) ✔
✔ Chaque cadre coûte 8 € en matériaux.
Exercice 18 Équations avec \(x\) des deux côtés — Entraînement Standard
Résoudre les équations suivantes :

a) \(7x + 3 = 4x + 18\)
b) \(9x - 5 = 3x + 19\)
c) \(2x + 14 = 5x - 1\)
d) \(6(x + 2) = 3(x + 8)\)

a) \(7x - 4x = 18 - 3\) → \(3x = 15\) → \(x = \mathbf{5}\)

b) \(9x - 3x = 19 + 5\) → \(6x = 24\) → \(x = \mathbf{4}\)

c) \(14 + 1 = 5x - 2x\) → \(3x = 15\) → \(x = \mathbf{5}\)

d) \(6x + 12 = 3x + 24\) → \(3x = 12\) → \(x = \mathbf{4}\)

Exercice 19 Problème — Âges de deux personnes Standard
Quotidien
Un père a 3 fois l’âge de son fils. La somme de leurs âges est 52 ans.

DonnéeValeur
Relationpère = 3 × âge du fils
Somme des âges52 ans
1. Poser l’équation en appelant \(x\) l’âge du fils.
2. Résoudre et donner l’âge de chacun.
3. Dans combien d’années le père aura-t-il exactement le double de l’âge de son fils ?

1. \(x + 3x = 52\)

2. \(4x = 52\) → \(x = 13\). Fils : 13 ans, père : \(3 \times 13 = \mathbf{39\,\text{ans}}\).

3. Dans \(n\) années : \(39 + n = 2(13 + n)\) → \(39 + n = 26 + 2n\) → \(n = 13\). Dans 13 ans.

Exercice 20 Comparaison de forfaits téléphoniques Standard
Quotidien
Deux opérateurs proposent :
  • Forfait A : 10 €/mois + 0,05 € par minute de communication
  • Forfait B : 25 €/mois, tout illimité
ForfaitAbonnementPrix/min
A10 €/mois0,05 €
B25 €/moisillimité
1. Exprimer le coût mensuel du forfait A en fonction de \(x\) (minutes utilisées).
2. À partir de combien de minutes le forfait B est-il plus avantageux ?
3. Un utilisateur consomme en moyenne 250 min/mois. Quel forfait lui conseiller ?

1. \(C_A(x) = 10 + 0{,}05x\)

2. \(10 + 0{,}05x = 25\) → \(0{,}05x = 15\) → \(x = 300\) minutes. À partir de 300 min, le forfait B est plus avantageux.

3. \(C_A(250) = 10 + 12{,}50 = 22{,}50\,\text{€} < 25\,\text{€}\). Forfait A est plus avantageux.

Exercice 21 Problème — Mélange de cafés Standard
Commerce
Un torréfacteur mélange deux types de café :
  • Arabica à 18 €/kg
  • Robusta à 10 €/kg
CaféPrix/kgMasse
Arabica18 €?
Robusta10 €?
Mélange15,20 €5 kg
Il veut obtenir 5 kg de mélange à 15,20 €/kg.

1. Appeler \(x\) la masse d’Arabica. Exprimer la masse de Robusta.
2. Écrire l’équation du coût total.
3. Résoudre et vérifier.

1. Robusta : \(5 - x\) kg

2. \(18x + 10(5 - x) = 15{,}20 \times 5\)

\(18x + 50 - 10x = 76\) → \(8x = 26\) → \(x = 3{,}25\)

3. Arabica : 3,25 kg, Robusta : 1,75 kg.

Vérif : \(3{,}25 \times 18 + 1{,}75 \times 10 = 58{,}50 + 17{,}50 = 76\) € et \(76 \div 5 = 15{,}20\) ✓

Exercice 22 Problème — Agrandissement d’un jardin Standard
Aménagement
Un jardin rectangulaire mesure 12 m de long et 8 m de large. On agrandit le jardin en ajoutant une bande de largeur constante \(x\) (en m) sur les deux longueurs.

12 m× 8 mxxNouvelle aire = 120 m²
Agrandissement par bandes de largeur x (en m) des deux côtés
1. Exprimer la nouvelle largeur du jardin en fonction de \(x\).
2. Exprimer la nouvelle aire en fonction de \(x\).
3. On veut une aire de 120 m². Résoudre l’équation et trouver \(x\).
4. Vérifier le résultat.

