Devoir Surveillé – Chapitre 9

Trigonométrie | 1^ère Bac Pro

Dernière mise à jour : 21 août 2026, 18:05

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🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Rappeler les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle (cosinus, sinus, tangente)
Découvrir le cercle trigonométrique et la mesure en radians
Connaître les valeurs remarquables de cos et sin pour 0, \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{2}\)
Utiliser la relation fondamentale \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)
Calculer un côté ou un angle dans un triangle rectangle
Appliquer la trigonométrie à des situations professionnelles et quotidiennes

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

APP – S'Approprier ANA – Analyser REA – Réaliser VAL – Valider COM – Communiquer

Socle

Exercice 1 – Identifier et utiliser les rapports trigonométriques 9 points

Contexte professionnel : Un menuisier agenceur doit calculer la longueur d'une étagère en diagonale placée dans un angle de mur. Il repère un triangle rectangle sur son plan.

Partie A – Identifier les côtés du triangle rectangle

Voici le triangle rectangle \( ABC \) rectangle en \( C \) avec \( \widehat{ABC} = 40° \) et \( BC = 3{,}20 \) m.

Triangle ABC rectangle en C — schéma sans échelle

Étape 1 : APP Identifier les côtés par rapport à l'angle \( \widehat{ABC} = 40° \). (1 pt)

Compléter les phrases suivantes :

L'hypoténuse du triangle rectangle est le côté car c'est le côté en face de .
Par rapport à l'angle de \( 40° \) en \( B \) :
– le côté opposé est
– le côté adjacent est

Étape 2 : ANA Choisir la bonne relation trigonométrique. (2 pts)

On connaît la longueur \( 3{,}20 \) m et on cherche la longueur \( AB \).

Rappel des formules :

\( \cos(\alpha) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} \)

La formule qui utilise le côté adjacent et l'hypoténuse est :

Étape 3 : REA Calculer la longueur \( AB \). (3 pts)

Reporter ici la relation trouvée à l'Étape 2 :

On écrit alors la relation :

\( \ldots\ldots(40°) = \dfrac{3{,}20}{AB} \)

On isole \( AB \) :

\( AB = \dfrac{3{,}20}{\ldots\ldots(40°)} = \dfrac{3{,}20}{\ldots\ldots} \approx \) m (arrondir au centimètre)

Étape 4 : VAL Vérifier le résultat. (1 pt)

Le résultat obtenu à l'Étape 3 est-il cohérent avec les longueurs connues du triangle ? Justifier.

Étape 5 : COM Rédiger la conclusion. (2 pts)

Rédiger une phrase indiquant au menuisier agenceur la longueur d'étagère en diagonale qu'il doit commander.

Exercice 2 – Retrouver un angle avec la trigonométrie inverse 9 points

Contexte professionnel : Un installateur thermique pose un conduit de fumée qui monte du poêle à bois vers la toiture. Le cahier des charges du chantier fixe un angle d'inclinaison minimal : il doit le vérifier.

Le conduit part d'un point \( D \) au sol et rejoint un point \( E \) situé à \( 2{,}80 \) m de hauteur. La distance horizontale entre le pied du conduit et la verticale du point de sortie est \( DF = 1{,}50 \) m. Le triangle \( DEF \) est rectangle en \( F \).

Étape 1 : APP Compléter le schéma ci-dessous en plaçant les données. (2 pts)

Triangle DEF rectangle en F — schéma sans échelle

Étape 2 : APP Identifier les côtés par rapport à l'angle \( \alpha \) en \( D \). (2 pts)

Compléter :

Côté opposé à \( \alpha \) : = m
Côté adjacent à \( \alpha \) : = m

Étape 3 : ANA Quelle relation trigonométrique utiliser ? (1 pt)

Les deux côtés identifiés à l'Étape 2 sont reliés par la relation :

Elle s'écrit : \( \ldots\ldots(\alpha) = \dfrac{\ldots\ldots}{\ldots\ldots} \)

Étape 4 : REA Reporter la relation trouvée à l'Étape 3, calculer sa valeur, puis retrouver l'angle \( \alpha \). (3 pts)

On remplace :

\( \ldots\ldots(\alpha) = \dfrac{\ldots\ldots}{\ldots\ldots} = \)

On utilise sur la calculatrice la touche inverse correspondante (\( \cos^{-1} \), \( \sin^{-1} \) ou \( \tan^{-1} \)) :

\( \alpha \approx \) ° (arrondir au dixième)

Étape 5 : VAL Conclure, puis convertir l'angle imposé. (1 pt)

a) Le cahier des charges du chantier impose un angle d'inclinaison du conduit d'au moins \( 45° \) par rapport à l'horizontale. (1 pt)

L'angle trouvé est °. Cet angle est (supérieur / inférieur) à \( 45° \).

Conclusion : le conduit (respecte / ne respecte pas) le cahier des charges.

b) Exprimer en radians, sous forme de valeur exacte, l'angle de \( 45° \) imposé : (1 pt)

\( 45° = 45 \times \dfrac{\pi}{180} = \) rad

Exercice 3 – Lire le tableau des valeurs remarquables 2 points

Le tableau des valeurs remarquables vu en cours est rappelé ci-dessous.

