Devoir Surveillé – Chapitre 9

1. Rappel : pour convertir des degrés en radians, on multiplie par \( \dfrac{\pi}{180} \).

• a) \( 60° = 60 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3} \)
• b) \( 120° = 120 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{2\pi}{3} \)
• c) \( 45° = 45 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{4} \)
• d) \( 210° = 210 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{6} \)

2. Pour convertir des radians en degrés, on multiplie par \( \dfrac{180}{\pi} \).

• a) \( \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} \times \dfrac{180}{\pi} = 30° \)
• b) \( \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi} = 135° \)
• c) \( \dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3} \times \dfrac{180}{\pi} = 300° \)
• d) \( 2\pi = 2\pi \times \dfrac{180}{\pi} = 360° \)

3. Tableau complété :

4. Sur le cercle trigonométrique :

• \( \dfrac{\pi}{6} \) (30°) : point \( \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right) \)
• \( \dfrac{\pi}{4} \) (45°) : point \( \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \)
• \( \dfrac{\pi}{3} \) (60°) : point \( \left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
• \( \dfrac{2\pi}{3} \) (120°) : point \( \left(-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \)

1. Dans le triangle rectangle :

• L'angle de \( 35° \) est au pied du versant (entre l'horizontale et le rampant).
• Le côté adjacent à l'angle = demi-portée = \( 4{,}50 \) m (horizontal).
• Le côté opposé à l'angle = hauteur du pignon \( h \) (vertical).
• L'hypoténuse = longueur du rampant (le versant).

2. On connaît le côté adjacent et on cherche le côté opposé. La relation qui lie ces deux côtés est la tangente :

\( \tan(35°) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \dfrac{h}{4{,}50} \)

3. \( h = 4{,}50 \times \tan(35°) = 4{,}50 \times 0{,}7002 \approx 3{,}15 \) m.

La hauteur du pignon est d'environ \( 3{,}15 \) m.

4. On utilise le cosinus pour trouver la longueur du rampant \( L \) :

\( \cos(35°) = \dfrac{4{,}50}{L} \), donc \( L = \dfrac{4{,}50}{\cos(35°)} = \dfrac{4{,}50}{0{,}8192} \approx 5{,}49 \) m.

La longueur du rampant est d'environ \( 5{,}49 \) m.

5. On convertit la hauteur : \( 58 \) cm \( = 0{,}58 \) m.

On utilise la tangente : \( \tan(\alpha) = \dfrac{0{,}58}{6} \approx 0{,}09667 \)

\( \alpha = \arctan(0{,}09667) \approx 5{,}5° \)

6. L'angle \( \alpha \approx 5{,}5° \) est supérieur à la pente maximale autorisée de \( 5° \). La rampe n'est pas conforme à la norme.

7. Pour respecter la norme, il faut que \( \tan(5°) \geqslant \dfrac{0{,}58}{L_{\min}} \), soit :

\( L_{\min} = \dfrac{0{,}58}{\tan(5°)} = \dfrac{0{,}58}{0{,}08749} \approx 6{,}6 \) m.

Pour que la rampe soit conforme à la norme d'accessibilité avec une hauteur de 58 cm, il faudrait une longueur au sol minimale de \( 6{,}6 \) m, au lieu des \( 6 \) m actuels. Le charpentier devra allonger la rampe de \( 0{,}6 \) m supplémentaires.