1. Nouvelle largeur : \(8 + 2x\) (on ajoute \(x\) de chaque côté).

2. Nouvelle aire : \(A = 12 \times (8 + 2x) = 96 + 24x\)

3. \(96 + 24x = 120\) → \(24x = 24\) → \(x = \mathbf{1\,\text{m}}\)

4. Vérif : \(12 \times (8 + 2) = 12 \times 10 = 120\,\text{m}^2\) ✓

Exercice 23 Résolution graphique d'une équation Standard
Professionnel — Coût de production
Le coût de production de \(x\) pièces en bois est donné par la fonction \(C(x) = 3x + 50\) (en euros).
0 x C C(x) 200 50

a) Lire graphiquement pour quelle valeur de \(x\) on a \(C(x) = 200\).

b) Vérifier par le calcul : résoudre \(3x + 50 = 200\).

c) Interpréter : que signifie ce résultat pour l'artisan ?

a) On lit sur le graphique : la droite \(C(x)\) coupe la droite \(y = 200\) en \(x = 50\).

b) \(3x + 50 = 200 \Rightarrow 3x = 150 \Rightarrow x = \mathbf{50}\). Résultat confirmé.

c) Il faut produire 50 pièces pour que le coût atteigne 200 €.

Exercices d'approfondissement

Exercice 24 Fabrication d'étagères Approfondissement
🪚 Menuiserie – Gestion
Un artisan menuisier fabrique des étagères en bois.
  • Ses charges fixes (loyer, assurance) s'élèvent à 420 € par mois.
  • Chaque étagère lui coûte 28 € en matériaux.
  • Il vend chaque étagère 75 €.
DonnéeValeur
Charges fixes420 €/mois
Coût matériaux/étagère28 €
Prix de vente/étagère75 €
1. Écrire une expression donnant le bénéfice mensuel \(B\) en fonction du nombre \(x\) d'étagères vendues.
2. Combien d'étagères doit-il vendre pour réaliser un bénéfice de 520 € ?
1. Expression du bénéfice : \[B(x) = 75x - (420 + 28x) = 75x - 420 - 28x = 47x - 420\] 2. Pour un bénéfice de 520 € : \[47x - 420 = 520\] \[47x = 940\] \[x = \frac{940}{47} = 20\] Vérif : \(47 \times 20 - 420 = 940 - 420 = 520\) ✔
✔ Il doit vendre 20 étagères pour réaliser un bénéfice de 520 €.
Exercice 25 Comparaison de deux fournisseurs Approfondissement
💼 Gestion – Approvisionnement
Un atelier doit acheter des planches de chêne. Deux fournisseurs proposent :

FournisseurPrix unitaireFrais de port
BoisPro14,00 € / planche0 €
ChêneShop11,50 € / planche35 € forfait

1. Écrire le coût total chez chaque fournisseur en fonction de \(x\) (nombre de planches).
2. Pour quelle valeur de \(x\) les deux fournisseurs coûtent-ils le même prix ? (Résoudre l'équation \(C_1(x) = C_2(x)\))
3. Si l'atelier commande 20 planches, quel fournisseur choisir ? Calculer l'économie réalisée.
1. Coûts totaux :
  • BoisPro : \(C_1(x) = 14x\)
  • ChêneShop : \(C_2(x) = 11{,}50x + 35\)
2. Même prix : \[14x = 11{,}50x + 35\] \[14x - 11{,}50x = 35\] \[2{,}50x = 35\] \[x = \frac{35}{2{,}50} = 14\]
✔ Pour 14 planches, les deux fournisseurs coûtent le même prix (\(14 \times 14 = 196\) € chacun).
3. Pour 20 planches : \[C_1(20) = 14 \times 20 = 280 \text{ €}\] \[C_2(20) = 11{,}50 \times 20 + 35 = 230 + 35 = 265 \text{ €}\]
✔ Il faut choisir ChêneShop. Économie : \(280 - 265 = 15\) €.
Exercice 26 Seuil de rentabilité d’une production Approfondissement
Gestion
Un fabricant de mobilier produit des tabourets. Ses coûts sont :
  • Charges fixes : 1 200 €/mois
  • Coût variable : 18 € par tabouret
  • Prix de vente : 42 € par tabouret
DonnéeValeur
Charges fixes1 200 €/mois
Coût variable/tabouret18 €
Prix de vente/tabouret42 €
1. Exprimer le coût total \(C(x)\) et la recette \(R(x)\) en fonction de \(x\).
2. Déterminer le seuil de rentabilité (nombre minimum de tabourets pour ne pas perdre d’argent).
3. Calculer le bénéfice pour une production de 80 tabourets.
4. Combien de tabourets faut-il vendre pour un bénéfice de 2 000 € ?