Angle	0°	30°	45°	60°	90°
\( \cos \)	1	\( \frac{\sqrt3}{2} \)	\( \frac{\sqrt2}{2} \)	\( \frac{1}{2} \)	0
\( \sin \)	0	\( \frac{1}{2} \)	\( \frac{\sqrt2}{2} \)	\( \frac{\sqrt3}{2} \)	1

Étape 1 : APP Lire dans le tableau. (1 pt)

\( \cos(60°) = \) \( \sin(30°) = \)

Étape 2 : ANA Comparer les deux valeurs. (1 pt)

Sont-elles égales ? Que remarque-t-on entre les angles \( 30° \) et \( 60° \) ?

Étape 1 : \( \cos(60°) = \dfrac{1}{2} \) et \( \sin(30°) = \dfrac{1}{2} \).

Étape 2 : Elles sont égales. Les deux angles sont complémentaires : \( 30° + 60° = 90° \). Le cosinus de l'un est le sinus de l'autre.

Standard

Exercice 1 – Conversions et valeurs remarquables 8 points

Partie A – Conversions degrés / radians

1. REA Convertir les angles suivants en radians (donner la valeur exacte) : (2 pts)

a) \( 60° \) b) \( 120° \) c) \( 45° \) d) \( 210° \)

2. REA Convertir les angles suivants en degrés : (2 pts)

a) \( \dfrac{\pi}{6} \) rad b) \( \dfrac{3\pi}{4} \) rad c) \( \dfrac{5\pi}{3} \) rad d) \( 2\pi \) rad

Partie B – Valeurs exactes

3. APP Compléter le tableau des valeurs exactes suivant : (2 pts)

Angle	\( \dfrac{\pi}{6} \)	\( \dfrac{\pi}{4} \)	\( \dfrac{\pi}{3} \)
\( \cos \)
\( \sin \)

4. ANA Placer sur le cercle trigonométrique ci-dessous les points associés aux angles \( \dfrac{\pi}{6} \), \( \dfrac{\pi}{4} \), \( \dfrac{\pi}{3} \) et \( \dfrac{2\pi}{3} \), puis donner les valeurs exactes du cosinus et du sinus du seul angle \( \dfrac{2\pi}{3} \). (2 pts)

Cercle trigonométrique à compléter

Angle	\( \dfrac{\pi}{6} \) (30°)	\( \dfrac{\pi}{4} \) (45°)	\( \dfrac{\pi}{3} \) (60°)
\( \cos \)	\( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)	\( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)	\( \dfrac{1}{2} \)
\( \sin \)	\( \dfrac{1}{2} \)	\( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)	\( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

Exercice 2 – Trigonométrie appliquée à la construction 12 points

Contexte professionnel : Un charpentier doit réaliser la charpente d'un bâtiment. La toiture forme un triangle rectangle et il doit calculer différentes dimensions à partir des angles et longueurs connues.

Partie A – Hauteur d'un pignon de toiture

Le versant d'une toiture fait un angle de \( 35° \) avec l'horizontale. La longueur horizontale (demi-portée) mesure \( 4{,}50 \) m.

1. APP Faire un schéma du triangle rectangle formé et identifier l'angle, le côté adjacent et le côté opposé. (1 pt)

2. ANA Quelle relation trigonométrique (sin, cos ou tan) permet de calculer la hauteur du pignon ? Justifier. (2 pts)

3. REA Calculer la hauteur du pignon. Arrondir au centimètre. (2 pts)

4. REA En déduire la longueur du rampant (le versant de la toiture). Arrondir au centimètre. (2 pts)

Partie B – Rampe d'accès

Le charpentier doit aussi vérifier une rampe d'accès en bois construite pour le chariot de manutention de l'atelier. Le cahier des charges du chantier impose une pente maximale de \( 5° \). La rampe mesure \( 6 \) m de long (longueur au sol) et la hauteur à franchir est de \( 58 \) cm.

5. ANA Calculer l'angle \( \alpha \) que fait la rampe avec l'horizontale. Arrondir au dixième de degré. (2 pts)

6. VAL La rampe respecte-t-elle le cahier des charges ? Justifier. (1 pt)

7. COM Quelle longueur minimale au sol permettrait de respecter le cahier des charges avec la même hauteur de 58 cm ? Arrondir au dixième de mètre. Rédiger la réponse. (2 pts)

1. Schéma attendu :

Schéma du pignon — schéma sans échelle

L'angle de \( 35° \) est au pied du versant (entre l'horizontale et le rampant).
Le côté adjacent à l'angle = demi-portée = \( 4{,}50 \) m (horizontal).
Le côté opposé à l'angle = hauteur du pignon \( h \) (vertical).
L'hypoténuse = longueur du rampant (le versant).

