Chapitre 9 – Trigonométrie

\(\dfrac{\pi}{2}\) et \(\dfrac{5\pi}{2}\) ont la même image \(J(0\,;\,1)\), car \(\dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi\) : on fait un tour de plus.

\(-\dfrac{\pi}{2}\) conduit en \((0\,;\,-1)\) : un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre. C'est aussi l'image de \(\dfrac{3\pi}{2}\).

\(30° = \dfrac{\pi}{6}\) ; \(45° = \dfrac{\pi}{4}\) ; \(60° = \dfrac{\pi}{3}\) ; \(90° = \dfrac{\pi}{2}\) ; \(180° = \pi\) ; \(360° = 2\pi\). Garder les fractions exactes de \(\pi\) quand c'est possible.

On sait que \(\sin x = \dfrac{3}{5}\) et que \(x\) est entre \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(\pi\). Calculer \(\cos x\).

\[\cos^2 x = 1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25} \qquad \text{donc} \qquad \cos x = \dfrac{4}{5} \ \text{ou} \ \cos x = -\dfrac{4}{5}\]

Entre \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(\pi\), le point est en haut à gauche : son abscisse est négative. Donc \(\cos x = -\dfrac{4}{5} = -0{,}8\).

Le point image de \(x\) est \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\). Les points images de \(-x\), \(\pi - x\), \(\pi + x\), \(\dfrac{\pi}{2} - x\) et \(\dfrac{\pi}{2} + x\) sont, dans l'ordre :

\(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,-\dfrac{1}{2}\right)\), \(\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\), \(\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,-\dfrac{1}{2}\right)\), \(\left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\), \(\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\).

Par exemple, \(\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{6}\), donc \(\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}\) et \(\sin\dfrac{2\pi}{3} = \cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Les points \((0\,;\,0)\), \(\left(\dfrac{\pi}{2}\,;\,1\right)\), \((\pi\,;\,0)\), \(\left(\dfrac{3\pi}{2}\,;\,-1\right)\), \((2\pi\,;\,0)\) du sinus deviennent \(\left(-\dfrac{\pi}{2}\,;\,0\right)\), \((0\,;\,1)\), \(\left(\dfrac{\pi}{2}\,;\,0\right)\), \((\pi\,;\,-1)\), \(\left(\dfrac{3\pi}{2}\,;\,0\right)\) pour le cosinus. On retrouve \(\cos 0 = 1\) et \(\cos \pi = -1\).

Soit un triangle rectangle ABC, rectangle en C, avec \(\alpha\) l'angle en B.

• L'hypoténuse est AB (en face de l'angle droit C).
• Le côté opposé à \(\alpha\) est AC (il ne touche pas B).
• Le côté adjacent à \(\alpha\) est BC (il touche B, sans être l'hypoténuse).

Donc : \(\cos \alpha = \dfrac{BC}{AB} \quad \sin \alpha = \dfrac{AC}{AB} \quad \tan \alpha = \dfrac{AC}{BC}\).

En divisant sinus par cosinus :

\[\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}}{\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}} = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \times \frac{\text{hypoténuse}}{\text{adjacent}} = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \tan \alpha\]

Un menuisier agenceur doit installer une étagère en diagonale dans un placard. L'étagère fait un angle de 35° avec l'horizontale. Le placard mesure 80 cm de large. Quelle est la longueur de l'étagère ?

Résolution :

Par rapport à l'angle de 35° : le côté de 80 cm est le côté adjacent, et l'étagère est l'hypoténuse.

On utilise le cosinus :

\[\cos(35°) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{80}{L}\]

On isole \(L\) :

\[L = \frac{80}{\cos(35°)} = \frac{80}{0{,}8192} \approx 97{,}7 \text{ cm}\]

L'étagère mesure environ 97,7 cm.

Un charpentier construit un toit dont la charpente mesure 5 m de long (suivant la pente) et s'élève de 2 m par rapport à l'horizontale. Quel est l'angle d'inclinaison du toit ?

Résolution :

Par rapport à \(\alpha\) : le côté de 2 m est le côté opposé, et le côté de 5 m est l'hypoténuse.

On utilise le sinus :

\[\sin \alpha = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{2}{5} = 0{,}4\]

On cherche l'angle :

\[\alpha = \sin^{-1}(0{,}4) \approx 23{,}6°\]

L'angle d'inclinaison du toit est d'environ 23,6°.

Par rapport à l'angle de 38° :

• La hauteur (2,80 m) est le côté opposé.
• Le reculement est le côté adjacent.

On utilise la tangente :

\[\tan(38°) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \frac{2{,}80}{d}\]

On isole \(d\) :

\[d = \frac{2{,}80}{\tan(38°)} = \frac{2{,}80}{0{,}7813} \approx 3{,}58 \text{ m}\]

Il faut prévoir environ 3,58 m de reculement au sol.

Par rapport à \(\alpha\) : la hauteur (0,40 m) est le côté opposé, le panneau (1,60 m) est l'hypoténuse.

\[\sin \alpha = \frac{0{,}40}{1{,}60} = 0{,}25\] \[\alpha = \sin^{-1}(0{,}25) \approx 14{,}5°\]

Le panneau est incliné d'environ 14,5° par rapport à l'horizontale.

On connaît le côté opposé (200 m) et le côté adjacent (800 m). On utilise la tangente :

\[\tan \alpha = \frac{200}{800} = 0{,}25\] \[\alpha = \tan^{-1}(0{,}25) \approx 14{,}0°\]

La pente de la piste est d'environ 14°.

Remarque : on exprime souvent la pente en pourcentage : \(\frac{200}{800} \times 100 = 25\,\%\). Une pente de 25 % correspond à un angle d'environ 14°.

1. Profondeur le long du mur de droite (côté adjacent à 55°) :

\[\cos(55°) = \frac{\text{mur droite}}{60} \quad \Longrightarrow \quad \text{mur droite} = 60 \times \cos(55°) = 60 \times 0{,}5736 \approx 34{,}4 \text{ cm}\]

2. Profondeur le long du mur de gauche (côté opposé à 55°) :

\[\sin(55°) = \frac{\text{mur gauche}}{60} \quad \Longrightarrow \quad \text{mur gauche} = 60 \times \sin(55°) \approx 49{,}1 \text{ cm}\]

3. Vérification par Pythagore :

\[34{,}4^2 + 49{,}1^2 = 1183{,}4 + 2410{,}8 = 3594{,}2\] \[60^2 = 3600\]

Les valeurs sont cohérentes (l'écart vient des arrondis). Le calcul est correct.

4. Vérification par la relation fondamentale :

\[\cos^2(55°) + \sin^2(55°) = 0{,}5736^2 + 0{,}8192^2 = 0{,}329 + 0{,}671 = 1{,}000 \quad \checkmark\]