1. \(C(x) = 1200 + 18x\) et \(R(x) = 42x\)

2. \(R(x) = C(x)\) → \(42x = 1200 + 18x\) → \(24x = 1200\) → \(x = 50\). Seuil : 50 tabourets.

3. \(B(80) = 42 \times 80 - (1200 + 18 \times 80) = 3360 - 2640 = \mathbf{720\,\text{€}}\)

4. \(24x - 1200 = 2000\) → \(24x = 3200\) → \(x \approx 133{,}3\). Il faut vendre 134 tabourets.

Exercice 27 Équations avec fractions Approfondissement
Résoudre les équations suivantes :

a) \(\dfrac{2x + 1}{3} = 5\)

b) \(\dfrac{x - 4}{2} = \dfrac{x + 2}{5}\)

c) \(\dfrac{3x}{4} - \dfrac{x}{6} = 7\)

a) \(2x + 1 = 15\) → \(2x = 14\) → \(x = \mathbf{7}\)

b) Produits en croix : \(5(x - 4) = 2(x + 2)\) → \(5x - 20 = 2x + 4\) → \(3x = 24\) → \(x = \mathbf{8}\)

c) PPCM(4,6) = 12. On multiplie par 12 : \(9x - 2x = 84\) → \(7x = 84\) → \(x = \mathbf{12}\)

Exercice 28 Problème — Choix d’un mode de transport Approfondissement
Logistique
Une entreprise de menuiserie doit livrer \(x\) meubles par mois. Deux options :
  • Option 1 (véhicule propre) : coût fixe 800 €/mois + 12 € par meuble
  • Option 2 (transporteur) : 35 € par meuble, pas de coût fixe
OptionCoût fixeCoût/meuble
Véhicule propre800 €/mois12 €
Transporteur—35 €
1. Exprimer le coût de chaque option en fonction de \(x\).
2. Pour quelle valeur de \(x\) les deux coûts sont-ils égaux ?
3. L’entreprise livre 40 meubles/mois. Quelle option choisir ? Calculer l’économie.
4. À partir de combien de meubles l’option 1 fait-elle économiser plus de 200 €/mois ?

1. \(C_1(x) = 800 + 12x\) et \(C_2(x) = 35x\)

2. \(800 + 12x = 35x\) → \(23x = 800\) → \(x \approx 34{,}8\). À 35 meubles, les coûts sont quasi égaux.

3. \(C_1(40) = 800 + 480 = 1280\) et \(C_2(40) = 1400\). Option 1, économie : \(1400 - 1280 = \mathbf{120\,\text{€}}\).

4. \(35x - (800 + 12x) > 200\) → \(23x > 1000\) → \(x > 43{,}5\). À partir de 44 meubles.

Exercice 29 Problème — Alliage de métaux Approfondissement
Science
Un orfèvre mélange de l’or pur (densité 19,3) avec du cuivre (densité 8,9) pour obtenir un alliage.
Il veut 100 g d’alliage contenant 75 % d’or en masse.

DonnéeValeur
Masse totale100 g
Proportion d’or75 %
Prix de l’or65 €/g
Prix du cuivre0,008 €/g
1. Calculer les masses d’or et de cuivre nécessaires.
2. L’or coûte 65 €/g et le cuivre 0,008 €/g. Calculer le coût total des matières.
3. L’orfèvre veut un bénéfice de 30 % sur le coût matière. Quel prix de vente fixer ?
4. Si le prix de l’or augmente de \(p\) %, exprimer le nouveau coût matière en fonction de \(p\).

1. Or : \(100 \times 0{,}75 = 75\,\text{g}\). Cuivre : \(100 - 75 = 25\,\text{g}\).

2. \(75 \times 65 + 25 \times 0{,}008 = 4875 + 0{,}20 = \mathbf{4875{,}20\,\text{€}}\)

3. \(4875{,}20 \times 1{,}30 = \mathbf{6337{,}76\,\text{€}}\)

4. Nouveau coût or : \(75 \times 65 \times (1 + \frac{p}{100})\). Coût total : \(4875(1 + \frac{p}{100}) + 0{,}20\).

Exercice 30 Problème ouvert — Dimensions d’un meuble Approfondissement
Menuiserie
Un artisan conçoit une bibliothèque aux dimensions suivantes :
  • La hauteur est le double de la largeur.
  • La profondeur est la moitié de la largeur.
  • Le périmètre de la face avant (hauteur × largeur) est de 360 cm.
x (largeur)2xPérimètre face = 360 cm
Face avant : largeur x, hauteur 2x
1. Poser \(x\) = largeur. Exprimer hauteur et profondeur.
2. Écrire l’équation du périmètre de la face avant.
3. Résoudre et donner les 3 dimensions du meuble.
4. Calculer le volume intérieur en dm³ puis en litres.
5. Si le bois coûte 0,12 € par cm² de surface, estimer le coût du bois pour les 5 faces (sans la face avant).