2. On connaît le côté adjacent et on cherche le côté opposé. La relation qui lie ces deux côtés est la tangente :

\( \tan(35°) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \dfrac{h}{4{,}50} \)

3. \( h = 4{,}50 \times \tan(35°) = 4{,}50 \times 0{,}7002 \approx 3{,}15 \) m.

La hauteur du pignon est d'environ \( 3{,}15 \) m.

4. On utilise le cosinus pour trouver la longueur du rampant \( L \) :

\( \cos(35°) = \dfrac{4{,}50}{L} \), donc \( L = \dfrac{4{,}50}{\cos(35°)} = \dfrac{4{,}50}{0{,}8192} \approx 5{,}49 \) m.

La longueur du rampant est d'environ \( 5{,}49 \) m.

5. On convertit la hauteur : \( 58 \) cm \( = 0{,}58 \) m.

On utilise la tangente : \( \tan(\alpha) = \dfrac{0{,}58}{6} \approx 0{,}09667 \)

\( \alpha = \arctan(0{,}09667) \approx 5{,}5° \)

6. L'angle \( \alpha \approx 5{,}5° \) est supérieur à la pente maximale autorisée de \( 5° \). La rampe ne respecte pas le cahier des charges.

7. Pour respecter la contrainte, il faut \( \alpha \leqslant 5° \), c'est-à-dire \( \dfrac{0{,}58}{L} \leqslant \tan(5°) \), soit \( L \geqslant \dfrac{0{,}58}{\tan(5°)} \).

\( \dfrac{0{,}58}{\tan(5°)} = \dfrac{0{,}58}{0{,}08749} \approx 6{,}6294 \) m.

Attention à l'arrondi : il s'agit d'une longueur minimale, on arrondit donc par excès au dixième supérieur, soit \( L_{\min} = \mathbf{6{,}7} \) m. Avec \( 6{,}6 \) m, l'angle vaudrait \( \tan^{-1}\!\left(\dfrac{0{,}58}{6{,}6}\right) \approx 5{,}02° \) : la contrainte ne serait pas respectée.

Pour respecter la pente maximale de \( 5° \) avec une hauteur de 58 cm, il faudrait une longueur au sol d'au moins \( 6{,}7 \) m, au lieu des \( 6 \) m actuels : le charpentier devra allonger la rampe d'au moins \( 0{,}7 \) m.

Approfondissement

Exercice 1 – Radians, cercle trigonométrique et valeurs remarquables 8 points

Partie A – Conversions et calculs en radians

1. REA Convertir en radians (valeur exacte) : \( 150° \), \( 225° \), \( 330° \). (1,5 pt)

2. REA Convertir en degrés : \( \dfrac{7\pi}{6} \) rad, \( \dfrac{11\pi}{4} \) rad. (1 pt)

Partie B – Valeurs exactes et relation fondamentale

3. APP Calculer la valeur exacte de chaque expression sans calculatrice : (2 pts)

a) \( A = \cos^2\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) + \sin^2\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \)

b) \( B = 2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \)

4. ANA On donne \( \cos(\alpha) = \dfrac{3}{5} \) avec \( \alpha \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right] \). (2 pts)

a) En utilisant la relation fondamentale, calculer \( \sin(\alpha) \).

b) En déduire \( \tan(\alpha) \).

5. VAL Un élève affirme : « \( \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1 \) ». A-t-il raison ? Justifier par le calcul. (1,5 pt)

Exercice 2 – Charpente à deux versants 12 points

Contexte professionnel : Un charpentier conçoit la charpente d'un atelier de menuiserie. La toiture est asymétrique : les deux versants n'ont pas la même inclinaison. Il doit calculer toutes les dimensions pour préparer son plan de débit.

La toiture repose sur un bâtiment de largeur totale \( AB = 10 \) m. Le faîtage \( F \) (point le plus haut) ne se trouve pas au centre : il est situé à la verticale d'un point \( H \) tel que \( AH = 4 \) m. La hauteur sous faîtage est \( FH = 3{,}60 \) m.

Charpente à deux versants — schéma sans échelle

Partie A – Versant côté A (triangle AHF)

1. APP Montrer que le triangle \( AHF \) est rectangle en \( H \). Identifier les côtés par rapport à l'angle \( \alpha = \widehat{FAH} \). (1 pt)

2. REA Calculer l'angle \( \alpha \) d'inclinaison du versant 1. Arrondir au dixième de degré. (2 pts)

3. REA Calculer la longueur du rampant \( AF \) (versant 1). Arrondir au centimètre. (2 pts)

Partie B – Versant côté B (triangle BHF)

4. ANA Calculer la distance \( HB \). (1 pt)

5. REA Calculer l'angle \( \beta = \widehat{FBH} \) d'inclinaison du versant 2. Arrondir au dixième de degré. (2 pts)

6. REA Calculer la longueur du rampant \( BF \) (versant 2). Arrondir au centimètre. (2 pts)

Partie C – Synthèse

7. COM Le charpentier doit commander les chevrons (pièces de bois posées le long des rampants). Il a besoin de la longueur totale des deux versants. Calculer \( AF + BF \) et rédiger une phrase de conclusion pour le devis. (2 pts)