Fiche résumé — Probabilités et fluctuation des fréquences
Chapitre 4 | Seconde Bac Pro | Mathématiques
1. Vocabulaire
Expérience aléatoire : résultat non prévisible, issues connues
Issue : résultat possible de l'expérience
Univers \(\Omega\) : ensemble de toutes les issues
Événement : sous-ensemble de \(\Omega\)
Événement simple : une seule issue
Événement composé : plusieurs issues
2. Probabilité (équiprobabilité)
\(P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}\)
\(0 \leq P(A) \leq 1\)
Événement certain : \(P(\Omega) = 1\)
Événement impossible : \(P(\emptyset) = 0\)
Événement contraire : \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\)
3. Fréquence observée
\(f = \dfrac{\text{nombre d'occurrences}}{\text{nombre total d'expériences}}\)
La fréquence est observée (expérimentale)
La probabilité est théorique (modèle)
La fréquence varie d'une série à l'autre
4. Fluctuation et loi des grands nombres
Fluctuation : la fréquence varie d'une série d'expériences à l'autre (normal !)
Loi des grands nombres : quand \(n\) augmente, la fréquence se rapproche de la probabilité théorique
Avec peu d'expériences : forte fluctuation
Avec beaucoup d'expériences : faible fluctuation
Piège 1 : Confondre fréquence et probabilité. Sur 10 lancers, obtenir Pile 7 fois ne signifie pas que \(P(\text{Pile}) = 0{,}7\). La fréquence permet d'estimer la probabilité, mais elles ne sont pas identiques.
Piège 2 : Le sophisme du joueur : croire que si on obtient Pile 5 fois de suite, le prochain lancer a plus de chances de donner Face. Chaque lancer est indépendant.
Piège 3 : Oublier les bornes : la probabilité est toujours entre 0 et 1. Un résultat comme \(P(A) = 1{,}5\) ou \(P(A) = -0{,}2\) est impossible.
Astuce : Pour calculer la probabilité de l'événement contraire, utiliser \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\). C'est souvent plus rapide que de compter directement les issues défavorables.
Astuce : En contrôle qualité, la fréquence de défaut observée sur un grand échantillon (100+) donne une bonne estimation de la probabilité qu'une pièce soit défectueuse.
Résumé express — Méthode type
Identifier l'expérience aléatoire et lister toutes les issues (univers \(\Omega\))
Vérifier si les issues sont équiprobables
Identifier l'événement (quelles issues sont favorables ?)
Appliquer la formule : \(P(A) = \frac{\text{favorables}}{\text{total}}\)