1. Largeur : \(x\), hauteur : \(2x\), profondeur : \(\frac{x}{2}\).

2. Périmètre face avant : \(2(x + 2x) = 360\) → \(6x = 360\) → \(x = 60\).

3. Largeur : 60 cm, hauteur : 120 cm, profondeur : 30 cm.

4. Volume : \(60 \times 120 \times 30 = 216\,000\,\text{cm}^3 = 216\,\text{dm}^3 = \mathbf{216\,\text{L}}\).

5. Surfaces (5 faces sans la face avant) :

  • Fond : \(60 \times 120 = 7200\,\text{cm}^2\)
  • 2 côtés : \(2 \times 30 \times 120 = 7200\,\text{cm}^2\)
  • Haut + bas : \(2 \times 60 \times 30 = 3600\,\text{cm}^2\)

Total : \(7200 + 7200 + 3600 = 18\,000\,\text{cm}^2\).

Coût : \(18\,000 \times 0{,}12 = \mathbf{2\,160\,\text{€}}\).

Exercice 31 Défi BTS — Tarification électrique Approfondissement
Énergie
Un artisan hésite entre deux contrats électriques pour son atelier :
  • Contrat Bleu : abonnement 180 €/mois, kWh à 0,18 €
  • Contrat Vert : abonnement 95 €/mois, kWh à 0,24 €
ContratAbonnementPrix kWh
Bleu180 €/mois0,18 €
Vert95 €/mois0,24 €
1. Exprimer le coût mensuel de chaque contrat en fonction de \(x\) (kWh consommés).
2. Déterminer la consommation pour laquelle les deux contrats coûtent le même prix.
3. L’atelier consomme 1 500 kWh/mois en hiver et 800 kWh/mois en été (6 mois chacun). Calculer le coût annuel de chaque contrat.
4. Un troisième contrat propose un prix unique de 0,21 €/kWh sans abonnement. À partir de quelle consommation mensuelle ce contrat devient-il plus cher que le contrat Bleu ?

1. Bleu : \(C_B(x) = 180 + 0{,}18x\). Vert : \(C_V(x) = 95 + 0{,}24x\).

2. \(180 + 0{,}18x = 95 + 0{,}24x\) → \(85 = 0{,}06x\) → \(x \approx \mathbf{1\,417\,\text{kWh}}\).

3. Bleu annuel : \(6 \times (180 + 0{,}18 \times 1500) + 6 \times (180 + 0{,}18 \times 800)\)

\(= 6 \times 450 + 6 \times 324 = 2700 + 1944 = \mathbf{4\,644\,\text{€}}\)

Vert annuel : \(6 \times (95 + 0{,}24 \times 1500) + 6 \times (95 + 0{,}24 \times 800)\)

\(= 6 \times 455 + 6 \times 287 = 2730 + 1722 = \mathbf{4\,452\,\text{€}}\)

Le contrat Vert est moins cher sur l’année (économie : 192 €).

4. \(0{,}21x > 180 + 0{,}18x\) → \(0{,}03x > 180\) → \(x > 6\,000\). Au-delà de 6 000 kWh/mois.

Bilan des compétences travaillées
CompétenceExercices
Résoudre \(ax = b\)Ex 1, 2
Résoudre \(ax + b = c\) — guidéEx 3, 4, 5, 7, 10 (socle)
Résoudre \(ax + b = c\) ou \(ax + b = cx + d\)Ex 13, 14, 18 (standard)
Gérer les solutions négativesEx 14 (standard)
Traduire un problème par une équationEx 5, 6, 8, 9, 11, 12, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22
Interpréter une solution dans son contexteEx 5, 6, 8, 9, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22
Résoudre graphiquement une équationEx 23 (standard)
Seuil de rentabilité / comparaison de coûtsEx 24, 25, 26, 28, 31 (appro)
Équations avec fractionsEx 27 (appro)
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